Lagrangeova multiplikační metoda je. Lagrangeův problém. Bezpodmínečné a podmíněné extrémy. Ekonomický a matematický model problému
Nechť a být dvakrát spojitě diferencovatelné skalární funkce vektorový argument. Je nutné najít extrém funkce za předpokladu, že argument vyhovuje systému omezení:
(poslední podmínka také nazývaná podmínka připojení).
Většina jednoduchá metoda nalezení podmíněného extrému znamená redukovat problém na nalezení nepodmíněného extrému vyřešením rovnice spojení s ohledem na m proměnných a jejich následná substituce do účelové funkce.
Příklad 3 Najděte extrém funkce pod podmínkou .
Řešení. Ze spojovací rovnice vyjádříme x 2 přes x 1 a dosadit výsledný výraz do funkce na:
Tato funkce má jeden extrém (minimum) at x 1=2. resp. x 2=1. Tedy bod podmíněného extrému (minima) danou funkci je pointa.
V uvažovaném příkladu je vazební rovnice snadno řešitelná s ohledem na jednu z proměnných. Nicméně ve více těžké případy Ne vždy je možné vyjádřit proměnné. Výše popsaný přístup tedy nelze aplikovat na všechny problémy.
Více univerzální metodařešení problémů s nalezením podmíněného extrému je Lagrangeova multiplikační metoda. Je založen na aplikaci následující věty. Pokud je bod extrémním bodem funkce v oblasti definované rovnicemi, pak (pro některé dodatečné podmínky) existuje takový m-rozměrný vektor, který bod je stacionárním bodem funkce
Algoritmus pro Lagrangeovu multiplikační metodu
Krok 1. Sestavte Lagrangeovu funkci:
kde je Lagrangeův multiplikátor odpovídající i-té omezení.
Krok 2. Najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce a přirovnejte je k nule
Krok 3 Po vyřešení výsledného systému z n+m rovnic, najít stacionární body.
Všimněte si, že ve stacionárních bodech je splněno nezbytné, ale nikoli dostatečný stav extrém funkce. Analýza stacionárního bodu na přítomnost extrému v něm v tomto případě docela složitý. Proto se metoda Lagrangeova multiplikátoru používá především v případech, kdy je existence minima nebo maxima zkoumané funkce předem známa z geometrických nebo věcných úvah.
Při řešení některých ekonomických problémů mají Lagrangeovy multiplikátory určitý sémantický obsah. Takže, pokud - zisk podniku podle plánu výroby n zboží, - náklady i- tedy zdroj l i- posouzení tohoto zdroje, charakterizující rychlost změny optima Objektivní funkce v závislosti na změně i-tý zdroj.
Příklad 4. Najděte extrémy funkce pod podmínkou .
Řešení. Funkce jsou spojité a mají spojité parciální derivace. Složme Lagrangeovu funkci:
Najdeme parciální derivace a srovnáme je s nulou.
Dostáváme dva stacionární body:
Vezmeme-li v úvahu povahu účelové funkce, jejíž úrovňové přímky jsou roviny, a funkce (elipsy), dojdeme k závěru, že v bodě má funkce minimální hodnotu a v bodě maximum.
Příklad 5. V oblasti systémových řešení
najděte maximální a minimální hodnotu funkce za dané podmínky.
Řešení. Přejezd oblasti přípustná řešení a přímka je segment MN: M(0,6), N(6,0). Proto může funkce nabývat extrémních hodnot buď ve stacionárních bodech, nebo v bodech M A N. K nalezení stacionárního bodu použijeme Lagrangeovu metodu. Pojďme složit Lagrangeovu funkci
Najdeme parciální derivace Lagrangeovy funkce a přirovnáme je k nule
Řešením soustavy získáme stacionární bod K(2,2; 3,8). Porovnejme hodnoty účelové funkce v bodech K, M, N:
Proto,
Příklad 6. Poptávka trhu po určitém produktu je známá jako 180 kusů. Tento produkt mohou vyrábět dva podniky stejného koncernu podle různé technologie. Ve výrobě x 1 první podnik, jeho náklady budou rub., a při výrobě x 2 produkty druhého podniku, který tvoří třít.
Určete, kolik produktů vyrobených pomocí jednotlivých technologií může koncern nabídnout tak, aby celkové náklady na jeho výrobu byly minimální.
Řešení. Matematický model problému:
Najít minimální hodnota objektivní funkce zajištěna x 1+ x 2= 180, tzn. Bez zohlednění požadavku nezápornosti proměnných skládáme Lagrangeovu funkci:
Pojďme najít první derivace Lagrangeovy funkce vzhledem k x 1, x 2, l, a srovnejte je s 0. Získáme soustavu rovnic:
Při řešení tohoto systému najdeme následující kořeny: , tj. získáme souřadnice bodu podezřelého z extrému.
Chcete-li zjistit, zda bod ( ) lokální minimum, studujeme Hessův determinant, pro který vypočítáme druhé parciální derivace účelové funkce:
Protože
pak je Hessův determinant kladně určitý; proto je účelová funkce konvexní a v bodě ( ) máme místní minimum:
Lagrangeova multiplikační metoda.
Metoda Lagrangeova multiplikátoru je jednou z metod, která umožňuje řešit problémy bez lineární programování.
Nelineární programování je sekce matematické programování, studující metody řešení extrémních problémů s nelineární účelovou funkcí a oblastí proveditelných řešení definovaných nelineárními omezeními. V ekonomii to odpovídá skutečnosti, že výsledky (efektivita) rostou nebo klesají neúměrně ke změnám v rozsahu využití zdrojů (nebo, co je stejné, v rozsahu výroby): například v důsledku rozdělení výrobních nákladů v podniky na variabilní a polofixní; z důvodu nasycení poptávky po zboží, kdy každá následující jednotka je obtížněji prodejná než ta předchozí atd.
Problém nelineárního programování je položen jako problém nalezení optima určité účelové funkce
F(x 1 ,…x n), F (X) → max
když jsou splněny podmínky
g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ b , X ≥ 0
Kde X-vektor požadovaných proměnných;
F (X) -Objektivní funkce;
G (X) - omezující funkce (průběžně diferencovatelná);
b - vektor omezujících konstant.
Řešení problému nelineárního programování (globální maximum nebo minimum) může patřit buď na hranici, nebo do nitra přípustné množiny.
Na rozdíl od problému lineárního programování v problému nelineárního programování nemusí optimum nutně ležet na hranici oblasti definované omezeními. Jinými slovy, úkolem je takové vybrat nezáporné hodnoty proměnné podléhající systému omezení ve formě nerovností, za kterých je dosaženo maxima (nebo minima) dané funkce. V tomto případě nejsou specifikovány tvary ani účelové funkce, ani nerovnic. Může být různé případy: účelová funkce je nelineární a omezení jsou lineární; účelová funkce je lineární a omezení (alespoň jedno z nich) jsou nelineární; jak účelová funkce, tak omezení jsou nelineární.
Problém nelineárního programování se vyskytuje v přírodních vědách, strojírenství, ekonomii, matematice, obchodních vztazích a vládě.
Se zákl. souvisí například nelineární programování ekonomický úkol. Tedy v problému distribuce omezené zdroje maximalizovat buď efektivitu, nebo, pokud je spotřebitel studován, spotřebu za omezení, která vyjadřují podmínky nedostatku zdrojů. V takto obecné formulaci může být matematická formulace problému nemožná, ale ve specifických aplikacích lze kvantitativní formu všech funkcí určit přímo. Například průmyslový podnik vyrábí plastové výrobky. Efektivita výroby se zde měří ziskem a omezení jsou interpretována jako hotovost pracovní síla, výrobní oblasti, výkon zařízení atd.
Metoda nákladové efektivity také zapadá do schématu nelineárního programování. Tato metoda byl vyvinut pro použití při rozhodování ve vládě. Obecná funkceúčinnost je pohoda. Zde vyvstávají dva problémy nelineárního programování: prvním je maximalizace efektu při omezených nákladech, druhým je minimalizace nákladů za předpokladu, že efekt je nad určitou minimální úrovní. Tento problém je obvykle dobře modelován pomocí nelineárního programování.
Výsledky řešení problému nelineárního programování jsou užitečné při rozhodování vlády. Výsledné řešení je samozřejmě doporučeno, proto je nutné před konečným rozhodnutím prozkoumat předpoklady a přesnost problému nelineárního programování.
Nelineární problémy jsou složité, často se zjednodušují a vedou k lineárním. K tomu se konvenčně předpokládá, že v určité oblasti se účelová funkce zvyšuje nebo snižuje úměrně změně nezávislých proměnných. Tento přístup se nazývá metoda po částech lineárních aproximací, je však použitelný pouze pro určité typy nelineárních problémů.
Nelineární problémy za určitých podmínek jsou řešeny pomocí funkce Lagrange: mít to sedlový bod, a tím najít řešení problému. Mezi výpočetní algoritmy N.p. skvělé místo metody obsadit gradient. Neexistuje žádná univerzální metoda pro nelineární problémy a zjevně ani nemusí existovat, protože jsou extrémně rozmanité. Multiextrémní problémy se řeší obzvláště obtížně.
Jednou z metod, která umožňuje redukovat problém nelineárního programování na řešení soustavy rovnic, je Lagrangeova metoda neurčitých multiplikátorů.
Pomocí Lagrangeovy multiplikační metody v podstatě stanovíme potřebné podmínky, umožňující identifikovat optimální body v optimalizačních problémech s omezeními ve formě rovností. V tomto případě se problém s omezeními transformuje na ekvivalentní problém bez podmíněná optimalizace, který zahrnuje některé neznámé parametry zvané Lagrangeovy multiplikátory.
Lagrangeova multiplikační metoda spočívá v redukci problémů na podmíněný extrém k problémům na bezpodmínečném extrému pomocné funkce - tzv. Lagrangeovy funkce.
Pro problém extrému funkce F(x 1, x 2,..., x n) za podmínek (omezující rovnice) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagrangeova funkce má tvar
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Multiplikátory λ 1, λ 2, ..., λm volal Lagrangeovy multiplikátory.
Pokud hodnoty x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm podstatou řešení rovnic, které určují stacionární body Lagrangeovy funkce, totiž pro diferencovatelné funkce jsou řešení soustavy rovnic
pak, za docela obecných předpokladů, x 1 , x 2 , ..., x n poskytují extrém funkce f.
Zvažte problém minimalizace funkce n proměnných s jedním omezením ve formě rovnosti:
Minimalizovat f(x 1, x 2… x n) (1)
za omezení h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Podle Lagrangeovy multiplikační metody se tento problém transformuje na následující neomezený optimalizační problém:
minimalizovat L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
kde se funkce L(x;λ) nazývá Lagrangeova funkce,
λ je neznámá konstanta, která se nazývá Lagrangeův multiplikátor. Na znaménko λ nejsou žádné požadavky.
Nechat na nastavená hodnotaλ=λ 0 nepodmíněné minimum funkce L(x,λ) vzhledem k x je dosaženo v bodě x=x 0 a x 0 splňuje rovnici h 1 (x 0)=0. Pak, jak je snadné vidět, x 0 minimalizuje (1) s přihlédnutím k (2), protože pro všechny hodnoty x vyhovující (2), h 1 (x)=0 a L(x,λ)=min f(x).
Samozřejmě je nutné zvolit hodnotu λ=λ 0 tak, aby souřadnice nepodmíněného minimálního bodu x 0 vyhovovala rovnosti (2). To lze provést, pokud vezmeme v úvahu λ jako proměnnou, najdeme nepodmíněné minimum funkce (3) ve tvaru funkce λ a poté zvolíme hodnotu λ, při které je splněna rovnost (2). Ukažme si to na konkrétním příkladu.
Minimalizujte f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
pod omezením h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Odpovídající neomezený optimalizační problém je zapsán následovně:
minimalizovat L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Řešení. Když vyrovnáme dvě složky gradientu L k nule, dostaneme
→ x 10 =λ
→ x 20 =λ/2
Abychom ověřili, zda stacionární bod x° odpovídá minimu, vypočítáme prvky Hessovy matice funkce L(x;u), uvažovanou jako funkci x,
což se ukazuje jako pozitivně definitivní.
To znamená, že L(x,u) je konvexní funkcí x. V důsledku toho souřadnice x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 určují bod globálního minima. Optimální hodnotaλ se zjistí dosazením hodnot x 1 0 a x 2 0 do rovnice 2x 1 + x 2 =2, z čehož 2λ+λ/2=2 nebo λ 0 =4/5. Podmíněné minimum je tedy dosaženo při x 1 0 = 4/5 a x 2 0 = 2/5 a je rovno min f(x) = 4/5.
Při řešení úlohy z příkladu jsme uvažovali L(x;λ) jako funkci dvou proměnných x 1 a x 2 a navíc předpokládali, že hodnota parametru λ byla zvolena tak, aby byla splněna podmínka. Pokud řešení systému
J=1,2,3,…,n
λ nelze získat ve formě explicitních funkcí, pak hodnoty x a λ zjistíme řešením následujícího systému sestávajícího z n+1 rovnic s n+1 neznámými:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Najít všechny možné řešení tento systém lze použít numerické metody vyhledávání (například Newtonova metoda). Pro každé z řešení () bychom měli vypočítat prvky Hessovy matice funkce L, uvažované jako funkce x, a zjistit, zda je tato matice kladně definitní (lokální minimum) nebo záporně definitní (lokální maximum). ).
Metodu Lagrangeova multiplikátoru lze rozšířit na případ, kdy má problém několik omezení ve formě rovnosti. Zvažte obecný problém, který vyžaduje
Minimalizovat f(x)
za omezení h k = 0, k = 1, 2, ..., K.
Funkce Lagrange trvá další pohled:
Tady λi, λ2, ..., λk-Lagrangeovy multiplikátory, tzn. neznámé parametry, jejichž hodnoty je třeba určit. Když parciální derivace L vzhledem k x rovnáme nule, dostaneme následující systém n rovnice s n neznámými:
Pokud se ukáže, že je obtížné najít řešení výše uvedeného systému ve formě funkcí vektoru λ, můžete systém rozšířit zahrnutím omezení ve formě rovnosti
Řešení rozšířené soustavy, sestávající z n + K rovnic s n + K neznámými, určuje stacionární bod funkce L. Poté je implementován postup kontroly minima nebo maxima, který se provádí na základě výpočtu prvky Hessovy matice funkce L, uvažované jako funkce x, podobně jako v případě problému s jedním omezením. Pro některé problémy nemusí mít rozšířený systém n+K rovnic s n+K neznámými řešení a metoda Lagrangeova multiplikátoru se ukáže jako nepoužitelná. Je však třeba poznamenat, že takové úkoly jsou v praxi poměrně vzácné.
Podívejme se na zvláštní případ společný úkol nelineární programování, za předpokladu, že systém omezení obsahuje pouze rovnice, neexistují podmínky pro nezápornost proměnných a a - funkce jsou spojité spolu s jejich parciálními derivacemi. Řešením soustavy rovnic (7) tedy získáme všechny body, ve kterých může mít funkce (6) extrémní hodnoty.
Algoritmus pro Lagrangeovu multiplikační metodu
1. Vytvořte Lagrangeovu funkci.
2. Najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným x J ,λ i a přirovnejte je k nule.
3. Řešíme soustavu rovnic (7), najdeme body, ve kterých může mít účelová funkce úlohy extrém.
4. Mezi body podezřelými pro extrém najdeme ty, ve kterých je extrém dosaženo, a vypočítáme hodnoty funkce (6) v těchto bodech.
Příklad.
Počáteční údaje: Podle plánu výroby potřebuje společnost vyrobit 180 produktů. Tyto výrobky lze vyrábět dvěma technologickými způsoby. Při výrobě x 1 výrobků 1. způsobem jsou náklady 4x 1 +x 1 2 rublů a při výrobě x 2 výrobků 2. způsobem jsou to 8x 2 +x 2 2 rubly. Určete, kolik produktů by se mělo vyrobit pomocí jednotlivých metod, aby byly výrobní náklady minimální.
Účelová funkce pro uvedený problém má tvar
® min za podmínek x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0.
1. Vytvořte Lagrangeovu funkci
.
2.
Vypočítáme parciální derivace vzhledem k x 1, x 2, λ a přirovnáme je k nule: 
3.
Řešením výsledné soustavy rovnic zjistíme x 1 =91,x 2 =89
4. Provedením náhrady v účelové funkci x 2 =180-x 1 získáme funkci jedné proměnné, a to f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Počítáme nebo 4x 1 -364=0 ,
odkud máme x 1 * =91, x 2 * =89.
Odpověď: Počet výrobků vyrobených první metodou je x 1 = 91, druhou metodou x 2 = 89, přičemž hodnota účelové funkce je rovna 17 278 rublům.
1.9 Lagrangeova metoda neurčitých multiplikátorů
Řešení omezených optimalizačních problémů je přirozeně významné obtížnější řešení neomezené optimalizační problémy. Je přirozené snažit se redukovat problém podmíněné optimalizace (hledání relativního extrému) na jednodušší problém nepodmíněné optimalizace (hledání absolutního extrému). Tento postup se provádí metodou Lagrange. Podívejme se na podstatu této metody.
Je nutné najít podmíněný extrém nelineární funkce
n proměnných s m omezeními
(1.56)
Omezení nerovností se transformují na rovnosti a volné členy se přenesou na levé strany omezení, tzn. systém (1.56) je redukován na formu
(1.57)
V souladu s Lagrangeovou metodou se místo relativního extrému funkce (1.55) pod omezením (1.57) hledá absolutní extrém Lagrangeovy funkce, který má následující tvar:
kde - neurčité faktory Lagrange, což jsou stejně jako proměnné hledané proměnné.
Je vidět, že Lagrangeova funkce zahrnuje účelovou funkci plus každé omezení vynásobené Lagrangeovým multiplikátorem.
Bylo prokázáno, že relativní extrém účelové funkce (1,55) pod omezeními (1,57) se shoduje s absolutním extrémem Lagrangeovy funkce (1,58).
Hledání absolutního extrému funkce (1.58) se provádí pomocí známých metod. Zejména jsou určeny parciální derivace Lagrangeovy funkce a nastaveny na nulu:
(1.59)
Posledních m rovnic představuje omezení (1.57) optimalizační úlohy.
Soustava (1.59) obsahuje (m+n) rovnic a stejný počet neznámých.
Řešitelský systém (1.59) dá souřadnice absolutního minima Lagrangeovy funkce (1.58) nebo relativního minima účelové funkce (1.55) za omezení (1.57).
Řešení soustavy (1.59) se provádí pomocí známých metod výpočetní matematiky. Pokud je soustava (1.59) lineární, obvykle se používá Gaussova metoda. Pokud je systém (1.59) nelineární – Newtonova metoda.
1.10 Výběr metody optimalizace
Před výběrem metody optimalizace provedeme stručná analýzaúkoly, které musí vyvinutý software řešit:
program musí řešit problém podmíněné minimalizace, tzn. najít relativní extrém, protože v matematický model kromě lineárních omezení se vyskytnou i nelineární;
protože účelová funkce je funkcí několika proměnných, může mít několik extrémů, v takovém případě musí program hledat lokální minimum.
Po rozboru nejčastěji používaných optimalizačních metod byla k dosažení tohoto cíle zvolena gradientová metoda kvadratického programování, která je z výše uvedených gradientních metod nejúčinnější, modifikovaná o metody polynomiální aproximace.
Předpokládá se, že účelová funkce a okrajové podmínky jsou aproximovány kvadratickými závislostmi nebo polynomy druhého řádu. Tato metoda bude podrobněji popsána později v části „Vývoj“. software optimalizační metoda“.
Tato metoda umožňuje tvořit spolehlivý program, splňující všechny výše uvedené požadavky.
2. Vývoj optimalizační metody pro re činný výkon
Vyžaduje se v systému elektrické energie (EPS) celkový výkon kompenzačních zařízení se určí z bilanční rovnice reaktivní síla(6.1). Tento výkon musí být umístěn v uzlech elektrické sítě S minimální náklady.
kde je celkový jalový výkon generovaný v EPS, včetně jalového výkonu pocházejícího ze sousedního EPS;
Celkový jalový výkon spotřebitelů EPS, včetně jalového výkonu dodávaného do sousedního EPS;
Celkový jalový výkon vlastních potřeb elektráren;
Celkové ztráty jalového výkonu;
Celková spotřeba jalového výkonu v EPS.
Zvažme nejjednodušší schéma stávající síť(obr. 2.1). ze zdroje s napětím U, přes odpor sítě R, je zátěž napájena výkonem S=P+jQ. Na zátěžových přípojnicích je instalováno kompenzační zařízení o kapacitě Qk.
Obrázek 2.1 – Nejjednodušší schéma kompenzace jalového výkonu
Ztráty činného výkonu ve vedení, pokud spotřebitel nemá kompenzační zařízení () jsou
. (2.2)
Při instalaci kompenzačního zařízení () u spotřebitele se tyto ztráty sníží na hodnotu
. (2.3)
Kompenzace jalového výkonu tedy umožňuje snížit ztráty činného výkonu v napájecím obvodu a následně zlepšit technické a ekonomické ukazatele tohoto obvodu.
Pojďme zhodnotit dopad CG na síťové náklady.
Vyjádření celkových nákladů na přenos výkonu do zátěže při instalaci výměníku tepla bude mít tvar:
(2.4)
kde ZK – náklady na CG;
соΔР – náklady na pokrytí ztrát činného výkonu v síti;
с – náklady na jednotku ztraceného činného výkonu;
зк – jednotkové náklady na CG.
Abychom určili minimum funkce 3, přirovnáme její derivaci proměnné QK k nule:
(2.5)
Z (2.5) se určí ekonomicky proveditelný jalový výkon, jehož přenos od zdroje ke spotřebiteli odpovídá minimálním nákladům
(2.6)
Hodnota QE nezávisí na činném výkonu P, ale závisí pouze na poměru ukazatelů nákladů zk a co a parametrů sítě U a R, kterou je výkon přenášen.
Problematika umístění kompenzačních zařízení v elektrické síti reálného EPS je složitým optimalizačním problémem. Problém je v tom, že systémy elektrické energie jsou velké systémy složené z propojených subsystémů. Je nemožné posuzovat každý jednotlivý subsystém izolovaně, protože vlastnosti velké systémy určuje charakter vzájemných vztahů jednotlivých subsystémů.
Používá se při analýze velkých systémů systémový přístup, podle kterého rozbor velký systém se provádí při jeho rozdělení na podsystémy, které spolu přímo nesouvisí, ale navzájem se prostřednictvím systému více ovlivňují vysoká úroveň.
Ve vztahu k uvažované problematice se zdá, že elektrická síť ano na různých úrovních, jak je znázorněno na Obr. 2.2. horní úroveň je elektrická síť s napětím 110 kV a vyšším. Tato složitá elektrická síť, kterou představuje kompletní schéma substituce je znázorněna na obr. 2.2 podmíněně jako ES1. Jalové výkony generované generátory elektráren QES, kompenzačními zařízeními QK, elektrickým vedením QС, jakož i jalové výkony protékající spoji se sousedními ES2 a ES3 (Q12, Q21, Q13, Q31) poskytují dostupný jalový výkon Qр1 v ES1.
Obrázek 2.2 – Uspořádání řídicí jednotky v elektrické síti
Druhou úrovní je soubor n otevřených místních distribučních sítí o napětí 35 kV a nižším, připojených k n uzlům el. nejvyšší úroveň přes transformátory T. Tyto místní distribuční sítě nejsou vzájemně přímo propojeny, ale vzájemně se ovlivňují prostřednictvím sítě vyšší úrovně. Synchronní generátory, kompenzátory a motory v každém distribuční síť jsou reprezentovány jedním ekvivalentním synchronním strojem G. Nízkonapěťové spotřebiče P+jQ jsou napájeny z místních elektrických sítí přes distribuční transformátory T1.
Kompenzační zařízení lze instalovat na vysokonapěťové (jQkv) a nízkonapěťové (jQks) sběrnice transformátorů T, dále na 0,4 kV sběrnice distribučních transformátorů T1 a do vlastní sítě 0,4 kV (jQkn). Hodnota výkonu těchto HRSG podléhá určení.
V obecný pohled problém optimalizace umístění CP je formulován následovně: pro určení jalových výkonů synchronních strojů G dostupných v uzlech 6...35 kV výkon CP v sítích všech napětí Qkv, Qks, Qkn , stejně jako hodnoty jalových výkonů Qеi (i=1, 2, …n), přenášených v spotřebitelské síti, což zajišťuje minimální celkové náklady.
Výpočty kompenzace jalového výkonu pro sítě všech typů se provádějí jak při projektování rozvoje elektrických sítí, tak za jejich provozních podmínek. Při návrhu se zjišťuje výkon výměníku a řeší se problém jejich rozvodu v elektrické síti. Za provozních podmínek určete optimální režimy dostupné CU během dne. Kritériem optimality jsou v tomto případě minimální ztráty výkonu a energie a vyhovění odchylkám napětí přijatelné hodnoty.
Při navrhování napájecího obvodu jsou finanční náklady na tento obvod zpravidla minimalizovány. Snížení ztrát výkonu v důsledku instalace výměníků tepla snižuje náklady na okruh, podle následující důvody:
každý ztracený kW výkonu musí být generován v elektrárnách, a tudíž na něj vynaložen hotovost;
výroba ztraceného jalového výkonu v elektrárnách je mnohem dražší než spotřeba (3x!).
Kompenzační zařízení však vyžadují i finanční náklady.
V tomto ohledu vyvstává problém stanovení optimálního výkonu kompenzačních zařízení, který splňuje minimální celkové náklady. Tento problém patří mezi neomezený optimalizační problém a lze jej řešit např. pomocí gradientních metod.
Uvažujme takový problém pro hlavní napájecí obvod (obr. 2.3). Výkon kompenzačních zařízení QK1 a QK2 v uzlech 1 a 2 je nutné stanovit na základě podmínky minimálních celkových nákladů na instalaci těchto zařízení a pokrytí ztrát činného výkonu v obvodu.
Obrázek 2.3 – Schéma napájení
Počáteční údaje:
napětí obvodu U;
odpory vedení R1 a R2;
reaktivní zatížení uzlů 1 a 2 Q1 a Q2;
měrné náklady na instalaci kompenzačních zařízení zo;
c. specifické náklady na pokrytí ztrát činného výkonu.
Objektivní funkce, která představuje celkové náklady na instalaci kompenzačních zařízení a pokrytí ztrát činného výkonu v obvodu, má následující podobu
kde a1=R1∙co∙10-3/U2=0,0006;
a2=R2∙co∙10-3/U2=0,0004.
Zavedení číselného koeficientu 10-3 je nutné pro uvedení všech složek účelové funkce do jedné dimenze (cu).
Pro vyřešení úlohy volíme metodu souřadnicového sestupu. Určeme parciální derivace účelové funkce Z vzhledem k proměnným Q1 a Q2:
(2.8)
Vezměme si počáteční aproximaci:
Pro tyto hodnoty vypočítáme hodnoty účelové funkce a její parciální derivace.
Předpokládejme, že ve směru proměnné Qk2 účelová funkce Z klesá silněji než ve směru proměnné Qk1, tzn.
(2.10)
Ve směru proměnné Qk2 začneme sestupovat.
Vezměme velikost kroku =400 kvar. První aproximace (první krok) bude Qk11=0, Qk21=400 kvar. Vypočteme hodnotu účelové funkce Z1.
Druhý krok: Qk12=0, Qk22=400 kvar. Vypočteme hodnotu účelové funkce Z2.
Sestup po souřadnici Qk2 by měl pokračovat až do Zn Udělejme nový krok směrem k další proměnné Qk1. Je nalezena nová hodnota účelové funkce Z Sestup podél této proměnné pokračuje stejným způsobem jako ve směru Qk2 - až do Zm Bod se získanými souřadnicemi Qk1m-1, Qk2n-1 se nachází v blízkosti minima účelové funkce Z. Při přijaté délce kroku = 400kvar nelze získat přesnější řešení. Pro získání přesnějšího řešení je nutné snížit krok a pokračovat v klesání. Je naprosto jisté, že čím menší krok, tím přesnější bude výsledek. Ručním výpočtem takové přesnosti dosáhnout nemůžeme. K vyřešení tohoto problému by bylo vhodné použít software určený k řešení problémů nelineárního programování s nelineárními omezeními. Jedním z takových programovacích jazyků je C++. To bylo považováno za neomezený optimalizační problém, tzn. najít naprosté minimum. Při řešení nastoleného problému je pro nalezení optimálního provozního režimu sítě OJSC Ilyich Iron and Steel Works nutné najít relativní minimum, protože systém omezení bude mít nelineární podobu (viz níže „Vývoj softwaru “). Stojíme tedy před problémem podmíněné optimalizace pro jalový výkon, pro který využíváme dříve zvolenou gradientovou metodu kvadratického programování.
Informace o práci „Analýza provozních režimů elektrických sítí OJSC Ilyich Iron and Steel Works a vývoj adaptivního řídicího systému pro režimy spotřeby energie“ Nejprve se podívejme na případ funkce dvou proměnných. Podmíněný extrém funkce $z=f(x,y)$ v bodě $M_0(x_0;y_0)$ je extrém této funkce dosažený za podmínky, že proměnné $x$ a $y$ v okolí tohoto bodu splňuje rovnici spojení $\ varphi (x,y)=0$. Název „podmíněný“ extrém je způsoben tím, že na proměnné je uvalena dodatečná podmínka $\varphi(x,y)=0$. Pokud lze jednu proměnnou vyjádřit ze spojovací rovnice přes druhou, pak se problém určení podmíněného extrému redukuje na problém určení obvyklého extrému funkce jedné proměnné. Pokud například rovnice spojení implikuje $y=\psi(x)$, pak dosazením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ získáme funkci jedné proměnné $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. V obecném případě je však tato metoda málo použitelná, takže je nutné zavedení nového algoritmu. Metoda Lagrangeova multiplikátoru spočívá v konstrukci Lagrangeovy funkce pro nalezení podmíněného extrému: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda$ se nazývá Lagrangeův multiplikátor). Potřebné podmínky pro extrém jsou specifikovány soustavou rovnic, ze kterých jsou určeny stacionární body: $$ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(zarovnáno) \vpravo. Postačující podmínkou, ze které lze určit povahu extrému, je znaménko $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Pokud je ve stacionárním bodě $d^2F > 0$, pak má funkce $z=f(x,y)$ v tomto bodě podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, то условный максимум. Existuje další způsob, jak určit povahu extrému. Z vazebné rovnice získáme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, proto v jakémkoli stacionárním bodě máme: $$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \vpravo)$$ Druhý faktor (umístěný v závorkách) může být znázorněn v této podobě: Prvky determinantu $\left| jsou zvýrazněny červeně. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole)\right|$, což je hessián Lagrangeovy funkce. Pokud $H > 0$, pak $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, tj. máme podmíněné minimum funkce $z=f(x,y)$. Poznámka k zápisu determinantu $H$. zobrazit\skrýt $$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$ V této situaci se výše formulované pravidlo změní následovně: pokud $H > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, a pokud $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы. Řekněme, že máme funkci $n$ proměnných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ spojovacích rovnic ($n > m$): $$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$ Označením Lagrangeových multiplikátorů jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoříme Lagrangeovu funkci: $$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$ Nezbytné podmínky pro přítomnost podmíněného extrému jsou dány systémem rovnic, ze kterých se nacházejí souřadnice stacionárních bodů a hodnoty Lagrangeových multiplikátorů: $$\left\(\begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnáno) \right.$$ Zda má funkce v nalezeném bodě podmíněné minimum nebo podmíněné maximum, můžete jako dříve zjistit pomocí znaménka $d^2F$. Pokud je v nalezeném bodě $d^2F > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу: Determinant matice $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)^(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(2) ) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(n)) \\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_1) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)^(2)) & \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(2)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_(n))\\ \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(3) \částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(2)) & \ frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$, zvýrazněné červeně v matici $L$, je Hessián Lagrangeovy funkce. Používáme následující pravidlo: Příklad č. 1 Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=x+3y$ pod podmínkou $x^2+y^2=10$. Geometrický výklad tohoto problému je následující: je nutné najít největší a nejmenší hodnoty aplikace roviny $z=x+3y$ pro body jejího průsečíku s válcem $x^2+y ^2 = 10 $. Vyjádřit jednu proměnnou přes druhou z vazebné rovnice a dosadit ji do funkce $z(x,y)=x+3y$ je poněkud obtížné, proto použijeme Lagrangeovu metodu. Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoříme Lagrangeovu funkci: $$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\částečné F)(\částečné x)=1+2\lambda x; \frac(\částečné F)(\částečné y)=3+2\lambda y. $$ Napišme soustavu rovnic pro určení stacionárních bodů Lagrangeovy funkce: $$ \left \( \začátek(zarovnáno) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnáno)\vpravo.$$ Pokud předpokládáme $\lambda=0$, pak první rovnice bude: $1=0$. Výsledný rozpor ukazuje, že $\lambda\neq 0$. Za podmínky $\lambda\neq 0$ z první a druhé rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Dosazením získaných hodnot do třetí rovnice dostaneme: $$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnáno) \vpravo.\\ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnáno) $$ Systém má tedy dvě řešení: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zjistěme povahu extrému v každém stacionárním bodě: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Za tímto účelem vypočítáme determinant $H$ v každém bodě. $$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$ V bodě $M_1(1;3)$ dostáváme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže na bod Funkce $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ má podmíněné maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$. Podobně v bodě $M_2(-1,-3)$ najdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$. Podotýkám, že místo výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každém bodě je mnohem pohodlnější jej rozšířit v obecné podobě. Aby nebyl text zahlcen detaily, schovám tento způsob pod poznámku. Zápis determinantu $H$ v obecném tvaru. zobrazit\skrýt $$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\vpravo) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\vpravo). $$ V zásadě je již zřejmé, jaké znaménko $H$ má. Protože žádný z bodů $M_1$ nebo $M_2$ se neshoduje s počátkem, pak $y^2+x^2>0$. Znaménko $H$ je tedy opačné než znaménko $\lambda$. Výpočty můžete dokončit: $$ \začátek(zarovnáno) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnáno) $$ Otázku po povaze extrému ve stacionárních bodech $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ lze vyřešit bez použití determinantu $H$. Najdeme znaménko $d^2F$ v každém stacionárním bodě: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$ Upozorňuji, že zápis $dx^2$ znamená přesně $dx$ umocněný na druhou mocninu, tzn. $\left(dx \right)^2$. Máme tedy: $dx^2+dy^2>0$, tedy s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$. Odpovědět: v bodě $(-1;-3)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=-10$. V bodě $(1;3)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=10$ Příklad č. 2 Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmínkou $x+y=0$. Označením $\varphi(x,y)=x+y$ složíme Lagrangeovu funkci: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$. $$ \frac(\částečné F)(\částečné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\částečné F)(\částečné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. Po vyřešení systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9) $, $\lambda_2=-10 $. Máme dva stacionární body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zjistime povahu extrému v každém stacionárním bodě pomocí determinantu $H$. $$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(pole) \right|=-10-18y $$ V bodě $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, proto má v tomto bodě funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$. Zkoumáme povahu extrému v každém bodě pomocí jiné metody na základě znaménka $d^2F$: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$ Z rovnice spojení $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$. $$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$ Protože $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, pak $M_1(0;0)$ je podmíněný minimální bod funkce $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobně $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума. Z rovnice připojení $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosazením $y=-x$ do funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ získáme nějakou funkci proměnné $x$. Označme tuto funkci jako $u(x)$: $$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$ Redukovali jsme tedy problém hledání podmíněného extrému funkce dvou proměnných na problém určení extrému funkce jedné proměnné. $$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); Získali jsme body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Další výzkum je znám z průběhu diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Zkoumáním znaménka $u_(xx)^("")$ v každém stacionárním bodě nebo kontrolou změny znaménka $u_(x)^(")$ v nalezených bodech získáme stejné závěry, jako když řešení první metody Například zkontrolujeme znak $u_(xx)^("")$: $$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $ Protože $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimální bod funkce $u(x)$ a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$. Hodnoty funkce $u(x)$ pro danou podmínku připojení se shodují s hodnotami funkce $z(x,y)$, tzn. nalezené extrémy funkce $u(x)$ jsou hledané podmíněné extrémy funkce $z(x,y)$. Odpovědět: v bodě $(0;0)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=0$. V bodě $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$. Uvažujme další příklad, ve kterém objasníme povahu extrému určením znaménka $d^2F$. Příklad č. 3 Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce $z=5xy-4$, pokud jsou proměnné $x$ a $y$ kladné a splňují spojovací rovnici $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$. Složme Lagrangeovu funkci: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Pojďme najít stacionární body Lagrangeovy funkce: $$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; Všechny další transformace se provádějí s přihlédnutím k $x > 0; \; y > 0 $ (toto je uvedeno v prohlášení o problému). Z druhé rovnice vyjádříme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nalezenou hodnotu dosadíme do první rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosazením $x=2y$ do třetí rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $. Protože $y=1$, pak $x=2$, $\lambda=-10$. Povahu extrému v bodě $(2;1)$ určíme na základě znaménka $d^2F$. $$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$ Protože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, pak: $$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$ V zásadě zde můžete okamžitě dosadit souřadnice stacionárního bodu $x=2$, $y=1$ a parametr $\lambda=-10$, čímž získáte: $$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$ V jiných problémech na podmíněném extrému však může být několik stacionárních bodů. V takových případech je lepší reprezentovat $d^2F$ v obecném tvaru a poté dosadit souřadnice každého z nalezených stacionárních bodů do výsledného výrazu: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$ Dosazením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme: $$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$ Protože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$. Odpovědět: v bodě $(2;1)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=6$. V další části se budeme zabývat aplikací Lagrangeovy metody pro funkce většího počtu proměnných. Věta 1. Nechť bod je podmíněným krajním bodem funkce, když jsou splněny rovnice spojení (3). Pak existují čísla taková, že podmínky jsou v daném bodě splněny Následek. Položme kde jsou čísla uvedená ve větě. Funkce (8) se nazývá Lagrangeova funkce. Pokud je bod podmíněným extrémem pro funkci, pak je pro Lagrangeovu funkci stacionárním bodem, tzn. v tomto bodě Důkaz věty. Nechť je podmíněný extrém pro funkci a nechť je v tomto bodě pro definitivnost splněna podmínka (4). Potom je bod bodem obvyklého extrému funkce, tedy bodem odkud, pomocí invariance tvaru prvního diferenciálu, pro bod, který máme Dosazením (5) do (3) a diferencováním výsledné identity v určitém okolí bodu, a tedy v bodě samotném, získáme Ve vzorci (11), stejně jako ve vzorci (10), jsou diferenciály diferenciály nezávislých proměnných a diferenciály jsou diferenciály funkcí. Ať už jsou čísla jakákoli, vynásobíme rovnost (11) v bodě funkce a sečteme je dohromady a s rovností (10), dostaneme Zvolili jsme tak, aby rovnost platila v bodě To je vždy možné, protože (13) je soustava rovnic lineární vzhledem k determinantu nerovná se nule. S touto volbou máme Zde jsou všechny diferenciály diferenciály nezávislých proměnných, a proto jsou samy nezávislými proměnnými, které mohou nabývat libovolných hodnot. Pokud vezmeme a všechny ostatní diferenciály zahrnuté ve vzorci (14) rovny nule, dostaneme Prokázali jsme tedy existenci takových, že jsou splněny podmínky (13) a (15), tzn. podmínky (7). Věta byla prokázána. Algoritmus pro nalezení extrému funkce pomocí metody Lagrangeova multiplikátoru Nechť je třeba najít extrém funkce n proměnných f(x 1 ,x 2 ,…,x n) za předpokladu, že proměnné x 1 ,x 2 ,…,x n spolu souvisí vztahy (omezeními) mezi nimiž je počet m omezení rovnosti menší než počet n proměnných a počet a r omezení nerovnosti může být libovolný. K nalezení hodnot (x 1 , x 2 ,…,x n )=X, které nutně poskytují extrémy funkce f(X), můžete použít Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů: na oplátku jsou redukovány na omezení rovnosti zavedením +r dalších proměnných Výsledkem je, že problém nalezení podmíněného extrému bude mít kanonickou formu: ve kterém je vztah m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X). 3. Lagrangeova funkce je zkompilována: Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r , ve kterém se dodatečné proměnné ( 1 ,…, m++r )= nazývají neurčité Lagrangeovy multiplikátory. Pro zkonstruovanou Lagrangeovu funkci můžeme představovat problém s nalezením nepodmíněného extrému výsledek jehož řešení se bude shodovat s požadovaným řešením původního problému nalezení podmíněného extrému. 4. Pro funkci Ф(Х,) jsou vypracovány nezbytné podmínky pro existenci extrému: 5. Výsledná soustava rovnic Ф(Х,) = 0 je vyřešena a výsledkem řešení jsou nalezeny hodnoty splnění nezbytných podmínek pro existenci extrému. 6. K vyřešení otázky, zda v nalezených bodech existují maxima nebo minima, je třeba použít dostatečné podmínky pro existenci extrémů, které jsou pro hladké funkce Ф() formulovány takto: pokud je v nějakém bodě matice druhých derivací kladně definitní, pak minimum funkce f(X) leží v analyzovaném bodě;Lagrangeova multiplikační metoda pro funkce dvou proměnných.
Algoritmus pro studium funkce dvou proměnných pro podmíněný extrém
Metoda Lagrangeova multiplikátoru pro funkce n proměnných
První metoda (metoda Lagrangeova multiplikátoru)
Druhý způsob
