Domov › Telefon › Integrál Gaussovy funkce. Numerická integrace funkce pomocí Gaussovy metody. Příklad provedení programu

Integrál Gaussovy funkce. Numerická integrace funkce pomocí Gaussovy metody. Příklad provedení programu

Úvod

1. Vyjádření problému

2.1 Obdélníková metoda

2.2 Lichoběžníková metoda

2.4 Zvýšená přesnost

2.5 Gaussova metoda

2.6 Gauss-Kronrodova metoda

Závěr

Úvod

Vznik a neustálé zdokonalování vysokorychlostní elektroniky počítače(počítač) vedl ke skutečně revoluční transformaci vědy obecně a matematiky zvláště. Technologie se změnila vědecký výzkum enormně vzrostly možnosti teoretického studia, predikce složitých procesů a navrhování inženýrských konstrukcí. Řešení velkých vědeckých a technických problémů, jejichž příkladem jsou problémy se zvládnutím jaderné energetiky a průzkumu vesmíru, bylo možné pouze díky využití matematické modelování a nové numerické metody, určený pro počítače.

V současné době můžeme říci, že se objevil nová cesta teoretické studium složitých procesů, které umožňují matematický popis, je výpočetní experiment, tzn. studium přírodovědných problémů pomocí výpočetní matematiky. Vývoj a výzkum výpočetní algoritmy a jejich aplikace na řešení konkrétní úkoly tvoří obsah obrovské části moderní matematiky - výpočetní matematiky.

Numerické metody poskytují přibližné řešení problému. To znamená, že místo toho přesné řešení a (funkce nebo funkce) nějakého problému, najdeme řešení jiného problému, který se v určitém smyslu (například v normě) blíží požadovanému. Hlavní myšlenkou všech metod je diskretizace nebo aproximace (náhrada, aproximace) původní problém jiný problém, vhodnější pro řešení na počítači, a řešení aproximačního problému závisí na určitých parametrech, jejichž ovládáním je možné určit řešení s požadovanou přesností. Například v numerické integrační úloze jsou takovými parametry uzly a váhy kvadraturního vzorce. Dále řešení diskrétní problém je prvkem konečně-dimenzionálního prostoru.

Numerická integrace (historický název: kvadratura) je výpočet hodnoty určitého integrálu (obvykle přibližný), založený na skutečnosti, že hodnota integrálu je číselně rovna ploše křivočarého lichoběžníku omezeného x. -osa, graf integrované funkce a úsečky, které jsou limity integrace.

Potřeba použití numerické integrace může být nejčastěji způsobena nedostatkem primitivní funkce reprezentace v elementárních funkcích a tedy nemožnost analyticky vypočítat hodnotu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce. Je také možné, že tvar primitivní funkce je tak složitý, že je rychlejší vypočítat hodnotu integrálu pomocí numerické metody.

1. Vyjádření problému

Podstatou většiny metod pro výpočet určitých integrálů je nahrazení integrandu aproximační funkcí, pro kterou lze v elementárních funkcích snadno zapsat primitivní funkci.

Přiblížení nebo přiblížení - matematická metoda, která spočívá v nahrazení některých matematických objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkými původním, ale jednodušším. Aproximace umožňuje studovat číselné charakteristiky a kvalitativní vlastnosti objekt, redukující úkol na studium jednodušších nebo pohodlnějších objektů (například těch, jejichž charakteristiky lze snadno vypočítat nebo jejichž vlastnosti jsou již známé). V teorii čísel jsou studovány diofantické aproximace, zejména aproximace iracionálních čísel racionálními. V geometrii se uvažují aproximace křivek přerušovanými čarami. Některé obory matematiky jsou zcela věnovány aproximaci, např. teorie aproximace funkcí, numerické metody analýzy.

V problémech tohoto druhu se také aktivně používají interpolační metody pro nalezení funkčních hodnot.

Interpolace je metoda ve výpočetní matematice pro hledání střední hodnoty množství z dostupné diskrétní sady známé hodnoty.

Mnozí z těch, kteří se setkávají s vědeckými a inženýrské výpočtyČasto musíte pracovat se sadami hodnot získaných experimentálně nebo náhodným vzorkováním. Zpravidla se na základě těchto množin požaduje sestrojit funkci, která by mohla být vysoká přesnost narazit na další výsledné hodnoty. Tento problém se nazývá prokládání křivek. Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

K interpolaci se blíží i úloha, která spočívá v aproximaci některých komplexní funkce další, jednodušší funkce. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a z nich sestavit, tedy interpolovat, více jednoduchá funkce. Použití zjednodušené funkce samozřejmě nepřinese tak přesné výsledky jako původní funkce. Ale v některých třídách problémů může dosažený zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit nad výslednou chybou ve výsledcích.

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy. Důvodem je především skutečnost, že polynomy lze snadno vypočítat, jejich deriváty lze snadno analyticky najít a množina polynomů je hustá v prostoru. spojité funkce.

Pro vyřešení našeho problému je nutné zajistit zadání potřebných údajů a provedení testovacího příkladu.

Je také nutné implementovat podprogramy jako funkce. Hlavní funkce provede základní akce (výpočet hodnoty integrálu a výstup výsledku do souboru), volání dalších podprogramů.

Hlavní funkce zavolá funkci pro výpočet integrálu s danou přesností výpočtu, která zase v každém kroku zavolá funkci pro výpočet hodnoty funkce.

Vypočítejme integrál pomocí Gaussovy metody.

Odpověď: 3,584.

Pojďme vypočítat integrál Gaussova metoda.

Odpověď: - 0,588.

2. Matematické a algoritmické základy řešení problému

Podívejme se stručně na základní metody numerické integrace a zjistíme, proč je nejlepší a rychlá metoda integrace - desetibodová Gaussova metoda.

2.1 Obdélníková metoda

Obdélníková metoda se získá nahrazením integrandu konstantou. Jako konstantu můžete vzít hodnotu funkce v libovolném bodě segmentu. Nejčastěji používané hodnoty funkcí jsou uprostřed segmentu a na jeho koncích. Odpovídající modifikace se nazývají metody středních obdélníků, levých obdélníků a pravých obdélníků. Vzorec pro přibližný výpočet hodnoty určitého integrálu metodou obdélníku má tvar

kde , nebo , resp.

2.2 Lichoběžníková metoda

Pokud je funkce na každém z dílčích segmentů aproximována přímkou procházející konečnými hodnotami, dostáváme lichoběžníkovou metodu.

Plocha lichoběžníku na každém segmentu:

Chyba aproximace na každém segmentu:

Kompletní vzorec lichoběžník v případě rozdělení celého integračního intervalu na segmenty stejné délky h:

, Kde

Chyba lichoběžníkového vzorce:

, Kde

2.3 Parabola metoda (Simpsonova metoda)

Pomocí tří bodů integračního segmentu můžete nahradit integrand parabolou. Obvykle se jako takové body používají konce segmentu a jeho střed. V tomto případě má vzorec velmi jednoduchý tvar

Pokud vydělíme integrační interval 2N stejnými díly, pak máme

Kde .

2.4 Zvýšená přesnost

Aproximace funkce jediným polynomem přes celý integrační interval zpravidla vede k velké chybě v odhadu hodnoty integrálu.

Pro snížení chyby je integrační segment rozdělen na části a k vyhodnocení integrálu na každé z nich je použita numerická metoda.

Vzhledem k tomu, že počet oddílů má tendenci k nekonečnu, odhad integrálu má tendenci ke své skutečné hodnotě pro jakoukoli numerickou metodu.

Výše uvedené metody umožňují jednoduchý postup snížení kroku na polovinu, přičemž při každém kroku je nutné počítat funkční hodnoty pouze v nově přidaných uzlech. K odhadu chyby výpočtu se používá Rungeho pravidlo.

2.5 Gaussova metoda

Výše popsané metody využívají pevné body segmentu (konce a střed) a mají nízký řád přesnosti (0 - metoda pravého a levého obdélníku, 1 - metoda středního obdélníku a lichoběžníku, 3 - metoda paraboly (Simpsonova)). Pokud si můžeme vybrat body, ve kterých počítáme hodnoty funkce, pak se stejným počtem výpočtů integrandu můžeme získat metody vyššího řádu přesnosti. Takže pro dva (jako v lichoběžníkové metodě) výpočty hodnot integrandu můžete získat metodu ne 1., ale 3. řádu přesnosti:

V obecný případ, pomocí bodů můžete získat metodu s řádem přesnosti . Hodnoty uzlů Gaussovy metody v bodech jsou kořeny Legendreho polynomu stupně.

Hodnoty uzlů Gaussovy metody a jejich váhy jsou uvedeny v referenčních knihách speciální funkce. Nejznámější je Gaussova pětibodová metoda.

2.6 Gauss-Kronrodova metoda

Nevýhodou Gaussovy metody je, že nemá jednoduchý (z výpočetního hlediska) způsob, jak odhadnout chybu získané integrální hodnoty. Použití Rungeova pravidla vyžaduje výpočet integrandu při přibližně stejném počtu bodů, aniž by to přineslo prakticky jakýkoli nárůst přesnosti, na rozdíl od jednoduché metody, kde se přesnost výrazně zvyšuje s každým novým oddílem. Kronrod navrhl následující metodu pro odhad hodnoty integrálu

kde jsou uzly Gaussovy metody v bodech a parametry , , jsou vybrány takovým způsobem, že řád přesnosti metody je roven .

K odhadu chyby pak můžete použít empirický vzorec:

kde je přibližná hodnota integrálu získaného Gaussovou metodou nad body.

3. Funkční modely řešení problému

Funkční modely pro řešení problému jsou uvedeny na obrázcích 1 a 2.

Použité symboly:

g10c1, g10c2, g10c3, g10c4, g10c5 - konstanty desetibodové Gaussovy metody;

g10x1, g10x2, g10x3, g10x4, g10x5 - konstanty desetibodové Gaussovy metody;

m, n - pomocné proměnné;

s1, s2, s3, s4, s5, s - pomocné proměnné;

a, b - meze integrace;

f - integrovatelná funkce;

gc - vypočítaný integrál na intervalu (a, b);

ga, gb - proměnné pro výpočet integrálu na polovině intervalu;

eps - přesnost integrace;

k je pomocná proměnná.

Obrázek 1 - Funkční modelřešení problému desetibodové Gaussovy metody, realizované metodou Gaus_Calc

Obrázek 2 - Funkční model řešení úlohy pro Gausovu funkci

4. Implementace softwaruřešení problému

;; integrovaná funkce

;; 1 příklad

;; (/ (* 2 (expt x 3)) (expt x 4))

;; 2 příklad

;; (* 3,142 (hřích (* 3,142 x)))

;; 3 příklad

(* (/ (log (+ x 1)) x) (exp (* - 1 x)))

;; desetibodová Gaussova metoda

(defun Gauss_Calc(a b f)

(setq g10c1 (/0,9739065285 6,2012983932))

(setq g10c2 (/0,8650633667 6,2012983932))

(setq g10c3 (/0,6794095683 6,2012983932))

(setq g10c4 (/0,4333953941 6,2012983932))

(setq g10c5 (/0,1488743390 6,2012983932))

(setq g10x1 (/0,0666713443 6,2012983932))

(setq g10x2 (/0,1494513492 6,2012983932))

(setq g10x3 (/0,2190863625 6,2012983932))

(setq g10x4 (/0,2692667193 6,2012983932))

(setq g10x5 (/0,2955242247 6,2012983932))

(setq m (/ (+ b a) 2))

(setq n (/ (- b a) 2))

(setq s1 (* g10c1 (+ (funkce f (+ m (* n g10x1))) (funkce f (- m (* n g10x1))))))

(setq s2 (* g10c2 (+ (funkce f (+ m (* n g10x2))) (funkce f (- m (* n g10x2))))))

(setq s3 (* g10c3 (+ (funkce f (+ m (* n g10x3))) (funkce f (- m (* n g10x3))))))

(setq s4 (* g10c4 (+ (funkce f (+ m (* n g10x4))) (funkce f (- m (* n g10x4))))))

(setq s5 (* g10c5 (+ (funkce f (+ m (* n g10x5))) (funkce f (- m (* n g10x5)))))))

(setq s (+ s1 s2 s3 s4 s5))

;; rekurzivní počítací funkce s danou přesností

;; gc - dříve vypočítaný integrál na intervalu (a,b)

(defun Gauss (a b eps gc f)

;; rozdělte interval na dvě poloviny

(setq k (/ (+ a b) 2))

;; v každé polovině počítáme integrál

(setq ga (Gauss_Calc a (/ (+ a b) 2) f))

(setq gb (Gauss_Calc (/ (+ a b) 2) b f))

(if (> (abs (- (+ ga gb) gc)) eps)

(setq ga (Gauss a (/ (+ a b) 2) (/eps 2) (Gauss_Calc a (/ (+ a b) 2) f) f))

(+ ga (Gauss (/ (+ a b) 2) b (/ eps 2) (Gauss_Calc (/ (+ a b) 2) b f) f))

;; otevřete soubor pro čtení

(setq input-stream(otevřít "d:\\predel. txt": direction: input))

(setq a (přečíst vstupní proud))

(setq b (čtení vstupního toku))

(setq eps (přečíst vstupní proud))

(zavřít vstupní proud)

;; najít integrál

(setq integrál (Gauss a b eps (Gauss_Calc a b (funkce F)) (funkce F)))

;; otevřete soubor pro zápis

(setq output-stream(open "d:\\test. txt": direction: output))

(formát výstupního proudu "Integrál = ~a" integrál)

(zavřít výstupní proud)

5. Příklad provedení programu

Obrázek 3 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 4 - Výsledek výpočtu integrálu funkce se stanovenými limity a přesností výpočtu

Obrázek 5 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 6 - Výsledek výpočtu integrálu funkce s danými limity a přesností výpočtu

Obrázek 7 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 8 - Výsledek výpočtu integrálu funkce s danými limity a přesností výpočtu

Závěr

Problém zkvalitňování výpočtů jako nesoulad mezi požadovaným a skutečným existuje a bude existovat i v budoucnu. Jeho řešení usnadní vývoj informační technologie, která spočívá v obou zlepšujících se organizačních metodách informační procesy, a jejich implementace pomocí specifických nástrojů – prostředí a programovacích jazyků.

Seznam použitých zdrojů a literatury

1. Bronshtein I.N. Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškoláky [Text] / I.N. Bronstein, K.A. Semenďajev. - M.: Nauka, 2007. - 708 s.

2. Kremer N.Sh. Vyšší matematika pro ekonomy: učebnice pro vysokoškoláky. [Text] / N.Sh. Kremer, 3. vydání - M.: UNITY-DANA, 2006. S.412.

3. Kalitkin N.N. Numerické metody. [ Elektronický zdroj] / N.N. Kalitkin. - M.: Peter, 2001. S.504.

4. Numerická integrace [Elektronický zdroj] - Režim přístupu: http://ru. wikipedia.org/wiki/Numerical_integration

5. Semakin I.G. Základy programování. [Text] / I.G. Semakin, A.P. Šestakov. - M.: Mir, 2006. S.346.

6. Šimankov V.S. Základy funkcionálního programování [Text] / V.S. Simankov, T.T. Zangiev, I.V. Zajcev. - Krasnodar: KubSTU, 2002. - 160 s.

Počet výpočtů integrandu je snížen. Dalším schématem pro upřesnění integrálních hodnot je Eithnenův proces. Integrál se vypočítá po krocích a. Výpočet hodnot. Pak (14). Mírou přesnosti Simpsonovy metody je: 5. Příklady Příklad 1. Vypočítejte integrál pomocí Simpsonova vzorce, je-li daný tabulkou. Odhadněte chybu. Tabulka 3....

Dokončili jsme fyzickou část této kapitoly a nyní přejdeme k matematickým problémům. Představme si další matematický aparát, který nám v některých případech pomůže vypočítat součet podél trajektorie.

Nejjednodušší jsou ty integrály cesty, ve kterých exponent obsahuje proměnné s mocninou ne vyšší než druhá. Takové integrály budeme nazývat Gaussovy. V kvantové mechanice to odpovídá případu, kdy je děj kvadratická forma trajektorie.

Abychom ilustrovali, jak naše metoda v tomto případě funguje, uvažujme částici, jejíž Lagrangián má tvar

Akce je časový integrál této funkce mezi dvěma pevnými koncovými body. Ve skutečnosti je Lagrangian v této podobě poněkud obecnější, než je nutné. V těch podmínkách, kde faktor vstupuje lineárně, může být eliminován integrací po částech, ale tato okolnost pro nás nyní není důležitá. Chceme určit

(3.45)

Integrální přes všechny trajektorie spojující body a .

Přes všechny tyto trajektorie je samozřejmě možné provádět integraci způsobem, který byl popsán na začátku, tedy rozdělením integrační domény na krátké časové intervaly atd. Vhodnost této metody pro výpočty vyplývá ze skutečnosti, že integrand je exponenciála kvadratického tvaru proměnných a . Takové integrály lze vždy vypočítat. Tyto nudné výpočty však nebudeme provádět, protože nejvíce důležité vlastnosti jádra lze definovat následovně.

Nechť je klasická trajektorie mezi některými pevnými koncovými body. Toto je cesta, na které je akce extrémní. V zápisu, který jsme použili dříve,

. (3.46)

Hodnotu lze vyjádřit pomocí nové proměnné

To znamená, že každý bod na trajektorii již není určen svou vzdáleností od libovolné souřadnicové osy, ale svou odchylkou od klasické trajektorie, jak je znázorněno na Obr. 3.7.

Obr. 3.7. Rozdíl mezi klasickou trajektorií a jednou z alternativních trajektorií popsaný funkcí.

Protože se obě tyto trajektorie musí v počátečním a koncovém bodě shodovat . Mezi těmito krajními body může mít funkce jakoukoli formu. Vzhledem k tomu, že klasická trajektorie je zcela pevná, jakákoli změna v alternativní trajektorii je ekvivalentní odpovídající změně v diferenční funkci. Proto v integrálu dráhy lze diferenciál nahradit a trajektorii za .

Při integraci přes trajektorie zůstává v tomto případě množství konstantní. Nová proměnná popisující trajektorii je navíc omezena tím, že v krajních bodech je rovna nule. Tato substituce vede k dráhovému integrálu, který nezávisí na poloze krajních bodů a .

V každém okamžiku se proměnné a liší o konstantní hodnotu (samozřejmě pro různé momentyčas, tato konstanta je jiná). Tedy pro každý vybraný bod. Obecně to můžeme říci .

Akční integrál lze zapsat jako

. (3.48)

Pokud seskupíme všechny termíny, které neobsahují, pak v důsledku integrace získáme . Integrál součtu členů úměrných prvnímu stupni je roven nule. To lze ověřit přímou integrací (to vyžaduje integraci po částech), ale takový výpočet není nutný, protože již víme, že výsledek je správný. Funkce je skutečně zvolena tak, že změny trajektorie prvního řádu v okolí nemění akci. Vše, co zůstane, je druhého řádu a dá se snadno oddělit, takže můžeme psát

Cestovní integrál nezávisí na typu klasické trajektorie, takže jádro může být reprezentováno jako

Protože v počátečních a konečných bodech všech trajektorií lze dráhový integrál reprezentovat jako funkci pouze okamžiků času v koncových bodech. To znamená, že jádro lze zapsat jako

to znamená, že je určena až do funkce v závislosti na a . Zejména jeho závislost na prostorových proměnných se ukazuje být zcela objasněna. Je třeba poznamenat, že závislost jádra na koeficientech lineárních členů a na volném členu je také zcela známa.

Tato situace se zdá typická pro různé metody výpočet dráhových integrálů; s pomocí obecné techniky lze získat mnoho výsledků, ale ukazuje se, že často není možné exponenciální koeficient zcela určit. Musí se zjistit z dalších známých vlastností řešení, např. pomocí vztahu (2.31).

Je zajímavé poznamenat, že přibližný výraz je přesné, když se jedná o kvadratický tvar.

Problém 3.6. Vzhledem k tomu, že volná částice Lagrangian je kvadratická forma, ukažte to

, (3.52)

(viz problém 2.1) a zdůvodněte skutečnost, že funkce může záviset pouze na rozdílu .

Problém 3.7. Další informace o funkci lze získat na základě vlastnosti vyjádřené rovností (2.31). Nejprve si všimneme, že výsledky řešení úlohy 3.6 nám umožňují zapsat funkci jako , kde je časový interval . Pomocí této reprezentace funkce ve výrazu (3.52) a jejím dosazením do rovnosti (2.31) vyjádřete funkci v termínech a , kde a . Ukažte, že pokud je funkce zapsána ve tvaru uvedeném v (2.21), znamená to, že k první aproximaci funkce . To odpovídá skutečnosti, že hodnota ve výrazu (3.55) je nastavena na nulu. Konečný tvar funkce je konzistentní s výrazem (3.3).

Z tohoto příkladu je zřejmé, jak můžete nastavit důležité vlastnosti dráhové integrály, i když jsou integrandy velmi složité funkce. Ve všech případech, kdy je integrand exponenciální funkcí závislou na trajektorii k mocnině ne vyšší než druhého řádu, můžeme získat kompletní řešení, snad s vyloučením pouze některých hlavních faktorů. To platí bez ohledu na počet proměnných. Například integrál cesty formuláře

V některých otázkách matematické fyziky je nutné uvažovat o prvním typu křivočarého integrálu:

spojené se jménem Gauss. Zde je délka označena

vektor spojující vnější bod s proměnným bodem křivky (I) (obr. 25), přes - úhel mezi tímto vektorem a normálou ke křivce v bodě M.

Protože bod A je neměnný, je výraz integrandu funkcí souřadnic x, y bodu M. Představme si Gaussův integrál ve formě křivočarého integrálu druhého typu. Pokud jsou úhly mezi kladným směrem osy x a směry vektoru poloměru a normály úhly, pak je zřejmé,

Dosadíme-li to do Gaussova integrálu, zredukujeme jej do tvaru

Pokud použijeme vzorec (15) položka 353, pak dostaneme požadované vyjádření integrálu ve formě křivočarého integrálu druhého typu:

kde dvojité znaménko odpovídá té či oné volbě normálního směru.

Funkce, stejně jako jejich derivace, jsou spojité v celé rovině kromě bodu A, kde je podmínka integrovatelnosti splněna ve všech jiných bodech než A. Opravdu,

takže tyto deriváty jsou stejné.

Pokud je křivka (1) uzavřená, ale nepokrývá bod A (a neprochází jím), pak je to nutné. Pokud uzavřená křivka pokrývá bod A, pak Gaussův integrál může být nenulový, ale jak jsme viděli v předchozím, jeho hodnota musí být pro všechny takové křivky stejná. Abychom tuto hodnotu zjistili, vezměme jako křivku kružnici o poloměru se středem v bodě A. Potom

Takže pro každou uzavřenou křivku, ve které se nachází bod A, bude existovat

pokud normála směřuje ven, jako jsme to udělali v případě kruhu.

Získané výsledky by se daly snadno předpovědět, kdybychom předem stanovili geometrický význam integrálu Gauss je mírou úhlu, pod kterým je křivka viditelná z bodu A (pokud je úhel popsaný vektorem poloměru přicházejícím z bodu A brán s hodnotou A). znamení při projíždění zatáčky).

Abychom tuto okolnost odhalili, předpokládejme nejprve, že křivka se protíná s každým paprskem vycházejícím z A nejvýše v jednom bodě (obr. 26). Dále nechť je normála ke křivce nasměrována ve směru opačném k bodu A, takže

Vezmeme prvek na křivce (I) a určíme úhel, pod kterým je tento prvek viditelný z bodu A. Je-li M (například počátečním) bodem tohoto prvku, pak opíšeme kružnici o poloměru kolem A a promítněte prvek na tento kruh Nechte prvek kruhu, který

slouží jako projekce elementu vůle . Protože úhel mezi nimi (za předpokladu, že oba prvky jsou přibližně přímočaré) je roven úhlu

Na druhou stranu je to zřejmé

kde je středový úhel odpovídající oblouku, tj. přesně úhel, pod kterým je prvek viditelný z bodu A. Proto pro tento elementární úhel viditelnosti máme výraz

Nakonec, když sečteme všechny elementární úhly, dostaneme, že úhel viditelnosti pro celou křivku je přesně vyjádřen integrálem

Pokud křivku protínají paprsky vycházející z bodu A ve více než jednom bodě, ale lze ji rozdělit na části, z nichž každá je protínána těmito paprsky pouze v jednom bodě, pak stačí sečíst Gaussovy integrály související s těmito paprsky. díly.

Zvolme si na křivce určitý směr a nasměrujme normálu např. tak, aby úhel mezi kladně směřující tečnou a ní byl Pak v některých částech křivky bude normála směřovat ve směru opačném k bodu A, a Gaussův integrál bude dávat plusový úhel viditelnosti, v jiných částech bude normála směřovat k bodu A a úhel pohledu bude mínus. Obecně platí, že Gaussův integrál v tomto případě dá algebraický součet úhlů viditelnosti. Je to však tento součet, který se nazývá úhel viditelnosti pro celou křivku (I), takže úhel viditelnosti chápeme jako plnou míru natočení přímky pohledu od začátku do konce křivky. nějaké okolí bodu A, a pak jděte na limit, čímž toto okolí komprimujete.

Úvod

1. Vyjádření problému

2.1 Obdélníková metoda

2.2 Lichoběžníková metoda

2.3 Parabola metoda (Simpsonova metoda)

2.4 Zvýšená přesnost

2.5 Gaussova metoda

2.6 Gauss-Kronrodova metoda

Závěr

Seznam použitých odkazů

Úvod

Vznik a neustálé zdokonalování vysokorychlostních elektronických počítačů (počítačů) vedly ke skutečně revoluční transformaci vědy obecně a matematiky zvláště. Změnila se technologie vědeckého výzkumu, enormně se zvýšily možnosti teoretického studia, predikce složitých procesů, navrhování inženýrských staveb. Řešení velkých vědeckých a technických problémů, jejichž příkladem jsou problémy zvládnutí jaderné energetiky a průzkumu vesmíru, bylo možné pouze pomocí matematického modelování a nových numerických metod určených pro počítače.

V současné době můžeme říci, že pro teoretické studium složitých procesů, které lze popsat matematicky, vznikla nová metoda - výpočetní experiment, tzn. studium přírodovědných problémů pomocí výpočetní matematiky. Vývoj a výzkum výpočetních algoritmů a jejich aplikace na řešení konkrétních problémů tvoří obsah rozsáhlé části moderní matematiky - výpočetní matematiky.

Numerické metody poskytují přibližné řešení problému. To znamená, že místo přesného řešení a (funkce či funkce) nějakého problému najdeme řešení jiného problému, blízkého v určitém smyslu (například v normě) požadovanému. Hlavní myšlenkou všech metod je diskretizace nebo aproximace (náhrada, aproximace) původního problému jiným problémem, pohodlnějším pro řešení na počítači, a řešení aproximačního problému závisí na určitých parametrech, jejichž řízením je možné určit řešení s požadovanou přesností. Například v numerické integrační úloze jsou takovými parametry uzly a váhy kvadraturního vzorce. Dále, řešením diskrétního problému je prvek konečněrozměrného prostoru.

Potřeba použití numerické integrace může být nejčastěji způsobena chybějící reprezentací primitivní funkce v elementárních funkcích a tedy nemožností analyticky vypočítat hodnotu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce. Je také možné, že tvar primitivní funkce je tak složitý, že je rychlejší vypočítat hodnotu integrálu pomocí numerické metody.

1. Vyjádření problému

Podstatou většiny metod pro výpočet určitých integrálů je nahrazení integrandu aproximační funkcí, pro kterou lze v elementárních funkcích snadno zapsat primitivní funkci.

Aproximace nebo aproximace je matematická metoda, která spočívá v nahrazení některých matematických objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkými původním, ale jednodušším. Aproximace umožňuje studovat numerické charakteristiky a kvalitativní vlastnosti objektu, čímž se problém redukuje na studium jednodušších nebo pohodlnějších objektů (například těch, jejichž charakteristiky lze snadno vypočítat nebo jejichž vlastnosti jsou již známé). V teorii čísel jsou studovány diofantické aproximace, zejména aproximace iracionálních čísel racionálními. V geometrii se uvažují aproximace křivek přerušovanými čarami. Některé obory matematiky jsou zcela věnovány aproximaci, např. teorie aproximace funkcí, numerické metody analýzy.

V problémech tohoto druhu se také aktivně používají interpolační metody pro nalezení funkčních hodnot.

Interpolace je metoda ve výpočetní matematice pro nalezení mezilehlých hodnot veličiny z existující diskrétní sady známých hodnot.

Mnoho z těch, kteří se zabývají vědeckými a technickými výpočty, musí často pracovat se sadami hodnot získaných experimentálně nebo náhodným vzorkováním. Na základě těchto množin je zpravidla nutné sestrojit funkci, do které by mohly s vysokou přesností padat další získané hodnoty. Tento problém se nazývá prokládání křivek. Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

Interpolaci se blíží i úloha, která spočívá v aproximaci komplexní funkce jinou, jednodušší funkcí. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a z nich sestrojit, tedy interpolovat, jednodušší funkci. Použití zjednodušené funkce samozřejmě nepřinese tak přesné výsledky jako původní funkce. Ale v některých třídách problémů může dosažený zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit nad výslednou chybou ve výsledcích.

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy. Je to způsobeno především tím, že polynomy se snadno počítají, jejich derivace se dají snadno analyticky najít a množina polynomů je hustá v prostoru spojitých funkcí.

Pro vyřešení našeho problému je nutné zajistit zadání potřebných údajů a provedení testovacího příkladu.

Je také nutné implementovat podprogramy jako funkce. Funkce main provede hlavní akce (výpočet hodnoty integrálu a výstup výsledku do souboru) a vyvolá další podprogramy.

Hlavní funkce zavolá funkci pro výpočet integrálu s danou přesností výpočtu, která zase v každém kroku zavolá funkci pro výpočet hodnoty funkce.

Vypočítejme integrál pomocí Gaussovy metody.

Odpověď: 3,584.

Pojďme vypočítat integrál Gaussova metoda.

Odpověď: - 0,588.

2. Matematické a algoritmické základy řešení problému

Pojďme se stručně podívat na hlavní metody numerické integrace a zjistit, proč je nejlepší a nejrychlejší integrační metoda desetibodová Gaussova metoda.

2.1 Obdélníková metoda

kde , nebo , resp.

2.2 Lichoběžníková metoda

Pokud je funkce na každém z dílčích segmentů aproximována přímkou procházející konečnými hodnotami, dostáváme lichoběžníkovou metodu.

Plocha lichoběžníku na každém segmentu:

Chyba aproximace na každém segmentu:

Kompletní vzorec pro lichoběžníky v případě rozdělení celého integračního intervalu na segmenty stejné délky h:

, Kde

Chyba lichoběžníkového vzorce:

, Kde

2.3 Parabolová metoda (Simpsonova metoda)

Pokud rozdělíme integrační interval na 2N stejných dílů, pak máme

Kde .

2.4 Zvýšená přesnost

Aproximace funkce jediným polynomem přes celý integrační interval zpravidla vede k velké chybě v odhadu hodnoty integrálu.

Pro snížení chyby je integrační segment rozdělen na části a k vyhodnocení integrálu na každé z nich je použita numerická metoda.

Vzhledem k tomu, že počet oddílů má tendenci k nekonečnu, odhad integrálu má tendenci ke své skutečné hodnotě pro jakoukoli numerickou metodu.

Výše uvedené metody umožňují jednoduchý postup rozpůlení kroku, přičemž každý krok vyžaduje, aby se hodnoty funkce počítaly pouze na nově přidaných uzlech. K odhadu chyby výpočtu se používá Rungeho pravidlo.

2.5 Gaussova metoda

Obecně platí, že pomocí bodů můžete získat metodu s řádem přesnosti. Hodnoty uzlů Gaussovy metody v bodech jsou kořeny Legendreho polynomu stupně.

Hodnoty uzlů Gaussovy metody a jejich váhy jsou uvedeny v adresářích speciálních funkcí. Nejznámější je Gaussova pětibodová metoda.

2.6 Gauss-Kronrodova metoda

Nevýhodou Gaussovy metody je, že nemá jednoduchý (z výpočetního hlediska) způsob, jak odhadnout chybu získané integrální hodnoty. Použití Rungeova pravidla vyžaduje výpočet integrandu na přibližně stejném počtu bodů, aniž by to přineslo prakticky jakýkoli nárůst přesnosti, na rozdíl od jednoduchých metod, kde se přesnost výrazně zvyšuje s každým novým oddílem. Kronrod navrhl následující metodu pro odhad hodnoty integrálu

kde jsou uzly Gaussovy metody v bodech a parametry , , jsou vybrány takovým způsobem, že řád přesnosti metody je roven .

K odhadu chyby pak můžete použít empirický vzorec:

kde je přibližná hodnota integrálu získaného Gaussovou metodou nad body.

3. Funkční modely řešení problému

Funkční modely pro řešení problému jsou uvedeny na obrázcích 1 a 2.

Použité symboly:

g10c1, g10c2, g10c3, g10c4, g10c5 - konstanty desetibodové Gaussovy metody;

g10x1, g10x2, g10x3, g10x4, g10x5 - konstanty desetibodové Gaussovy metody;

m, n jsou pomocné proměnné;

s1, s2, s3, s4, s5, s- pomocné proměnné;

a, b - meze integrace;

f - integrovatelná funkce;

gc - vypočítaný integrál na intervalu (a, b);

ga, gb - proměnné pro výpočet integrálu na polovině intervalu;

eps - přesnost integrace;

k je pomocná proměnná.

Obrázek 1 - Funkční model pro řešení úlohy desetibodové Gaussovy metody, implementovaný metodou Gaus_Calc

Obrázek 2 - Funkční model řešení úlohy pro Gausovu funkci

4. Softwarová implementace řešení problému

;; integrovaná funkce

( zneškodnit F(X)

;; 1 příklad

;; (/ (* 2 (expt x 3)) (expt x 4))

;; 2 příklad

;; (* 3,142 (hřích (* 3,142 x)))

;; 3 příklad

( * (/ (log (+ x 1)) x) ( zk (* - 1x)))

;; desetibodová Gaussova metoda

( zneškodnit Gauss_Calc(a b f)

(setq g10c1 ( / 0.9739065285 6.2012983932))

(setq g10c2 ( / 0.8650633667 6.2012983932))

(setq g10c3 ( / 0.6794095683 6.2012983932))

(setq g10c4 ( / 0.4333953941 6.2012983932))

(setq g10c5 ( / 0.1488743390 6.2012983932))

(setq g10x1 ( / 0.0666713443 6.2012983932))

(setq g10x2 ( / 0.1494513492 6.2012983932))

(setq g10x3 ( / 0.2190863625 6.2012983932))

(setq g10x4 ( / 0.2692667193 6.2012983932))

(setq g10x5 ( / 0.2955242247 6.2012983932))

(setq m ( / (+ b a) 2))

(setq n ( / ( - b a) 2))

(setq s1 ( * g10c1 ( + (funcall f ( + m ( * n g10x1))) ( funcall f ( - m ( * n g10x1))))))

(setq s2 ( * g10c2 ( + (funcall f ( + m ( * n g10x2))) ( funcall f ( - m ( * n g10x2))))))

(setq s3 ( * g10c3 ( + (funcall f ( + m ( * n g10x3))) ( funcall f ( - m ( * n g10x3))))))

(setq s4 ( * g10c4 ( + (funcall f ( + m ( * n g10x4))) ( funcall f ( - m ( * n g10x4))))))

(setq s5 ( * g10c5 ( + (funcall f ( + m ( * n g10x5))) ( funcall f ( - m ( * n g10x5))))))

(setq s ( + s1 s2 s3 s4 s5))

(* s ( - b a))

;; rekurzivní počítací funkce s danou přesností

;; gc - dříve vypočítaný integrál na intervalu (a,b)

( zneškodnit Gauss(a b eps gc f)

;; rozdělte interval na dvě poloviny

( setq k ( / (+ a b) 2))

;; v každé polovině počítáme integrál

( setq ga (Gauss_Calc a ( / (+ a b) 2) f))

(setq gb(Gauss_Calc( / (+ a b) 2) b f))

(-li (> (břišní svaly ( - (+ ga gb) gc)) eps)

(setq ga (Gauss a ( / (+ a b) 2) ( / eps 2) (Gauss_Calc a ( / (+ a b) 2) f) f))

(+ ga (Gauss ( / (+ a b) 2) b ( / eps 2) (Gauss_Calc ( / (+ a b) 2) b f) f))

(+ ga gb)

;; otevřete soubor pro čtení

( setq vstupní proud( OTEVŘENO " d:\\limit. txt": směr: vstup))

(setq a ( číst vstupní proud))

(setq b ( číst vstupní proud))

(setq eps ( číst vstupní proud))

(zavřít vstupní proud)

;; shledáváme integrální

( setq integrál (Gauss a b eps (Gauss_Calc a b ( funkce F)) ( funkce F)))

;; OTEVŘENO soubor Pro evidence

( setq výstupní proud( OTEVŘENO " d:\\test. txt": směr: výstup))

(formát výstupní proud" Integrál = ~a" integrální)

(zavřít výstupní proud)

5. Příklad provedení programu

Obrázek 3 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 4 - Výsledek výpočtu integrálu funkce se stanovenými limity a přesností výpočtu

Obrázek 5 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 6 - Výsledek výpočtu integrálu funkce s danými limity a přesností výpočtu

Obrázek 7 - Meze integrálu a přesnosti výpočtu pro integrovatelnou funkci

Obrázek 8 - Výsledek výpočtu integrálu funkce s danými limity a přesností výpočtu

Závěr

Problém zkvalitňování výpočtů jako nesoulad mezi požadovaným a skutečným existuje a bude existovat i v budoucnu. Jeho řešení usnadní rozvoj informačních technologií, který spočívá jak ve zdokonalování metod organizace informačních procesů, tak v jejich implementaci pomocí specifických nástrojů – prostředí a programovacích jazyků.

1. Bronshtein I.N. Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškoláky [Text] / I.N. Bronstein, K.A. Semenďajev. - M.: Nauka, 2007. - 708 s.

2. Kremer N.Sh. Vyšší matematika pro ekonomy: učebnice pro vysokoškoláky. [Text] / N.Sh. Kremer, 3. vydání - M.: UNITY-DANA, 2006. S.412.

3. Kalitkin N.N. Numerické metody. [Elektronický zdroj] / N.N. Kalitkin. - M.: Peter, 2001. S.504.

4. Numerická integrace [Elektronický zdroj] - Režim přístupu: http://ru. wikipedia.org/wiki/Numerical_integration

5. Semakin I.G. Základy programování. [Text] / I.G. Semakin, A.P. Šestakov. - M.: Mir, 2006. S.346.

6. Šimankov V.S. Základy funkcionálního programování [Text] / V.S. Simankov, T.T. Zangiev, I.V. Zajcev. - Krasnodar: KubSTU, 2002. - 160 s.

7. Štěpánov P.A. Funkcionální programování v jazyce Lisp. [Elektronický zdroj] / P.A. Štěpánov, A.V. Bržezovskij. - M.: GUAP, 2003. S.79.

8. Hyvenen E. World of Lisp [Text] / E. Hyvenen, J. Seppänen. - M.: Mir, 1990. - 460 s.

KURZOVÁ PRÁCE

"Numerická integrace Gaussovou metodou"

Federální agentura pro vzdělávání

Tulská státní univerzita

KATEDRA ROZHLASOVÉ ELEKTRONIKY

POČÍTAČOVÁ VĚDA

ZADÁNÍ KE KURZOVÉ PRÁCI

Možnost č. 42

Student gr. 220371 Podobedenko I.V.

1. Téma: "Numerická integrace pomocí Gaussovy metody"

Vytvořte algoritmus a program:

1) výpočet určitého integrálu pomocí Gaussovy metody a 2) sestrojení grafu funkce I 3) sestrojení několika (2 - 3) „kroků“ integrace v oblastech rostoucí a klesající funkce.

Modelový případ.

Počáteční údaje:

4. Požadavky na práci v kurzu:

3.1 Vytvořte algoritmus a program pro řešení problému.

3.2 Programovací jazyk - Pascal.

3.3 Poskytnout: a) interaktivní zadávání výchozích údajů s kontrolou správnosti zadaných hodnot, b) blok vysvětlení pro práci s programem, c) řešení modelový případ.

5. Formulář pro hlášení:

vysvětlivka (EP) o 25–40 stranách na listech s rámečky a razítkem, vytištěná na tiskárně,

grafická část - list A1,

disketa s textem softwaru, nákresem algoritmu a programu (text a spustitelné soubory).

1) titulní strana,

2) zadání práce v kurzu (předložená forma).

3) abstrakt ( stručný popis provedená práce, objem PP, počet tabulek, obrázků, schémat. programy a aplikace) s hlavním nápisem podle formuláře 2 (GOST 2.104-68) - 1 s,

5) úvod (rozsah aplikace úkolu, možnost využití počítače k řešení problému) – 1-2 s,

6) analýza úlohy (výběr vstupních a výstupních dat) – 2-3 s.

7) recenze literární prameny a vývoj (výběr) matematický modelúkoly – 2-4 s,

8) popis metod výpočetní matematiky, které budou použity k řešení úlohy - 3-4 s,

9) vývoj algoritmu pro řešení problému a popis jeho vlastností (vyvinutý nebo vybraný z hotových procedur a funkcí) - 5-7 s,

10) vývoj programu podle schématu algoritmu - 1-2 s.

11) vypracování návodu k použití programu - 1 str.

12) výtisk programu ( textový soubor) – lze dodat jako přílohu – 2-3 strany

13) tisk výchozích dat a výsledků řešení zkušebního příkladu – 1-2s.

14) závěr ( podrobné závěry podle vykonané práce) – 1-2 s.

15) seznam použité literatury – 1 str.

16) aplikace (návod na používání programu atd.)

7. Grafická část: algoritmus řešení úlohy - list A1

8. Literatura.

anotace

Článek pojednává o metodách numerické integrace funkcí. Pro podrobnou úvahu byla vzata Gaussova metoda.

V rámci práce v kurzu byl implementován algoritmus verbálního a vývojového jazyka a program v programovacím jazyce Pascal, který počítá daný integrál pomocí Gaussovy metody a ukazuje grafické zobrazení procesu.

Objem práce je 23 listů, počet výkresů 2, je uveden jeden program.

Obsah

Anotace. 4

Úvod. 6

1. Analýza úkolu. 8

2. Výběr matematického modelu problému. 10

2.1 Obdélníková metoda. 10

2.2 Parabolová metoda (Simpsonova metoda) 11

2.4 Zvýšená přesnost. jedenáct

2.5 Gaussova metoda. 12

2.6 Gauss-Kronrodova metoda. 12

3. Popis metod výpočetní matematiky, které budou použity k řešení úlohy. 14

3.1. Vývoj algoritmu pro řešení problému a popis jeho vlastností 15

3.2 Vývoj programu podle schématu algoritmu. 18

3.3 Vypracování návodu k použití programu. 19

3.4 Tisk programu.. 19

3.5 Tisk počátečních dat a výsledků řešení testovacího případu 26

Závěr. 27

Seznam použité literatury... 28

Úvod

1. Analýza úkolů

Hlavní myšlenkou většiny metod numerické integrace je nahradit integrand jednodušším, jehož integrál lze snadno analyticky vypočítat. V tomto případě se pro odhad hodnoty integrálu získají vzorce formuláře

- počet bodů, ve kterých je vypočtena hodnota integrandu. Body se nazývají uzly metody, čísla jsou váhy uzlů. Nahrazením integrandu polynomem stupně nula, stupně jedna a stupně dva se získají metody obdélníku, lichoběžníku a paraboly (Simpson). Často se vzorce pro odhad hodnoty integrálu nazývají kvadraturní vzorce.

Nechť je funkce dána na intervalu

. Úkolem je vybrat body a koeficienty tak, aby vznikl kvadraturní vzorec