Моделирование в simulink схем принципиальных. И. В. Черных. "Simulink: Инструмент моделирования динамических систем". Использование подпрограмм пользователя

Пусть интервал разложения сигнала (см. рис. 2.1) стремится к бесконечности. При его увеличении частота = 2п/Т уменьшается до бесконечно малой величины:

Расстояние между спектральными компонентами при этом уменьшается до бесконечно малой величины, а значения превращаются в текущие значения частоты со (см. рис. 2.2). Интервал разложения стремится к бесконечной величине. Это позволяет при вычислении предела ряда Фурье в комплексной форме заменить знак суммы знаком интеграла, основную частоту О)! = 2п/Т - на?/со, а кратную частоту к(о { заменить текущей частотой со:

Интеграл, который записан в скобках выражения (2.13), обозначим

Тогда выражение (2.13) запишется более компактно:

Выражения (2.14) и (2.15) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Функция 5(/со) называется

спектральной плотностью. Она является комплексной и имеет размерность [В/Гц], если размерность сигнала и{Р) [В].

Преобразование Фурье (2.14) может быть вычислено на основе общих правил интегрирования, если сигнал удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости:

Это условие означает, что преобразование (2.14) существует для тех сигналов, площадь под кривой |м(?)| которых ограничена.

К этому классу не относятся, например, периодические сигналы, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. Однако это не означает, что для периодических сигналов спектральная плотность не может быть вычислена. Методы вычислений, специально разработанные для этих целей, используют так называемые обобщенные функции. Примером обобщенной функции является дельта-функция. Некоторые свойства дельта-функции приведены в приложении 1.

Преобразуем спектральную плотность сигналов, которые удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. Такие сигналы ограничены во времени.

С учетом формулы Эйлера перепишем выражение (2.14): где

Модуль |5(/со)| называется спектральной плотностью амплитуд сигнала или амплитудно-частотной характеристикой

(АЧХ) спектральной плотности сигнала. Функция ср(со) определяет фазо-частотную характеристику (ФЧХ) спектральной плотности сигнала. АЧХ и ФЧХ спектральной плотности являются непрерывными функциями частоты.

Перейдем к анализу спектральной плотности сигналов, не удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости. Такие сигналы не ограничены во времени и имеют бесконечно большую энергию.

На основе сигнала Ц)(?), удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости, построим периодически повторяющийся сигнал

и вычислим его спектральную плотность:
где

Размерность спектральной плотности периодически повторяющегося сигнала определяется размерностью спектральной плотности непериодического сигнала, из которого формируется периодически повторяющийся сигнал, т.е. [В/Гц].

Первый сомножитель полученного выражения в равенстве (2.16) определяет спектральную плотность ограниченного во времени сигнала и 0 (?), второй - спектральную плотность периодически повторяющейся дельта-функции

Убедимся в этом, вычислив указанную плотность:

При вычислении интеграла использовано фильтрующее свойство дельта-функции (см. приложение 1).

Если периодически повторяющуюся дельта-функцию разложить в ряд Фурье в комплексной форме, то се спектральную плотность можно выразить иначе:

При выводе последней формулы использовано выражение дельта-функции в частотной области. Приравнивая выражения спектральных плотностей, получим

Эта функция равна нулю, если со Ф к(х) ь и равна если со = к(о { . Подставим в (2.16) новое выражение 5 ф (/со):

Спектральная плотность периодически повторяющегося сигнала определяется значениями спектральной плотности ограниченного во времени сигнала г/ 0 (?), отсчитанными через интервал, равный со^ = 2л /Т.

Вычислим значение спектральной плотности ограниченного отрезком времени Т сигнала:

Умножим левую и правую части равенства на коэффициент 2/Т:

где а(/&а>1) - спектр ограниченного во времени сигнала в базисе экспоненциальных функций.

С учетом последней формулы спектральную плотность периодически повторяющегося сигнала запишем в виде

где модуль спектра определяется в базисе экспоненциальных функций формулой (2.9), а спектр фаз - формулой (2.10).

Значения АЧХ и ФЧХ спектральной плотности ограниченного во времени сигнала г/о(0> отсчитанные через интервал (щ = 2п/Т в точках частотной оси кщ, к = 0, ±1, ±2,..., определяют АЧХ и ФЧХ спектральной плотности этого периодического сигнала.

Рассмотрим некоторые свойства спектральной плотности сигнала, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости.

• 1. Спектральная плотность (2.14) - это комплексная и непрерывная функция частоты со, определенная в бесконечном интервале частот.
• 2. АЧХ и ФЧХ спектральной плотности удовлетворяют уравнениям

где +(л)? - выбранные значения частот.

3. Преобразования Фурье (2.14), (2.15) являются линейными преобразованиями. Поэтому спектральная плотность суммы сигналов равна сумме спектральных плотностей этих сигналов, а сумма сигналов определяется обратным преобразованием Фурье от суммы их спектральных плотностей:

где Uj(t) - i- й сигнал; б’/О"оз) - спектральная плотность г-го сигнала.

4. Спектральная плотность сигнала, ограниченная бесконечно малыми интервалами 2лА/(рис. 2.3) вблизи, например, частот -со 0 , со (), определяет гармонический сигнал с бесконечно малой амплитудой.

Убедимся в этом, считая, что из-за малости А/ значения спектральной плотности около частот -ю () , (н () равны соответственно S (-jco 0) = |А(70) 0)| _ - /

Рис. 2.3.

Поскольку в бесконечно малых интервалах спектральная плотность остается постоянной, можно вынести за знак интегралов выражения |50"со 0)|е;ф(10о) и |50"м 0)|е - - ,ф(а)о) :

Как следует из полученной формулы, амплитуда полученного сигнала определяется значением спектральной плотности, функцией (бшл -)/^ и весьма малым диапазоном частот А/. При стремлении Д/ к нулю функция (81 пх)/х стремится к единице, а амплитуда становится равной нулю.

5. Если все составляющие спектральной плотности ограниченного во времени сигнала сдвигаются по фазе на +(л)?о> то этот сиг- нал сдвигается во времени на величину +? 0 . Действительно:

6. При передаче ограниченного во времени сигнала через линейный четырехполюсник, АЧХ которого в полосе пропускания равна постоянной величине К 0 , а фазовая характеристика ср(со) = = -а)? 0 > форма этого сигнала остается неизменной, а сигнал запаздывает во времени на величину? 0:

Решение. Спектральная плотность задержанного на время? 0 импульса равна

где м(?) - импульс, который расположен в начале координат;

Вычисления дают следующий результат:

Запишем эту плотность в виде где

Последнее выражение определяет спектральную плотность сигнала и(?). В диапазоне частот спектральная плотность является положительной величиной, д(со) = = 1. Поэтому в этом диапазоне фазовая характеристика ф(со) = 0, так как (о)) = = со8ф(со) + ^ з1п ср(со).

В диапазоне частот спектральная плотность является отрицательной величиной. Фазовая характеристика в этом диапазоне равна ср(со) = я, так как

АЧХ спектральной плотности задержанного импульса совпадает с АЧХ спектральной плотности сигнала «(?), а ФЧХ определяется выражением

Спектральная плотность прямоугольного импульса г/(?), АЧХ и ФЧХ этой плотности изображены на рис. 2.4.

Рис. 2.4.

Пример 2.3. Вычислить спектральную плотность кодированного сигнала

где ак - элементы кодового слова, равные -1 или 1, т.е. = +1, и 0 (0 - прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью т и.

Решение. Применим формулу (2.14):

После замены переменной , получим

Пример 2.4. Вычислить спектральную плотность периодического сигнала, записанного в виде ряда Фурье в тригонометрической форме [см. формулу (2.11)]. Записать выражения АЧХ и ФЧХ постоянной, синусной и косинусной составляющих этого ряда.

Решение. Функции, определяющие формулу (2.11), - периодические, за исключением постоянной составляющей. Эту составляющую аппроксимируем периодической косинусной функцией с частотой, которая стремится к нулю:

Вычислим спектральную плотность периодического сигнала u(t ) = = a cos fit, записав его в виде

щ(():

Значение первого слагаемого, стоящего в скобках выражения, равно 1, если со = -Q, и равно 0 для других дискретных значений частоты со = kfl, k = 0, 1, ±2, ±3, ±4, .... Значение второго слагаемого равно 1, если со = Q, и равно 0 для других дискретных значений частоты to = kQ, k = 0, -1, ±2, ±3, ±4, .... Учитывая это, найдем спектральную плотность, АЧХ и ФЧХ спектральной плотности периодического сигнала u(t ) = a cos Q?:

Значения АЧХ спектральной плотности в точках частотной оси со = +?2 равны паТ/(2п) = аТ/2.

Значения ФЧХ спектральной плотности гармонического сигнала в точках частотной оси со = равны 0.

По формуле спектральной плотности косинусоидального сигнала можно найти спектральную плотность постоянной составляющей:

АЧХ спектральной плотности постоянной составляющей определяется значением

Вычисление спектральной плотности синусоидального сигнала аналогично вычислению спектральной плотности косинусоидального сигнала.

Запишем периодический сигнал u(t) = bsinQ? в виде

где

Спектральная плотность сигнала и 0 (О:

По найденному выражению найдем спектральную плотность периодического сигнала u(t ) = b sin Qt:

АЧХ спектральной плотности этого сигнала в точках частотной оси со = +П:

Значения ФЧХ спектральной плотности сигнала в точках частотной оси со = +П равны -я/2, п/ 2.

Полученные формулы для спектральных плотностей гармонических сигналов позволяют найти спектральную плотность суммы этих сигналов:

где - модуль спектра, равный амплитуде гармонического

сигнала; ф(П) = -экЛ%(Ь/а) - значение фазы спектра, равное значению начальной фазы этого сигнала.

Ряд Фурье в тригонометрической форме (2.11) содержит бесконечно большое число сумм гармонических сигналов:

Спектральная плотность этой суммы находится по последнему выражению спектральной плотности заменой П = ко)^. Используя эту формулу и формулу спектральной плотности постоянной составляющей, получим выражение спектральной плотности сигнала, записанного в виде ряда Фурье в тригонометрической форме:

где - модуль спектра; ф^о^) = - значение фазы спектра, равное значению начальной фазы гармонического сигнала.

Для периодической последовательности импульсов, приведенной на рис. 2.1,

Спектральная плотность

Вычисленная спектральная плотность является математической моделью периодически повторяющегося видеоимпульса прямоугольной формы в частотной области. График спектральной плотности показан на рис. 2.5. Дельта-функции на этом рисунке условно изображены стрелками.

Рис. 2.5.

импульсов

График содержит информацию о постоянной составляющей и гармонических сигналах, входящих в ряд Фурье в тригонометрической форме.

Пример 2.5. По спектральной плотности, вид которой приведен на рис. 2.6, вычислить выражение для сигнала «(?)

Рис. 2.6.

Решение. Спектральная плотность сигнала ограничена значениями частоты, равными -со в, со в. Найдем сигнал.

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине:

амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя,т.к.спектр становится сплошным.

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают т.е.

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности

определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала ) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Спектр мощности W()-вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге t 0, мнимая часть спектра Wuv () стремится к нулевым значениям, а реальная часть - к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение. Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

Энергетический спектр сигнала – это распределение энергии базисных сигналов, которые составляют негармонический сигнал, на оси частот. Математически энергетический спектр сигнала равен квадрату модуля спектральной функции:

Соответственно амплитудно-частотный спектр показывает множество амплитуд составляющих базисных сигналов на частотной оси, а фазо-частотный – множество фаз

Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром , а ее аргумент – фазовым спектром .

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье, позволяющее восстановить исходный сигнал, зная его спектральную функцию:

Например, возьмем прямогульный импульс:

Еще один пример спектров:

Частота Найквиста, теорема Котельникова .

Частота Найквиста - в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (спектральная плотность)(наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае при восстановлении аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных «хвостов» (подмена частот, маскировка частот), и форма восстановленного сигнала будет искажена. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть (теоретически) продискретизирован и затем восстановлен без искажений. Фактически «оцифровка» сигнала (превращение аналогового сигнала в цифровой) сопряжена с квантованием отсчѐтов - каждый отсчѐт записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления), при определенных условиях рассматриваемые как «шум квантования».

Реальные сигналы конечной длительности всегда имеют бесконечно широкий спектр, более или менее быстро убывающий с ростом частоты. Поэтому дискретизация сигналов всегда приводит к потерям информации (искажению формы сигнала при дискретизации-восстановлении), как бы ни была высока частота дискретизации. При выбранной частоте дискретизации искажение можно уменьшить, если обеспечить подавление спектральных составляющих аналогового сигнала (до дискретизации), лежащих выше частоты Найквиста, для чего требуется фильтр очень высокого порядка, чтобы избежать наложения «хвостов». Практическая реализация такого фильтра весьма сложна, так как амплитудно-частотные характеристики фильтров имеют не прямоугольную, а гладкую форму, и образуется некоторая переходная полоса частот между полосой пропускания и полосой подавления. Поэтому частоту дискретизации выбирают с запасом, к примеру, в аудио компакт-дисках используется частота дискретизации 44100 Герц, в то время как высшей частотой в спектре звуковых сигналов считается частота 20000 Гц. Запас по частоте Найквиста в 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц позволяет избежать подмены частот при использовании реализуемого фильтра невысокого порядка.

Теорема Котельникова

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой Fe, (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сигнала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискретизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала. Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в математике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), доказанной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возможность правильно осуществить дискретизацию аналогового сигнала и определяет оптимальный способ его восстановления на приемном конце по отсчетным значениям.

Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций теоремы Котельникова, произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой Fe может - быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частоту Fe (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета - верхняя частота спектра сигнала.

Частотное представление дискретных сигналов .

Большинство сигналов можно представить в виде ряда Фурье:

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 5 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (с), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

и проинтегрируем по всем

заменим выражением (11.54):

Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

Правая часть (11.58) и (11.39) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому резистору с сопротивлением К, то энергия, выделившаяся в этом резисторе за время и будет

Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.

Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде

Вводя обозначение

носит название спектральной плотности. Важным

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от со до со + й?со.

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде

- спектральная плотность для положительных частот.

так как при этом формулы получают более симметричный характер.

Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств .

Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде;

)

Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.

заключается в том, что чем уже график спектральной плотности (рис, 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем шире график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (г) и тем быстрее происходят изменения.г во времени.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной но сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более широкому графику спектральной плотности должен соответствовать более узкий график корреляционной функции и наоборот.

И 8 (со). Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция 8 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом;

Аналогичное определение относится к функции 8 (со). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):

и следовательно,

где О - дисперсия.

Взаимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Рассмотрим некоторые примеры.

Эта функция изображена на рис. 11.17, а. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11,17, б).

Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на пулевой частоте, что и следовало ожидать.

Эта функция изображена на рис. 11.18, а, В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет

3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых нериодичностей.

не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем управления. Будем рассматривать только центрированные

При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии:

учет постоянного смещения в системе управления является элементарным.

(рис. 11.21, а):

Пример такого процесса - тепловые шумы резистора, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом резисторе

Абсолютная температура.

На основании (11,68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция

отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х.

а следовательно, бесконечно большая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):

Полоса частот для спектральной плотности.

Этому процессу соответствует корреляционная функция

Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот:

Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение

Коэффициент, определяющий ширину полосы частот.

Процесс приближается к белому шуму, так

как для этих частот

Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:

Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде:

Корреляционная функция для этого процесса

Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, в.

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (11.4).

График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого произведения могут быть два случая.

относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно пулю:

так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными. Корреляционная функция будет равна

Вероятность нахождения их в разных интервалах.

Вероятность отсутствия

Для интервала времени

так как эти события независимые.

В результате для конечного промежутка Ат получаем

Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78):

Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис. 11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки с0 у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, относительно которых процесс стационарен. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы.

3. Нерегулярная качка. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся но случайному закону Так как сами объекты имеют определенную им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчёркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.

Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это

движение довольно близко к периодическому.

В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением

Дисперсия.

находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).

Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл. 11.3)

Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения), В этом случае величина О будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения.

Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная камка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. это будет физически нереальный процесс.

Более удобная формула для аппроксимации угла качки

Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности.

Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся.

Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24.

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,}

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}

(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Спектр и спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная плотность треугольного импульса

Для полноты мы кратко обсудим ниже понятия спектра и спектральной плотности. Применение этих важных понятий более подробно описано в . Мы не используем их для анализа временных рядов в этой книге, поэтому при первом чтении этот раздел можно опустить.

Выборочный спектр . При определении периодограммы (2.2.5) предполагается, что частоты являются гармониками основной частоты . Вводя спектр, мы ослабляем это предположение и позволяем частоте изменяется непрерывно в диапазоне 0-0,5 Гц. Определение периодограммы может быть изменено следующим образом:

, , (2.2.7)

где называется выборочным спектром . Подобно периодограмме, он может быть использован для обнаружения и оценки амплитуд синусоидальной компоненты неизвестной частоты , скрытой в шуме, и действительно это даже удобнее, если только не известно, что частота связана гармонически с длинной ряда, т. е. . Более того, он является отправным пунктом для теории спектрального анализа, использующей важное соотношение, приведенное в приложении П2.1. Это соотношение устанавливает связь выборочного анализа спектра и оценок автоковариационной функции:

. (2.2.8)

Таким образом, выборочный спектр - это косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Спектр . Периодограмма и выборочный спектр – удобные понятия анализа временных рядов, образованных смесью синусоид косинусоид с постоянными частотами, скрытыми в шуме. Однако стационарные временные ряды такого типа, как описанные в разд. 2.1, характеризуются случайными изменениями частоты, амплитуды и фазы. Для таких рядов выборочный спектр сильно флуктуирует и не допускает какой-либо разумной интерпретации .

Предположим, однако, что выборочный спектр был вычислен для временного ряда из наблюдений, являющегося реализацией стационарного нормального процесса. Как уже говорилось выше, такой процесс не имеет никаких детерминированных синусоидальных или косинусоидальных компонент, но мы можем формально провести анализ Фурье и получить значения , для любой частоты . Если повторные реализации наблюдений порождены стохастическим процессом, мы можем собрать популяцию значений и . Тогда мы можем найти среднее значение по повторным реализациям длины , а именно

. (2.2.9)

Для больших значений можно показать (см., например, ), что среднее значение автоковариации в повторных реализациях стремиться к теоретической автоковариации, т.е.

Переходя к пределу в (2.2.9) для , определяем спектра мощности как

, . (2.2.10)

Отметим, что так как

то для сходимости спектра должно убывать с ростом настолько быстро, что обеспечивать сходимость ряда (2.2.11). Так как спектр мощности это косинус – преобразования Фурье автоковариационной функции, знание автоковариационной функции математически эквивалентно знанию спектра мощности и наоборот. Далее мы будем называть спектр мощности просто спектром.

Интегрируя (2.2.10) в пределах от 0 да 1/2 , найдем дисперсию процесса

. (2.2.12)

Следовательно, так же как периодограмма показывает, каким образом дисперсия (2.2.6) ряда, состоящего из смеси синусоид и косинусоид, распределена между различными гармоническими компонентами, спектр показывает, как дисперсия стохастического процесса распределена в непрерывном диапазоне частот. Можно интерпретировать как приближенное значение дисперсии процесса в частотном диапазоне от до .

Нормированный спектр . Иногда более удобно определять спектр (2.2.10) при помощи автокорреляций , а не автоковариаций . Результирующая функция

, (2.2.13). Однако можно показать (см. ), что выборочный спектр стационарного временного ряда сильно флуктуирует вокруг теоретического спектра. Интуитивное объяснение этого факта заключается в том, что выборочный спектр соответствует использованию слишком узкого интервала в частотной области. Это аналогично использованию слишком узкого интервала группирования для гистограммы при оценке обычного распределения вероятностей, используя модифицированную, или сглаженную, оценку

, (2.2.14)

где - специально подобранные весы, называемые корреляционным окном, можно увеличить «ширину полосы» оценки и получит сглаженную оценку спектра.

На рис. 2.8 показана выборочная оценка спектра данных о партиях продукта. Видно, что дисперсия ряда сконцентрирована в основном на высоких частотах. Это вызвано быстрыми осцилляциями исходно ряда, показанного на рис. 2.1.