Adaptivní filtrační metoda nejmenších čtverců. Adaptivní filtry. Výsledek programu

I. ax 2 = 0 – neúplný kvadratická rovnice (b=0, c=0 ). Řešení: x=0. Odpověď: 0.

Řešte rovnice.

2x·(x+3)=6x-x2.

Řešení. Otevřeme závorky násobením 2x pro každý výraz v závorce:

2x2 +6x=6x-x2; Přesuneme pojmy z pravé strany na levou:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Zde jsou podobné termíny:

3x 2 = 0, tedy x = 0.

Odpovědět: 0.

II. ax 2 +bx=0 –neúplný kvadratická rovnice (c=0 ). Řešení: x (ax+b)=0 → x 1 =0 nebo ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpověď: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Řešení. Vynechme společný faktor X mimo závorky:

x(5x-26)=0; každý faktor se může rovnat nule:

x=0 nebo 5x-26=0→ 5x=26, vydělte obě strany rovnosti 5 a dostaneme: x=5,2.

Odpovědět: 0; 5,2.

Příklad 3 64x+4x2 = 0.

Řešení. Vynechme společný faktor 4x mimo závorky:

4x(16+x)=0. Máme tři faktory, 4≠0, tedy nebo x=0 nebo 16+x=0. Z poslední rovnosti dostaneme x=-16.

Odpovědět: -16; 0.

Příklad 4.(x-3) 2 + 5x=9.

Řešení. Použitím vzorce pro druhou mocninu rozdílu dvou výrazů otevřeme závorky:

x 2 -6x+9+5x=9; transformovat do tvaru: x 2 -6x+9+5x-9=0; Uveďme podobné pojmy:

x2-x=0; vyndáme to X mimo závorky dostaneme: x (x-1)=0. Odtud popř x=0 nebo x-1=0→ x=1.

Odpovědět: 0; 1.

III. ax 2 + c = 0 –neúplný kvadratická rovnice (b=0 ); Řešení: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Li (-c/a)<0 , pak neexistují žádné skutečné kořeny. Li (-с/а)>0

Příklad 5. x 2-49=0.

Řešení.

x 2 = 49, odtud x=±7. Odpovědět:-7; 7.

Příklad 6. 9x 2-4=0.

Řešení.

Často potřebujete najít součet čtverců (x 1 2 + x 2 2) nebo součet krychlí (x 1 3 + x 2 3) kořenů kvadratické rovnice, méně často - součet reciprokých hodnot druhých mocnin odmocnin nebo součtu aritmetiky odmocniny od kořenů kvadratické rovnice:

Vietův teorém s tím může pomoci:

x 2 +px+q=0

xi + x2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Pojďme se vyjádřit přes p A q:

1) součet druhých mocnin kořenů rovnice x 2 +px+q=0;

2) součet krychlí kořenů rovnice x 2 +px+q=0.

Řešení.

1) Výraz x 1 2 + x 2 2 získáme kvadraturou obou stran rovnice xi + x2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2; otevřete závorky: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; vyjádříme požadované množství: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Dostali jsme užitečnou rovnost: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

2) Výraz x 1 3 + x 2 3 Představme součet kostek pomocí vzorce:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Další užitečná rovnice: xi3+x23 = -p·(p2-3q).

Příklady.

3) x 2-3x-4=0. Bez řešení rovnice vypočítejte hodnotu výrazu x 1 2 + x 2 2.

Řešení.

x 1 + x 2 =-p=3, a práce x 1 ∙x 2 =q=v příkladu 1) rovnost:

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q. My máme -p=x 1 +x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. Pak x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Odpovědět: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2-2x-4=0. Vypočítejte: x 1 3 +x 2 3 .

Řešení.

Podle Vietovy věty je součet kořenů této redukované kvadratické rovnice x 1 + x 2 =-p=2, a práce x 1 ∙x 2 =q=-4. Použijme to, co jsme dostali ( v příkladu 2) rovnost: x 13 +x 2 3 =-p·(p2-3q)= 2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Odpovědět: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Otázka: co když dostaneme neredukovanou kvadratickou rovnici? Odpověď: vždy ji lze „snížit“ vydělením členu po členu prvním koeficientem.

5) 2x 2-5x-7=0. Bez rozhodování vypočítejte: x 1 2 + x 2 2.

Řešení. Je nám dána úplná kvadratická rovnice. Vydělte obě strany rovnosti 2 (první koeficient) a získáte následující kvadratickou rovnici: x 2-2,5x-3,5=0.

Podle Vietovy věty je součet kořenů roven 2,5 ; součin kořenů se rovná -3,5 .

Řešíme to stejně jako příklad 3) pomocí rovnosti: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Odpovědět: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2-5x-2=0. Nalézt:

Transformujme tuto rovnost a pomocí Vietovy věty nahraďme součet kořenů skrz -p, a produkt kořenů skrz q, získáme další užitečný vzorec. Při odvozování vzorce jsme použili rovnost 1): x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

V našem příkladu x 1 + x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Tyto hodnoty dosadíme do výsledného vzorce:

7) x 2-13x+36=0. Nalézt:

Transformujme tento součet a získáme vzorec, který lze použít k nalezení součtu aritmetických odmocnin z kořenů kvadratické rovnice.

My máme x 1 + x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Tyto hodnoty dosadíme do výsledného vzorce:

Rada : Vždy zkontrolujte, zda můžete najít kořeny kvadratické rovnice pomocí vhodným způsobem, po všem 4 přezkoumáno užitečné vzorce vám umožní rychle dokončit úkol, zejména v případech, kdy je diskriminantem „nepohodlné“ číslo. Celkově jednoduché případy najít kořeny a operovat je. Například v posledním příkladu vybereme kořeny pomocí Vietovy věty: součet kořenů by se měl rovnat 13 a produkt kořenů 36 . Jaká jsou tato čísla? Rozhodně, 4 a 9. Nyní vypočítejte součet druhých odmocnin těchto čísel: 2+3=5. A je to!

I. Vietova věta pro redukovanou kvadratickou rovnici.

Součet kořenů redukované kvadratické rovnice x 2 +px+q=0 se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem a součin kořenů se rovná volnému členu:

xi + x2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Najděte kořeny zadané kvadratické rovnice pomocí Vietovy věty.

Příklad 1) x2-x-30=0. Toto je redukovaná kvadratická rovnice ( x 2 +px+q=0), druhý koeficient p=-1 a volný člen q=-30. Nejprve se ujistěte, že tato rovnice má kořeny a že kořeny (pokud existují) budou vyjádřeny v celých číslech. K tomu stačí, aby byl diskriminant dokonalou druhou mocninou celého čísla.

Hledání diskriminantu D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nyní, podle Vietovy věty, se součet kořenů musí rovnat druhému koeficientu s opačným znaménkem, tj. ( -p), a produkt se rovná volnému termínu, tzn. ( q). Pak:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Musíme vybrat dvě čísla tak, aby se jejich součin rovnal -30 , a částka je jednotka. To jsou čísla -5 A 6 . Odpověď: -5; 6.

Příklad 2) x 2 +6x+8=0. Máme redukovanou kvadratickou rovnici s druhým koeficientem p=6 a volný člen q=8. Ujistíme se, že existují celočíselné kořeny. Pojďme najít diskriminant D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je dokonalá druhá mocnina čísla 1 , což znamená, že kořeny této rovnice jsou celá čísla. Vyberme kořeny pomocí Vietovy věty: součet kořenů se rovná –р=-6 a součin kořenů se rovná q=8. To jsou čísla -4 A -2 .

Ve skutečnosti: -4-2=-6=-R; -4∙(-2)=8=q. Odpověď: -4; -2.

Příklad 3) x 2 +2x-4=0. V této redukované kvadratické rovnici druhý koeficient p=2 a volný člen q=-4. Pojďme najít diskriminant D 1, protože druhý koeficient je sudé číslo. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant není dokonalá druhá mocnina čísla, tak to děláme my závěr: Kořeny této rovnice nejsou celá čísla a nelze je najít pomocí Vietovy věty. To znamená, že tuto rovnici řešíme jako obvykle pomocí vzorců (v tomto případě pomocí vzorců). Dostaneme:

Příklad 4). Napište kvadratickou rovnici pomocí jejích kořenů if x 1 = -7, x 2 = 4.

Řešení. Požadovaná rovnice bude zapsána ve tvaru: x 2 +px+q=0 a na základě Vietovy věty –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potom bude mít rovnice tvar: x 2 +3x-28=0.

Příklad 5). Napište kvadratickou rovnici pomocí jejích kořenů, pokud:

II. Vietova věta pro úplnou kvadratickou rovnici ax 2 +bx+c=0.

Součet kořenů je mínus b, děleno A, součin kořenů se rovná S, děleno A:

xi + x2 = -b/a; x 1 ∙x 2 = c/a.

Příklad 6). Najděte součet kořenů kvadratické rovnice 2x 2-7x-11=0.

Řešení.

Ujistíme se, že tato rovnice bude mít kořeny. K tomu stačí vytvořit výraz pro diskriminant a bez jeho výpočtu se jen ujistit, že je diskriminant větší než nula. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Nyní použijme teorém Vieta pro úplné kvadratické rovnice.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Příklad 7). Najděte součin kořenů kvadratické rovnice 3x 2 +8x-21=0.

Řešení.

Pojďme najít diskriminant D 1, protože druhý koeficient ( 8 ) je sudé číslo. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratická rovnice má 2 kořen, podle Vietovy věty součin kořenů x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– obecná kvadratická rovnice

Diskriminační D=b2-4ac.

Li D>0, pak máme dva skutečné kořeny:

Li D=0, pak máme jeden kořen (nebo dva stejné kořeny) x=-b/(2a).

Pokud D<0, то действительных корней нет.

Příklad 1) 2x 2 + 5x-3=0.

Řešení. A=2; b=5; C=-3.

D=b2-4ac=52-4∙2∙(-3)=25+24=49=72 >0; 2 skutečné kořeny.

4x 2 +21x+5=0.

Řešení. A=4; b=21; C=5.

D=b2-4ac=212 - 4∙4∙5=441-80=361=192 >0; 2 skutečné kořeny.

II. ax 2 +bx+c=0 – kvadratická rovnice konkrétního tvaru se sudým druhým

součinitel b

Příklad 3) 3x 2 -10x+3=0.

Řešení. A=3; b=-10 (sudé číslo); C=3.

Příklad 4) 5x 2-14x-3=0.

Řešení. A=5; b= -14 (sudé číslo); C=-3.

Příklad 5) 71x 2 +144x+4=0.

Řešení. A=71; b=144 (sudé číslo); C=4.

Příklad 6) 9x 2 -30x+25=0.

Řešení. A=9; b=-30 (sudé číslo); C=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – kvadratická rovnice poskytnut soukromý typ: a-b+c=0.

První odmocnina se vždy rovná mínus jedné a druhá odmocnina se vždy rovná mínus S, děleno A:

x 1 = -1, x 2 = -c/a.

Příklad 7) 2x 2 +9x+7=0.

Řešení. A=2; b=9; C=7. Zkontrolujeme rovnost: a-b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Pak xi =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Odpovědět: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – kvadratická rovnice určitého tvaru podléhající : a+b+c=0.

První kořen je vždy roven jedné a druhý kořen je roven S, děleno A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Příklad 8) 2x 2 -9x+7=0.

Řešení. A=2; b=-9; C=7. Zkontrolujeme rovnost: a+b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Pak x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5. Odpovědět: 1; 3,5.

Strana 1 z 1 1

řešit matematiku. Najděte rychle řešení matematické rovnice v režimu online. Web www.site to umožňuje řešit rovnici téměř jakýkoli daný algebraický, trigonometrický nebo transcendentální rovnice online. Při studiu téměř jakéhokoli oboru matematiky v různých fázích se musíte rozhodnout rovnice online. Abyste dostali odpověď okamžitě, a hlavně přesnou odpověď, potřebujete zdroj, který vám to umožní. Díky webu www.site řešit rovnice online bude trvat několik minut. Hlavní výhoda www.site při řešení matematických rovnice online- jedná se o rychlost a přesnost poskytnuté odpovědi. Stránka je schopna vyřešit jakékoli algebraické rovnice online, goniometrické rovnice online, transcendentální rovnice online, a rovnic s neznámými parametry v režimu online. Rovnice slouží jako výkonný matematický aparát řešení praktické problémy. S pomocí matematické rovnice je možné vyjádřit fakta a vztahy, které se na první pohled mohou zdát matoucí a složité. Neznámé množství rovnic lze nalézt formulací problému v matematický jazyk ve formuláři rovnic A rozhodni se přijatý úkol v režimu online na webu www.site. Žádný algebraická rovnice, goniometrická rovnice nebo rovnic obsahující transcendentální funkce, které můžete snadno rozhodni se online a získejte přesnou odpověď. Při studiu přírodních věd se nevyhnutelně setkáváte s potřebou řešení rovnic. V tomto případě musí být odpověď přesná a musí být získána okamžitě v režimu online. Proto pro řešení matematických rovnic online doporučujeme stránku www.site, která se stane vaší nepostradatelnou kalkulačkou řešení algebraické rovnice online, goniometrické rovnice online, a transcendentální rovnice online nebo rovnic s neznámými parametry. Pro praktické problémy hledání kořenů různých matematické rovnice zdroj www.. Řešení rovnice online sami, je užitečné zkontrolovat přijatou odpověď pomocí online řešení rovnic na webu www.site. Musíte napsat rovnici správně a okamžitě ji získat online řešení, po kterém už zbývá jen porovnat odpověď s vaším řešením rovnice. Kontrola odpovědi nezabere více než minutu, to stačí řešit rovnice online a porovnejte odpovědi. To vám pomůže vyhnout se chybám rozhodnutí a odpověď včas opravte řešení rovnic online buď algebraický, trigonometrický, transcendentální nebo rovnice s neznámými parametry.

Kvadratické rovnice se učí v 8. třídě, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je naprosto nezbytná.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimněte, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mít přesně jeden kořen;
3. Mají dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými rovnicemi a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0, pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů a vůbec ne jejich znaky, jak z nějakého důvodu mnoho lidí věří. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišme si koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Analyzujeme druhou rovnici podobným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Poslední rovnice zbývá:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - odmocnina bude jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to únavné, ale nespletete si šance a nebudete dělat hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud na to přijdete, po chvíli už nebudete muset zapisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejděme k samotnému řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazování záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se na vzorec doslova, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavíte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice se mírně liší od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je snadné si všimnout, že v těchto rovnicích chybí jeden z členů. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nevyžadují ani výpočet diskriminantu. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

Podívejme se na zbývající případy. Nechť b = 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Trochu ji transformujme:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (−c /a) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud je v neúplné kvadratické rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splněna nerovnost (−c /a) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c /a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminační znak nebyl vyžadován - neúplný kvadratické rovnice rozhodně ne složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je negativní, nebudou tam žádné kořeny.

Nyní se podívejme na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Vyjmutí společného faktoru ze závorek

Součin je nula, když je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud pramení kořeny. Na závěr se podívejme na několik z těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

ZPRACOVÁNÍ DIGITÁLNÍCH SIGNÁLŮ

Digitální zpracování signálů

Téma 11. ADAPTIVNÍ FILTROVÁNÍ DIGITÁLNÍCH DAT

Nechte je, ať si zkusí podřídit okolnosti, než aby jim sami podléhali.

Horace. Zprávy. Římský básník, 1. století př. Kr.

Pokud v této teorii nevidíte žádný smysl, tím lépe. Vysvětlivky můžete přeskočit a rovnou začít používat v praxi.

Valentin Rovinský. Teorie karetních her.

Kyjevský geofyzik Uralské školy, 20. století.
Obsah

Úvod.

1. Obecná informace o adaptivních. Hlavní oblasti použití. Adaptivní potlačení hluku. Adaptivní Wienerův filtr. Adaptivní algoritmus nejmenší čtverce Widrow-Hopf. Rekurzivní návrhy nejmenších čtverců.

2. Základy statistického seskupování informací. Předpoklady metody. Problém statistického seskupování. Použití a priori dat. Účinnost metody.

Regulace statistických dat. Ověření teoretických principů metody. Hodnocení zachování rozlišení. Statistické vyhodnocení regularizace dat. Výsledky simulace. Frekvenční reprezentace. Příklad praktické využití.

4. Statistické seskupování užitečných informací. Podstata hardwarové implementace. Vlastnosti hardwarové implementace. Implementace informačních seskupovacích systémů. Příklad implementace systému seskupování informací.

Úvod

V tradiční metody informace o zpracování dat jsou extrahovány ze vstupních signálů lineárními systémy s konstantní parametry algoritmy transformace dat. Systémy mohou mít konečnou i nekonečnou impulsní odezvu, ale přenosová funkce systémů nezávisí na parametrech vstupních signálů a jejich změnách v čase.

Zařízení pro adaptivní zpracování dat se vyznačují přítomností určitého spojení mezi parametry přenosové funkce a vstupními, výstupními, očekávanými, predikovanými a dalšími parametry. dodatečné signály nebo s parametry jejich statistických vztahů, což umožňuje samočinné ladění optimální zpracování signály. V nejjednodušším případě adaptivní zařízení obsahuje programovatelný filtr pro zpracování dat a adaptační blok (algoritmus), který na základě specifického programu pro analýzu vstupních, výstupních a dalších doplňkových dat generuje signál pro řízení parametrů programovatelného filtru. . Impulzní odezva adaptivních systémů může být také konečná nebo nekonečná.

Adaptivní zařízení jsou zpravidla navržena pro úzce účelové funkční účely. určité typy signály. Vnitřní struktura adaptivní systémy a adaptační algoritmus jsou téměř zcela regulovány funkčním účelem a určitým minimálním množstvím počátečních apriorních informací o povaze vstupních dat a jejich statistických a informačních parametrech. Vzniká tak různorodost přístupů k vývoji systémů a výrazně se komplikuje jejich klasifikace a rozvíjení obecných teoretických principů /l38/. Ale lze podotknout, že největší uplatnění Při vývoji systémů pro adaptivní zpracování signálu se nalézají dva přístupy: založené na schématu nejmenších čtverců (LSC) a rekurzivním schématu nejmenších čtverců (RLS).

^ 11.1. VŠEOBECNÉ INFORMACE O ADAPTIVNÍM DIGITÁLNÍM FILTROVÁNÍ.

Hlavní aplikace adaptivní filtrování– čištění dat od nestabilních rušivých signálů a šumu, které se spektrem překrývají se spektrem užitečných signálů, nebo když je rušivé frekvenční pásmo neznámé, proměnlivé a nelze je a priori specifikovat pro výpočet parametrických filtrů. Například v digitální komunikaci může silné aktivní rušení rušit užitečný signál a během přenosu digitální informace Na kanálech se špatnou frekvenční charakteristikou lze pozorovat mezisymbolové rušení digitálních kódů. Efektivní řešení Tyto problémy jsou možné pouze s adaptivními filtry.

Frekvenční odezva adaptivních filtrů se automaticky upravuje nebo upravuje podle určitého kritéria, což umožňuje filtru přizpůsobit se změnám charakteristik vstupního signálu. Jsou poměrně široce používány v rádiu a sonaru, v navigačních systémech, při výběru biomedicínských signálů a mnoha dalších odvětvích techniky. Jako příklad zvažte nejběžnější schémata adaptivního filtrování signálu.

Adaptivní potlačení hluku . Blokové schéma filtru je na Obr. 11.1.1.

Rýže. 11.1.1.
Filtr se skládá z digitálního bloku filtru s nastavitelnými koeficienty a adaptivního algoritmu pro ladění a změnu koeficientů filtru. Filtr přijímá vstupní signály y(k) a x(k) současně. Signál y(k) obsahuje užitečný signál s(k) a znečišťující signál g(k) s ním nekorelovaný. Signál x(k) jakéhokoli zdroje šumu je korelován s g(k) a používá se k vytvoření odhadu signálu ğ(k). Užitečný signál se odhaduje na základě rozdílu:

š(k) = y(k) – ğ(k) = s(k) + g(k) – ğ(k). (11.1.1)

Odmocnime rovnici a dostaneme:

š 2 (k) = s 2 (k) + (g(k) – ğ(k)) 2 + 2.s(k) (g(k) – ğ(k)). (11.1.2)

Vypočítejme matematické očekávání levé a pravé strany této rovnice:

M[š2(k)] = M + M[(g(k) – ğ(k))2] + 2M. (11.1.3)

Poslední člen ve výrazu je roven nule, protože signál s(k) nekoreluje se signály g(k) a ğ(k).

M[š2(k)] = M + M[(g(k) – ğ(k))2]. (11.1.4)

V tomto výrazu M = W(s(k)) je výkon signálu s(k), M[š 2 (k)] = W(š(k)) je odhad výkonu signálu s(k) a celkem výstupní výkon, M[(g(k) – ğ(k)) 2 ] = W( g) - výkon zbytkového šumu, který může být obsažen ve výstupním signálu. Při nastavení adaptivní filtr do optimální polohy je minimalizován výkon zbytkového šumu a tím i výkon výstupního signálu:

Min W(š(k)) = W(s(k)) + min W( g). (11.1.5)

Nastavení neovlivňuje sílu užitečného signálu, protože signál nekoreluje se šumem. Účinek minimalizace celkového výstupního výkonu bude maximalizovat poměr výstupního signálu k šumu. Pokud nastavení filtru zajišťuje rovnost ğ(k) = g(k), pak š(k) = s(k). Pokud signál neobsahuje žádný šum, měl by se nastavit adaptivní algoritmus nulové hodnoty všechny koeficienty digitálního filtru.

Rýže. 11.1.2.
Adaptivní Wienerův filtr . Vstupní signál y(k) filtru znázorněného na Obr. 11.1.2 obsahuje složku korelovanou s druhým signálem x(k) a užitečnou složku nekorelovanou s x(k). Filtr tvoří signál ğ(k) z x(t) - optimální posouzení ta část y(k), která koreluje s x(k) a odečítá ji od signálu y(k). Výstupní signál:

E(k) = y(k) - ğ(k) = y(k) - H T X k = y(k) - h(n)x(k-n),

Kde H T a X k – vektory váhových koeficientů filtru a jeho vstupního signálu.

Podobně jako v předchozí metodě odmocníme levou a pravou stranu rovnice, najdeme matematická očekávání obou stran a získáme optimalizační rovnici  výstupního signálu:

   2 P T H + H T RH, (11.1.6)

Kde  2 = M – rozptyl y(k), P= M – vektor křížová korelace, R= M[ X k X k T ] – autokorelační matice.

Rýže. 11.1.3.
Ve stacionárním prostředí graf  versus koeficienty H je miskovitého tvaru adaptační povrch(obr. 11.1.3). Gradient povrchu:

d / d H = -2P + 2RH.

Každá sada koeficientů h(n) na této ploše odpovídá určitému bodu. V minimálním bodě je gradient nulový a vektor váhových koeficientů filtru je optimální:

H opt = R -1 P. (11.1.7)

Tento vzorec se nazývá Wiener-Hopfova rovnice. Úkolem algoritmu automatického ladění je vybrat takové váhové koeficienty filtru, které zajistí provoz v optimálním bodě adaptační plochy.

nicméně praktické využití Filtr je komplikován použitím korelačních matic R a P, které jsou a priori neznámé a které se mohou v čase u nestacionárních signálů měnit.

Widrow-Hopfův adaptivní algoritmus nejmenších čtverců . V podstatě se jedná o modifikaci Wienerova filtru, ve které se namísto výpočtu koeficientů (11.1.7) v jednom kroku používá algoritmus pro postupné sestupování do optimálního bodu při zpracování každého vzorku:

H k +1 = H k - e k X k , (11.1.8)

E k = y k - H T X k. (11.1.9)

Podmínka pro konvergenci k optimu:

0 <  >1/ max , (11.1.10)

Kde  je parametr rychlosti klesání,  m ax je maximální vlastní hodnota kovarianční matice data. Blokové schéma algoritmu je na obr. 11.1.4.

Rýže. 11.1.4. Adaptační algoritmus nejmenších čtverců.

V praxi bod maximální optimality kolísá kolem teoreticky možného bodu. Li vstupní signál nestacionární, pak musí ke změně ve statistice signálu docházet dostatečně pomalu, aby koeficienty filtru měly čas tyto změny sledovat.

Rekurzivní návrhy nejmenších čtverců se liší tím, že výpočet každého následujícího vzorku koeficientů h(n) se provádí nejen z koeficientů pouze jednoho předchozího vzorku, ale také s určitou délkou postupně slábnoucí paměti z předchozích vzorků, což umožňuje snížit fluktuace v odhadech při zpracování stacionárních signálů.

^ 11.2. Základy statistického seskupování informací.

Při budování adaptivních systémů filtrování dat velká důležitost mít statistické charakteristiky zpracovávaných signálů a šumu, jejich stacionárnost a přítomnost jakýchkoliv dodatečné informace, koreluje s hlavním. Zvážíme možnost využití dalších informací při budování adaptivních systémů na konkrétní příklad– systém adaptivního filtrování dat z kontinuálních jaderných geofyzikálních měření.

Předpoklady metody. Fyzikální veličinou zaznamenanou při měření jaderné fyziky v geofyzice je obvykle frekvence pulzní signály na výstupu detektorů ionizujícího záření v režimu volby integrální nebo diferenciální amplitudy. Hodnoty měřené veličiny, které jsou v přírodě statisticky rozložené, lze určit pouze zprůměrováním počtu registrací ionizujících částic v časových intervalech. Zaznamenaný počet pulzů určuje statistickou chybu jednoho měření a časový interval průměrování, který poskytuje standardní chybu, určuje jejich výkon. U metod s kontinuálním záznamem informací v čase (nebo v prostoru) určuje časové okno měření i časové (resp. prostorové, s přihlédnutím k rychlosti pohybu detektoru) rozlišení interpretace výsledků měření, přičemž účinnost Zaznamenávání informací je obvykle omezeno podmínkami měření a/nebo technickými prostředky jejich provedení. Typickým příkladem je protokolování studní, kde jsou možnosti zvýšení intenzity informačních toků omezeny parametry účinnosti registrace a citlivosti detektorů záření, které jsou závislé na jejich typu a velikosti. Rozměry detektorů přirozeně výrazně závisí na rozměrech hlubinných přístrojů, které jsou zase omezeny průměry jímek.

Níže uvažujeme o možnosti zvýšení přesnosti a produktivity kontinuálních jaderných fyzikálních měření, pro přehlednost, ve vztahu k podmínkám měření ve verzi vrtného gama vzorkování, i když ve stejné míře jej lze využít v auto- a leteckém gama průzkumu, v radiometrickém obohacování rud, v rentgenové radiometrii a dalších metodách jaderné geofyziky. Předpokládá se, že záznam dat se provádí v digitální podobě s akumulací vzorků v konstantních intervalech vzorkování dat (v čase a prostoru, při konstantní rychlosti pohybu detektoru).

V obecný případ užitečná (cílová) informace může být přítomna v několika energetických intervalech spektra záření. Pracovní intervaly měření jsou obvykle považovány za úseky spektra, kde jsou užitečné informace přítomny v „čisté“ podobě nebo smíšené s interferencí (pozadí), jejíž hodnotu lze zohlednit při zpracování výsledků měření. Například při gama testování hornin na obsah přírodních radionuklidů (RNN) je zaznamenáváno záření o energii větší než 250-300 keV, představované především primárními a jednotlivě rozptýlenými kvanty, jejichž hustota toku je úměrná hmotnostní zlomek NRN v horninách. Hustota toku záření v nízkoenergetické oblasti spektra (20-250 keV, převážně vícenásobně rozptýlené záření) závisí také na hmotnostním zlomku NRN, ale tato závislost je parametricky vztažena k efektivnímu atomovému číslu emitující-absorbující médium v ​​oblasti detektoru, jehož změny podél vrtu mohou vést k velké chybě při interpretaci výsledků měření. Mezitím je hustota informačního toku (vzhledem k hmotnostnímu zlomku NRN) v rozsahu 20-250 keV mnohem vyšší než v rozsahu více než 250 keV, zejména při záznamu záření maloobjemovými scintilačními detektory, které se zvýšily citlivost specificky na nízkoenergetickou část spektra záření .

Problém statistického seskupování informace v signálových tocích v obecné a nejjednodušší formě lze formulovat následovně. Užitečná informace je přítomna ve dvou statisticky nezávislých signálových tocích (ve dvou nepřekrývajících se intervalech emisního spektra). V prvním toku signálů jsou v podstatě podmíněně užitečné informace přítomny v „čisté“ formě: hustota toku signálu je úměrná určenému Fyzické množství. V druhém proudu, podmíněně dodatečném, jsou užitečné informace ovlivněny destabilizujícími faktory, jejichž význam není znám. V nepřítomnosti destabilizačních faktorů je korelační koeficient průměrných hustot toku v těchto dvou signálových tocích konstantní a blízký 1. Aby se snížila chyba statistického měření, je nutné extrahovat užitečné informace z dodatečného toku signálů a sečíst je s hlavním proudem.

Označme toky a také frekvence hlavních a doplňkových signálových toků indexy n a m (pulzy za sekundu), spojení toků podle frekvence s indexem x = m/n. Je třeba určit frekvenci průtoku n. Hodnota x se může měnit vlivem destabilizačních faktorů na průtok m a v obecném případě jde o náhodnou veličinu rozdělenou podle určitého zákona s hustotou pravděpodobnosti P(x), matematickým očekáváním a rozptylem D x.

Na základě Bayesova teorému je hustota pravděpodobnosti rozdělení frekvence n na počtu vzorků signálu N měřených v jednotkovém intervalu t určena výrazem:

P N (n) = P(n) P n (N) P(N), (11.2.1)

P n (N) = (nT) N e -n  N! , (11.2.2)

P(N) = P n (N) P(n) dn, (11.2.3)

Kde: P(n) je apriorní hustota pravděpodobnosti frekvence n, P n (N) je zadní rozdělení pravděpodobnosti numerických vzorků N (Poissonův zákon). Vezmeme-li dále jako požadovanou hodnotu hodnoty vzorků z=n v intervalech  (expozice digitálních vzorků nebo posuvné časové okno analogových dat) a dosadíme (11.2.2, 11.2.3) do (11.2.1), získáváme:

P N (z) = P(z) z N e -z  P(z) z N e -z dz. (11.2.4)

Při neznámém rozdělení hodnot z se předpokládá, že hustota apriorního rozdělení P(z) je rovnoměrná od 0 do , zatímco z výrazu (11.2.4) vyplývají dobře známé výrazy:

Z = D z = N+1  N, (11.2.5)

 z 2 = D z z 2 = 1 (N+1)  1N. (11.2.6)

Zanedbáváme hodnoty jednotek ve výrazech, což je nejen správné v podmínkách „dobré“ statistiky, ale také nutné v režimu sekvenčního kontinuálního měření pro eliminaci posunu průměrných hodnot.

Jak vyplývá z teorie gama-logování (GC) a je celkem dobře potvrzeno praxí vzorkování gama záření, prostorové rozlišení měření gama-zaznamenávání při interpretaci výsledků GC na obsah přírodních radioaktivních prvků v kamenů podél vrtu je v průměru 10 cm a u malých vrtů se může průměr zvětšit i na 5-7 cm, realizace takového rozlišení je však možná pouze za podmínek dostatečně „dobré“ statistiky. Faktor zesílení rozptylu šumu digitálních dekonvolučních filtrů, které se používají při interpretaci GC, je v průměru asi 12 a pohybuje se od 4 do 25 v závislosti na hustotě hornin, průměru vrtu, průměru vrtného nástroje atd. Z toho vyplývá, že k dosáhnout rozlišení 10 cm se standardní rozdílovou chybou interpretace ne větší než 10-20 %, statistická chyba měření by neměla překročit 3-7 %. A to zase určuje objem počítání pro jednu expozici alespoň 200-1000 pulsů. S protokolováním gama záření je to možné pouze u hornin s relativně vysokým obsahem NRN (více než 0,001 % ekvivalentu uranu), při použití detektorů velké velikosti(s účinností záznamu vyšší než 10 pulsů/s na 1 μR/hod) a při nízké rychlosti záznamu (ne více než 100-300 m/hod). V té či oné míře je tento problém charakteristický pro všechny metody jaderné geofyziky a je zvláště akutní při spektrometrických modifikacích měření.

Je však třeba poznamenat, že proces kontinuálního měření má určité fyzická základna jak pro aplikaci metod pro regularizaci výsledků interpretace dat, tak pro regularizaci samotných statistických dat (pole vzorků N) při jejich zpracování.

Nejjednodušší způsob, jak připravit digitální data pro interpretaci, je filtrovat je dolní propustí pomocí metody nejmenších čtverců (LSM) nebo váhových funkcí (Laplace-Gaussian, Kaiser-Bessel atd.). Jakékoli metody nízkofrekvenční filtrace dat však snižují prostorové rozlišení interpretace, neboť kromě snížení statistických fluktuací vedou k určité deformaci frekvenčních složek užitečné části signálu, jehož spektrum podle dekonvoluce podmínky, by měly mít reálné hodnoty až do Nyquistovy frekvence. Tento negativní faktor lze do jisté míry eliminovat metodou adaptivní regularizace dat (ARD).

Výrazy (11.2.5-6) ​​byly získány za předpokladu, že apriorní rozdělení P(z) pro čtení v každé aktuální expozici  je zcela neznámé. Mezitím lze při zpracování kontinuálních naměřených dat a ještě více logovacích dat, která jsou obvykle víceparametrová, pro každý aktuální odečet provádět zpracování dat definitivní hodnocení rozdělení P(z). Minimálně existují dva způsoby, jak odhadnout rozdělení P(z).

Metoda 1. Použití datových polí paralelních měření jakýchkoliv dalších informačních parametrů, jejichž hodnoty zcela jasně korelují se zpracovávaným datovým polem, a to buď v celém prostoru měření, nebo v určitém klouzavém intervalu porovnání dat. Mezi taková pole patří například předběžná měření při vrtání studní, měření s jiným zařízením, s jinou rychlostí protokolování, v jiném spektrálním rozsahu záření a dokonce s jinou metodou protokolování. V gama vzorkování lze distribuci P(z) posoudit pomocí paralelních měření intenzity toku m v nízkofrekvenční oblasti spektra hornin.

Metoda 2. Pomocí jediného GC diagramu lze posouzení rozložení P(z) v každém aktuálním bodě zpracování dat provést pomocí nejbližších sousedství daného bodu, pokrývajícího širší prostorový interval ve srovnání s intervalem vzorkování.

Použití a priori dat. Předpokládejme, že kromě hlavního datového pole N , ke zpracování (připravení na interpretaci) máme další datové pole M, jehož hodnoty do určité míry korelují s polem N. Při absenci dalších polí nám metoda 2 umožňuje získat pole M zpracováním pole N digitální filtr LSM (nebo jakýkoli jiný váhový filtr) s posuvným časovým oknem T  3 (M(k) = m(k)vyhlazený signál m(k) = n(k) ③ h, kde h je operátor symetrického digitální filtr). Všimněte si také, že 2. metodu lze vždy použít k regularizaci dat, bez ohledu na dostupnost dat pro 1. metodu.

Pole M umožňuje zadat odhad statistické charakteristiky rozdělení P(z). Pokud tedy pro stejné časové intervaly  v poli M existují vzorky M = m k  (nebo vzorky nějakého jiného parametru na ně redukované), pak můžeme napsat:

PM (z) =
, (11.2.7)

Kde P(x) je apriorní hustota rozdělení hodnot x k = m k / n k, která v obecném případě může být také náhodná. Při rovnoměrném rozdělení P(x) od 0 do  pro čtení M je jakákoliv hodnota z stejně pravděpodobná, tzn. měření v průtoku m nemá žádný vliv. Podle počátečních podmínek problému je však přítomnost užitečných informací v proudu m povinná, a v důsledku toho existence alespoň určitých hranic rozdělení P(x) od x min > 0 do x max<< , и среднего значения по пространству измерений. При этом из выражения (11.2.7) следует, что наиболее вероятное значение z a , "априорное" для отсчетов z=n в потоке n по измерениям в потоке m (отсчетам М), должно быть равно:

Z a = (M+1)  M. (11.2.8)

Při statistické nezávislosti hodnot x a M je relativní střední kvadratická chyba při určování hodnot z a ze vzorků v poli M:

 za 2 =  M 2 +  x 2 . (11.2.9)

Proto rozptyl distribuce hodnot z a:

Dza = (D M +M 2  x 2) 2 = D(M)  2, (11.2.10)

D(M) = D M + M 2  x 2 = D M + D xm, (11.2.11)

D M = M+1  M, D xm = M 2  x 2,

Kde je hodnota disperze D M určena statistikou vzorků v poli M při x = konst, hodnota D xm představuje rozptyl hodnot M v důsledku kolísání hodnoty x a součtu D (M) určuje celkový rozptyl vzorků M.

Vliv P(x) na tvar rozdělení Р М (z) se odráží v jeho „protažení“ podél souřadnice z vzhledem k modální hodnotě, zatímco řešení integrálu (11.2.7) v první aproximaci může být zastoupen v následující podobě:

PM (z)  b
e-bz. (11.2.12)

Pro danou distribuci:

= z a = ab, (11.2.13)

Dza = ab2, (11.2.14)

Vezmeme-li v úvahu výrazy (11.2.8) a (11.2.10):

A = MD M (D za 2) = MD M D(M), (11.2.15)

B = D M (D za ) = D M D(M). (11.2.16)

Hodnota "a" ve výrazu (11.2.15) je považována za celé číslo. Výraz (11.2.12) lze přijmout pro rozdělení (11.2.4) jako apriorní rozdělení pravděpodobnosti P(z), v tomto případě:

P N (z) = (b+1)
e-z(b+l) . (11.2.17)

Matematické očekávání a rozptyl z:

Z = (N+a)(b+1), (11.2.18)

D z = (N+a)(b+1) 2 . (11.2.19)

Použití výrazů (11.2.15-16):

Z = N+(1-)M, (11.2.20)

Kde  a (1-) jsou váhové koeficienty spolehlivosti odečtů N a M:

 = D(M)(DN2 +D(M)). (11.2.21)

Rozptyl a relativní střední kvadratická chyba čtení z:

Dz = D(M)
, (11.2.22)

 z 2 =1(N+MD M D(M)). (11.2.23)

Účinnost metody. Porovnání výrazů (11.2.20-23) a (11.2.5-6) ​​nám umožňuje vyhodnotit účinek použití doplňkové informace z proudu M statisticky nezávislé na N (libovolná doplňková informace).

1. Při  konst,  x 2  0, D xm  0 a rozptylu vzorků v poli M je určena pouze statistika toku:

D(M)  D M = M, z = (N+M) (+1),

 z 2  1 (N+M)<  N 2 = 1N, (11.2.24)

 =  N 2  z 2 = N  1+MN,

Což odpovídá definici z ve dvou nezávislých měřeních a efekt použití dalších informací je maximální. Tedy pro M  N,   2 a chyba měření klesá o
1,4 krát.

2. V obecném případě D xm  0, zatímco D(M) > D M a pozitivní efekt klesá. V limitu:  x  , D xm  , D(M)  ,   1, z  N,  z   N a pozitivní efekt zcela degeneruje. Ve všech ostatních případech  > 1 a  z<  N . Отсюда следует, что при наличии коррелированной информации в массиве М положительный эффект, в той или иной мере, всегда имеет место.

3. Čím větší je hodnota x = m/n, tím menší je kolísání x (hodnota  x) a tím větší je pozitivní efekt. menší než hodnota vzorků N = n. Pozitivní efekt se zvyšuje právě v těch případech, kdy je nedostatek informací obzvláště akutní: při nízkých hodnotách hustoty toku záření a/nebo expozice měření.

K podobnému efektu dojde při generování M odečtů v blízkosti aktuální body zpracování dat určením jejich průměrné hodnoty (nízkofrekvenční vyhlazení pole n). Předběžné nízkofrekvenční vyhlazování lze použít i pro statisticky nezávislé přídavné pole m, které zvýší spolehlivost předpovědních vzorků a zvýší hloubku regularizace, pokud toto vyhlazení při regularizaci podle vzorců (11.2.20 a 21) nebude ovlivnit změnu tvaru hlavního signálu. Ten je určen vztahem mezi frekvenčním spektrem hlavního signálu a vyhlazovacím operátorem.

Existují dva možné způsoby implementace rovnice (11.2.20): přímo v procesu měření metodou statistického seskupování užitečných informací (SGPI) v reálném čase, nebo metodou statistické regularizace dat (SRD), evidované v forma časové (prostorové) distribuce v paralelních polích vzorků.

^ 11.3. Regulace statistických dat.

Jak vyplývá z výrazu (11.2.21), pro praktické využití informací z doplňkových datových toků je nutné stanovit hodnoty a rozptyl D(M) a na základě jejich nastavení výrazem (11.2.11 ), musí být známa hodnota  x - relativní střední kvadratická fluktuace hodnoty x.

Ve vztahu k DRS nečiní stanovení hodnot a  x z registrovaných datových polí žádné potíže jak v celém prostoru měření, tak ve formě rozložení v Posuvné okno průměrování dat. To je ekvivalentní přivedení D xm => 0 pro aktuální bod zpracování dat na základě informací z jeho bezprostředního okolí a umožňuje maximální extrakci užitečných informací z dalších toků signálů, pokud frekvenční spektrum rozložení hodnoty x v průběhu měření prostor je mnohem menší frekvenční spektrum užitečný signál. Všimněte si, že informace o distribuci x může mít také praktický význam(zejména při gama vzorkování s přídavným tokem signálu v nízkoenergetické oblasti spektra záření - pro odhad efektivního atomového počtu hornin).

Ověření teoretických ustanovení metody SRD bylo provedeno statistickým modelováním odpovídajících datových souborů a jejich zpracováním pomocí digitálních filtrů.

Tabulka 1 ukazuje 4 skupiny výsledků zpracování podle vzorců (11.2.20-21) dvou statisticky nezávislých a konstantních průměrných hodnot datových polí n a m (modely konstantního pole) s různým nastavením DRS podle posuvu okno K z účtu aktuálních hodnot = m i / n i a Di (M) přes pole m. Aktuální bod zpracování dat je ve středu okna. Počet vzorků v každém poli je 1000, rozložení hodnot vzorků odpovídá Poissonovu zákonu. Určení předpovědních vzorků M i z pole m pro použití v rovnici (11.2.20) bylo provedeno s vyhlazováním vzorků v posuvném okně Ks nízkofrekvenčního digitálního filtru (volba bez vyhlazování při Ks = 1 ). Laplaceovo-Gaussovo váhové okno se používá jako dolní propust v algoritmu DRS (dále). Teoretická hodnota D z.t. rozptyl výsledků z byl určen výrazem (11.2.22) s výpočtem rozptylu D(M) výrazem D(M) =
. Při vyhlazování předpovědních vzorků byla vzata hodnota D M ve výrazu (11.2.22) rovna D M . = H s , kde H s je zisk vyhlazovacího filtru rozptylu šumu (součet druhých mocnin koeficientů digitálního filtru). Dále jsou v tabulce uvedeny zaznamenané průměrné hodnoty koeficientu redukce statistických fluktuací  =  n 2 / z 2 .

Tabulka 1. Statistika výsledků simulace DRS.

(Hlavní pole = 9,9, Dn = 9,7, další pole = 9,9, Dm = 9,9, 1000 impulzů.)

K c	K s	z	D z	Dz.t.		K c	K s	z	D z	Dz.t.	
3	1	9,7	5,7	6,19	1,7	11	3	9,6	3,6	3,80	2,8
5	1	9,7	5,4	5,78	1,8	11	5	9,6	3,3	3,55	3,0
11	1	9,6	5,1	5,36	1,9	11	11	9,6	3,1	3,22	3,2
21	1	9,6	5,0	5,18	2,0	11	21	9,6	3,0	3,11	3,3
51	1	9,6	5,0	5,05	2,0	11	51	9,6	3,0	2,99	3,3
3	3	9,7	4,1	4,71	2,4	3	11	9,8	4,5	4,26	2,2
5	5	9,7	3,6	4,01	2,8	5	11	9,7	3,5	3,78	2,8
11	11	9,6	3,1	3,22	3,2	11	11	9,6	3,1	3,22	3,2
21	21	9,6	2,9	2,91	3,4	21	11	9,6	3,1	3,12	3,2
51	51	9,6	2,7	2,66	3,7	51	11	9,6	3,1	2,99	3,2

Jak je vidět z údajů v tabulce, praktické výsledky rychlosti filtrace se docela dobře shodují s těmi, které se očekávají z teoretických výpočtů. Mírný pokles průměrné hodnoty z vzhledem k počáteční průměrné hodnotě n je určen asymetrií Poissonova typu modelu. Pro malé průměrné hodnoty počtu modelů v poli m to vede k určité statistické asymetrii v provozu DRS, protože pro (+ m) 2 > (- m) 2 je průměrná statistická spolehlivost doplňkových informací u vzorků M i + menší než u vzorků M i -. Tento stejný faktor zřejmě způsobuje větší rozpor mezi teoretickými a skutečnými hodnotami Dz při malých hodnotách Kc okna. Můžete si také všimnout, že podle hodnoty koeficientu  dosahuje filtrace teoretických hodnot ( 1+MN) pouze při dostatečných přesná definice hodnoty a D i (M), což vyžaduje zvětšení okna K z výpočtu těchto parametrů pro plné využití dodatečné informace.

Tabulka 2

Účinek použití doplňkových informací, plně v souladu s výrazem (11.2.22), je posílen předběžným vyhlazením statistických odchylek odečtů M i a zvýšením hodnot odečtů dodatečného pole (materiály pro druhý případ nejsou uvedeny, protože nemají žádné další informace). V polích s tichou dynamikou lze dosáhnout ještě větší hloubky regularizace počítáním hodnot a D m z vyhlazeného pole M, což umožňuje zvýšit váhu předpovědních vzorků M i. Výsledky simulace tato možnost za stejných podmínek jako u tabulky 1 jsou uvedeny v tabulce 2. Stejného efektu lze v zásadě dosáhnout přímým zavedením dodatečného váhového koeficientu do vyjádření (11.2.20) jako násobitele pro hodnotu D(M) , což umožňuje realizovat vnější kontrola hloubka regularizace.

Hodnocení zachování rozlišení užitečné informace byly filtrovány deterministické signály n a m omezujícího tvaru - ve formě obdélníkových impulsů. Byly hodnoceny dva faktory: zachování tvaru užitečného signálu a potlačení statistického šumu superponovaného na užitečný signál.

Při instalaci RDS bez zprůměrování dat přes pole M (Ks = 1, předpověď M i na základě aktuálních hodnot pole M) pro libovolné hodnoty okna Kc, výstupní pole Z opakuje pole N beze změn, tzn. nemění užitečný signál a zcela jej zachovává frekvenční charakteristiky. Samozřejmě za předpokladu, že pole M je úměrné poli N.

Když K s > 1, tvar výstupních křivek se mírně změní a je znázorněn na Obr. 11.3.1. Indexy výstupních křivek z obsahují informace o nastavení oken RDS: první číslice je okno pro výpočet rozptylu D M a aktuální hodnota (v počtu vzorkovacích bodů), druhá číslice (přes flash) je okno pro vyhlazení naměřených hodnot M pomocí Laplace-Gaussovy váhové funkce a určení předpokládaných hodnot M i. Pro srovnání s výsledky typické dolní propusti je na obrázku znázorněna křivka n25 vzorků N, vyhlazená Laplaceovou-Gaussovou váhovou funkcí s oknem 25 bodů.

Rýže. 11.3.1. Obdélníkový pulzní RDS. Počítání D m přes nevyhlazené pole M.

Na Obr. Obrázek 11.3.1a ukazuje výsledek RDS obdélníkového pulzu s hodnotou amplitudy 10 na pozadí 5 s poměrem m/n = 1 (stejné hodnoty odečtů N a M). Rozptyl DN ve vyjádření (11.2.21) byl vzat rovný hodnotě vzorků N (Poissonova statistika). Jak je vidět na obrázku, při zachování čela funkce signálu, vyhlazení předpokládaných hodnot M i vede ke vzniku zkreslení tvaru signálu na obou stranách skoku, jehož interval je větší , tím větší je hodnota K s. Amplitudová hodnota zkreslení, jak vyplývá z výrazu (11.2.21), závisí především na poměru aktuálních hodnot D N a D(M) a v menší míře na hloubce vyhlazení předpovědi. Vzorky.

Maximální hodnotu zkreslení pro body skoku lze odhadnout na základě první aproximace z následujících úvah. Hodnoty D(M) mezi body skoku se rovnají D(M) = A 2 /4, kde A je amplituda skoku, zatímco hodnoty koeficientu  pro spodní a horní body skok jsou určeny výrazy   A 2 /(4D N +A 2) , kde D N = N skokových bodů (pro Poissonovu statistiku). S predikovanou hodnotou M  N+A/2 pro spodní bod skoku a M  N-A/2 pro horní bod tedy relativní velikost změn N bude určena výrazem   1/(2N /A+A), tzn. bude tím menší, čím větší budou hodnoty A a N a tím větší bude poměr N/A, což je dobře vidět na Obr. 11.3.1c. Z tohoto výrazu také vyplývá, že maximální zkreslení skoků zavedené systémem DRS bude vždy několikanásobně menší než statistické výkyvy přímých odečtů  = 1/
na okrajích skoků.

Jak se hloubka regularizace zvyšuje zavedením výpočtu rozptylu D(M) přes vyhlazené pole M, obraz zkreslení se poněkud mění a je znázorněn na Obr. 11.3.2. Reakce RSD na vyhlazení disperze D(M) se projevuje jakousi kompenzací absolutních odchylek vzorků přímo na stranách rázu odchylkami opačného znaménka ve vzdálenější zóně od rázu. Maximální hodnoty zkreslení zůstávají přibližně na stejné úrovni jako u práce na nevyhlazené disperzi D(M), s o něco menší závislostí na zvyšování hodnot N a A.

Rýže. 11.3.2. Obdélníkový pulzní RDS. Počítání D m přes vyhlazené pole M.

V uvedených příkladech byla brána hodnota počítacího okna Kc rovna hodnotě vyhlazovací okna K s přídavného pole M. Pro K c > K s se obraz procesu prakticky nemění. Když jsou velikosti oken invertovány, vstupuje do hry druhý faktor - odchylka od skutečných počítaných hodnot aktuálních hodnot x i = m/n v malém okně Ks nad polem odečtů vyhlazeným velkým oknem K s . Při vzdálenostech od funkčního skoku větších než K c /2 se DRS přepne do preferenčního režimu pro vyhlazené hodnoty pole M, protože D(M)  0, což při K s< K s может приводить к появлению существенной погрешности – выбросов на расстояниях  К с /2 от скачков. Естественно, что при практических измерениях таких условий наблюдаться не будет и эффект резко уменьшится, но для полного его исключения вариант K c  K s можно считать предпочтительным.

Rýže. 11.3.3. RDS signálu N přes pole M. Obr. 11.3.4. Koeficient .

(Počítejte D m přes nevyhlazené pole M). (Statistický průměr za 50 cyklů)

Na Obr. 11.3.3 ukazuje příklad záznamu signálu randomizovaného modelu ve formě obdélníkového impulsu s amplitudou 40 na pozadí 10, na kterém je vidět princip činnosti DRS. Jak by se dalo očekávat, DRS vyhlazuje statistické fluktuace pozadí a signálu mimo zónu Ks od skoku, dává přednost vyhlazeným předpovědním hodnotám Mi a nemění hodnoty pozadí. a signál v této zóně kvůli prudkému nárůstu aktuálních hodnot D(M) ve výrazu (11.3.21). Změna koeficientu  ve skokové zóně, která řídí tvorbu výstupních vzorků, je znázorněna na Obr. 11.3.4 (statistický průměr za 50 randomizačních cyklů pro modelový pulz na obr. 11.3.3) a názorně ukazuje princip přizpůsobení DRS dynamice změn hodnot zpracovávaných signálů.

Statistické vyhodnocení regularizace dat na základě pravoúhlých pulzů bylo provedeno 50 cyklů randomizace počátečních polí N a M Jako příklad jsou na obrázcích 11.3.5 a 6 uvedeny výsledky zpracování statistik polí N a Z. Kromě statistiky randomizace. cyklů bylo provedeno souhrnné zpracování všech cyklů dle obecné statistiky pozadí a vrcholy pulzů. Výsledky zpracování pro stejná nastavení filtru jsou uvedeny v tabulce 3.

Rýže. 11.3.5. Statistika signálu N Obr. 11.3.6. Z Statistika signálu

(Měření nad 50 cyklů). (50 cyklů. Počítání D m za neuhlazené M)

Tabulka 3.

Statistika hodnot pozadí a špičkových pulzů (50 cyklů).

Výsledky simulace potvrdit výhodu SRD oproti jednoduché metody vyhlazování. V numerické podobě se to jasně projevuje snížením rozptylu vzorků výstupního pole Z při prakticky zachování průměrných hodnot pole N jak pro vzorky pozadí, tak pro hodnoty amplitudového signálu. Při jednoduchém vyhlazování způsobí „kolaps“ čel signálu (potlačení vysokofrekvenčních složek signálového spektra), jak by tomu mělo být při použití dolnopropustných filtrů, pokles ve vztahu k původnímu poli průměrných hodnot. při maximech a zvýšení hodnot pozadí signálu, které je větší, tím větší funguje váhové okno. Tento efekt je zvláště výrazný v intervalu okna filtru na obou stranách náhlých změn signálu.

V nepřítomnosti dalších polí M korelovaných s regulovaným polem N lze vytvoření předpovědních hodnot Mi provést pomocí nejbližších sousedství aktuálních hodnot Ni v posuvném okně Ks. Při striktně správném přístupu by aktuální bod N i neměl být zahrnut do výpočtu předpokládaných hodnot Mi, ale jak ukázal model, na výsledky regularizace to nemá prakticky žádný vliv. Při predikci Mi pro všechny body okna Ks je pole M tvořeno jakoukoli vyhlazovací metodou z pole N a všechny rysy činnosti DRS pro vyhlazená pole M, diskutované výše, zůstávají nezměněny za předpokladu, že hodnoty D m se počítají v okně Ks pomocí pole M. Aby se eliminovaly emise na obou stranách skoků užitečného signálu, musí být výpočet D m jako disperze predikovaných hodnot M i proveden přímo pomocí pole N.

Zásadní vlastností DRS je možnost sekvenčního vícenásobného filtrování dat, což může především zvýšit míru regularizace dat s minimálním zkreslením užitečného tvaru signálu. K provedení poslední velikost okno K z účtu x i a D m je nastaveno na minimum (3-5 bodů) a hloubka regularizace dat (stupeň potlačení šumu) je nastavena počtem po sobě jdoucích operací filtrování (až 3-5 průchodů) . Příklad regularizace modelového pole N ve třech průchodech je na Obr. 11.3.7.

Rýže. 11.3.7. RDS jednoho pole N (3 průchody. Počítání D m přes pole n)

Pro srovnání, tečkovaná čára na obrázku znázorňuje vyhlazení pole 5-ti bodovým Laplaceovým-Gaussovým filtrem, který má koeficient redukce šumu ekvivalentní 3-průchodovému DRS (viz obr. 11.3.9).

Obrázky 11.3.8 a 11.3.9 ukazují výsledky statistické zpracování 3-průchodový RDS pro 25 simulačních cyklů v porovnání s 1. průchodem a s 5-ti bodovým Laplaceovým-Gaussovým filtrem (křivka n5).

Rýže. 11.3.8. Statistika průměrných hodnot Obr. 11.3.9. Statistika rozptylu

(25 cyklů. Počítání D m přes pole n) (25 cyklů. Počítání D m přes pole n)

Počet průchodů může být omezen na automatický režim, např. podle střední kvadratické hodnoty korekčních odečtů z i = N i - z i v každém průchodu ve srovnání s předchozím průchodem, který nejprve prudce klesá v důsledku vyhlazovacích výkyvů a poté v závislosti na dynamice Funkce signálu se stabilizuje nebo dokonce začne narůstat v důsledku zkreslení samotného signálu.

Frekvenční reprezentace Činnost SRD je dobře patrná na Obr. 11.3.10, který ukazuje moduly spekter randomizovaného signálu ve formě meandru (průměrné hodnoty minimálně - 20, maximálně - 100, 25 period po 40 vzorcích, celkem 1000 vzorků) a výsledky jeho zpracování RDS (okno K c = 3, okno K s = 3).

Rýže. 11.3.10. Modelové moduly spekter signálu. Obr.11.3.11. Sekce spektra.

(1 – vstupní pole N, 2 – výstupní pole Z , jeden cyklus SRD,

3 – výstupní pole Z , tři cykly SRD), 4 – pole nerandomizovaného meandru).

Spektrální modul hlavního užitečného signálu (v tomto případě čisté obdélníkové vlny) je posloupnost jednotlivých frekvenčních harmonických v celém rozsahu spektra. Ve spektru náhodné čtvercové vlny jsou tyto harmonické frekvence sečteny se spektrem šumu, které je statisticky rovnoměrně rozloženo v celém frekvenční rozsah(šumové spektrum na obrázku je pro přehlednost vyhlazeno). RDS potlačuje šumové složky signálu prakticky bez ovlivnění harmonických kmitočtů meandru a bez změny jejich amplitudy. Posledně jmenované je vidět na Obr. 11.3.11, který znázorňuje segment spektra signálů ve vysokofrekvenční části hlavního rozsahu v oblasti jedné harmonické meandru (frekvenční složky šumu nejsou vyhlazeny). U 3-cyklového DRS jsou vysokofrekvenční složky šumu potlačeny téměř o řád.

Praktický příklad SRD je znázorněn na Obr. 11.3.12 při testování části studny protínající vrstvy kamenné soli na obsah sylvinitu gama zářením draslíku-40. Podle údajů z geologického odběru mají vrstvy sylvinitu v hostitelské hornině (halitu) dosti ostré hranice a obsah sylvinitu ve vrstvách je jednotný. Původní GC diagram (CsJ(Tl) detektor s olověným filtrem o tloušťce 2 mm) a výsledky filtrace původního GC datového pole pomocí DRS a dolní propusti s Laplaceovým-Gaussovým váhovým oknem jsou na Obr. 11.3.12.

Rýže. 11.3.12. BG diagramy.

Výsledky interpretace GC diagramů se symetrickým dekonvolučním digitálním filtrem (okno 13 bodů) jsou na Obr. 11.3.13. Jak je vidět na obrázku, dekonvoluce z nevyhlazeného GC diagramu poskytuje významné odchylky v obsahu sylvinitu ve vrstvách. Použití nízkofrekvenčního filtrování GC diagramu odstraňuje kolísání obsahu uvnitř vrstev, ale výrazně vyhlazuje hranice vrstev. Použití SRD nám umožňuje tento nedostatek odstranit.

Rýže. 11.3.13. Výsledky interpretace BG diagramů.

Na závěr poznamenáváme, že DRS lze použít k regularizaci nejen dat jaderné fyziky, ale i jakýchkoli jiných číselná pole kontinuální měření, pokud je jejich korelační poloměr alespoň 3-5 počtů. Jako příklad na Obr. Obrázek 11.3.14 ukazuje akustický záznamový diagram zaznamenaný s krokem vzorkování dat 20 cm, vyhlazený SRD bez ztráty prostorového rozlišení.

Rýže. 11.3.14. Schéma akustického záznamu a výsledek jeho zpracování RDS

(5 cyklů, Kc = Ks = 3, fyzické okno 0,6 m).

Kurz 17-07. Modernizace adaptivního filtru pro vyhlazování dat statisticky rozdělených podle Poissonova zákona.

^ 11.3. Statistické seskupování užitečných informací.

Pokud jde o hardwarové metody pro implementaci SGPI, lze jej provádět v reálném čase, pokud je informace reprezentována proudem pulzů a hlavním informativním parametrem je frekvence opakování pulzů.

Podstata hardwarové implementace spočívá ve statistickém (téměř statistickém) normalizovaném vzorkování pulsů z přídavného toku m a jejich sčítání s hlavním tokem n s nastavením podmínek vzorkování ve vztahu k frekvenci opakování pulsů v tocích. Za předpokladu, že pro kontinuální režim měření M+1 = M přepíšeme výraz (5.2.20) s dosazením hodnoty  do následujícího tvaru:

Z = N+ (M/-N)-M/(M+D(M)). (11.3.1)

Vynásobme levou a pravou stranu výrazu normalizačním multiplikačním faktorem výstupního proudu K = l+R:

Z = Kz= N + RN+(M/-N) KM/(M+D(M). (11.3.2)

Nahraďte vzorky RN vzorkem signálů z proudu m:

RN = P v M, (11.3.3)

Kde P in je pravděpodobnost vzorkování signálů z proudu m. Pokud je pravděpodobnost vzorkování signálu udržována rovna hodnotě

Pin = R/, (11.3.4)

Poté se uskuteční

M/-N = P v M/R-N  0, (11.3.5)

A podle toho pro výraz (11.3.2) máme:

(M/-N)·KM/(M+D(M)  0, (11.3.6)

Z = N+P v M ​​ N+RN. (11.3.7)

Pokud je hodnota x statisticky nezávislá na četnosti průtoků n a m, platí uvedené výrazy při stanovení hodnoty jak v celém prostoru měření, tak pro posuvná okna aktuálních hodnot v určitých intervalech předchozích měření. Platí i opačný závěr: jestliže se v určitém intervalu měření (11.3.5) výraz (11.3.5) stane nulovým, pak stanovená pravděpodobnost vzorkování odpovídá podmínce (11.3.4). Na tomto principu lze provést hardwarovou implementaci SGPI s automatickou adaptací na podmínky měření: řízení procesu vzorkování pulzů z proudu m a jejich nasměrování na sumaci s proudem n podle zpětnovazebních signálů ze zařízení, které monitoruje návrat k nule. výrazu (11.3. 5).

Vlastnosti hardwarové implementace SGPI s automatickým přizpůsobením podmínkám měření jsou následující.

Hodnota vzorkovací pravděpodobnosti P in nemůže být větší než 1. Z (11.3.3) vyplývá, že pro libovolné intervaly měření musí být splněna podmínka M ≥ RN, a tudíž podmínka ≥ R musí být splněna po celou dobu měření. prostor, který určuje volbu koeficientu R Hodnota koeficientu R zásadně omezuje stupeň pozitivní efekt SGPI (k max  1+R), na rozdíl od SRD, kde takové omezení není.

Relativní statistická chyba měření výstupního proudu vzorků Z odpovídá výrazu (11.2.23) za předpokladu, že hodnota P in je konstantní, tzn. při nastavení hodnoty P v průměrné hodnotě veličiny jako celku přes měřicí prostor. Při automatickém přizpůsobení podmínkám měření je hodnota pravděpodobnosti P v aktuální průměrné hodnotě podílu n/m určitého předchozího intervalu měření rovněž statisticky kolísající hodnotou s distribučním rozptylem (bez zohlednění změn skutečné hodnoty x) :

Dp = R2 (n+m)n/(m3T), (11.3.8)

Kde T je interval průměrování informací při určování aktuální hodnoty. V souladu s tím rozptyl a střední kvadratická chyba aktuálních hodnot Z:

Dz = DN + P v DM + M2Dp = N+P v M+M2Dp, (11.3.9)

z2 = (N+P v M+M2Dp)/(N+P v M)2. (11.3.10)

Při konstantním měření expozice  se pozitivní účinek zvyšuje se zvyšující se hodnotou T:

K = K2/(K+R2(n+m)/mT). (11.3.11)

K max  1+R,  z 2  1/(N+P v M) při T  . (11.3.12)

V obecném případě, vezmeme-li v úvahu střední čtvercovou chybu predikce  xi hodnot x i pro aktuální měřicí body na základě hodnot v předchozích intervalech při T > :

Dz = N+P v M+M2 (Dp+P v 2xi2). (11.3.13)

Tvorba hodnoty P na základě informací o průměrných hodnotách intervalů měření předcházejících tomu aktuálnímu určuje SGPI jako dynamický systém s odpovídající časovou konstantou odezvy na změny podmínek měření. Vzhledem k tomu, že za prvé pro jakýkoli bod v měřicím prostoru musí být splněna podmínka m > nR a za druhé, zvětšení intervalu T vede ke zvýšení reakční doby na změny podmínek měření, je vhodné omezit hodnotu T na hodnotu řádově (5-10) aktuálních expozičních hodnot. Čím nižší je prostorová frekvence distribuce x vzhledem k distribuci n, tím vyšší hodnotu T je přijatelné.

Implementace systémů SGPI značně usnadněna čistě praktickými omezeními cílová: získání maximálního pozitivního efektu v extrémně nepříznivých podmínkách měření (při nízkých hodnotách zaznamenané hustoty toku záření, při vysokých rychlostech měření) s degenerací pozitivního efektu, jak se statistická chyba měření v hlavním toku snižuje. Pokud se tedy například při downhole gama testování statistická chyba v měření hlavního toku signálu v oblastech se zvýšenou intenzitou záření sníží na 2-3 %, pak její další snižování nemá praktický význam, protože Hlavní chyba protokolování radiometrických zařízení obvykle nepřesahuje 5 %.

Použití tohoto cílového omezení umožňuje aplikovat tvorbu parametru P nikoli v klouzavém okně časového nebo prostorového průměrování informace, ale podle určitého registrovaného objemu předchozích informací, tzn. s automatickou změnou intervalu průměrování informace a řídicí konstanty P in v závislosti na frekvenci signálových toků, přičemž množství informace tvořící P in lze nastavit s přihlédnutím k povaze změn velikosti a přípustné hodnoty dynamického měření chyba.

Abychom tuto možnost implementovali, transformujeme výraz (11.3.5) přes interval průměrování t do tvaru:

P v mt/R-nt+Q = q, (11.3.14)

Pin = nR/m = q/, (11.3.15)

Q  Q v t  ,

Kde Q- průměrná úroveň posunutí numerického ekvivalentu zpětnovazebního signálu systému ARC - automatická regulace pravděpodobnost vzorkování P in, při kterém je zajištěno splnění rovnosti (11.3.15),  je koeficient úměrnosti transformace digitální signál ARV v signálu R in. Diferenciální rovnice pro automatický řídicí systém:

Dq/dt = n-mq/R. (11.3.16)

Řešení diferenciální rovnice at počáteční podmínky t = 0 a q = O (přechodová funkce AVR):

Q = R(n/m) . (11.3.17)

Pin = R(n/m) = R(n/m). (11.3.18)

Jak je z těchto výrazů patrné, hodnota zpětnovazebního signálu ARC je úměrná poměru (n/m) průtokových frekvencí a časová konstanta ARC R/m je přímo úměrná hodnotě převodního koeficientu  s nepřímou úměrností k hodnotě frekvence přídavného průtoku m, stejně jako, s přihlédnutím k (11.3.15), přímo úměrné aktuální hodnotě zpětnovazebního signálu q s nepřímou úměrností k hodnotě hlavního průtoku frekvence n. První je zcela ekvivalentní druhému při (n/m)  konst a q = Rn/m  Q. V první aproximaci pomocí výrazu (11.3.8) a ekvivalence hodnoty statistických fluktuací při T≈ 2 pro posuvná obdélníková časová okna a okna měřiče intenzity s exponenciální přechodovou funkcí, pro relativní fluktuace hodnoty P v získáme:

 р 2 = (n+m)/(2Rn)= (n+m)/(2qm). (11.3.19)

Výraz platí pro přímé měření poměru (n/m) 2-intenzimetrem a je maximálním odhadem. Pro přesnější posouzení je třeba vzít v úvahu, že měřič intenzity je v tomto případě zařízení s negativní zpětnou vazbou přes okruh ARV, což poněkud snižuje hodnotu kolísání. Přesné posouzení lze provést pomocí Campbellova vzorce pro rozptyl náhodná proměnná x(t), vytvořený sečtením impulsů Poissonova toku, zvlášť pro průtok n při m = konst a průtok m při n = konst, následovaný sečtením druhých mocnin relativní střední kvadratické hodnoty fluktuace. Pro níže uvedené schéma tedy získaná hodnota je  p 2 ≈ (R+1)m/(2nR 2).

Při volbě hodnoty koeficientu R ≤ (m/n) min pro prostor měření pomocí výrazu (11.3.19) se parametry automatického řídicího systému (koeficient  a průměrná hodnota Q pro prostorově průměrnou hodnotu) poměru n/m) lze nastavit pod nastavená hodnota přípustné kolísání pravděpodobnosti vzorkovacích impulsů P v:

 ≤ (l+(m/n) max)/(2R p 2). (11.3.20)

Během procesu měření AVR provádí plynulé přizpůsobování aktuálním podmínkám měření (nq, m mR, P in  q/) s regulací aktuální hodnoty P in podle množství informace q = (n/m) R = n předchozího intervalu měření odpovídající změnou integrační časové konstanty této informace v závislosti na změně frekvencí toků signálů. Když n/m  const má druhý absolutní charakter:  p  const,   (l/n + l/m)/(2 p 2).

Je třeba poznamenat, že v mnoha geofyzikálních metodách jsou docela příznivé podmínky pro použití jak SGPI, tak DRS. Takže například ve vztahu k downhole gama testování s extrakcí dalších informací z nízkoenergetické části spektra záření jsou podmínky pro docela přesnou reakci na změny parametru podél vrtu velmi dobré, protože hlavním faktorem kolísání hodnot x je efektivní atomové číslo média, kolísá v malém rozsahu s nízkou prostorovou frekvencí kolísání a v zónách aktivních hornin, kde je nejvíce potřeba vysoká přesnost interpretace výsledků měření a významné změny atomového čísla hornin jsou možné, v důsledku zvýšení hustoty radiačního toku se časová konstanta ARV výrazně sníží a prostorové rozlišení měření se odpovídajícím způsobem zvýší. Podobné podmínky jsou zpravidla typické i pro jiné metody jaderné geofyziky.

Příklad implementace systému SGPI pro dva toky pulzního signálu je znázorněno na Obr. 11.3.1. Funkční schéma SGPI obsahuje reverzibilní čítač pulsů 1, na jehož součtový vstup jsou napájeny impulsy hlavního toku n a na odčítací vstup jsou napájeny pulsy přídavného toku m, které nejprve procházejí obvodem vzorkování pulsů. 3 a protidělič 4 opakovací frekvence pulsu s přepočtem R koeficientu.

Rýže. 11.3.1. Základní funkční schéma SGPI.

1 - reverzní čítač impulzů, 2 - blok generování signálu vzorkování impulzů, 3 - obvod vzorkování impulzů, 4 - protifrekvenční dělič na R, 5 - blok sčítání impulzů průtoku.
Informace o stavu čítače 1 (signál q) z výstupů čítače je přiváděna do bloku generujícího pulzní vzorkovací signál 3. V nejjednodušším případě může být tímto blokem prahové zařízení (na základě číselného kódu Q), které otevírá okruhu 3, ale vzorkování má v tomto případě charakter blízký statistickému, pouze pro dostatečně malé rozdíly v četnostech průtoků n a m/R (řádově n

Impulsy hlavního proudu n a vzorkovací impulsy z proudu m, jejichž frekvence je rovna P v m = R·n, jsou přiváděny na vstup bloku 5 pro sčítání toků signálů. Intenzita pulzního toku na výstupu bloku 5 je z = n+P v m = (1+R)n. Blok 5 může obsahovat přepočítací obvod s koeficientem K=(1+R), přičemž výstupní tok bude redukován na měřítko hlavního proudu n a bude možné synchronně přepínat převodní faktory schémat 4 a 5 pro různé podmínky měření, při nastavení optimální hodnoty koeficientu R lze přepnout do automatického režimu s řízením na základě aktuální hodnoty (v určitém intervalu) informačního kódu obvodu 1. Alternativním řešením je přivádět proud impulsů z obvodu 1. výstup okruhu 4 na součtový vstup okruhu 5, přičemž frekvence průtoku z bude vždy 2krát větší než průtok n.

Na okraj poznamenáme, že při výstupu informace q = R(n/m) v digitálním kódu z čítače 1 může tento obvod plnit funkce univerzálního digitálního měřiče intenzity: průměrná frekvence pulzů (n-var, m-const od generátor hodinové frekvence), průměrný časový interval mezi pulzy (m-var, n-konst) a frekvenční poměr n/m dvou statisticky rozdělených pulzních toků.

literatura

38. Adaptivní filtry. /Ed. C. F. N. Cowan a P. M. Grant. – M.: Mir, 1988, 392 s.

43. Ayficher E., Jervis B. Digitální zpracování signálu. Praktický přístup. / M., "Williams", 2004, 992 s.

Úvod
Při hledání optimálních algoritmů pro zpracování signálů se člověk nevyhnutelně musí spoléhat na některé statistické modely signálů a šumu. Nejběžnějšími pojmy používanými k formulaci těchto modelů jsou linearita, stacionarita a normalita. Ne vždy se však uvedené zásady v praxi dodržují a kvalita příjmu signálu do značné míry závisí na adekvátnosti zvoleného modelu. Možným řešením problému je použití adaptivních filtrů, které umožňují systému přizpůsobit se statistickým parametrům vstupního signálu bez nutnosti specifikace jakýchkoli modelů. Adaptivní filtry, které se objevily na konci 50. let 20. století, ušly dlouhou cestu a proměnily se z exotické technologie využívané především pro vojenské účely ve „spotřební produkt“, bez kterého by byl provoz modemů, mobilních telefonů a mnoha dalšího nyní nemyslitelný.


Základní myšlenka adaptivního zpracování signálu
Obecná struktura adaptivního filtru je znázorněna na Obr. 1.
Vstupní diskrétní signál x(k) je zpracován diskrétním filtrem a výsledkem je výstupní signál y(k). Tento výstupní signál je porovnáván s referenčním signálem d(k), rozdíl mezi nimi tvoří chybový signál e(k). Úkolem adaptivního filtru je minimalizovat chybu při reprodukci referenčního signálu. Za tímto účelem adaptační blok po zpracování každého vzorku analyzuje chybový signál a další data přicházející z filtru, přičemž výsledky této analýzy využívá k úpravě parametrů filtru. Je možná i jiná možnost přizpůsobení, ve které není použit referenční signál. Tento provozní režim se nazývá slepá adaptace. Samozřejmě jsou v tomto případě vyžadovány určité informace o struktuře užitečného vstupního signálu (například znalost typu a parametrů použité modulace).
Použití adaptivních filtrů
Identifikace systému
Všechny způsoby použití adaptivních filtrů tak či onak vedou k vyřešení problému identifikace, tedy určení charakteristik určitého systému. Existují dvě možnosti identifikace: přímá a zpětná. V prvním případě je adaptivní filtr zapnut paralelně se studovaným systémem (obr. 3, a). Vstupní signál je společný pro studovaný systém a adaptivní filtr a výstupní signál systému slouží jako referenční signál pro adaptivní filtr. Během adaptačního procesu budou časové a frekvenční charakteristiky filtru směřovat k odpovídajícím charakteristikám studovaného systému. Při zpětné identifikaci se adaptivní filtr zapíná v sérii se zkoumaným systémem (obr. 3, b). Výstupní signál systému je přiváděn na vstup adaptivního filtru a vstupní signál systému je vzorkem pro adaptivní filtr. Filtr se tedy snaží kompenzovat vliv systému a obnovit původní signál, čímž eliminuje zkreslení způsobené systémem.


Rýže. 3. Identifikace systémů pomocí adaptivního filtru: a - přímý, b - zpětný
Redukce hluku
Předpokládejme, že je nutné poskytnout pilotovi letadla nebo řekněme řidiči traktoru systém hlasové komunikace. V tomto případě bude řečový signál vnímaný mikrofonem nevyhnutelně velmi hlučný se zvuky běžícího motoru atd. Není možné se tohoto hluku zbavit, ale můžete získat vzorek šumového signálu instalací druhého mikrofon v těsné blízkosti motoru (nebo jiného zdroje hluku). Tento šum samozřejmě nelze jednoduše odečíst od řečového signálu, protože na cestě ke dvěma mikrofonům šum sleduje různé cesty, a proto podléhá různým zkreslením (obr. 4). Procesy náhodného šumu zachycené dvěma mikrofony však budou korelovány, protože pocházejí ze společného zdroje. Zároveň je zřejmé, že šumový signál nekoreluje s užitečným řečovým signálem.


Rýže. 4. Redukce šumu pomocí adaptivního filtru.
Zarovnání odkazu
Při přenosu přes komunikační kanál informační signál nevyhnutelně podléhá určitému zkreslení. V digitálních komunikačních systémech mohou tato zkreslení vést k chybám při příjmu digitálních dat. Aby se snížila pravděpodobnost chyb, je nutné kompenzovat vliv komunikačního kanálu, to znamená vyřešit problém zpětné identifikace. Ve frekvenční doméně kompenzace zkreslení zaváděná kanálem znamená vyrovnání jeho frekvenční odezvy, a proto se filtry, které takové vyrovnání provádějí, nazývají ekvalizéry. Při použití adaptivního filtru jako ekvalizéru vzniká problém se získáním referenčního signálu. Tento problém je vyřešen odesláním speciálního nastavovacího signálu před zahájením přenosu dat. Po skončení nastavovacího signálu začíná vlastní přenos dat. Přijímač se poté přepne do jiného režimu zvaného vyhodnocovací režim. Po přijetí dalšího časového údaje je vyhledána přípustná hodnota nejbližší přijímanému signálu. Používá se jako referenční signál a rozdíl mezi touto hodnotou a přijatým signálem udává chybový signál použitý pro adaptaci.


Zrušení echa
Tato technologie, stejně jako ekvalizace kanálů, je široce používána v moderních modemech. Vysokorychlostní modemy pro telefonní komunikační linky pracují v duplexním režimu, to znamená, že vysílají a přijímají data současně, přičemž pro vysílání i příjem se používá stejné frekvenční pásmo. Signál z vlastního vysílače však v tomto případě nevyhnutelně uniká do přijímače a narušuje jeho činnost. Uniklý signál se může šířit různými způsoby a získávat předem neznámá zkreslení. Signál ozvěny můžete potlačit pomocí adaptivního filtru. V tomto případě je vyřešen problém přímé identifikace cesty šíření ozvěny. Vstup adaptivního filtru přijímá signál z modemového vysílače a přijatý signál obsahující ozvěnu se používá jako referenční signál. Adaptivní filtr generuje odhad signálu ozvěny a chybový signál představuje přijatý signál zbavený ozvěny. Aby systém potlačení ozvěny fungoval správně, musí být přenášené a přijímané signály nekorelované. Vstupní data vstupující do modemu pro přenos jsou proto nejprve zakódována, to znamená převedena do pseudonáhodného bitového toku. V tomto případě používají dva interagující modemy různé scramblery, což zajišťuje nekorelaci.