Domov › Telefon › Řešení nelineární rovnice pomocí Lagrangeovy metody. Modelování dynamických systémů (Lagrangeova metoda a Bondův graf). Metody řešení nelineárních problémů

Řešení nelineární rovnice pomocí Lagrangeovy metody. Modelování dynamických systémů (Lagrangeova metoda a Bondův graf). Metody řešení nelineárních problémů

S Podstatou Lagrangeovy metody je snížit problém na podmíněný extrém k vyřešení problému bezpodmínečný extrém. Uvažujme model ne lineární programování:

(5.2)

Kde
- známé funkce,

A
– dané koeficienty.

Všimněte si, že v této formulaci problému jsou omezení specifikována rovností a není zde žádná podmínka, aby proměnné byly nezáporné. Kromě toho věříme, že funkce
jsou spojité se svými prvními parciálními derivacemi.

Transformujme podmínky (5.2) tak, aby byly na levé nebo pravé straně rovnosti nula:

(5.3)

Pojďme složit Lagrangeovu funkci. Zahrnuje účelovou funkci (5.1) a pravou stranu omezení (5.3), v tomto pořadí s koeficienty
. V problému bude tolik Lagrangeových koeficientů, kolik bude omezení.

Extrémní body funkce (5.4) jsou extrémní body původní problém a naopak: optimální plán problém (5.1)-(5.2) je globální extremní bod Lagrangeovy funkce.

Opravdu, ať se najde řešení
problémy (5.1)-(5.2), pak jsou splněny podmínky (5.3). Pojďme nahradit plán
do funkce (5.4) a ověřte platnost rovnosti (5.5).

Abychom tedy našli optimální plán pro původní problém, je nutné prozkoumat Lagrangeovu funkci pro extrém. Funkce má extrémní hodnoty v bodech, kde jsou její parciální derivace stejné nula. Takové body se nazývají stacionární.

Definujme parciální derivace funkce (5.4)

Po vyrovnání nula deriváty dostaneme systém m+n rovnice s m+n neznámý

,(5.6)

V obecný případ systému (5.6)-(5.7) budeme mít několik řešení, která budou zahrnovat všechna maxima a minima Lagrangeovy funkce. Aby bylo zvýrazněno globální maximum nebo minimum, jsou hodnoty cílové funkce vypočteny ve všech nalezených bodech. Největší z těchto hodnot bude globální maximum a nejmenší bude globální minimum. V některých případech je možné použít dostatečné podmínky přísný extrém spojité funkce (viz problém 5.2 níže):

nechat fungovat
je spojitý a dvakrát diferencovatelný v nějakém sousedství svého stacionárního bodu (ti.
)). Pak:

A ) Pokud
, (5.8)

Že – bod striktního maxima funkce
;

b) Li
, (5.9)

Že – bod striktního minima funkce
;

G ) Pokud
,

pak zůstává otázka přítomnosti extrému otevřená.

Navíc některá řešení systému (5.6)-(5.7) mohou být záporná. Což je v rozporu s ekonomickým významem proměnných. V tomto případě by měla být analyzována možnost výměny záporné hodnoty nula.

Ekonomický význam Lagrangeových multiplikátorů. Optimální hodnota multiplikátoru
ukazuje, jak moc se změní hodnota kritéria Z když se zdroj zvýší nebo sníží j o jednu jednotku, protože

Lagrangeovu metodu lze také použít v případě, kdy omezeními jsou nerovnosti. Tedy nalezení extrému funkce
za podmínek

se provádí v několika fázích:

1. Určete stacionární body účelové funkce, pro které řeší soustavu rovnic

2. Ze stacionárních bodů vyberte ty, jejichž souřadnice splňují podmínky

3. Pomocí Lagrangeovy metody vyřešte problém s omezeními rovnosti (5.1)-(5.2).

4. Prozkoumejte body nalezené ve druhém a třetím stupni pro celkové maximum: porovnejte hodnoty Objektivní funkce v těchto bodech - nejvyšší hodnotu odpovídá optimálnímu plánu.

Problém 5.1 Vyřešme problém 1.3, uvažovaný v první části, pomocí Lagrangeovy metody. Optimální rozložení vodní zdroje jsou popsány matematickým modelem

Pojďme složit Lagrangeovu funkci

Pojďme najít nepodmíněné maximum této funkce. K tomu vypočítáme parciální derivace a přirovnáme je k nule

Tak jsme získali soustavu lineárních rovnic tvaru

Řešení soustavy rovnic představuje optimální plán rozdělení vodních zdrojů na zavlažované plochy

, .

Množství
měřeno ve stovkách tisíc metrů krychlových.
- výše čistého příjmu na sto tisíc metry krychlové závlahová voda. Mezní cena 1 m 3 závlahové vody se tedy rovná
doupě. Jednotky

Maximální dodatečný čistý příjem ze zavlažování bude

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391,02 (den. jednotky)

Problém 5.2 Vyřešte problém nelineárního programování

Představme si omezení ve tvaru:

Pojďme sestavit Lagrangeovu funkci a určit její parciální derivace

Pro určení stacionárních bodů Lagrangeovy funkce by měly být její parciální derivace nastaveny na nulu. Výsledkem je soustava rovnic

Z první rovnice to vyplývá

. (5.10)

Výraz dosadíme do druhé rovnice

což znamená dvě řešení :

A
. (5.11)

Dosazením těchto řešení do třetí rovnice dostaneme

,
.

Hodnoty Lagrangeova multiplikátoru a neznáma Počítejme pomocí výrazů (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Dostali jsme tedy dva extrémní body:

;
.

Abychom zjistili, zda jsou tyto body maximální nebo minimální, používáme dostatečné podmínky pro striktní extrém (5.8)-(5.9). Předvýraz pro , získanou z omezení matematického modelu, dosadíme do účelové funkce

. (5.12)

Pro kontrolu podmínek striktního extrému bychom měli určit znaménko druhé derivace funkce (5.11) v extrémních bodech, které jsme našli
A
.

,
;

Tím pádem, (·)
je minimální bod původního problému (
), A (·)
- maximální bod.

Optimální plán:

,
,
,

Nejprve se podívejme na případ funkce dvou proměnných. Podmíněný extrém funkce $z=f(x,y)$ v bodě $M_0(x_0;y_0)$ je extrém této funkce dosažený za podmínky, že proměnné $x$ a $y$ v okolí tohoto bodu splňuje rovnici spojení $\ varphi (x,y)=0$.

Název „podmíněný“ extrém je způsoben tím, že proměnné podléhají dodatečná podmínka$\varphi(x,y)=0$. Pokud lze jednu proměnnou vyjádřit ze spojovací rovnice přes druhou, pak se problém určení podmíněného extrému redukuje na problém určení obvyklého extrému funkce jedné proměnné. Pokud například rovnice spojení implikuje $y=\psi(x)$, pak dosazením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ získáme funkci jedné proměnné $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. V obecném případě je však tato metoda málo použitelná, takže je nutné zavedení nového algoritmu.

Lagrangeova multiplikační metoda pro funkce dvou proměnných.

Metoda Lagrangeova multiplikátoru spočívá v konstrukci Lagrangeovy funkce pro nalezení podmíněného extrému: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda$ se nazývá Lagrangeův multiplikátor). Potřebné podmínky pro extrém jsou specifikovány soustavou rovnic, ze kterých jsou určeny stacionární body:

$$ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Postačující podmínkou, ze které lze určit povahu extrému, je znaménko $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Pokud je ve stacionárním bodě $d^2F > 0$, pak má funkce $z=f(x,y)$ v tomto bodě podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, то условный максимум.

Existuje další způsob, jak určit povahu extrému. Z vazebné rovnice získáme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, proto v jakémkoli stacionárním bodě máme:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \vpravo)$$

Druhý faktor (umístěný v závorkách) může být znázorněn v této podobě:

Prvky determinantu $\left| jsou zvýrazněny červeně. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole)\right|$, což je hessián Lagrangeovy funkce. Pokud $H > 0$, pak $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, tj. máme podmíněné minimum funkce $z=f(x,y)$.

Poznámka k zápisu determinantu $H$. zobrazit\skrýt

$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$

V této situaci se výše formulované pravidlo změní následovně: pokud $H > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, a pokud $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmus pro studium funkce dvou proměnných pro podmíněný extrém

Sestavte Lagrangeovu funkci $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Vyřešte systém $ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(zarovnáno) \vpravo.$
Určete povahu extrému v každém ze stacionárních bodů nalezených v předchozím odstavci. Chcete-li to provést, použijte některou z následujících metod:
- Sestavte determinant $H$ a zjistěte jeho znaménko
- S přihlédnutím ke spojovací rovnici vypočítejte znaménko $d^2F$

Metoda Lagrangeova multiplikátoru pro funkce n proměnných

Řekněme, že máme funkci $n$ proměnných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ spojovacích rovnic ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$

Označením Lagrangeových multiplikátorů jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Nezbytné podmínky pro přítomnost podmíněného extrému jsou dány systémem rovnic, ze kterých se nacházejí souřadnice stacionárních bodů a hodnoty Lagrangeových multiplikátorů:

$$\left\(\begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnáno) \right.$$

Zda má funkce v nalezeném bodě podmíněné minimum nebo podmíněné maximum, můžete jako dříve zjistit pomocí znaménka $d^2F$. Pokud je v nalezeném bodě $d^2F > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant matice $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)^(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(2) ) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(n)) \\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_1) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)^(2)) & \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(2)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_(n))\\ \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(3) \částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(2)) & \ frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$, zvýrazněné červeně v matici $L$, je Hessián Lagrangeovy funkce. Používáme následující pravidlo:

Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matice $L$ se shodují se znaménkem $(-1)^m$, pak studovaný stacionární bod je podmíněným minimálním bodem funkce $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se střídají a znaménko vedlejšího $H_(2m+1)$ se shoduje se znaménkem čísla $(-1)^(m+1 )$, pak stacionární bod je podmíněným maximálním bodem funkce $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Příklad č. 1

Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=x+3y$ pod podmínkou $x^2+y^2=10$.

Geometrický výklad tohoto problému je následující: musíte najít největší a nejmenší hodnotu aplikace roviny $z=x+3y$ pro body jejího průsečíku s válcem $x^2+y^2=10$.

Vyjádřit jednu proměnnou přes druhou z vazebné rovnice a dosadit ji do funkce $z(x,y)=x+3y$ je poněkud obtížné, proto použijeme Lagrangeovu metodu.

Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\částečné F)(\částečné x)=1+2\lambda x; \frac(\částečné F)(\částečné y)=3+2\lambda y. $$

Napišme soustavu rovnic pro určení stacionárních bodů Lagrangeovy funkce:

$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnáno)\vpravo.$$

Pokud předpokládáme $\lambda=0$, pak první rovnice bude: $1=0$. Výsledný rozpor ukazuje, že $\lambda\neq 0$. Za podmínky $\lambda\neq 0$ z první a druhé rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Dosazením získaných hodnot do třetí rovnice dostaneme:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnáno) \vpravo.\\ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnáno) $$

Systém má tedy dvě řešení: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zjistěme povahu extrému v každém stacionárním bodě: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Za tímto účelem vypočítáme determinant $H$ v každém bodě.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$

V bodě $M_1(1;3)$ dostáváme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže na bod Funkce $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ má podmíněné maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Podobně v bodě $M_2(-1,-3)$ najdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Podotýkám, že místo výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každém bodě je mnohem pohodlnější jej rozšířit v obecný pohled. Aby nebyl text zahlcen detaily, schovám tento způsob pod poznámku.

Zápis determinantu $H$ v obecném tvaru. zobrazit\skrýt

$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\vpravo) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\vpravo). $$

V zásadě je již zřejmé, jaké znaménko $H$ má. Protože žádný z bodů $M_1$ nebo $M_2$ se neshoduje s počátkem, pak $y^2+x^2>0$. Znaménko $H$ je tedy opačné než znaménko $\lambda$. Výpočty můžete dokončit:

$$ \začátek(zarovnáno) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnáno) $$

Otázku po povaze extrému ve stacionárních bodech $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ lze vyřešit bez použití determinantu $H$. Najdeme znaménko $d^2F$ v každém stacionárním bodě:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$

Upozorňuji, že zápis $dx^2$ znamená přesně $dx$ umocněný na druhou mocninu, tzn. $\left(dx \right)^2$. Máme tedy: $dx^2+dy^2>0$, tedy s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odpovědět: v bodě $(-1;-3)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=-10$. V bodě $(1;3)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=10$

Příklad č. 2

Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmínkou $x+y=0$.

První metoda (metoda Lagrangeova multiplikátoru)

Označením $\varphi(x,y)=x+y$ složíme Lagrangeovu funkci: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\částečné F)(\částečné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\částečné F)(\částečné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Po vyřešení systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9) $, $\lambda_2=-10 $. Máme dva stacionární body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zjistime povahu extrému v každém stacionárním bodě pomocí determinantu $H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(pole) \right|=-10-18y $$

V bodě $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, proto má v tomto bodě funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Zkoumáme povahu extrému v každém bodě pomocí jiné metody na základě znaménka $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Z rovnice spojení $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Protože $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, pak $M_1(0;0)$ je podmíněný minimální bod funkce $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobně $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Druhý způsob

Z rovnice připojení $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosazením $y=-x$ do funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ získáme nějakou funkci proměnné $x$. Označme tuto funkci jako $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Redukovali jsme tedy problém hledání podmíněného extrému funkce dvou proměnných na problém určení extrému funkce jedné proměnné.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Získali jsme body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Další výzkum je znám z kurzu diferenciální počet funkce s jednou proměnnou. Zkoumáním znaménka $u_(xx)^("")$ v každém stacionárním bodě nebo kontrolou změny znaménka $u_(x)^(")$ v nalezených bodech získáme stejné závěry, jako když řešení prvním způsobem. Například zkontrolujeme znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $

Protože $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimální bod funkce $u(x)$ a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Hodnoty funkce $u(x)$ pro danou podmínku připojení se shodují s hodnotami funkce $z(x,y)$, tzn. nalezené extrémy funkce $u(x)$ jsou hledané podmíněné extrémy funkce $z(x,y)$.

Odpovědět: v bodě $(0;0)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=0$. V bodě $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Uvažujme další příklad, ve kterém objasníme povahu extrému určením znaménka $d^2F$.

Příklad č. 3

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce $z=5xy-4$, pokud jsou proměnné $x$ a $y$ kladné a splňují spojovací rovnici $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Složme Lagrangeovu funkci: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Pojďme najít stacionární body Lagrangeovy funkce:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Všechny další transformace se provádějí s přihlédnutím k $x > 0; \; y > 0 $ (toto je uvedeno v prohlášení o problému). Z druhé rovnice vyjádříme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nalezenou hodnotu dosadíme do první rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosazením $x=2y$ do třetí rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Protože $y=1$, pak $x=2$, $\lambda=-10$. Povahu extrému v bodě $(2;1)$ určíme na základě znaménka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Protože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, pak:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

V zásadě zde můžete okamžitě dosadit souřadnice stacionárního bodu $x=2$, $y=1$ a parametr $\lambda=-10$, čímž získáte:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

V jiných problémech na podmíněném extrému však může být několik stacionárních bodů. V takových případech je lepší reprezentovat $d^2F$ v obecném tvaru a poté dosadit souřadnice každého z nalezených stacionárních bodů do výsledného výrazu:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Dosazením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Protože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odpovědět: v bodě $(2;1)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=6$.

V další části se budeme zabývat aplikací Lagrangeovy metody pro funkce více proměnné.

Stručná teorie

Lagrangeova multiplikační metoda je klasickou metodou řešení problémů matematické programování(zejména konvexní). Bohužel kdy praktická aplikace Metoda může narazit na značné výpočetní potíže, zužující rozsah jejího použití. O Lagrangeově metodě zde uvažujeme především proto, že jde o aparát aktivně používaný k podložení různých moderních numerické metody, široce používaný v praxi. Pokud jde o funkci Lagrange a multiplikátory Lagrange, hrají nezávisle a výhradně důležitá role v teorii a aplikacích nejen matematického programování.

Uvažujme klasický problém optimalizace:

Mezi omezeními tohoto problému nejsou žádné nerovnosti, neexistují podmínky pro nezápornost proměnných, jejich diskrétnost a funkce jsou spojité a mají parciální derivace alespoň druhého řádu.

Klasický přístup k řešení problému dává soustavu rovnic ( potřebné podmínky), který musí být splněn bodem, který funkci poskytuje lokální extrém na množině bodů, které splňují omezení (pro konvexní programovací problém bude nalezený bod také globálním extrémem).

Předpokládejme, že v bodě má funkce (1) lokální podmíněný extrém a hodnost matice je rovna . Poté budou potřebné podmínky zapsány ve tvaru:

existuje Lagrangeova funkce; – Lagrangeovy multiplikátory.

Jsou také dostatečné podmínky, za kterých řešení soustavy rovnic (3) určuje krajní bod funkce. Tato otázka je vyřešena na základě studia znaménka druhého diferenciálu Lagrangeovy funkce. Dostatečné podmínky jsou však především teoretického zájmu.

Můžete zadat následující postup pro řešení problému (1), (2) pomocí metody Lagrangeova multiplikátoru:

1) sestavte Lagrangeovu funkci (4);

2) najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce vzhledem ke všem proměnným a srovnejte je

nula. Získáme tak soustavu (3) složenou z rovnic, kterou vyřešíme (pokud to bude možné!) a najdeme tak všechny stacionární body Lagrangeovy funkce;

3) ze stacionárních bodů odebraných bez souřadnic vyberte body, ve kterých má funkce podmíněné lokální extrémy za přítomnosti omezení (2). Tato volba se provádí například pomocí dostatečných podmínek pro lokální extrém. Studie se často zjednoduší, pokud se použijí specifické podmínky problému.

Příklad řešení problému

Úkol

Společnost vyrábí dva druhy zboží v množství a . Funkce užitečných nákladů je určena vztahem. Ceny tohoto zboží na trhu jsou stejné a odpovídajícím způsobem.

Určete, při jakých objemech výstupů je dosaženo maximálního zisku a jakému se rovná, pokud celkové náklady nepřekročí

Máte potíže s pochopením průběhu rozhodování? Web nabízí službu Řešení problémů metodami optimálního řešení na zakázku

Řešení problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkce:

Omezení nákladů:

Získáme následující ekonomický a matematický model:

Navíc podle smyslu úkolu

Lagrangeova multiplikační metoda

Složme Lagrangeovu funkci:

Najdeme parciální derivace 1. řádu:

Vytvořme a vyřešme soustavu rovnic:

Od té doby

Maximální zisk:

Odpovědět

Je tedy nutné uvolňovat potravu. zboží 1. druhu a jednotek. zboží 2. druhu. V tomto případě bude zisk maximální a bude činit 270.
Je uveden příklad řešení úlohy kvadratického konvexního programování pomocí grafické metody.

Řešení lineární úlohy grafickou metodou
Považováno grafická metodařešení úlohy lineárního programování (LPP) se dvěma proměnnými. Je uveden příklad úlohy Detailní popis sestavení výkresu a nalezení řešení.

Wilsonův model řízení zásob
Na příkladu řešení problému je uvažován základní model řízení zásob (Wilsonův model). Byly vypočteny následující modelové ukazatele: optimální velikost objednací množství, roční náklady na držení, dodací intervaly a objednávkové místo.

Matice přímého poměru nákladů a matice vstupů a výstupů
Na příkladu řešení problému je uvažován Leontievův mezisektorový model. Je uveden výpočet matice koeficientů přímých materiálových nákladů, matice „input-output“, matice koeficientů nepřímých nákladů, vektorů konečné spotřeby a hrubého výkonu.

Název parametru	Význam
Téma článku:	Lagrangeova metoda.
Rubrika (tematická kategorie)	Matematika

Najít polynom znamená určit hodnoty jeho koeficientu . Chcete-li to provést, pomocí podmínky interpolace můžete vytvořit systém lineárních algebraických rovnic (SLAE).

Determinant tohoto SLAE se obvykle nazývá Vandermondův determinant. Vandermondův determinant není roven nule pro for , to znamená v případě, kdy ve vyhledávací tabulce nejsou žádné odpovídající uzly. Lze však namítnout, že SLAE má řešení a toto řešení je jedinečné. Po vyřešení SLAE a určení neznámých koeficientů můžete sestrojit interpolační polynom.

Polynom, který splňuje podmínky interpolace, je při interpolaci Lagrangeovou metodou zkonstruován ve formě lineární kombinace polynomů n-tého stupně:

Polynomy se obvykle nazývají základní polynomy. V následujících situacích Lagrangeův polynom splňuje podmínky interpolace, je nesmírně důležité, aby pro jeho základní polynomy byly splněny následující podmínky:

Pro .

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak pro všechny máme:

Splnění specifikovaných podmínek pro základní polynomy navíc znamená, že jsou splněny i podmínky interpolace.

Určeme typ bázových polynomů na základě omezení, která jsou na ně kladena.

1. podmínka: na .

2. podmínka: .

Nakonec pro základní polynom můžeme napsat:

Dosazením výsledného výrazu pro základní polynomy do původního polynomu získáme konečný tvar Lagrangeova polynomu:

Konkrétní forma Lagrangeova polynomu at se obvykle nazývá lineární interpolační vzorec:

Lagrangeův polynom se obvykle nazývá kvadratický interpolační vzorec:

Lagrangeova metoda. - koncepce a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Lagrangeova metoda." 2017, 2018.

- Lagrangeova metoda (metoda variace libovolné konstanty).

Lineární dálkové ovladače. Definice. Typ DU tj. lineární vzhledem k neznámé funkci a její derivace se nazývá lineární. Pro řešení tohoto typu budeme uvažovat dvě metody: Lagrangeovu metodu a Bernoulliho metodu Uvažujme homogenní diferenciální rovnici Tato rovnice je se separovatelnými proměnnými Řešení rovnice je Obecné... .

- Lineární řídicí systémy, homogenní a heterogenní. Koncept obecného rozhodnutí. Lagrangeova metoda variace produkčních konstant.

Definice. Řídicí systém se nazývá homogenní, pokud lze funkci reprezentovat jako vztah mezi jejími argumenty. F-Jsem volán homogenní fth měření if Příklady: 1) - 1. řád homogenity. 2) - 2. řád homogenity. 3) - nulový řád homogenity (prostě homogenní... .

- Přednáška 8. Aplikace parciálních derivací: extrémní úlohy. Lagrangeova metoda.

Extrémní problémy mají v ekonomických výpočtech velký význam. Jedná se například o výpočet maximálního příjmu, zisku, minimálních nákladů v závislosti na několika proměnných: zdrojích, výrobních aktivech atd. Teorie hledání extrémů funkcí... .

- T.2.3. DE vyšších řádů. Rovnice v totálních diferenciálech. T.2.4. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. Lagrangeova metoda.

3. 2. 1. DE s oddělitelnými proměnnými S.R. 3. V přírodních vědách, technice a ekonomii se často musí zabývat empirickými vzorci, tzn. vzorce sestavené na základě zpracování statistických dat nebo...

Klasifikace úloh matematického programování

PROGRAMOVÁNÍ

METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH PROBLÉMŮ

Kontrolní otázky do oddílu 4

Schéma řešení dopravní problém

Uveďme si hlavní etapy řešení dopravního problému.

1. Zkontrolujte zavřený stav. Pokud je úkol otevřený, je tabulka přepravy doplněna buď o sloupec fiktivního odběrného místa nebo o řádek fiktivního dodavatele.

2. Staví referenční plán.

3. Zkontrolujte plán podpory, zda nedegeneruje. Pokud není dostatek obsazené buňky pro splnění podmínky nedegenerace, jedna z buněk transportní tabulky se naplní zásobou rovnou nule. V případě potřeby je přípustné evidovat nulové dodávky ve více buňkách.

4. Plán je zkontrolován z hlediska optimálnosti.

5. Pokud nejsou splněny podmínky optimality, přejděte k dalšímu plánu přerozdělením zásob. Proces výpočtu se opakuje, dokud není získán optimální plán.

1. Jaký význam má účelová funkce v matematickém modelu dopravní úlohy?

2.Jaký význam mají omezení v matematickém modelu dopravního problému?

3. Je možné aplikovat potenciální metodu k řešení otevřeného (neuzavřeného) dopravního problému?

4.Jaké změny je třeba provést v původní transportní tabulce, aby mohl být problém vyřešen potenciální metodou?

5.Co je podstatou metody minimálního prvku? Jaká fáze řešení dopravního problému bude v důsledku aplikace této metody dokončena?

6. Jak poznáte, že je plán přepravy optimální?

7. V jakém případě a jak je nutné přerozdělit zásoby z hlediska přepravy?

8. Předpokládejme, že vytvořený dopravní plán je zdegenerovaný. Je možné pokračovat v řešení problému pomocí potenciální metody a co je pro to potřeba udělat?

Obecný úkol matematické programování bylo formulováno v části 1.1. V závislosti na typu funkcí obsažených v modelu (1.1)-(1.3) je problém klasifikován jako jeden nebo druhý typ matematického programování. Existují lineární programování (všechny funkce jsou lineární), celočíselné (řešení je reprezentováno celými čísly), kvadratické (cílová funkce je kvadratická forma), nelineární (alespoň jedna z funkcí problému je nelineární) a stochastické programování ( jsou zahrnuty parametry, které mají pravděpodobnostní povahu).

Třída problémů nelineárního programování je širší než třída lineární modely. Například výrobní náklady ve většině případů nejsou úměrné objemu produkce, ale závisí na něm nelineárně, příjem z prodeje výrobních produktů se ukazuje jako nelineární funkce cen atd. Kritéria v problémech optimálního plánování jsou často maximální zisk, minimální náklady a minimální kapitálové náklady. Tak jako proměnné výstupní objemy jsou různé typy produkty. Omezení zahrnují produkční funkce, které charakterizují vztah mezi výstupem produktu a mzdovými a pracovními náklady. materiální zdroje, jehož objem je omezen.

Na rozdíl od lineárního programování, které využívá univerzální metodařešení (simplexní metoda), pro řešení nelineárních problémů existuje celá škála metod v závislosti na podobě funkcí obsažených v modelu. Z celé řady metod budeme uvažovat pouze dvě: Lagrangeova metoda a metoda dynamického programování.

S Podstatou Lagrangeovy metody je redukovat problém podmíněného extrému na řešení problému nepodmíněného extrému. Zvažte model nelineárního programování:

(5.2)

Kde - známé funkce,

A – dané koeficienty.

Všimněte si, že v této formulaci problému jsou omezení specifikována rovností a není zde žádná podmínka, aby proměnné byly nezáporné. Kromě toho věříme, že funkce jsou spojité se svými prvními parciálními derivacemi.

Transformujme podmínky (5.2) tak, aby byly na levé nebo pravé straně rovnosti nula:

(5.3)

Pojďme složit Lagrangeovu funkci. Zahrnuje účelovou funkci (5.1) a pravou stranu omezení (5.3), v tomto pořadí s koeficienty . V problému bude tolik Lagrangeových koeficientů, kolik bude omezení.

Extrémní body funkce (5.4) jsou extremní body původního problému a naopak: optimální plán problému (5.1)-(5.2) je globální extremní bod Lagrangeovy funkce.

Opravdu, ať se najde řešení problémy (5.1)-(5.2), pak jsou splněny podmínky (5.3). Pojďme nahradit plán do funkce (5.4) a ověřte platnost rovnosti (5.5).

Definujme parciální derivace funkce (5.4)

Po vyrovnání nula deriváty dostaneme systém m+n rovnice s m+n neznámý

, (5.6)

V obecném případě bude mít systém (5.6)-(5.7) několik řešení, která budou zahrnovat všechna maxima a minima Lagrangeovy funkce. Aby bylo zvýrazněno globální maximum nebo minimum, jsou hodnoty cílové funkce vypočteny ve všech nalezených bodech. Největší z těchto hodnot bude globální maximum a nejmenší bude globální minimum. V některých případech se ukazuje možné použití dostatečné podmínky pro přísný extrém spojité funkce(viz úkol 5.2 níže):

nechť je funkce spojitá a dvakrát diferencovatelná v nějakém okolí jejího stacionárního bodu (tj. )). Pak:

A) Pokud,(5.8)

pak je bod striktního maxima funkce;

b) pokud ,(5.9)

potom je striktní minimální bod funkce;

G ) Pokud,

pak zůstává otázka přítomnosti extrému otevřená.

Navíc některá řešení systému (5.6)-(5.7) mohou být záporná. Což je v rozporu s ekonomickým významem proměnných. V tomto případě byste měli zvážit nahrazení záporných hodnot nulovými hodnotami.

Ekonomický smysl Lagrangeovy multiplikátory. Optimální hodnota multiplikátoru ukazuje, jak moc se změní hodnota kritéria Z když se zdroj zvýší nebo sníží j o jednu jednotku, protože

Lagrangeovu metodu lze také použít v případě, kdy omezeními jsou nerovnosti. Tedy nalezení extrému funkce za podmínek

se provádí v několika fázích:

1. Určete stacionární body účelové funkce, pro které řeší soustavu rovnic

2. Ze stacionárních bodů vyberte ty, jejichž souřadnice splňují podmínky

3. Pomocí Lagrangeovy metody vyřešte problém s omezeními rovnosti (5.1)-(5.2).

4. Body nalezené ve druhém a třetím stupni se zkoumají na globální maximum: porovnávají se hodnoty účelové funkce v těchto bodech - největší hodnota odpovídá optimálnímu plánu.

Problém 5.1 Vyřešme problém 1.3, uvažovaný v první části, pomocí Lagrangeovy metody. Je popsána optimální alokace vodních zdrojů matematický model

Pojďme složit Lagrangeovu funkci

Pojďme najít nepodmíněné maximum této funkce. K tomu vypočítáme parciální derivace a přirovnáme je k nule

Tak jsme dostali systém lineární rovnice typ

Řešení soustavy rovnic představuje optimální plán rozdělení vodních zdrojů na zavlažované plochy

Hodnoty se měří ve stovkách tisíc metrů krychlových. - výše čistého příjmu na sto tisíc metrů krychlových závlahové vody. Mezní cena 1 m 3 závlahové vody se tedy rovná doupě. Jednotky