Metoda neurčitých Lagrangeových koeficientů. Ekonomický a matematický model problému. Lagrangeova multiplikační metoda pro funkce dvou proměnných

Popis metody

kde .

Odůvodnění

Následující odůvodnění Lagrangeovy multiplikační metody není jejím přesným důkazem. Obsahuje heuristické úvahy, které pomáhají pochopit geometrický význam metody.

Dvourozměrné pouzdro

Úrovňové linie a křivka.

Nechť je požadováno najít extrém nějaké funkce dvou proměnných za podmínky určené rovnicí . Budeme předpokládat, že všechny funkce jsou spojitě derivovatelné a tato rovnice definuje hladkou křivku S na povrchu. Pak se problém redukuje na nalezení extrému funkce F na křivce S. To budeme také předpokládat S neprochází body, kde gradient F změní na 0.

Nakreslete na rovinu čáry funkční úrovně F(tedy křivky). Z geometrických úvah je zřejmé, že extrém funkce F na křivce S mohou existovat pouze body, ve kterých tečny k S a odpovídající čára úrovně se shodují. Opravdu, pokud křivka S překročí linii hladiny F v bodě příčně (tj. v nějakém nenulovém úhlu), pak se pohybuje po křivce S z bodu se můžeme dostat na odpovídající čáry úrovně vyšší hodnotu F, a méně. Takový bod tedy nemůže být extrémním bodem.

Nezbytnou podmínkou extrému v našem případě tedy bude shoda tečen. Abych to napsal analytická forma, všimněte si, že je ekvivalentní rovnoběžnosti gradientů funkcí F a ψ v daném bodě, protože vektor gradientu je kolmý k tečně k přímce úrovně. Tato podmínka je vyjádřena v následující formulář:

kde λ je nenulové číslo, které je Lagrangeovým multiplikátorem.

Podívejme se nyní Lagrangeova funkce, v závislosti na a λ:

Nezbytnou podmínkou pro jeho extrém je, aby byl gradient roven nule. V souladu s pravidly rozlišování se zapisuje do formuláře

Získali jsme systém, jehož první dvě rovnice jsou ekvivalentní nutné podmínce pro lokální extrém (1) a třetí je ekvivalentní rovnici . Najdete to z něj. Navíc, protože jinak gradient funkce F mizí v bodě , což je v rozporu s našimi předpoklady. Je třeba poznamenat, že takto nalezené body nemusí být požadovanými body. podmíněný extrém- uvažovaná podmínka je nezbytná, ale není dostatečná. Hledání podmíněného extrému pomocí pomocné funkce L a tvoří základ metody Lagrangeova multiplikátoru, která je zde aplikována pro nejjednodušší případ dvou proměnných. Ukazuje se, že výše uvedené úvahy lze zobecnit na případ libovolného počtu proměnných a rovnic, které specifikují podmínky.

Na základě metody Lagrangeova multiplikátoru je možné prokázat některé dostatečné podmínky pro podmíněný extrém, které vyžadují analýzu druhých derivací Lagrangeovy funkce.

aplikace

• Lagrangeova multiplikační metoda se používá k řešení problémů nikoli lineární programování, vznikající v mnoha oblastech (například v ekonomii).
• Hlavní metoda pro řešení problému optimalizace kvality kódování audio a video dat při daném průměrném datovém toku (optimalizace zkreslení - angl. Optimalizace rychlosti zkreslení).

viz také

Odkazy

• Zorich V.A. Matematická analýza. Část 1. - vyd. 2., rev. a doplňkové - M.: FAZIS, 1997.

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co jsou „Lagrangeovy multiplikátory“ v jiných slovnících:

Lagrangeovy multiplikátory- další faktory, které transformují objektivní funkci extrémního problému konvexního programování (zejména lineárního programování) při jeho řešení některou z klasických metod metodou řešení multiplikátorů... ... Ekonomický a matematický slovník

Lagrangeovy multiplikátory- Další faktory, které transformují objektivní funkci extremního konvexního programovacího problému (zejména lineárního programování) při jeho řešení jednou z klasických metod, metodou řešení multiplikátorů (Lagrangeova metoda).... ... Technická příručka překladatele

Mechanika. 1) Lagrangeovy rovnice 1. druhu, diferenciální rovnice mechanického pohybu. soustav, které jsou uvedeny v průmětech na pravoúhlé souřadnicové osy a obsahují t. zv. Lagrangeovy multiplikátory. Získal J. Lagrange v roce 1788. Pro holonomní systém, ... ... Fyzická encyklopedie

Mechanika obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu, popisující pohyby mechaniky. systémy pod vlivem sil, které na ně působí. L.u. založil J. Lag rozsah ve dvou formách: L. u. 1. druh, nebo rovnice v Kartézské souřadnice S…… Matematická encyklopedie

1) v hydromechanice rovnice pohybu tekutiny (plynu) v Lagrangeových proměnných, což jsou souřadnice prostředí. Obdržel francouzštinu vědec J. Lagrange (cca 1780). Od L. u. zákon pohybu média je určen ve formě závislostí... ... Fyzická encyklopedie

Metoda Lagrangeova multiplikátoru, metoda pro nalezení podmíněného extrému funkce f(x), kde se vzhledem k m omezením i mění od jedné do m. Obsah 1 Popis metody ... Wikipedie

Funkce používaná při řešení úloh na podmíněném extrému funkcí mnoha proměnných a funkcionálů. S pomocí L. f. jsou zaznamenány potřebné podmínky optimalita v problémech na podmíněném extrému. V tomto případě není nutné vyjadřovat pouze proměnné... Matematická encyklopedie

Metoda řešení problémů na podmíněném extrému; L.M.M spočívá v redukci těchto problémů na problémy na bezpodmínečném extrému pomocné funkce, tzv. Lagrangeovy funkce. Pro problém extrému funkce f (x1, x2,..., xn) pro... ...

Proměnné, s jejichž pomocí je konstruována Lagrangeova funkce při studiu problémů na podmíněném extrému. Použití lineárních metod a Lagrangeovy funkce nám umožňuje získat potřebné podmínky optimality v problémech zahrnujících podmíněný extrém jednotným způsobem... Matematická encyklopedie

1) v hydromechanice pohybové rovnice tekutého prostředí zapsané v Lagrangeových proměnných, což jsou souřadnice částic média. Od L. u. zákon pohybu částic prostředí je určen ve formě závislostí souřadnic na čase az nich... ... Velká sovětská encyklopedie

Ve výše uvedené metodě hledání bodů možného podmíněného extrému jsme porušili symetrii vzhledem k proměnným y. Některé z těchto proměnných jsme považovali za nezávislé, zbytek za funkce těchto proměnných. V některých případech to vede ke složitějším výpočtům. Lagrange navrhl metodu, která symetrizuje roli proměnných. Tento odstavec je věnován představení této metody. Vynásobme odpovídajícím způsobem rovnosti (13.47) libovolným (a stále nedefinovaným) konstantní faktory Sečtěme rovnosti získané po vynásobení člen po členu s rovností (13.46). V důsledku toho získáme následující rovnost:

kde symbol označuje následující funkci:

Tuto funkci budeme dále nazývat Lagrangeova funkce. Za předpokladu, že funkce (13.41) splňují podmínky,

formulované v předchozím odstavci a že funkce (13.40) je diferencovatelná, vybereme faktory tak, aby byly splněny rovnosti

To lze jistě provést, protože rovnosti (13.52) vedou k lineárnímu systému

jehož determinant (jakobský je nenulový. Na základě rovnosti (13.52) má rovnost (13.50) tvar

Protože za předpokladů uvedených výše jsou proměnné nezávislé, usuzujeme z rovnosti (13.53), že

Přidáním podmínek spojení (13.41) k rovnicím (13.52) a (13.54) získáme soustavu rovnic

k určení souřadnic bodů možného podmíněného extrému a faktorů Xm. V praxi se při zavádění této metody postupuje následovně. Sestavte Lagrangeovu funkci (13.51) a najděte pro tuto funkci možné body bezpodmínečný extrém. Pro odstranění násobičů se používají podmínky připojení (13.41). Tento způsob hledání bodů možného podmíněného extrému je legální, protože nás vede právě k soustavě rovnic (13.55). Příklad použití metody Lagrangeova multiplikátoru bude zvažován v části 4.

Metoda pro určení podmíněného extrému začíná konstrukcí pomocné Lagrangeovy funkce, která v oblasti proveditelných řešení dosahuje maxima pro stejné hodnoty proměnných. X 1 , X 2 , ..., X n , tak jako Objektivní funkce z . Nechť je vyřešen problém určení podmíněného extrému funkce z = f(X) pod omezeními φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Složíme funkci

který se nazývá Lagrangeova funkce. X , - konstantní faktory ( Lagrangeovy multiplikátory). Všimněte si, že Lagrangeovým multiplikátorům lze přiřadit ekonomický význam. Li f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - příjem v souladu s plánem X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) a funkce φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - náklady na i-tý zdroj odpovídající tomuto plánu, pak X , je cena (odhad) i-tého zdroje, charakterizující změnu extrémní hodnoty účelové funkce v závislosti na změně velikosti i-tého zdroje (mezní odhad). L(X) - funkce n+m proměnné (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Určení stacionárních bodů této funkce vede k řešení soustavy rovnic

To je snadné vidět . Tedy úkol najít podmíněný extrém funkce z = f(X) redukuje na nalezení lokálního extrému funkce L(X) . Pokud je nalezen stacionární bod, pak je otázka existence extrému v nejjednodušších případech vyřešena na základě dostatečných podmínek pro extrém - studium znaménka druhého diferenciálu d 2 L(X) ve stacionárním bodě za předpokladu, že se proměnná zvyšuje Δx i - spojené vztahy

získané derivováním vazebných rovnic.

Řešení soustavy nelineárních rovnic o dvou neznámých pomocí nástroje Najít řešení

Nastavení Hledání řešení umožňuje najít řešení systému nelineárních rovnic se dvěma neznámými:

Kde
- nelineární funkce proměnných X A y ,
- libovolná konstanta.

Je známo, že pár ( X , y ) je řešením soustavy rovnic (10) právě tehdy, když je řešením následující rovnice o dvou neznámých:

S na druhé straně řešením systému (10) jsou průsečíky dvou křivek: F ] (X, y) = C A F 2 (x, y) = C 2 na povrchu XOY.

To vede k metodě hledání kořenů systému. nelineární rovnice:

Určete (alespoň přibližně) interval existence řešení soustavy rovnic (10) nebo rovnice (11). Zde je třeba vzít v úvahu typ rovnic obsažených v soustavě, definiční obor každé jejich rovnice atd. Někdy se používá volba počáteční aproximace řešení;

Sepište do tabulky řešení rovnice (11) pro proměnné x a y na zvoleném intervalu nebo sestrojte grafy funkcí F 1 (X, y) = C a F 2 (x,y) = C 2 (systém(10)).

Lokalizujte předpokládané kořeny soustavy rovnic - najděte několik minimálních hodnot z tabulky tabulkové kořeny rovnice (11) nebo určete průsečíky křivek zahrnutých v soustavě (10).

4. Najděte kořeny soustavy rovnic (10) pomocí doplňku Hledání řešení.

Lagrangeova multiplikační metoda.

Metoda Lagrangeova multiplikátoru je jednou z metod, která umožňuje řešit problémy nelineárního programování.

Nelineární programování je sekce matematické programování, studující metody řešení extrémních problémů s nelineární účelovou funkcí a definičním oborem přípustná řešení, definované nelineárními omezeními. V ekonomii to odpovídá skutečnosti, že výsledky (efektivita) rostou nebo klesají neúměrně ke změnám v rozsahu využití zdrojů (nebo, co je stejné, v rozsahu výroby): například v důsledku rozdělení výrobních nákladů v podniky na variabilní a polofixní; z důvodu nasycení poptávky po zboží, kdy každá následující jednotka je obtížněji prodejná než ta předchozí atd.

Problém nelineárního programování je položen jako problém nalezení optima určité účelové funkce

F(x 1 ,…x n), F (X) → max

když jsou splněny podmínky

g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ b , X ≥ 0

Kde X-vektor požadovaných proměnných;

F (X) -Objektivní funkce;

G (X) - omezující funkce (průběžně diferencovatelná);

b - vektor omezujících konstant.

Řešení problému nelineárního programování (globální maximum nebo minimum) může patřit buď na hranici, nebo do nitra přípustné množiny.

Na rozdíl od problému lineárního programování v problému nelineárního programování nemusí optimum nutně ležet na hranici oblasti definované omezeními. Jinými slovy, úkolem je takové vybrat nezáporné hodnoty proměnné podléhající systému omezení ve formě nerovností, za kterých je dosaženo maxima (nebo minima) dané funkce. V tomto případě nejsou specifikovány tvary ani účelové funkce, ani nerovnic. Může být různé případy: účelová funkce je nelineární a omezení jsou lineární; účelová funkce je lineární a omezení (alespoň jedno z nich) jsou nelineární; jak účelová funkce, tak omezení jsou nelineární.

Problém nelineárního programování se vyskytuje v přírodních vědách, strojírenství, ekonomii, matematice, obchodních vztazích a vládě.

Nelineární programování například souvisí se základním ekonomickým problémem. Tedy v problému distribuce omezené zdroje maximalizovat buď efektivitu, nebo, pokud je spotřebitel studován, spotřebu za omezení, která vyjadřují podmínky nedostatku zdrojů. V takto obecné formulaci může být matematická formulace problému nemožná, ale ve specifických aplikacích lze kvantitativní formu všech funkcí určit přímo. Například průmyslový podnik vyrábí plastové výrobky. Efektivita výroby se zde měří ziskem a omezení jsou interpretována jako hotovost pracovní síla, výrobní oblasti, výkon zařízení atd.

Metoda nákladové efektivity také zapadá do schématu nelineárního programování. Tato metoda byl vyvinut pro použití při rozhodování ve vládě. Obecná funkceúčinnost je pohoda. Zde vyvstávají dva problémy nelineárního programování: prvním je maximalizace efektu při omezených nákladech, druhým je minimalizace nákladů za předpokladu, že efekt je nad určitou minimální úrovní. Tento problém je obvykle dobře modelován pomocí nelineárního programování.

Výsledky řešení problému nelineárního programování jsou užitečné při rozhodování vlády. Výsledné řešení je samozřejmě doporučeno, proto je nutné před konečným rozhodnutím prozkoumat předpoklady a přesnost problému nelineárního programování.

Nelineární problémy jsou složité, často se zjednodušují a vedou k lineárním. K tomu se konvenčně předpokládá, že v určité oblasti se účelová funkce zvyšuje nebo snižuje úměrně změně nezávislých proměnných. Tento přístup se nazývá metoda po částech lineárních aproximací, je však použitelný pouze pro některé typy nelineární problémy.

Nelineární problémy za určitých podmínek jsou řešeny pomocí funkce Lagrange: mít to sedlový bod, a tím najít řešení problému. Mezi výpočetní algoritmy N.p. skvělé místo metody obsadit gradient. Neexistuje žádná univerzální metoda pro nelineární problémy a zjevně ani nemusí existovat, protože jsou extrémně rozmanité. Multiextrémní problémy se řeší obzvláště obtížně.

Jednou z metod, která umožňuje redukovat problém nelineárního programování na řešení soustavy rovnic, je metoda nedefinované multiplikátory Lagrange.

Pomocí metody Lagrangeova multiplikátoru jsou v podstatě stanoveny nezbytné podmínky umožňující identifikaci optimálních bodů v optimalizačních problémech s omezeními rovnosti. V tomto případě je omezený problém transformován na ekvivalentní nepodmíněný optimalizační problém, který zahrnuje některé neznámé parametry zvané Lagrangeovy multiplikátory.

Metoda Lagrangeova multiplikátoru spočívá v redukci problémů na podmíněném extrému na problémy na nepodmíněném extrému pomocné funkce - tzv. Lagrangeovy funkce.

Pro problém extrému funkce F(x 1, x 2,..., x n) za podmínek (omezující rovnice) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagrangeova funkce má tvar

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Multiplikátory λ 1, λ 2, ..., λm volal Lagrangeovy multiplikátory.

Pokud hodnoty x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm podstatou řešení rovnic, které určují stacionární body Lagrangeovy funkce, totiž pro diferencovatelné funkce jsou řešení soustavy rovnic

pak, za docela obecných předpokladů, x 1 , x 2 , ..., x n poskytují extrém funkce f.

Zvažte problém minimalizace funkce n proměnných s jedním omezením ve formě rovnosti:

Minimalizovat f(x 1, x 2… x n) (1)

za omezení h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Podle Lagrangeovy multiplikační metody se tento problém transformuje na následující neomezený optimalizační problém:

minimalizovat L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

kde se funkce L(x;λ) nazývá Lagrangeova funkce,

λ je neznámá konstanta, která se nazývá Lagrangeův multiplikátor. Na znaménko λ nejsou žádné požadavky.

Nechat na nastavená hodnotaλ=λ 0 nepodmíněné minimum funkce L(x,λ) vzhledem k x je dosaženo v bodě x=x 0 a x 0 splňuje rovnici h 1 (x 0)=0. Pak, jak je snadné vidět, x 0 minimalizuje (1) s přihlédnutím k (2), protože pro všechny hodnoty x vyhovující (2), h 1 (x)=0 a L(x,λ)=min f(x).

Samozřejmě je nutné zvolit hodnotu λ=λ 0 tak, aby souřadnice nepodmíněného minimálního bodu x 0 vyhovovala rovnosti (2). To lze provést, pokud vezmeme v úvahu λ jako proměnnou, najdeme nepodmíněné minimum funkce (3) ve tvaru funkce λ a poté zvolíme hodnotu λ, při které je splněna rovnost (2). Ukažme si to na konkrétním příkladu.

Minimalizujte f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

pod omezením h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Odpovídající neomezený optimalizační problém je zapsán následovně:

minimalizovat L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Řešení. Když vyrovnáme dvě složky gradientu L k nule, dostaneme

→ x 10 =λ

→ x 20 =λ/2

Abychom ověřili, zda stacionární bod x° odpovídá minimu, vypočítáme prvky Hessovy matice funkce L(x;u), uvažovanou jako funkci x,

což se ukazuje jako pozitivně definitivní.

To znamená, že L(x,u) je konvexní funkcí x. V důsledku toho souřadnice x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 určují bod globálního minima. Optimální hodnotaλ se zjistí dosazením hodnot x 1 0 a x 2 0 do rovnice 2x 1 + x 2 =2, z čehož 2λ+λ/2=2 nebo λ 0 =4/5. Podmíněné minimum je tedy dosaženo při x 1 0 = 4/5 a x 2 0 = 2/5 a je rovno min f(x) = 4/5.

Při řešení příkladové úlohy jsme uvažovali L(x;λ) jako funkci dvou proměnných x 1 a x 2 a navíc předpokládali, že hodnota parametru λ byla zvolena tak, aby byla splněna podmínka. Pokud řešení systému

J=1,2,3,…,n

λ nelze získat ve formě explicitních funkcí, pak hodnoty x a λ zjistíme řešením následujícího systému sestávajícího z n+1 rovnic s n+1 neznámými:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Najít všechny možné řešení tento systém lze použít numerické metody vyhledávání (například Newtonova metoda). Pro každé z řešení () bychom měli vypočítat prvky Hessovy matice funkce L, uvažované jako funkce x, a zjistit, zda je tato matice kladně definitní (lokální minimum) nebo záporně definitní (lokální maximum). ).

Metodu Lagrangeova multiplikátoru lze rozšířit na případ, kdy má problém několik omezení ve formě rovnosti. Zvažte obecný problém, který vyžaduje

Minimalizovat f(x)

za omezení h k = 0, k = 1, 2, ..., K.

Funkce Lagrange trvá další pohled:

Tady λi, λ2, ..., λk-Lagrangeovy multiplikátory, tzn. neznámé parametry, jejichž hodnoty je třeba určit. Když parciální derivace L vzhledem k x rovnáme nule, dostaneme následující systém n rovnice s n neznámými:

Pokud se ukáže, že je obtížné najít řešení výše uvedeného systému ve formě funkcí vektoru λ, můžete systém rozšířit zahrnutím omezení ve formě rovnosti

Řešení rozšířené soustavy, sestávající z n + K rovnic s n + K neznámými, určuje stacionární bod funkce L. Poté je implementován postup kontroly minima nebo maxima, který se provádí na základě výpočtu prvky Hessovy matice funkce L, uvažované jako funkce x, podobně jako v případě problému s jedním omezením. Pro některé problémy nemusí mít rozšířený systém n+K rovnic s n+K neznámými řešení a metoda Lagrangeova multiplikátoru se ukáže jako nepoužitelná. Je však třeba poznamenat, že takové úkoly jsou v praxi poměrně vzácné.

Podívejme se na zvláštní případ společný úkol nelineární programování, za předpokladu, že systém omezení obsahuje pouze rovnice, neexistují podmínky pro nezápornost proměnných a a - funkce jsou spojité spolu s jejich parciálními derivacemi. Řešením soustavy rovnic (7) tedy získáme všechny body, ve kterých může mít funkce (6) extrémní hodnoty.

Algoritmus pro Lagrangeovu multiplikační metodu

1. Vytvořte Lagrangeovu funkci.

2. Najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným x J ,λ i a přirovnejte je k nule.

3. Řešíme soustavu rovnic (7), najdeme body, ve kterých může mít účelová funkce úlohy extrém.

4. Mezi body podezřelými pro extrém najdeme ty, ve kterých je extrém dosaženo, a vypočítáme hodnoty funkce (6) v těchto bodech.

Příklad.

Počáteční údaje: Podle plánu výroby potřebuje společnost vyrobit 180 produktů. Tyto výrobky lze vyrábět dvěma technologickými způsoby. Při výrobě x 1 výrobků 1. způsobem jsou náklady 4x 1 +x 1 2 rublů a při výrobě x 2 výrobků 2. způsobem jsou to 8x 2 +x 2 2 rubly. Určete, kolik produktů by se mělo vyrobit pomocí jednotlivých metod, aby byly výrobní náklady minimální.

Účelová funkce pro uvedený problém má tvar
® min za podmínek x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0.
1. Vytvořte Lagrangeovu funkci
.
2. Vypočítáme parciální derivace vzhledem k x 1, x 2, λ a přirovnáme je k nule:

3. Řešením výsledné soustavy rovnic zjistíme x 1 =91,x 2 =89

4. Provedením náhrady v účelové funkci x 2 =180-x 1 získáme funkci jedné proměnné, a to f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Počítáme nebo 4x 1 -364=0 ,

odkud máme x 1 * =91, x 2 * =89.

Odpověď: Počet výrobků vyrobených první metodou je x 1 = 91, druhou metodou x 2 = 89, přičemž hodnota účelové funkce je rovna 17 278 rublům.

Nechť a být dvakrát spojitě diferencovatelné skalární funkce vektorový argument. Je nutné najít extrém funkce za předpokladu, že argument vyhovuje systému omezení:

(poslední podmínka také nazývaná podmínka připojení).

Většina jednoduchá metoda nalezení podmíněného extrému znamená redukovat problém na nalezení nepodmíněného extrému vyřešením rovnice spojení s ohledem na m proměnných a jejich následná substituce do účelové funkce.

Příklad 3 Najděte extrém funkce pod podmínkou .

Řešení. Ze spojovací rovnice vyjádříme x 2 přes x 1 a dosadit výsledný výraz do funkce na:

Tato funkce má jeden extrém (minimum) at x 1=2. resp. x 2=1. Tedy bod podmíněného extrému (minima) danou funkci je pointa.

V uvažovaném příkladu je vazební rovnice snadno řešitelná s ohledem na jednu z proměnných. Nicméně ve více těžké případy Ne vždy je možné vyjádřit proměnné. Výše popsaný přístup tedy nelze aplikovat na všechny problémy.

Více univerzální metodařešení problémů s nalezením podmíněného extrému je Lagrangeova multiplikační metoda. Je založen na aplikaci následující věty. Pokud je bod extrémním bodem funkce v oblasti definované rovnicemi, pak (pro některé dodatečné podmínky) existuje takový m-rozměrný vektor, který bod je stacionárním bodem funkce

Algoritmus pro Lagrangeovu multiplikační metodu

Krok 1. Sestavte Lagrangeovu funkci:

kde je Lagrangeův multiplikátor odpovídající i-té omezení.

Krok 2. Najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce a přirovnejte je k nule

Krok 3 Po vyřešení výsledného systému z n+m rovnic, najít stacionární body.

Všimněte si, že ve stacionárních bodech je splněno nezbytné, ale nikoli dostatečný stav extrém funkce. Analýza stacionárního bodu na přítomnost extrému v něm v tomto případě docela složitý. Proto se metoda Lagrangeova multiplikátoru používá především v případech, kdy je existence minima nebo maxima zkoumané funkce předem známa z geometrických nebo věcných úvah.

Při řešení některých ekonomické úkoly Lagrangeovy multiplikátory mají určitý sémantický obsah. Takže, pokud - zisk podniku podle plánu výroby n zboží, - náklady i- tedy zdroj l i- hodnocení tohoto zdroje, charakterizující rychlost změny optima účelové funkce v závislosti na změně i-tý zdroj.

Příklad 4. Najděte extrémy funkce pod podmínkou .

Řešení. Funkce jsou spojité a mají spojité parciální derivace. Složme Lagrangeovu funkci:

Najdeme parciální derivace a srovnáme je s nulou.

Dostáváme dva stacionární body:

Vezmeme-li v úvahu povahu účelové funkce, jejíž úrovňové přímky jsou roviny, a funkce (elipsy), dojdeme k závěru, že v bodě má funkce minimální hodnotu a v bodě maximum.

Příklad 5. V oblasti systémových řešení

najděte maximální a minimální hodnotu funkce za dané podmínky.

Řešení. Průsečík oblasti možných řešení a přímky je segment MN: M(0,6), N(6,0). Proto může funkce nabývat extrémních hodnot buď ve stacionárních bodech, nebo v bodech M A N. K nalezení stacionárního bodu použijeme Lagrangeovu metodu. Pojďme složit Lagrangeovu funkci

Najdeme parciální derivace Lagrangeovy funkce a přirovnáme je k nule

Řešením soustavy získáme stacionární bod K(2,2; 3,8). Porovnejme hodnoty účelové funkce v bodech K, M, N:

Proto,

Příklad 6. Poptávka trhu po určitém produktu je známá jako 180 kusů. Tento produkt mohou vyrábět dva podniky stejného koncernu podle různé technologie. Ve výrobě x 1 první podnik, jeho náklady budou rub., a při výrobě x 2 produkty druhého podniku, který tvoří třít.

Určete, kolik produktů vyrobených pomocí jednotlivých technologií může koncern nabídnout tak, aby celkové náklady na jeho výrobu byly minimální.

Řešení. Matematický modelúkoly:

Najít minimální hodnota objektivní funkce zajištěna x 1+ x 2= 180, tzn. Bez zohlednění požadavku nezápornosti proměnných skládáme Lagrangeovu funkci:

Pojďme najít první derivace Lagrangeovy funkce vzhledem k x 1, x 2, l, a srovnejte je s 0. Získáme soustavu rovnic:

Při řešení tohoto systému najdeme následující kořeny: , tj. získáme souřadnice bodu podezřelého z extrému.

Chcete-li zjistit, zda bod ( ) lokální minimum, studujeme Hessův determinant, pro který vypočítáme druhé parciální derivace účelové funkce:

Protože

pak je Hessův determinant kladně určitý; proto je účelová funkce konvexní a v bodě ( ) máme místní minimum: