Domov › Sazby › Signály a lineární systémy. Poznámky k přednášce: Korelace, autokorelace, vzájemná korelace. Vlastnosti autokorelačních a vzájemných korelačních funkcí

Signály a lineární systémy. Poznámky k přednášce: Korelace, autokorelace, vzájemná korelace. Vlastnosti autokorelačních a vzájemných korelačních funkcí

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Signály a lineární systémy. Korelace signálů

Téma 6. KORELACE SIGNÁLŮ

Extrémní strach a extrémní zápal odvahy podobně rozrušují žaludek a způsobují průjem.

Michel Montaigne. Francouzský právník-myslitel, 16. století.

Toto je číslo! Tyto dvě funkce mají 100% korelaci s třetí a jsou navzájem ortogonální. Všemohoucí měl při stvoření světa vtipy.

Anatolij Pyšmincev. Novosibirský geofyzik Uralské školy, 20. století.

1. Autokorelační funkce signálů. Koncept autokorelačních funkcí (ACF). ACF časově omezených signálů. ACF periodických signálů. Autokovarianční funkce (ACF). ACF diskrétních signálů. ACF šumových signálů. ACF kódových signálů.

2. Křížové korelační funkce signálů (CCF). Křížová korelační funkce (CCF). Vzájemná korelace šumových signálů. VCF diskrétních signálů. Odhad periodických signálů v šumu. Funkce vzájemných korelačních koeficientů.

3. Spektrální hustoty korelačních funkcí. Spektrální hustota ACF. Interval korelace signálu. Spektrální hustota VKF. Výpočet korelačních funkcí pomocí FFT.

úvod

Korelace a její speciální případ pro centrované signály - kovariance, je metoda analýzy signálu. Uvádíme jednu z možností využití metody. Předpokládejme, že existuje signál s(t), který může (ale nemusí) obsahovat nějakou posloupnost x(t) konečné délky T, jejíž časová poloha nás zajímá. Pro hledání této sekvence v časovém okně délky T klouzajícím podél signálu s(t) jsou vypočteny skalární součiny signálů s(t) a x(t). Požadovaný signál x(t) tedy „aplikujeme“ na signál s(t), kloužeme po jeho argumentu a hodnotou skalárního součinu odhadneme míru podobnosti signálů v bodech srovnání.

Korelační analýza umožňuje stanovit v signálech (nebo v sériích digitálních dat signálů) přítomnost určité souvislosti mezi změnami hodnot signálu na nezávislé proměnné, to znamená, když velké hodnoty jednoho signálu (relativní k průměrným hodnotám signálu) jsou spojeny s velkými hodnotami jiného signálu (pozitivní korelace), nebo naopak malé hodnoty jednoho signálu jsou spojeny s velkými hodnotami jiného signálu (negativní korelace), nebo údaje dva signály spolu nijak nesouvisí (nulová korelace).

Ve funkčním prostoru signálů může být tento stupeň spojení vyjádřen v normalizovaných jednotkách korelačního koeficientu, tj. v kosinu úhlu mezi signálovými vektory, a podle toho bude nabývat hodnot od 1 (úplná shoda signály) na -1 (úplný opak) a nezávisí na hodnotě (stupnici) jednotek měření.

V autokorelační verzi se podobná technika používá k určení skalárního součinu signálu s(t) s jeho vlastní kopií klouzající podél argumentu. Autokorelace umožňuje odhadnout průměrnou statistickou závislost aktuálních vzorků signálu na jejich předchozích a následujících hodnotách (tzv. korelační poloměr hodnot signálu) a také identifikovat přítomnost periodicky se opakujících prvků v signálu.

Korelační metody jsou zvláště důležité při analýze náhodných procesů pro identifikaci nenáhodných složek a hodnocení nenáhodných parametrů těchto procesů.

Všimněte si, že existuje určitý zmatek ohledně termínů „korelace“ a „kovariance“. V matematické literatuře se termín „kovariance“ používá pro centrované funkce a „korelace“ pro libovolné. V odborné literatuře a zejména v literatuře o signálech a způsobech jejich zpracování se často používá přesně opačná terminologie. To nemá zásadní význam, ale při seznamování se s literárními zdroji stojí za to věnovat pozornost akceptovanému účelu těchto termínů.

6.1. Autokorelační funkce signálů.

Pojem autokorelačních funkcí signálů . Autokorelační funkce (CF - correlation function) signálu s(t), energie konečné, je kvantitativní integrální charakteristika tvaru signálu, identifikující v signálu povahu a parametry vzájemného časového vztahu vzorků, ke kterému vždy dochází. pro periodické signály, stejně jako interval a stupeň závislosti čtených hodnot v aktuálním čase na předchozí historii aktuálního okamžiku. ACF je určen integrálem součinu dvou kopií signálu s(t), vzájemně posunutých o čas t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Jak vyplývá z tohoto výrazu, ACF je skalární součin signálu a jeho kopie ve funkční závislosti na proměnné hodnotě posunu t. V souladu s tím má ACF fyzikální rozměr energie a při t = 0 je hodnota ACF přímo rovna energii signálu a je maximální možná (kosinus úhlu interakce signálu se sebou samým je roven 1 ):

Bs(0) = s(t)2 dt = Es.

ACF odkazuje na sudé funkce, což lze snadno ověřit nahrazením proměnné t = t-t ve výrazu (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Maximální ACF, rovnající se energii signálu v t=0, je vždy kladné a modul ACF při žádné hodnotě časového posunu nepřekročí energii signálu. Ten vyplývá přímo z vlastností skalárního součinu (stejně jako Cauchyho-Bunyakovského nerovnost):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 při t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Jako příklad na Obr. 6.1.1 ukazuje dva signály - obdélníkový puls a rádiový puls o stejné délce T a tvary jejich ACF odpovídající těmto signálům. Amplituda oscilací rádiového pulsu je nastavena stejně jako amplituda obdélníkového pulsu, zatímco energie signálu budou také stejné, což potvrzují stejné hodnoty centrálních maxim ACF. Pro konečné doby trvání pulsu jsou doby trvání ACF také konečné a rovnají se dvojnásobku trvání pulsů (když je kopie konečného pulsu posunuta o interval jeho trvání, jak doleva, tak doprava, součin pulz s jeho kopií se rovná nule). Frekvence kmitů ACF rádiového pulsu je rovna frekvenci oscilací plnění rádiového pulsu (laterální minima a maxima ACF nastávají pokaždé s postupnými posuny kopie rádiového pulsu o polovinu periody kmitání jeho plnění).

Při dané paritě se grafické znázornění ACF obvykle provádí pouze pro kladné hodnoty t. V praxi jsou signály obvykle specifikovány v intervalu hodnot kladných argumentů od 0-T. Znaménko +t ve výrazu (6.1.1) znamená, že jak se hodnoty t zvyšují, kopie signálu s(t+t) se posouvá doleva podél osy t a přesahuje 0. U digitálních signálů, to vyžaduje odpovídající rozšíření dat do oblasti hodnot záporných argumentů. A protože ve výpočtech je interval pro specifikaci t obvykle mnohem menší než interval pro specifikaci signálu, je praktičtější posunout kopii signálu doleva podél osy argumentu, tj. místo toho použít funkci s(t-t). s(t+t) ve vyjádření (6.1.1)).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

U konečných signálů, jak se hodnota posunu t zvyšuje, dočasné překrytí signálu s jeho kopií se zmenšuje, a proto kosinus úhlu interakce a skalární součin jako celek mají tendenci k nule:

ACF vypočítaná z hodnoty centrovaného signálu s(t) je autokovariance funkce signálu:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

kde ms je průměrná hodnota signálu. Kovarianční funkce souvisí s korelačními funkcemi poměrně jednoduchým vztahem:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF časově omezených signálů. V praxi jsou signály vydávané v určitém intervalu obvykle studovány a analyzovány. Pro porovnání ACF signálů specifikovaných v různých časových intervalech nachází praktické uplatnění modifikace ACF s normalizací na délku intervalu. Takže například při specifikaci signálu na intervalu:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

ACF lze také vypočítat pro slabě tlumené signály s nekonečnou energií, jako průměrnou hodnotu skalárního součinu signálu a jeho kopie, když má interval nastavení signálu tendenci k nekonečnu:

Bs(t) = . (6.1.4)

ACF má podle těchto výrazů fyzikální rozměr výkonu a rovná se průměrnému vzájemnému výkonu signálu a jeho kopie, funkčně v závislosti na posunu kopie.

ACF periodických signálů. Energie periodických signálů je nekonečná, proto se ACF periodických signálů vypočítává za jednu periodu T, přičemž se zprůměruje skalární součin signálu a jeho posunuté kopie během periody:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Matematicky přesnější výraz:

Bs(t) = .

Při t=0 je hodnota ACF normalizovaná na periodu rovna průměrné síle signálů v periodě. V tomto případě je ACF periodických signálů periodickou funkcí se stejnou periodou T. Pro signál s(t) = A cos(w0t+j0) při T=2p/w0 tedy máme:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Získaný výsledek nezávisí na počáteční fázi harmonického signálu, která je typická pro jakékoli periodické signály a je jednou z vlastností ACF. Pomocí autokorelačních funkcí můžete zkontrolovat periodické vlastnosti v libovolných signálech. Příklad autokorelační funkce periodického signálu je na Obr. 6.1.2.

Autokovarianční funkce (ACF) se vypočítají podobně s použitím vycentrovaných hodnot signálu. Pozoruhodnou vlastností těchto funkcí je jejich jednoduchý vztah k disperzi ss2 signálů (druhá mocnina standardu - směrodatná odchylka hodnot signálu od průměrné hodnoty). Jak je známo, hodnota disperze se rovná průměrnému výkonu signálu, který následuje:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Hodnoty FAC normalizované na hodnotu rozptylu jsou funkcí autokorelačních koeficientů:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2° cos j(t). (6.1.8)

Tato funkce se někdy nazývá „pravá“ autokorelační funkce. Díky normalizaci jeho hodnoty nezávisí na jednotkách (měřítku) reprezentace hodnot signálu s(t) a charakterizují míru lineárního vztahu mezi hodnotami signálu v závislosti na velikosti posunu t mezi signálem Vzorky. Hodnoty rs(t) º cos j(t) se mohou lišit od 1 (úplná přímá korelace naměřených hodnot) do -1 (inverzní korelace).

Na Obr. 6.1.3 ukazuje příklad signálů s(k) a s1(k) = s(k)+šum s koeficienty FAK odpovídajícími těmto signálům - rs a rs1. Jak je vidět na grafech, FAK sebevědomě odhalil přítomnost periodických oscilací v signálech. Šum v signálu s1(k) snížil amplitudu periodických oscilací bez změny periody. To potvrzuje i graf křivky Cs/ss1, tedy FAC signálu s(k) s normalizací (pro srovnání) na hodnotu rozptylu signálu s1(k), kde je jasně vidět, že šumové pulsy , s naprostou statistickou nezávislostí jejich odečtů, způsobily nárůst hodnoty Сs1(0) ve vztahu k hodnotě Cs(0) a poněkud „rozmazaly“ funkci autokovariančních koeficientů. To je způsobeno tím, že hodnota rs(t) šumových signálů má tendenci k 1 v t ® 0 a kolísá kolem nuly v t ≠ 0, zatímco amplitudy kolísání jsou statisticky nezávislé a závisí na počtu vzorků signálů (např. s rostoucím počtem vzorků mají tendenci k nule).

ACF diskrétních signálů. Když je interval vzorkování dat Dt = const, výpočet ACF se provádí přes intervaly Dt = Dt a je obvykle zapsán jako diskrétní funkce čísel n posunu vzorku nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Diskrétní signály jsou obvykle specifikovány ve formě číselných polí určité délky s číslováním vzorků k = 0,1,...K při Dt = 1 a výpočet diskrétního ACF v energetických jednotkách se provádí v jednosměrné verzi, s přihlédnutím k délce polí. Pokud se použije celé pole signálů a počet vzorků ACF se rovná počtu vzorků pole, výpočet se provede podle vzorce:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Multiplikátor K/(K-n) v této funkci je korekční faktor pro postupný pokles počtu vynásobených a sečtených hodnot s rostoucím posunem n. Bez této korekce pro nevystředěné signály se v hodnotách ACF objeví trend součtu průměrných hodnot. Při měření v jednotkách výkonu signálu je násobič K/(K-n) nahrazen násobitelem 1/(K-n).

Vzorec (6.1.10) se používá poměrně zřídka, hlavně pro deterministické signály s malým počtem vzorků. U náhodných a zašuměných signálů vede snížení jmenovatele (K-n) a počtu násobených vzorků s rostoucím posunem ke zvýšení statistických fluktuací ve výpočtu ACF. Větší spolehlivost za těchto podmínek poskytuje výpočet ACF v jednotkách výkonu signálu pomocí vzorce:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 při k-n< 0, (6.1.11)

tj. s normalizací o konstantní faktor 1/K a s rozšířením signálu o nulové hodnoty (doleva při použití k-n posunů nebo doprava při použití k+n posunů). Tento odhad je zkreslený a má o něco menší rozptyl než podle vzorce (6.1.10). Rozdíl mezi normalizacemi podle vzorců (6.1.10) a (6.1.11) je dobře vidět na Obr. 6.1.4.

Vzorec (6.1.11) lze považovat za zprůměrování součtu součinů, tedy za odhad matematického očekávání:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

V praxi má diskrétní ACF stejné vlastnosti jako kontinuální ACF. Je také sudý a jeho hodnota při n = 0 se rovná energii nebo výkonu diskrétního signálu v závislosti na normalizaci.

ACF šumových signálů . Šumový signál je zapsán jako součet v(k) = s(k)+q(k). Obecně šum nemusí mít nulovou průměrnou hodnotu a výkonově normalizovaná autokorelační funkce digitálního signálu obsahujícího N vzorků je zapsána následovně:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + +. (6.1.13)

Se statistickou nezávislostí užitečného signálu s(k) a šumu q(k) s přihlédnutím k rozšíření matematického očekávání

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

lze použít následující vzorec:

Bv(n) = Bs(n) + 2 +. (6.1.13")

Příklad zašuměného signálu a jeho ACF v porovnání s nešumovým signálem je na Obr. 6.1.5.

Ze vzorců (6.1.13) vyplývá, že ACF šumového signálu se skládá z ACF signálové složky užitečného signálu s funkcí superponovaného šumu, která klesá na hodnotu 2+. Pro velké hodnoty K, když → 0, Bv(n) » Bs(n). To umožňuje nejen identifikovat periodické signály z ACF, které jsou téměř zcela skryty v šumu (výkon šumu je mnohem větší než výkon signálu), ale také s vysokou přesností určit jejich periodu a tvar v periodě a pro jednofrekvenční harmonické signály jejich amplitudu pomocí výrazů (6.1.6).

	Barkerův signál	ACF signálu





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Kódové signály jsou typem diskrétních signálů. V určitém intervalu kódového slova M×Dt mohou mít pouze dvě hodnoty amplitudy: 0 a 1 nebo 1 a –1. Při identifikaci kódů s významnou hladinou šumu má tvar ACF kódového slova zvláštní význam. Z tohoto pohledu jsou nejlepší kódy, jejichž hodnoty ACF postranního laloku jsou minimální po celé délce intervalu kódového slova s maximální hodnotou centrálního píku. Mezi takové kódy patří Barkerův kód uvedený v tabulce 6.1. Jak je vidět z tabulky, amplituda centrálního vrcholu kódu je číselně rovna hodnotě M, zatímco amplituda bočních oscilací v n¹ 0 nepřesahuje 1.

6.2. Křížové korelační funkce signálů.

Křížová korelační funkce (CCF) různých signálů (cross-correlation function, CCF) popisuje jak stupeň podobnosti tvaru dvou signálů, tak jejich vzájemnou relativní polohu podél souřadnice (nezávislá proměnná). Zobecněním vzorce (6.1.1) autokorelační funkce na dva různé signály s(t) a u(t) získáme následující skalární součin signálů:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Křížová korelace signálů charakterizuje určitou korelaci jevů a fyzikálních procesů odrážených těmito signály a může sloužit jako měřítko „stability“ tohoto vztahu, když jsou signály zpracovávány odděleně v různých zařízeních. Pro signály s konečnou energií je VCF také konečný a:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

což vyplývá z Cauchy-Bunyakovského nerovnosti a nezávislosti signálových norem na souřadnicovém posunu.

Při nahrazení proměnné t = t-t ve vzorci (6.2.1) získáme:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Z toho vyplývá, že podmínka parity Bsu(t) ¹ Bsu(-t) není pro TCF splněna a hodnoty TCF nemusí mít maximum v t = 0.

To je dobře vidět na Obr. 6.2.1, kde jsou dány dva stejné signály se středy v bodech 0,5 a 1,5. Výpočet pomocí vzorce (6.2.1) s postupným zvyšováním hodnot t znamená postupné posuny signálu s2(t) doleva podél časové osy (pro každou hodnotu s1(t) jsou hodnoty s2( t+t) jsou brány jako násobení integrandu). Při t=0 jsou signály ortogonální a hodnota B12(t)=0. Maximum B12(t) bude pozorováno, když se signál s2(t) posune doleva o hodnotu t=1, při které se signály s1(t) a s2(t+t) zcela zkombinují.

Stejné hodnoty CCF podle vzorců (6.2.1) a (6.2.1") jsou pozorovány ve stejné relativní poloze signálů: když je signál u(t) posunut o interval t vzhledem k s (t) vpravo podél svislé osy a signál s(t) vzhledem k signálu u(t) vlevo, tj. Bsu(t) = Bus(-t).

Na Obr. 6.2.2 ukazuje příklady CCF pro obdélníkový signál s(t) a dva identické trojúhelníkové signály u(t) a v(t). Všechny signály mají stejnou dobu trvání T, přičemž signál v(t) je posunut vpřed o interval T/2.

Signály s(t) au(t) jsou shodné v čase a oblast „překryvu“ signálů je maximální při t=0, což je fixováno funkcí Bsu. Současně je funkce Bsu ostře asymetrická, protože s asymetrickým tvarem signálu u(t) pro symetrický tvar s(t) (vzhledem ke středu signálů) je oblast „překrytí“ signálů mění se různě v závislosti na směru posunu (znaménko t jako hodnota t roste od nuly). Když je počáteční poloha signálu u(t) posunuta doleva podél osy pořadnice (před signálem s(t) - signál v(t)), tvar CCF zůstane nezměněn a posune se doprava o stejnou hodnotu posunu - funkce Bsv na Obr. 6.2.2. Pokud prohodíme výrazy funkcí v (6.2.1), pak nová funkce Bvs bude funkce Bsv zrcadlená vzhledem k t=0.

S přihlédnutím k těmto vlastnostem se celkový CCF vypočítává zpravidla samostatně pro kladné a záporné zpoždění:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Vzájemná korelace šumových signálů . Pro dva zašuměné signály u(t) = s1(t)+q1(t) a v(t) = s2(t)+q2(t) pomocí techniky odvození vzorců (6.1.13) s nahrazením kopie signál s(t) na signál s2(t), je snadné odvodit vzorec vzájemné korelace v následujícím tvaru:

Buv(t) = Bsls2(t) + Bslq2(t) + Bqls2(t) + Bqlq2(t). (6.2.2)

Poslední tři členy na pravé straně (6.2.2) s rostoucím t klesají na nulu. Pro velké intervaly nastavení signálu lze výraz zapsat v následujícím tvaru:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + +. (6.2.3)

S nulovými průměrnými hodnotami šumu a statistickou nezávislostí na signálech dochází k následujícímu:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VCF diskrétních signálů. Všechny vlastnosti VCF analogových signálů jsou platné také pro VCF diskrétních signálů, zatímco vlastnosti diskrétních signálů uvedené výše pro diskrétní ACF jsou platné i pro ně (vzorce 6.1.9-6.1.12). Konkrétně s Dt = const =1 pro signály x(k) a y(k) s počtem vzorků K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Při normalizaci v pohonných jednotkách:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Odhad periodických signálů v šumu . Šumový signál lze odhadnout křížovou korelací s „referenčním“ signálem pomocí pokusu a omylu, nastavením funkce vzájemné korelace na maximální hodnotu.

Pro signál u(k)=s(k)+q(k) se statistickou nezávislostí na šumu a → 0 platí křížová korelační funkce (6.2.2) s obrazcem signálu p(k) s q2(k)= 0 má tvar:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) +.

A protože → 0 jak N roste, pak Bup(k) → Bsp(k). Je zřejmé, že funkce Bup(k) bude mít maximum, když p(k) = s(k). Změnou tvaru šablony p(k) a maximalizací funkce Bup(k) můžeme získat odhad s(k) ve tvaru optimálního tvaru p(k).

Funkce koeficientu vzájemné korelace (VKF) je kvantitativní ukazatel stupně podobnosti signálů s(t) a u(t). Podobně jako funkce autokorelačních koeficientů se vypočítává prostřednictvím vycentrovaných hodnot funkcí (pro výpočet křížové kovariance stačí vycentrovat pouze jednu z funkcí) a je normalizována na součin hodnot standardních funkcí s(t) a v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Interval pro změnu hodnot korelačních koeficientů s posuny t se může pohybovat od –1 (úplná zpětná korelace) do 1 (úplná podobnost nebo stoprocentní korelace). Při posunech t, při kterých jsou pozorovány nulové hodnoty rsu(t), jsou signály na sobě nezávislé (nekorelované). Koeficient vzájemné korelace umožňuje stanovit přítomnost spojení mezi signály, bez ohledu na fyzikální vlastnosti signálů a jejich velikost.

Při výpočtu CCF zašuměných diskrétních signálů omezené délky pomocí vzorce (6.2.4) existuje pravděpodobnost výskytu hodnot |rsu(n)| > 1.

Pro periodické signály se koncept CCF obvykle nepoužívá, s výjimkou signálů se stejnou periodou, například vstupních a výstupních signálů při studiu charakteristik systémů.

6.3. Spektrální hustoty korelačních funkcí.

ACF spektrální hustota lze určit z následujících jednoduchých úvah.

V souladu s výrazem (6.1.1) je ACF funkcí skalárního součinu signálu a jeho kopie, posunuté o interval t, v -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Bodový součin lze definovat pomocí spektrálních hustot signálu a jeho kopií, jejichž součinem je vzájemná výkonová spektrální hustota:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Posun signálu podél osy úsečky o interval t je zobrazen ve spektrálním znázornění vynásobením spektra signálu exp(-jwt) a pro konjugované spektrum faktorem exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Když to vezmeme v úvahu, dostaneme:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(š)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Ale posledním výrazem je inverzní Fourierova transformace energetického spektra signálu (hustota spektrální energie). V důsledku toho je energetické spektrum signálu a jeho autokorelační funkce spojeny Fourierovou transformací:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Spektrální hustota ACF tedy není nic jiného než hustota spektrálního výkonu signálu, kterou lze zase určit přímou Fourierovou transformací přes ACF:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Posledně uvedený výraz ukládá určitá omezení na formu ACF a způsob omezení jejich trvání.

Rýže. 6.3.1. Spektrum neexistujícího ACF

Energetické spektrum signálů je vždy kladné, výkon signálu nemůže být záporný. V důsledku toho nemůže mít ACF tvar pravoúhlého pulsu, protože Fourierova transformace pravoúhlého pulsu je střídavý integrální sinus. Na ACF by neměly být žádné diskontinuity prvního druhu (skoky), protože při zohlednění parity ACF jakýkoli symetrický skok podél ±t souřadnice generuje „dělení“ ACF na součet určité spojité funkce. a obdélníkový impuls o délce 2t s odpovídajícím výskytem záporných hodnot v energetickém spektru Příklad posledně jmenovaného je znázorněn na Obr. 6.3.1 (grafy funkcí jsou zobrazeny, jak je u sudých funkcí zvykem, pouze svou pravou stranou).

ACF dostatečně rozšířených signálů mají obvykle omezenou velikost (studují se omezené datové korelační intervaly od –T/2 do T/2). Avšak zkrácení ACF je násobení ACF obdélníkovým selekčním impulsem o délce T, který se ve frekvenční oblasti odráží konvolucí skutečného výkonového spektra se střídavou integrální sinusovou funkcí sinc(wT/2). Na jednu stranu to způsobuje určité vyhlazení výkonového spektra, což se často hodí například při studiu signálů na výrazné úrovni šumu. Ale na druhou stranu může dojít k výraznému podcenění velikosti energetických špiček, pokud signál obsahuje nějaké harmonické složky, stejně jako výskyt záporných hodnot výkonu na okrajových částech špiček a skoků. Příklad projevu těchto faktorů je na Obr. 6.3.2.

Rýže. 6.3.2. Výpočet energetického spektra signálu pomocí ACF různých délek.

Jak je známo, výkonová spektra signálu nemají fázovou charakteristiku a signály z nich nelze rekonstruovat. V důsledku toho ACF signálů jako dočasná reprezentace výkonových spekter také nemá informace o fázových charakteristikách signálů a rekonstrukce signálů pomocí ACF je nemožná. Signály stejného tvaru, posunuté v čase, mají stejný ACF. Navíc signály různých tvarů mohou mít podobné ACF, pokud mají podobná výkonová spektra.

Přepišme rovnici (6.3.1) do následujícího tvaru

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

a dosaďte do tohoto výrazu hodnotu t=0. Výsledná rovnost je dobře známá a nazývá se Parsevalova rovnost

s2(t) dt = (1/2p)|S(š)|2 dw.

Umožňuje vypočítat energii signálu, a to jak v časové, tak frekvenční oblasti popisu signálu.

Interval korelace signálu je číselný parametr pro posouzení šířky ACF a stupně významné korelace hodnot signálu argumentem.

Pokud předpokládáme, že signál s(t) má přibližně rovnoměrné energetické spektrum s hodnotou W0 a s horní mezní frekvencí do wв (tvar centrovaného obdélníkového pulzu, jako např. signál 1 na obr. 6.3.3 s fв = 50 Hz v jednostranném zobrazení), pak je ACF signálu určeno výrazem:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

Za interval korelace signálu tk je považována šířka centrálního vrcholu ACF od maxima k prvnímu průsečíku nulové čáry. V tomto případě pro obdélníkové spektrum s horní mezní frekvencí wв odpovídá první průchod nulou sinc(wвt) = 0 při wвt = p, z čehož:

tк = p/wв = 1/2fв. (6.3.4)

Čím vyšší je horní mezní frekvence spektra signálu, tím menší je korelační interval. U signálů s plynulým omezením na horní mezní frekvenci hraje roli parametru wв průměrná šířka spektra (signál 2 na obr. 6.3.3).

Výkonová spektrální hustota statistického šumu při jediném měření je náhodná funkce Wq(w) se střední hodnotou Wq(w) Þ sq2, kde sq2 je rozptyl šumu. V limitu, při rovnoměrném spektrálním rozložení šumu od 0 do ¥, má šum ACF tendenci k hodnotě Bq(t) Þ sq2 při t Þ 0, Bq(t) Þ 0 při t ¹ 0, tj. statistický šum není korelovaný (tk Þ 0).

Praktické výpočty ACF konečných signálů jsou obvykle omezeny na interval posunu t = (0, (3-5)tk), ve kterém se zpravidla soustředí hlavní informace o autokorelaci signálů.

Spektrální hustota VKF lze získat na základě stejných úvah jako pro AFC nebo přímo ze vzorce (6.3.1) nahrazením spektrální hustoty signálu S(w) spektrální hustotou druhého signálu U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Nebo při změně pořadí signálů:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Součin S*(w)U(w) představuje vzájemné energetické spektrum Wsu(w) signálů s(t) au(t). V souladu s tím U*(w)S(w) = Wus(w). Proto, stejně jako ACF, funkce vzájemné korelace a spektrální hustota vzájemné síly signálů jsou vzájemně propojeny pomocí Fourierových transformací:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6,3,6")

V obecném případě, s výjimkou spekter sudých funkcí, z podmínky nedodržení parity pro funkce CCF vyplývá, že vzájemná energetická spektra jsou komplexní funkce:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

Na Obr. 6.3.4 můžete jasně vidět rysy tvorby CCF na příkladu dvou signálů stejného tvaru, posunutých vůči sobě navzájem.

Rýže. 6.3.4. Vznik VKF.

Tvar signálů a jejich vzájemná poloha jsou znázorněny ve tvaru A. Modul a argument spektra signálu s(t) jsou uvedeny ve tvaru B. Spektrální modul u(t) je shodný s modulem S(w ). Stejný pohled ukazuje modul výkonového spektra vzájemného signálu S(w)U*(w). Jak je známo, při násobení komplexních spekter se moduly spekter násobí a fázové úhly se sčítají, zatímco u konjugovaného spektra U*(w) mění fázový úhel znaménko. Pokud je prvním signálem ve vzorci pro výpočet CCF (6.2.1) signál s(t) a signál u(t-t) na ose pořadnice je před s(t), pak fázové úhly S(w ) roste směrem k záporným hodnotám, když frekvence zvyšuje úhly (bez zohlednění periodického resetování hodnot o 2p) a fázové úhly U*(w) v absolutních hodnotách jsou menší než fázové úhly s( t) a zvyšují (v důsledku konjugace) směrem ke kladným hodnotám. Výsledkem násobení spekter (jak je vidět na obr. 6.3.4, pohled C) je odečtení hodnot úhlů U*(w) od fázových úhlů S(w), přičemž fázové úhly spektrum S(w)U*(w) zůstává v oblasti záporných hodnot, což zajišťuje posun celé CCF funkce (a jejích vrcholových hodnot) doprava od nuly podél osy t o určitou hodnotu (pro identické signály - velikostí rozdílu mezi signály podél svislé osy). Když je počáteční poloha signálu u(t) posunuta směrem k signálu s(t), fázové úhly S(w)U*(w) se zmenšují, v limitu na nulové hodnoty s úplným vyrovnáním signálů, zatímco funkce Bsu(t) se posouvá k nulovým hodnotám t, v limitu před převodem na ACF (pro identické signály s(t) au(t)).

Jak je známo u deterministických signálů, pokud se spektra dvou signálů nepřekrývají, a proto je vzájemná energie signálů nulová, jsou takové signály navzájem ortogonální. Souvislost mezi energetickými spektry a korelačními funkcemi signálů ukazuje další stránku interakce signálů. Pokud se spektra signálů nepřekrývají a jejich vzájemné energetické spektrum je na všech frekvencích nulové, pak pro jakékoli časové posuny t vůči sobě je jejich CCF také nulový. To znamená, že takové signály nejsou korelované. To platí pro deterministické i náhodné signály a procesy.

Výpočet korelačních funkcí pomocí FFT je, zejména pro dlouhé číselné řady, metoda desítky a stokrát rychlejší než postupné posuny v časové oblasti ve velkých korelačních intervalech. Podstata metody vyplývá ze vzorců (6.3.2) pro ACF a (6.3.6) pro VCF. Vzhledem k tomu, že ACF lze považovat za speciální případ CCF pro stejný signál, budeme uvažovat proces výpočtu na příkladu CCF pro signály x(k) a y(k) s počtem vzorků K. zahrnuje:

1. Výpočet FFT spekter signálů x(k) → X(k) a y(k) → Y(k). Při různém počtu vzorků je kratší řada doplněna nulami na velikost větší řady.

2. Výpočet spekter hustoty výkonu Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverzní FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Všimněme si některých vlastností metody.

Inverzní FFT, jak známo, počítá cyklickou konvoluci funkcí x(k) ③ y(k). Je-li počet funkčních vzorků roven K, je počet komplexních vzorků funkčních spekter rovněž roven K, stejně jako počet vzorků jejich součinu Wxy(k). V souladu s tím je počet vzorků Bxy(k) během inverzní FFT také roven K a je cyklicky opakován s periodou rovnou K. Mezitím, s lineární konvolucí úplných polí signálů podle vzorce (6.2.5), velikost pouze jedné poloviny ICF je K bodů a plná bilaterální velikost je 2 000 bodů. Následně, s inverzní FFT, s přihlédnutím k cykličnosti konvoluce, budou její vedlejší periody superponovány na hlavní periodu CCF, jako u obvyklé cyklické konvoluce dvou funkcí.

Na Obr. 6.3.5 ukazuje příklad dvou signálů a hodnot VCF vypočítaných lineární konvolucí (B1xy) a cyklickou konvolucí přes FFT (B2xy). Pro eliminaci vlivu překrývajících se bočních period je nutné doplnit signály nulami, v limitu, až do zdvojnásobení počtu vzorků, přičemž výsledek FFT (graf B3xy na obrázku 6.3.5) zcela opakuje výsledek lineárního konvoluce (s přihlédnutím k normalizaci pro zvýšení počtu vzorků).

V praxi počet nul rozšíření signálu závisí na povaze korelační funkce. Minimální počet nul se obvykle považuje za rovný významné informační části funkcí, tj. přibližně (3-5) korelačních intervalů.

literatura

1. Baskakovovy obvody a signály: Učebnice pro vysoké školy. - M.: Vyšší škola, 1988.

19. Otnes R., Enokson L. Aplikovaná analýza časových řad. – M.: Mir, 1982. – 428 s.

25. Zpracování signálu Sergienko. / Učebnice pro vysoké školy. – Petrohrad: Petr, 203. – 608 s.

33. Ayficher E., Jervis B. Digitální zpracování signálu. Praktický přístup. / M., "Williams", 2004, 992 s.

O zaznamenaných překlepech, chybách a návrzích na doplnění: *****@***ru.

Podle rovnosti (13.5) lze korelační funkci odezvy nelineárního zařízení vyjádřit následovně z hlediska přechodové funkce tohoto zařízení:

Dvojný integrál se rovná, jak je patrné ze srovnání s rovností (4.25), společné charakteristické funkci veličin zapsaných jako funkce komplexních proměnných. Proto,

Výraz (13.40) je hlavní vzorec pro analýzu náhodných efektů na nelineárních zařízeních pomocí transformační metody. Zbytek této kapitoly je věnován vyhodnocení tohoto výrazu pro různé typy zařízení a různé typy vlivů na ně.

V mnoha problémech je vliv aplikovaný na vstup systému součtem užitečného signálu a šumu:

kde jsou výběrové funkce statisticky nezávislých pravděpodobnostních procesů. V takových případech je společná charakteristická funkce vlivu rovna součinu charakteristických funkcí signálu a šumu a rovnost (13.40) bere

kde - společná charakteristická funkce veličin - společná charakteristická funkce veličin a

Gaussův šum na vstupu. Pokud je šum na vstupu zařízení ukázkovou funkcí skutečného Gaussova pravděpodobnostního procesu s nulovým matematickým očekáváním, pak podle rovnosti (8.23),

kde Funkce korelační odezvy má v tomto případě tvar

Jestliže funkce od a funkce od mohou být nyní reprezentovány jako součin funkcí z nebo jako součty takovýchto součinů, pak dvojitý integrál v posledním výrazu lze vypočítat jako součin integrálů. Skutečnost, že exponenciální funkci lze reprezentovat prostřednictvím součinů funkcí a vyplývá z jejího rozšíření do mocninné řady

Proto lze zapsat korelační funkci odezvy nelineárního zařízení, když je na jeho vstup aplikován Gaussův šum

Sinusové signály.

Předpokládejme nyní, že signál na vstupu zařízení je modulovaná sinusoida, tj

kde je výběrová funkce nízkofrekvenčního pravděpodobnostního procesu (tj. takového, jehož spektrální hustota je nenulová pouze ve frekvenčním rozsahu sousedícím s nulovou frekvencí a je úzký ve srovnání s a kde je náhodná veličina distribuována rovnoměrně v intervalu a nezávisí na modulačního signálu a od šumu Charakteristická funkce takového signálu je rovna

Rozšířením exponenciály na Jacobiho-Angerův vzorec [výraz (13.20)] získáme

Protože

kde to dostaneme pro amplitudově modulovaný sinusový signál

Korelační funkci odezvy nelineárního zařízení, když je na jeho vstup aplikován sinusový signál a Gaussův šum, lze nyní najít dosazením (13.47) do (13.45). Pojďme definovat funkci

kde a korelační funkce

kde se průměrování provádí přes modulační signál; pak bude korelační funkce odezvy rovna

Pokud jsou modulační signál i šum stacionární, pak výraz (13.50) nabývá tvaru

Pokud je vstupním signálem nemodulovaná sinusovka

neboť v tomto případě jsou koeficienty konstantní a navzájem se rovnají.

Složky signálu a šumu na výstupu.

Uvažujme nyní případ, kdy má vstupní šum tvar modulované sinusoidy. V tomto případě je korelační funkce na výstupu dána výrazem (13.52). Rozšiřme tento výraz následovně:

Podívejme se na jeho jednotlivé složky. První člen odpovídá konstantní složce na výstupu zařízení. Další skupina termínů odpovídá periodické části odezvy a je způsobena především interakcí vstupního signálu se sebou samým. Zbývající členy odpovídají náhodným výkyvům odezvy, tj. šumu na výstupu. Ti z

tyto zbývající členy jsou způsobeny především interakcí vstupního šumu se sebou samým a ty, pro které interakce signálu a šumu na vstupu.

Představme si odezvu nelineárního zařízení jako součet průměrné hodnoty, periodických složek a náhodné složky:

Potom lze funkci korelační odezvy zapsat jako

kde Porovnáním rovností (13.53) a (13.55) vidíme, že průměrnou hodnotu odezvy a amplitudu jejích periodických složek lze vyjádřit přímo pomocí koeficientů

Kromě toho lze korelační funkci náhodné části odpovědi zapsat jako

kde jsme podle definice v souladu s (13.50)

Je třeba poznamenat, že přísně vzato, všechny tyto termíny jsou funkcemi procesu modulujícího vstupní signál.

Řešení otázky, který z členů v (13.62) určuje užitečný výstupní signál, závisí samozřejmě na účelu nelineárního zařízení. Pokud je zařízení použito např. jako detektor, pak je užitečná nízkofrekvenční část výstupního signálu. V tomto případě užitečný signál odpovídá části korelační funkce definované rovností

Na druhou stranu, pokud je zařízení použito jako nelineární zesilovač, pak

protože v tomto případě je užitečná složka signálu soustředěna kolem nosné frekvence vstupního signálu

Signály a lineární systémy. Korelace signálů

Téma 6. Korelace signálů

Extrémní strach a extrémní zápal odvahy podobně rozrušují žaludek a způsobují průjem.

Michel Montaigne. Francouzský právník-myslitel, 16. století.

Toto je číslo! Tyto dvě funkce mají 100% korelaci s třetí a jsou navzájem ortogonální. Všemohoucí měl při stvoření světa vtipy.

Anatolij Pyšmincev. Novosibirský geofyzik Uralské školy, 20. století.

2. Křížové korelační funkce signálů (CCF). Křížová korelační funkce (CCF). Vzájemná korelace šumových signálů. CCF diskrétních signálů. Odhad periodických signálů v šumu. Funkce vzájemných korelačních koeficientů.

3. Spektrální hustoty korelačních funkcí. Spektrální hustota ACF. Interval korelace signálu. Spektrální hustota VKF. Výpočet korelačních funkcí pomocí FFT.

Úvod

Ve funkčním prostoru signálů lze tento stupeň souvislosti vyjádřit v normalizovaných jednotkách korelačního koeficientu, tzn. v kosinusu úhlu mezi signálovými vektory, a proto bude mít hodnoty od 1 (úplná shoda signálů) do -1 (úplný opak) a nezávisí na hodnotě (měřítko) jednotek měření .

Korelační metody jsou zvláště důležité při analýze náhodných procesů pro identifikaci nenáhodných složek a hodnocení nenáhodných parametrů těchto procesů.

Rayleighova a Riceova distribuce plně necharakterizují slábnutí signálu. Zejména neposkytují představu o tom, jak v průběhu času dochází k procesu slábnutí signálu. Předpokládejme, že proces je zvažován ve dvou okamžicích t A t+t, kde t je zpoždění. Pak je statistický vztah mezi slábnutím dán korelační funkcí, která je definována následovně.

Předpokládejme, že uvažovaný proces je stacionární. To znamená, že jeho statistické parametry, jako je průměr, rozptyl a vzájemná korelace, nezávisí na čase t. Pro úzkopásmový proces (2.3.37) získáme korelační funkci ve tvaru

Představme si korelační funkce kvadraturních signálů:

Nyní převedeme výraz (2.3.61) do tvaru

Pro další transformaci (2.3.63) použijeme goniometrické vztahy.

(2.3.64)

Ve výsledku to dostáváme

Protože proces je stacionární, korelační funkce by neměla záviset na čase. Tento požadavek lze splnit, pokud je druhý a čtvrtý člen v (2.3.65) roven nule, což je naopak možné, pokud korelační funkce kvadraturních signálů splňují následující vztahy:

Korelační funkce stacionárního normálního úzkopásmového signálu je tedy rovna

Ukažme, že korelační funkce je lichá funkce t. K tomu bereme v úvahu

Dosadíme (2.3.68) do druhého vzorce v (2.3.66) a najdeme to

. (2.3.69)

Funkce vzájemné korelace kvadraturních signálů je tedy lichá. Z toho vyplývá důležitý výsledek: ve stejném časovém okamžiku nejsou kvadraturní signály korelovány, tzn. .

Podívejme se nyní na korelaci komplexní amplitudy

Definicí korelační funkce to můžeme napsat

. (2.3.71)

Funkce je komplexní a má vlastnost symetrie, tzn.

. (2.3.72)

Dosadíme (2.3.70) do (2.3.71) a vezmeme v úvahu (2.3.62). Pak (2.3.71) nabývá formu

Pokud vezmeme v úvahu (2.3.66), pak je tento vzorec výrazně zjednodušen:

Korelační funkce (2.3.67) úzkopásmového signálu a korelační funkce (2.3.74) jeho komplexní amplitudy spolu souvisí. Toto spojení lze snadno odhalit ze srovnání (2.3.67) a (2.3.74). V důsledku toho budeme mít

Korelační vlastnosti signálu úzce souvisí s jeho spektrálními vlastnostmi. Konkrétně se výkonová spektrální hustota zjistí pomocí Fourierovy transformace korelační funkce a je rovna

. (2.3.76)

Ukažme, že je to skutečná funkce, zatímco korelační funkce je komplexní. K tomu vezmeme komplexní konjugát z výrazu (2.3.76) a vezmeme v úvahu vlastnost symetrie (2.3.72) korelační funkce. Ve výsledku to dostáváme

Porovnáním (2.3.77) s (2.3.76) to máme . To dokazuje, že komplexní amplitudové spektrum je skutečnou funkcí.

Níže bude ukázáno, že spektrum komplexní amplitudy signálu popisujícího únik ve vícecestném kanálu je dokonce skutečné funkce frekvence, tzn. . Pak se korelační funkce stane platnou. Abychom to dokázali, zapíšeme korelační funkci jako inverzní Fourierovu transformaci výkonové spektrální hustoty ve tvaru

. (2.3.78)

Vezměme komplexní konjugaci výrazu (2.3.78) a vezmeme v úvahu paritu funkce. Chápeme to

Porovnáním (2.3.79) s (2.3.78) to máme . To dokazuje, že korelační funkce komplexní amplitudy s reálným spektrem ve formě sudé funkce je reálná funkce.

Vezmeme-li v úvahu realitu korelační funkce, z (2.3.74) to zjistíme

. (2.3.80)

Pomocí (2.3.75) získáme korelační funkci úzkopásmového signálu ve tvaru

Nyní si nastavíme úkol najít v explicitní formě spektrální a korelační funkci, která popisuje únik signálu ve vícecestném kanálu. Zvažte znovu dva časové okamžiky t A t+t. Pokud během doby t vysílač, přijímač a odrazky nezmění své umístění a nezachovají si své parametry, pak se celkový signál v přijímači nezmění. Aby došlo k vyblednutí signálu, je nutný vzájemný pohyb vysílače, přijímače a (nebo) reflektorů. Pouze v tomto případě dochází ke změně amplitud a fází sčítaných signálů na vstupu přijímací antény. Čím rychleji k tomuto pohybu dochází, tím rychleji signál slábne, a proto by mělo být jeho spektrum širší.

Budeme předpokládat, že se přijímač pohybuje rychlostí proti a vysílač zůstane nehybný. Pokud anténa vysílače vysílá harmonický signál o určité frekvenci F, pak v důsledku Dopplerova jevu přijímač zaregistruje signál o jiné frekvenci. Rozdíl mezi těmito frekvencemi se nazývá Dopplerův frekvenční posun. Chcete-li zjistit hodnotu posunu frekvence, zvažte Obr. 2.16, který ukazuje vysílač, přijímač, vlnový vektor k rovinná vlna a vektor proti rychlost přijímače.

Rýže. 2.16. Směrem k určení Dopplerova frekvenčního posunu

Rovnici rovnoměrného pohybu přijímače zapíšeme do tvaru

Pak bude fáze přijímaného signálu funkcí času

kde q je úhel mezi vektorem rychlosti a vektorem vlny.

Okamžitá frekvence je definována jako derivace fáze. Proto, když rozlišujeme (2.3.83) a vezmeme v úvahu, že vlnové číslo , budeme mít

. (2.3.84)

Při rovnoměrném pohybu přijímače, jak vyplývá z (2.3.84), se frekvenční posun rovná

Předpokládejme například, že rychlost proti=72 km/h = 20 m/s, frekvence vysílače F=900 MHz a úhel q=0. Vlnová délka l a frekvence F propojený rychlostí světla S poměr S=fl. Odtud máme, že l= C/F=0,33 m Nyní z (2.3.85) zjistíme, že Dopplerův frekvenční posun f d= 60 Hz.

Dopplerův frekvenční posun (2.3.85) nabývá kladných i záporných hodnot v závislosti na úhlu q mezi vektorem rychlosti a vektorem vlny. Velikost Dopplerova posunu nepřesahuje maximální hodnotu rovnou f max=proti/l. Vzorec (2.3.85) může být vhodně znázorněn ve formě

. (2.3.86)

Je-li zde mnoho odrazek, je přirozené předpokládat, že jsou umístěny rovnoměrně kolem přijímače, například v kruhu, jak je znázorněno na obr. 2.17. Tento model reflektorů se nazývá Clarkův model.

Rýže. 2.17. Umístění reflektorů v modelu Clark

Výkonová spektrální hustota v případě Clarkova modelu je určena následujícím způsobem. Vyberme frekvenční interval df d blízká frekvence f d. Přijímaný výkon obsažený v tomto intervalu je roven . Tento výkon je způsoben Dopplerovým frekvenčním posunem (2.3.86). Rozptýlený výkon související s úhlovou roztečí d q, se rovná , kde je úhlová hustota rozptýleného výkonu. Všimněte si, že stejný Dopplerův posun f d pozorováno pro zpětné reflektory s úhlovými souřadnicemi ±q. To znamená následující rovnost pravomocí

Budeme předpokládat, že celkový disipovaný výkon je roven jednotce a je rovnoměrně rozložen v intervalu.

Rýže. 2.18. Jakes Dopplerovo spektrum pro f max=10 Hz

Pro určení korelační funkce (2.3.71) komplexní amplitudy je nutné dosadit výraz (2.3.90) získaný pro spektrální výkonovou hustotu do (2.3.78). Ve výsledku to dostáváme

Modul korelační funkce (2.3.91) komplexní amplitudy pro dvě maximální Dopplerovy frekvence f max=10 Hz (plná křivka) a f max=30 Hz (přerušovaná křivka) jsou uvedeny na Obr. 2.19. Odhadneme-li korelační čas doznívání signálu v kanálu na úrovni 0,5, pak se rovná . To dává 24 ms pro f max=10 Hz a 8 ms pro f max= 30 Hz.

Rýže. 2.19. Korelační funkční modul pro f max=10 a 30 Hz (plné a tečkované křivky,
respektive).

Obecně se Dopplerovo spektrum může lišit od Jakesova spektra (2.3.90). Rozsah hodnot D f d, ve kterém se výrazně liší od nuly se nazývá Dopplerův rozptyl v kanálu. Protože to souvisí s Fourierovou transformací, pak koherenční čas t coh kanál je hodnota t coh"1/D f d, která charakterizuje rychlost změny vlastností kanálu.

Při odvození (2.3.90) a (2.3.91) se předpokládalo, že průměrný výkon rozptýleného signálu je roven jednotce. To vyplývá i z (2.3.91) a (2.3.71), od

Korelační koeficient je roven poměru korelační funkce k průměrné mocnině. Proto v tomto případě výraz (2.3.91) také udává korelační koeficient.

Z (2.3.81) zjistíme, že korelační funkce úzkopásmového signálu je rovna

V praxi jsou korelační vlastnosti takových náhodných veličin, jako je amplituda A a okamžitý výkon P=A 2. Tyto veličiny jsou obvykle zaznamenávány např. na výstupu lineárního nebo kvadratického detektoru. Jejich korelační vlastnosti určitým způsobem souvisí s korelačními vlastnostmi komplexní amplitudy Z(t).

Okamžitý výkonový korelační koeficient souvisí s komplexním amplitudovým korelačním koeficientem jednoduchým vztahem tvaru:

. (2.3.94)

Uveďme důkaz tohoto vzorce. Na základě definice korelačního koeficientu můžeme napsat, že

, (2.3.95)

kde je mocninná korelační funkce.

Předpokládejme, že neexistuje žádná deterministická složka signálu a amplitudy A má Rayleighovu distribuci. Pak<P>=<A 2 >=202. Množství zahrnuté v (2.3.95) . Pomocí Rayleighova distribučního zákona to zjistíme

. (2.3.96)

Vezmeme-li v úvahu (2.3.96), zjistíme mocninnou korelační funkci z (2.3.95) pomocí jednoduchých algebraických transformací. Chápeme to

. (2.3.97)

Mocninnou korelační funkci můžeme vyjádřit také pomocí kvadraturních složek ve tvaru

Provedením násobení a průměrování na pravé straně rovnosti (2.3.98) získáme členy, které představují následující momenty čtvrtého řádu:

Potřebujeme tedy vypočítat momenty čtvrtého řádu. Vezměme v úvahu, že kvadraturní složky já A Q jsou Gaussovy náhodné veličiny s nulovým středním a identickým rozptylem σ 2 a využívají známé pravidlo pro odemykání momentů čtvrtého řádu. Podle ní, pokud existují čtyři náhodné proměnné A, b, C, A d, pak platí následující vzorec:

Pomocí tohoto pravidla vypočítáme momenty čtvrtého řádu v (2.3.99). V důsledku toho budeme mít

(2.3.101)

Pokud vezmeme v úvahu (2.3.96), (2.3.66) a (2.3.74), pak (2.3.98) lze zapsat jako

Nyní je třeba s tím počítat . V důsledku toho získáme následující výraz pro mocninnou korelační funkci:

Porovnáním výsledného vzorce s (2.3.97) jsme přesvědčeni o platnosti (2.3.94).

Pro model Clarkova kanálu jsme zjistili, že korelační koeficient je dán vztahem (2.3.91). S přihlédnutím k (2.3.94) bude mocenský korelační koeficient v případě Clarkova modelu roven

. (2.3.104)

Korelační vlastnosti amplitudy A jsou zkoumány pomocí mnohem složitějšího matematického aparátu a nejsou zde uvažovány. Je však třeba poznamenat, že amplitudový korelační koeficient A splňuje následující přibližnou rovnost.

Křížová korelační funkce (CCF) různých signálů (cross-correlation function, CCF) popisuje jak stupeň podobnosti tvaru dvou signálů, tak jejich vzájemnou relativní polohu podél souřadnice (nezávislá proměnná). Zobecněním vzorce (6.1.1) autokorelační funkce na dva různé signály s(t) a u(t) získáme následující skalární součin signálů:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

což vyplývá z Cauchy-Bunyakovského nerovnosti a nezávislosti signálových norem na souřadnicovém posunu.

Při nahrazení proměnné t = t- ve vzorci (6.2.1) získáme:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

Z toho vyplývá, že podmínka parity není splněna pro VCF, B su ()  B su (-), a hodnoty VCF nemusí mít maximum při  = 0.

Rýže. 6.2.1. Signály a VKF.

To je dobře vidět na Obr. 6.2.1, kde jsou dány dva stejné signály se středy v bodech 0,5 a 1,5. Výpočet podle vzorce (6.2.1) s postupným nárůstem hodnot  znamená postupné posuny signálu s2(t) doleva podél časové osy (pro každou hodnotu s1(t) jsou hodnoty s2(t+) jsou brány pro násobení integrandu). Když =0, signály jsou ortogonální a hodnota B 12 ()=0. Maximum B 12 () bude dodrženo, když je signál s2(t) posunut doleva o hodnotu =1, při které jsou signály s1(t) a s2(t+) zcela sloučeny.

Stejné hodnoty CCF podle vzorců (6.2.1) a (6.2.1") jsou pozorovány ve stejné relativní poloze signálů: když je signál u(t) posunut o interval  vzhledem k s (t) vpravo podél svislé osy a signál s(t) vzhledem k signálu u(t) vlevo, tj. B su () = B us (-

Rýže. 6.2.2. Vzájemné kovarianční funkce signálů.

Signály s(t) au(t) jsou časově shodné a oblast „překryvu“ signálů je maximální při =0, což je fixováno funkcí B su . Současně je funkce B su ostře asymetrická, protože s asymetrickým tvarem signálu u(t) pro symetrický tvar s(t) (vzhledem ke středu signálů) je oblast „překrytí“ signály se mění různě v závislosti na směru posunu (znaménko  při zvyšování hodnoty  od nuly). Když je počáteční poloha signálu u(t) posunuta doleva podél osy pořadnice (před signálem s(t) - signál v(t)), tvar CCF zůstane nezměněn a posune se doprava o stejnou hodnotu posunu - funkce B sv na Obr. 6.2.2. Pokud prohodíme výrazy funkcí v (6.2.1), pak nová funkce B vs bude funkce B sv zrcadlená vzhledem k =0.

S přihlédnutím k těmto vlastnostem se celkový CCF vypočítává zpravidla samostatně pro kladné a záporné zpoždění:

B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1")

Vzájemná korelace šumových signálů . Pro dva zašuměné signály u(t) = s1(t)+q1(t) a v(t) = s2(t)+q2(t) pomocí techniky odvození vzorců (6.1.13) s nahrazením kopie signál s(t) na signál s2(t), je snadné odvodit vzorec vzájemné korelace v následujícím tvaru:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Poslední tři členy na pravé straně (6.2.2) klesají na nulu s rostoucí . Pro velké intervaly nastavení signálu lze výraz zapsat v následujícím tvaru:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

S nulovými průměrnými hodnotami šumu a statistickou nezávislostí na signálech dochází k následujícímu:

B uv () → B s 1 s 2 ().

VCF diskrétních signálů. Všechny vlastnosti VCF analogových signálů jsou platné také pro VCF diskrétních signálů, zatímco vlastnosti diskrétních signálů uvedené výše pro diskrétní ACF jsou platné i pro ně (vzorce 6.1.9-6.1.12). Konkrétně s t = const =1 pro signály x(k) a y(k) s počtem vzorků K:

Bxy(n) =
x k y k-n . (6.2.4)

Při normalizaci v pohonných jednotkách:

Bxy(n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Odhad periodických signálů v šumu . Šumový signál lze odhadnout křížovou korelací s „referenčním“ signálem pomocí pokusu a omylu, nastavením funkce vzájemné korelace na maximální hodnotu.

Pro signál u(k)=s(k)+q(k) se statistickou nezávislostí na šumu a → 0 funkce vzájemné korelace (6.2.2) se vzorem signálu p(k) při q2(k)=0 má tvar:

B up (k) = Bsp (k) + B qp (k) = Bsp (k) + .

A od té doby → 0 při zvýšení N, poté B nahoru (k) → B sp (k). Je zřejmé, že funkce B up (k) bude mít maximum, když p(k) = s(k). Změnou tvaru šablony p(k) a maximalizací funkce B up (k) lze získat odhad s(k) ve formě optimálního tvaru p(k).

Funkce koeficientu vzájemné korelace (VKF) je kvantitativní ukazatel stupně podobnosti signálů s(t) a u(t). Podobně jako funkce autokorelačních koeficientů se vypočítává prostřednictvím vycentrovaných hodnot funkcí (pro výpočet křížové kovariance stačí vycentrovat pouze jednu z funkcí) a je normalizována na součin hodnot standardních funkcí s(t) a v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (6.2.6)

Interval pro změnu hodnot korelačních koeficientů s posuny  se může pohybovat od –1 (úplná reverzní korelace) do 1 (úplná podobnost nebo stoprocentní korelace). Při posunech , při kterých jsou pozorovány nulové hodnoty  su (), jsou signály na sobě nezávislé (nekorelované). Koeficient vzájemné korelace umožňuje stanovit přítomnost spojení mezi signály, bez ohledu na fyzikální vlastnosti signálů a jejich velikost.

Při výpočtu CCF šumových diskrétních signálů omezené délky pomocí vzorce (6.2.4) existuje pravděpodobnost výskytu hodnot  su (n)| > 1.

Pro periodické signály se koncept CCF obvykle nepoužívá, s výjimkou signálů se stejnou periodou, například vstupních a výstupních signálů při studiu charakteristik systémů.

Oblíbené v kategorii: