Ejemplos de expansión en series de Fourier de secuencias de pulsos. Representación en serie de Fourier de señales periódicas.
Entre los diversos sistemas de funciones ortogonales que pueden utilizarse como base para representar señales de radio, las funciones armónicas (seno y coseno) ocupan un lugar excepcional. La importancia de las señales armónicas para la ingeniería radioeléctrica se debe a varias razones.
En particular:
1. Las señales armónicas son invariantes respecto de las transformaciones realizadas por circuitos eléctricos lineales estacionarios. Si dicho circuito es excitado por una fuente de oscilaciones armónicas, entonces la señal en la salida del circuito permanece armónica con la misma frecuencia, diferenciándose de la señal de entrada solo en amplitud y fase inicial.
2. La técnica para generar señales armónicas es relativamente sencilla.
Si cualquier señal se presenta como una suma de oscilaciones armónicas con diferentes frecuencias, entonces se dice que se ha realizado una descomposición espectral de esta señal. Los componentes armónicos individuales de una señal forman su espectro.
2.1. Señales periódicas y series de Fourier.
Un modelo matemático de un proceso que se repite en el tiempo es una señal periódica con la siguiente propiedad:
Aquí T es el período de la señal.
La tarea consiste en encontrar la descomposición espectral de dicha señal.
Serie de Fourier.
Fijémonos en el intervalo de tiempo considerado en el Cap. I base ortonormal formada por funciones armónicas con múltiples frecuencias;
Cualquier función a partir de esta base satisface la condición de periodicidad (2.1). Por lo tanto, realizando una descomposición ortogonal de la señal sobre esta base, es decir, calculando los coeficientes
obtenemos la descomposición espectral
válido en todo el infinito del eje del tiempo.
Una serie de la forma (2.4) se denomina serie de Fourier de una señal dada. Introduzcamos la frecuencia fundamental de la secuencia que forma la señal periódica. Calculando los coeficientes de expansión usando la fórmula (2.3), escribimos la serie de Fourier para una señal periódica
con probabilidades
(2.6)
Entonces, en el caso general, una señal periódica contiene un componente constante independiente del tiempo y un conjunto infinito de oscilaciones armónicas, los llamados armónicos con frecuencias que son múltiplos de la frecuencia fundamental de la secuencia.
Cada armónico se puede describir por su amplitud y fase inicial. Para ello se deben escribir los coeficientes de la serie de Fourier en la forma.
Sustituyendo estas expresiones en (2.5), obtenemos otra forma equivalente de la serie de Fourier:
lo que a veces resulta más conveniente.
Diagrama espectral de una señal periódica.
Esto es lo que comúnmente se llama una representación gráfica de los coeficientes de la serie de Fourier para una señal específica. Hay diagramas espectrales de amplitud y fase (Fig. 2.1).
Aquí, el eje horizontal representa las frecuencias armónicas en una determinada escala, y el eje vertical representa sus amplitudes y fases iniciales.
Arroz. 2.1. Diagramas espectrales de alguna señal periódica: a - amplitud; b - fase
Están especialmente interesados en el diagrama de amplitud, que permite juzgar el porcentaje de ciertos armónicos en el espectro de una señal periódica.
Estudiemos algunos ejemplos específicos.
Ejemplo 2.1. Serie de Fourier de una secuencia periódica de pulsos de vídeo rectangulares con parámetros conocidos, incluso relativos al punto t = 0.
En ingeniería de radio, la relación se denomina ciclo de trabajo de la secuencia. Usando las fórmulas (2.6) encontramos
Es conveniente escribir la fórmula final de la serie de Fourier en la forma
En la figura. La Figura 2.2 muestra los diagramas de amplitud de la secuencia considerada en dos casos extremos.
Es importante señalar que una secuencia de pulsos cortos, que rara vez se suceden, tiene una rica composición espectral.
Arroz. 2.2. Espectro de amplitud de una secuencia periódica de pulsos de video rectangulares: a - con un ciclo de trabajo grande; b - con ciclo de trabajo bajo
Ejemplo 2.2. Serie de Fourier de una secuencia periódica de pulsos formada por una señal armónica de la forma limitada en el nivel (se supone que ).
Introduzcamos un parámetro especial: el ángulo de corte, determinado a partir de la relación donde
De acuerdo con esto, el valor es igual a la duración de un pulso, expresada en medida angular:
El registro analítico del pulso que genera la secuencia considerada tiene la forma
Componente de secuencia constante
Primer factor de amplitud armónica
De manera similar, las amplitudes de los componentes armónicos se calculan en
Los resultados obtenidos suelen escribirse así:
donde funciona el llamado Berg:
En la figura 2 se muestran gráficas de algunas funciones de Berg. 2.3.
Arroz. 2.3. Gráficas de las primeras funciones de Berg.
Forma compleja de la serie de Fourier.
La descomposición espectral de una señal periódica también se puede realizar de forma algo iónica, utilizando un sistema de funciones básicas que consta de exponenciales con exponentes imaginarios:
Es fácil ver que las funciones de este sistema son periódicas con un período ortonormal en el intervalo de tiempo desde
La serie de Fourier de una señal periódica arbitraria en este caso toma la forma
con probabilidades
Normalmente se utiliza la siguiente forma de notación:
La expresión (2.11) es una serie de Fourier en forma compleja.
El espectro de la señal, de acuerdo con la fórmula (2.11), contiene componentes en el semieje de frecuencia negativa, y . En la serie (2.11), los términos con frecuencias positivas y negativas se combinan en pares, por ejemplo: y las sumas de los vectores se construyen en la dirección de aumentar el ángulo de fase, mientras que los vectores giran en la dirección opuesta. El final del vector resultante en cada momento determina el valor actual de la señal.
Esta interpretación visual de la descomposición espectral de una señal periódica se utilizará en el siguiente párrafo.
Las señales periódicas están sujetas a expansión en series de Fourier. Como se mencionó anteriormente, se puede representar una función periódica de cualquier forma, definida en un intervalo de un período T = b-a y que satisface las condiciones de Dirichlet en este intervalo (acotada, continua por partes, con un número finito de discontinuidades del primer tipo). como una serie de Fourier:
s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)
donde los coeficientes de ponderación S n de la serie están determinados por la fórmula:
S n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)
La serie de Fourier es un conjunto de exponenciales complejas. exp(jnDwt) con frecuencias formando una progresión aritmética. Función de ponderación S(nDw)) suele denominarse espectro complejo de una señal periódica o transformada de Fourier de la función s(t). El espectro de una señal periódica es una función discreta, porque se define sólo para valores enteros de n con un paso de frecuencia inverso al período: Dw = 2p/T(o Df = 1/T). El primer componente de frecuencia del espectro en n = 1, igual a w 1 = 1×Dw = 2p/T(o f1 = 1/T), se llaman básico frecuencia de la señal (primer armónico), las frecuencias restantes del espectro discreto ahora 1 cuando n>1 se denominan armónicos de señal. Valores S(nDw) porque los valores positivos y negativos de n son conjugados complejos.
Desde un punto de vista puramente matemático, muchas funciones exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L 2 , точка с координатами S n по базисным осям пространства exp(jnDwt). Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (2) с использованием тождества Эйлера
exp(±jwt) = cos(peso) ± j×sin(peso)
se puede descomponer en componentes coseno y seno y expresar el espectro complejo en forma de parte real e imaginaria:
S norte = (1/T) s(t) dt = An - jB norte . (3)
A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)
B norte ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sen(nDwt) dt. (5)
En la figura. La Figura 4 muestra un ejemplo de una señal periódica (un pulso rectangular en el intervalo (1-3.3), que se repite con un período T=40) y la forma de las partes real e imaginaria de su espectro. Tenga en cuenta que la parte real del espectro es una función par A(nDw) = A(-nDw) relativa a cero, ya que al calcular los valores de A(nDw) usando la fórmula (4), se obtiene una función coseno par cos (nDwt) = cos(-nDwt) se utiliza). La parte imaginaria del espectro es una función impar B(nDw) = -B(-nDw), ya que para calcularla usando (5) se utiliza la función seno impar sin(nDwt) = - sin(-nDwt).
Arroz. 4. La señal y su complejo espectro.
Los números complejos de una función discreta (3) se pueden representar en forma de módulos y argumentos complejos. exponencial, que da la siguiente forma de registrar el espectro complejo:
S norte = R norte exp(jj norte), (3")
R norte 2 ≡ R 2 (nDw) = A 2 (nDw)+B 2 (nDw),j norte ≡ j(nDw) = arctan(-B(nDw)/A(nDw)).
Arroz. 5. Módulo y argumento del espectro.
El módulo espectral R(nDw) se denomina espectro de amplitud de doble cara o respuesta de frecuencia de la señal, y el argumento del espectro (la secuencia de ángulos de fase j(nDw)) se denomina espectro de fase de doble cara o respuesta de fase. . El espectro de amplitud es siempre una función par: R(nDw) = R(-nDw), y el espectro de fase es una función impar: j(nDw) = -j(-nDw). Un ejemplo de un espectro en representación de amplitud y fase para la señal que se muestra en la Fig. 4, mostrado en la Fig. 5. Al considerar el espectro de fase, se debe tener en cuenta la periodicidad 2p de la frecuencia angular (cuando el valor de fase disminuye a un valor menor que -p, el valor -2p se restablece).
Si la función s(t) es par, entonces todos los valores de B(nDw) según (5) son iguales a cero, porque incluso funciones ortogonal armónicos seno y el producto integrando s(t)·sen(nDwt) da la integral cero. En consecuencia, el espectro de la función estará representado únicamente por coeficientes reales. Por el contrario, si la función s(t) es impar, todos los valores de los coeficientes A(nDw) (funciones impares a armónicos cosenos ortogonales) se ponen a cero y el espectro es puramente imaginario. Este factor no depende de la elección de los límites para especificar el período de la función en el eje numérico. En la figura. 6(A) se puede ver claramente la ortogonalidad del primer armónico de la función seno y par, y en la Fig. 6(B) respectivamente coseno y función impar dentro de un período. Considerando la frecuencia múltiplo de los armónicos posteriores al primer armónico del espectro, se conserva la ortogonalidad para todos los armónicos de la serie de Fourier.
Arroz. 6. Ortogonalidad de funciones.
Cuando n = 0 tenemos B o = 0, y obtenemos la componente constante de la señal:
S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.
2.5. Forma trigonométrica de la serie de Fourier. .
Combinando componentes conjugados complejos (miembros de la serie que son simétricos con respecto al término central de la serie S 0), podemos pasar a la serie de Fourier en forma trigonométrica:
s(t) = A o +2 (A n cos(nDwt) + B n sin(nDwt)), (6)
s(t) = A o +2 R n cos(nDwt + j n). (6")
Los valores de A n, B n se calculan mediante las fórmulas (4-5), los valores de R n y j n se calculan mediante las fórmulas (3").
La serie (6) representa la descomposición de una señal periódica s(t) en la suma de funciones armónicas elementales reales (coseno y seno) con coeficientes de ponderación, cuyos valores dobles (es decir, los valores 2×A n, 2×B n) no son más que las amplitudes de las oscilaciones armónicas correspondientes con frecuencias nDw. El conjunto de valores de amplitud de estos armónicos forma un espectro de señal físicamente real (solo para frecuencias positivas nDw) unilateral. Para la señal de la Fig. 4, por ejemplo, repite completamente la mitad derecha de los espectros que se muestran en la figura con valores de amplitud dobles (con la excepción del valor de A o en frecuencia cero, que, como se desprende de (6), no se duplica ). Pero esta visualización gráfica de espectros se utiliza muy raramente (excepto en aplicaciones puramente técnicas). La fórmula (6") se usa más ampliamente para mostrar espectros físicamente reales. El espectro de amplitudes de los armónicos cosenos en tal visualización se llama composición amplitud-frecuencia de la señal, y el espectro de los ángulos de fase de los armónicos es la característica de fase de la señal. La forma de los espectros repite la mitad derecha de los espectros de dos caras correspondientes (ver Fig. Fig. 5) también con valores de amplitud doble. Para señales pares, las lecturas del espectro de fase solo pueden tomar valores 0 o p, para señales impares, respectivamente, ±p/2.
La serie de Fourier de señales periódicas analógicas arbitrarias puede contener un número infinitamente grande de términos. Sin embargo, una de las ventajas importantes de la transformada de Fourier es que al limitar (truncar) la serie de Fourier a cualquier número finito de sus términos, la mejor aproximación a la función original (para un número determinado de términos) se proporciona en términos de la media. error cuadrático.
El gráfico superior de la Figura 7 muestra la señal reconstruida en N = 8 (armónicos del primer pico del espectro, cuyo centro corresponde al armónico principal de la señal y el término de la serie n = w s /Dw), N = 16 (armónicos de los dos primeros picos) y N = 40 (primeros cinco picos del espectro). Naturalmente, cuantos más términos de serie se incluyan en la reconstrucción, más se acercará la señal reconstruida a la forma de la señal original. El principio de aproximación sucesiva a la forma original es claramente visible en el gráfico inferior de la figura. En él también se pueden ver los motivos de la aparición de pulsaciones en la reconstrucción de saltos en funciones, que se denominan efecto gibbs. Cuando cambia el número de términos sumados de la serie, el efecto Gibbs no desaparece. La amplitud relativa de las pulsaciones (en relación con la amplitud del salto) y la atenuación relativa (por el coeficiente de disminución sucesiva de la amplitud de las pulsaciones en relación con el aumento máximo) tampoco cambian solo la frecuencia del; Las pulsaciones, que están determinadas por la frecuencia de los últimos armónicos sumados, cambian.
El efecto Gibbs siempre ocurre cuando hay una violación aguda de la monotonicidad de las funciones. En las carreras de caballos, el efecto es máximo; en todos los demás casos, la amplitud de las pulsaciones depende de la naturaleza de la violación de la monotonicidad de la función.
Una función arbitraria no periódica especificada (limitada, separada de otra señal, etc.) en el intervalo (a,b) también se puede expandir a una serie de Fourier si no estamos interesados en su comportamiento fuera de este intervalo. Sin embargo, debe recordarse que el uso de las fórmulas (1-6) significa automáticamente la continuación periódica de esta función más allá de un intervalo dado (en ambas direcciones) con un período T = b-a. Sin embargo, al mismo tiempo, el fenómeno de Gibbs puede ocurrir en los bordes del intervalo si el nivel de la señal en los bordes no coincide y se forman saltos de señal durante su repetición periódica, como se puede ver en la Fig. 8. Al expandir la función original a una serie limitada de Fourier y procesarla en el dominio de la frecuencia, de hecho, no se procesa la función original, sino la reconstruida a partir de la serie limitada de Fourier. Cuando se truncan series de Fourier siempre existe una cierta distorsión de funciones. Pero con una pequeña fracción de la energía de la parte cortada de la señal (con una rápida atenuación de los espectros de funciones), este efecto puede resultar poco perceptible. Se manifiesta más claramente en saltos y discontinuidades de funciones.
Arroz. 7. Reconstrucción (restauración) de la señal.
Arroz. 8. Manifestación del efecto Gibbs.
Información relacionada.
TRABAJO DE LABORATORIO N°1
AMPLIACIÓN DE SEÑALES A LA SERIE DE FOURIER
Propósito de la tarea
Familiarícese con ejemplos de descomposición de señales en una serie de Fourier e implemente prácticamente la descomposición de varios tipos de señales en el sistema MatLab.
Declaración del problema
Realizar expansiones de señales de varios tipos en series de Fourier. Las siguientes señales están sujetas a descomposición: una secuencia de pulsos rectangulares, una onda cuadrada, una señal en diente de sierra y una secuencia de pulsos triangulares.
Para cada opción y cada tipo de señal se especifican los siguientes parámetros:
para una secuencia de pulsos rectangulares: amplitud, período de repetición y duración del pulso;
para un meandro, una señal en diente de sierra y una secuencia de pulsos triangulares: la amplitud y el período de repetición de los pulsos.
Para todo tipo de señales, se especifica el número de armónicos distintos de cero.
Componer programas en el sistema MatLab y construir gráficos.
Declaración del problema.
Código de programa para descomponer una secuencia de pulsos rectangulares, una onda cuadrada, una señal en diente de sierra y una secuencia de pulsos triangulares.
Los resultados de la ejecución del programa son gráficos de etapas intermedias de suma.
Pautas
serie de fourier
Las señales periódicas se pueden ampliar a una serie de Fourier. Además, se presentan como una suma de funciones armónicas o exponenciales complejas con frecuencias que forman una progresión aritmética.
La serie de Fourier se puede utilizar para representar no sólo señales periódicas, sino también señales de duración finita. En este caso se especifica un intervalo de tiempo para el cual se construye la serie de Fourier, y en otros momentos la señal se considera igual a cero. Para calcular los coeficientes de una serie, este enfoque en realidad implica la continuación periódica de la señal más allá de los límites del intervalo considerado.
Forma seno-coseno
En esta versión, la serie de Fourier tiene la siguiente forma:
Aquí 
– frecuencia circular correspondiente al período de repetición de la señal igual a 
. Las frecuencias incluidas en la fórmula son múltiplos de ella. 
se llaman armónicos, los armónicos se numeran según el índice 
; frecuencia 
llamado 
-ésimo armónico de la señal. Coeficientes de serie 
Y 
se calculan mediante las fórmulas:
,
.
Constante 
calculado utilizando la fórmula general para 
. Este término en sí representa el valor promedio de la señal durante el período:
.
Si 
es una función par, entonces todo 
será igual a cero y solo estarán presentes términos cosenos en la fórmula de la serie de Fourier. Si 
es una función impar, los coeficientes del coseno serán iguales a cero, por el contrario 
y sólo quedarán términos sinusoidales en la fórmula.
SECUENCIA DE PULSOS RECTANGULARES
, duración 
y periodo de repetición 
.Arroz. 1 Secuencia periódica de pulsos rectangulares.
Esta señal es una función par, por lo que para representarla es más conveniente utilizar la forma seno-coseno de la serie de Fourier; solo contendrá términos cosenos. 
, igual
.
La relación entre el período y la duración del pulso se llama ciclo de trabajo de la secuencia de pulsos y denotado por la letra 
:
.
Representación de una secuencia de pulsos rectangulares en forma de serie de Fourier:
.
Las amplitudes de los términos armónicos de la serie dependen del número armónico.
MEANDRO
Arroz. 2 meandro
En 
, obtenemos
Aquí m es un número entero arbitrario.
Cuando se expande en una serie de Fourier, incluso los componentes estarán ausentes.
SEÑAL DE RAMPA
Dentro del período, se describe mediante una función lineal:
Arroz. 3. Señal de rampa
Esta señal es una función impar, por lo tanto su serie de Fourier en forma seno-coseno contendrá sólo términos seno:
.
La propia serie de Fourier para una señal en diente de sierra tiene este aspecto:
SECUENCIA DE PULSO TRIANGULAR
Fig.4. Secuencia de pulso triangular
La señal es una función par, por lo que habrá componentes cosenos.
Calculemos los coeficientes de la serie de Fourier:
La propia serie de Fourier tiene la siguiente forma:
Como puede ver, a diferencia de las secuencias de pulsos rectangulares y en dientes de sierra, para una señal periódica triangular las amplitudes armónicas disminuyen en proporción a la segunda potencia de los números armónicos. 
.
Código de programa para meandro
N= 8; % número de armónicos distintos de cero
t= -1:0,01:1; % vector de tiempo
A= 1; % amplitud
T= 1; % período
nh= (1:N)*2-1; % número de armónicos distintos de cero
armónicos = cos(2*pi*nh"*t/T);
Am= 2/pi./nh; % amplitud armónica
Soy(2:2:fin) = -Soy(2:2:fin); % alternancia de caracteres
s1 = armónicos .* repmat(Am", 1, longitud(t));
% cadenas - sumas parciales de armónicos
para k=1:N, subtrama(4, 2, k), trama(t, s2(k,:)), fin
R
resultado del programa
Comentarios :repmat– creación de una matriz de bloques o una matriz de bloques multidimensional a partir de bloques idénticos repmat(Am", 1,length(t)) – la matriz consta de 1 bloque verticalmente y bloques de longitud(t) horizontalmente, cada bloque es una matriz Am".
Cumsum– cálculo de sumas parciales de elementos.
Subtrama (Filas, columnas, norte) – comando para mostrar múltiples gráficos. La ventana gráfica está dividida en celdas en forma de matriz con Filas– pauta, columnas– columnas, y norte– la celda se vuelve actual.
Opciones
|
№ opción |
Parámetros para señales. |
|||
|
|
|
|
|
|
–amplitud de señal
–período de repetición de señal
–duración de la señal
–número de armónicos distintos de ceroDónde , 
- frecuencia del armónico fundamental, ;
() – armónicos superiores;
|
|
,
(incluido ) y son los coeficientes de Fourier.
|
|
Es conveniente calcular el componente constante (valor promedio) de la función utilizando una expresión separada obtenida de: 
, , Entonces
Obviamente, si la señal es una función par del tiempo, entonces en la representación trigonométrica de la serie de Fourier (1.14) solo quedan componentes coseno, ya que los coeficientes van a cero. Por el contrario, para una señal definida por una función impar del tiempo, los coeficientes se vuelven cero y la serie contiene componentes sinusoidales.
|
|
,A menudo resulta conveniente representar la expresión (1.15) en otra forma equivalente de la serie de Fourier: 
donde , es la amplitud,
- fase inicial - oh armónicos.
En la figura. La Figura 1.10 muestra gráficos que ilustran la representación de una secuencia periódica de pulsos rectangulares mediante un número finito de términos () de la serie de Fourier.
Para la función (figura 1.10), la expansión tiene la forma
Una secuencia periódica de pulsos rectangulares se representa como resultado de la suma de un componente constante y señales sinusoidales con frecuencias, y el período de la sinusoide con frecuencia coincide con el período de la secuencia de pulsos. Por conveniencia, se puede representar en la forma.
El conjunto de todos los componentes armónicos de la expansión en serie de Fourier de una función se llama espectro de la función.
La presencia de componentes armónicos individuales del espectro y la magnitud de las amplitudes se pueden mostrar claramente utilizando un diagrama espectral (Fig. 1.11), en el que el eje horizontal sirve como eje de frecuencia y el eje vertical como eje de amplitud.
Los puntos en el eje de frecuencia muestran las amplitudes de los componentes armónicos correspondientes de la expansión de la función.
Es fácil notar que la gráfica de la suma de los dos primeros términos del desarrollo (1.16) reproduce de manera muy aproximada la forma de la gráfica de la función, solo en sus características principales. Tener en cuenta el tercer término mejora significativamente la concordancia de la suma con la función. Por tanto, a medida que aumenta el número de armónicos tenidos en cuenta, aumenta la precisión de la representación.
Ejemplo 1.1. Ampliemos en una serie de Fourier una secuencia periódica de pulsos de video rectangulares con parámetros conocidos (, , ) (Fig. 1.12), incluso en relación con el punto:
.
Para representar esta señal, usaremos la forma de la serie de Fourier en la forma (1.12). Para la representación espectral de una secuencia de pulsos rectangulares, es aconsejable tomar el punto de referencia en el centro del pulso. De hecho, en este caso, en la expansión solo quedarán componentes cosenos, ya que las integrales de funciones impares durante un período son iguales a cero bk=0.
Usando las fórmulas (1.14) encontramos los coeficientes:
, 
,
permitiéndonos escribir la serie de Fourier:
,
¿Dónde está el ciclo de trabajo de la secuencia de pulsos?
Para construir diagramas espectrales para datos numéricos específicos, asumimos y calculamos los coeficientes armónicos. Los resultados del cálculo de los primeros ocho componentes del espectro en , y 8 se resumen en la Tabla. 1.1 y diagramas espectrales construidos en la Fig. 1.13.
Tabla 1.1. Amplitudes de componentes espectrales para una secuencia periódica de pulsos rectangulares.
Del ejemplo anterior se deduce que al aumentar el ciclo de trabajo, el número de componentes espectrales aumenta y sus amplitudes disminuyen.
La elección del número de componentes espectrales depende de la forma de la señal y de la precisión de su representación mediante la serie de Fourier. Un cambio suave en la forma de onda requerirá menos armónicos para obtener la misma precisión de representación que una forma de onda abrupta. Para una representación aproximada de impulsos rectangulares, en la práctica se suele considerar que de tres a cinco armónicos son suficientes.
Análisis de un circuito en el dominio del tiempo por el método de variables de estado bajo influencias constantes.
4.1 Expansión en serie de Fourier de una secuencia de pulsos periódica dada
El diagrama del circuito eléctrico, teniendo en cuenta la Tabla 1, se presenta en la Fig. 7.
Cualquier función periódica f(t) que satisfaga las condiciones de Dirichlet se puede ampliar a una serie de Fourier. Denotaremos el período de la función por T y la frecuencia fundamental por _. La serie de Fourier se puede escribir de dos maneras.
Primer formulario de inscripción:
Segunda forma de grabación:
En ambas formas, A 0 es un componente constante de la serie; Y k es la amplitud del k-ésimo armónico de la serie; k es la fase inicial del k-ésimo armónico;
De la fórmula de Euler se deduce lo siguiente. Por eso,
Teniendo esto en cuenta, podemos escribir la serie de Fourier en forma compleja.
Creemos una expresión para la amplitud compleja.
Teniendo esto en cuenta, obtenemos una expresión para la función periódica del tiempo:
Comparando la expresión resultante con la fórmula (12), obtenemos:
En este sentido, en nuestro caso, es posible obtener coeficientes para la forma eléctrica de registro de la serie de Fourier a partir de los valores de los espectros de amplitud y fase obtenidos en la parte anterior. Elegiremos el número de términos de aproximación teniendo en cuenta el ancho del espectro de la señal de entrada.
Los espectros discretos de amplitud y fase se muestran en las Figuras 25, 26. Sus cálculos se resumen en la Tabla 5.
"derecha">Tabla 5.
Amplitudes y fases en los armónicos correspondientes.
|
Armónico no. |
|||
Arroz. 25. Espectro de amplitud discreto de la señal de entrada.
Bifurcación de Andronov-Hopf
Se nos da el sistema: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 Primera variación del valor de bifurcación > > Durante la solución obtuvimos 4 puntos singulares, considera cada uno de ellos y determinar su tipo. Primer punto singular > > > > > Encontramos que en el punto (0...
matemáticas discretas
Sea F una función binaria de n variables. Supongamos que F no es idénticamente cero. Sean T1, T2,…, Tk todos los puntos de su definición en los que F=1. Se puede comprobar que es válida la siguiente fórmula: , donde, j=1,2,…, k...
Propiedades diferenciales de funciones hiperbólicas.
Encontremos el desarrollo de las principales funciones hiperbólicas en una serie de Taylor en la vecindad de un punto, es decir en una serie de un tipo llamado serie Maclaurin. Funciones exponenciales e hiperbólicas Sea, entonces, para cualquier...
Métodos de diseño matemático.
Se requiere realizar modelado de ruido con la ley de distribución de probabilidad de Rayleigh y dispersión D=12, donde y=. Para obtener realizaciones de ruido con una ley de distribución dada, se utiliza el método de la función inversa...
Espacios normados
La teoría de la interpolación tiene numerosas aplicaciones en la teoría de series de Fourier.
Definición. Sea una función periódica tal que. Una norma en el espacio es un número, y los coeficientes de Fourier de una función son números...
Fundamentos de las matemáticas discretas.
Teorema 1. Cualquier función lógica se puede representar en SDNF: , (1) donde m, y la disyunción se toma sobre los 2m conjuntos de valores de las variables x1,...xm. La función f se expande a las primeras n-variables...
Transformada de Fourier y algunas de sus aplicaciones.
(1) Fórmula integral de Fourier. Primero, introducimos el concepto de valor principal de una integral. Sea la función integrable en cualquier segmento de la recta numérica. Definición 1.1. Si hay un límite finito,(1...
Ecuaciones trigonométricas
Reducimos la ecuación a la forma f(x)=0 y representamos el lado izquierdo de la ecuación como un producto f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Entonces esta ecuación se reduce a un conjunto de ecuaciones: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Cabe recordar...
Ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
El método de factorización es el siguiente: si entonces toda solución de una ecuación es una solución de un conjunto de ecuaciones La afirmación inversa es, en general, falsa: no toda solución de un conjunto es una solución de una ecuación...
Funciones elípticas de Jacobi
Dado que, para valores reales de los argumentos, las funciones de Jacobi snu, cnu, dnu satisfacen las condiciones del teorema de Dirichlet, entonces se puede construir la serie de Fourier correspondiente para ellas. La función f(x) satisface las condiciones de Dirichlet en el intervalo (?l,l)...
