Simulación de diagramas de circuitos en simulink. I. V. Chernykh. "Simulink: una herramienta para modelar sistemas dinámicos". Usar rutinas de usuario

Deje que el intervalo de descomposición de la señal (ver Fig. 2.1) tienda al infinito. Cuando aumenta, frecuencia = 2 p/t disminuye a un valor infinitesimal:

En este caso, la distancia entre los componentes espectrales disminuye a un valor infinitesimal y los valores se convierten en los valores actuales de frecuencia с (ver Fig. 2.2). El intervalo de descomposición tiende a un valor infinito. Esto permite, al calcular el límite de la serie de Fourier en forma compleja, sustituir el signo de la suma por el signo de la integral, la frecuencia fundamental O)! = 2p/t - por?/co, y un múltiplo de la frecuencia k(o ( reemplazar frecuencia actual con:

La integral, que está escrita entre paréntesis de la expresión (2.13), se denota por

Entonces la expresión (2.13) se escribirá de forma más compacta:

Las expresiones (2.14) y (2.15) se llaman respectivamente directo Y transformadas inversas de Fourier. Se llama a la función 5(/co)

densidad espectral. Es complejo y tiene la dimensión [V/Hz], si la dimensión de la señal arriba)[EN].

La transformada de Fourier (2.14) se puede calcular basándose en reglas generales integración si la señal satisface la condición de integrabilidad absoluta:

Esta condición significa que existe la transformación (2.14) para aquellas señales cuyo área bajo la curva |m(?)| que es limitado.

Esta clase no incluye, por ejemplo, señales periódicas que no satisfacen la condición de integrabilidad absoluta. Sin embargo, esto no significa que para señales periódicas no se pueda calcular la densidad espectral. Los métodos informáticos desarrollados específicamente para estos fines utilizan las llamadas funciones generalizadas. Un ejemplo de función generalizada es la función delta. Algunas propiedades de la función delta se dan en el Apéndice 1.

Transformemos la densidad espectral de señales que satisfacen la condición de integrabilidad absoluta. Estas señales están limitadas en el tiempo.

Teniendo en cuenta la fórmula de Euler, reescribimos la expresión (2.14): Dónde

Módulo |5(/co)| llamado densidad espectral de amplitudes de señal o amplitud- respuesta de frecuencia

(Respuesta de frecuencia) Densidad espectral de la señal. La función ср(о) determina la característica de frecuencia de fase (PFC) de la densidad espectral de la señal. La respuesta de frecuencia y la respuesta de fase de la densidad espectral son funciones continuas de la frecuencia.

Procedamos al análisis de la densidad espectral de señales que no satisfacen la condición de integrabilidad absoluta. Estas señales no están limitadas en el tiempo y tienen una energía infinitamente grande.

A partir de la señal Ts)(?), satisfaciendo la condición de integrabilidad absoluta, construiremos una señal que se repite periódicamente

y calcular su densidad espectral:
Dónde

La dimensión de la densidad espectral de una señal que se repite periódicamente está determinada por la dimensión de la densidad espectral de la señal no periódica a partir de la cual se forma la señal que se repite periódicamente, es decir [V/Hz].

El primer factor de la expresión resultante en igualdad (2.16) determina la densidad espectral de una señal de tiempo limitado y 0 (?), el segundo, la densidad espectral de una función delta que se repite periódicamente

Comprobemos esto calculando la densidad indicada:

Al calcular la integral, se utilizó la propiedad de filtrado de la función delta (ver Apéndice 1).

Si la función delta que se repite periódicamente se expande a una serie de Fourier en forma compleja, entonces la densidad espectral se puede expresar de otra manera:

Al derivar la última fórmula, la expresión de la función delta en dominio de frecuencia. Igualando las expresiones de densidades espectrales, obtenemos

Esta función es igual a cero siFk(x)by es igual si co =k(o ( .Sustituyamos la nueva expresión 5 φ (/co) en (2.16):

Densidad espectral de una señal que se repite periódicamente. está determinada por los valores de la densidad espectral de la señal de tiempo limitado r/ 0 (?), contados a través de un intervalo igual a ω^ = 2π /T.

Calculemos el valor de la densidad espectral limitada por un período de tiempo. t señal:

Multiplica los lados izquierdo y derecho de la igualdad por un factor de 2 /T:

donde a(/&a>1) es el espectro de una señal de tiempo limitado en la base funciones exponenciales.

Teniendo en cuenta la última fórmula, escribimos la densidad espectral de una señal que se repite periódicamente en la forma

donde el módulo espectral se determina en base a funciones exponenciales mediante la fórmula (2.9) y el espectro de fase mediante la fórmula (2.10).

Los valores de la respuesta en frecuencia y la respuesta en fase de la densidad espectral de una señal de tiempo limitado g/o(0>, contados a lo largo del intervalo (u = 2 p/t en puntos en el eje de frecuencia ksch, k = 0, ±1, ±2,..., determinan la respuesta en frecuencia y la respuesta en fase de la densidad espectral de esta señal periódica.

Consideremos algunas propiedades de la densidad espectral de la señal que satisfacen la condición de integrabilidad absoluta.

• 1. La densidad espectral (2.14) es compleja y función continua frecuencia co, definida en un rango de frecuencia infinito.
• 2. La respuesta de frecuencia y la respuesta de fase de la densidad espectral satisfacen las ecuaciones

¿Dónde está +(l)? - valores de frecuencia seleccionados.

3. Las transformadas de Fourier (2.14), (2.15) son transformaciones lineales. Por tanto, la densidad espectral de la suma de señales es igual a la suma de las densidades espectrales de estas señales, y la suma de las señales está determinada por la transformada inversa de Fourier de la suma de sus densidades espectrales:

Dónde Uj(t) -i- ésima señal; b’/O"oz) es la densidad espectral de la i-ésima señal.

4. La densidad espectral de la señal, limitada a intervalos infinitesimales 2lA/(Fig. 2.3) cerca, por ejemplo, de las frecuencias -co 0, co (), determina una señal armónica con una amplitud infinitesimal.

Verifiquemos esto considerando que debido a la pequeñez de A/, los valores de la densidad espectral cerca de las frecuencias th () , (n () son iguales, respectivamente S (-jco 0) = |A(70) 0)| _ - /

Arroz. 2.3.

Como la densidad espectral permanece constante en intervalos infinitesimales, podemos sacar el signo de las integrales de las expresiones |50"с 0)|е;ф(10о) y |50"м 0)|е - - ,ф(а) o):

Como se desprende de la fórmula obtenida, la amplitud de la señal recibida está determinada por el valor de la densidad espectral, la función (bshl -)/^ y un rango de frecuencia muy pequeño A/. Como D/ tiende a cero, la función (81 píxeles)/x tiende a la unidad y la amplitud se vuelve igual a cero.

5. Si todos los componentes de la densidad espectral de una señal de tiempo limitado están desfasados ​​en +(l)?o>, entonces esta señal se desplaza en el tiempo en +? 0. En realidad:

6. Al transmitir una señal de tiempo limitado a través cuadripolo lineal, cuya respuesta de frecuencia en la banda de paso es igual a valor constante K 0, y la característica de fase ср(о) = = -а)? 0 > la forma de esta señal permanece sin cambios, pero la señal se retrasa en el tiempo por la cantidad? 0:

Solución. ¿Densidad espectral de una persona detenida por tiempo? 0 pulso es igual a

donde m(?) es el impulso, que se ubica en el origen;

Los cálculos dan el siguiente resultado:

Escribamos esta densidad en la forma Dónde

La última expresión determina la densidad espectral de la señal. Y(?). En el rango de frecuencia, la densidad espectral es un valor positivo, d(co) = 1. Por lo tanto, en este rango, la característica de fase φ(ω) = 0, ya que (o)) = ω8ψ(ω) + → з1п ср (ω).

En el rango de frecuencia, la densidad espectral es un valor negativo. La característica de fase en este rango es igual a cp(co) = i, ya que

La respuesta de frecuencia de la densidad espectral del pulso retardado coincide con la respuesta de frecuencia de la densidad espectral de la señal "(?), y la respuesta de fase está determinada por la expresión

La densidad espectral de un pulso rectangular r/(?), la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase de esta densidad se muestran en la Fig. 2.4.

Arroz. 2.4.

Ejemplo 2.3. Calcular la densidad espectral de la señal codificada.

Dónde ak - elementos palabra clave, igual a -1 o 1, es decir = +1, y 0 (0 es un pulso rectangular con amplitud A y duración t y.

Solución. Apliquemos la fórmula (2.14):

Después de cambiar la variable , obtenemos

Ejemplo 2.4. Calcule la densidad espectral de una señal periódica escrita como una serie de Fourier en forma trigonométrica [ver fórmula (2.11)]. Escriba las expresiones para la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase de los componentes constante, seno y coseno de esta serie.

Solución. Las funciones que definen la fórmula (2.11) son periódicas, a excepción de la componente constante. Aproximamos este componente mediante una función coseno periódica con una frecuencia que tiende a cero:

Calculemos la densidad espectral de una señal periódica. Utah) = = un ajuste perfecto, escribiéndolo en la forma

sch(():

El valor del primer término entre paréntesis de la expresión es igual a 1 si co = -Q, e igual a 0 para otros valores de frecuencia discreta co = kfl,k= 0, 1, ±2, ±3, ±4, .... El valor del segundo término es 1 si co = Q, y es igual a 0 para otros valores de frecuencia discreta a = kQ,k= 0, -1, ±2, ±3, ±4, .... Teniendo esto en cuenta, encontraremos la densidad espectral, respuesta en frecuencia y respuesta de fase de la densidad espectral de la señal periódica Utah) = a porque Q?:

Los valores de la respuesta de frecuencia de la densidad espectral en los puntos del eje de frecuencia con = +?2 son iguales naT/(2n) = aT/2.

Los valores de la respuesta de fase característica de la densidad espectral de la señal armónica en puntos del eje de frecuencia co = son iguales a 0.

Usando la fórmula para la densidad espectral de una señal coseno, puedes encontrar la densidad espectral del componente constante:

La respuesta de frecuencia de la densidad espectral del componente constante está determinada por el valor

Calcular la densidad espectral de una onda sinusoidal es similar a calcular la densidad espectral de una señal coseno.

Grabemos una señal periódica. Utah)= bsinQ? en la forma

Dónde

Densidad espectral de señal y 0 (O:

Usando la expresión encontrada, encontramos la densidad espectral de la señal periódica. Utah) = b pecado q t:

Respuesta de frecuencia de la densidad espectral de esta señal en puntos del eje de frecuencia с = +П:

Los valores de las características de respuesta de fase de la densidad espectral de la señal en los puntos del eje de frecuencia co = +P son iguales a -i/2, pag/ 2.

Las fórmulas resultantes para las densidades espectrales de señales armónicas nos permiten encontrar la densidad espectral de la suma de estas señales:

Dónde - módulo de espectro igual a la amplitud del armónico

señal; φ(P) = -ecL%(b/a)- valor de fase del espectro, igual al valor la fase inicial de esta señal.

La serie de Fourier en forma trigonométrica (2.11) contiene infinitamente gran número sumas de señales armónicas:

La densidad espectral de esta suma se encuentra a partir de la última expresión de la densidad espectral reemplazando P = co)^. Usando esta fórmula y la fórmula para la densidad espectral de la componente constante, obtenemos una expresión para la densidad espectral de la señal escrita como una serie de Fourier en forma trigonométrica:

Dónde - módulo de espectro; f^o^) = - valor de fase del espectro igual al valor de la fase inicial de la señal armónica.

Para secuencia periódica pulsos mostrados en la Fig. 2.1,

Densidad espectral

La densidad espectral calculada es modelo matemático un pulso de video que se repite periódicamente de forma rectangular en el dominio de la frecuencia. El gráfico de densidad espectral se muestra en la Fig. 2.5. Las funciones delta en esta figura se representan convencionalmente mediante flechas.

Arroz. 2.5.

impulsos

El gráfico contiene información sobre la componente constante y las señales armónicas incluidas en la serie de Fourier en forma trigonométrica.

Ejemplo 2.5. Según la densidad espectral, cuya forma se muestra en la Fig. 2.6, calcule la expresión para la señal “(?)

Arroz. 2.6.

Solución. La densidad espectral de la señal está limitada a valores de frecuencia iguales a -со в, с в. Busquemos una señal.

deja la señal s(t) se especifica como una función no periódica y existe solo en el intervalo ( t 1 ,t 2) (ejemplo: pulso único). Elijamos un período de tiempo arbitrario. t, incluido el intervalo ( t 1 ,t 2) (ver Fig. 1).

Denotemos la señal periódica obtenida de s(t), en la forma ( t). Entonces podemos escribir la serie de Fourier para ello.

Para ir a la función s(t) sigue en la expresión ( t) dirige el período al infinito. En este caso, el número de componentes armónicos con frecuencias. w=norte 2pag/t será infinitamente grande, la distancia entre ellos tenderá a cero (a infinito tamaño pequeño:

las amplitudes de los componentes también serán infinitesimales. Por lo tanto, ya no es posible hablar del espectro de dicha señal, ya que el espectro se vuelve continuo.

La integral interna es función de la frecuencia. Se llama densidad espectral de la señal o respuesta de frecuencia de la señal y se designa, es decir,

Por generalidad, los límites de integración se pueden establecer en infinito, ya que es lo mismo donde s(t) es igual a cero y la integral es igual a cero.

La expresión de la densidad espectral se llama transformada directa de Fourier. La transformada inversa de Fourier determina la función temporal de una señal a partir de su densidad espectral

Las transformadas de Fourier directa (*) e inversa (**) se denominan juntas un par de transformadas de Fourier. Módulo de densidad espectral

Determina la respuesta amplitud-frecuencia (AFC) de la señal y su argumento. llamada respuesta de frecuencia de fase (PFC) de la señal. La respuesta de frecuencia de la señal es una función par y la respuesta de fase es impar.

El significado del módulo. S(w) se define como la amplitud de una señal (corriente o voltaje) por 1 Hz en una banda de frecuencia infinitamente estrecha que incluye la frecuencia en cuestión w. Su dimensión es [señal/frecuencia].

Espectro de energía de la señal. Si la función s(t) tiene una densidad de potencia de señal de Fourier ( densidad espectral de energía de señal) está determinada por la expresión:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

El espectro de potencia es una función par no negativa real W(), que generalmente se denomina espectro de energía. El espectro de potencia, como el cuadrado del módulo de densidad espectral de la señal, no contiene información de fase sobre sus componentes de frecuencia y, por lo tanto, la reconstrucción de la señal a partir del espectro de potencia es imposible. Esto también significa que señales con diferentes características de fase pueden tener el mismo espectro de potencia. En particular, el cambio de señal no afecta su espectro de potencia. Esto último nos permite obtener una expresión para el espectro de energía directamente a partir de las expresiones (5.2.7). En el límite, para señales idénticas u(t) y v(t) con un desplazamiento t 0, la parte imaginaria del espectro Wuv () tiende a valores cero y la parte real, a los valores del módulo espectral. Con combinación temporal completa de señales tenemos:

aquellos. la energía de la señal es igual a la integral del cuadrado de su módulo espectro de frecuencia- la suma de la energía de sus componentes de frecuencia, y es siempre una cantidad real.

Para una señal arbitraria s(t) la igualdad

Generalmente se llama igualdad de Parseval (en matemáticas, el teorema de Plancherel, en física, la fórmula de Rayleigh). La igualdad es obvia, ya que las representaciones de coordenadas y frecuencias son esencialmente diferentes mapeos matemáticos la misma señal. Lo mismo ocurre con la energía de interacción de dos señales:

La igualdad de Parseval implica invariancia producto escalar señales y normas relativas a la transformada de Fourier:

Limpieza general problemas prácticos Registro y transmisión de señales, el espectro de energía de la señal es muy significativo. Las señales periódicas se traducen a la región espectral en forma de series de Fourier. Escribamos una señal periódica con período T en forma de serie de Fourier en forma compleja:

El intervalo 0-T contiene un número entero de períodos de todos los exponentes del integrando y es igual a cero, con la excepción del exponencial en k = -m, para el cual la integral es igual a T. En consecuencia, la potencia promedio de a La señal periódica es igual a la suma de los módulos cuadrados de los coeficientes de su serie de Fourier:

Espectro de energía de la señal. – esta es la distribución de la energía de las señales básicas que componen la señal no armónica en el eje de frecuencia. Matemáticamente, el espectro de energía de la señal es igual al cuadrado del módulo de la función espectral:

En consecuencia, el espectro de amplitud-frecuencia muestra el conjunto de amplitudes de los componentes de las señales básicas en el eje de frecuencia, y el espectro de fase-frecuencia muestra el conjunto de fases.

El módulo de la función espectral a menudo se llama espectro de amplitud , y su argumento es espectro de fase.

Además, también hay conversión inversa Fourier, que permite restaurar la señal original, conociendo su función espectral:

Por ejemplo, tomemos un impulso rectangular:

Otro ejemplo de espectros:

Frecuencia de Nyquist, teorema de Kotelnikov .

Frecuencia de Nyquist -V procesamiento digital señales a una frecuencia igual a la mitad de la frecuencia de muestreo. El nombre de Harry Nyquist. Del teorema de Kotelnikov se deduce que al discretizar señal analógica No habrá pérdida de información solo si el espectro (densidad espectral) (la frecuencia más alta de la señal útil) de la señal es igual o menor que la frecuencia de Nyquist. De lo contrario, al restaurar una señal analógica, se superpondrán las "colas" espectrales (sustitución de frecuencia, enmascaramiento de frecuencia) y la forma de la señal restaurada se distorsionará. Si el espectro de la señal no tiene componentes por encima de la frecuencia de Nyquist, entonces (teóricamente) se puede muestrear y luego reconstruir sin distorsión. De hecho, la "digitalización" de una señal (conversión de una señal analógica en digital) está asociada con la cuantificación de muestras: cada muestra se escribe en la forma código digital profundidad de bits finita, como resultado de lo cual se agregan errores de cuantificación (redondeo) a las muestras, bajo ciertas condiciones consideradas como “ruido de cuantificación”.

Las señales reales de duración finita siempre tienen infinitas amplia gama, que disminuye más o menos rápidamente al aumentar la frecuencia. Por lo tanto, el muestreo de señales siempre conduce a una pérdida de información (distorsión de la forma de la señal durante el muestreo y la reconstrucción), sin importar cuán alta sea la frecuencia de muestreo. A la frecuencia de muestreo seleccionada, la distorsión se puede reducir suprimiendo los componentes espectrales de la señal analógica (antes del muestreo) por encima de la frecuencia de Nyquist, lo que requiere un filtro de orden muy alto para evitar el alias de las colas. Implementación práctica Un filtro de este tipo es muy complejo, ya que las características de amplitud-frecuencia de los filtros no son rectangulares, sino suaves, y se forma una determinada banda de frecuencia de transición entre la banda de paso y la banda de supresión. Por tanto, la frecuencia de muestreo se elige con margen, por ejemplo, en los CD de audio se utiliza una frecuencia de muestreo de 44100 Hertz, mientras que la frecuencia más alta del espectro señales de sonido Se considera que la frecuencia es de 20.000 Hz. El margen de frecuencia de Nyquist de 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz le permite evitar la sustitución de frecuencia cuando utiliza el filtro de orden bajo implementado.

Teorema de Kotelnikov

Para restaurar el original señal continua a partir de una muestra muestreada con pequeñas distorsiones (errores), es necesario seleccionar racionalmente el paso de muestreo. Por lo tanto, al convertir una señal analógica en una discreta, necesariamente surge la pregunta sobre el tamaño del paso de muestreo. Intuitivamente, no es difícil entender la siguiente idea. Si una señal analógica tiene un espectro de baja frecuencia limitado por una cierta frecuencia superior Fe (es decir, la función u(t) tiene la forma de una curva que varía suavemente, sin cambios bruscos de amplitud), entonces es poco probable que esta función pueda cambian significativamente durante un pequeño intervalo de tiempo de muestreo. Es bastante obvio que la precisión de reconstruir una señal analógica a partir de la secuencia de sus muestras depende del tamaño del intervalo de muestreo. Cuanto más corto sea, menos diferirá la función u(t) de una curva suave que pasa a través de la muestra. agujas. Sin embargo, a medida que disminuye el intervalo de muestreo, la complejidad y el volumen del equipo de procesamiento aumentan significativamente. Si el intervalo de muestreo es lo suficientemente grande, aumenta la probabilidad de distorsión o pérdida de información al reconstruir una señal analógica. El valor óptimo del intervalo de muestreo lo establece el teorema de Kotelnikov (otros nombres son teorema de muestreo, teorema de K. Shannon, teorema de X. Nyquist: el teorema fue descubierto por primera vez en matemáticas por O. Cauchy y luego descrito nuevamente por D. Carson y R. Hartley), demostrado por él en 1933, el teorema de V. A. Kotelnikov tiene importantes propiedades teóricas y significado práctico: permite muestrear correctamente una señal analógica y determina la forma óptima de restaurarla en el extremo receptor a partir de los valores de muestra.

Según una de las interpretaciones más famosas y sencillas del teorema de Kotelnikov, una señal arbitraria u(t), cuyo espectro está limitado por una determinada frecuencia Fe, puede reconstruirse completamente a partir de la secuencia de sus valores de referencia, siguiendo con un tiempo intervalo

El intervalo de muestreo y la frecuencia Fe(1) en ingeniería de radio a menudo se denominan intervalo y frecuencia de Nyquist, respectivamente. Analíticamente, el teorema de Kotelnikov se presenta junto a

donde k es el número de muestra; - valor de la señal en puntos de referencia - frecuencia superior del espectro de la señal.

Representación de frecuencia de señales discretas. .

La mayoría de las señales se pueden representar como una serie de Fourier:

Consideremos la llamada forma energética de la integral de Fourier. En el Capítulo 5, se dieron las fórmulas (7.15) y (7.16), que dan la transición de la función de tiempo a la imagen de Fourier y viceversa. si algunos función aleatoria tiempo x (s), entonces para ello estas fórmulas se pueden escribir en la forma

e integrarnos sobre todo

reemplazar con la expresión (11.54):

El valor ubicado en corchetes(11.57), como es fácil ver, es la función original del tiempo (11.55). Por tanto, el resultado es la llamada fórmula de Rayleigh (teorema de Parseval), que corresponde a la forma energética de la integral de Fourier:

El lado derecho de (11.58) y (11.39) representa una cantidad proporcional a la energía del proceso considerado. Entonces, por ejemplo, si consideramos una corriente que fluye a través de una determinada resistencia con una resistencia K, entonces la energía liberada en esta resistencia con el tiempo será

Las fórmulas (11.58) y (11.59) expresan la forma energética de la integral de Fourier.

Sin embargo, estas fórmulas son inconvenientes porque en la mayoría de los procesos la energía también tiende a infinito en un intervalo de tiempo infinito. Por lo tanto, es más conveniente tratar no con la energía, sino con la potencia promedio del proceso, que se obtendrá si la energía se divide por el intervalo de observación. Entonces la fórmula (11.58) se puede representar como

Presentando la designación

se llama densidad espectral. Importante

En su significado físico, la densidad espectral es una cantidad proporcional a la potencia promedio del proceso en el rango de frecuencia de co a co + d?co.

En algunos casos, la densidad espectral se considera sólo para frecuencias positivas, duplicándola, lo que se puede hacer ya que la densidad espectral es función par de la frecuencia. Entonces, por ejemplo, la fórmula (11.62) debe escribirse en la forma

- densidad espectral para frecuencias positivas.

ya que en este caso las fórmulas se vuelven más simétricas.

Una circunstancia muy importante es que la densidad espectral y la función de correlación de los procesos aleatorios son transformadas mutuas de Fourier, es decir, están relacionadas por dependencias integrales del tipo (11.54) y (11.55). Esta propiedad se da sin prueba.

Así, se pueden escribir las siguientes fórmulas:

Dado que la densidad espectral y la función de correlación son incluso funciones reales, las fórmulas (11.65) y (11.66) a veces se presentan en una forma más simple;

)

Esto se desprende del hecho de que se cumplen las siguientes igualdades:

y las partes imaginarias se pueden descartar después de sustituir en (11.65) y (11.66), ya que hay funciones reales a la izquierda.

La cuestión es que cuanto más estrecho sea el gráfico de densidad espectral (figura 11.16a), es decir, cuanto más bajas estén representadas las frecuencias en la densidad espectral, más lento cambiará el valor de x con el tiempo. Por el contrario, cuanto más amplio sea el gráfico de densidad espectral (Fig. 11.16, b), es decir, cuanto más altas estén representadas las frecuencias en la densidad espectral, más fina será la estructura de la función x(r) y más rápidos se producirán cambios en el tiempo.

Como puede verse a partir de esta consideración, la conexión entre el tipo de densidad espectral y el tipo de función de tiempo es inversa en comparación con la conexión entre la función de correlación y el proceso mismo (Fig. 11.14). De ello se deduce que un gráfico de densidad espectral más amplio debería corresponder a un gráfico más estrecho. función de correlación y viceversa.

Y 8 (co). Estas funciones, a diferencia de las funciones de impulso analizadas en el capítulo 4, son pares. Esto significa que la función 8(t) está ubicada simétricamente con respecto al origen y se puede definir de la siguiente manera;

Una definición similar se aplica a la función 8 (co). A veces se tiene en cuenta la densidad espectral normalizada, que es la imagen de Fourier de la función de correlación normalizada (11.52):

y por lo tanto

donde O es la dispersión.

Las densidades espectrales cruzadas también son una medida de la relación entre dos variables aleatorias. En ausencia de comunicación, las densidades espectrales mutuas son iguales a cero.

Veamos algunos ejemplos.

Esta función se muestra en la Fig. 11.17a. La imagen de Fourier correspondiente basada en la tabla. 11.3 será

El espectro del proceso consta de un único pico del tipo de función de impulso, ubicado en el origen de las coordenadas (Fig. 11.17, b).

Esto significa que toda la potencia del proceso en cuestión se concentra en la frecuencia de la bala, como era de esperar.

Esta función se muestra en la Fig. 11.18, a, De acuerdo con la tabla. 11.3 la densidad espectral será

3. Para una función periódica ampliable en serie de Fourier

además de la parte periódica contendrá un componente no periódico, entonces el espectro de esta función contendrá, junto con lineas separadas tipo de función de impulso, también una parte continua (figura 11.20). Los picos individuales en el gráfico de densidad espectral indican la presencia de no-riodicidades ocultas en la función en estudio.

no contiene parte periódica, tendrá un espectro continuo sin picos pronunciados.

Consideremos algunos procesos aleatorios estacionarios que son importantes en el estudio de sistemas de control. Consideraremos solo centrado

Al mismo tiempo, el cuadrado promedio variable aleatoria será igual a la varianza:

tener en cuenta el sesgo constante en el sistema de control es elemental.

(Figura 11.21, a):

Un ejemplo de tal proceso es el ruido térmico de una resistencia, que da el nivel de densidad espectral del voltaje caótico a través de esta resistencia.

Temperatura absoluta.

Con base en (11.68), la densidad espectral (11.71) corresponde a la función de correlación

no existe correlación entre los valores anteriores y posteriores de la variable aleatoria x.

y por lo tanto un poder infinitamente mayor.

Para obtener un proceso físicamente real, conviene introducir el concepto de ruido blanco con densidad espectral limitada (figura 11.21, b):

Ancho de banda para densidad espectral.

Este proceso corresponde a la función de correlación.

El valor cuadrático medio de una variable aleatoria es proporcional a la raíz cuadrada de la banda de frecuencia:

A menudo es más conveniente aproximar la dependencia (11.73) con una curva suave. Para ello se puede utilizar, por ejemplo, la expresión

Coeficiente que determina el ancho de banda de frecuencia.

El proceso se acerca al ruido blanco, por lo que

En cuanto a estas frecuencias

La integración (11.77) sobre todas las frecuencias permite determinar la dispersión:

Por tanto, la densidad espectral (11.77) se puede escribir de otra forma:

Función de correlación para este proceso.

La función de correlación también se muestra en la Fig. 21.11, a las.

La transición de un valor a otro se produce instantáneamente. Los intervalos de tiempo obedecen a la ley de distribución de Poisson (11.4).

Un gráfico de este tipo se obtiene, por ejemplo, como primera aproximación al seguir con un radar un objetivo en movimiento. Un valor de velocidad constante corresponde a que el objetivo se mueva en línea recta. Un cambio en el signo o magnitud de la velocidad corresponde a la maniobra objetivo.

Será el valor medio del intervalo de tiempo durante el cual la velocidad angular permanece constante. En relación al radar, este valor será el tiempo medio de movimiento del objetivo en línea recta.

Para determinar la función de correlación, es necesario encontrar el valor promedio del producto.

A la hora de encontrar este trabajo, se pueden dar dos casos.

pertenecen al mismo intervalo. Entonces el valor promedio del producto de las velocidades angulares será igual al cuadrado medio de la velocidad angular o dispersión:

pertenecen a diferentes intervalos. Entonces el valor medio del producto de velocidades será igual a la bala:

ya que los productos con signos positivos y negativos serán igualmente probables. La función de correlación será igual a

La probabilidad de encontrarlos en diferentes intervalos.

Probabilidad de ausencia

Por un intervalo de tiempo

ya que estos eventos son independientes.

Como resultado, para un intervalo finito At obtenemos

El signo del módulo para m viene dado porque la expresión (11.80) debe corresponder a una función par. La expresión de la función de correlación coincide con (11.79). Por tanto, la densidad espectral del proceso considerado debe coincidir con (11.78):

Tenga en cuenta que, a diferencia de (11.78), la fórmula de densidad espectral (11.81) se escribe para la velocidad angular del proceso (figura 11.22). Si pasamos de velocidad angular a ángulo, obtenemos un proceso aleatorio no estacionario con dispersión que tiende al infinito. Sin embargo, en la mayoría de los casos, el servosistema, en cuya entrada opera este proceso, tiene un estatismo de primer orden y superior. Por tanto, el primer coeficiente de error c0 del sistema de seguimiento es cero y su error estará determinado únicamente por la velocidad de entrada y las derivadas de órdenes superiores, respecto de las cuales el proceso es estacionario. Esto hace posible utilizar la densidad espectral (11.81) al calcular error dinámico sistema de seguimiento.

3. Cabeceo irregular. Algunos objetos, por ejemplo barcos, aviones y otros, al estar bajo la influencia de perturbaciones irregulares (ondas irregulares, perturbaciones atmosféricas, etc.), se mueven según una ley aleatoria. Dado que los propios objetos tienen una determinada frecuencia de oscilación característica, tienen. la propiedad de enfatizar aquellas frecuencias de perturbación que están cercanas a su propia frecuencia de oscilación. El movimiento aleatorio resultante del objeto se llama movimiento irregular, a diferencia del movimiento regular, que es un movimiento periódico.

En la figura 2 se muestra una gráfica típica de movimiento irregular. 23.11. Del examen de este gráfico queda claro que, a pesar de la naturaleza aleatoria, esto

el movimiento es bastante cercano al periódico.

En la práctica, la función de correlación del movimiento irregular a menudo se aproxima mediante la expresión

Dispersión.

generalmente se encuentran procesando datos experimentales (pruebas a gran escala).

La función de correlación (11.82) corresponde a la densidad espectral (ver Tabla 11.3)

El inconveniente de la aproximación (11.82) es que esta fórmula puede describir el comportamiento de cualquier cantidad de movimiento irregular (ángulo, velocidad angular o aceleración angular). En este caso, el valor O corresponderá a la dispersión del ángulo, velocidad o. aceleración.

Si, por ejemplo, escribimos la fórmula (11.82) para un ángulo, entonces este proceso corresponderá a una piedra irregular con una dispersión para velocidades angulares que tienden al infinito, es decir, será un proceso físicamente irreal.

Una fórmula más conveniente para aproximar el ángulo de cabeceo

Sin embargo, esta aproximación también corresponde a un proceso físicamente irreal, ya que la dispersión de la aceleración angular tiende al infinito.

Para obtener una dispersión finita de la aceleración angular, se necesita aún más fórmulas complejas aproximaciones que no se dan aquí.

En la figura 1 se muestran curvas típicas para la función de correlación y la densidad espectral del movimiento irregular. 24.11.

En ingeniería de radio estadística y física al estudiar. señales deterministas y procesos aleatorios, se utiliza ampliamente su representación espectral en forma de densidad espectral, que se basa en la transformada de Fourier.

Si el proceso tiene energía finita y es cuadráticamente integrable (y este es un proceso no estacionario), entonces, para una implementación del proceso, la transformada de Fourier se puede definir como aleatoria. función compleja frecuencias:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) mi − yo 2 π f t re t .

(1)

(\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

Sin embargo, resulta casi inútil para describir el conjunto. La salida a esta situación es descartar algunos parámetros del espectro, a saber, el espectro de fase, y construir una función que caracterice la distribución de energía del proceso a lo largo del eje de frecuencia. Entonces, según el teorema de Parseval, la energía

(2)

mi x = ∫ − ∞ ∞ | x(t) | 2 re t = ∫ − ∞ ∞ |

X(f) | 2df.(\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)gl.) Función S x (f) = |

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) mi − yo 2 π f τ d τ .

(3)

(\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .) si existe conversión directa , entonces también existe una transformada de Fourier inversa, que, según la definición conocida, determina:

k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau))

(4)

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) mi yo 2 π f τ re f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.) Si asumimos en las fórmulas (3) y (4) respectivamente f = 0 (\displaystyle f=0) Y

τ = 0 (\displaystyle \tau =0)

(5)

, tenemos

(6)

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,) σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f .(\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.) La fórmula (6) teniendo en cuenta (2) muestra que la dispersión determina energía completa estacionario proceso aleatorio , que es igual al área bajo la curva de densidad espectral. Valor dimensional S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) puede interpretarse como la fracción de energía concentrada en un pequeño rango de frecuencia desde f − re f / 2 (\displaystyle f-df/2) Función a f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Si queremos decir por f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2) corriente o voltaje aleatorio (fluctuación), entonces el valor S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) tendrá la dimensión de energía [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Es por eso a veces llamado espectro energético f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). En la literatura a menudo se puede encontrar otra interpretación: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– se considera como la potencia promedio generada por corriente o voltaje a través de una resistencia de 1 ohmio. Al mismo tiempo, el valor

llamado

1 / 3

espectro de potencia

proceso aleatorio.

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Espectro y densidad espectral.

Densidad espectral de pulso rectangular. Densidad espectral de un pulso triangular.

, , (2.2.7)

donde se llama espectro de muestra. Al igual que un periodograma, se puede utilizar para detectar y estimar las amplitudes de la componente sinusoidal de una frecuencia desconocida oculta en el ruido y, de hecho, es incluso más conveniente a menos que se sepa que la frecuencia está relacionada armónicamente con la longitud de la serie, es decir, Además, es el punto de partida de la teoría. análisis espectral, utilizando la importante relación que figura en el Apéndice A2.1. Esta relación establece una conexión entre el análisis del espectro de muestras y las estimaciones de la función de autocovarianza:

. (2.2.8)

Por tanto, el espectro de la muestra es la transformada del coseno de Fourier de la función de autocovarianza de la muestra.

Espectro. El periodograma y el espectro de muestra son conceptos convenientes para analizar series temporales formadas por una mezcla de ondas sinusoidales y coseno con frecuencias constantes ocultas en el ruido. Sin embargo, las series temporales estacionarias del tipo descrito en la Sección. 2.1, se caracterizan por cambios aleatorios de frecuencia, amplitud y fase. Para tales series, el espectro de la muestra fluctúa mucho y no permite ninguna interpretación razonable.

Supongamos, sin embargo, que el espectro de muestra se calculó para una serie de tiempo a partir de observaciones que es una realización de un modelo estacionario. proceso normal. Como se mencionó anteriormente, dicho proceso no tiene componentes deterministas de seno o coseno, pero podemos realizar formalmente un análisis de Fourier y obtener valores de , para cualquier frecuencia. Si un proceso estocástico genera observaciones repetidas, podemos recopilar una población de valores y . Luego podemos encontrar el promedio de realizaciones repetidas de longitud, es decir

. (2.2.9)

Para valores grandes, se puede demostrar (ver, por ejemplo) que el valor promedio de la autocovarianza en implementaciones repetidas tiende a la autocovarianza teórica, es decir

Pasando al límite en (2.2.9) para , definimos el espectro de potencia como

, . (2.2.10)

Tenga en cuenta que desde

luego, para que el espectro converja, debe disminuir con el crecimiento tan rápidamente que asegure la convergencia de la serie (2.2.11). Dado que el espectro de potencia es la transformada coseno de Fourier de la función de autocovarianza, conocer la función de autocovarianza es matemáticamente equivalente a conocer el espectro de potencia y viceversa. De ahora en adelante nos referiremos simplemente al espectro de potencia como espectro.

Integrando (2.2.10) en el rango de 0 a 1/2, encontramos la dispersión del proceso.

. (2.2.12)

Por lo tanto, así como un periodograma muestra cómo se distribuye la dispersión (2.2.6) de una serie formada por una mezcla de ondas seno y coseno entre los distintos componentes armónicos, un espectro muestra cómo se distribuye la dispersión de un proceso estocástico sobre una onda continua. rango de frecuencias. Puede interpretarse como un valor aproximado de la varianza del proceso en rango de frecuencia desde hasta .

Espectro normalizado. A veces es más conveniente definir el espectro (2.2.10) utilizando autocorrelaciones en lugar de autocovarianzas. Función resultante

, (2.2.13). Sin embargo, se puede demostrar (ver) que el espectro de muestra de una serie temporal estacionaria fluctúa fuertemente alrededor del espectro teórico. La explicación intuitiva para este hecho es que el espectro muestreado corresponde al uso de un intervalo demasiado estrecho en el dominio de la frecuencia. Esto es análogo a utilizar un intervalo de agrupamiento demasiado estrecho para un histograma al estimar una distribución de probabilidad normal utilizando un estimador modificado o suavizado.

, (2.2.14)

donde - pesos especialmente seleccionados, llamados ventana de correlación, pueden aumentar el "ancho de banda" de la estimación y obtener una estimación suavizada del espectro.

En la figura. La Figura 2.8 muestra una muestra de evaluación del espectro de datos de lotes de productos. Se puede observar que la dispersión de la serie se concentra principalmente en altas frecuencias. Esto es causado por rápidas oscilaciones de la serie original mostrada en la Fig. 2.1.