Линейные системы преобразования сигналов инвариантные к сдвигу. Преобразование детерминированного сигнала в линейных системах. Системы преобразования сигналов

Лабораторная работа №3

Часть 1.«Построение трехмерной модели предмета»

Часть 2. «Построение комплексного чертежа предмета»

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические рекомендации предназначаются для студентов первого курса очного обучения, изучающих дисциплину «Инженерная и компьютерная графика». В данной методической рекомендации описана работа в КОМПАС 3 D версии V 9 SP 2, в других версиях программы возможны некоторые отличия интерфейсов и последовательности действий для выполнения поставленных задач.

Цель работы - ознакомление студентов с основами работы графической программы Компас 3 D , при построении пространственных моделей поверхностей и предметов, создания ассоциативных чертежей.

Методические указания предназначены для самостоятельной индивидуальной работы студентов с компьютером и могут использоваться при дистанционном обучении. Основную работу по выполнению заданий студент начинает в аудитории под руководством и контролем преподавателя и самостоятельно заканчивает его в не учебное время . Данная лабораторная работа может быть выполнена в графической программе Компас-3D LT V9, которую можно бесплатно скачать из Интернета. Методические указания снабжены видеороликами, поэтапно показывающими алгоритм выполнения лабораторной работы.

При возникновении затруднительных ситуаций во время работы в системе КОМПАС-3 D LT вы можете быстро получить необходимую справочную информацию. Для этого разработана справочная система, которая содержит сведения о командах меню и панелях кнопок, типовых последовательностях выполнения различных операций и т.д.

Получить справочную информацию можно одним из следующих способов: вызвать подходящую команду из меню Справка, нажать клавишу F 1 для получения раздела справки о текущем действии или нажать кнопку Объектная справка на Стандартной панели.

1. .ЗАДАНИЕ.

Кафедра ИГ		Задание №3 “Моделирование геометрических тел”							Вариант № 31
									20011 /2012
Дано: изображение предмета в масштабе М (1:2). Требуется: 1. Распознать по изображению структуру заданного геометрического тела. 2. Составить матрицу смежности (на формате А4 или А3). 3. Построить три основных вида предмета – главный вид, вид сверху и вид слева. Выполнить сложный разрез предмета на месте главного вида. Выполнить простой разрез, на месте вида слева при необходимости совместив его с видом. Выполнить вынесенное сечение предмета по заданной наклонной секущей плоскости (на формате А3); 4. Определить параметры формы и положения всех тел-примитивов, составляющих предмет, и нанести размеры на изображения. Задание 3 выполняется на одном листе.
Разра-ботчик	Дата		Подпись	Рецензент	Дата	Подпись	Нормо-контроль	Дата		Подпись
Бобов П.Г.

Рис. 1

2. Алгоритмы выполнения задач.

2.1 . Перед началом выполнения лабораторной работы №3 необходимо распознать структуру заданного геометрического тела, проставить номера позиций тел примитивов, составить матрицу смежности и проставить все размеры.

Методические указания для выполнения этой работы можно скачать по адресу: dgec . mirea . ru →Курс «Инженерная и компьютерная графика»→Матрица смежности, Методические указания по выполнению курсовой работы.

В результате вы должны иметь два чертежа предмета рис.2 и рис.3, а также чертеж матрицы смежности рис.4. Все эти чертежи должны быть проверены преподавателем.

Рис.2 Рис.3

Рис.4

Часть 1 .

2.2. Построение 3 D модели предмета.

Основой для построения 3D модели является использование 3D операций, расположенных на панели «Редактирование детали», таких как «Операция выдавливания», «Вращения» и т.д.

Построение выполняют, согласно матрице-смежности, в порядке формообразования. Начинают с построения внешних тел-примитивов 1, затем 2 и т.д. Потом вырезаются тела-примитивы, ограничивающие отверстия.

Начнем с построения основания предмета (позиция 1) - призмы.

2.2.1. Построение эскиза призмы.

В диалоговом окне выберите тип документа Деталь и нажмите кнопку ОК. Перед Вами раскроется окно новой детали с рабочим полем, деревом построения детали и дополнительные панели.

1. Выполните команду Файл │ Сохранить или нажмите кнопку Сохранить на Панели стандартная.
2. В диалоговом окне Укажите имя файла для записи выберите папку, где вы хотите сохранить свой документ.
3. В поле Имя файла диалогового окна сохранения документов введите Предмет и номер своего варианта.
4. Нажмите кнопку Сохранить . В окне Информация о документе просто нажмите кнопку ОК . Поля этого окна заполнять необязательно.
5. Создайте эскиз на плоскости Z X . Для чего, укажите щелчком мыши в Дереве построения плоскость Z X (рис.5). При этом пиктограмма плоскости будет выделена зеленым цветом, а в окне детали появится условное обозначение плоскости – квадрат с узелками управления.

Рис.5

1. В соответствии с заданием построим основание предмета, прямоугольник со сторонами 90х100. Команды- Инструменты │ Геометрия │ Прямоугольники │ Прямоугольник . Фиксируем две точки прямоугольника любого размера. Для точной простановки нужных размеров вызываем команду - Инструменты│Размеры│Линейные│Линейный размер. Указываем две точки вертикального размера, появляется диалоговое окно, где мы проставляем нужный нам размер 90→ОК. Также проставляем горизонтальный размер 100→ОК.
2. Теперь нужно, чтобы начало системы координат располагалось в середине правой стороны прямоугольника. Для этого воспользуемся привязками. Выделим точку середины стороны прямоугольника. Команды - Инструменты │ Геометрия │Точки│Точка. Подводим курсор примерно к середине отрезка и курсор сам привязывается к середине и появляется подсказка «середина». Фиксируем точку левой кнопкой мыши.
3. Теперь воспользуемся командой параметризация - Инструменты│Параметризация│Точки│Объединить точки. Указываем последовательно на начало координат и середину стороны. Начало координат теперь располагается в выбранном нами месте. Рис.6. Видеоролик 2.exe

Рис.6

2.2.2. Построение 3 D модели призмы.

Рис.7

2.2.3 Построение эскиза цилиндра (позиция 2).

Рис. 8

2.2.4 Построение 3 D модели цилиндра.

Рис.9

2.2.5 Построение эскиза сферы (позиция 3).

1. Сферу будем моделировать операцией вращения. Будем вращать половину окружности вокруг оси. Для этого нужно в эскизе провести осевую линию и половину окружности. Плоскостью эскиза будет служить верхнее основание цилиндра. Выделим его курсором. Цвет при этом меняется на зеленый. Нажимаем кнопку Эскиз .
2. Проведем осевую линию. Команды - Внизу на панели свойств в окне Стиль устанавливаем стиль линии Осевая . Указываем первую точку прямой на окружности и вторую точку, так чтобы прямая проходила через центр окружности.
3. Построим половину окружности. Команды - Указываем центр дуги (перед этим не забудьте поменять стиль линии на Основной ), потом точку начало дуги и конечную точку. Рис.10

Рис.10

2.2.6 Построение 3 D модели сферы.

Рис.11

Видеоролик 5.exe

2.2.7 Построение эскиза тела-примитива 4 - призмы (ребро жесткости).

1. XY .
2. Фиксируем две точки с координатами (-70,20) и (-45,55). Команды - Инструменты │ Геометрия │ Точки │ Точка.
3. Через эти точки проведем вспомогательную прямую. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Вспомогательные прямые │ Вспомогательная прямая.
4. Теперь построим отрезок – первую точку указываем на основании предмета, а вторую на продолжении вспомогательной прямой чуть дальше зафиксированной второй точки. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Отрезки │ Отрезок.
5. Достраиваем прямоугольный треугольник, где построенный отрезок будет гипотенузой. Рис. 12.

Рис. 12

2.2.8 Построение 3 D модели ребра жесткости.

Рис.13

Видеоролик 6.exe

2.2.9 Моделирование цилиндрического отверстия (поз.5).

1. В качестве плоскости для эскиза выбираем плоскость XY .
2. Построим половину окружности с центром в начале координат и радиусом 30. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Дуги │ Дуга. Центр дуги указываем в начале координат, в окне Радиус проставляем 30 → Enter . Указываем начальную точку дуги, совпадающую с основанием предмета и конечную точку дуги → Esc . Соединяем отрезком конечные точки дуги. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Отрезки │ Отрезок → Esc . Рис.14

Рис. 14

Рис. 15

Видеоролик 7. exe

2.2.10 Моделирование вертикального цилиндрического отверстия (поз. 6).

1. В качестве плоскости для эскиза выбираем плоскость ZX .
2. Построим окружность с центром в начале координат и радиусом 20. Команды - Центр окружности указываем в начале координат, в окне Радиус проставляем 20 → Enter . Отжимаем кнопку Эскиз. Рис. 16.

Рис. 16

Рис. 17

Видеоролик 8.exe

2.2.11 Моделирование горизонтального призматического отверстия (поз. 7).

1. В качестве плоскости для эскиза выбираем плоскость XY .
2. Строим квадрат по заданным размерам. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Многоугольник. На панели свойств устанавливаем – Количество вершин → 4, По описанной окружности. Указываем координаты центра 0, 55 → Enter . Указываем координаты вершины 20, 55 → Enter . Рис. 18.

Рис. 18

Рис. 19

Видеоролик 9.exe

2.2.12 Моделирование цилиндрических отверстий (поз.8).

1. В качестве плоскости для эскиза выбираем плоскость ZX .
2. Построим окружность R =10 и координатами центра(-80, 25). Команды - Инструменты │ Геометрия │ Окружности │ Окружность. Выделим построенную окружность (нажатием левой кнопки мыши) и построим вторую с помощью команды «симметрия». Команды - Редактор │ Симметрия. Указываем первую точку оси симметрии – начало координат, а вторая ставится произвольно на горизонтальной прямой (которая появляется в виде пунктира). Esc. Рис. 20

Рис. 20

Рис. 21

Часть 2.

3. Построение ассоциативного чертежа предмета.

Требуется:

1. Выполнить компоновку изображений;

2. Построить три основных вида предмета – главный вид, вид сверху и вид слева. Выполнить сложный разрез предмета на месте главного вида. Выполнить простой разрез на месте вида слева, при необходимости совместив его с видом. Выполнить вынесенное сечение предмета по заданной наклонной секущей плоскости (на формате А3);

3. Нанести на изображения параметры формы, положения, габаритные размеры тела и при необходимости, обозначения изображений.

Примечание: задачи выполняются на одном листе.

3.1. Алгоритм выполнения компоновки.

Количество изображений в задании определено. Это три основных вида, и вынесенное сечение заданной проецирующей наклонной плоскостью. Для выделения формы внутреннего контура предмета необходимо выполнить на главном изображении сложный фронтальный ступенчатый или ломаный разрез. На изображении слева, как правило, выполняется простой профильный разрез, либо вид слева, совмещенный с простым профильным разрезом. (В конкретном примере выполняется фронтальный ступенчатый разрез, а на виде слева, совмещенный с профильным видом простой профильный разрез.) Компоновка изображений геометрического тела обеспечивает их рациональное размещение на поле формата для нанесения размеров и обозначений рис. 22 . На чертеже показываются во взаимной проекционной связи три изображения (разрез на месте главного вида, разрез, на месте вида слева, совмещённый с видом, и вид сверху), а в правом нижнем углу над основной надписью располагается вынесенное сечение. При построении изображения вынесенного сечения геометрического тела допускается применять также другие преобразования, позволяющие рационально разместить

Рис.22

изображение сечения на поле чертежа - это плоскопараллельный перенос и вращение (поворот). В рассматриваемом примере задания выбрано положение, полученное плоскопараллельным переносом и вращением, на что указывается дополнительным знаком рядом с обозначением сечения.

Если вынесенное сечение не помещается на поле чертежа, то поскольку оно симметричное, допускается изображать только половину относительно его оси симметрии.

Правильно скомпонованный чертеж должен отвечать следующим основным требованиям:

Равномерное чередование областей изображения и свободных частей поля чертежа

Не допускается «наложение» изображений друг на друга, кроме случаев, предусмотренных стандартами

Изображение со всеми надписями должно занимать примерно восемьдесят процентов от свободной площади формата.

3.2. Построение изображений.

3.2.1. Построение стандартных видов.

1. Так как нам нужно выполнить чертеж предмета создадим лист формата А3. Команды - Файл │ Создать → Чертеж → ОК. Появляется лист формата А4 с основной надписью. Для изменения формата нажимаем правой кнопкой мыши в поле чертежа. В контекстном меню выбираем «Параметры текущего чертежа». В появившемся окне Параметры выбираем Параметры первого листа → Формат. В окне Обозначение вместо А4 ставим А3 и в разделе Ориентация ставим точку Горизонтальная → ОК. Рис. 23.

Рис. 23

Видеоролик 11.exe

1. Для построения изображений воспользуемся следующими командами. Вставка │ Вид с модели │ Стандартные. Открывается окно Выберите модель. Ищем файл с сохраненной моделью нашего предмета → ОК. Появляются габаритные прямоугольники видов. На панели свойств выбираем Ориентация главного вида → Спереди, Схема видов →меняем зазор по горизонтали и вертикали на 25→ОК. Располагаем виды на поле чертежа и фиксируем мышью. Рис.24. Видеоролик 12.exe

Рис. 24

3.2.2. Построение сложного ступенчатого разреза.

1. На месте «вида спереди» должен быть ступенчатый разрез, поэтому этот вид удаляем. В дереве построений правой кнопкой мыши выделяем Спереди → Удалить вид → ОК. Делаем текущим вид сверху. Выделяем правой кнопкой мыши Проекционной вид 2 → Текущий. Вид меняет цвет на синий.
2. Построим вспомогательные прямые. Они должны проходить через цилиндрические отверстия. Команды - Инструменты │ Геометрия │ Вспомогательные прямые. Рис.25

Рис.25

1. На виде сверху проставим обозначение ступенчатого разреза. Команды - Инструменты │ Обозначения │ Линия разреза. Указываем последовательно начало, точку перегиба. Нажимаем кнопку «сложный разрез» на панели свойств и для завершения, перед последней точкой отжимаем кнопку. Появляется фантом габаритного прямоугольника разреза. Совмещаем основание с вспомогательной прямой и фиксируем разрез. Рис. 26. Видеоролик 13.exe

Рис. 26

Рис. 27

Видеоролик 14.exe

3.2.3. Построение простого разреза совмещенного с видом слева.

1. Делаем текущим вид слева. Нажимаем правой кнопкой Проекционной вид 3→Текущий. С правой стороны от оси симметрии, через начало координат построим прямоугольник. Команды - Инструменты│Геометрия│Прямоугольники│Прямоугольник → Esc.
2. Выполнение местного разреза. Команды - Вставка│Вспомогательный вид│Местный разрез. Курсором указываем прямоугольник (как замкнутую кривую). Указываем положение секущей плоскости (появляется фантом секущей плоскости) на виде сверху через центр отверстия. На виде слева появляется половина разреза. Рис.28.

Рис. 28

Видеоролик 15.exe

Рис. 29

Видеоролик 16.exe

3.2.4. Построение вынесенного сечения наклонной плоскостью.

1. Для построения сечения сохраним исходную модель под другим названием и откроем ее. Ориентация →Вид спереди. Создадим эскиз в плоскости XY . Построим след секущей плоскости, примерно также, как указано в задании, отрезком прямой (главное, чтобы прямая не пересекала горизонтальные отверстия). Рис. 30

Рис. 30

Рис. 31

Видеоролик 17.exe

1. Выделим плоскость сечения (она поменяет свой цвет на зеленый). Нажимаем кнопку Эскиз . Теперь на эскизе сечение располагается в натуральную величину. Далее команды- Операции│Спроецировать объект. Указываем плоскость сечения, и оно проецируется на плоскость эскиза → Esc .
2. Выделим сечение рамкой и копируем в буфер. Команды - Редактор│Копировать. Появляется локальная система координат. Указываем положение базовой точки (например, центр отверстия) и открываем чертеж предмета.
3. Вне поля чертежа командой Вставить→ Esc , вставляем сечение. Рис. 32. Видеоролик 18.exe

Рис. 32

1. Оформим сечение согласно требованиям стандарта и поместим на поле чертежа. Для этого проведем через ось симметрии горизонтальный отрезок, чтобы удалить половину сечения, так как места для размещения сечения целиком мало. Командой - Редактор│Разбить│Кривую указываем последовательно кривые для разбиения → Esc . После этого выделяем нужные нам кривые и клавишей Delete удаляем их.
2. Заштрихуем плоскость сечения. Команда - Инструменты│Штриховка. Курсором указываем область, где располагается штриховка. Нажимаем кнопку Создать объект на .Esc .
3. Выделяем рамкой сечение и перетаскиваем его в нужное место на поле чертежа.
4. Меняем стиль отрезка на осевую линию, для этого два раза нажимаем левой кнопкой мыши. На появившейся Панели свойств меняем в окне Стиль, Основная →Осевая. Нажимаем кнопку Создать объект на Панели специального управления .Esc .
5. В текстовом редакторе напишем обозначение сечения и вставим знак «повернуто». Команды - Инструменты│Ввод теста. Указываем точку привязки текста, набираем В-В (высота шрифта 10 мм.) и в закладке Вставка активируем кнопку Вставить специальный символ. В открывшемся окне находим знак «повернуто». Нажимаем кнопку Создать объект на Панели специального управления .Esc .
6. Обозначим плоскость сечения. Для этого проведем вспомогательную линию в соответствии с заданием. Команды - Инструменты│Обозначения│Линия разреза. Указываем начальную и конечную точки разреза. Esc . Удалим вспомогательную линию.

Рис. 33. Видеоролик 19.exe

Рис. 33

3.3. Простановка размеров.

Поскольку параметры тел-примитивов, составляющих геометрическое тело (предмет) были определены ранее, то теперь необходимо внести коррективы, вызванные изменением типа изображений и произвести окончательную простановку размеров с учетом ГОСТ 2.307-68.

3.3.1. Алгоритм нанесения размеров

Последовательность простановки размеров определяется обратно к последовательности формообразования (от внутренних к внешним от меньших к большим,) то есть начинают с меньших внутренних и заканчивают наибольшими внешними, причём в начале ставятся параметры формы, а затем положения. (Если матрица смежности заполнена правильно, то такая последовательность как правило выполняется автоматически, если простановку размеров производят в порядке обратном последовательности заполнения матрицы.) Начинают простановку с тела-примитива, имеющего больший номер и заканчиват базовым телом.

Требования по нанесению размеров:

Размеры конкретного тела-примитива, проставляются на тех изображениях, ради которых они выполнены;

Размеры внешних форм ставятся со стороны вида, а внутренних – со стороны разреза;

Размеры не допускается наносить в виде замкнутой размерной цепи, за исключением случаев, когда один из них справочный;

Не допускается отсутствие какого-либо размера;

- размерные линии, как правило, не пересекаются между собой и отстоят друг от друга на расстояние не менее 7 мм и от контурных линий на расстояние не менее 10 мм;

Более подробно требования по нанесению размеров изложены в ГОСТ 2.307-68.

3.3.2. Последовательность простановки размеров.

1. Сначала необходимо поставить параметры формы каждого тела-примитива: у цилиндров (8), (6), (5), (2) - значение диаметров, дополнительно на цилиндре (8) указать, что их два; 2 отв. … Далее, для призм надо указать длину, ширину: так, для призмы (7) указывается знак квадрата и значение его сторон..., для призмы (4) - высота, и ширина. Для призмы (1) - длина, ширина, высота.
2. Параметры положения указываются относительно выбранной канонической системы координат. Для цилиндров (6), (5), (2) не указывают параметры положения, так как они равны "0", для цилиндра (8) - два параметра положения указывают на виде сверху. Для сферы и цилиндра (2) указывается один общий параметр. Для призмы (1), и цилиндра (8) указывается также один параметр, т.к. второй параметр призмы (8) совпадает с высотой цилиндра (2).

После простановки параметров формы и положения необходимо указать габаритные размеры предмета, если эти размеры можно вычислить, то они указываются как справочные (вверху над ними ставится знак *).

1. Простановку размеров осуществляют с помощью команд, расположенных на панели «Размеры» рис. 34. При этом может понадобиться перемещение ранее сделанных изображений, для этого выделяют необходимые изображения и с помощью команды «Сдвиг» рис. 35 на панели «Редактирование» перемещают в нужное место. Что бы при редактировании не возникали трудности надо проследить, что бы все изображения были разрушены .
2. После простановки размеров надо удалить оставшиеся вспомогательные построения (если остались), линии невидимого контура и провести необходимые осевые линии (если не проведены).
3. Заключительным этапом выполнения задания является оформление основной надписи по ГОСТ 2.104-2006. “Основные надписи”. Заполняется после её активации (дважды нажать левой кнопкой мыши) согласно ГОСТ 2.304-68. Рис. 22.
4. Проверьте, совпадает ли количество проставленных параметров (размеров), с подсчитанными ранее, в матрице смежности. Отстоят ли размерные линии друг от друга и от контурных линий, на установленные стандартом расстояния. Не проходят ли размерные линии через обозначения разрезов.

Видеоролик 20.exe

3 .4. Заполнение основной надписи.

1. Для того чтобы можно было заполнять основную надпись ее надо сделать активной. Выделяем ее, нажав левой кнопкой мыши два раза в любом месте основной надписи. Вводим в соответствующие разделы обозначение, название листа и фамилии - свою и преподавателя. В обозначении проставляем в первые три цифры номер варианта.

Рис. 34

Видеоролик 21.exe

Библиографический список

1. Герасимов А.А. Самоучитель КОМПАС – 3 D V 9. Трёхмерное проектирование. – СПб.: БХВ – Петербург, 2008. - 400 с.

2. Кудрявцев Е.М. КОМПАС – 3 D V 8. Наиболее полное руководство. М.: ДМП Пресс, 2006. – 928 с.

3. Потёмкин А. Трёхмерное твердотельное моделирование. – М.: Компьютер Пресс, 2002. – 296 с.

4. Чекмарев А.А. Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 2000, 365с.

5. Государственные стандарты. Единая система конструкторской документации. Основные положения. М. : Изд - во стандартов, 1988 г. - 344 с.

СОДРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………..…....2

1. Задание..……………….......................................................................3

2. Алгоритмы выполнения задач…………………..………………….4 2.1.Перед началом выполнения лабораторной работы №3 ……………………………..……………………………………………4 2.2. Часть 1. Построение 3D модели предмета………………………………………………………………...6

3. Часть 2. Построение ассоциативного чертежа предмета……………………………………………………………….22

3.1. Выполнение компоновки изображений………………………...22

3.2. Построение изображений………………….…………………….24

3.3. Нанесение на изображения размеров……….…………………..33

3.4. Заполнение основной надписи………………………………….36

Библиографический список………………………………………….37

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 13. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.

Когда ты смотришь в бездну, бездна смотрит в тебя.

Фридрих Ницше. Немецкий философ-моралист, ХIХ в.

Человек и бездна – две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться от этой точки подальше.

Эрик Трубов. Русский геофизик-оптимист, ХХ в.

1. Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Двумерный линейный импульс. Двумерная единичная ступенька. Экспоненциальная последовательность. Разделимые последовательности. Конечные последовательности. Периодические последовательности.

2. Двумерные системы. Базовые операции. Линейные системы. Инвариантность к сдвигу. Импульсный отклик. Двумерная свертка. Разделимые системы. Устойчивость систем. Специальные двумерные системы.

3. Частотные характеристики сигналов и систем. Частотный отклик системы. Импульсный отклик системы. Свойства двумерного преобразования Фурье.

4. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный растр дискретизации. Дискретные преобразования Фурье. Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Произвольный растр дискретизации. Двумерное интегральное преобразование Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала. Интерполяция дискретных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации.

5. Частотный анализ многомерных сигналов. Периодические последовательности. Конечные последовательности. Многомерные последовательности.

Введение.

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

13.1. Двумерные и многомерные сигналы .

Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t - вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков - первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

s(x,y) = sin(x 2 +y 2), - (13.1.1)

График функции (в пределах одного периода) приведен на рис. 13.1.1.

Двумерный дискретный сигнал (цифровой массив) - это функция, определенная на совокупности пар числовых значений координат с определенным шагом дискретизации x и y. В общем случае, при различной физической размерности аргументов x и y, значения x и y не равны друг другу:

s n,m = s(nx,my), - . (13.1.1")

Элемент последовательности s n,m представляет собой отсчет двумерной функции s в координатной точке (x=nx,y=my), где значения x и y – независимые переменные (аргументы) функции. Для числовых массивов значения шага дискретизации по аргументам также могут приниматься равными 1 (независимо от размерности) и использоваться аргументация s(n,m)  s n,m . Результаты геофизических съемок какого-либо одного геофизического параметра по поверхности земли относятся к двумерным функциям: дискретным - если это отсчеты в отдельных точках по определенной координатной сети (x,y), или смешанным - если это непрерывная регистрация данных по профилям (например - мощности экспозиционной дозы гамма излучения горных пород при аэросъемке). Но в настоящее время геофизические съемки относятся даже не к двумерным, а к многомерным функциям, так как регистрируется, как правило, сразу несколько физических параметров геологических сред. Так, например, при спектрометрической съемке естественной радиоактивности горных пород регистрируется содержание в горных породах урана, тория и калия, в гравиразведке - трехкоординатный вектор силы тяжести, и т.п. Если на какой-либо площади проведена съемка нескольких видов геофизики, то их результаты также могут рассматриваться в совокупности, как многомерная функция физических параметров данной геологической среды.

По определениям (13.1.1) двумерные функции и сигналы, равно как и многомерные, имеют бесконечную протяженность по координатам. На практике мы всегда имеем дело с конечными координатами наших данных. Учитывая это, будем считать, что значения наших сигналов за пределами определенных координат равны нулю.

Отметим некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие специальные названия.

Двумерный единичный импульс (nx,my) =  n,m или единичный отсчет:

 n,m = 1, при n = m = 0.

0, при n 0, m 0.

 n,m =  n  m ,

где  n ,  m - одномерные единичные импульсы (импульсы Кронекера) по координатам n и m. Стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса приведено на рис. 13.1.2.

Произвольное расположение двумерного единичного импульса по координатам n 1 , m 1 соответственно записывается в виде: ((n-n 1)x,(m-m 1)y) =  n-n1,m-m1 . Попутно напомним, что математическая запись импульса Кронекера обозначает не единичный отсчет, а функцию, определяющую место положения единичного отсчета и нулевые значения по остальным координатам (аргументам).

Двумерный линейный импульс представляет собой последовательность единичных отсчетов по одной координате: s(n,m) = (n) или s(n,m) = (m).

На рис. 13.1.3 приведены два двумерных линейных импульса, первый - по координате m = 0: s(n,m) = (m), и второй импульс по координате n = 2: s(n,m) = (n-2).

Очевидно, что для P-мерных случаев точно таким же образом могут быть определены P-мерные единичные импульсы, P-мерные линейные импульсы, P-мерные площадные импульсы и т.д., хотя понятие импульса, заимствованное из теории одномерных сигналов, здесь несколько не к месту.

Двумерная единичная ступенька u(n,m), представленная на рис. 13.1.4, определяется выражением:

u(n,m) = 1, при n 0 и m 0,

0, в остальных случаях.

u(n,m) = u(n) u(m),

где u(j) представляют собой единичные ступеньки соответственно по координатам n и m: u(j)=1 при j 0, u(j)=0 при j
Экспоненциальная последовательность : s(n,m) = a n b m , - , где а и b в общем случае комплексные числа. При а = exp(j 1), b = exp(j 2), |а|=1, |b|=1:

s(n,m) = exp(jn 1 +jm 2) = cos(n 1 +m 2)+jsin(n 1 +m 2).

Экспоненциальные последовательности, как и в одномерном случае, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Разделимые последовательности. Разделимой называют последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей. Так, для двумерной разделимой последовательности:

s(n,m) = s(n) s(m).

Разделение возможно для немногих практических сигналов. Однако любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов разлагается на конечную сумму разделимых последовательностей:

s(n,m) = s i  n (n) s i  m (m),

где N- число ненулевых строк или столбцов массива. В крайнем случае, для этого достаточно выразить s(n,m) в виде суммы отдельных строк:

s(n,m) = s(n,i) (m-i). (13.1.2)

Конечные последовательности. Важным классом сигналов являются последовательности конечной протяженности, для которых сигнал равен нулю вне определенной области, называемой опорной областью сигнала. На рис.13.1.5 условно представлена двумерная последовательность конечной протяженности, значения которой отличны от нулевых только внутри ограниченной прямоугольной области -3 n 2, -2 m . Опорная область сигнала может быть произвольной формы и выходить за пределы сигнала, частично включая нулевые отсчеты. Отсчеты за пределами опорной области считаются равными нулю.

Периодические последовательности. Двумерные последовательности могут быть периодическими, регулярно повторяющимися в пространстве. Последовательность, удовлетворяющая условиям:

s(n,m+M) = s(n,m),

s(n+N,m) = s(n,m), (13.1.3)

обладает периодичностью в двух направлениях, по n и по m. Значения М и N называют интервалами периодичности сигнала соответственно по координатам m и n (горизонтальными и вертикальными интервалами периодичности). Прямоугольная форма области периода (пример на рис.13.1.6) наиболее удобна при обработке данных, но не является единственно возможной.

Для двумерных последовательностей условия (13.1.3) могут рассматриваться как частный случай общих условий периодичности:

s(n+N 1 , m+M 1) = s(n,m), (13.1.4)

s(n+N 2 , m+M 2) = s(n,m),

D = N 1 M 2 - N 2 M 1 0.

Упорядоченные пары (N 1 ,M 1) и (N 2 ,M 2) представляют собой смещения от отсчетов одного периода к соответствующим отсчетам других периодов и могут рассматриваться как векторы N и M , которые образуют области периодов в форме параллелограмма. Линейная независимость векторов обеспечивается при ненулевом определителе D, а количество отсчетов в пределах периода равно |D|. Пример периодической последовательности с векторами (4,4) и (3,-5) приведен на рис. 13.1.7.

Понятие периодичности можно обобщить на многомерные сигналы. P-мерный сигнал s( ) будет представлять собой P-мерную периодическую последовательность, если существует P линейно независимых P-мерных целочисленных N -векторов периодичности, с которыми выполняется условие:

s() = s(+ ), i = 1,2,3, ... ,P.

Столбцы векторов N i образуют матрицу периодичности N размером P х P. Векторы периодичности матрицы линейно независимы при наличии у матрицы ненулевого определителя. Абсолютное значение определителя равно числу отсчетов в периоде. Последовательность s( ) прямоугольно периодична для случаев диагональной матрицы N . Если функция s( ) периодична с матрицей периодичности N , то для любого целочисленного вектора Р имеет место s(+ ) = s(), и матрица PN также будет матрицей периодичности для s( ) . Отсюда следует, что любая многомерная периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности.

13.2. Двумерные системы.

Системы осуществляют преобразование сигналов. Формализованная система - это оператор (операция) отображения входного сигнала на выходной: z(x,y) = Т.

Базовыми операциями в системах, комбинациями которых осуществляются преобразования, являются операции скалярного умножения, сдвига и сложения:

z(n,m) = c s(n,m),

z(n,m) = s(n-N,m-M),

z(n,m) = s(n,m)+u(n,m).

Используя базовые операции, любую двумерную последовательность можно разложить на сумму взвешенных двумерных единичных импульсов:

s(n,m) = s(i,j) (n-i,m-j). (13.2.1)

Обобщением скалярного умножения является пространственное маскирование:

z(n,m) = c n,m s(n,m). (13.2.2)

Правая часть равенства (13.2.2) представляет собой поэлементное произведение входного сигнала на совокупность чисел с n,m .

Кроме линейных операций в системах используются также безынерционные нелинейные преобразования с независимым нелинейным воздействием на значения отсчетов входной последовательности. Пример операции - возведение в квадрат:

z n,m = (s n,m) 2 .

Линейные системы. Система считается линейной при выполнении двух условий:

1. Пропорциональное изменение входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала.

2. Суммарный сигнал двух входных последовательностей дает суммарный сигнал двух соответствующих выходных последовательностей.

Другими словами, если оператор Т описывает линейную систему и имеет место z(x,y) = Т, q(x,y) = Т, то Т = az(x,y)+bq(x,y). Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции сигналов.

В выражении (13.2.1) значения s(i,j) можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов. Применяя оператор преобразования Т[.] к левой и правой части (13.2.1), получаем:

Т = у(n,m) = s(i,j) T[n-i,m-j)],

z(n,m) = s(i,j) h ij (n,m), (13.2.3)

где h ij (n,m) - отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик h ij (n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Т = z(n-N,m-M).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач - линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (13.2.3), описывается выражением:

h ij (n,m) = T[(n-n i ,m-m j)].

Для частного случая i = j = 0 имеем:

h o (n,m) = T[(n,m)].

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

h ij (n,m) = h o (n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (13.2.4)

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (13.2.4) в выражение (13.2.3), получаем:

z(n,m) =  i  j s(i,j) h(n-i,m-j). (13.2.5)

Двумерная дискретная свертка (13.2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

z(n,m) =  k  l h(k,l) s(n-k,m-l), (13.2.5")

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении – результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (**):

z(n,m) = h(k,l) ** s(n-k,m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() ** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k,l) = h(k) h(l), (13.2.6)

то выражение (13.2.5") принимает вид:

z(n,m) =  k h(k)  l h(l) s(n-k,m-l), (13.2.7)

или: z(n,m) =  k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) =  l h(l) s(n,m-l).

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (13.2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика:  k  l |h(k,l)| .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс  i (t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы h ij (t). При известном полном ансамбле значений h ij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов s i (t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

z j (t) =  i  k h ij (k) s i (t-k). (13.2.8)

13.3. Частотные характеристики сигналов и систем.

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(kx,ly). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n,m) = exp(jnx x +jmy y),

где  x и  y – значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая x = 1, y = 1 и выполняя двумерную свертку (13.2.5), получаем:

z(n,m) = h(k,l) exp =

Exp(jn x +jm y) h(k,l) exp(-jk x -jl y) = H( x , y) exp(jn x +jm y).

H( x , y) = h(k,l) exp(-jk x -jl y). (13.3.1)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H( x , y), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2 по обеим частотным переменным:

H( x +2k, y +2l) = H( x , y).

Пример расчета частотного отклика системы.

Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25, h(0, 1) = 0.125, h( 1,0) = 0.125, h( 1, 1) = 0.0625.

Частотный отклик:

H( x , y) = h(n,m)exp(-jn x -jm y) = 0.25+0.125+

0.0625 = 0.25(1+cos  x)(1+cos  y).

Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости ( x , y), приведенный на рис. 13.3.1, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре ( x =0,  y =0) со спадом до нуля при  x =  и  y = .

Рис. 13.3.1. Частотная характеристика ФНЧ.

При разделимости импульсного отклика частотный отклик многомерных систем также является разделимой функцией:

h(k,l)= q(k)g(l) Q( x)G( y)= H( x , y)

Q( x) =  k q(k) exp(-jk x).

G( y) =  l g(l) exp(-jl y).

Импульсный отклик системы. Выражение (13.3.1) описывает разложение функции Н( x , y) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k,l), т.е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H( x , y) можно получить импульсный отклик системы:

h(k,l) = H( x , y) exp(jk x +jl y) d x d y . (13.3.2)

Пример расчета импульсного отклика фильтра.

Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида: H( x , y) = 1 при | x | a b

Импульсный отклик: h(k,l) = exp(jk x +jl y) d x d y .

Система разделима: h(k,l)= exp(jk x) d x exp(jl y) d y =  .

Пример расчета неразделимого импульсного отклика.

Определить импульсный отклик идеального кругового фильтра нижних частот:

H( x , y) = 1 при  x 2 + y 2

Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах: = ,

arctg( y / x), = arctg(m/n), при этом выражение 13.3.2 перепишется в следующем виде:

h(n,m) = exp dd=

= J o () d= (R/2 J 1 (R) / ,

где J o (…), J 1 (…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

На рис. 13.3.2 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен при R = 1 с ограничением по N = 10 и M = 10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 13.3.2. Круговой низкочастотный фильтр (справа - сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

S( x , y) =  n  m s(n,m) exp(-jn x -jm y). (13.3.3)

s(n,m) = S( x , y) exp(jn x +jm y) d x d y . (13.3.4)

2. Теорема о свертке.

z(n,m) = h(n,m) ** s(n,m)  H( x , y) S( x , y) = Z( x , y).

z(n,m) = c(n,m) s(n,m)  C( x , y) ** S( x , y) = Z( x , y).

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

аs(n,m)+bz(n,m)  aS( x , y)+bZ( x , y).

2) Пространственный сдвиг:

s(n-N,m-M)  S( x , y) exp(-jN x -jM y).

3) Дифференцирование:

dS( x , y)/d x  -jn s(n,m),

dS( x , y)/d y  -jm s(n,m),

d 2 S( x , y)/(d x d y)  -nm s(n,m).

4) Комплексное сопряжение:

х*(n,m)  S*(- x ,- y).

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n,m):

S( x , y) = S*(- x ,- y).

Re = Re .

Im = -Im .

5) Теорема Парсеваля:

 n  m s(n,m) s*(n,m) = S( x , y) S*( x , y) d x d y .

В частности, при s(n,m) = s(n,m):

 n  m |s(n,m)| 2 = |S( x , y)| 2 d x d y ,

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n,m), a функция |S( n , m)| 2 - спектральную плотность энергии сигнала.

13.4. Дискретизация двумерных сигналов .

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

s(n,m) = s a (nx,my),

где x и y - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала s a (x,y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения x и y, как и в одномерном случае, принимаются равными 1.

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот  x и  y:

S a ( x , y) = s a (x,y) exp(-j x x-j y y) dxdy. (13.4.1)

s a (x,y) = S a ( x , y) exp(j x x+j y y) d x d y . (13.4.2)

Дискретные преобразования Фурье:

S(k,l) = s(n,m) exp(-jnk/N-jm2l/M), (13.4.3)

S(k,l) = exp(-jn2k/N) s(n,m) exp(-jm2l/M), (13.4.3")

s(n,m) = S(k,l) exp(-jn2k/N-jm2l/M). (13.4.4)

s(n,m) = exp(-jn2k/N) S(k,l) exp(-jm2l/M). (13.4.4")

Выражения (13.4.3") и (13.4.4") показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по линиям n и k соответственно, а первые - одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал s a (x,y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

S a ( x , y) = 0 при | x | /x, | y | /x,

то, как и в одномерном случае, сигнал s a (x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

s a (x,y) =  n  m s(n,m) . (13.4.5)

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут "маскироваться", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект "отражения" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v 1 = (v 11 ,v 21) T и v 2 = (v 12 ,v 22) T , где T - индекс транспонирования (рис. 13.4.1). Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

x = v 11 n + v 12 m,

y = v 21 n + v 22 m.

С использованием векторных обозначений:

где = (x,y) T , =(n,m) T , =(v 1 |v 2 )- матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v 1 и v 2 линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала s a (x,y) матрицей формируется дискретный сигнал:

s()  s a ( ).

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = ( 1 , 2) T:

S a () = s a () exp(-j T ) d , (13.4.6)

s a () = S a () exp(j T ) d , (13.4.7)

Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

S() =  n s() exp(-j T ), (13.4.8)

s() = S() exp(j T ) d . (13.4.9)

где: = ( х, у) T .

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения s a () (13.4.7):

s() = s a ( ) = S a () exp(j T ) d .

7 Общие сведения о сигналах. Классификация сигналов.

8 Формы представления сигналов. Аналоговые, дискретные, цифровые сигналы.

9 Детерминированные и случайные сигналы: периодические, почти периодические, переходные, стационарные, эргодические, нестационарные.

10 Вычисление числовых характеристик сигналов

11 Параметры, характеризующие форму сигнала

12 Интегрирование полигармонических сигналов в частотной области

13 Формирование периодических сигналов. Табличный способ.

14 Формирование полигармонических сигналов.

15 Единичный импульс. Представление дискретных сигналов.

16 Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Частота Найквиста.

17 Линейные системы, инвариантные к сдвигу.

18 Импульсная характеристика линейных систем. Устойчивость и физическая реализуемость.

19 Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

20 Преобразование Фурье для прямоугольного импульса.

21 Представление периодической последовательности единичных импульсов в частотной области.

23 Быстрое преобразование Фурье. Алгоритм с прореживанием по времени. (цос_материалы_лекций 24-30)

24 Алгоритм двоичной инверсии. Базовая операция бпф. (26-30)

25 Применение бпф для обработки действительных последовательностей. (цос_материалы_лекций 29-31)

26 Понятие линейной дискретной системы//метода 8.1

27 Импульсная характеристика линейных систем. Устойчивость и физическая

28. Цифровая свертка сигналов.

29 Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

30 Z-преобразование: реализация, свойства, применение.

32 Типовые z-преобразования. Z-преобразование цифрового единичного скачка.

33 Типовые z-преобразования. Z-преобразование убывающей дискретной экспоненты.

34 Обратное z-преобразование. Способы вычисления.

35 Передаточная функция линейной дискретной системы. Определение по импульсной характеристике. (См. Вопрос)

36 Передаточная функция линейной дискретной системы. Определение по разностному уравнению. Нули и полюсы.

37 Передаточная функция звена первого порядка.

38 Передаточная функция звена второго порядка.

39 Частотная характеристика линейной дискретной системы.

40 Расчет ачх и фчх по передаточной функции.

41 Расчет ачх и фчх звена первого порядка.

42 Расчет ачх и фчх звена второго порядка.

43. Понятие цифрового фильтра.

44 Этапы проектирования цифрового фильтра.

45 Обеспечение линейности фчх цифрового фильтра.

46 Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Метод билинейного z-преобразования расчета бих-фильтров низкой частоты.

47 Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Метод билинейного z-преобразования расчета бих-фильтров высокой частоты.

48 Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой. Расчет ких-фильтров.

49 Сглаживание данных. Скользящее усреднение.

50 Сглаживание данных. Сглаживание параболами.

51 Сглаживание данных. Сглаживание Спенсера.

52 Сглаживание данных. Медианная фильтрация.

53 Определение параметров тренда методом наименьших квадратов.

54 Понятие вейвлет-преобразования, отличие от преобразования Фурье.

55 Математическое описание вейвлетных функций.

56 Расчет дискретных вейвлетов.

17 Линейные системы, инвариантные к сдвигу.

Система называется инвариантной к сдвигу (инвариантной во времени, а равно и по любым другим аргументам), если сдвиг входного сигнала по аргументам вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала (возведения в квадрат всех значений сигнала) инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, рассматриваются именно такие системы.

Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Первая применяется при представлении сигнала в динамической форме и использует преобразование свертки, вторая - частотное представление сигнала и преобразование Фурье.

Другой важной особенностью ЛИС - систем является то, что любые их комбинации также являются ЛИС - системами, а любую сложную ЛИС - систему можно разложить на комбинации простых систем. Так, например, при последовательном (каскадном) соединении систем, когда выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т.д., образуемая система в целом также является ЛИС - системой, если линейны и инвариантны к сдвигу все системы, в нее входящие, при этом по отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет.

18 Импульсная характеристика линейных систем. Устойчивость и физическая реализуемость.

Импульсный отклик системы. По определению, импульсными характеристиками систем (второй широко используемый термин - импульсный отклик систем) называются функции для аналоговых идля цифровых систем, которые является реакцией (откликом) систем на единичные входные сигналы: дельта-функциюдля аналоговых и импульс Кронекерадля цифровых систем, поступающие на вход систем соответственно приt=0 иk=0 . Эта реакция однозначно определяется оператором преобразования:

Импульсный отклик аналоговой системы, как результат операции над дельта-функцией, в определенной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом аналоговой системы можно понимать математическое отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с площадью, равной 1, если длительность сигнала пренебрежимо мала по сравнению со временем реакции системы или с периодом ее собственных колебаний. Под временем (длиной) реакции системы обычно понимают интервал, на котором значения функции существенно отличаются от нуля после прекращения действия единичного сигнала на ее входе.

Рисунок 3.5 - Импульсный отклик системы ,

входной сигнал и выходная реакция системы

Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера =1 приk=0 .

Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.

На рисунке 3.5 приведен пример импульсного отклика интегрирующейRC -цепи. При подаче на входRC -цепи импульса зарядаq емкостьС заряжается до напряженияV о = q/C и начинает разряжаться через сопротивлениеR , при этом напряжение на ней изменяется по законуv(t) = V o  e -t/RC = (q/C)  e -t/RC . Отсюда, откликRC -цепи по выходному напряжению на входной сигналq = 1: h(t) = (1/C)  e -t/RC . По существу, импульсным откликом системыопределяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времениt после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).

Реакция системы на произвольный сигнал. Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы, как это показано на рисунке 3.5 для трех входных импульсов. В общем случае произвольный сигнал на входе системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:

. (3.17)

На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, так как последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t :

. (3.18)

Это выражение представляет собой интеграл Дюамеля или свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t- =можно убедиться в том, что эта операция, как и положено свертке, коммутативна:

..

Аналогично, для дискретных и цифровых сигналов:

. (3.20)

В символической форме математического представления:

В реальных физических системах импульсный отклик равен нулю приt<0 (реакция на выходе системы не может опережать входной сигнал) и, как правило, отличен от нуля только на определенном интервалеr , по которому и ведется интегрирование или суммирование в выражениях свертки. При обработке данных на ЭВМ требований по односторонности импульсного отклика не предъявляется, равно как и по его размерам вперед и назад от нуля по координатам.

Устойчивость систем. Любая практическая система должна быть устойчивой , т.е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях реакция системы на любое ограниченное воздействие также ограничена.

Для конечного по энергии входного сигнала, можно записать:

.

Отсюда следует условие, при котором выходной сигнал системы также будет ограниченным:

т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная сходимость ее импульсной характеристики, или, для цифровых систем, абсолютная суммируемость импульсного отклика:

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| ≥ 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) при z ≥ 1 (вне единичного круга на z-плоскости). Полюсы определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции H(z).

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т.к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

Цифровая обработка сигналов

дипломная работа

1. Линейные системы

Сигнал - зависимость одной величины от другой (функция). Например, зависимость давления воздуха в точке от времени можно рассматривать как звуковой сигнал. Зависимость напряжения в проводнике от времени тоже может представлять звуковой сигнал. Зависимость яркости точки на плоскости от ее координат можно рассматривать как черно-белое изображение.

Будем пока для определенности рассматривать одномерные сигналы, зависящие от времени, и обозначать их x(t). Почти весь материал допускает обобщение и на многомерный случай.

Система - это некоторое преобразование сигнала. Система переводит входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t). Будем это обозначать так:

Обычно все рассматриваемые системы инвариантны к сдвигу, т.е. если x(t)>y(t), то x(t+T)>y(t+T). Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, а не зависит от времени начала подачи входного сигнала. Далее мы будем рассматривать только такие системы.

Очень большое количество реальных систем можно считать инвариантными к сдвигу. Например, микрофон, переводящий сигнал "плотность воздуха" в сиг-нал "напряжение в проводе", удовлетворяет этому свойству, если пренебречь изменением свойств микрофона со временем.

Линейная система - это система, в которой выполняется следующее свойство линейности: если x 1 (t)>y 1 (t) и x 1 (t)>y 1 (t), то б x 1 (t)+в x 2 (t)>б y 1 (t)+в y 2 (t). Здесь операции над сигналами следует понимать как операции над функциями от аргумента t.

Большое количество реальных систем по преобразованию сигналов можно считать линейными. Например, микрофон является линейной системой (с достаточной степенью точности), так как если в него будут говорить одновременно 2 человека с разной громкостью, то электрический сигнал на выходе будет взвешенной суммой сигналов (от каждого человека в отдельности) на входе, а коэффициенты будут означать громкость разговора первого и второго человека.

Свойства линейных систем:

1. Постоянный (константный) сигнал переводится любой линейной системой в постоянный сигнал.

2. При прохождении через линейную систему синусоида остается синусоидой. Могут измениться лишь ее амплитуда и фаза (сдвиг во времени).

Второе свойство особенно важно, т.к. оно указывает на важнейший метод ана-лиза линейных систем с помощью разложения входных и выходных сигналов на синусоиды (Фурье-анализ).

Что означает "прохождение синусоиды через линейную систему"? Это значит, что синусоида подается на вход системы бесконечно долго, т.е. от t =?? до t=+?. Если же синусоиду начали подавать лишь в некоторый конкретный момент времени (а до этого подавалось что-то другое, например, - 0), то после начала подачи синусоиды на вход мы можем получить синусоиду на выходе не сразу. Выходной сигнал постепенно начнет приобретать синусоидальную форму. Скорость "стремления к верной синусоиде" на выходе зависит от конкретной линейной системы.

Архитектура Softswitch

Одним из таких классов являются линейные блоковые коды. Линейными называются такие двоичные коды, в которых множество всех разрешенных блоков является линейным пространством относительно операции поразрядного сложения по модулю 2...

Моделирование усилителя НЧ

Линейные искажения обусловлены влиянием реактивных элементов усилителя - конденсаторов и катушек, сопротивление которых зависит от частоты. Эти искажения имеются и в линейном усилителе, например, при усилении очень слабых сигналов...

Обработка и фильтрация данных дистанционного зондирования

Важнейшей особенностью линейного оператора является то обстоятельство, что он не изменяет формы входного синусоидального сигнала s(t) = A cos (щt + ц), меняется только амплитуда A и фаза ц. Если же сигнал имеет несинусоидальную форму...

Обратная связь в усилителях

Операционный усилитель как линейное устройство, обеспечивающее минимальные искажения входного сигнала, редко используется без обратной связи. Это объясняется тем...

Общие свойства импульсных систем

Линейной называется импульсная система, в которой линейны все ее элементы по рис.1 - импульсный элемент (ИЭ) с модулятором (М), канал передачи (КП), непрерывная часть (НЧ). Нелинейной - система, у которой хотя бы один из элементов нелинеен...

Прибор с зарядовой связью

Широкое распространение получили две разновидности ФСИ на ПЗС: строчные (линейные), воспринимающие за один период интегрирования линию изображения, и матричные (плоскостные), в которые весь образ записывается сразу...

Радиотелеметрическая система с частотным разделением товаров

Сложение полезного сигнала с помехой в виде части сигналов соседних каналов приводит к его искажению (рисунок 6). Рисунок 6 Оценим влияние только одного (n-1) канала. Полагаем...

Разработка схемы системы стабилизации передатчика в системах атмосферной оптической передачи данных

Пьезоактюаторы такого типа наиболее широко используемые. В свою очередь они делятся на низковольтные и высоковольтные, корпусные и бескорпусные многослойные дискретные и многослойные монолитные и т.д...

Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства систем подвижной радиосвязи

Определить ширину главного лепестка нормированной амплитудной диаграммы направленности в - плоскости по уровню нулевого излучения и по уровню половинной мощности для линейного симметричного электрического вибратора с длиной плеча...

Сегнетоэлектрики, их свойства и применение

В сегнетоэлектрических преобразователях используются большие значения пьезоэлектрических коэффициентов вблизи температуры перехода...

Технический надзор и техническая документация по волоконно-оптической линии передачи

Для обеспечения надежной и высококачественной эксплуатации на вновь построенные ВОЛП должна составляться достаточно подробная исполнительная документация. Важность этого вопроса подтверждается тем...

Устройства передачи информации по сети электропитания

Данные пользователя, поступающие от DTE, уже являются цифровыми, представленными в униполярном или биполярном коде без возврата к нулю -- NRZ. При передаче данных на большие расстояния в коде NRZ возникают следующие проблемы...

Цифровая система передачи непрерывных сообщений

Условие задания. Двоичные слова с выхода АЦП преобразуются в линейные ФМШС. В качестве шумоподобных сигналов используются последовательности Уолша. База ШС - 32...

Цифровой согласованный обнаружитель сигналов

Подобный сигнал изображен на рисунке 2,а, а закон изменения частоты заполнения импульса - на рисунке 2,б. Рисунок 2 - ЛЧМ - импульс (а) и изменение частоты его заполнения(б)...

Электронные усилители

Качество усилителя определяется степенью искажений, вносимых усилителем при усилении входного сигнала. Под искажениями понимается изменение формы выходного сигнала по отношению к форме входного...