5 číselná systémová tabulka. Převeďte čísla z jednoho číselného systému do druhého online. Homogenní poziční číselné soustavy
Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že chybí jediná napsaná jednoduchým jazykem, články o takovém základním materiálu. Proto jsem se rozhodl napsat svůj vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.
Úvod
Notový zápis je způsob záznamu (reprezentace) čísel.Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo
Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.
Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.
Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.
Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.
Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je k dispozici 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různé symboly(od „00“ do „23“), v kategorii dne - 365 atd.
Nepolohové systémy
Jakmile se lidé naučili počítat, vyvstala potřeba čísla zapisovat. Na začátku bylo všechno jednoduché - zářez nebo čárka na nějaké ploše odpovídaly jednomu předmětu, například jednomu ovoci. Tak se objevila první číselná soustava – jednotka.Systém čísel jednotek
Číslo v této číselné soustavě je řetězec pomlček (klacíků), jejichž počet se rovná hodnotě daného čísla. Sklizeň 100 datlí se tedy bude rovnat číslu sestávajícímu ze 100 pomlček.Tento systém má ale zjevné nepříjemnosti – jaké větší číslo- čím delší je řetězec tyčinek. Při psaní čísla se navíc můžete snadno zmýlit tím, že omylem přidáte špejli navíc nebo naopak nezapíšete.
Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit další pohodlné systémy evidenční čísla.
Starověký egyptský desítkový systém
Ve starověkém Egyptě se k reprezentaci čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používaly speciální symboly (čísla). Tady jsou některé z nich:Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili seskupení 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V v tomto případě, číslo 10 se nazývá základní desítková soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.
Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:
Babylonský sexagesimální systém
Na rozdíl od egyptského systému používal babylonský systém pouze 2 symboly: „rovný“ klín pro označení jednotek a „ležící“ klín pro označení desítek. Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte rozdělit obrázek čísla na číslice zprava doleva. Nový výboj začíná vznikem rovného klínu po ležícím. Vezměme si jako příklad číslo 32:
Číslo 60 a všechny jeho mocniny jsou také označeny rovným klínem, jako „1“. Proto byl babylónský číselný systém nazýván sexagesimální.
Babyloňané psali všechna čísla od 1 do 59 v desítkové nepoziční soustavě a velké hodnoty v poziční soustavě se základem 60. Číslo 92:
Záznam čísla byl nejednoznačný, protože tam nebyla žádná číslice označující nulu. Zastoupení čísla 92 by mohlo znamenat nejen 92=60+32, ale také například 3632=3600+32. Pro určení absolutní hodnotačísla byla zadána zvláštní charakter k označení chybějící šestileté číslice, která odpovídá výskytu číslice 0 v zápisu desetinného čísla:
Nyní by číslo 3632 mělo být zapsáno jako:
Babylonský šestinásobný systém je prvním číselným systémem založeným částečně na pozičním principu. Tento systém Zápis se dodnes používá např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.
římský systém
Římský systém se příliš neliší od egyptského. K označení čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000 používá velká písmena. písmena I, V, X, L, C, D a M, v tomto pořadí. Číslo v římském číselném systému je soubor po sobě jdoucích číslic.Metody pro určení hodnoty čísla:
- Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Pokud nalevo od vyšší číslo je menší, pak je hodnota rovna rozdílu mezi větším a menším číslem. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.
1) slovanský
2) řečtina (jónština)
Poziční číselné soustavy
Jak již bylo zmíněno výše, první předpoklady pro vznik pozičního systému vznikly již ve starověkém Babylonu. V Indii měl systém podobu pozičního desítkového číslování pomocí nuly a od Indů si tuto číselnou soustavu vypůjčili Arabové, od kterých ji převzali Evropané. Z nějakého důvodu byl v Evropě tomuto systému přiřazen název „Arab“.Desetinná číselná soustava
Jedná se o jednu z nejběžnějších číselných soustav. To je to, co používáme, když pojmenujeme cenu produktu a řekneme číslo autobusu. Každá číslice (pozice) může používat pouze jednu číslici z rozsahu od 0 do 9. Základem systému je číslo 10.Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být vynásobený základem systému, v tomto případě číslem „10“, umocněným na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně, když souběžná práce u více číselných soustav je základ určen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.
Kromě desítkové soustavy, speciální pozornost zaslouží 2-, 8-, 16. systémy.
Binární číselná soustava
Tento systém se používá především v počítačová technologie. Proč nepoužili obvyklé 10.? První počítač vytvořil Blaise Pascal, který jej používal desítková soustava, což se u moderních elektronických strojů ukázalo jako nepohodlné, neboť vyžadovalo výrobu zařízení schopných provozu v 10 stavech, což zvýšilo jejich cenu a konečnou velikost stroje. Prvky fungující ve 2. systému tyto nedostatky nemají. Zmíněný systém však vznikl dávno před vynálezem počítače a má své „kořeny“ v civilizaci Inků, kde se používalo quipus – složité provazové vazby a uzly.Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.
Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové číselné soustavě. Chcete-li převést od 2 do 10, musíte vynásobit každou číslici binární číslo na základ „2“ umocněný na mocninu rovnající se číslici. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?
Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, která je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sada registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy se provádí aritmetickou logickou jednotkou (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Pokud není dostatek číslic ve skupině číslic zcela vlevo, pak jsou vyplněny zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je to 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, určitá sekvence se přenese do počítače elektrické impulsy a každý symbol odpovídá své vlastní sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Přistupuje program ovladače klávesnice a obrazovky tabulka kódů znaků (například Unicode, který umožňuje zakódovat 65536 znaků), určuje, kterému znaku odpovídá přijatý kód a zobrazuje jej na obrazovce. Do paměti počítače se tak ukládají texty a čísla binární kód, A programově jsou převedeny na obrázky na obrazovce.
Osmičková číselná soustava
8. číselná soustava, stejně jako binární, se často používá v digitální technologie. Má základ 8 a k zápisu čísel používá číslice 0 až 7.Příklad osmičkové číslo: 254. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici původního čísla vynásobit 8 n, kde n je číslo číslice. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
Hexadecimální číselná soustava
Hexadecimální systém je široce používán v moderní počítače, například se používá k označení barvy: #FFFFFF - bílá barva. Daný systém má základ 16 a používá k zápisu tato čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmena jsou 10, 11, 12, 13, 14, 15.Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Chcete-li převést na osmičkovou soustavu, nejprve převeďte hexadecimální číslo na binární a poté rozdělené do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Převedeme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální
Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.
Homogenní poziční číselné soustavy
Definice uvedená na začátku článku popisuje homogenní systémy zcela plně, takže je zbytečné vyjasňování.Smíšené číselné soustavy
K již dané definici můžeme přidat větu: „pokud P=Q n (P,Q,n jsou kladná celá čísla, zatímco P a Q jsou základy), pak záznam libovolného čísla ve smíšené (P-Q) číselné soustavě shodně se shoduje se zápisem stejného čísla v číselné soustavě se základem Q.“Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro přenos z P do Q-tý systém a naopak:
- Chcete-li převést z Q na P, potřebujete číslo v Q systém, rozdělit do skupin n číslic, počínaje pravá číslice a nahraďte každou skupinu jednou číslicí v P-tý systém.
- Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .
Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci
Převod z jedné číselné soustavy do druhé
Někdy je potřeba převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, proto se podívejme na způsoby převodu mezi různými soustavami.Převod do desítkové číselné soustavy
V číselné soustavě se základem b existuje číslo a 1 a 2 a 3. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici čísla vynásobit b n, kde n je číslo číslice. Tedy (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Převod z desítkové číselné soustavy na ostatní
Celá část:- Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
- Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v nový systém zapište od posledního zbytku.
- Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
- Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.
15\8 = 1, zbytek 7
1\8 = 0, zbytek 1
Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.
Převod z binárního na osmičkové a šestnáctkové
Chcete-li převést na osmičkové číslo, rozdělíme binární číslo do skupin po 3 číslicích zprava doleva a chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami. Dále transformujeme každou skupinu postupným vynásobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.
Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární
Převod z osmičkové na binární - každou číslici osmičkového čísla převedeme na binární 3místné číslo dělením 2 (více informací o dělení viz výše odstavec „Převod z desítkové soustavy čísel na ostatní“), vyplňte chybějící krajní číslice s úvodními nulami.Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící vnější číslice doplníme úvodními nulami.
Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou
Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.
Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16
Překlad zlomkové části se provádí stejně jako u celých částí čísla s jedinou výjimkou, že rozdělení do skupin po 3 a 4 číslicích jde vpravo od desetinné čárky, chybějící číslice jsou doplněny o nuly vpravo.Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou
Chcete-li převést zlomkovou část čísla na jiné číselné soustavy, musíte celou část otočit na nulu a začít násobit výsledné číslo základem soustavy, na kterou chcete převést. Pokud se v důsledku násobení objeví znovu celé části, je třeba je po prvním zapamatování (zapsání) hodnoty výsledné celé části znovu vynulovat. Operace končí, když je zlomková část zcela nulová.Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků shora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Podívejme se na jeden z nich nejdůležitější témata v informatice - . V školní osnovy je odhaleno spíše „skromně“, s největší pravděpodobností kvůli nedostatku hodin, které jsou mu přiděleny. Znalosti na toto téma, zejména na překlad číselných soustav, jsou předpoklad za úspěšné složení Jednotné státní zkoušky a přijetí na vysoké školy na příslušných fakultách. Níže podrobně pojmy jako např poziční a nepoziční číselné soustavy, jsou uvedeny příklady těchto číselných soustav, jsou uvedena pravidla pro převod celých desetinných čísel, správných desetinných zlomků a smíšených desetinných čísel do jakékoli jiné číselné soustavy, převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou, převod z osmičkové a šestnáctkové číselné soustavy na binární číslo Systém. Na zkouškách v velké množství Na toto téma jsou problémy. Schopnost je řešit je jedním z požadavků na uchazeče. Již brzy: Ke každému tématu sekce kromě podrobného teoretického materiálu téměř všechny možné možnosti úkoly Pro samostudium. Navíc budete mít možnost stáhnout si hotové ze služby souborového hostingu zcela zdarma. detailní řešení k těmto úkolům, ilustrující různé cesty dostat správnou odpověď.
poziční číselné soustavy.
Nepoziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice nezávisí na jejím umístění v čísle.
Mezi nepoziční číselné soustavy patří například římská, kde jsou místo číslic latinská písmena.
| já | 1 (jedna) |
| PROTI | 5 (pět) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (padesát) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (pět set) |
| M | 1000 (tisíc) |
Zde písmeno V znamená 5 bez ohledu na jeho umístění. Za zmínku však stojí, že ačkoli je římská číselná soustava klasickým příkladem nepoziční číselné soustavy, není zcela nepoziční, protože Od něj se odečte menší číslo před větším:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
poziční číselné soustavy.
Poziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice závisí na jejím umístění v čísle.
Například, pokud mluvíme o systému desítkových čísel, pak v čísle 700 číslo 7 znamená „sedm set“, ale stejné číslo v čísle 71 znamená „sedm desítek“ a v čísle 7020 - „sedm tisíc“ .
Každý poziční číselný systém má vlastní základna. Základ je vybrán přirozené číslo, větší nebo rovno dvěma. Je roven počtu číslic použitých v dané číselné soustavě.
- Například:
- Binární- poziční číselný systém se základem 2.
- Kvartérní- poziční číselný systém se základem 4.
- Pětinásobné- poziční číselný systém se základem 5.
- Osmičková- poziční číselný systém se základem 8.
- Hexadecimální- poziční číselný systém se základem 16.
Pro úspěšné řešení úloh na téma „Číselné soustavy“ musí student znát zpaměti korespondenci binárních, desítkových, osmičkových a šestnáctkových čísel do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Je užitečné vědět, jak se v těchto číselných soustavách získávají čísla. Můžete hádat, že v osmičkové, šestnáctkové, trojkové a dalších poziční číselné soustavy vše se děje stejným způsobem jako v desítkové soustavě, na kterou jsme zvyklí:
K číslu se přidá jedna a získá se nové číslo. Pokud se místo jednotek rovná základu číselné soustavy, zvýšíme počet desítek o 1 atd.
Tento „přechod jednoho“ je to, co většinu studentů děsí. Ve skutečnosti je vše docela jednoduché. K přechodu dojde, pokud se číslice jednotky rovná číselný základ, zvýšíme počet desítek o 1. Mnozí, kteří si pamatují starou dobrou desítkovou soustavu, jsou okamžitě zmateni číslicemi v tomto přechodu, protože desítkové a například binární desítky jsou různé věci.
Vynalézaví studenti si tak vyvíjejí „své vlastní metody“ (překvapivě... fungující), když vyplňují například pravdivostní tabulky, jejichž první sloupce (proměnné hodnoty) jsou ve skutečnosti vyplněny binárními čísly ve vzestupném pořadí.
Podívejme se například na zadávání čísel osmičkový systém: K prvnímu číslu (0) přičteme 1, dostaneme 1. Poté přičteme 1 k 1, dostaneme 2 atd. k 7. Přičteme-li k 7 jedničku, dostaneme číslo rovné základu číselné soustavy, tzn. 8. Potom je třeba zvýšit místo desítek o jednu (dostaneme osmičkovou desítku - 10). Další, samozřejmě, jsou čísla 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Pravidla pro převod z jedné číselné soustavy do druhé.
1 Převod celých desítkových čísel do jakékoli jiné číselné soustavy.
Číslo musí být děleno nový základ číselného systému. První zbytek dělení je první vedlejší číslice nového čísla. Je-li podíl dělení menší nebo roven novému základu, musí se tento (podíl) znovu dělit novým základem. Dělení musí pokračovat, dokud nezískáme kvocient menší než nový základ. Toto je nejvyšší číslice nového čísla (je třeba si uvědomit, že například v šestnáctkové soustavě jsou po 9 písmena, tj. pokud je zbytek 11, musíte to napsat jako B).
Příklad („dělení rohem“): Převeďme číslo 173 10 do osmičkové číselné soustavy.
Tedy 173 10 = 255 8
2 Převod pravidelných desetinných zlomků do jakékoli jiné číselné soustavy.
Číslo je nutné vynásobit novým základem číselné soustavy. Číslice, která se stala celočíselnou částí, je nejvyšší číslicí zlomkové části nového čísla. pro získání další číslice se musí zlomková část výsledného součinu opět vynásobit novým základem číselné soustavy, dokud nenastane přechod na celou část. Pokračujeme v násobení, dokud se zlomková část nerovná nule, nebo dokud nedosáhneme přesnosti uvedené v úloze („... počítejte s přesností např. na dvě desetinná místa“).
Příklad: Převeďme číslo 0,65625 10 do osmičkové číselné soustavy.
Výsledek se již dostavil!
Číselné soustavy
Existují poziční a nepoziční číselné soustavy. Arabský číselný systém, který používáme Každodenní život, je poziční, ale Roman ne. V pozičních číselných systémech poloha čísla jednoznačně určuje velikost čísla. Uvažujme to na příkladu čísla 6372 v desítkové číselné soustavě. Očíslujme toto číslo zprava doleva počínaje nulou:
Pak může být číslo 6372 reprezentováno takto:
6372=6000+300+70+2 =6·103 +3·102 +7·101 +2·100.
Číslo 10 určuje číselnou soustavu (v tomto případě je to 10). Hodnoty pozice daného čísla jsou brány jako mocniny.
Uvažujme skutečné desetinné číslo 1287,923. Očíslujme to od nulové pozice čísla od desetinné čárky doleva a doprava:
Pak číslo 1287.923 může být reprezentováno jako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
V obecný případ vzorec může být reprezentován takto:
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
kde C n je celé číslo na pozici n, D -k - zlomkové číslo v poloze (-k), s- číselný systém.
Pár slov o číselných soustavách Číslo v desítkové číselné soustavě se skládá z mnoha číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkové soustavě se skládá z mnoha číslic. (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binární číselné soustavě - ze sady číslic (0,1), v hexadecimální soustava zápis - z množiny čísel (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D, E, F odpovídají číslům 10,11,12,13,14,15 Tabulka 1 ukazuje čísla v různé systémy Zúčtování.
| stůl 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notový zápis | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Chcete-li převést čísla z jedné číselné soustavy do druhé, nejjednodušším způsobem je nejprve převést číslo do desítkové číselné soustavy a poté převést z desítkové číselné soustavy do požadované číselné soustavy.
Převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy
Pomocí vzorce (1) můžete převést čísla z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy.
Příklad 1. Převeďte číslo 1011101.001 z binární číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·20 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Příklad2. Převeďte číslo 1011101.001 z osmičkový systém zápis (SS) na desetinný SS. Řešení:
Příklad 3 . Převeďte číslo AB572.CDF z hexadecimální číselné soustavy na desítkovou SS. Řešení:
Tady A- nahrazeno 10, B- v 11, C- ve 12, F- do 15.
Převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy
Chcete-li převést čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy, musíte samostatně převést celočíselnou část čísla a zlomkovou část čísla.
Celočíselná část čísla se převede z desítkové SS do jiné číselné soustavy postupným dělením celé části čísla základem číselné soustavy (pro binární SS - 2, pro 8-ární SS - 8, pro 16 -ary SS - o 16, atd.), dokud se nezíská celý zbytek, menší než báze CC.
Příklad 4 . Převedeme číslo 159 z desítkové SS na binární SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Jak je vidět z Obr. 1, číslo 159, když je děleno 2, dává podíl 79 a zbytek 1. Dále, číslo 79, když je děleno 2, dává podíl 39 a zbytek 1 atd. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) získáme číslo v binárním SS: 10011111 . Proto můžeme napsat:
159 10 =10011111 2 .
Příklad 5 . Převeďme číslo 615 z desítkové SS na osmičkovou SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Při převodu čísla z desítkové SS na osmičkovou SS musíte číslo postupně dělit 8, dokud nezískáte zbytek celého čísla menší než 8. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) dostaneme číslo v osmičkovém SS: 1147 (viz obr. 2). Proto můžeme napsat:
615 10 =1147 8 .
Příklad 6 . Převeďme číslo 19673 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Jak je vidět z obrázku 3, postupným dělením čísla 19673 16 jsou zbytky 4, 12, 13, 9. V hexadecimální soustavě čísel odpovídá číslu 12 C, číslu 13 D. Proto naše hexadecimální číslo je 4CD9.
Chcete-li převést správné desetinné zlomky ( reálné číslo s nulovou celočíselnou částí) do číselné soustavy se základem s je nutné toto číslo postupně násobit s, dokud ve zlomkové části nevyjde čistá nula, nebo nezískáme požadovaný počet číslic. Pokud se při násobení získá číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se tato celočíselná část nebere v úvahu (jsou postupně zahrnuty do výsledku).
Podívejme se na výše uvedené s příklady.
Příklad 7 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na binární SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Jak je patrné z obr. 4, číslo 0,214 se postupně násobí 2. Pokud je výsledkem násobení číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se celá část zapisuje samostatně (vlevo od čísla), a číslo se zapisuje s nulovou celočíselnou částí. Pokud násobením vznikne číslo s nulovou celočíselnou částí, pak se nalevo od něj zapíše nula. Proces násobení pokračuje, dokud zlomková část nedosáhne čisté nuly nebo nezískáme požadovaný počet číslic. Zápisem tučných čísel (obr. 4) shora dolů dostaneme požadované číslo v binární číselné soustavě: 0. 0011011 .
Proto můžeme napsat:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Příklad 8 . Převeďme číslo 0,125 z desítkové číselné soustavy na binární SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Aby bylo možné převést číslo 0,125 z desítkové SS na binární, toto číslo se postupně vynásobí 2. Ve třetí fázi je výsledek 0. Následně se získá následující výsledek:
0.125 10 =0.001 2 .
Příklad 9 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Podle příkladů 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnáctkové soustavě SS čísla 12 a 11 odpovídají číslům C a B. Máme tedy:
0,21410 = 0,36C8B416.
Příklad 10 . Převeďme číslo 0,512 z desítkové číselné soustavy na osmičkovou SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mám:
0.512 10 =0.406111 8 .
Příklad 11 . Převeďme číslo 159.125 z desítkové číselné soustavy na binární SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 4) a zlomkovou část čísla (příklad 8). Další kombinací těchto výsledků dostaneme:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Příklad 12 . Převeďme číslo 19673.214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 6) a zlomkovou část čísla (příklad 9). Dále, spojením těchto výsledků získáme.
Základní pojmy číselných soustav
Číselný systém je soubor pravidel a technik pro psaní čísel pomocí sady digitálních znaků. Počet číslic potřebných k zápisu čísla v soustavě se nazývá základ číselné soustavy. Základ systému je napsán na pravé straně čísla v dolním indexu: ; ; atd.
Existují dva typy číselných soustav:
poziční, kdy hodnota každé číslice čísla je určena její pozicí v číselném záznamu;
nepoziční, kdy hodnota číslice v čísle nezávisí na jejím místě v zápisu čísla.
Příkladem nepoziční číselné soustavy je římská: čísla IX, IV, XV atd. Příkladem poziční číselné soustavy je desítková soustava používaná každý den.
Jakékoli celé číslo v pozičním systému lze zapsat v polynomickém tvaru:
kde S je základ číselné soustavy;
Číslice čísla zapsané v dané číselné soustavě;
n je počet číslic čísla.
Příklad. Číslo bude zapsán v polynomickém tvaru takto:
Typy číselných soustav
Římská číselná soustava je nepoziční soustava. K psaní čísel používá písmena latinské abecedy. V tomto případě písmeno I vždy znamená jednu, písmeno V znamená pět, X znamená deset, L znamená padesát, C znamená sto, D znamená pět set, M znamená tisíc atd. Například číslo 264 je zapsáno jako CCLXIV. Při psaní čísel v římské číselné soustavě je hodnota čísla algebraickým součtem číslic, které jsou v něm obsaženy. Číslice v číselném záznamu jsou v tomto případě zpravidla v sestupném pořadí jejich hodnot a není dovoleno psát vedle sebe více než tři stejné číslice. V případě, že za číslem s skvělá hodnota následuje číslice s menší, její příspěvek k hodnotě čísla jako celku je záporný. Typické příklady ilustrující hlavní pravidla záznamy čísel v římské číselné soustavě jsou uvedeny v tabulce.
Tabulka 2. Zápis čísel v římské číselné soustavě
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Nevýhodou římského systému je nedostatek formálních pravidel pro zápis čísel a tím pádem i aritmetické operace s vícecifernými čísly. Systém římských čísel se pro svou nepohodlnost a velkou složitost v současnosti používá tam, kde je to opravdu vhodné: v literatuře (číslování kapitol), při navrhování dokumentů (série pasů, cenných papírů atd.), pro dekorativní účely na číselníku hodinek a v řadě dalších případů.
V současnosti je nejznámější a nejpoužívanější soustava desítkových čísel. Vynález desítkové soustavy čísel je jedním z hlavních úspěchů lidského myšlení. Bez ní by jen stěží existoval, tím méně vznikl. moderní technologie. Důvod, proč se desítková číselná soustava stala obecně uznávanou, není vůbec matematický. Lidé jsou zvyklí počítat v desítkové soustavě, protože mají na rukou 10 prstů.
Prastarý obraz desetinných číslic (obr. 1) není náhodný: každá číslice představuje číslo podle počtu úhlů v ní. Například 0 – žádné rohy, 1 – jeden roh, 2 – dva rohy atd. Zápis desetinných čísel doznal výrazných změn. Forma, kterou používáme, vznikla v 16. století.
Desítková soustava se poprvé objevila v Indii kolem 6. století našeho letopočtu. Indické číslování používalo devět číselných znaků a nulu k označení prázdné pozice. V raných indických rukopisech, které se k nám dostaly, byla čísla psána v obráceném pořadí – většina významná postava byla umístěna vpravo. Brzy se ale stalo pravidlem umístit takové číslo na levou stranu. Zvláštní význam byl kladen na symbol nuly, který byl zaveden pro systém poziční notace. Indiánské číslování včetně nuly přežilo dodnes. V Evropě se hinduistické metody desítkové aritmetiky rozšířily na počátku 13. století. díky práci italského matematika Leonarda z Pisy (Fibonacci). Evropané si indický číselný systém vypůjčili od Arabů a nazvali ho arabským. Tento historický omyl přetrvává dodnes.
Desítková soustava používá deset číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 – a také symboly „+“ a „–“ k označení znaménka čísla a čárka nebo tečka k oddělení celého čísla a zlomkové částičísla.
Počítače používají binární číselnou soustavu, jejím základem je číslo 2. K zápisu čísel v této soustavě se používají pouze dvě číslice - 0 a 1. Na rozdíl od populární mylné představy dvojkovou číselnou soustavu nevynalezli konstruktéři počítačů, ale matematici a filozofové dávno před vznikem počítačů, tedy v 17. - 19. století. První publikovanou diskusí o binárním číselném systému je španělský kněz Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Obecnou pozornost tomuto systému přitáhl článek německého matematika Gottfrieda Wilhelma Leibnize, publikovaný v roce 1703. Vysvětloval binární operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Leibniz nedoporučoval používat tento systém pro praktické výpočty, ale zdůraznil její význam pro teoretický výzkum. Postupem času se binární číselný systém stává známým a vyvíjí se.
Volba binárního systému pro použití ve výpočetní technice je vysvětlena tím, že elektronické prvky- spouštěče, které tvoří počítačové čipy, mohou být pouze ve dvou provozních stavech.
Pomocí systému binárního kódování můžete zaznamenávat jakákoli data a znalosti. To lze snadno pochopit, pokud si připomeneme princip kódování a přenosu informací pomocí Morseovy abecedy. Telegrafista, který používá pouze dva symboly této abecedy - tečky a čárky, může přenášet téměř jakýkoli text.
Binární systém je vhodný pro počítač, ale nepohodlný pro člověka: čísla jsou dlouhá a obtížně se zapisují a pamatují. Číslo samozřejmě můžete převést do desítkové soustavy a zapsat jej v tomto tvaru a poté, když jej budete potřebovat převést zpět, ale všechny tyto překlady jsou pracné. Proto se používají číselné soustavy související s dvojkovou – osmičková a šestnáctková. Pro zápis čísel v těchto systémech je vyžadováno 8 a 16 číslic. V šestnáctkové soustavě je běžných prvních 10 číslic a poté se používají velká latinská písmena. Hexadecimální A odpovídá desetinnému číslu 10, hexadecimální B odpovídá desetinné číslo 11 atd. Použití těchto systémů se vysvětluje tím, že přechod na psaní čísla v kterémkoli z těchto systémů z jeho binární zápis velmi jednoduché. Níže je uvedena tabulka shody mezi čísly zapsanými v různých systémech.
Tabulka 3. Korespondence zapsaných čísel různé systémy mrtvé zúčtování
|
Desetinný |
Binární |
Osmičková |
Hexadecimální |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Pravidla pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je důležitou součástí strojové aritmetiky. Podívejme se na základní pravidla překladu.
1. Pro převod binárního čísla na desítkové je nutné jej zapsat ve tvaru polynomu, sestávajícího ze součinů číslic čísla a příslušné mocniny 2, a vypočítat jej podle pravidel desítková aritmetika:
Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin dvou:
Tabulka 4. Mocniny čísla 2
|
n (stupeň) |
|||||||||||
|
1024 |
Příklad. Převeďte číslo do desítkové číselné soustavy.
2. Pro převod osmičkového čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako mnohočlen sestávající ze součinů číslic čísla a příslušné mocniny čísla 8 a vypočítat jej podle pravidel desítkové soustavy. aritmetický:
Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin osmi:
Tabulka 5. Mocniny čísla 8
|
n (stupeň) |
Číselná soustava (SS) je soubor technik pro pojmenování a psaní čísel. V každém SS se některá čísla používají k reprezentaci čísel, která se nazývají základní čísla, a všechna ostatní čísla jsou získána jako výsledek některých operací se základními čísly. V moderní svět Nejběžnější reprezentace čísel je 0. . .9.
RZ se liší volbou základních čísel a pravidly pro tvoření dalších čísel z nich. Například v římských SS jsou základní: I(1),V(5),X(10),L(50),C(100),D(500),M(1000) a další jsou získané sčítáním a odečítáním základních čísel. V římském SS má každý číselný znak stejný význam, to znamená, že hodnota číselného znaku nezávisí na jeho umístění v číselném zápisu: 146 –CXLVI.
Takový RZ je nepolohový. Je pohodlné do něj psát malá čísla. Provádění operací na velkém počtu je však nepohodlné.
5.1. Poziční číselné soustavy
V současné době se k reprezentaci čísel používají polohové SS. SS se nazývá poziční, pokud se hodnota každé číslice (její váha) mění v závislosti na její poloze (pozici) v posloupnosti číslic reprezentujících číslo.
Počet číslic použitých k reprezentaci čísel v poziční SS se nazývá její základ, tj. pokud je použito K číslic, pak se základ SS rovná K. Číslo v poziční SS může být reprezentováno následovně:
Takto přečíslované pozice se nazývají hodnosti. Každé z čísel nabývá jedné z hodnot 
.K se používá ke kvantifikaci každé číslice čísla. To znamená, že počet k-ary SS může být reprezentován jako polynom:
Příklady pozičních číselných soustav:
Aritmetické operace v libovolné poziční SS se provádějí podle stejných pravidel jako v desítkové SS, protože všechny jsou založeny na pravidlech pro provádění akcí s odpovídajícími polynomy. V tomto případě se používají sčítací a násobící tabulky, které probíhají s danou bází SS.
Tabulky sčítání a násobení v binárním SS vypadají takto:
Fyzická reprezentace čísel vyžaduje prvky, které jsou schopné být v jednom z několika stabilních stavů. Počet těchto stavů se musí rovnat základu přijatého SS, pak každý stav bude reprezentovat odpovídající číslici z abecedy tohoto SS. Pro implementaci desítkové soustavy SS budou vyžadovány prvky s 10 stabilními stavy. Nejjednodušší z hlediska technického provedení jsou dvoupolohové prvky schopné být v jednom ze dvou stabilních stavů, například elektromagnetické relé (stavy „zavřeno“ - „otevřeno“), feromagnetický povrch (magnetizovaný - demagnetizovaný) , tranzistorový spínač atd. Jeden z těchto stavů lze označit číslem –0 a druhý 1.
S binárním CC jsou spojeny další výhody. Poskytuje maximální odolnost proti šumu při přenosu informací. Provádí aritmetické a logické operace velmi jednoduše. Díky tomu se binární CC stalo standardem moderní výpočetní techniky.
Nevýhodou binárního SS je velký počet bitů binárního kódu.
