Имитационные модели в отличие от аналитических. Третьякова А., Золотов А.А. Сравнение аналитического и имитационного моделирования для классической трехфазной системы массового обслуживания. Детерминированные и стохастические модели
Преобразования Фурье
Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин. Например, подобным образом работает человеческое ухо. Оно раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. Кроме того, можно показать, что синусоиды являются «собственными функциями» линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а могут изменять лишь фазу и амплитуду). Еще одна причина в том, что теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.
Преобразование Фурье (Fourier transform)– это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции мы тоже называем синусоидами, т.к. они отличаются от «настоящих» синусоид только фазой). Существует несколько видов преобразования Фурье.
1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.
2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье.
3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.
4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.
Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, следовательно, реально он способен вычислять только последний вид преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.
ДПФ вещественного сигнала
Пусть дискретный сигнал x имеет периодN точек. В этом случае его можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации) дискретных синусоид:
2π k (n + ϕ k ) | |||
x = ∑ C k cos | (ряд Фурье) |
||
k = 0 |
Эквивалентная запись (каждый косинус раскладываем на синус и косинус, но теперь – без фазы):
2 π kn | 2 π kn | |||
x = ∑ A k cos | + ∑ B k sin | (ряд Фурье) |
||
k = 0 | k = 0 |
Рис. 6 . Базисные функции ряда Фурье для 8-точеченого дискретного сигнала. Слева – косинусы, справа – синусы. Частоты увеличиваются сверху вниз.
Базисные синусоиды имеют кратные частоты. Первый член ряда (k =0) – это константа, называемаяпостоянной составляющей (DC offset ) сигнала. Самая первая синусоида (k =1) имеет такую частоту, что ее период совпадает с периодом самого исходного сигнала. Самая высокочастотная составляющая (k =N /2) имеет такую частоту, что ее период равен двум отсчетам. КоэффициентыA k и
B k называютсяспектром сигнала (spectrum ). Они показывают амплитуды си-
нусоид, из которых состоит сигнал. Шаг по частоте между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.
На рис. 6 показаны синусоиды, по которым происходит разложение дискретного сигнала из 8 точек. Каждая из синусоид состоит из 8 точек, то есть является обычным дискретным сигналом. Непрерывные синусоиды показаны на рисунке для наглядности.
вить исходный сигнал, вычислив сумму ряда Фурье в каждой точке. Разложение сигнала на синусоиды (т.е. получение коэффициентов) называется прямым преобразованием Фурье . Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называетсяобратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform ).
Алгоритм обратного преобразования Фурье очевиден (он содержится в формуле ряда Фурье; для проведения синтеза нужно просто подставить в нее коэффициенты). Рассмотрим алгоритм прямого преобразования Фурье, т.е. нахождения коэффициентов A k иB k .
2 π kn | 2 π kn | от аргумента n является ор- |
||||||
Система функций | K = 0,..., | |||||||
тогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов с периодом N . Это значит, что для разложения по ней любого элемента пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты нормировать. Тогда для исходного сигнала будет справедлива формула разложения по базису с коэффициентамиA k иB k .
Итак, коэффициенты A k иB k вычисляются как скалярные произведения (в не-
прерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном случае
– суммы от произведения дискретных сигналов):
N − 1 | 2 π ki , приk = 1,..., | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A k= | ∑ x cos | −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
N i = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N − 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A k= | ∑ x cos2 π ki , приk = 0, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
N i = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N − 1 | 2 π ki | NB 0 иB N 2 всегда равны нулю (т.к. соответствующие им «базисные» сигналы тождественно равны нулю в дискретных точках), и их можно отбросить при вычислении обратного и прямого преобразований Фурье. Итак, мы выяснили, что спектральное представление сигнала полностью эквивалентно самому сигналу. Между ними можно перемещаться, используя прямое и обратное преобразования Фурье. Алгоритм вычисления этих преобразований содержится в приведенных формулах. Вычисление преобразований Фурье требует очень большого числа умножений (около N 2 ) и вычислений синусов. Существует способ выполнить эти преобразования значительно быстрее: примерно заN log2 N операций умножения. Этот способ называется быстрым преобразованием Фурье(БПФ, FFT, fast Fourier transform). Он основан на том, что среди множителей (синусов) есть много повторяющихся значений (в силу периодичности синуса). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями, значительно сокращая число умножений. В результате быстродействие БПФ может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма (в зависимости от N). При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ является точным. Он даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления. Однако у большинства алгоритмов БПФ есть особенность: они способны работать лишь тогда, когда длина анализируемого сигнала N является степенью двойки. Обычно это не представляет большой проблемы, так как анализируемый сигнал всегда можно дополнить нулями до необходимого размера. Число N называется размеромили длиной БПФ(FFT size). Комплексное ДПФДо сих пор мы рассматривали ДПФ от действительных сигналов. Обобщим теперь ДПФ на случай комплексных сигналов. Пусть x , n =0,…,N -1 – исходный комплексный сигнал, состоящий изN комплексных чисел. ОбозначимX , k =0,…N -1 – его комплексный спектр, также состоящий изN комплексных чисел. Тогда справедливы следующие формулы прямого и обратного преобразо- ваний Фурье (здесь j = − 1): N − 1 X [ k] = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N )
Если по этим формулам разложить в спектр действительный сигнал, то первые N /2+1 комплексных коэффициентов спектра будут совпадать со спектром «обычного» действительного ДПФ, представленным в «комплексном» виде, а остальные коэффициенты будут их симметричным отражением относительно | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналитические и имитационные модели 3 страница
Ряд стандартов ISO посвящен языкам программирования. Имеются стандарты на языки C (ISO 9899), Фортран (ISO 1539), Паскаль (ISO 7185) и др.
Среди других стандартов, способствующих открытости ПО АС, следует отметить стандарты графического пользовательского интерфейса, хранения и передачи графических данных, построения БД и файловых систем, сопровождения и управления конфигурацией программных систем и др.
Важное значение для создания открытых систем имеет унификация и стандартизация средств межпрограммного интерфейса или, другими словами, необходимо наличие профилей АС для информационного взаимодействия программ, входящих в АС. Профилем открытой системы называют совокупность стандартов и других нормативных документов, обеспечивающих выполнение системой заданных функций. Так, в профилях АС могут фигурировать язык EXPRESS стандарта STEP, спецификация графического пользовательского интерфейса Motif, унифицированный язык SQL обмена данными между различными СУБД, стандарты сетевого взаимодействия. В профили САПР машиностроения может входить формат IGES и в случае САПР радиоэлектроники - формат EDIF и т.п.
Всего в информационных технологиях уже к 1997 г. было более 1000 стандартов. Профили создаются для их упорядочения, получения взаимоувязанных целостных совокупностей для построения конкретных систем. Например, предлагаются профили: АМН11 используется для передачи сообщений между прикладными и транспортным уровнями; ТА51 устанавливает требования к работе оконечной системы в IEEE 802.3, RA51.1111 - ретрансляцию услуг сетевого уровня между МДКН/ОК и PSDN (Packed Switched Data Network) и др. Теперь можно выбрать один базовый стандарт и соответствующее средство выдаст профиль - все остальные необходимые стандарты.
4.Методики функционального и информационного моделирования сложных систем
4.1. CASE технологии
Современное проектирование сложных информационных систем использует новые информационные технологии и программные средства поддержки системного инжиниринга - CASE технологии и средства.
В основе CASE технологий лежат соответствующие методы и методики, описывающие различные свойства систем, важные, например, с точки зрения их автоматизации, а также позволяющие количественно оценить параметры проектов. Следует отметить, что спектр свойств систем различного назначения очень широк, и не все они к настоящему времени отражены в адекватных моделях. В то же время для класса информационных систем организационного типа (Management Information Systems - MIS) адекватные модели разработаны и поддерживаются соответствующими средствами автоматизации IDEF (Integrated DEFinition).
4.2 Методология IDEF моделирования
Взаимная совокупность методик и моделей концептуального проектирования разработана в США по программе Integrated Computer-Aided Manufacturing. В настоящее время имеются методики функционального, информационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные таблице.
IDEF0 реализует методику функционального моделирования сложных систем. Наиболее известной реализацией IDEF0 является методология SADT (Structured Analysis and Design Technique), преложенная еще в 1973 г. Д. Россом и впоследствии ставшая основой стандарта IDEF0. Эта методика рекомендуется для начальных стадий проектирования сложных искусственных систем управления, производства, бизнеса, включающих людей, оборудование, программное обеспечение.
IDEF1X и IDEF1 реализуют методики инфологического проектирования баз данных. В IDEF1X имеется ясный графический язык для описания объектов и отношений в приложениях, так называемый язык диаграмм "сущность-связь" (ERD - Entity-Relations Diagrams). Разработка информационной модели по IDEF1X выполняется в несколько этапов:
- выясняются цели проекта, составляется план сбора информации, при этом обычно исходные положения для информационной модели следуют из IDEF0-модели;
- выявляются и определяются основные сущности - элементы базы данных, в которых будут храниться данные системы;
- выявляются и определяются основные отношения, результаты представляются графически в виде так называемых ER-диаграмм;
- детализируются нестандартные отношения, определяются ключевые атрибуты сущностей. Детализация отношений заключается в замене связей "многие ко многим" на связи "многие к одному" и "один ко многим";
- определяются атрибуты сущностей.
IDEF-модели
| Название | Назначение |
| IDEFO | Функциональное моделирование Function Modeling Method |
| IDEF1 и IDEF1X | Информационное моделирование Information and Data Modeling Method |
| IDEF2 | Поведенческое моделирование Simulation Modeling Method |
| IDEF3 | Моделирование деятельности Process Flow and Object Stale Description Capture Method |
| IDEF4 | Объективно-ориентированное проектирование Object-oriented Design Method |
| IDEF5 | Систематизация объектов приложения Ontology Description Capture Method |
| IDEF6 | Использование рационального опыта проектирования Design Rational Capture Method |
| IDEF8 | Взаимодействие человека и системы Human-System Interaction Design |
| IDEF9 | Учет условий и ограничений Business Constraint Discovery |
| IDEF14 | Моделирование вычислительных сетей Network Design |
IDEF2 и IDEF3 реализуют поведенческое моделирование. Если методика IDEF0 связана с функциональными аспектами и позволяет отвечать на вопрос: "Что делает эта система?", то в этих методиках детализируется ответ: "Как система это делает". В основе поведенческого моделирования лежат модели и методы имитационного моделирования систем массового обслуживания, сети Петри, возможно применение модели конечного автомата, описывающей поведение системы как последовательности смен состояний.
Перечисленные методики относятся к так называемым структурным методам.
IDEF4 реализует объектно-ориентированный анализ больших систем. Он предоставляет пользователю графический язык для изображения классов, диаграмм наследования, таксономии методов.
IDEF5 направлен на представление онтологической информации приложения в удобном для пользователя виде, Для этого используются символические обозначения (дескрипторы) объектов, их ассоциаций, ситуаций и схемный язык описания отношений классификации, "часть-целое", перехода и т. п. В методике имеются правила связывания объектов (термов) в предложения и аксиомы интерпретации термов.
IDEF6 направлен на сохранение рационального опыта проектирования информационных систем, что способствует предотвращению структурных ошибок.
IDEF8 предназначен для проектирования диалогов человека и технической системы.
IDEF9 предназначен для анализа имеющихся условий и ограничений (в том числе физических, юридических, политических) и их влияния на принимаемые решения в процессе реинжиниринга.
IDEF14 предназначен для представления и анализа данных при проектировании вычислительных сетей на графическом языке с описанием конфигураций, очередей, сетевых компонентов, требований к надежности и т.п.
4.3. Нотации IDEF моделирования
Для моделирования адекватного представления сложной системы, характеризуемой структурой, выполняемыми процессами (функциями), поведением системы во времени применяют функциональные, информационные и поведенческие модели, пересекающиеся друг с другом.
Функциональная модель системы описывает совокупность выполняемых системой функций, характеризует морфологию системы (ее построение) - состав подсистем, их взаимосвязи.
Информационная модель отображает отношения между элементами системы в виде структур данных (состав и взаимосвязи).
Поведенческая (событийная) модель описывает информационные процессы (динамику функционирования), в ней функционируют такие категории, как состояние системы, событие, переход из одного состояния в другое, условия перехода, последовательность событий. Используется в основном для систем реального времени.
Аналитические и имитационные модели
5.1. Разработка имитационных моделей сложных систем
5.1.1. Имитационное моделирование
Одним из наиболее важных и полезных орудий анализа структуры сложных процессов и систем стало имитационное моделирование. Имитировать, согласно словарю Вебстера, значит "вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте". По существу, каждая модель или представление вещи есть форма имитации. Имитационное моделирование является весьма широким и недостаточно четко определенным понятием, имеющим очень большое значение для лиц, ответственных за проектирование и функционирование систем. Рискуя заслужить обвинение в чрезмерном самомнении, мы воздержимся от анализа различных определений другими авторами и остановимся на своем собственном. Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Таким образом, процесс имитационного моделирования мы понимаем как процесс, включающий и конструирование модели, и аналитическое применение модели для изучения некоторой проблемы. Под моделью реальной системы мы понимаем представление группы объектов или идей в некоторой форме, отличной от их реального воплощения; отсюда термин "реальный" используется в смысле "существующий или способный принять одну из форм существования". Следовательно, системы, существующие еще только на бумаге или находящиеся в стадии планирования, могут моделироваться так же, как и действующие системы.
Поэтому имитационное моделирование является экспериментальной и прикладной методологией, имеющей целью:
· описать поведение системы;
· построить теории и гипотезы, которые могут объяснить наблюдаемое поведение;
· использовать эти теории для предсказания будущего поведения системы, т. е. тех воздействий, которые могут быть вызваны изменениями в системе или изменениями способов ее функционирования.
В отличие от большинства технических методов, которые могут быть классифицированы в соответствии с научными дисциплинами, в которые они уходят своими корнями (например, с физикой или химией), имитационное моделирование применимо в любой отрасли науки.
5.1.2. Функции моделей
Идея представления некоторого объекта, системы или понятия при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию функций модели затруднительно. Различают пять узаконенных и ставших привычными случаев применения моделей в качестве:
1) средства осмысления действительности;
2) средства общения;
3) средства обучения и тренажа;
4) инструмента прогнозирования;
5) средства постановки экспериментов.
Модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Модель предписывающего типа обычно является и описательной, но не наоборот. Это означает, что предписывающая модель почти всегда является описательной по отношению к моделируемому объекту, но описательная модель не всегда полезна для целей планирования и проектирования. Вероятно, в этом кроется одна из причин, почему экономические модели (в которых обнаруживается тенденция к описательности) оказали небольшое воздействие на управление экономическими системами и мало применялись в качестве вспомогательного средства управления на высшем уровне, в то время как модели исследования операций, по общему признанию, оказали значительное воздействие на эти сферы.
5.1.3. Классификация моделей
Модели вообще и имитационные модели в частности можно классифицировать различными способами. К сожалению, ни один из них не является полностью удовлетворительным, хотя каждый служит определенной цели. Укажем некоторые типовые группы моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации:
· статические (например, поперечный разрез объекта) и динамические (временные ряды);
· детерминистские и стохастические;
· дискретные и непрерывные;
· натурные, аналоговые и символические.
Имитационные модели можно представить в виде непрерывного спектра, простирающегося от точных моделей или макетов реальных объектов до совершенно абстрактных математических моделей (рис. 4).
При моделировании сложной системы исследователь обычно вынужден использовать совокупность нескольких моделей из числа разновидностей, упомянутых выше. Любая система или подсистема может быть представлена различными способами, которые значительно отличаются друг от друга по сложности и детализации. В большинстве случаев в результате системных исследований появляются несколько различных моделей одной и той же системы. Но обычно по мере того, как исследователь глубже анализирует и лучше понимает проблему, простые модели заменяются все более сложными.
Рис. 4. Классификация моделей
5.1.4. Достоинства и недостатки имитационного моделирования
Все имитационные модели представляют собой модели типа «черного ящика». Поэтому для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять "прогон" имитационных моделей, а не "решать" их. Имитационные модели не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. Более того, имитационное моделирование является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо и желательно приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях имитационное моделирование полезно?
Мы определили имитационное моделирование как экспериментирование с моделью реальной системы. Необходимость решения задач путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность получить о системе специфическую информацию, которую нельзя найти в известных источниках. Известно, что непосредственное экспериментирование на реальной системе устраняет много затруднений, если необходимо обеспечить соответствие между моделью и реальными условиями; однако недостатки такого экспериментирования иногда весьма значительны, поскольку:
1. Оно может нарушить установленный порядок работы фирмы.
2. Если составной частью системы являются люди, то на результаты экспериментов может повлиять так называемый хауторнский эффект, проявляющийся в том, что люди, чувствуя, что за ними наблюдают, могут изменить свое поведение.
3. Может оказаться сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторении эксперимента или в течение всего времени проведения серии экспериментов.
4. Для получения одной и той же величины выборки (и, следовательно, статистической значимости результатов экспериментирования) могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств.
5. При экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества альтернативных вариантов.
По этим причинам исследователь должен рассмотреть целесообразность применения имитационного моделирования при наличии любого из следующих условий:
1. Не существует законченной математической постановки данной задачи либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.
2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.
3. Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала. В этом случае следует сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной модели с затратами, связанными с приглашением специалистов со стороны.
4. Кроме оценки определенных параметров желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода.
5. Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдений явлений в реальных условиях; соответствующим примером может служить изучение поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов.
6. Для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедлено или ускорено по желанию. К этой категории относятся, например, исследования проблем упадка городов.
Можно ли вообще, опираясь на имитационное моделирование, получить результаты также и наиболее эффективным способом? Ответ нередко будет отрицательным и по следующим причинам:
1. Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого и требует много времени, а также наличия высокоодаренных специалистов, которых в данной фирме может и не оказаться. Для создания хорошей модели внутрифирменного планирования может потребоваться от 3 до 11 лет.
2. Может показаться, что имитационная модель отражает реальное положение вещей, хотя в действительности это не так. Если этого не учитывать, то некоторые свойственные имитации особенности могут привести к неверному решению.
3. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.
4. Результаты, которые дает имитационная модель, обычно являются численными, а их точность определяется количеством знаков после запятой, выбираемым экспериментатором. В связи с этим возникает опасность "обожествления чисел", т. е. приписывания им большей значимости, чем они на самом деле имеют.
5.1.5. Структура имитационных моделей
Прежде чем начать разработку модели, необходимо понять, что собой представляют структурные элементы, из которых она строится. Хотя математическая или физическая структура модели может быть очень сложной, основы ее построения весьма просты. В самом общем виде структуру модели мы можем представить математически в виде
где Е - результат действия системы; x i - переменные и параметры, которыми мы можем управлять; y i - переменные и параметры, которыми мы управлять не можем; f - функциональная зависимость между x i и y i , которая определяет величину Е .
Столь явное и чрезмерное упрощение полезно лишь тем, что оно показывает зависимость функционирования системы как от контролируемых нами, так и от неконтролируемых переменных. Почти каждая модель представляет собой, вообще говоря, некоторую комбинацию таких составляющих, как
Компоненты,
Переменные,
Параметры,
Ограничения,
Целевые функции.
Под компонентами мы понимаем составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Иногда мы считаем компонентами также элементы системы или её подсистему.
Система определяется как группа или совокупность объектов, объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции. Компоненты суть объекты, образующие изучаемую систему.
Параметры суть величины, которые оператор, работающий на модели, может выбирать произвольно, в отличие от переменных, которые могут принимать только значения, определяемые видом данной функции. Смотря на это под другим углом зрения, мы можем сказать, что параметры, после того как они установлены, являются постоянными величинами, не подлежащими изменению.
В модели системы мы различаем переменные двух видов - экзогенные и эндогенные. Экзогенные переменные называются также входными; это значит, что они порождают вне системы или являются результатом воздействия внешних причин. Эндогенными переменными называются переменные, возникающие в системе или в результате воздействия внутренних причин. Мы также называем эндогенные переменные переменными состояния (когда они характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе) либо выходными переменными (когда речь идет о выходах системы). Статистики иногда называют экзогенные переменные независимыми, а эндогенные зависимыми.
Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы. Эти отношения, или операционные характеристики, по своей природе являются либо детерминистскими, либо стохастическими. Детерминистские соотношения - это тождества или определения, которые устанавливают зависимость между определенными переменными или параметрами в тех случаях, когда процесс на выходе системы однозначно определяется заданной информацией на входе. В отличие от этого стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают на выходе неопределенный результат. Оба типа соотношений обычно выражаются в форме математического уравнения, которое устанавливает зависимость между эндогенными переменными (переменными состояния) и экзогенными переменными. Обычно эти соотношения можно строить лишь на основе гипотез или выводить с помощью статистического или математического анализа. Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменений значений переменных или ограничивающие условия распределения и расходования тех или иных средств (энергии, запасов и т.п.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения). Примерами искусственных ограничений могут быть заданные максимальный и минимальный уровни занятости рабочих или установления максимальная сумма денежных средств, ассигнуемых на капиталовложения. В физической системе такого типа, как ракета, искусственными ограничением может быть заданный минимальный радиус действия или максимально допустимый вес. Большинство технических требований к системам представляет собой набор искусственных ограничений. Естественные ограничения обусловлены самой природой системы. Например, нельзя продать больше изделий, чем система может изготовить, и никто не может сконструировать систему, нарушающую законы природы. Таким образом, ограничения одного типа обусловлены неизменными законами природы, в то время как ограничения другого типа, будучи делом рук человеческих, могут подвергаться изменению. Исследователю он должен постоянно оценивать принесенные человеком ограничения, с тем чтобы ослабить или усилить их по мере необходимости. Целевая функция, или функция критерия,- это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Различают два типа целей: сохранение и приобретение. Цели сохранения связаны с сохранением или поддержанием каких-либо ресурсов (временных, энергетических, творческих и т. д.) или состояний (комфорта, безопасности, уровня занятости и т. д.). Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов (прибыли, персонала, заказчиков и т. п.) или достижением определенных состояний, к которым стремится организация или руководитель (захват части рынка, достижение состояния устрашения и т.п.). Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соразмеряться принимаемые решения. Цитированный выше словарь Вебстера определяет понятие «критерий» как «мерило оценки, правило или вид проверки, при помощи которых составляется правильное суждение о чем-либо». Это четкое и однозначное определение критерия очень важно по двум причинам. Во-первых, оно оказывает громадное влияние на процесс создания модели и манипулирования с ней. Во-вторых, неправильное определение критерия обычно ведет к неправильным заключениям. Функция критерия (целевая функция) обычно является органической составной частью модели, и весь процесс манипулирования с моделью направлен на оптимизацию или удовлетворение заданного критерия.
5.1.6.Структурный синтез систем
Сходство модели с объектом, который она отображает, называется степенью изоморфизма. Для того чтобы быть изоморфной (т. е. идентичной или сходной по форме), модель должна удовлетворять двум условиям.
Во-первых, должно существовать взаимно однозначное соответствие между элементами модели и элементами представляемого объекта. Во-вторых, должны быть сохранены точные соотношения или взаимодействия между элементами. Степень изоморфизма модели относительна, и большинство моделей скорее гомоморфны, чем изоморфны. Под гомоморфизмом мы понимаем сходство по форме при различии основных структур, причем имеет место лишь поверхностное подобие между различными группами элементов модели и объекта. Гомоморфные модели являются результатом процессов упрощения и абстракции.
Ученый, изучающий проблемы управления, для построения полезных моделей также прибегает к упрощению. Он предполагает, что его переменные либо детерминированы (чрезвычайно упрощенная трактовка реальности), либо подчиняются законам случайных событий, описываемым известными вероятностными функциями распределений, таких, как нормальное, пуассоновское, экспоненциальное и т. д. Он также зачастую предполагает, что зависимости между переменными носят линейный характер, зная, что такое допущение не совсем правомерно. Это часто бывает необходимым и оправданным, если требуется построить модели, поддающиеся математическому описанию. Другим аспектом анализа является абстракция - понятие, которое в отличие от упрощения не так легко объяснить и осмыслить. Абстракция содержит или сосредоточивает в себе существенные качества или черты поведения объекта (вещи), но не обязательно в той же форме и столь детально, как это имеет место в оригинале. Большинство моделей - это абстракции в том смысле, что они стремятся представить качества и поведение моделируемого объекта в форме или способом, отличающимися от их действительной реализации. Так, в схеме организации работ мы пытаемся в абстрактной форме отразить трудовые взаимоотношения между различными группами работающих или отдельными членами таких групп. То обстоятельство, что подобная схема только поверхностно отображает реальные взаимоотношения, не умаляет ее полезности для определенных целей.
После того как мы проанализировали и промоделировали части или элементы системы, мы приступаем к их объединению в единое целое. Иными словами, мы можем путем синтеза относительно простых частей сконструировать некоторое приближение к сложной реальной ситуации. Здесь важно предусмотреть два момента. Во-первых, используемые для синтеза части должны быть выбраны корректно, и, во-вторых, должно быть корректно предсказано их взаимодействие (это будет подробно рассмотрено ниже, когда мы коснемся вопросов установления и проверки соответствия модели реальному объекту). Если все это выполнено должным образом, то эти процессы анализа, абстракции, упрощения и синтеза в итоге приведут к созданию модели, которая аппроксимирует поведение изучаемой реальной системы. Необходимо помнить, однако, что модель является только приближением (аппроксимацией), а поэтому не будет себя вести в точности, как реальный объект. Мы оптимизируем модель, но не реальную систему. Вопрос о том, существует ли действительно взаимосвязь между характеристиками нашей модели и реальностью, зависит от того, насколько правильно и разумно мы провели наши процессы анализа, абстракции, упрощения и синтеза.
5.1.7. Искусство моделирования
Искусство моделирования состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты. При моделировании следует учитывать следующие правила:
Разложить общую задачу исследования системы на ряд более простых задач,
Четко сформулировать цели,
Подыскать аналогии,
Рассмотреть специальный численный пример, соответствующий данной задаче,
Выбрать определенные обозначения,
Записать очевидные соотношения,
Если полученная модель поддается математическому описанию, расширить ее. В противном случае упростить.
Вообще говоря, упростить модель можно, выполнив одну из перечисленных ниже операций (в то время как для расширения модели требуется как раз обратное).
Имитационное моделирование используется для анализа и синтеза сложных систем в тех случаях, когда аналитическая модель слишком сложна или ее не удается разработать. Имитационная модель отображает процессы в системе при наличии внешних воздействий на систему, а связь между параметрами внутренних, внешних элементов и выходными параметрами задана в ней неявно в виде алгоритма моделирования.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательностью их протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Время в такой модели – один из ключевых моментов, позволяющих исследовать систему в процессе функционирования .
Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и т.п., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. Несомненное достоинство имитационных моделей - возможность моделирования даже в тех случаях, когда аналитические модели либо отсутствуют, либо (из-за сложности системы) не дают практически удобных результатов. Имитационная модель позволяет использовать практически любые, весьма сложные зависимости в описании системы.
Еще одно достоинство имитационных моделей - наглядность результатов моделирования (как окончательных, так и промежуточных). Если при аналитическом моделировании обеспечивается подобие характеристик объекта и модели, то при имитационном подобие имеется в самих процессах, протекающих в модели и реальном объекте. Промежуточные результаты имитационного моделирования, в отличие от результатов аналитического счета, имеют четкий физический смысл. Это облегчает обнаружение ошибок в программе - в особенности при работе в интерактивном режиме.
Имитационное моделирование напоминает физический эксперимент. С точки зрения сбора статистических данных имитационная модель дает возможность проводить активный эксперимент с помощью целенаправленных изменений параметров модели на некотором множестве реализаций. Последнее позволяет исследовать оптимизируемые функции качества (функционалы) системы с помощью ЭВМ.
Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.
В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования .
К недостаткам имитационного моделирования, особенно для сложных систем, относятся высокая стоимость их разработки, а также погрешности, которые в общем случае трудно или невозможно измерить. Кроме того, решение, полученное с помощьюметода имитационного моделирования, всегда носит частный характер, соответствуя фиксированным значениям параметров системы и начальных условий. Поэтому для всестороннего анализа системы приходится многократно моделировать процесс ее функционирования, варьируя исходные данные. В связи с этим имитационная модель не позволяет рассчитать оптимальное состояние системы, а только дает возможность при проведении численных экспериментов на ЭВМ изучить систему, предусмотреть се развитие, приблизить ее структуру или характеристики к оптимальным.
К недостатками имитационного моделирования также относят :
Большой расход машинного времени;
Малая точность вероятностных характеристик редких событий;
Трудность получения обобщающих выводов и рекомендаций;
Сложность оптимизации системы (поиск оптимума требует многовариантных расчетов и ведется при наличии вероятностных помех - случайных ошибок в результатах);
Перечисленные недостатки имитационного моделирования несколько смягчаются постоянным ростом технических характеристик (быстродействия и объема памяти) современных ЭВМ.
По указанным причинам применение имитационного моделирования считается целесообразным:
Для получения первичных данных об изучаемом явлении, если эти данные нельзя получить в натурном эксперименте;
Для проверки правомерности допущений, сделанных разработчиком в целях перехода к аналитическим методам;
Для демонстрации конечных результатов исследования на достаточно полной модели реальной ситуации;
В случаях, когда сложность ситуации намного превосходит возможности аналитических методов, известных разработчику.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени .
Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов.
В связи с этим определим словосочетание «компьютерное моделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать, что компьютерное моделирование - это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий :
1) определение цели моделирования;
2) разработка концептуальной модели;
3) формализация модели;
4) программная реализация модели;
5) планирование модельных экспериментов;
6) реализация плана эксперимента;
7) анализ и интерпретация результатов моделирования.
При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.
Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.
С какой целью проводится моделирование?
К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?
Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.
Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности.
Результаты имитационного моделирования работы стохастической системы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтому для нахождения характеристик системы требуется многократное повторение и последующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяется разновидность имитационного моделирования - статистическое моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, процессов, полей . По результатам статистического моделирования определяют оценки вероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующих функционирование и эффективность управляемой системы. Статистическое моделирование широко применяется для решения научных и прикладных задач в различных областях науки и техники. Методы статистического моделирования широко применяются при исследовании сложных динамических систем, оценке их функционирования и эффективности.
Заключительный этап статистического моделирования основан на математической обработке полученных результатов. Здесь используют методы математической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание, проверку гипотез) . Примером параметрической оценки является выборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрических методов большое распространение получил метод гистограмм .
Рассмотренная схема основана на многократных статистических испытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин. Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальной по затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто за счет использования более точных методов оценивания. Как известно из математической статистики, наибольшую точность при заданном объеме выборки имеют эффективные оценки . Оптимальная фильтрация и метод максимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок .
В задачах статистического моделирования обработка реализаций случайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов. Весьма важен также и контроль характеристик входных случайных воздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределений генерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача часто формулируется как задача проверки гипотез .
Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложных управляемых систем является стремление к уменьшению времени моделирования, а также проведение исследований в реальном масштабе времени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентной форме, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации .
С точки зрения основных инструментально-методологических средств моделирования выделяются следующие группы моделей: аналитические, графические, языковые и имитационные.
Аналитические модели
Такие модели строятся на основе выявленных между характеристиками систем функциональных или корреляционных зависимостей.
Функциональные зависимости предполагают взаимное однозначное соответствие двух или более величин. Они чаще встречаются в точных науках (физике твердого тела, механике).
Корреляционные зависимости предполагают зависимость средних величин (например, достаточно очевидно, что кривая спроса - это всего лишь проявление некоторой тенденции средних величин спроса на данный товар при фиксированных значениях, допустим, цены на товар). Значительная часть моделей экономических явлений построена именно на корреляционных зависимостях.
Однако аналитические модели являются наиболее исследованной группой моделей, для реализации и анализа которых разработан мощный математический аппарат. С помощью таких моделей возможно решение оптимизационных задач. Обобщенный вид функциональной модели можно проиллюстрировать примером канонической записи модели математического линейного программирования.
Найти min или max F(x) = ^cx, при ограничениях qx
Здесь F(x) - целевая функция, то есть специально сконструированный показатель эффективности системы;
х - вектор управляемых переменных, например, некоторых ресурсов;
с - ценностная оценка использования /-го вида ресурса;
q - функция потребления /-го вида ресурса;
а - ограничения по /-му виду ресурса.
Некоторые задачи управления могут быть сформулированы как нахождение такого состояния системы, оценка которого по заданному критерию является экстремальной.
При построении аналитических моделей, как правило, используются экспериментальные наблюдения за моделируемым объектом. Полученную совокупность наблюдений обрабатывают методом корреляционного анализа для выявления зависимости между наблюдаемыми величинами. В случае установления факта наличия зависимости методом регрессионного анализа подбирается функция, наилучшим образом соответствующая множеству экспериментальных наблюдений.
Для построения функциональных моделей используются показатели системы - экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние). Показатели системы - это проявление специфических отношений со средой. Из всех показателей нас более всего интересуют существенные, то есть необходимые и достаточные для построения модели. Показатели бывают количественные, имеющие эталон сравнения (метр, литр, ампер, джоуль), и качественные, для которых его нет или он редко используется (цвет, красота, представительность).
Значение количественного показателя называется параметром системы - это число, выражающее отношение между количественной характеристикой и эталоном (например, длина два метра). Значение качественного показателя - содержательная формула из принятого набора (например, невкусно, вкусно, очень вкусно).
Состояние системы в некоторый момент времени есть множество значений ее параметров или качественных характеристик. Если множество значений параметров или качественных характеристик представить как координаты в w-мерном пространстве, то состояние системы в момент t - это точка в пространстве состояний (рис. 10).
Рис. 10. Пространство состояний системы Функционирование системы проявляется в ее переходе из одного состояния в другое или сохранении некоторого состояния в течение определенного времени. Таким образом, функция системы проявляется в движении точки системы в пространстве состояний по некоторой траектории. При этом траекторией системы называется множество точек в пространстве состояний, определенных на заданном отрезке времени.
Достижение целевого состояния системы может происходить по разным траекториям. Возникает управленческая задача оценки качества траектории или эффективности функционирования системы.
