Domov › Telefon › Řešení problému pomocí grafické metody online. Řešení úloh lineárního programování pomocí grafické metody. Hledání řešení problému LP

Řešení problému pomocí grafické metody online. Řešení úloh lineárního programování pomocí grafické metody. Hledání řešení problému LP

Grafické metody jsou spojeny především s geometrický obraz funkční závislost pomocí přímek na rovině. Grafy se používají k rychlému nalezení hodnoty funkcí na základě odpovídající hodnoty argumentu pro vizuální reprezentaci funkčních závislostí.
V ekonomické analýze se používají téměř všechny typy grafů: srovnávací grafy, grafy časových řad, distribuční křivky, grafy korelačních polí, statistické kartogramy. Srovnávací diagramy jsou zvláště rozšířené v analýze - pro porovnání ukazatelů výkaznictví s plánovanými, minulými obdobími a předními podniky tuzemských nebo zahraničních podniků. Pro vizuální znázornění dynamiky ekonomických jevů (a při analýze s časové řady se velmi často) používají diagramy časových řad.
Používáním mřížka grafy jsou konstruovány v závislosti např. na úrovni nákladů na objem vyrobených a prodaných produktů, jakož i. grafy, na kterých můžete znázornit korelace mezi ukazateli. V systému souřadnicových os obrázek ukazuje vliv různých faktorů na konkrétní ukazatel.
Pro výzkum je široce používána grafická metoda výrobní procesy, organizační struktury, programovací procesy atd. Například pro analýzu efektivity využití výrobních zařízení se konstruují výpočtové grafy, včetně grafů více faktorů.

Zápis: každá kružnice je považována za jeden z vrcholů grafu; číslo v horním sektoru každého vrcholu znamená jeho pořadové číslo; Na základě čísel dvou sousedních vrcholů se vytvoří pracovní kód; obrázek ve spodním sektoru každého vrcholu je sériové číslo předchozí vrchol a čára spojující tyto dva vrcholy znamená určitou práci. Pod čarou je plánovaná doba trvání této práce; číslo v levém sektoru každého vrcholu znamená celkovou dobu trvání všech dosavadních prací, číslo v pravém sektoru se liší od čísla v levém o výši rezervy (časové rezervy). Pro vrcholy ležící na kritické cestě se tedy čísla v levém a pravém sektoru vrcholu shodují, protože časový rozpětí je 0.

V matematicky formalizovaném systému analýzy, plánování a řízení zaujímají síťové diagramy zvláštní místo. Poskytují velký ekonomický efekt při výstavbě a instalaci průmyslových a jiných podniků.
Síťový diagram (obr. 6.1) umožňuje identifikovat ty nejdůležitější z celého komplexu prací, které leží na kritické cestě, a soustředit na ně hlavní zdroje stavebních organizací, navazovat vztahy mezi různými specializovanými organizacemi a koordinovat jejich práce. Činnosti na kritické cestě vyžadují nejdelší čekání na příchod další události. Harmonogram sítě ve fázi operativní analýzy a řízení umožňuje efektivně sledovat průběh výstavby a přijímat včasná opatření k eliminaci případných zpoždění prací.
aplikace síťové grafy analýza, plánování a řízení poskytuje, jak ukazuje mnoho příkladů, zkrácení doby výstavby o 20-30%, zvýšení produktivity práce o 15-20%.
V rozborech prováděných přímo na stavbách je použití materiálů plánování sítě a management přispívá ke správné identifikaci důvodů ovlivňujících postup výstavby a identifikaci podniků, které nezajistí dokončení jim přidělených prací nebo dodání zařízení ve lhůtách stanovených harmonogramem.
Vývoj plánu sítě ve výstavbě se provádí za přítomnosti: norem pro dobu výstavby a období uvedení objektu nebo komplexu objektů do provozu, projektové a odhadové dokumentace, projektu pro organizaci výstavby a výroby práce, standardu technologické mapy, aktuální normy pro mzdové náklady, materiály a provoz strojů. Při sestavování harmonogramu se navíc využívá zkušenost s realizací jednotlivá díla, dále údaje o výrobní základně stavebních a montážních organizací.
Na základě všech těchto údajů je sestavena tabulka prací a zdrojů, kde je v technologickém sledu výroby práce jejich charakteristika, objem, pracnost v člověkodnech, vykonávající (organizace a tým), počet pracovníků, směny, potřeba jsou uvedeny mechanismy a materiály, zdroje jejich dodávek. , celková doba trvání práce ve dnech, stejně jako předchozí úkol, po kterém můžete začít tato práce. Na základě ukazatelů takové tabulky je připraveno schéma sítě, které může mít různou míru podrobnosti v závislosti na přijatém výrobním schématu.
řízení práce a úroveň řízení; až na obecný rozvrh umělci vypracují harmonogram práce, kterou vykonávají.
Hlavní prvky síťového diagramu: událost, práce, čekání, závislost.
Při analýze postupu výstavby objektu by se mělo zjistit, zda byl harmonogram sítě sestaven správně, zda nebyla nadhodnocena kritická cesta, zda byly při optimalizaci harmonogramu zohledněny všechny možnosti pro její snížení, zda jakékoli práce lze provádět souběžně nebo zkrátit čas na ně navýšením prostředků mechanizace apod. To je důležité zejména v případech, kdy délka prací podle harmonogramu nezajistí dokončení stavby včas.
Hlavním podkladem pro plánování sítě použitým v analýze jsou informace o postupu prací podle harmonogramu, který se sestavuje zpravidla minimálně jednou za dekádu. Jako příklad je uvedena mapa úkolu a informace o postupu prací na stavebním projektu realizovaném podle harmonogramu sítě (tab. 6.1). Podle mapy byly kritické práce provedeny na začátku měsíce v předstihu, ale poté se nechala instalace jeřábových nosníků podél řady B zpozdit a byly dokončeny následné práce - instalace jeřábových nosníků podél řady A jeden den zpoždění oproti plánu.
Optimalizace síťových plánů se provádí ve fázi plánování snížením kritické cesty, tj. minimalizací doby dokončení Stavební práce na dané úrovně zdrojů, minimalizace úrovně spotřeby materiálu, práce a finančních prostředků s pevnými termíny dokončení stavebních prací. Je také možný smíšený přístup: pro jednu část práce (dražší) - minimalizovat úroveň spotřeby zdrojů s pevným termínem dokončení práce, pro druhou - minimalizovat termín pro pevnou úroveň zdrojů.
Řešení problémů s optimalizací značně usnadňuje dostupnost balíčků aplikační programy(PPP), přizpůsobený k sestavení optimálních síťových diagramů na počítači.
V zahraniční praxi systémové analýzy je běžná grafo-matematická metoda zvaná „rozhodovací strom“. Podstata této metody je následující.
Podle předběžné posouzení potřeby, předběžný rozbor možných organizačních, technických či technologických podmínek, jsou nastíněny všechny možné možnosti řešení tohoto problému. Nejprve vyvinuté

	Cvičení					Informace				Časová rezerva na práci		Číslo ty
název funguje	šifra	datum začala	datum po dokončení	plánované pokračoval	Re rezervovat čas	% ty-	potřebný čas pro	na hodnost	skutečné datum	nález aktuální	nenalezen	rezervovat čas s
	funguje	funguje (plán)	nia funguje (plán)	obyvatel ness, dní	mě	ouha připraven ness	po dokončení nia funguje, dní	zader ženy	po dokončení nia funguje	na kritické cestě	aa kritická cesta	začátek měsíce, dny
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Vývoj půdy	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
Betonování základů kotlů	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
Betonáž základů dle řady A	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
Totéž pro řadu B	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
Zařízení pro rozvod potrubí	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
Zásypové zařízení	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
Montáž prefabrikovaných betonových konstrukcí
lonn: podél řady B	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
podél řady A	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

Stavba jeřábových drah a montáž věžového jeřábu 7-10
Instalace nosných rámů na základ pro zařízení 7-16 Instalace jeřábových nosníků:
podél řady B 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

podél řady A 10-12 25/IV 26/IV
Montáž první části nosníků a krycích desek 12-13 27/IV 4/V
Montáž jeřábových drah pro most lt;3 jeřáby 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	za-	27/IV	-2

27/IV -1
podpora s dodávkou železobetonových konstrukcí

100 -

rozšířené možnosti. Pak, jak představíš dodatečné podmínky každá z nich je rozdělena do několika možností. Grafický obrázek z těchto možností umožňuje vyloučit ty méně ziskové a vybrat si tu nejpřijatelnější.
Tato metoda může být použita při určování pořadí zpracování určitých dílů na několika strojích, aby se minimalizovala celková doba zpracování; při nastavování velikosti zdrojů minimalizovat celkové výrobní náklady; při rozdělování kapitálových investic a jiných zdrojů mezi průmyslová zařízení; při řešení dopravních a jiných problémů.

Účel služby. Online kalkulačka určená k řešení problémů lineární programování simplexní metoda tím, že půjdete do KZLP A SZLP. V tomto případě je problém nalezení minima účelové funkce redukován na problém nalezení maxima pomocí transformace účelové funkce F*(X) = -F(X) . Je také možné vytvořit duální problém.

Řešení probíhá ve třech fázích:

Přechod na KZLP. Libovolný LLP ve tvaru ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) se redukuje na tvar ax = b , F(X) → max ;
Přechod na SZLP. A CLLP ve tvaru ax = b se redukuje na tvar ax ≤ b , F(X) → max ;
Řešení pomocí simplexové metody;

Instrukce. Vyberte počet proměnných a počet řádků (počet omezení). Výsledné řešení se uloží do souboru aplikace Word.

Přechod od problému minimalizace cílových funkcí k problému maximalizace

Problém minimalizace účelové funkce F(X) lze snadno zredukovat na problém maximalizace funkce F*(X) za stejných omezení zavedením funkce: F*(X) = -F(X) . Oba problémy mají stejné řešení X* a zároveň min(F(X)) = -max(F*(X)) .
Pojďme si tuto skutečnost ilustrovat graficky:

F(x) → min

F(x) → max

K optimalizaci cílové funkce používáme následující koncepty a metody.
Základní plán– plán s volně definovanými základními proměnnými.
Základní plán– referenční plán s nulovými základními proměnnými.
Optimální plán– základní plán, který vyhovuje optimální funkci góly (FC).

Vedoucí (rozlišovací) prvek je koeficient volné neznámé, který se stává základním a koeficient samotný se převádí na jednotku.
Pokyn– linie vedoucího prvku, ve které se nachází základní neznámá s jednotkovým koeficientem, při transformaci vyloučena (přímka s minimálním omezujícím koeficientem, viz dále).
Vodicí sloupec– sloupec vedoucího prvku, jehož volná neznámá je převedena na základní (sloupec s maximální užitek, viz. níže).

Proměnné x 1, ..., x m, zahrnuté s jednotkovými koeficienty pouze v jedné rovnici systému, s nulovými koeficienty ve zbytku, se nazývají základní nebo závislý. V kanonický systém Každá rovnice má právě jednu základní proměnnou. Přechod se provádí metodou Gauss-Jordan. Hlavní myšlenkou této metody je redukce systému m rovnic s n neznámými na kanonická forma pomocí elementárních operací s řetězci.
Odpočinek n-m proměnných(x m +1 ,…, x n). nezákladní nebo nezávislé proměnné.

Základní řešení volal přípustné základní řešení, pokud jsou v něm obsažené hodnoty základních proměnných x j ≥ 0, což je ekvivalentní podmínce nezápornosti b j ≥ 0.
Možné základní řešení je rohový bod přípustná sada S problémy lineárního programování a jsou někdy nazývány referenční plán.
Pokud se mezi nezápornými čísly b j rovná nule, pak se přípustné základní řešení nazývá degenerovat(degenerovaný rohový bod) a zavolá se odpovídající problém lineárního programování degenerovat.

Příklad č. 1. Redukujte problém lineárního programování na standardní ZLP.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min s omezeními:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2 x 3 = 9
Pro přinášení PAPů pro kanonickou formu je nutné:
1. Změňte znaménko účelové funkce. Redukujme problém F(X) → min na problém F(X) → max. Chcete-li to provést, vynásobte F(X) číslem (-1). V první významové nerovnosti (≤) zavedeme základní proměnnou x 4 ; ve druhé významové nerovnosti (≥) uvedeme základní proměnnou x 5 se znaménkem mínus.
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
F(X) = - x 1 - 2 x 2 + 2 x 3
Přechod na SZLP.
Rozšířená matice systému omezení rovnosti pro tento problém:

4	3	-1	1	0	10
0	-2	5	0	-1	3
1	0	2	0	0	9

Redukujme systém na matici identity pomocí Jordanovy transformační metody.
1. Jako základní proměnnou můžete zvolit x 4.
2. Jako základní proměnnou zvolíme x 2.
Rozlišovací prvek RE=-2. Čáru odpovídající proměnné x 2 získáme dělením všech prvků úsečky x 2 rozlišovacím prvkem RE = -2. Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1. Do zbývajících buněk sloupce x 2 zapíšeme nuly. Všechny ostatní prvky jsou určeny pravidlem obdélníku. Ukažme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:

4-(0 3):-2	3-(-2 3):-2	-1-(5 3):-2	1-(0 3):-2	0-(-1 3):-2	10-(3 3):-2
0: -2	-2: -2	5: -2	0: -2	-1: -2	3: -2
1-(0 0):-2	0-(-2 0):-2	2-(5 0):-2	0-(0 0):-2	0-(-1 0):-2	9-(3 0):-2

Získáme novou matici:

4	0	6 1 / 2	1	-1 1 / 2	14 1 / 2
0	1	-2 1 / 2	0	1 / 2	-1 1 / 2
1	0	2	0	0	9

3. Jako základní proměnnou zvolíme x 3.
Rozlišovací prvek RE=2. Čáru odpovídající proměnné x 3 získáme dělením všech prvků úsečky x 3 rozlišovacím prvkem RE=2. Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1. Do zbývajících buněk sloupce x 3 zapíšeme nuly. Všechny ostatní prvky jsou určeny pravidlem obdélníku. Ukažme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:

4-(1 6 1 / 2):2	0-(0 6 1 / 2):2	6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2	1-(0 6 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2	14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2
0-(1 -2 1 / 2):2	1-(0 -2 1 / 2):2	-2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2	0-(0 -2 1 / 2):2	1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2
1: 2	0: 2	2: 2	0: 2	0: 2	9: 2

Získáme novou matici:

3 / 4	0	0	1	-1 1 / 2	-14 3 / 4
1 1 / 4	1	0	0	1 / 2	9 3 / 4
1 / 2	0	1	0	0	4 1 / 2

Protože systém má matice identity, pak jako základní proměnné vezmeme X = (4,2,3).
Odpovídající rovnice jsou:
3 / 4 x 1 + x 4 - 1 1 / 2 x 5 = -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + x 2 + 1/2 x 5 = 9 3/4
1/2 x 1 + x 3 = 4 1/2
Vyjádřeme základní proměnné z hlediska zbytku:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4
x 3 = - 1/2 x 1 +4 1/2
Pojďme je nahradit cílová funkce:
F(X) = - x 1 - 2 (- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2 (- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
nebo

Systém nerovností:
- 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4 ≥ 0
- 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4 ≥ 0
- 1/2 x 1 + 4 1/2 ≥ 0
Snižujeme systém nerovností na další pohled:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 5 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → max
Pojďme si systém zjednodušit.
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 2 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → max

Příklad č. 2. Nejprve najděte řešení problému pomocí grafické metody a poté pomocí simplexové metody.
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → max (min) s omezeními:
-3x 1 + x 2 + x 3 = 3
4x 1 + 2x 2 - x 4 = 12
2x 1 - x 2 + x 5 = 2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

Lineární programování využívá k určení konvexních množin (polyedru řešení) grafickou metodu. Pokud má hlavní problém lineárního programování optimální plán, pak účelová funkce nabývá hodnoty v jednom z vrcholů mnohostěnu řešení (viz obrázek).

Účel služby. Používáním této služby možné v režim onlineřešit úlohu lineárního programování pomocí geometrické metody a také získat řešení duální úlohy (posoudit optimální využití zdrojů). Kromě toho se v aplikaci Excel vytvoří šablona řešení.

Instrukce. Vyberte počet řádků (počet omezení).

Pokud je počet proměnných více než dvě, je nutné systém přivést na SZLP (viz příklad a příklad č. 2). Pokud je omezení dvojnásobné, například 1 ≤ x 1 ≤ 4, pak se rozdělí na dvě: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (tj. počet řádků se zvýší o 1).
Pomocí této služby můžete také vytvořit oblast proveditelného řešení (ADA).

S touto kalkulačkou se také používají následující:
Simplexní metoda řešení ZLP

Řešení dopravního problému
Řešení maticové hry
Pomocí služby online můžete určit cenu maticové hry (spodní a horní limit), ověřit dostupnost sedlový bod, najít řešení smíšené strategie pomocí následujících metod: minimax, simplexová metoda, grafická (geometrická) metoda, Brownova metoda.
Extrém funkce dvou proměnných
Výpočet limitů

Řešení úlohy lineárního programování grafickou metodou zahrnuje následující kroky:

Čáry jsou konstruovány v rovině X 1 0X 2.
Jsou určeny poloviční roviny.
Definujte polygon řešení;
Sestrojí se vektor N(c 1 ,c 2), který udává směr účelové funkce;
Posun vpřed objektivní funkce c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 ve směru vektoru N ke krajnímu bodu polygonu řešení.
Vypočítají se souřadnice bodu a hodnota účelové funkce v tomto bodě.

Mohou nastat následující situace:

Příklad. Společnost vyrábí dva typy výrobků - P1 a P2. Pro výrobu produktů se používají dva druhy surovin - C1 a C2. Hromadné ceny jednotka výroby se rovná: 5 jednotkám. pro jednotky P1 a 4 pro P2. Spotřeba surovin na jednotku výrobku typu P1 a typu P2 je uvedena v tabulce.
Tabulka - Spotřeba surovin pro výrobu

Byla stanovena omezení poptávky po produktech: denní objem výroby produktů P2 by neměl překročit denní objem produkce produktů P1 maximálně o 1 tunu; Maximální denní objem produkce P2 by neměl přesáhnout 2 tuny.
Musíte určit:
Kolik produktů každého typu by měl podnik vyrobit, aby maximalizoval příjem z prodeje produktů?

Formulovat matematický model problémy lineárního programování.
Vyřešte úlohu lineárního programování graficky(pro dvě proměnné).

Řešení.
Zformulujme matematický model úlohy lineárního programování.
x 1 - výroba výrobků P1, jednotky.
x 2 - výroba výrobků P2, jednotky.
x 1, x 2 ≥ 0

Limity zdrojů
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Omezení poptávky
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Objektivní funkce
5x 1 + 4x 2 → max

Pak dostaneme následující PLP:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1, x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max

Grafická metoda PPP rozhodnutí vychází z tvrzení uvedených v odstavci 2.1. Podle věty 2, optimální řešení je na vrcholu oblasti přípustných řešení a proto řešte ZLP - najděte vrchol oblasti přípustných řešení, jehož souřadnice dávají optimální hodnotu cílová funkce.

Grafická metoda se používá k řešení omezené třídy problémů se dvěma proměnnými, někdy se třemi proměnnými. Je třeba poznamenat, že pro tři proměnné není tato oblast dostatečně jasná.

Algoritmus pro grafickou metodu řešení problémů

Zvážíme implementaci grafické metody řešení ZLP na příkladech.

Příklad 2.2.1. Vyřešte ZLP graficky:

(2.2.1)

max z=X 1 + 4X 2 (2.2.2)

Řešení. Pro sestrojení oblasti proveditelných řešení, která se skládá z průsečíku polorovin odpovídajících každé nerovnosti soustavy vazeb (2.2.1), napíšeme rovnice hraničních přímek:

l 1: X 1 + 5X 2 = 5; l 2: X 1 + X 2 = 6; l 3: 7X 1 + X 2 = 7.

l 1 do formuláře (2.2.3.) vydělíme obě jeho části 5:
. Tedy rovnou l 1 řezy na ose Ach 15 jednotek, na ose Ach 2 1 jednotka. Podobně máme pro l 2:
A l 3:
.

Chcete-li určit poloroviny, které splňují podmínky systému (2.2.1), musíte do vazeb dosadit souřadnice libovolného bodu, který neleží na hraniční čáře. Pokud získáme skutečnou nerovnost, pak všechny body z této poloroviny jsou řešením této nerovnosti. V opačném případě zvolte jinou polorovinu.

První a druhá požadovaná polorovina jsou tedy umístěny v opačném směru od počátku souřadnic (0 – 5 0 - 5; 70 + 0 7) a druhý – směrem k počátku souřadnic (0 + 0 6). Oblast možných řešení na obrázku 2.2.1 je stínovaná.

Obrázek 2.2.1 – Oblast možných řešení

Chcete-li najít optimální plán, který bude umístěn ve vrcholu polygonu řešení, musíte sestrojit vektor směrů
=(S 1 ,S 2), který udává směr největšího nárůstu účelové funkce z=S 1 X 1 +S 2 X 2 .

V tomto problému směrový vektor
= (1, 4): začíná v bodě O(0,0) a končí u bodu N(1, 4).

Dále sestrojíme přímku, která prochází oblastí proveditelných řešení, kolmo k vektoru a je tzv. čára cílové úrovně funkcí. Hladinovou linii posuneme ve směru vektoru v případě maximalizace účelové funkce z a v opačném směru, v případě minimalizace z, až do posledního průsečíku s regionem proveditelných řešení. Výsledkem je, že bod nebo body jsou určeny tam, kde cílová funkce dosáhne extrémní hodnoty, nebo je stanovena neohraničenost cílové funkce. z na sadě řešení problému.

Tedy maximální bod účelové funkce z je pointa A průsečíky čar l 2 a l 3 .

Vypočítat optimální hodnotu účelové funkce z najít souřadnice bodu A . Od věci A je průsečík čar l 2 a l 3, pak jeho souřadnice splňují soustavu rovnic složených z rovnic odpovídajících hraničních čar:

Takže pointa A má souřadnice X 1 =1/6, X 2 = 35/6.

Chcete-li vypočítat optimální hodnotu účelové funkce, musíte do ní dosadit souřadnice bodu A .

Dosazení souřadnic bodu A do účelové funkce (2.4), získáme

max z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Příklad 2.2.2. Sestrojte na rovině oblast možných řešení soustavy lineárních nerovnic (2.2.4) a najděte největší a nejmenší hodnotu účelové funkce (2.2.5):

(2.2.4)

z= –2X 1 –X 2 (2.2.5)

Řešení. Abychom sestrojili oblast proveditelných řešení, která se skládá z průsečíku polorovin odpovídajících každé nerovnosti soustavy vazeb (2.2.4), napíšeme rovnice hraničních přímek:

l 1: 4X 1 – X 2 = 0; l 2: X 1 + 3X 2 = 6; l 3: X 1 – 3X 2 = 6; l 4: X 2 = 1.

Rovný l 1 prochází bodem se souřadnicemi (0;0). Abychom to postavili, vyjadřujeme X 2 přes X 1: X 2 = 4X 1. Najdeme další bod, kterým přímka prochází l 1, například (1;4). Přes bod se souřadnicemi (0;0) a bod se souřadnicemi (1;4) vedeme přímku l 1 .

Zmenšit rovnici přímky l 2 k formuláři v segmentech na osách (2.2.3), obě jeho části vydělíme 6:
. Tedy rovnou l 2 řezy na ose Ach 1 6 jednotek, na ose Ach 2-2 jednotky. Podobně máme pro l 3:
a Přímý l 4 rovnoběžně s osou Ach 1 a prochází bodem se souřadnicemi (0;1) .

Pro určení polorovin, které splňují podmínky systému (2.2.4), je nutné do vazeb dosadit souřadnice libovolného bodu, který neleží na hraniční čáře. Kvůli omezeníX 1 0, X 2 0, oblast přípustných řešení ZLP leží v první čtvrtině souřadnicové roviny.

O
oblast možných řešení na obrázku 2.2.2 je stínovaná.

Obrázek 2.2.2 – Oblast možných řešení

Sestrojme vektor směrů
= (–2,–1). Dále postavíme linii úrovně kolmou k vektoru .

Najít nejvyšší hodnotuúčelové funkce posuneme linii hladiny ve směru vektoru až k poslednímu průsečíku s oblastí proveditelných řešení. Tedy maximální bod účelové funkce z je pointa A(průsečík čar l 1 a l 2).

Vypočítat optimální hodnotu účelové funkce z najít souřadnice bodu A. Od věci A je průsečík čar l 1 a l 2, pak jeho souřadnice splňují soustavu rovnic složených z rovnic odpovídajících hraničních čar:

Takže pointa A má souřadnice X 1 =6/13, X 2 = 24/13.

Dosazení souřadnic bodu A do účelové funkce (2.2.5), získáme optimální hodnotu účelové funkce

max z= – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Najít nejnižší hodnotaúčelové funkce posouváme linii hladiny ve směru opačném k vektoru až k poslednímu průsečíku s oblastí možných řešení. V tomto případě je účelová funkce v oblasti proveditelných řešení neomezená, tzn. ZLP nemá žádné minimum.

V důsledku rozhodnutí PPP jsou možné tyto případy:

Cílová funkce dosáhne své optimální hodnoty v jediném vrcholu polygonu řešení;

Účelová funkce dosáhne své optimální hodnoty v libovolném bodě na okraji polygonu řešení (ZLP má alternativu referenční plány se stejnými hodnotami z );

PAP nemá optimální plány;

ZLP má optimální plán v případě neomezené škály proveditelných řešení.

V této lekci se seznámíme s metodou grafického řešení problémy lineárního programování, tedy takové úlohy, ve kterých je požadováno najít řešení soustavy lineárních rovnic a (nebo) nerovnic (systému omezení), ve kterých cílová funkce - lineární funkce - nabývá optimální hodnoty.

Vzhledem k tomu, že viditelnost grafické řešení je dosaženo pouze v letadle, můžeme se s ním seznámit grafické znázornění problémy pouze ve dvourozměrném prostoru. Tato reprezentace je vhodná pro systém omezení nerovností se dvěma proměnnými nebo pro soustavy rovnic, ve kterých počet proměnných převyšuje počet rovnic o 2, tj. počet volných proměnných jsou dvě.

Proto má grafická metoda tak úzký rozsah použití, že o ní nelze mluvit jako o speciální metodě řešení úloh lineárního programování.

Nicméně vyrábět vizuální reprezentace Pro řešení problémů lineárního programování je zajímavá grafická metoda. Navíc nám umožňuje geometricky potvrdit platnost teorémy lineárního programování .

Teoretické základy grafické metody

Jde tedy o problém lineárního programování. Je potřeba najít nezáporné hodnoty proměnných a vyhovět systému nerovností

při kterém lineární tvar nabývá optimální hodnoty.

Příklad 3

Příklad 4. Vyřešte problém lineárního programování pomocí grafické metody, ve které musíte najít minimum funkce pod omezeními

Pokračujeme v řešení problémů pomocí grafické metody společně

Dosud dosažené závěry byly založeny na skutečnosti, že množina řešení problému lineárního programování je konfigurována tak, že optimální řešení je konečné a jedinečné. Nyní se podívejme na příklady, kdy je tato podmínka porušena. V těchto příkladech je polygon řešení zkonstruován tak, jak je ukázáno v předchozích příkladech, zastavme se u znaků, které tyto výjimečné příklady odlišují.

Příklad 5. Vyřešte problém lineárního programování pomocí grafické metody, ve které musíte najít maximum funkce s omezeními

Řešení. Obrázek ukazuje: neomezenou polyedrickou oblast řešení pro tento systém omezení, čáru počáteční úrovně (černá), vektor (vínová barva) udávající směr pohybu čáry počáteční úrovně pro nalezení maxima účelové funkce.