Sestrojte linie úrovní daných funkcí. Sestavte čáry na úrovni funkcí. Geometrická interpretace funkce dvou

Instrukce

Při konstrukci úrovňových čar vycházejte z toho, že se jedná o průměty do roviny s nulovou aplikací průsečíků čar grafu dané funkce s nějakou vodorovnou rovinou. Aplikace této roviny řezu je konstanta, ke které musí být rovnice funkce srovnána, abychom získali souřadnice bodů přímky. Může se změnit s krokem zadaným v podmínkách úlohy, pokud je požadováno sestavení sady čar. A pokud potřebujete postavit pouze jednu úrovňovou linii, podmínky mohou poskytnout souřadnice bodu, který na ní leží. Grafy z této stránky lze uložit nebo upravit interaktivní režim.

Redukujte funkci uvedenou v problémových podmínkách na tvar f(x,y) = konst. Pokud je například dáno z = x² + y² - 4*y, může být zapsáno v alternativní formě, aby lépe reprezentovalo tvar grafu funkce, a přirovnáno ke konstantě c: c+4 = x²+(y -2)². Objemový graf takové funkce je nekonečný a všechny jeho řezy vodorovnou rovinou zvednutou na různé , (tj. čáry požadované úrovně) budou soustředné kružnice s poloměrem určeným vzorcem √(c+4).

Dosaďte hodnotu pro linii hladiny specifikovanou v podmínkách pro konstantu c. Pokud není uveden, vyberte si jej sami na základě rozsahu hodnot funkce. Například pro příklad výše minimální hodnota konstanta může být číslo -4. Konstanta se může rovnat 5 a v tomto případě bude grafem funkce kružnice s poloměrem √(5+4) = 3 a středem v bodě s úsečkou rovnou 0 a pořadnicí rovnou 2.

Pokud potřebujete postavit několik linií úrovní, opakujte předchozí krok požadovaný počet opakování.

Na internetu můžete najít služby, které vám pomohou s výstavbou úrovňových čar. Níže je například odkaz na službu WolframAlpha. Do vstupního pole na její stránce zadejte vzorec funkce a klikněte na tlačítko s rovnítkem. Funkce z = x² + y² - 4*y použitá v příkladu musí být zadána v následujícím tvaru: x^2+y^2-4*y. Během pár sekund se na stránce objeví dvou- a trojrozměrné barevné grafy s úrovňovými čarami a také obrazec popsaný vzorcem, alternativní formy jeho zápisu a další funkce, které lze při konstrukci úrovňových čar využít.

Prameny:

• Služba WolframAlpha

Ne každý chce být rodinným despotou, ale i ti největší bázliví a soběstační lidé potřebují, aby jejich názor byl alespoň vyslyšen. Jak se správně seřadit linky vliv? Ovlivnit můžete pouze někoho, kdo něco potřebuje, takže se pojďme podívat na to, jak využít potřeby vašeho partnera, abyste od něj dostali to, co chcete, pomocí Maslowovy pyramidy.

Instrukce

Oblast lidských potřeb vychází z potřeb, především žízně, hladu a sexuální touhy. Partneři jsou cvičeni jako Pavlovův pes všemi metodami, ale tato metoda je nejméně rafinovaná. Některé manželky tak v mládí připravují své muže o blízké vztahy za sebemenší urážku a manželé totéž dělají ve vztahu k těm, kteří se nelíbili. Mnohem efektivnější je však tuto metodu používat pozitivně, tedy v reakci na ústupky dopřát svému milovanému opojnou, okouzlující intimitu.

Výše v hierarchii je potřeba bezpečí. Každý člověk chce žít pohodlně, se stabilním životním stylem, aniž by se něčeho bál. Když uražená manželka náhle odmítne manželovi vařit, nevědomky poruší jeho zvyky v domácnosti a způsobí bolest. To není vždy rozumná politika v negativních situacích je lepší chovat se neutrálně a odměňovat sebemenší pozitivní změny oblíbeným jídlem svého manžela nebo takovým, se kterým máte romantické vztahy.

Další dvě roviny zvážíme společně, protože jsou si významově blízké – to jsou potřeby úcty a lásky. Urážky bolí a slavná otázka „Jsi já?“ s následnými pokusy o manipulaci do značné míry kazí krev mužů i žen. Ale na této úrovni je mnoho lidí velmi závislých a zranitelných. Povzbuzení správného chování se dosahuje upřímnou chválou, zejména cizími lidmi, jemnými doteky a láskyplnými pohledy.

Pyramida je korunována potřebou seberealizace. Nesprávné chování je zde zesměšňování vkusu, duchovních potřeb a aspirací milované osoby. Po každém rozhodnutí, které potřebujete, nešetřete známkami pozornosti k kreativitě vašeho partnera. To se může projevit maličkostmi, například se zasmějete jeho dobrým vtipům a převyprávíte je dalším lidem s odkazem na autora. Je také dobré vytvořit svému blízkému podmínky pro kreativitu v oblasti, kde je skutečně talentovaný.

Samozřejmě můžete dosáhnout svých cílů tím, že svého partnera připravíte o to, co potřebuje. Vztahy však můžete skutečně posílit a obohatit pouze snahou uspokojit potřeby milovaného člověka Podle vyšší třída. Nezištná a nesobecká láska vám pomůže uhodnout v konkrétní situaci.

Video k tématu

Poznámka

Pomocí vlastnosti linearity úlohy spojíme tyto body tzv. přechodovou přímkou. Čára vlivu složená ze dvou sestrojených větví grafu S3−4 (x) a přechodové přímky tvoří čáru vlivu síly S3−4, znamenající závislost této síly na umístění jednotkového zatížení. (obr. 97). Vybudujeme linii vlivu síly ve stojanu 3-8, když se jeden náklad pohybuje níže.

Prameny:

• Kinematická metoda pro konstrukci vlivových čar v paprsku v roce 2019

Svět, který nás všechny obklopuje, má tři rozměry, ale list papíru nebo plátna, na kterém se snažíme zobrazit okolní realitu, je bohužel pouze dvourozměrný. Aby předměty, které zobrazujeme, působily co nejobjemněji a nejrealističtěji, je potřeba dodržovat určitá pravidla a správně je uspořádat. perspektivní.

Budete potřebovat

• list papíru, tužka, pravítko

Instrukce

Dále určíme, kde bude objekt umístěn vzhledem k linii horizontu. Pokud je v úrovni očí (tedy na horizontu), díváme se na objekt přímo. Pokud je objekt nad horizontem, díváme se na něj zespodu, v tomto případě je vidět spodní část. Pokud je objekt umístěn pod čarou horizontu, bude viditelný nejlepší část. Postavíme objekt, pomocí pravítka zkontrolujeme, že se všechny rovnoběžné čáry sbíhají v jednom bodě.

Video k tématu

Poznámka

Při konstrukci perspektivy si také musíte pamatovat nejen to, že všechny rovnoběžné čáry se sbíhají v jednom bodě, ale také to, že jak se vzdalujete, všechny zobrazené objekty se zmenšují. Velmi vzdálené předměty se dokonce mění v tečky.

V Nedávno Při stavbě garáží se stále častěji používají střešní krytiny s čirým povlakem. Výhodou průhledné střechy je, že umožňuje velký počet denní světlo a úroveň osvětlení vám umožňuje pracovat bez dalšího umělé osvětlení.

Budete potřebovat

• - ruleta;
• - fixa;
• - vrtačka;
• - šrouby;
• - šroubovák;
• - průhledný plast;
• - těsnicí kroužky;
• - tmel;
• - profilovaná pěna.

Instrukce

Změřte střechy pomocí metru. Označte krytinu tak, aby se její plechy překrývaly. Šířka přesahu je jeden a půl centimetru. Barevnou fixou označte linii řezu. Vezměte prosím na vědomí, že konec musí přiléhat k okraji pod úhlem 90 stupňů.

Do plastových desek vyvrtejte otvory pro šrouby. Průměr otvoru by měl být o 4 mm větší než průměr kování. Zajistěte šrouby. Upevňovací prvky by měly být umístěny na každém druhém hřebenu reliéfního plechu. Plast je poměrně křehký materiál, takže při jeho připevňování omezte mechanický náraz. Doporučuje se použít šroubovák.

Při montáži střešní krytiny je nutné instalovat mezi stěny O-kroužky a plastové krytky. Jako doplňkové těsnění můžete použít profilované, které se připevňuje šrouby v průchozích otvorech.

Video k tématu

Poznámka

Střecha garáže bude vypadat správně a krásně, pouze pokud budou mít rámy krokví stejný tvar a umístěn správně. Proto by se při provádění přípravných a pokrývačských prací měly používat šablony. Jako taková šablona se používá první prefabrikovaný rám.

Užitečná rada

Aby se transparentní povlak během procesu řezání neposouval, musí být upnut nástrojem pomocí dřevěných prken jako distančních podložek. Plastovou krytinu je nejlepší řezat pilkou s jemnými zuby. Nástroj musí být mírně nakloněn a používán bez tlaku. Jinak se pilový list zablokuje.

Prameny:

• přístroj odlišné typy střechy garáží v roce 2019

S nástupem léta chci obměnit šatník, přidat do něj nové barvy a styly. Nemusíte kvůli tomu chodit do obchodu - některé modely oblečení si můžete ušít sami. Letní šaty jsou právem považovány za jednu z nejjednodušších částí oděvu. Stačí si vybrat dobré světlo látky, vytvořte vzor a všechny díly sešijte k sobě.

Budete potřebovat

• - papír;
• - tužka;
• - svinovací metr;
• - pravítko;
• - nůžky.

Instrukce

Vezměte měřicí pásku a změřte následující vzdálenosti: DSP - délka zad k pasu, DSB - délka zad k bokům, PG - vzdálenost od ramene k horní části hrudníku, OT - obvod pasu, OB - objem boků, OG - objem hrudníku, VT - vzdálenost mezi horními body hrudníku, DI - délka výrobku (od ramene k lemu).

Vzít velký list papír (lepší než speciální papír na vzory s milimetrovým značením) a nakreslete obdélník, jehož délka se rovná DI a šířka je rovna čtvrtině OG. Pokud jsou vaše boky větší než hrudník, šířka obdélníku by se měla rovnat čtvrtině OB. Toto bude polovina přední strany. Označte prosím jednu z následujících možností vertikální strany jako střed.

Najděte svůj pas, hrudník a boky. Chcete-li to provést, změřte od horního okraje obdélníku vzdálenosti rovnající se PG, DST a DSB a nakreslete na této úrovni vodorovné čáry.

Najděte horní bod svého hrudníku. Chcete-li to provést, změřte polovinu VT podél linie hrudníku od středu přední části. Nakreslete svislou čáru z tohoto bodu přes celý obdélník.

Na průsečíku této čáry s linií pasu udělejte šipku, dejte stranou 2 - 4 cm vpravo a vlevo od průsečíku. Spojte tyto dva body s horním bodem hrudníku a kyčlí . Měli byste skončit s dlouhým vertikálním diamantovým tvarem. Udělejte druhou šipku podél bočního švu (dostanete polovinu kosočtverce).

Ozdobte horní část letních šatů dle libosti ve tvaru písmene „L“. Můžete udělat kulatý, trojúhelníkový nebo rovný řez. Udělejte průramek nízký nebo vysoký, v závislosti na vaší postavě. V horní části „L“ (v průsečíku průramku a výstřihu) zapněte ramínka.

Stejným způsobem vytvořte zadní vzor. Rozdíl mezi zadní a přední částí je v tom, že horní část bude jednoduše seříznuta vodorovně, ve výšce průsečíku linie průramku s boční linkou.

Vystřihněte detaily vzoru sundress a začněte šít.

Pódia jsou plošiny poblíž pobřeží, jako by se vznášely nad vodou.

Bývají dřevěné a představují prodloužení zahradní cesty. Na pódium si můžete postavit dřevěný altán nebo lavičku, posezení, na kterém si můžete užívat rybaření nebo jen obdivovat rybník. A pokud se můžete koupat v rybníku, pak ještě víc příhodné místo není místo pro potápění.

Navrhování a montáž lešení je zajímavý a kreativní úkol:

1. Nejprve jsou instalovány piloty, které mohou být vyrobeny z kovové trubky (100x100 mm);

2. Poté se k nim připevní dřevěný nebo kovový rám, ke kterému jsou již připevněny podlahové desky. Mezi nimi jsou ponechány mezery pro odvětrání dřeva.

3. Na břehu se každé tři metry staví základové pilíře, na kterých spočívá paluba. Měly by se zvedat 20-30 cm nad vodou, vzhledem k tomu, že v období dešťů hladina vody stoupá. Podle odborníků je jeviště tvořeno maximálně 25 % vodní plochy.

Na

několik funkcí

stáhnout graf

Vytvoření grafu funkce online

okamžitě.

Služba online okamžitě nakreslí graf

Absolutně podporováno Všechno matematické funkce

Goniometrické funkce
				Kosekant	Kotangens	arcsinus	oblouk kosinus	Arktangens	Arcsecant	Arccosecant	Arckotangens
Hyperbolické funkce
jiný
Přirozený logaritmus		Logaritmus		Odmocnina				Zaokrouhlit dolů		Zaokrouhlit nahoru
Minimální						Maximum
min(výraz1,výraz2,…)						max(výraz1,výraz2,…)

Graf funkce

Konstrukce 3D povrchu

Zadejte rovnici

Sestrojme plochu definovanou rovnicí f(x, y, z) = 0, kde a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Další příklady:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0,3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5,0*(x^2+y^2+z^2)+11,8=0

Kanonický pohled na křivku a povrch

Typ křivky a povrch 2. řádu můžete určit online pomocí podrobného řešení:

Pravidla pro zadávání výrazů a funkcí

Výrazy se mohou skládat z funkcí (zápisy jsou uvedeny v abecedním pořadí):

absolutní (x) Absolutní hodnota X
(modul X nebo |x|) arccos(x) Funkce - oblouk cosinus of Xarccosh(x) Arc cosinus hyperbolic from Xarcsin(x) Arcsine z Xarcsinh(x) Arcsine hyperbolické od Xarctan(x) Funkce - arkustangens of Xarctgh(x) Arktangens hyperbolický od XEEčíslo, které se přibližně rovná 2,7 exp(x) Funkce - exponent X(tak jako E^X) log(x) nebo ln(x) Přirozený logaritmus X
(Získat log7(x), musíte zadat log(x)/log(7) (nebo například for log10(x)=log(x)/log(10)) píČíslo je "Pi", což se přibližně rovná 3,14 hřích(x) Funkce - sinus Xcos(x) Funkce - Kosinus of Xsinh(x) Funkce - Hyperbolický sinus of Xcosh(x) Funkce — Hyperbolický kosinus of Xsqrt(x) Funkce - Odmocnina z Xsqr(x) nebo x^2 Funkce - Čtverec Xtan(x) Funkce - Tečna od Xtgh(x) Funkce — Hyperbolická tečna od Xcbrt(x) Funkce - třetí odmocnina z Xpatro (x) Funkce - zaokrouhlování X dolů (příklad podlaha(4,5)==4,0) znak (x) Funkce - Znamení Xerf(x) Chybová funkce (Laplaceův nebo pravděpodobnostní integrál)

Ve výrazech lze použít následující operace:

Reálná čísla zadejte jako 7.5 , Ne 7,5 2*x- násobení 3/x- rozdělení x^3- umocňování x+7- přidání x - 6- odčítání

Jak zobrazit graf funkce online na tomto webu?

Na vykreslit funkci online, stačí zadat svou funkci do speciálního pole a kliknout někam mimo něj. Poté se automaticky vykreslí graf zadané funkce. Řekněme, že chcete sestavit klasický graf funkce „x na druhou“. V souladu s tím musíte do pole zadat „x^2“.

Pokud potřebujete spiknout několik funkcí současně klikněte na modré tlačítko „Přidat další“. Poté se otevře další pole, ve kterém budete muset zadat druhou funkci. Jeho harmonogram bude také sestaven automaticky.

Barvu čar grafu můžete upravit kliknutím na čtvereček umístěný napravo od pole pro zadání funkce. Zbývající nastavení jsou umístěna přímo nad oblastí grafu. S jejich pomocí můžete nastavit barvu pozadí, přítomnost a barvu mřížky, přítomnost a barvu os, přítomnost značek a také přítomnost a barvu číslování segmentů grafu. V případě potřeby můžete změnit měřítko funkčního grafu pomocí kolečka myši nebo speciálních ikon v pravém dolním rohu kreslicí plochy.

Po zakreslení a zadání potřebné změny v nastavení můžete stáhnout graf pomocí velkého zeleného tlačítka "Stáhnout" úplně dole. Budete vyzváni k uložení funkčního grafu jako obrázku PNG.

Proč potřebujete graf funkce?

Na této stránce můžete stavět interaktivní graf online funkce.

Graf funkce online

Vykreslení funkčního grafu vám umožní vidět geometrický obraz konkrétní matematické funkce. Abychom vám usnadnili sestavení takového grafu, vytvořili jsme speciál online aplikace. Je zcela zdarma, nevyžaduje registraci a lze jej bez problémů používat přímo ve vašem prohlížeči. další nastavení a manipulace. Sestavování grafů pro různé funkce nejčastěji vyžadují studenti středních a vysokých škol, kteří studují algebru a geometrii, a také studenti prvních a druhých ročníků vyšších kurzů matematiky. Obvykle, tento proces Nakreslit osy grafu na papír, položit souřadnicové body, spojit je přímkou ​​atd. zabere spoustu času a vyžaduje spoustu kancelářských potřeb. Pomocí tohoto služba online budete schopni vypočítat a vykreslit graf funkce okamžitě.

Jak funguje grafická kalkulačka pro vytváření grafů funkcí?

Služba online Funguje to velmi jednoduše. Funkce (tedy samotná rovnice, jejíž graf je potřeba vykreslit) se zadává do pole úplně nahoře. Ihned po vstupu do aplikace okamžitě nakreslí graf v oblasti pod tímto polem. Vše se děje bez obnovení stránky. Dále můžete zadat různé nastavení barev a také skrýt/zobrazit některé prvky funkčního grafu. Poté lze hotový graf stáhnout kliknutím na příslušné tlačítko úplně dole v aplikaci. Výkres se stáhne do vašeho počítače ve formátu .png, který si můžete vytisknout nebo přenést do papírového sešitu.

Jaké funkce podporuje nástroj pro tvorbu grafů?

Absolutně podporováno všechny matematické funkce, což může být užitečné při vykreslování grafů. Zde je důležité zdůraznit, že na rozdíl od klasického jazyka matematiky používaného ve školách a univerzitách je znak titulu v přihlášce označen mezinárodním znakem „^“. To je způsobeno chybějící schopností napsat titul v obvyklém formátu na klávesnici počítače. Níže je tabulka s úplný seznam podporované funkce.

Aplikace podporuje následující funkce:

Goniometrické funkce
				Kosekant	Kotangens	arcsinus	oblouk kosinus	Arktangens	Arcsecant	Arccosecant	Arckotangens
Hyperbolické funkce
jiný
Přirozený logaritmus		Logaritmus		Odmocnina				Zaokrouhlit dolů		Zaokrouhlit nahoru
Minimální						Maximum
min(výraz1,výraz2,…)						max(výraz1,výraz2,…)

Příklady. Sestavte řádky úrovně funkcí odpovídající hodnotám

Sestavte řádky úrovně funkcí odpovídající hodnotám .

Za předpokladu, že získáme rovnice odpovídajících linií úrovně:

Vybudováním těchto linek v Kartézský systém souřadnice xOy, získáme přímky rovnoběžné s osou druhého a čtvrtého úhlu souřadnic (obr. 1)

Napišme rovnice linií hladiny:

, , , A .

Jejich sestrojením v rovině xOy získáme soustředné kružnice se středem v počátku souřadnic (obr. 2)

Úrovňové linie této funkce , , , a jsou paraboly symetrické vzhledem k Oy se společným vrcholem v počátku (obr. 3).

2. Směrová derivace

Důležitou charakteristikou skalárního pole je rychlost změny pole v daném směru.

Pro charakterizaci rychlosti změny pole ve směru vektoru je zaveden pojem derivace pole ve směru.

Zvažte funkci v bodě a bodě.

Prokreslíme body a vektor. Úhly sklonu tohoto vektoru ke směru souřadnicových os x, y, z označme a, b, g, resp. Kosiny těchto úhlů se nazývají směrové kosiny vektor

∙ prochází jedním bodem v rovině rovnoběžné s přímkou ​​rovnoběžnou s touto rovinou.

Příklad sestrojení přímky na rovině (obr. 3.12):
Rýže. 3.12 Úkol: sestrojte přímku na rovině ABC, zadané
		čelní projekce

3.4 Hlavní rovinné čáry

K řešení mnoha problémů deskriptivní geometrie se používají čáry konkrétní polohy - úrovňové čáry.

Úrovně jsou čáry v rovině rovnoběžné s PP. Čára rovnoběžná s horizontálním PP je vodorovná, Frontální je čelní, Profil PP je profilová čára.

Protože jsou úrovňové přímky rovnoběžné s jejich promítacími rovinami, na ostatních PP budou jejich průměty rovnoběžné se souřadnicovými osami. Například čelní projekce horizontály je rovnoběžná s osou x 12.

Příklady konstrukce nivelačních čar: ∙ Horizontální h (obr. 3.13);

h 11 1

Rýže. 3.13 Vodorovně na rovině

Pokud je rovina definována stopami, budou úrovňové čáry h a f rovnoběžné se stopami na jejich promítacích rovinách: horizontální k horizontálním stopám, frontální k frontálním stopám atd. (obr. 3.14). V podstatě je dráha roviny úrovňová čára nekonečně blízko promítací rovině.

			f 1≡ h 2

Rýže. 3.14 Úrovňové linie roviny definované stopami

3.5 Bod na rovině

Bod leží v rovině, pokud patří k nějaké přímce v této rovině. Pro sestrojení bodu v rovině je tedy nutné nejprve sestrojit pomocnou přímku na rovině tak, aby procházela daným průmětem požadovaného bodu, a poté najít bod na sestrojené pomocné přímce podél spojnice. .

Příklady sestrojení bodu na rovině (obr. 3.15):

		D1 - ?
	D1 - ?

Rýže. 3.15 Bod na rovině

Konstrukce bodu na rovině definované stopami.

Je-li rovina specifikována stopami, používají se nivelační čáry jako přímky patřící k rovině, pomocí kterých se kontroluje příslušnost bodu k rovině, které lze snadno sestrojit kreslením rovnoběžně s danými stopami (obr. 3.16). Je třeba mít na paměti, že průmět bodu náležejícího ke stopě roviny na jinou promítací rovinu bude na ose oddělující průmětny (viz (.)1).

				f 1≡ h 2

Rýže. 3.16 Použití úrovňových čar ke konstrukci brýlí na rovině definované dráhami

Téma 4 Reciproční postavení geometrické tvary: přímka a rovina, dvě roviny.

Přímka a rovina, stejně jako dvě roviny, mohou být:

∙ vzájemně paralelní

∙ protínají se,

∙ navzájem kolmé.

4.1 Paralelní postavy

4.1.1 Přímka rovnoběžná s rovinou

Příklad 1 (obr. 4.1). Existuje rovina Σ(a Ç b).

Vzhledem k (.)A a čelní projekci 2 rovně. Nakreslete přímku skrz (.)A rovnoběžnou s rovinou Σ

A 2l 2

Rýže. 4.1 Konstrukce přímky rovnoběžné s rovinou

Příklad 2. Skrz (.)A nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s rovinou

Σ(ABC) (obr. 4.2).

Rýže. 4.2 Vodorovně rovnoběžně s rovinou

4.1.2 Vzájemně rovnoběžné roviny

Dvě roviny jsou vzájemně rovnoběžné, jsou-li dvě protínající se přímky jedné roviny rovnoběžné se dvěma protínajícími se přímkami jiné roviny (obr. 4.3).

				a // d
							ý Þ a // d
				a 2// d 2þ
				před naším letopočtem				Þ b// c
				b 2// c 2þ
				pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )

Rýže. 4.3 Vzájemně rovnoběžné roviny

Čáry lze vybrat jako protínající se čáry
soukromá situace. Odtud:
Jsou-li stejnojmenné stopy dvou rovin rovnoběžné. Že
samotné roviny jsou rovnoběžné.
				pl .S (f Ç h ) //pl .T (f "Ç h")
			h′
Rýže. 4.4 Paralelní roviny,
	dáno stopami
Příklad 4.3: Skrz (.)A nakreslete rovinu Θ rovnoběžnou s rovinou
Γ definované dvěma rovnoběžnými čarami (obr. 4.5).
	Rýže. 4.5 Paralelní roviny

Stavební technika:

1. Na rovině Г se pomocí přímky vybere libovolný pomocný bod1.

2. Přes (.) 1 nakreslete dvě libovolné přímky l a k tak, aby protínaly další přímku, definující rovinu - přímku b.

3. Prostřednictvím daného bodu A nakreslete dvě přímky m a n, rovnoběžné s pomocnými čarami l a k. Tihle dva

protínající se přímky la k budou definovat požadovanou rovinu Q, rovnoběžnou s danou rovinou Г.

Příklad 4.4: Protáhněte skrz (.)A

letadlo

paralelní

frontální promítací rovinaΣ (m ||n) (obr. 4.6).

≡ l 2

Rýže. 4.6 Rovnoběžné roviny

Stavební technika:

1. Na frontální PP přes frontální projekci A 2 daným bodem A je nakreslena přímka A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Tato přímka bude čelní stopou požadované roviny D. Rovina rovnoběžná s čelní promítací rovinou musí být sama čelní promítací rovinou!

2. Na vodorovném PP jsou náhodně vybrány dva body V 1 a

C1.

3. Čelní projekce Ve 2 a C se hledají 2 body B a C podél komunikačních linek na sestrojené stopě požadované roviny D.

NB! Navzdory skutečnosti, že body B a C byly na vodorovném PP zvoleny libovolně, rovina definovaná body АВС bude rovnoběžná s danou frontální promítací rovinou, protože na frontálním PP se body АВС nacházejí na stejné přímce rovnoběžné s PP. frontální stopa dané rovinyΣ.

4.2 Průsečík přímky a roviny. Průsečík

Uvažujme speciální případ, kdy je potřeba najít (.)K průsečíků přímky obecná pozice l a vodorovnou promítací rovinuΣ.

Příklad 4.9: Sestrojte průsečík přímky l s vodorovnou promítací rovinou Σ (obr. 4.7):

	å ^ P 1

Rýže. 4.7 Průsečík přímky s průmětnou rovinou

Konstrukce je velmi jednoduchá. Protože promítací rovina Σ má společnou vlastnost, bod jejího průsečíku s přímkou

se nachází jako průsečík vodorovné stopy Σ 1 roviny a vodorovného průmětu přímky 1. Čelní průmět průsečíku se nachází podél komunikační linie.

Sestrojit průsečík libovolné přímky s obecnou rovinou as pomocný prvek měly by být použity pomocné projekční roviny.

Příklad 4.10: Sestrojte průsečík přímky m s rovinou

(a Ç b) (obr. 4.8).

å ^ P 2; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Rýže. 4.8 Průsečíky přímky a roviny

Pro konstrukci byla použita pomocná čelně vyčnívající rovina Σ, procházející přímkou ​​m.

Přímka l průsečíku rovin Σ Ç leží ve stejné rovině s přímkou ​​m, protože pomocná rovina byla speciálně vedena přímkou. V důsledku toho, pokud jsou přímky l a m ve stejné rovině, pokud se protnou, dají bod, který bude požadovaným průsečíkem dané přímky ma roviny.

Pokud se ukáže, že přímky l a m jsou rovnoběžné, znamená to, že daná přímka m a rovina jsou rovnoběžné.

	Průsečík dvou rovin.
K sestrojení průsečíku dvou rovin to stačí
najděte libovolné dva body této čáry nebo jeden bod a směr
průsečíkové čáry.
Pokud hledáte průsečík dvou rovin, z nichž jedna
promítání, průsečík je určen nejjednodušší
stavby.
Příklad 4.5: Sestrojte průsečík roviny				daný
dvě přímky l ||m a vodorovnou rovinu Σ (obr.
			S 2≡ S 2
	Rýže. 4.9 Průsečík rovin

NB! Průsečík patří do vodorovné roviny hladiny Σ, je tedy vodorovná.

Jednoduchost konstrukce průsečíku obecných rovin s konkrétními rovinami dává šikovný nástroj sestrojení průsečíku dvou rovin v obecné poloze.

Rýže. 4.10 Pomocné řezné roviny

Takovým nástrojem jsou pomocné řezné roviny určité polohy, např. rovinné roviny (obr. 4.10).

Pro sestrojení průsečíku rovin Φ a Θ byly použity dvě vodorovné roviny Г" a Г"" Průsečíky M a N

dvojice čar a"

S "X lX m

Rýže. 4.11 Konstrukce průsečíku rovin

Pro konstrukci byly použity vodorovné roviny Σ" a Σ"".

Příklad 4.7: Sestrojte průsečík roviny Φ(ABC) 6

5 1 X 6 1

Rýže. 4.12 Konstrukce průsečíku rovin

Pro konstrukci se používají pomocné frontálně vyčnívající roviny „a“, které na frontálním PP procházejí po frontálních průmětech rovnoběžných přímek l a m, definujících rovinu T. Pomocná rovina „protíná danou rovinu Φ (ABC) po el. řádek 12. Vodorovný průmět této přímky protíná vodorovný průmět přímky v bodě E 1. Tento bod se hledá na čelním PP podél komunikační linky. Bod E je společný rovině Φ(ABC) a Τ(l ||m). Tento bod je tedy jedním z bodů na průsečíku rovin Φ(ABC) a Τ(l ||m). Byl nalezen i bod F průsečíku roviny "" s přímkou ​​m. Bod F je také bodem průsečíku rovin Φ(ABC) a Τ(l ||m). Spojením získaných bodů E a

h" 1 M 1 h 1

Rýže. 4.13 Konstrukce průsečíku rovin

Body průsečíku jsou (.)M průsečíky vodorovných stop a h" daných rovin a (.)N průsečíky frontálních stop f a f" . Spojením těchto bodů na odpovídajících promítacích rovinách vznikne průmět průsečíku daných rovin.

Definice. Nechť existuje n proměnných a každá sada jejich hodnot (x X , X 2 ,..., X P ) z nějaké sadyXodpovídá jedné dobře definované hodnotě proměnnéz. Pak říkáme, že je dána funkce více proměnnýchz= F(X X , X 2 ,..., X P ) .

Proměnné X X , X 2 ,..., X P jsou nazývány nezávislé proměnné nebo argumenty,z - závislá proměnná, symbol F prostředek právo korespondence. hromada X volal doména definice funkce. Je zřejmé, že se jedná o podmnožinu n-rozměrného prostoru.

Označuje se funkce dvou proměnných z=f(x, y). Pak je jeho doménou definice X podmnožina souřadnicové roviny Ohoo.

Okolí bodu
nazývá se kružnice obsahující bod
(viz obr. 1).

Je zřejmé, že kruh v rovině je dvourozměrná analogie intervalu na přímce.

Při studiu funkcí více proměnných se používá matematický aparát: libovolná funkce z= F(X, y) můžete spojit dvojici funkcí jedné proměnné: s pevnou hodnotou x=x 0 funkce z=
a na pevnou hodnotu y=y 0 funkce z= F(X, y 0 ).

Graf funkce dvou proměnných z=
nazývaná množina bodů v trojrozměrném prostoru (x, y, z), aplikovat z která je spojena s úsečkou X a ordinovat na funkční vztah z=
.

Chcete-li zobrazit graf funkce z=f(x, y) je užitečné uvažovat funkce jedné proměnné z= F(X, y 0 ) A z=
, zastupující sekce grafika z= F(X, y) roviny rovnoběžné s rovinami souřadnic Oxz A Oyz, tj. letadla y=na 0 A x=x 0 .

Příklad 1. Nakreslete graf funkce
.

Řešení. Povrchové řezy
=
roviny rovnoběžné s rovinami souřadnic Oyz A Oxz, představují paraboly (například at x = 0
, přičemž y = 1
atd.). V řezu plochy souřadnicovou rovinou Ohoo, tj. letadlo z=0, výsledkem je kruh
Graf funkce představuje plochu zvanou paraboloid (viz obr. 2)

Definice. Hladinová čára funkce dvou proměnných z=f(x, y) je množina bodů v rovině taková, že ve všech těchto bodech je hodnota funkce stejná a rovna C. Číslo C se v tomto případě nazývá hladina.

Obrázek 3 ukazuje čáry úrovně odpovídající hodnotám C=1 a C=2. Jak vidíte, čára úrovně sestává ze dvou neprotínajících se křivek. Čára – samoprotínající se křivka.

Mnoho příkladů úrovňových čar je dobře známých a známých. Například rovnoběžky a poledníky na zeměkouli jsou čáry na úrovni funkcí zeměpisné šířky a délky. Prognostici zveřejňují mapy znázorňující izotermy - čáry teplotních hladin.

Příklad 2. Vytvořte řádky na úrovni funkce
.

Řešení. Hladinová čára z= C toto je křivka na rovině ooh, daný rovnicí X 2 + na 2 - 2y = C nebo X 2 + (y - I)2 = C+l. Toto je rovnice kružnice se středem v bodě (0; 1) a poloměrem
(obr. 4).

Bod (0; 1) je degenerovaná úrovňová čára odpovídající minimální hodnotě funkce z=-1 a dosáhli bodu (0; 1). Úrovňové linie jsou soustředné kružnice, jejichž poloměr se zvětšováním zvětšuje z= C, Navíc se vzdálenosti mezi čarami se stejnou roztečí zmenšují se vzdáleností od středu. Úrovňové čáry umožňují vizualizovat graf této funkce, který byl dříve vykreslen na Obr. 2.

Částečné derivace

Dejme argument X přírůstek ∆х, argument y - přírůstek ∆у. Pak funkce z obdrží zvýšenou hodnotu f (x+∆x, y+∆y). Velikost ∆ z= F(X+∆ X, y+∆ y)- F{ X, y) volal plně funkční přírůstek na místě (x; y). Pokud zadáte pouze přírůstek argumentu X nebo jen přírůstek argumentů y, pak se odpovídajícím způsobem volají výsledné přírůstky funkce soukromé.

Celkový přírůstek funkce, obecně řečeno, není roven součtu podílů, tzn.

Příklad 15.6. Najděte částečný a celkový přírůstek funkce z= xy.

Řešení. ;;.

Mám to

Definice.Parciální derivace funkce více proměnných podle jedné z těchto proměnných se nazývá limit poměru odpovídajícího dílčího přírůstku funkce k přírůstku uvažované nezávislé proměnné, protože tato má tendenci k nule (pokud tato mez existuje).

Parciální derivace je označena takto:
nebo
nebo
.

Chcete-li najít derivát
musíme zvážit proměnnou y konstantu a najít
-proměnná x. V tomto případě jsou zachována známá pravidla diferenciace.

Příklad. Najděte parciální derivace funkce:

A) z= X ln y+ .

Řešení: Najít parciální derivaci vzhledem k X, myslíme na konstantní hodnotu. Tím pádem,
. Podobně rozlišování s ohledem na y, myslíme X konstantní hodnotu, tzn.
.

Funkční diferenciál

Definice.Funkční diferenciál je součet součinů parciálních derivací této funkce přírůstky odpovídajících nezávislých proměnných, těch.

dz=
. (1)

Vzhledem k tomu, že pro funkce f(x, y) = x,G(X, y) = y podle (1) df= dx=∆ X; dg= dy=∆ y diferenciální vzorec (1) lze zapsat ve tvaru dz= z" X dx+ z" y dy (2) nebo

Definice.Funkcez= F(X, y) se nazývádiferencovatelné v bodě (x, y), pokud lze jeho celkový přírůstek vyjádřit jako(3), Kdedz - diferenciální funkce, – ,infinitezimální at
.

Dostatečný podmínka diferencovatelnosti funkce dvou proměnných.

Teorém.Pokud parciální derivace funkcez" proti (X, y) existují v okolí bodu (x, y) a jsou spojité v bodě (x, y), pak funkcez= F{ X, y) je v tomto bodě diferencovatelná.

Zatím jsme zvažovali nejjednodušší funkční model, kde funkce záleží na jediném argument. Ale při studiu různých jevů okolního světa se často setkáváme se současnými změnami ve více než dvou veličinách a mnohé procesy lze efektivně formalizovat funkce několika proměnných, kde - argumenty nebo nezávislé proměnné. Začněme téma rozvíjet tím nejběžnějším v praxi. funkce dvou proměnných .

Funkce dvou proměnných volal zákon, podle kterého každá dvojice hodnot nezávislé proměnné(argumenty) od doména definice odpovídá hodnotě závislé proměnné (funkce).

Tato funkce označeno takto:

Buď , nebo jiné standardní písmeno:

Protože uspořádaná dvojice hodnot „x“ a „y“ určuje bod na rovině, pak se funkce také zapíše přes , kde je bod v rovině se souřadnicemi . Tento zápis je široce používán v některých praktických úlohách.

Geometrický význam funkce dvou proměnných velmi jednoduché. Pokud funkce jedné proměnné odpovídá určité přímce v rovině (například známá školní parabola), pak se graf funkce dvou proměnných nachází v trojrozměrném prostoru. V praxi se nejčastěji musíme vypořádat s povrch, ale někdy může být grafem funkce například prostorová čára(y) nebo dokonce jeden bod.

Elementární příklad plochy z kurzu dobře známe analytická geometrie- Tento letadlo. Za předpokladu, že lze rovnici snadno přepsat jako funkční forma:

Nejdůležitější atribut funkce 2 proměnných - to je již oznámeno doména.

Oblast funkce dvou proměnných nazvaný soubor každý párů, pro které hodnota existuje.

Graficky je doménou definice celé letadlo nebo jeho část. Tedy definiční obor funkce je celá rovina souřadnic - z toho důvodu pro jakékoli bod existuje hodnota .

Ale k takovému nečinnému uspořádání samozřejmě nedochází vždy:

Jako dvě proměnné?

S ohledem na různé koncepty funkcí více proměnných, je užitečné kreslit analogie s odpovídajícími pojmy funkcí jedné proměnné. Zejména při zjišťování doména definice platili jsme Speciální pozornost pro ty funkce, které obsahují zlomky, dokonce odmocniny, logaritmy atd. Zde je vše úplně stejné!

S úkolem najít definiční obor funkce dvou proměnných s téměř 100% pravděpodobností se ve vaší tematické práci setkáte, rozeberu tedy slušné množství příkladů:

Příklad 1

Najděte definiční obor funkce

Řešení: protože jmenovatel nemůže jít na nulu, pak:

Odpovědět: celá rovina souřadnic kromě bodů patřících k přímce

Ano, ano, je lepší napsat odpověď tímto stylem. Definiční obor funkce dvou proměnných se zřídka označuje nějakým symbolem, mnohem častěji se používá slovní popis a/nebo výkres.

Pokud podle podmínky Požadované udělat výkres, pak by bylo nutné znázornit souřadnicovou rovinu a tečkovaná čára udělat rovnou čáru. Tečkovaná čára označuje tuto čáru Vyloučeno do domény definice.

Jak uvidíme o něco později, v těžších příkladech se bez kresby vůbec neobejdete.

Příklad 2

Najděte definiční obor funkce

Řešení: radikální výraz musí být nezáporný:

Odpovědět: polorovina

Grafický obrázek tady je to také primitivní: nakreslíme kartézský souřadnicový systém, pevný nakreslete rovnou čáru a vystínujte horní část polorovina. Plná čára označuje skutečnost, že je zahrnuta do domény definice.

Pozornost! Pokud z druhého příkladu ČEMU nerozumíte, prostudujte si/zopakujte si prosím lekci podrobně Lineární nerovnosti– bez něj to bude velmi těžké!

Náhled pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 3

Najděte definiční obor funkce

Dvouřádkové řešení a odpověď na konci lekce.

Pokračujme v zahřívání:

Příklad 4

A znázorněte to na výkresu

Řešení: je snadné pochopit, že jde o formulaci problému vyžaduje provedení výkresu (i když doména definice je velmi jednoduchá). Ale nejprve analytika: radikál výrazu musí být nezáporný: a vzhledem k tomu, že jmenovatel nemůže jít na nulu, nerovnost se stává přísnou:

Jak určit oblast, kterou nerovnost vymezuje? Doporučuji stejný algoritmus akcí jako v řešení lineární nerovnosti.

Nejprve kreslíme čára, který je nastaven odpovídající rovnost. Rovnice určuje kruh se středem v počátku poloměru, který rozděluje rovinu souřadnic na dvačásti - „uvnitř“ a „vnějšku“ kruhu. Protože máme nerovnost přísný, pak kruh sám o sobě jistě nebude zahrnut do domény definice a proto musí být nakreslen tečkovaná čára.

Teď to vezmeme libovolný rovinný bod, nepatřící k kružnice a její souřadnice dosadíme do nerovnosti. Nejjednodušší způsob je samozřejmě vybrat původ:

Přijato falešná nerovnost, tedy bod neuspokojuje nerovnost Tuto nerovnost navíc nesplňuje žádný bod ležící uvnitř kružnice, a proto je požadovanou doménou definice její vnější část. Definiční oblast je tradičně šrafována:

Každý může vzít libovolný bod patřící do zastíněné oblasti a ujistit se, že jeho souřadnice splňují nerovnost. Mimochodem, opačná nerovnost dává kruh se středem v počátku, poloměr .

Odpovědět: vnější část kruhu

Vraťme se ke geometrickému významu problému: našli jsme doménu definice a zastínili ji, co to znamená? To znamená, že v každém bodě stínované oblasti je hodnota „zet“ a graficky funkce je následující povrch:

Schématický nákres to jasně ukazuje daný povrch nachází na některých místech výše letadlo (blízké a vzdálené oktanty od nás), na nějakých místech - pod letadlo (levý a pravý oktanty vzhledem k nám). Plocha také prochází osami. Chování funkce jako takové nás ale nyní příliš nezajímá – důležité je to to vše se děje výhradně v oblasti definice. Pokud vezmeme jakýkoli bod patřící do kruhu, nebude tam žádný povrch (protože neexistuje žádný „zet“), jak dokládá kulatý prostor uprostřed obrázku.

Pochopte prosím dobře tento příklad, protože v něm já podrobněji vysvětlil podstatu problému.

Následující úkol musíte vyřešit sami:

Příklad 5

Rychlé řešení a kresba na konci lekce. Obecně platí, že v uvažovaném tématu mezi Řádky 2. řádu nejoblíbenější je kruh, ale jako možnost mohou do problému „tlačit“. elipsa, nadsázka nebo parabola.

Pojďme nahoru:

Příklad 6

Najděte definiční obor funkce

Řešení: radikální výraz musí být nezáporný: a jmenovatel nemůže být roven nule: . Definiční doménu tedy určuje systém.

První podmínku řešíme tím standardní schéma diskutováno ve třídě Lineární nerovnosti: nakreslete přímku a určete polorovinu, která odpovídá nerovnosti. Protože nerovnost nepřísný, pak bude řešením i samotná přímka.

S druhou podmínkou systému je vše také jednoduché: rovnice specifikuje ordinátní osu, a protože , pak by měla být vyloučena z oblasti definice.

Nakreslíme výkres, přičemž nezapomeneme, že plná čára označuje jeho vstup do oblasti definice a tečkovaná čára označuje jeho vyloučení z této oblasti:

Nutno podotknout, že už jsme tady nucený udělat nákres. A tato situace je typická – v mnoha úkolech je slovní popis oblasti obtížný, a i když jej popíšete, budete s největší pravděpodobností špatně pochopeni a budete nuceni oblast vykreslit.

Odpovědět: doména:

Mimochodem, taková odpověď bez kresby opravdu působí vlažně.

Zopakujme si ještě jednou geometrický význam získaného výsledku: ve stínované oblasti je graf funkce , který představuje povrch trojrozměrného prostoru. Tato plocha může být umístěna nad/pod rovinou, může rovinu protínat - dovnitř v tomto případě To vše máme paralelně. Samotný fakt existence povrchu je důležitý a je důležité správně najít oblast, ve které existuje.

Příklad 7

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Přibližný vzorek dokončení úkolu na konci lekce.

Není neobvyklé, že zdánlivě jednoduché funkce vytvářejí dlouhodobé řešení:

Příklad 8

Najděte definiční obor funkce

Řešení: použitím vzorec čtvercového rozdílu, rozložme radikální výraz na faktor: .

Součin dvou faktorů je nezáporný , Když oba multiplikátory jsou nezáporné: NEBO Když oba nepozitivní: . To je typický rys. Musíme tedy vyřešit dva soustav lineárních nerovnic A KOMBAJN přijaté oblasti. V podobné situaci místo standardního algoritmu mnohem rychleji funguje metoda vědeckého, nebo spíše praktického šťouchání =)

Nakreslíme rovné čáry, které rozdělují souřadnicovou rovinu na 4 „rohy“. Vezmeme nějaký bod patřící do horního „rohu“, například bod a dosadíme jeho souřadnice do rovnic 1. soustavy: . Jsou získány správné nerovnosti, což znamená, že řešení systému je Všechno horní "roh". Stínování.

Nyní vezmeme bod patřící do pravého „rohu“. Zůstává 2. systém, do kterého dosadíme souřadnice tohoto bodu: . Druhá nerovnost není pravdivá, proto a všechno správný "roh" není řešením systému.

Podobný příběh je s levým „rohem“, který také není zahrnut do rozsahu definice.

A nakonec dosadíme souřadnice experimentálního bodu spodního „rohu“ do 2. systému: . Obě nerovnosti jsou pravdivé, což znamená, že řešení systému je a všechno spodní „roh“, který by měl být rovněž zastíněn.

Ve skutečnosti to samozřejmě není třeba tak podrobně popisovat - všechny komentované úkony se snadno provádějí ústně!

Odpovědět: doménou definice je svaz systémová řešení .

Jak asi tušíte, taková odpověď bez kresby pravděpodobně nebude fungovat a tato okolnost vás nutí vzít do ruky pravítko a tužku, i když to podmínka nevyžadovala.

A tohle je tvůj oříšek:

Příklad 9

Najděte definiční obor funkce

Dobrý student vždy postrádá logaritmy:

Příklad 10

Najděte definiční obor funkce

Řešení: argument logaritmu je přísně kladný, takže doména definice je dána systémem.

Nerovnice označuje pravou polorovinu a vylučuje osu.

U druhé podmínky je situace složitější, ale také průhledná. Připomeňme si sinusoida. Argument je „Igrek“, ale to by mě nemělo zmást – Igrek, tak Igrek, Zyu, tak Zyu. Kde je sinus větší než nula? Sinus je větší než nula, například na intervalu. Protože je funkce periodická, existuje nekonečně mnoho takových intervalů a ve zhroucené formě lze řešení nerovnosti zapsat takto:
, kde je libovolné celé číslo.

Nekonečné množství intervalů samozřejmě nelze zobrazit, takže se omezíme na interval a jeho sousedé:

Dokončeme kresbu a nezapomeňme, že podle první podmínky je naše pole působnosti omezeno striktně na pravou polorovinu:

hmm...ukázalo se, že je to nějaká kresba duchů...dobrá reprezentace vyšší matematiky...

Odpovědět:

Další logaritmus je váš:

Příklad 11

Najděte definiční obor funkce

Během řešení budete muset stavět parabola, který rozdělí rovinu na 2 části - „vnitřní“ umístěnou mezi větvemi a vnější část. Způsob nalezení požadovaného dílu se v článku objevil opakovaně Lineární nerovnosti a předchozí příklady v této lekci.

Řešení, kreslení a odpověď na konci lekce.

Poslední ořechy odstavce jsou věnovány „obloukům“:

Příklad 12

Najděte definiční obor funkce

Řešení: Argument arcsine musí být v následujících mezích:

Pak jsou dva technické možnosti: připravenější čtenáři podobně jako v posledních příkladech lekce Doména funkce jedné proměnné mohou dvojitou nerovnost „roztočit“ a nechat „Y“ uprostřed. Pro figuríny doporučuji předělat „lokomotivu“ na ekvivalent systém nerovností:

Systém je řešen jako obvykle - sestrojíme přímky a najdeme potřebné poloroviny. Jako výsledek:

Vezměte prosím na vědomí, že zde jsou hranice zahrnuty do oblasti definice a jsou nakresleny rovné čáry plné čáry. To je třeba vždy pečlivě sledovat, aby nedošlo k závažné chybě.

Odpovědět: doména definice představuje řešení systému

Příklad 13

Najděte definiční obor funkce

Ukázkové řešení využívá pokročilou techniku ​​– převod dvojitých nerovností.

V praxi se také někdy setkáváme s problémy při hledání definiční domény funkce tří proměnné Doména definice funkce tři proměnné možná Všechno trojrozměrný prostor nebo jeho část. V prvním případě je funkce definována pro jakékoli body v prostoru, ve druhém - pouze pro ty body, které patří k nějakému prostorovému objektu, nejčastěji - tělo. Může to být pravoúhlý rovnoběžnostěn, elipsoid, "uvnitř" parabolický válec atd. Úkol najít definiční obor funkce tří proměnných obvykle spočívá v nalezení tohoto tělesa a vytvoření trojrozměrného výkresu. Takové příklady jsou však poměrně vzácné. (našel jsem jen pár kusů), a proto se omezím pouze na tento přehledový odstavec.

Hladinové čáry

Pro lepší pochopení tohoto pojmu porovnáme osu s výška: jak větší hodnotu„Z“ – čím větší je výška, tím menší hodnotu„Z“ – čím nižší je výška. Výška může být i záporná.

Funkce ve své definiční oblasti je prostorový graf, pro jednoznačnost a větší přehlednost budeme předpokládat, že se jedná o triviální plochu. Co jsou úrovňové čáry? Obrazně řečeno, úrovňové čáry jsou vodorovné „výřezy“ povrchu v různých výškách. Tyto „plátky“ nebo, přesněji, sekce prováděné letadly, poté se promítnou do roviny .

Definice: čára na úrovni funkce je čára na rovině, v jejímž každém bodě funkce udržuje konstantní hodnotu: .

Hladinové čáry tak pomáhají zjistit, jak konkrétní povrch vypadá - a pomáhají bez vytváření trojrozměrného výkresu! Uvažujme konkrétní úkol:

Příklad 14

Najděte a vykreslete několik řádků úrovně funkčního grafu

Řešení: Tvar dané plochy zkoumáme pomocí nivelačních čar. Pro usnadnění rozbalme položku „zezadu dopředu“:

Je zřejmé, že v tomto případě „zet“ (výška) samozřejmě nemůže zabrat záporné hodnoty (protože součet čtverců není záporný). Plocha se tedy nachází v horním poloprostoru (nad rovinou).

Vzhledem k tomu, že podmínka neříká, v jakých konkrétních výškách musí být čáry úrovně „oříznuty“, můžeme si podle svého uvážení vybrat několik hodnot „Z“.

Zkoumáme povrch v nulové výšce, k tomu dáme hodnotu do rovnosti :

Řešením této rovnice je pointa. Tedy kdy čára úrovně představuje bod.

Zvedneme se do jednotkové výšky a „prořízneme“ náš povrch letadlo (dosadit do rovnice povrchu):

Tím pádem, pro výšku je čára úrovně kružnice se středem v bodě o poloměru jednotky.

To ti připomínám všechny „řezy“ se promítají do roviny, a proto si zapisuji dvě, ne tři souřadnice bodů!

Nyní vezmeme například rovinu a „ořízneme“ s ní zkoumanou plochu (nahraditdo rovnice povrchu):

Tím pádem, pro výškučára úrovně je kružnice se středem v bodě poloměru.

A pojďme postavit další úroveň, řekněme pro :

–kružnice se středem v bodě o poloměru 3.

Čáry úrovně, jak jsem již zdůraznil, jsou umístěny v rovině, ale každá čára je podepsána - jaké výšce odpovídá:

Není těžké pochopit, že další rovinné čáry uvažovaného povrchu jsou také kruhy a čím výše stoupáme (zvyšujeme hodnotu „Z“), tím větší je poloměr. Tím pádem, samotný povrch Jedná se o nekonečnou misku s vejčitým dnem, jejíž horní část je umístěna na rovině. Tato „miska“ spolu s osou „vychází přímo na vás“ z obrazovky monitoru, to znamená, že se díváte na její dno =) A není to bez důvodu! Jen já to sypu na cestu tak smrtelně =) =)

Odpovědět: úrovňové čáry daného povrchu jsou soustředné kružnice formy

Poznámka : když je získána degenerovaná kružnice s nulovým poloměrem (bodem).

Samotný koncept úrovňové linie pochází z kartografie. Abychom parafrázovali zavedený matematický výraz, můžeme říci, že úroveň hladiny je geografická poloha body stejnou výšku . Zvažte určitou horu s úrovňovými liniemi 1000, 3000 a 5000 metrů:

Obrázek jasně ukazuje, že levý horní svah hory je mnohem strmější než pravý dolní svah. Hladinové čáry vám tedy umožňují odrážet terén na „rovné“ mapě. Mimochodem, záporné hodnoty nadmořské výšky zde také získávají velmi specifický význam - koneckonců některé oblasti zemského povrchu se nacházejí pod nulovou hladinou světových oceánů.