Optimální hodnota účelové funkce. Cílová funkce. Vytvořme model problému

Definice. Jakékoli řešení systému omezení se nazývá přípustné řešení pro PLP.
Definice. Schůdné řešení, ve kterém účelová funkce dosáhne maxima resp minimální hodnota, se nazývá optimální řešení.

Vzhledem k těmto definicím lze úlohu LP formulovat následovně: ze všech bodů konvexní oblasti, která je řešením systému omezení, vyberte ten, jehož souřadnice minimalizují (maximalizují) lineární funkci. F = S 1 X + S 2 y.
Všimněte si, že proměnné X, y PAP zpravidla přijímají nezáporné hodnoty (X≥ 0, y≥ 0), proto se oblast nachází v první čtvrtině souřadnicové roviny.

Uvažujme lineární funkci F = S 1 X + S 2 y a opravit část jeho hodnoty F. Ať např. F= 0, tj. S 1 X + S 2 y= 0. Grafem této rovnice bude přímka procházející počátkem souřadnic (0;0) (obr.).
Výkres
Při změně této pevné hodnoty F = d, rovný S 1 X+ S 2 y = d posune rovnoběžně a „obkreslí“ celou rovinu. Nechat D– polygon – doména řešení soustavy omezení. Když se to změní d rovný S 1 X + S 2 y = d, v nějaké hodnotě d = d 1 dosáhne polygonu D, nazvěme tento bod A"vstupní bod" a poté, co prošel polygonem, na nějaké hodnotě d = d 2 s ním budeme mít poslední společný bod V, zavolejme V„výstupní bod“.
Je zřejmé, že účelová funkce má své nejmenší a největší hodnoty F=S 1 X + S 2 y dosáhne na vstupní body A a "exit" V.
Vezmeme-li v úvahu, že optimální hodnotu na sadě přípustná řešeníúčelová funkce nabývá na vrcholech oblasti D, můžeme navrhnout následující plán řešení problému:

1. sestrojí doménu řešení systému omezení;
2. sestrojte přímku odpovídající účelové funkci a paralelním posunem této přímky najděte „vstupní“ nebo „výstupní“ bod (v závislosti na požadavku minimalizovat nebo maximalizovat účelovou funkci);
3. určit souřadnice tohoto bodu a vypočítat v nich hodnotu účelové funkce.

Všimněte si, že vektor ( S 1 , S 2), kolmo k přímce, ukazuje směr růstu účelové funkce.

S grafikou rozhodnutí PPP Existují dva možné případy, které vyžadují zvláštní diskusi.

Případ 1
Obrázek 6
Při pohybu po přímce S 1 X + S 2 y= d„vstup“ nebo „výstup“ (jako na obrázku) se objeví podél strany polygonu. K tomu dojde, pokud má mnohoúhelník strany rovnoběžné s čárou S 1 X+ S 2 na = d .
V tomto případě existuje nekonečný počet „výstupních“ („vstupních“) bodů, konkrétně jakéhokoli bodu na segmentu AB. To znamená, že účelová funkce nabývá maximální (minimální) hodnoty nikoli v jednom bodě, ale ve všech bodech ležících na odpovídající straně polygonu. D.

Případ 2
Uvažujme případ, kdy je rozsah přípustných hodnot neomezený.
V případě neomezené oblasti lze účelovou funkci specifikovat tak, že odpovídající přímka nemá „výstupní“ (nebo „vstupní“) bod. Pak se nikdy nedosáhne maximální hodnoty funkce (minimum) - říkají, že funkce je neomezená.
Výkres
Je nutné najít maximální hodnotu účelové funkce F = 4X + 6y→ max , se systémem omezení
Vytvořme oblast proveditelných řešení, tzn. Vyřešme soustavu nerovnic graficky. K tomu sestrojíme každou přímku a určíme poloroviny definované nerovnostmi.
X + y = 18

X	12	9
y	6	9

0,5X + y = 12

X	12	18
y	6	3

X= 12 – rovnoběžně s osou OY ;
y= 9 – rovnoběžně s osou VŮL ;
X= 0 – osa OY ;
y = 0 – osa VŮL;
X≥ 0 – polorovina vpravo od osy OY;
y≥ 0 – polorovina nad osou VŮL;
y≤ 9 – polorovina níže y = 9;
X ≤ 12 – polorovina vlevo X = 12;
0,5X + y≤ 12 – polorovina pod přímkou ​​0,5 X + y = 12;
X + y≤ 18 – polorovina pod přímkou X + y = 18.
Výkres
Průsečík všech těchto polorovin je zjevně pětiúhelník OAVSD, s vrcholy v bodech O(0; 0), A(0; 9), V(6; 9), S(12; 6), D(12; 0). Tento pětiúhelník tvoří oblast proveditelných řešení problému.

Zvažte objektivní funkci problému F = 4X + 6y→ max.

X	3	0
y	–2	0

Sestrojme přímku odpovídající hodnotě funkce F = 0: 4X + 6y= 0. Tuto přímku posuneme paralelně. Z celé rodiny řad 4 X+ 6y= const poslední vrchol, kterým čára projde při opuštění hranice polygonu, bude vrcholem S(12; 6). Je v něm F = 4X + 6y dosáhne své maximální hodnoty.
Takže když X = 12, y= 6 funkcí F dosáhne své maximální hodnoty F= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, rovná se 84. Bod se souřadnicemi (12; 6) splňuje všechny nerovnosti systému omezení a v něm je hodnota účelové funkce optimální. F* = 84 (optimální hodnotu označíme jako „*“).
Problém je vyřešen. Je tedy nutné vyrobit 12 výrobků typu I a 6 výrobků typu II se ziskem 84 tisíc rublů.

Grafická metoda se používá k řešení problémů, které měly v systému omezení pouze dvě proměnné. Tuto metodu lze použít i pro soustavy nerovnic se třemi proměnnými. Geometricky bude situace jiná, roli přímek budou hrát roviny v trojrozměrném prostoru a řešením nerovnice ve třech proměnných bude poloprostor umístěný na jedné straně roviny. Roli ploch budou hrát mnohostěny, které jsou průnikem poloprostorů.

Cílová funkce je matematickým vyjádřením závislosti kritéria optimality na požadovaných proměnných.

2. Gradient funkce.

Vektor, jehož komponenty jsou hodnoty parciálních derivací, tedy vektor

se nazývá gradient funkce vypočítaný v bodě.

3. Obecný problém lineárního programování.

Standardní matematická formulace obecného problému lineární programování vypadá takto: musíte najít extrémní hodnotu ukazatele účinnosti (objektivní funkce)

(lineární funkce prvků řešení) za lineárních omezujících podmínek kladených na prvky řešení:

kde jsou uvedena čísla.

4. Standardní problém LP.

V standardní forma problém lineárního programování je problém maximalizace (minimum) lineární účelové funkce. Jeho systém omezení tvoří pouze lineární nerovnosti typu „<= » или « >= " Všechno proměnné úkolu nezáporné.

Lze formulovat jakýkoli problém lineárního programování standardní forma. Převedení minimálního problému na maximální problém, stejně jako zajištění toho, že proměnné nejsou záporné, se provádí stejným způsobem jako dříve. Jakákoli rovnost v systému omezení je ekvivalentní systému vzájemně opačných nerovností:

Existují i ​​jiné způsoby, jak přeměnit systém rovnosti na systém nerovností, tzn. Každý problém lineárního programování lze formulovat ve standardní formě.

Možnost odpovědi 2:

Standardní problém s LP. nebo, v maticovém zápisu, kde je matice koeficientů. Vektor se nazývá vektor koeficientů lineárního tvaru, vektor omezení.

5. Canonical lp problém.

V kanonická forma problém je problém pro maximum (minimum) některých lineární funkce F , její systém omezení se skládá pouze z rovnosti (rovnic). Zároveň proměnné úkolu X 1 , X 2 , ..., X n jsou nezáporné:

NA kanonická forma Můžete transformovat jakýkoli problém lineárního programování.

Krátký vstup kanonický problém LP:

X = (xl, x2, ..., xn), C = (cl, c2, ..., cn).

Možnost odpovědi 2:

Kanonický problém s LP. nebo v maticové notaci,

6. Symetrické a asymetrické duální úlohy.

Problém duálního lineárního programování. Zvažte problém LP (1) nebo v maticovém zápisu (2) Problém duální k (1) ( dvojí problémy it), se nazývá problém LP v proměnných tvaru (3) nebo v maticovém zápisu (4) kde . Pravidla pro konstrukci úlohy (3) podle formy zápisu úlohy (1) jsou následující: v problému (3)

V matici problému (1) je tolik proměnných, kolik je řádků. Matice omezení v (3) je transportovaná matice. Vektor pravé strany omezení v (3) slouží jako vektor koeficientů maximalizovaného lineárního tvaru v (1) a znaménka nerovností se změní na rovnost. Naopak účelová funkce v (3) je lineární forma, jehož koeficienty jsou specifikovány vektorem pravé strany omezení problému (1), přičemž maximalizace se změní na minimalizaci. Podmínka nezápornosti je kladena na duální proměnné. Problém (1) se na rozdíl od duálního problému (3) nazývá přímý. Věta o dualitě. Pokud jsou duální úlohy (2), (4) přípustné, pak mají obě řešení a stejnou hodnotu.

Symetrické duální problémy

Různé duální lineární problémy, programování jsou duální symetrické problémy, ve kterých je systém omezení původního i duálního problému specifikován nerovnostmi a na duální proměnné je kladena podmínka nezápornosti.

Designové parametry. Tento termín označuje nezávislý variabilní parametry, které zcela a jednoznačně definují řešený konstrukční problém. Konstrukční parametry jsou neznámé veličiny, jejichž hodnoty se počítají během procesu optimalizace. Jako parametry návrhu mohou sloužit jakékoli základní nebo odvozené veličiny, které slouží ke kvantitativnímu popisu systému. Mohou to být neznámé hodnoty délky, hmotnosti, času, teploty. Počet návrhových parametrů charakterizuje stupeň složitosti daného konstrukčního problému. Obvykle se počet návrhových parametrů označuje n a samotné návrhové parametry x s odpovídajícími indexy. Tedy n návrhových parametrů tohoto problému bude označeno

X1, X2, X3,...Xp.

Je třeba poznamenat, že návrhové parametry mohou být v některých zdrojích označovány jako interní kontrolovatelné parametry.

Objektivní funkce. Toto je výraz, jehož hodnotu se inženýr snaží dosáhnout maxima nebo minima. Objektivní funkce umožňuje kvantitativně porovnat dvě alternativní řešení. Z matematického hlediska účelová funkce popisuje nějakou (n+1)-rozměrnou plochu. Jeho hodnota je určena konstrukčními parametry

M = M (x1,x2,…,xn).

Příklady objektivních funkcí, které se často vyskytují ve strojírenské praxi, jsou náklady, hmotnost, pevnost, rozměry, účinnost. Pokud existuje pouze jeden parametr návrhu, pak účelová funkce může být reprezentována křivkou v rovině (obr. 1). Pokud existují dva parametry návrhu, pak bude účelová funkce znázorněna jako plocha v trojrozměrném prostoru (obr. 2). Se třemi nebo více parametry návrhu se povrchy určené účelovou funkcí nazývají hyperplochy a nelze je zobrazit běžnými prostředky. Topologické vlastnosti povrchu účelové funkce hrají v optimalizačním procesu velkou roli, protože na nich závisí výběr nejúčinnějšího algoritmu.

Obrázek 1. Jednorozměrná účelová funkce.

Obrázek 2. Dvourozměrná účelová funkce.

Objektivní funkce může v některých případech nabývat nejneočekávanějších forem. Například nemůže být vždy vyjádřena v uzavřené matematické formě, v jiných případech to může být po částech lineární funkce. Specifikace objektivní funkce může někdy vyžadovat tabulku technických údajů (například tabulku stavu vodní páry) nebo může vyžadovat experiment. V některých případech nabývají parametry návrhu pouze celočíselné hodnoty. Příkladem může být počet zubů v ozubeném soukolí nebo počet šroubů v přírubě. Někdy mají parametry návrhu pouze dva významy – ano nebo ne. Kvalitativní parametry, jako je spokojenost kupujícího, který si produkt zakoupil, spolehlivost, estetika, je obtížné zohlednit v procesu optimalizace, protože je téměř nemožné je kvantitativně charakterizovat. Ať je však účelová funkce prezentována v jakékoli formě, musí být jednoznačnou funkcí návrhových parametrů.

Řada optimalizačních problémů vyžaduje zavedení více než jedné účelové funkce. Někdy může být jeden z nich neslučitelný s druhým. Příkladem je konstrukce letadla, kde je současně požadována maximální pevnost, minimální hmotnost a minimální náklady. V takových případech musí projektant zavést systém priorit a každé účelové funkci přiřadit určitý bezrozměrný faktor. V důsledku toho se objeví „kompromisní funkce“, která umožňuje použití jedné složené účelové funkce během procesu optimalizace.

Hledejte minimum a maximum. Některé optimalizační algoritmy jsou navrženy k nalezení maxima, jiné k nalezení minima. Bez ohledu na typ řešeného extrémního problému však můžete použít stejný algoritmus, protože problém minimalizace lze snadno změnit na problém maximálního hledání obrácením znaménka účelové funkce. Tato technika je znázorněna na obr. 3.

Obrázek 3. Když se znaménko účelové funkce v minimálním problému změní na opačný, změní to na maximální problém.

Designový prostor. Toto je název oblasti definované všemi n návrhovými parametry. Návrhový prostor není tak velký, jak by se mohlo zdát, protože je obvykle omezen řadou podmínek souvisejících s fyzikální podstatou problému. Omezení mohou být tak silná, že problém nebude mít jediné uspokojivé řešení. Omezení se dělí do dvou skupin: omezení – rovnost a omezení – nerovnost.

Omezení rovnosti jsou závislosti mezi parametry návrhu, které je třeba vzít v úvahu při hledání řešení. Odrážejí přírodní zákony, ekonomiku, právo, převládající vkus a dostupnost potřebné materiály. Počet omezení - rovnosti může být libovolný. Vypadají jako

C1 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

C2 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

..……………………………..

Cj(Xi, X2, X3,..., Xn) = 0.

Omezení nerovnosti jsou zvláštní druh omezení vyjádřená nerovnostmi. V obecný případ může jich být tolik, kolik chcete, a všechny mají formu

z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk

Je třeba poznamenat, že velmi často z důvodu omezení není dosaženo optimální hodnoty účelové funkce tam, kde má její povrch nulový gradient. Často Nejlepší rozhodnutí odpovídá jedné z hranic návrhové oblasti.

Přímá a funkční omezení. Přímá omezení mají podobu

xni? xi? xвi v i? ,

kde xнi, xвi - minimum a maximum platné hodnoty i-tý řízený parametr; n je rozměr prostoru řízených parametrů. Například u mnoha objektů nemohou být parametry prvků záporné: xнi ? 0 (geometrické rozměry, elektrický odpor, hmota atd.).

Funkční omezení zpravidla představují podmínky pro výkon výstupních parametrů, které nejsou zahrnuty v cílové funkci. Funkční omezení mohou být:

• 1) druh rovnosti
• w(X) = 0; (2.1)
• 2) druh nerovností

tz (X) › 0, (2,2)

kde w(X) a q(X) jsou vektorové funkce.

Přímá a funkční omezení tvoří přípustnou oblast vyhledávání:

ХД = (Х | w(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi pro i ? ).

Pokud se omezení (2.1) a (2.2) shodují s podmínkami výkonu, pak se přípustná oblast nazývá také oblast výkonu XP.

Kterýkoli z bodů X patřících k CD je proveditelným řešením problému. Parametrická syntéza je často kladena jako problém určení některého z proveditelných řešení. Mnohem důležitější je však vyřešit problém optimalizace – najít optimální řešení mezi proveditelnými.

Lokální optimum. Toto je název bodu v návrhovém prostoru, ve kterém se nachází účelová funkce nejvyšší hodnotu ve srovnání s jeho hodnotami ve všech ostatních bodech v jeho bezprostřední blízkosti. Obrázek 4 ukazuje jednorozměrnou účelovou funkci, která má dvě lokální optima. Návrhový prostor často obsahuje mnoho lokálních optim a je třeba dbát na to, aby se první nezaměnilo za optimální řešení problému.

Obrázek 4. Libovolná účelová funkce může mít několik lokálních optim.

Globální optimum je optimálním řešením pro celý designový prostor. Je lepší než všechna ostatní řešení odpovídající místnímu optimu a je to, co projektant hledá. Je možné, že se v nich nachází několik stejných globálních optim různé části designový prostor. To vám umožní vybrat nejlepší možnost rovných optimální možnosti podle objektivní funkce. V v tomto případě návrhář si může vybrat možnost intuitivně nebo na základě porovnání výsledných možností.

Výběr kritérií. Hlavním problémem při nastavování extrémních problémů je formulace účelové funkce. Obtížnost výběru účelové funkce spočívá ve skutečnosti, že jakýkoli technický objekt má zpočátku vektorovou povahu kritérií optimality (multikriteria). Navíc zlepšení jednoho z výstupních parametrů zpravidla vede ke zhoršení druhého, protože všechny výstupní parametry jsou funkcemi stejných řízených parametrů a nemohou se měnit nezávisle na sobě. Takové výstupní parametry se nazývají konfliktní parametry.

Musí existovat jedna cílová funkce (princip jedinečnosti). Redukce vícekriteriálního problému na jednokriteriální problém se nazývá konvoluce vektorového kritéria. Problém nalezení jeho extrému se redukuje na problém matematické programování. V závislosti na tom, jak jsou výstupní parametry vybrány a kombinovány, skalární funkce kvality, rozlišovat mezi parciálními, aditivními, multiplikativními, minimaxovými, statistickými kritérii a dalšími kritérii. V podmínky zadání pro návrh technického objektu jsou uvedeny požadavky na hlavní výstupní parametry. Tyto požadavky jsou vyjádřeny formou konkrétních číselných údajů, rozsahem jejich variace, provozními podmínkami a přijatelným minimem popř maximální hodnoty. Požadované vztahy mezi výstupními parametry a technickými požadavky (TR) se nazývají výkonnostní podmínky a zapisují se ve tvaru:

yi< TTi , i О ; yi >TTj, jO;

yr = TTr ± ?yr; r O.

kde yi, yj, yr - sada výstupních parametrů;

TTi, TTj, TTr - požadované kvantitativní hodnoty odpovídajících výstupních parametrů dle technické specifikace;

Yr je přípustná odchylka r-tého výstupního parametru od hodnoty TTr uvedené v technických specifikacích.

Provozní podmínky mají při vývoji rozhodující význam technická zařízení, jelikož konstrukčním úkolem je vybrat konstrukční řešení, ve kterém nejlepší způsob v celém rozsahu změn jsou splněny všechny provozní podmínky externí parametry a při splnění všech požadavků technických specifikací.

Konkrétní kritéria lze použít v případech, kdy mezi výstupními parametry lze identifikovat jeden hlavní parametr yi(X), který nejlépe odráží efektivitu navrženého objektu. Tento parametr je brán jako účelová funkce. Příklady takových parametrů jsou: pro energetické zařízení - výkon, pro technologický stroj - produktivita, pro vozidlo- nosnost. U mnoha technických objektů je tímto parametrem cena. Provozní podmínky všech ostatních výstupních parametrů objektu se označují jako funkční omezení. Optimalizace založená na takové formulaci se nazývá optimalizace podle určitého kritéria.

Výhodou tohoto přístupu je jeho jednoduchost, významnou nevýhodou je, že velkou marži účinnosti lze získat pouze pro hlavní parametr, který je akceptován jako účelová funkce, a ostatní výstupní parametry nebudou mít marže vůbec.

Kritérium váženého aditivu se používá, když výkonové podmínky umožňují rozlišit dvě skupiny výstupních parametrů. Do první skupiny patří výstupní parametry, jejichž hodnoty by měly být při optimalizačním procesu y+i(X) navýšeny (výkon, odolnost proti šumu, pravděpodobnost bezporuchového provozu atd.), do druhé skupiny výstupní parametry, jejichž hodnoty by měly být sníženy y-i (X) ( spotřeba paliva, doba trvání proces přechodu, překmit, offset atd.). Kombinace několika výstupních parametrů, které mají obecně různé fyzické rozměry, do jedné skalární objektivní funkce vyžaduje předběžnou normalizaci těchto parametrů. Metody pro normalizaci parametrů budou diskutovány níže. Prozatím budeme předpokládat, že všechna y(X) jsou bezrozměrná a mezi nimi nejsou žádná, která by odpovídala výkonnostním podmínkám typu rovnosti. Pak pro případ minimalizace účelové funkce bude mít tvar konvoluce vektorového kritéria

kde aj>0 je váhový koeficient, který určuje stupeň důležitosti j-tého výstupního parametru (obvykle aj je vybrán konstruktérem a zůstává konstantní během procesu optimalizace).

Objektivní funkci ve tvaru (2.1), vyjadřující aditivní kritérium, lze zapsat i v případě, kdy všechny nebo hlavní výkonové podmínky mají podobu rovností. Pak účelová funkce

určuje střední aproximaci yj(X) k daným technickým požadavkům TTj.

Multiplikativní kritérium lze použít v případech, kdy neexistují žádné výkonnostní podmínky typu rovnosti a výstupní parametry nemohou akceptovat nulové hodnoty. Potom má multiplikativní účelová funkce, která má být minimalizována, tvar

Jeden z nejvíce výrazné nedostatky aditivním i multiplikativním kritériem je nezohlednění technických požadavků na výstupní parametry při formulaci problému.

Kritérium tvaru funkce se používá, když je úloha nastavena na nejlepší shodu dané (referenční) charakteristiky yCT(X, y) s odpovídající výstupní charakteristikou y(X, y) navrženého objektu, kde y je nějaká proměnná, například frekvence, čas, vybraná fázová proměnná. Tyto úkoly zahrnují: návrh systému automatická regulace poskytující požadovaný typ přechodového procesu pro řízený parametr; stanovení parametrů modelu tranzistoru, které poskytují maximální shodu mezi jeho teoretickými charakteristikami proudového napětí a experimentálními; hledat parametry průřezů nosníku, jejichž hodnoty vedou k nejlepší shodě daného diagramu napětí s vypočteným atd.

Použití konkrétního optimalizačního kritéria v těchto případech spočívá v nahrazení spojitých charakteristik konečnou sadou uzlových bodů a výběru jedné z následujících cílových funkcí, které mají být minimalizovány:

kde p je počet uzlových bodů uj na ose proměnné u; aj - váhové koeficienty, jejichž hodnoty jsou větší, tím menší je odchylka y(X, φj) - yTT(X, φj) musí být získána v j-tém bodě.

Maximin (minimax) kritéria umožňují dosáhnout jednoho z cílů optimálního návrhu – nejlepšího uspokojení podmínek výkonu.

Pojďme se představit kvantifikace stupeň splnění j-té výkonnostní podmínky, označujeme zj a nazýváme výkonnostní rezervou parametru yj. Výpočet marže pro j-tý výstupní parametr lze provést různými způsoby, např.

kde aj je váhový koeficient; yjnom - jmenovitá hodnota j-tého výstupního parametru; dj je hodnota charakterizující rozptyl j-tého výstupního parametru.

Zde se předpokládá, že všechny vztahy jsou redukovány do tvaru yi< TТj. Если yi >TTj, pak -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (doporučené hodnoty 5 ? aj ? 20), pokud je žádoucí dosáhnout j-tého technické požadavky s danou tolerancí, tj. yj = TTj ± ?yj; aj=l, pokud je nutné získat maximální možný odhad zj.

Kvalita výkonu technický systém charakterizovaný vektorem výstupních parametrů a tedy vektorem Z=(zm,zm,…,zm). Proto by cílová funkce měla být tvořena jako nějaká funkce μ(Z) vyhodnocovacího vektoru. Pokud například cílová funkce zvažuje rezervu pouze toho výstupního parametru, který je v daném bodě X nejhorší z hlediska splnění požadavků technických specifikací, pak

kde m je počet rezerv pracovní kapacity.

Je přirozené, že nyní vzniká problém volby vyhledávací strategie X, která by maximalizovala minimum rezerv, tzn.

kde HD je prohledávatelná oblast.

Optimalizační kritérium s cílovou funkcí (2.6) se nazývá kritérium maximin.

Statistická kritéria. Optimalizace pomocí statistických kritérií je zaměřena na získání maximální pravděpodobnosti P výkonu. Tato pravděpodobnost je brána jako účelová funkce. Pak máme problém

Normalizace řízených a výstupních parametrů. Prostor řízených parametrů je metrický. Proto je při výběru směrů a hodnot kroků vyhledávání nutné zavést jednu nebo druhou normu, identifikovanou se vzdáleností mezi dvěma body. Ten předpokládá, že všechny řízené parametry mají stejný rozměr nebo jsou bezrozměrné.

Možný různé cesty přídělový systém. Jako příklad uveďme metodu logaritmické normalizace, jejíž výhodou je přechod od absolutních přírůstků parametrů k relativním. V tomto případě i-a ovládán parametr ui se převede na bezrozměrné xi následovně:

kde oi je koeficient, číselně rovný jedné parametr ui.

Normalizaci výstupních parametrů lze provést pomocí váhových koeficientů jako v aditivním kritériu nebo přechodem z уj do výkonnostních rezerv zj podle (2.5).

V podmínkách tržního systému řízení výrobní a prodejní činnosti podniků a firem jsou základem pro obchodní rozhodování tržní informace a platnost rozhodnutí je ověřována trhem při prodeji zboží a služeb. S tímto přístupem je výchozím bodem celého cyklu podnikatelské činnosti studium spotřebitelské poptávky. Podívejme se na některé problémy modelování poptávky a spotřeby.

Uvažujme spotřebitele, který v důsledku své existence spotřebovává nějaké zboží. Úroveň uspokojení potřeb spotřebitelů bude označena U.Předpokládejme, že existuje n druhy zboží B 1, B 2,…, B n. Výhody mohou zahrnovat:

· potraviny;

· základní zboží;

· základní zboží;

· luxusní zboží;

· placené služby atd.

Nechť je množství spotřeby každého statku stejné X 1 , X 2 ,…, x n. Funkce cílové spotřeby se nazývá vztah mezi mírou (úrovní) uspokojení potřeb U a množství spotřebovaného zboží: X 1 , X 2 , …, x n. Tato funkce vypadá jako .

V prostoru spotřebního zboží každé rovnici odpovídá určitý povrch ekvivalentních, nebo indiferentních, množin zboží, který je tzv. povrch lhostejnosti. Hyperplocha takové křivky, nazývaná vícerozměrná indiferenční plocha, může být reprezentována jako , kde S- konstantní. Pro názornost uvažujme prostor dvou statků např. ve formě dvou agregovaných skupin statků: potraviny B 1 a nepotravinářské zboží včetně placených služeb B 2. Potom lze úrovně funkce spotřebního cíle znázornit na rovině ve formě indiferenčních křivek odpovídajících různé významy konstanty S.Vyjádřete k tomu množství spotřeby jednoho zboží X 1 přes další X 2. Podívejme se na příklad.

Příklad 6.3. Funkce cílové spotřeby má tvar . Najděte indiferenční křivky.

Řešení. Indiferenční křivky vypadají nebo , nebo (je třeba poznamenat, že musí být provedeno).

Každý spotřebitel se snaží maximalizovat úroveň uspokojení potřeb, tzn. Maximalizaci stupně uspokojení potřeb však budou bránit schopnosti spotřebitele. Označme cenu za jednotku každého zboží o R 1 , R 2 ,…, р n a příjem spotřebitelů prostřednictvím D.Pak by to mělo být provedeno rozpočtové omezení , což má smysl zákona, podle kterého by náklady spotřebitele neměly přesáhnout výši příjmu:

V důsledku toho je pro nalezení optimální sady zboží nutné problém vyřešit optimální programování:

(6.3)

Zvažte funkci dvoufaktorové spotřeby, kde X 1 - objem spotřeby potravin a X 2 - spotřeba nepotravinářských výrobků a placené služby. Kromě toho předpokládejme, že spotřebitel používá veškeré své příjmy k uspokojení svých potřeb. V tomto případě bude rozpočtové omezení obsahovat pouze dva pojmy a nerovnost se změní v rovnost. Optimální programovací problém pak má podobu:

(6.4)

Geometricky má optimální řešení význam tečného bodu indiferenční křivky k přímce odpovídající rozpočtovému omezení.

X 2

Z rozpočtového omezení systému (6.4) můžeme vyjádřit proměnnou . Dosazením tohoto výrazu do účelové funkce získáme funkci jedné proměnné , jehož maximum lze zjistit z rovnice přirovnáním derivace k nule: .

Příklad 6.4. Funkce cílové spotřeby má tvar . Cena k dobru B 1 rovná se 20, cena zboží B 2 se rovná 50. Příjem spotřebitele je 1800 jednotek. Najděte indiferenční křivky, optimální množinu spotřebního zboží, funkci poptávky po prvním zboží podle ceny, funkci poptávky po prvním zboží podle důchodu.

Řešení. Indiferenční křivky vypadají takto:

Získáme množinu hyperbol umístěných v první souřadnicové čtvrti na různé vzdálenosti od počátku v závislosti na hodnotě konstanty S.

Najdeme optimální sadu zboží. Optimální programovací problém má tvar:

Abychom to vyřešili, vyjádříme jednu proměnnou z rozpočtového omezení pomocí jiné: . Dosaďte do cílové funkce

Najděte derivaci a přirovnejte ji k nule

Dostaneme.

Optimální sada zboží je tedy 30,5 a 23,8 jednotek. Nyní najdeme funkci poptávky po prvním zboží na základě jeho ceny. Abychom toho dosáhli, v rozpočtovém omezení místo pevné hodnoty zavedeme cenu prvního zboží a získáme rovnici: . Vyjadřujeme se

nebo , odkud najdeme funkci poptávky po prvním statku za cenu: .

Nyní najdeme funkci poptávky po prvním zboží z hlediska příjmu. K tomu se vyjadřujeme z rozpočtového omezení jedna proměnná přes druhou: . Dosaďte do cílové funkce:

Najdeme derivaci a přirovnáme ji k nule:

Odtud najdeme funkci poptávky po prvním zboží podle příjmu

7. Model
mezisektorová rovnováha

Bilanční modely jsou určeny pro analýzu a plánování výroby a distribuce produktů různé úrovně- od jednotlivého podniku do národní ekonomika obvykle. Připomeneme-li historii národního hospodářství jako Sovětský svaz jak Ruska, tak i dalších vyspělých zemí, lze pozorovat, že v ekonomikách mnoha zemí v jiný čas Došlo k ekonomickým krizím různých extrémů, od krizí z nadprodukce (USA, polovina 20. století) až po nedostatek (Rusko, konec 20. století). Všechny tyto ekonomické krize jsou spojeny s nerovnováhou mezi výrobou a spotřebou. Z těchto skutečností je zřejmé, že rovnováha mezi výrobou a spotřebou je důležité kritérium pro makroekonomii i mikroekonomii.

Řada ekonomů a matematiků se od samého počátku problému snažila sestavit ekonomické a matematické bilanční modely, nicméně nejúplnější bilanční model sestrojil v roce 1936 americký ekonom V. Leontiev (který po revoluci emigroval do USA a obdržel tzv. Nobelova cena v oboru za modelovou ekonomiku). Tento model umožnil vypočítat rovnováhu mezi několika vzájemně se ovlivňujícími odvětvími, i když jej lze snadno zobecnit pro mikroekonomické organizace, například vypočítat rovnováhu mezi několika vzájemně se ovlivňujícími podniky nebo mezi divizemi jednoho podniku (například dílny stejného závodu). ).

Účelem bilanční analýzy je odpovědět na otázku, která vyvstává v makroekonomii a která souvisí s efektivitou provozu diverzifikované ekonomiky: jaký by měl být objem produkce každého z P průmyslových odvětvích, aby uspokojily všechny produktové potřeby tohoto odvětví? Navíc každé odvětví působí na jedné straně jako výrobce určitých produktů; a na druhé straně jako spotřebitel produktů jak vlastních, tak produktů vyrobených jinými průmyslovými odvětvími.

Předpokládejme, že uvažujeme P průmyslová odvětví, z nichž každý vyrábí své vlastní produkty. Nechte celkový objem vyrobených produktů i-té odvětví se rovná . Celkové náklady na vyrobené produkty i odvětví, budeme nazývat hrubým produktem tohoto odvětví. Nyní se podívejme na to, za co se utrácejí produkty vyráběné průmyslem. Část produkce je využívána pro vlastní spotřebu tohoto odvětví a spotřebu dalších odvětví souvisejících s tímto odvětvím. Počet produktů i- průmysl určený pro konečnou spotřebu (mimo sféru materiálové výroby) osobní a veřejnou j označte odvětví . Zbývající část je určena k prodeji v vnější sféra. Tato část se nazývá konečný produkt. Nechat i-I průmysl vyrábí konečný produkt.

Zvažte výrobní proces za určité časové období (například rok). Protože hrubý objem výroby je libovolný i- průmysl se rovná celkovému objemu spotřebovaných výrobků n průmyslová odvětví a konečný produkt, pak bude mít tvar rovnováha mezi výrobou a spotřebou

, (i= 1, 2, …, n). (7.1)

Jsou volány rovnice (7.1). bilanční vztahy.

. (7.2)

Všechny dříve diskutované ukazatele lze zaznamenat v hlavní rozvaze:

Průmysl	Spotřeba průmyslu,	Finální produkt,	hrubý produkt,
		…	n
			…
			…
…		…			…	…
n			…
Čistý produkt			…

Výsledkem je, že hlavní rozvaha obsahuje čtyři matice: matici meziodvětvových produkčních vazeb

; matice hrubého výstupu; matrice konečného produktu a matrice čistého produktu .

Jedním z úkolů bilanční analýzy je určit hrubý produkt, pokud je známo rozdělení konečného produktu. K tomu zavádíme koeficienty přímých nákladů

Získávají se dělením všech prvků každého sloupce matice odpovídajícím prvkem matice meziodvětvových produkčních vazeb X.Koeficienty přímých nákladů mají význam množství spotřeby produktu j- průmysl potřebný k výrobě jednotky výstupu i odvětví. Z výrazu (7.3) můžeme získat: . Dosazením posledního výrazu do bilančního vztahu (7.1) získáme

. (7.4)

Označíme-li matici koeficientů přímých nákladů jako , pak rovnovážný vztah (7.4) in matricový formulář lze zapsat ve tvaru

Z posledního výrazu můžete zjistit hodnotu konečného produktu na známý význam Hrubý

Kde - matice identity stejné velikosti jako A.

Příklad 7.1. Bilance čtyř odvětví za předchozí období má matici meziodvětvových produkčních vztahů formy a matici hrubého výstupu formuláře. Je třeba určit finální produkt Y a čistý produkt C každé odvětví.

Finální produkt Y se získá odečtením od každého prvku hrubé výstupní matice součtu prvků odpovídajících řádků matice. Například první hodnota je 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Čistý produkt S se získá odečtením hrubé produkce od každého prvku matice X součet prvků odpovídajících sloupců matice. Například první hodnota je 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. V důsledku toho získáme hlavní rozvahu:

Průmysl	Spotřeba průmyslu,	Finální produkt,	hrubý produkt,
Čistý produkt					S = 210	S = 400

Nyní si stanovíme další úkol: vypočítáme konečný produkt každého odvětví pro budoucí období, pokud se hrubý produkt rovná . K vyřešení tohoto problému najdeme koeficienty přímých nákladů: i -té odvětví.

Příklad 7.2. V určitém regionu existují dvě hlavní odvětví národního hospodářství: strojírenství (m/s) a Zemědělství(zemědělský). Saldo těchto odvětví za účetní období je určeno maticemi , . Pojďme vypočítat zbývající ukazatele a vyplňte hlavní rozvahu

Předpokládejme, že finální produkty v objemech jsou plánovány pro budoucí období. Je nutné určit, jaký hrubý produkt je třeba plánovat. Pojďme najít koeficienty přímých nákladů:

Můžete si vybrat následující důvody, podle kterého jsou ekonomické systémy stochastické:

1) systém je složitý, multikriteriální, popsaný víceúrovňovou hierarchickou strukturou;

2) systém je ovlivněn velké číslo neovladatelný vnější faktory(povětrnostní podmínky, zahraniční politika, sociální faktory atd.);

3) záměrné zkreslování informací, zatajování informací a cílená ekonomická sabotáž.

Na základě toho je mnoho ekonomických systémů modelováno pomocí matematické metody, na základě aplikace zákonů teorie pravděpodobnosti, které jsou tzv stochastické metody.

Při použití stochastických metod se optimalizace účelové funkce provádí podle průměrné hodnoty, tedy kdy dané parametry je nutné najít řešení, když hodnota účelové funkce průměrný bude maximální.

Stochastické systémy v ekonomii popisuje Markovův aparát, který vychází z Markova náhodné procesy . Používají se v případech, kdy model nelze formalizovat (popsat analytickým výrazem) a v případě, kdy se jedná o víceparametrový pravděpodobnostní ekonomický systém.

Pokud existuje pouze jeden limitující faktor (například nedostatkový stroj), lze řešení najít pomocí jednoduchých vzorců (viz odkaz na začátku článku). Pokud existuje více omezujících faktorů, použije se metoda lineárního programování.

Lineární programování je název pro kombinaci nástrojů používaných ve vědě o řízení. Tato metoda řeší problém distribuce omezené zdroje mezi konkurenčními činnostmi s cílem maximalizovat nebo minimalizovat některé číselné hodnoty, jako je marže příspěvku nebo výdaje. V podnikání jej lze použít v oblastech, jako je plánování výroby za účelem maximalizace zisku, výběr komponent pro minimalizaci nákladů, výběr portfolia investic pro maximalizaci návratnosti, optimalizace přepravy zboží za účelem snížení vzdáleností, přidělování personálu pro maximalizaci efektivity práce a plánování zapracujte, abyste ušetřili čas.

Stáhněte si poznámku ve formátu, obrázky ve formátu

Lineární programování zahrnuje konstrukci matematický model zvažovaný problém. Poté lze řešení nalézt graficky (probráno níže), s pomocí Excelu(budou posuzovány samostatně) nebo specializované počítačové programy.

Možná je konstrukce matematického modelu nejobtížnější částí lineárního programování, která vyžaduje převedení uvažovaného problému do systému proměnných, rovnic a nerovnic - proces, který v konečném důsledku závisí na dovednostech, zkušenostech, schopnostech a intuici. modelář.

Uvažujme příklad sestavení matematického modelu lineárního programování

Nikolaj Kuzněcov provozuje malou mechanickou továrnu. Příští měsíc plánuje vyrobit dva produkty (A a B), u nichž se konkrétní mezní zisk odhaduje na 2500, respektive 3500 rublů.

Oba produkty vyžadují obrábění, suroviny a náklady na práci (obrázek 1). Každá jednotka produktu A vyžaduje 3 hodiny obrábění, 16 jednotek surovin a 6 jednotek práce na výrobu. Odpovídající požadavky na jednotku pro produkt B jsou 10, 4 a 6. Nicholas předpovídá, že příští měsíc může dodat 330 hodin obrábění, 400 jednotek surovin a 240 jednotek práce. Technologie výrobního procesu je taková, že v daném měsíci musí být vyrobeno minimálně 12 kusů produktu B.

Rýže. 1. Využívání a poskytování zdrojů

Nikolai chce sestavit model pro určení počtu jednotek produktů A a B, které musí vyrobit v příštím měsíci, aby maximalizoval svou marži příspěvku.

Lineární model lze sestavit ve čtyřech fázích.

Krok 1: Definování proměnných

Existuje cílová proměnná (říkejme jí Z), kterou je potřeba optimalizovat, tedy maximalizovat nebo minimalizovat (například zisk, výnosy nebo výdaje). Nikolay se snaží maximalizovat rozpětí příspěvku, proto cílová proměnná:

Z = celkový mezní zisk (v rublech) obdržený v příštím měsíci jako výsledek výroby produktů A a B.

Existuje řada neznámých neznámých proměnných (označme je x 1, x 2, x 3 atd.), jejichž hodnoty je nutné určit, abychom získali optimální hodnotu účelové funkce, kterou je v našem případě celkový mezní zisk. Tato příspěvková marže závisí na množství vyrobených produktů A a B. Hodnoty těchto veličin je třeba vypočítat, a proto představují požadované proměnné v modelu. Takže označme:

x 1 = počet jednotek produktu A vyrobených v následujícím měsíci.

x 2 = počet jednotek produktu B vyrobených v následujícím měsíci.

Je velmi důležité vše jasně definovat proměnné; Speciální pozornost Věnujte pozornost měrným jednotkám a časovému období, ke kterému se proměnné vztahují.

Etapa. 2. Konstrukce účelové funkce

Účelová funkce je lineární rovnice, která musí být maximalizována nebo minimalizována. Obsahuje cílovou proměnnou vyjádřenou pomocí cílových proměnných, tj. Z vyjádřenou x 1, x 2 ... ve formě lineární rovnice.

V našem příkladu každý vyrobený produkt A přináší 2 500 rublů. mezní zisk a při výrobě x 1 jednotky produktu A bude mezní zisk 2500 * x 1. Podobně mezní zisk z výroby x 2 jednotek produktu B bude 3500 x 2. Celkový mezní zisk získaný v příštím měsíci výrobou x ​​1 jednotek produktu A a x 2 jednotek produktu B, to znamená, že cílová proměnná Z bude:

Z = 2 500 * x 1 + 3 500 * x 2

Nikolay se snaží tento ukazatel maximalizovat. Objektivní funkce v našem modelu je tedy:

Maximalizovat Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Etapa. 3. Definujte omezení

Omezení jsou systém lineární rovnice a/nebo nerovnosti, které omezují hodnoty hledaných proměnných. Matematicky odrážejí dostupnost zdrojů, technologické faktory, marketingové podmínky a další požadavky. Omezení mohou být tří typů: „menší nebo rovno“, „větší nebo rovno“, „přísně stejné“.

V našem příkladu výroba produktů A a B vyžaduje obráběcí čas, suroviny a práci a dostupnost těchto zdrojů je omezená. Výrobní objemy těchto dvou produktů (tedy hodnoty x 1 x 2) budou tedy omezeny tím, že množství zdrojů potřebných v produkční proces, nemůže překročit to, co je k dispozici. Uvažujme situaci s dobou strojního zpracování. Výroba každé jednotky produktu A vyžaduje tři hodiny obrábění, a pokud je vyrobeno x 1 jednotek, pak bude vynaloženo 3 * x 1 hodina tohoto zdroje. Výroba každé jednotky produktu B vyžaduje 10 hodin, a proto, pokud se vyrobí x 2 produktů, bude zapotřebí 10 * x 2 hodiny. Celkové množství strojového času potřebného k výrobě x 1 jednotek produktu A a x 2 jednotek produktu B je tedy 3 x x 1 + 10 x x 2 . Tento obecný význam strojní čas nesmí přesáhnout 330 hodin. Matematicky je to napsáno takto:

3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

Podobné úvahy platí pro suroviny a práci, což nám umožňuje napsat další dvě omezení:

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Nakonec je třeba poznamenat, že existuje podmínka, podle které musí být vyrobeno alespoň 12 jednotek produktu B:

Fáze 4. Zápis podmínek nezápornosti

Hledané proměnné nemohou být záporná čísla, která musí být zapsána ve tvaru nerovností x 1 ≥ 0 a x 2 ≥ 0. V našem příkladu je druhá podmínka nadbytečná, protože výše bylo určeno, že x 2 nemůže být menší než 12.

Kompletní model lineárního programování pro výrobní úkol Nicholas lze napsat jako:

Maximalizovat: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Za předpokladu, že: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Uvažujme grafickou metodu řešení problému lineárního programování.

Tato metoda je vhodná pouze pro problémy se dvěma neznámými proměnnými. K demonstraci metody bude použit výše zkonstruovaný model.

Osy v grafu představují dvě sledované proměnné (obrázek 2). Nezáleží na tom, která proměnná je vykreslena podél které osy. Důležité je zvolit měřítko, které vám v konečném důsledku umožní vytvořit přehledný diagram. Protože obě proměnné musí být nezáporné, kreslí se pouze 1. kvadrant.

Rýže. 2. Lineární programování os grafu

Uvažujme například první omezení: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Tato nerovnost popisuje oblast pod přímkou: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Tato přímka protíná osu x 1 v bodě x 2 = 0, to znamená, že rovnice vypadá takto: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 a její řešení: x 1 = 330 / 3 = 110

Podobně vypočítáme průsečíky s osami x1 a x2 pro všechny omezující podmínky:

Rozsah přijatelných hodnot	Hranice přijatelných hodnot	Průsečík s osou x 1	Průsečík s osou x 2
3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330	3 * x 1 + 10 * x 2 = 330	x 1 = 110; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 33
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400	16 * x 1 + 4 * x 2 = 400	x 1 = 25; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 100
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240	6 * x 1 + 6 * x 2 = 240	x 1 = 40; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 40
x 2 ≥ 12	x 2 = 12	nekříží se; probíhá rovnoběžně s osou x 1	x 1 = 0; x 2 = 12

Graficky je první omezení znázorněno na Obr. 3.

Rýže. 3. Konstrukce oblasti proveditelných řešení pro první omezení

Toto omezení bude splňovat jakýkoli bod ve vybraném trojúhelníku nebo na jeho hranicích. Takové body se nazývají platné a body mimo trojúhelník se nazývají neplatné.

Obdobně zobrazíme zbývající omezení na grafu (obr. 4). Hodnoty x 1 a x 2 ve stínované oblasti ABCDE nebo uvnitř ní uspokojí všechna omezení modelu. Tato oblast se nazývá oblast proveditelných řešení.

Rýže. 4. Oblast možných řešení pro model jako celek

Nyní, v oblasti proveditelných řešení, je nutné určit hodnoty x 1 a x 2, které maximalizují Z. K tomu v rovnici účelové funkce:

Z = 2 500 * x 1 + 3 500 * x 2

vydělte (nebo vynásobte) koeficienty před x 1 a x 2 stejným číslem tak, aby výsledné hodnoty spadaly do rozsahu odráženého v grafu; v našem případě je tento rozsah od 0 do 120; takže kurz lze vydělit 100 (nebo 50):

Z = 25x 1 + 35x 2

pak přiřaďte Z hodnotu rovnou součinu koeficientů před x 1 a x 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25x 1 + 35x 2

a nakonec najděte průsečíky přímky s osami x 1 a x 2:

Vynesme tuto cílovou rovnici do grafu podobně jako omezení (obr. 5):

Rýže. 5. Aplikace účelové funkce (černá tečkovaná čára) na oblast možných řešení

Hodnota Z je konstantní v celé cílové funkční linii. Chcete-li najít hodnoty x 1 a x 2, které maximalizují Z, musíte paralelně posunout čáru cílové funkce do bodu v hranicích oblasti možného řešení, která se nachází na maximální vzdálenost od původní linie cílové funkce nahoru a doprava, tedy do bodu C (obr. 6).

Rýže. 6. Přímka účelové funkce dosáhla maxima v oblasti možných řešení (v bodě C)

Můžeme dojít k závěru, že optimální řešení bude umístěno v jednom z krajních bodů rozhodovací oblasti. Která bude záviset na sklonu účelové funkce a na tom, jaký problém řešíme: maximalizace nebo minimalizace. Není tedy nutné vykreslovat účelovou funkci - vše, co je nutné, je určit hodnoty x 1 a x 2 v každém krajním bodě čtením z diagramu nebo řešením příslušné dvojice rovnic. Nalezené hodnoty x1 a x2 se pak dosadí do účelové funkce, aby se vypočítala odpovídající hodnota Z. Optimální řešení je ta, při které se získá maximální hodnota Z při řešení maximalizační úlohy a minimální hodnota při řešení minimalizační úlohy.

Určijme například hodnoty x 1 a x 2 v bodě C. Všimněte si, že bod C se nachází v průsečíku přímek: 3x 1 + 10x 2 = 330 a 6x 1 + 6x 2 = 240. Řešení této soustavy rovnic dává: x 1 = 10, x 2 = 30. Výsledky výpočtu pro všechny vrcholy oblasti proveditelných řešení jsou uvedeny v tabulce:

Tečka	Hodnota x 1	Hodnota x 2	Z = 2500x 1 + 3500x 2
A	22	12	97 000
V	20	20	120 000
S	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Tak by měl Nikolaj Kuzněc plánovat příští měsíc výroba 10 produktů A a 30 produktů B, což mu umožní získat mezní zisk 130 tisíc rublů.

Stručně podstata grafická metodařešení problémů lineárního programování lze uvést takto:

1. Nakreslete do grafu dvě osy představující dva parametry řešení; nakreslete pouze 1. kvadrant.
2. Určete souřadnice průsečíků všech okrajových podmínek s osami, přičemž do rovnic okrajových podmínek střídavě dosazujte hodnoty x 1 = 0 a x 2 = 0.
3. Vykreslete omezující čáry modelu do grafu.
4. Určete oblast v grafu (nazývanou oblast proveditelnosti rozhodnutí), která splňuje všechna omezení. Pokud taková oblast neexistuje, pak model nemá řešení.
5. Určete hodnoty cílových proměnných v krajních bodech rozhodovací oblasti a v každém případě vypočítejte odpovídající hodnotu cílové proměnné Z.
6. U maximalizačních problémů je řešením bod, ve kterém je Z maximum, u minimalizačních problémů je řešením bod, ve kterém je Z minimum.