Komponenty obecného modelu lineárního programování. Modely dynamického lineárního programování. Podívejte se, co jsou „modely lineárního programování“ v jiných slovnících

Lineární programování je jedním z prvních a nejdůkladněji prostudovaných oborů matematického programování. Právě lineární programování bylo úsekem, ze kterého se začala vyvíjet samotná disciplína „matematické programování“. Pojem „programování“ v názvu disciplíny nemá nic společného s pojmem „programování (tj. sestavování programů) pro počítač“, protože disciplína „lineární programování“ vznikla ještě před dobou, kdy se začaly široce používat počítače. při řešení matematických a inženýrských problémů, ekonomických a dalších problémů. Termín „lineární programování“ vznikl jako výsledek nepřesného překladu anglického „linear programming“. Jedním z významů slova „programování“ je vytváření plánů, plánování. Proto, správný překlad„lineární programování“ by nebylo „lineární programování“, ale „lineární plánování“, které přesněji odráží obsah disciplíny. Nicméně termín lineární programování, nelineární programování atp. se staly v naší literatuře obecně akceptovány.

Lineární programování tedy vzniklo po druhé světové válce a začalo se rychle rozvíjet a přitahovalo pozornost matematiků, ekonomů a inženýrů díky možnosti širokého praktického použití a také své matematické „harmonii“.

Můžeme říci, že lineární programování je použitelné pro konstrukci matematických modelů těch procesů, které mohou být založeny na hypotéze lineární reprezentace reálný svět: ekonomické úkoly, manažerské a plánovací úkoly, optimální umístění vybavení atd.

Problémy lineárního programování jsou problémy, ve kterých jsou jak účelová funkce, tak omezení ve formě rovností a nerovností lineární. Stručně řečeno, problém lineárního programování lze formulovat následovně: najděte vektor hodnot proměnných, které poskytují extrém lineárního Objektivní funkce pod m omezení ve formě lineárních rovností nebo nerovností.

Lineární programování je nejčastěji používanou optimalizační metodou. Problémy lineárního programování zahrnují následující:

• · racionální použití suroviny a zásoby; problémy optimalizace řezání;
• · optimalizace výrobního programu podniků;
• · optimální umístění a koncentrace výroby;
• · sestavení optimálního plánu přepravy a přepravního provozu;
• · řízení zásob;
• · a mnoho dalších spadajících do oblasti optimálního plánování.

Podle amerických expertů tedy asi 75 % z celkového počtu používaných optimalizačních metod tvoří lineární programování. Přibližně čtvrtinu času stráveného na počítači minulé roky provádět vědecký výzkum, se věnoval řešení problémů lineárního programování a jejich četným modifikacím.

Formulace optimalizačního problému předpokládá existenci konkurenčních vlastností procesu, například:

• množství výrobků - spotřeba surovin
• kvantita výrobků - kvalita výrobků

Volba kompromisní varianty pro zadané vlastnosti je postupem řešení optimalizačního problému.

Při nastavování problému s optimalizací musíte:

1. Dostupnost objektu optimalizace a cíl optimalizace. Navíc formulace každého optimalizačního problému by měla vyžadovat extrémní hodnotu pouze jedné hodnoty, tzn. Současně by systému neměla být přiřazena dvě nebo více optimalizačních kritérií, protože Téměř vždy extrém jednoho kritéria neodpovídá extrému jiného. Uveďme příklady.

Typický příklad nesprávné formulace optimalizačního problému:

"Dostat maximální výkon za minimální náklady."

Chyba spočívá v tom, že úkolem je najít optimalitu 2 hodnot, které si ve své podstatě odporují.

Správná formulace problému by mohla být následující:

• a) získat maximální produktivitu při daných nákladech;
• b) získat minimální náklady pro danou produktivitu;

V prvním případě je kritériem optimalizace produktivita a ve druhém náklady.

• 2. Dostupnost optimalizačních prostředků, která je chápána jako možnost výběru hodnot některých parametrů optimalizovaného objektu.
• 3. Možnost kvantitativního posouzení optimalizované hodnoty, neboť pouze v tomto případě je možné porovnat účinky volby určitých kontrolních akcí.
• 4. Zvážení omezení.

Obvykle se optimalizovaná hodnota vztahuje k efektivitě provozu daného objektu (zařízení, dílny, závodu). Optimalizovaná verze provozu objektu musí být posouzena nějakým kvantitativním měřítkem - kritériem optimality.

Kritérium optimality se nazývá kvantifikace optimalizovaná kvalita objektu.

Na základě zvoleného kritéria optimality se sestaví účelová funkce, která představuje závislost kritéria optimality na parametrech ovlivňujících jeho hodnotu. Je určen typ kritéria optimality nebo účelové funkce konkrétní úkol optimalizace.

Optimalizační problém je tedy redukován na nalezení extrému účelové funkce.

Jakýkoli optimalizační problém lze v závislosti na jeho formulaci řešit různými metodami a naopak - kteroukoli metodou lze vyřešit mnoho problémů. Metody optimalizace mohou být skalární (optimalizace se provádí podle jednoho kritéria), vektorové (optimalizace se provádí podle mnoha kritérií), vyhledávací (včetně metod pravidelného a náhodného vyhledávání), analytické (metody diferenciální počet, metody variačního počtu atd.), výpočetní (založené na matematické programování, které mohou být lineární, nelineární, diskrétní, dynamické, stochastické, heuristické atd.), pravděpodobnostně teoretické, herně teoretické atd. Problémy s omezeními nebo bez nich lze optimalizovat.

Ekonomický a matematický model každého problému lineárního programování zahrnuje: objektivní funkci, jejíž optimální hodnotu (maximum nebo minimum) je třeba najít; omezení v podobě systému lineární rovnice nebo nerovnosti; požadavek nezápornosti proměnných.

V obecný pohled model je napsán takto:

Objektivní funkce:

V tomto případě mají aij, bi, cj () konstantní hodnoty.

Problém je najít optimální hodnotu funkce (1.1) za podmínek (1.2) a (1.3).

Systém omezení (1.2) se nazývá funkční omezení problému a omezení (1.3) se nazývají přímá.

Vektor, který splňuje podmínky (1.2) a (1.3), se nazývá přípustné řešení (plán) úlohy lineárního programování. Plán, ve kterém funkce (1.1) dosáhne své maximální (minimální) hodnoty, se nazývá optimální.

MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ - matematické modely pro řešení ekonomických problémů, prezentované formou úloh lineárního programování. Cílová funkce, souvislosti a v takovém modelu jsou vyjádřeny ve formě lineárních rovnic.

Ekonomie a právo: slovník-příručka. - M.: Univerzita a škola. L. P. Kurakov, V. L. Kurakov, A. L. Kurakov. 2004 .

Podívejte se, co je „LINEAR PROGRAMMING MODELS“ v jiných slovnících:

Matematické modely pro řešení ekonomických problémů, prezentované formou úloh lineárního programování. Účelová funkce, souvislosti a omezení v takovém modelu jsou vyjádřeny ve formě lineárních vztahů. Raizberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B ... Ekonomický slovník

modely lineárního programování- matematické modely pro řešení ekonomických problémů, prezentované ve formě úloh lineárního programování. Cílová funkce, souvislosti a omezení v takovém modelu jsou vyjádřeny ve formě lineárních vztahů... Slovník ekonomických pojmů

MODEL LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ V ŘÍZENÍ- typ modelu, který se používá k určení optimálního způsobu alokace vzácných zdrojů za přítomnosti konkurenčních potřeb. Některé typické aplikace této metody v řízení výroby jsou: plánování sortimentu výrobků; ... Velký ekonomický slovník

Modely v ekonomii se používají od 18. století. V „Ekonomických tabulkách“ F. Quesnaye, které K. Marx nazval myšlenkou „...nesporně nejskvělejší ze všeho, co politická ekonomie dosud předložila“ (Marx K. a Engels F., Works, .. ...

I Modely v biologii se používají k modelování (viz Modelování) biologických struktur, funkcí a procesů na různé úrovně organizace živých věcí: molekulární, subcelulární, buněčná, orgánově-systémová, organismální a populační... Velký Sovětská encyklopedie

Modely ekonomických objektů nebo procesů, jejichž popis využívá matematické prostředky. Cíle vytvoření E.M.M jsou různé: jsou postaveny tak, aby analyzovaly určité předpoklady a ustanovení ekonomické teorie, logické... ... Velká sovětská encyklopedie

- (nedostatek) Vlastnost (zboží nebo výrobních faktorů), že při nulové ceně po nich bude poptávka (ve srovnání s nabídkou) nadměrně vysoká. To znamená, že v rovnováze je cena vzácného zboží nebo faktoru... ... Ekonomický slovník

Konstrukce, vývoj a aplikace matematiky. modely pro optimální rozhodování. Obsah teoretické aspekt I. o. jsou analýzy a řešení matematiky. výběrové problémy v dané množině přípustná řešení Xelement uspokojující ty nebo... Matematická encyklopedie

- (výzkumná a vývojová práce, aplikovaný výzkum, výzkum a vývoj VV) – Vědecký výzkum zaměřené na řešení soc praktické problémy. Věda je sféra lidské činnosti, jejíž funkcí je vývoj a teoretická ... ... Wikipedie

Matematická disciplína, jejímž předmětem jsou ekonomické modely. objekty a procesy a metody jejich zkoumání. Nicméně koncepty, výsledky, metody M.e. je vhodné a obvyklé prezentovat je v úzké souvislosti s jejich ekonomikou. původ, výklad a... Matematická encyklopedie

knihy

• Ekonomické a matematické metody a modely v komerční činnosti. Učebnice, G. P. Fomin. Učebnice pojednává o operacích, ekonomických ukazatelích, schématu tvorby zisku, struktuře propojení ekonomických a matematických metod, metodách a modelech studia, analýzy a...
• Metody a modely pro optimalizaci manažerských rozhodnutí. Učebnice, A. R. Urubkov, I. V. Fedotov. V učebnice principy optimalizace manažerských rozhodnutí jsou nastíněny na základě metod a modelů lineárního programování. Příklady skutečných obchodních situací ukazují, jak pomocí...

Modely lineárního programování se používají k určení optimálního způsobu alokace vzácných zdrojů za přítomnosti konkurenčních požadavků. Tenhle typ modely jsou nejběžnější v průmyslových podnicích. Jde o to, že to pomáhá

maximalizovat zisk tím, že jeden má několik zdrojů, z nichž každý se používá k výrobě několika druhů zboží. Typicky se při řešení optimalizace tohoto typu modelu obvykle používá metoda Simplex.

Simulační modelování

Simulace se týká procesu vytváření modelu a jeho experimentálního použití k určení změn v reálné situaci. Simulace se používá v situacích, které jsou příliš složité pro matematické metody, jako je lineární programování. Experimentováním na modelu systému je možné zjistit, jak bude reagovat na určité změny nebo události v době, kdy není možnost tento systém pozorovat ve skutečnosti.

Ekonomická analýza

Ekonomická analýza je jednou z nejběžnějších metod modelování, i když není vnímána jako modelování. Ekonomická analýza zahrnuje téměř všechny metody odhadu nákladů a ekonomické výhody a také relativní ziskovost podniku. Ekonomická analýza zahrnuje analýzu zvratu, stanovení zisku z investovaného kapitálu, výši čistého zisku na tento momentčas atd. tyto modely jsou široce používány v účetnictví a finančním účetnictví.

Při rozhodování, bez ohledu na použité modely, existují určitá rozhodovací pravidla. Rozhodovací pravidlo je kritériem, podle kterého se usuzuje o optimálnosti daného konkrétního výsledku. Existují dva typy pravidel. Jeden používá číselné hodnoty pravděpodobných výsledků, druhý používá dané hodnoty.

NA první typ Platí následující pravidla rozhodování: Maximax řešení je rozhodnutí, při kterém se rozhoduje o maximalizaci maximálního možného příjmu. Tato metoda je velmi optimistická, to znamená, že nebere v úvahu možné ztráty a proto nejrizikovější.

Maximin roztok je rozhodnutí, které maximalizuje minimální možný příjem. Tato metoda více zohledňuje negativní aspekty různých výsledků a představuje opatrnější přístup k rozhodování.

Minimax řešení je řešení, které minimalizuje maximální ztráty. Toto je nejopatrnější a nejinkluzivnější přístup k rozhodování. možná rizika. Ztráty zde zohledňují nejen skutečné ztráty, ale i ty promeškané

možnosti.

Gurvichovo kritérium. Toto kritérium je kompromisem mezi řešeními maximin a maximax a je jedním z nejoptimálnějších.

spol. druhý typ rozhodováním se rozumí rozhodnutí, ve kterých se kromě samotných možných zisků a ztrát berou v úvahu i pravděpodobnosti výskytu každého výsledku. NA tenhle typ mezi rozhodování patří např. pravidlo maximální věrohodnosti a pravidlo pro optimalizaci matematického očekávání. U těchto metod se obvykle sestavuje tabulka příjmů, která uvádí vše možné možnosti příjem a pravděpodobnost jejich výskytu. Při použití pravidla maximální věrohodnosti se vybere jeden z výsledků s maximální pravděpodobností podle jednoho z pravidel prvního typu.

Při použití pravidla pro optimalizaci matematických očekávání jsou vypočtena matematická očekávání pro příjmy nebo ztráty a poté je vybrána optimální varianta.

Protože se hodnoty pravděpodobnosti v průběhu času mění, aplikace pravidel druhého typu obvykle zahrnuje testování citlivosti pravidel na změny pravděpodobností výsledků.

Kromě toho se k určení postojů k riziku používá koncept užitečnosti. To znamená, že pro každý možný výsledek se kromě pravděpodobnosti počítá i užitečnost tohoto výsledku, která je také zohledněna při rozhodování.

Pro optimální rozhodování se používají následující metody:

platební matice;

rozhodovací strom;

předpovědní metody.

Platební matice– jedna z metod teorie statistického rozhodování, která pomáhá manažerovi při výběru jedné z několika možností. Je to užitečné zejména v situaci, kdy manažer musí určit, která strategie nejvíce přispěje k dosažení cílů. Ve své nejobecnější podobě matice znamená, že platba závisí na určité události které se skutečně odehrávají. Pokud k události nebo přírodnímu stavu skutečně nedojde, platba bude vždy jiná.

Obecně je platební matice užitečná, když:

existuje přiměřeně omezený počet alternativ nebo strategických možností na výběr.

Co by se mohlo stát, není s úplnou jistotou známo. Výsledky rozhodnutí závisí na tom, která alternativa je zvolena a jaké události se skutečně odehrávají.

Kromě toho musí být manažer schopen objektivně posoudit pravděpodobnost relevantní události a vypočítat očekávanou hodnotu této pravděpodobnosti.

Pravděpodobnost přímo ovlivňuje stanovení očekávané hodnoty – hlavní koncept výplatní matice. Očekávaná hodnota alternativy nebo opce je součet možné hodnoty, vynásobené odpovídajícími pravděpodobnostmi.

Stanovením očekávané hodnoty každé alternativy a uspořádáním výsledků ve formě matice může manažer snadno vybrat nejoptimálnější možnost.

Rozhodovací strom– metoda vědy o řízení – schematické znázornění problému rozhodování – se používá k výběru nejlepšího postupu z dostupných možností.

Metodu rozhodovacího stromu lze použít jak v situacích, ve kterých je aplikována platební matice, tak v dalších situacích obtížné situace, ve kterém výsledky jednoho rozhodnutí ovlivňují rozhodnutí následující. To znamená, že rozhodovací strom je vhodnou metodou pro sekvenční rozhodování.

Prognostické metody

Prognóza je metoda, která k jejímu určení využívá jak minulé zkušenosti, tak současné předpoklady o budoucnosti. Výsledek kvalitní prognózy může sloužit jako základ pro plánování. Existovat různé odrůdy prognózy: ekonomické prognózy, prognózy vývoje technologií, prognózy vývoje konkurence, prognózy založené na průzkumech a výzkumech, sociální prognózy.

Používají se všechny typy předpovědí různé metody prognózování.

Mezi metody předpovědi patří:

neformální metody;

kvantitativní metody;

kvalitativní metody.

Neformální metody obsahovat následující typy informací: Verbální informace– toto jsou nejčastěji používané informace pro analýzu vnější prostředí. Patří sem informace z rozhlasového a televizního vysílání, od dodavatelů, od spotřebitelů, od konkurence, z různých jednání a konferencí, od právníků, účetních a poradců. Tento

informace jsou snadno dostupné, ovlivňují všechny hlavní faktory vnějšího prostředí, které jsou pro organizaci zajímavé. Je však velmi variabilní a často nepřesný.

Písemné informace– jde o informace z novin, časopisů,

zpravodaje, výroční zprávy. Tato informace má

stejné výhody a nevýhody jako verbální informace.

Průmyslová špionáž

Kvantitativní předpovědní metody se používají, existuje-li důvod se domnívat, že minulá činnost se řídila vzorem, který bude pravděpodobně pokračovat i v budoucnu, a pokud existuje dostatek informací k identifikaci takových trendů. Mezi kvantitativní metody patří:

Analýza časových řad. Vychází z předpokladu, že to, co se stalo v minulosti, poskytuje poměrně dobrou aproximaci budoucnosti. To se provádí pomocí tabulky nebo grafu. Modelování příčiny a následku (příležitostné). Matematicky nejsložitější metoda kvantitativního prognózování. Používá se v situacích s více než jednou proměnnou. Příležitostné modelování je předpovídání zkoumáním statistického vztahu mezi posuzovaným faktorem a dalšími proměnnými. Z příležitostných prediktivních modelů jsou nejsložitější ekonometrické modely, vyvinuté k předpovídání ekonomické dynamiky.

Kvalitativní předpovědní metody zahrnuje předpovídání budoucnosti odborníky. Existují 4 nejběžnější metody kvalitativního předpovídání:

Názor poroty– spojování a průměrování názorů odborníků v příslušných oblastech. Neformální verze této metody je „ brainstorming" Souhrnný názor obchodníků. Názory prodejců nebo prodejních společností jsou velmi cenné, protože jednají přímo s konečnými spotřebiteli a znají jejich potřeby.

Model očekávání spotřebitelů– prognóza založená na výsledcích průzkumu mezi klienty organizace.

Metoda znaleckých posudků. Je to postup, který umožňuje skupině odborníků dosáhnout dohody. Podle tato metoda Odborníci z různých oborů vyplňují k této problematice dotazník. Poté dostanou dotazníky vyplněné jinými odborníky a požádáni, aby přehodnotili svůj názor nebo zdůvodnili svůj původní názor. Postup se provádí 3-4krát, dokud se nedosáhne výsledku společné rozhodnutí. Navíc všechny dotazníky jsou anonymní, stejně jako samotní experti jsou anonymní, tedy experti ne

vědět, kdo další je ve skupině.

Situace přijetí strategický rozhodování ztěžuje skutečnost, že republika dosud nedisponuje dostatečným počtem vysoce kvalifikovaných řídících pracovníků, tedy manažerů vyškolených k řízení

a rozhodovat se v tržní ekonomice. To platí jak pro podniky a organizace, tak pro vládu. Neustále se měnící právní rámec navíc neumožňuje vytvářet dlouhodobé prognózy, na jejichž základě by bylo možné přijímat strategická rozhodnutí.

Základ pro školení manažerů se teprve vyvíjí, ale kvůli všeobecné krizi

a krize vzdělávacího systému nejsou vysoké školy schopny připravit dostatečně kvalifikované manažery. Abyste byli skutečným manažerem, musíte mít mimo jiné hodně pracovních zkušeností. Ohledně přijetí taktický rozhodnutí, pak je situace lepší. Taktická rozhodnutí jsou méně závislá na čase, proto rychle se měnící a nepříliš předvídatelná situace vytváří méně překážek pro správné rozhodnutí. Ani zde však není vše hladké. To je způsobeno tím, že kvůli nedostatku relevantní informace Ne vždy je možné se rozhodovat pomocí vědeckých metod (modelování, prognózování atd.). Velký počet manažeři obecně neznají vědecké metody rozhodování používané v manažerské vědě.

V naší zemi navíc chybí informační infrastruktura, která by to umožňovala krátká doba a nákladově efektivně získávat informace potřebné k rozhodování. Je na poměrně nízké úrovni počítačová gramotnost. Není dostatek specializovaných organizací, které by prováděly různé studie. Velkou nevýhodou je také nedokonalý a neustále se měnící právní rámec, přítomnost korupce ve vládní struktuře.

Neplatí to však ve všech odvětvích ekonomiky. Ve finančním a bankovním sektoru, přísně kontrolovaném NBM, je situace s rozhodováním i přes krizi lepší. Je to dáno tím, že v bankách je vedle generace manažerů vzdělaných za existence administrativně-příkazového řídicího systému hodně mladých pracovníků (25-35 let). Nová generace, která vystudovala management a výsledky jeho aplikace ve vyspělých zemích, se snaží získané poznatky využít. Co jim chybí na zkušenostech, je kompenzováno přítomností zkušenějších manažerů. Navíc je zde ve větší míře využíván princip delegování pravomoci, což také zvyšuje optimálnost přijímaných rozhodnutí. Banky Moldavska

udržovat spojení s bankami ve vyspělých zemích, což manažerům umožňuje různé úrovně bankovního sektoru seznámit se s prací manažerů ve vyspělých zemích.

Rozhodovací proces je psychologický proces. Lidé při rozhodování nedělají vždy logická rozhodnutí. Rozhodnutí se pohybují od spontánních až po vysoce logická. Proto se rozhodovací procesy dělí na ty, které jsou intuitivní, úsudkové a racionální, ačkoli rozhodnutí zřídka spadají do jedné kategorie.

Intuitivní řešení je rozhodnutí učiněné pouze na základě toho, že manažer má pocit, že je správné. Manažer přitom nezvažuje všechny možné varianty, nezohledňuje všechny jejich výhody a nevýhody a nemusí situaci rozumět. Rozhodnutí založená na úsudkučasto vypadají intuitivně, takže logika není zřejmá. Takové rozhodnutí je volbou na základě znalostí nebo nashromážděných zkušeností. Osoba využívá znalosti toho, co se stalo v podobných situacích dříve, aby předpověděla výsledek alternativních rozhodnutí v existující situaci. Tento způsob rozhodování má pozitivní i negativní stránky. Pozitivní je, že skutečně mnoho situací má tendenci se opakovat a použití tohoto způsobu rozhodování vám umožňuje ušetřit čas a peníze, protože rozhodnutí činí manažer velmi rychle a bez vybírání dodatečné informace a její rozbor. Taková rozhodnutí se však dělají na základě zdravého rozumu, který je v pravém slova smyslu velmi vzácný. Navíc informace, na základě kterých je dané rozhodnutí učiněno, mohou být zkresleny potřebami lidí a dalšími faktory. Soudy také neumožňují přijmout správná rozhodnutí v jedinečných nebo zcela nových situacích, protože ten, kdo rozhoduje, nemá potřebné zkušenosti, aby odůvodnil volbu. Vzhledem k tomu, že úsudek je vždy založen na zkušenosti, posouvá orientaci rozhodování směrem známým manažerovi z předchozích situací. To může způsobit, že manažer vynechá nové alternativy.

Rozhodnutí je učiněno za podmínek jistoty, kdy manažer může

přesně určit výsledek každého alternativní řešení možné v této situaci. Poměrně málo organizačních resp osobní řešení přijat za podmínek jistoty. Stále se však vyskytují. Kromě toho lze prvky složitých velkých rozhodnutí považovat za jisté. Míra jistoty při rozhodování závisí na vnějším prostředí. Zvyšuje se, pokud existuje

tvrdý právní rámec, omezení počtu alternativ a snížení úrovně rizika.

Výše diskutované modely lze klasifikovat jako statické modely lineárního programování, protože v nich byl pevný časový interval. Pokud je potřeba najít řešení pro jiný časový interval, pak musíte znovu zadat data do modelu a vytvořit nová optimalizace. Jinými slovy, ve výše uvedeném přístupu se předpokládalo, že všechny časové intervaly jsou nezávislé a pro každý časový interval musí být vyřešen vlastní optimalizační problém.
V dynamické modely Chování systému je uvažováno v několika časových intervalech a hledání řešení se provádí jednou, optimalizuje se chování modelu ve všech časových intervalech najednou.
Dynamické modely jsou realističtější a mnohé přiměřeněji popisují výrobní situace. Závislost rozhodování na chování systému v čase dělá z dynamických modelů mimořádně užitečnou metodu ekonomická analýza, ale ve své formulaci jsou mnohem složitější než statické; velké číslo proměnné vyžadují určitou dovednost při sestavování tabulkového modelu.
Jako příklad uveďme prakticky významný model řízení zásob (jiný název pro tento model je vícefázové modely řízení zásob). Pro obecnost výsledků nebudeme parametrům přiřazovat číselné hodnoty. Po sestavení modelu bude možné specifikovat explicitní hodnoty parametrů a získat numerické řešení.

Příklad 3.10
Představte si chemickou společnost, která vyrábí polyuretan. Výrobce má objednávky na dodávky polyuretanu v množství d i tun měsíčně na další čtyři měsíce (i=1,2,…,4). Náklady na výrobu jedné tuny polyuretanu nechť jsou C i tisíc rublů a maximální objem výroby polyuretanu za měsíc je omezen a rovná se K i tunám za měsíc. Výrobní společnost má možnost skladovat výrobky ve skladu a náklady na skladování jedné tuny výrobků za měsíc jsou n i tisíc rublů. V počátečním období byla zásoba polyuretanu ve skladu L 0 tun. Manažer společnosti potřebuje sestavit měsíční plán výroby polyuretanu, který zajistí plnění zakázek s minimálními náklady na výrobu a skladování produktu.
Řešení
Všimněte si, že pokud by nebylo možné skladovat produkty ve skladu, pak by se úkol rozdělil na čtyři nezávislé statické úkoly a ztratil by pro nás veškerý význam.
Vytvořme rovnici materiálové bilance, která nám umožní vypočítat množství výrobků uložených na skladě během i-tého měsíce. Nechť x i je množství polyuretanu vyrobeného v i-tém časovém období. Pak během prvního měsíce bude zásoba ve skladu rovna L 1 = L 0 +x 1 -d 1. Inventář druhého měsíce

Pokračováním v tomto procesu je snadné jej získat obecný vzorec inventář pro libovolný časový interval:

. (3.24)
Poté, co jsme odvodili rovnici (3.24), která popisuje chování zásob, je snadné ji napsat matematický modelúkoly:

(3.25)
Uvedený problém (3.25) je typickým problémem lineárního programování a lze jej pomocí programu celkem snadno vyřešit Hledání řešení. Použití číselných hodnot jednotkových výrobních nákladů

a požadovaný objem dodávek a výrobní kapacity po měsících
nutné zkompilovat optimální plán výroba polyuretanu, pokud k 1. lednu byla zásoba polyuretanu na skladě 15 tun.

Tabulkový modelúkoly řízení zásob
Tabulkový model úlohy po nalezení optimálního řešení je na Obr. 21.

Rýže. 21. Tabulkový model problému dynamické programování

Je třeba říci několik slov o zprávě o stabilitě pro tento model, která je znázorněna na obr. 22.

Rýže. 22. Zpráva o stabilitě pro dynamický model

Pokud se použije jednoduché omezení hodnoty optimalizovaných proměnných (v našem případě x i ≤ K i), pak se ve zprávě o udržitelnosti stínové ceny pro tato omezení umístí do sloupce normalizovaných nákladů a informace o přijatelném rozsahu stínu ceny za tato omezení se nezobrazují. Pokud tedy v lednu zvýšíte výrobní kapacitu o jednu tunu, celkové náklady se sníží o 1,7 tisíc rublů.
Vyžaduje další vysvětlení a sloupec Cílový poměr zpráva o udržitelnosti. Dáno zde Excelové hodnoty počítá sám. Význam cílového koeficientu pro proměnnou je, že ukazuje, o kolik vzroste hodnota cílové funkce, když se optimální hodnota proměnné zvýší o jedničku.
To lze snadno ověřit v praxi. Optimální hodnota pro výrobu polyuretanu v lednu je 60 tun a celkové náklady jsou 4 776,45 tisíc rublů. Pokud dosadíme jako optimální hodnotu pro leden číslo 61 a přepočteme celkové náklady, dostaneme novou hodnotu - 4 805,50. Rozdíl mezi těmito čísly je přesně roven 29,05 – cílový koeficient pro proměnnou objem výroby v lednu.
Jiné formulace problémů dynamického programování jsou také široce známé. Některé z nich (model výměny zařízení a investiční model) budou probrány v praktických hodinách.

Matematické programování("plánování") je odvětví matematiky, které se zabývá vývojem metod pro hledání extrémních hodnot funkce, jejíž argumenty podléhají omezením. Myšlenka lineárního programování vznikla v roce 1939, kdy vyšla brožura Leonida Vitalieviče Kantoroviče „ Matematické metody organizace a plánování výroby." Americký matematik A. Danzig v roce 1947 vyvinul velmi účinnou specifickou metodu pro numerické řešení úloh lineárního programování (tzv. simplexní metoda ).

Další prezentace materiálu předpokládá, že studenti studovali teorii lineárního programování v kurzu matematiky. Proto se doporučuje spojit čtení této kapitoly s prohlížením prezentací. Elektronické verze prezentací jsou umístěny ve složce „Lineární programování“. Zároveň je část materiálu určena k obnovení znalostí získaných v kurzu matematiky a část k jejich rozšíření a prohloubení s důrazem na aplikované schopnosti teoretických modelů.

Teorie lineárního programování

Obecné vyjádření problému

Myšlenka lineárního programování je prezentována ve formátu prezentace, elektronická verze které se nacházejí v souboru „Idea - Linear Programming“.

Geometrická interpretace a metoda grafického řešení

Pro řešení problémů lineárního programování je vhodné použít grafickou metodu:

1. Řešit úlohy se dvěma proměnnými, kdy jsou omezení vyjádřena nerovnicemi.

2. Řešení problémů s mnoha proměnnými za předpokladu, že v jejich kanonický zápis obsahuje nejvýše dvě volné proměnné.

Geometrická metodařešení problémů lineárního programování jsou prezentována v prezentačním formátu - soubor “Geometric LP method”

2.2. Simplexní metoda, obecné charakteristiky, kritérium optimality pro přípustný základní plán

Grafická metodařešení úlohy lineárního programování ukazuje, že optimální řešení této úlohy je vždy spojeno s rohovým bodem prostoru řešení (v matematice se také nazývá extrémní bod sestavy ). To je klíčová myšlenka při vývoji generálky algebraická simplexová metoda vyřešit jakýkoli problém lineárního programování.

Přechod od geometrické metody řešení úlohy lineárního programování k simplexní metodě spočívá v algebraickém popisu krajních bodů prostoru řešení. Chcete-li implementovat tento přechod, musíte nejprve převést problém lineárního programování do standardní (kanonické) podoby:

· přeměnit nerovnosti omezení na rovnosti zavedením dalších proměnných;

· převést volné proměnné na nezáporné;

· transformovat problém maximalizace na problém minimalizace.

Standardní forma problém lineárního programování je nezbytný, protože vám umožňuje získat základní řešení(pomocí systému rovnic generovaných omezeními). Toto (algebraické) základní řešení zcela určuje všechny (geometrické) extrémní body prostoru řešení. Simplexová metoda umožňuje efektivně najít optimální řešení mezi všemi základními.

Své znalosti o řešení úloh simplexovou metodou si můžete obnovit pomocí prezentace „Simplexová metoda“.

Dvojité problémy

Jakýkoli problém lineárního programování má dvojí povahu. Pravidlo stavby duální problém:

Li původní problém na max, pak duál na min a naopak.

V duálním problému existuje tolik proměnných, kolik je omezení v původní formulaci. V tomto případě proměnné odpovídají omezením a naopak.

Koeficienty objektivní funkce duálního problému jsou pravými stranami omezení původního problému.

Matici omezujících koeficientů duálního problému získáme transpozicí matice omezujících koeficientů původního problému.

Pravé strany omezení duálního problému jsou koeficienty účelové funkce původního problému.

Omezení nerovnosti původního problému odpovídají nezáporným proměnným duálního problému a omezení rovnosti odpovídají proměnným libovolného znaménka a naopak.

Věta 1: Pokud má původní problém optimální plán x*, pak má duální problém také optimální plán y* a hodnoty funkcí na těchto plánech jsou stejné: f(x*)=g(y* ).

Věta 2: Jestliže původní a duální problémy mají plány, pak mají také optimální plány a f(x*)=g(y*).

Kritéria optimalizace pro duální problémy:

Znak 1: Pokud původní a duální problémy mají plány X a Y a f(X)=g(Y), pak jsou tyto plány optimální.

Definice: Omezení umístěná na stejném řádku v diagramu dvojice duálních problémů se nazývají konjugované.

Znak 2: Aby plány X a Y původního a duálního problému byly optimální, je nutné a postačující, aby na těchto plánech byla alespoň jedna z každé dvojice konjugovaných omezení rovnost.

Druhá vlastnost umožňuje při znalosti optimálního plánu jednoho z úkolů najít optimální plán jiného úkolu.

Hlavní principy duálního problému jsou představeny v prezentacích „Teorie duality“ a „Duální problém“.

Přepravní úkoly

Dopravní problém je jedním z nejběžnějších problémů speciálního lineárního programování. První rigorózní formulace dopravního problému patří F. Hitchcockovi a první přesná metodařešení vyvinuli L. V. Kantorovich a M. K. Gavurin.

s názvem " dopravní problém“sjednocuje široký kruh problémy s jednotným matematickým modelem. Tyto úlohy patří k úlohám lineárního programování a lze je řešit pomocí simplexní metody. Matice systému omezení dopravního problému je však natolik unikátní, že byly vyvinuty speciální metody k jejímu řešení. Tyto metody jako simplexní metoda, dovolte nám najít iniciálu referenční roztok a poté jeho vylepšením získat optimální řešení.

Pojem „přepravní úkoly“ označuje širokou škálu úkolů nejen dopravního charakteru. To, co mají společné, je zpravidla rozdělení zdrojů, které drží m výrobci (dodavatelé), podle n spotřebitelé těchto zdrojů. Existují dva typy dopravních problémů: podle nákladové kritérium(plán dopravy je optimální při dosažení minimálních nákladů na jeho realizaci) a podle časového kritéria(plán je optimální, pokud je na jeho realizaci vynaloženo minimum času).

Nejběžnější úkoly související s dopravou jsou:

· Připojení spotřebitelů zdrojů k producentům;

· propojení výchozích míst s cílovými místy;

· vzájemné propojení dopředných a zpětných toků nákladu;

· jednotlivé úkoly optimální zatížení průmyslové vybavení;

· optimální distribuce objemy průmyslové výroby mezi výrobními závody atd.

Příkazy úloh typu transport, algoritmy pro jejich řešení a příklady praktické využití prezentováno ve třech prezentacích:

1. „Zobecněný dopravní problém (λ-problém).“

2. „Problém s uzavřenou dopravou. Metoda potenciálů“.

3. "Složité formulace dopravního problému."

Ekonomické aplikace

Různé ekonomické aplikace matematické modelování Uvažujme metody lineárního programování na příkladech formulace konkrétních formulací aplikovaných problémů (vypůjčených z kurzu přednášek A.P. Diyazitdinova).

Problém 1

Pro udržení normálních životních funkcí musí člověk zkonzumovat minimálně 120 konvenčních jednotek bílkovin (arb. jednotek), tuků – minimálně 70 a vitamínů – minimálně 10 konvenčních jednotek denně. Jednotky Jejich obsah v každé jednotce produktů P 1 a P 2 je rovno (0,2; 0,075; 0) a (0,1; 0,1; 0,1) arb. Jednotky

Cena 1 jednotka. produkt P 1-2 rub., P 2–3 rub.

Sestavte matematický model problému, který vám umožní organizovat výživu tak, aby její náklady byly minimální a tělo dostávalo potřebné množství živin.

Problém 2

Osobní a rychlíky odjíždějí z bodu A do bodu B každý den. Údaje o organizaci dopravy jsou následující:

Kolik rychlých a osobních vlaků musí být vytvořeno k přepravě největší počet cestující?

Problém 3

Čtyři sklady zeleniny zásobují každý den bramborami tři obchody. Prodejny podaly nabídky na 17, 12 a 32 tun. Sklady zeleniny mají kapacitu 20, 20, 15 a 25 tun. Tarify (v jednotkách za 1 tunu) jsou uvedeny v následující tabulce:

Problém 4

Existují dva sklady pro hotové výrobky: A 1 a A 2 se zásobami homogenního nákladu 200 a 300 tun. Tento náklad musí být doručen třem spotřebitelům V 1 , V 2 a V 3 v množství 100, 150 a 250 tun. Náklady na přepravu 1 tuny nákladu ze skladu A 1 spotřebitelů V 1 , V 2 a V 3 se rovná 5, 3,6 jednotkám a ze skladu A 2 ke stejným spotřebitelům – 3, 4, 2 jednotky. respektive.

Vytvořte plán přepravy, který minimalizuje celkové náklady na přepravu.

Problém 5

Při výkrmu by každé zvíře mělo dostat alespoň 9 jednotek. bílkoviny, 8 jednotek. sacharidů a 11 jednotek. protein. Pro sestavení jídelníčku se používají dva druhy krmiv, uvedené v následující tabulce.

Cena 1 kg krmiva prvního druhu je 4,00, druhého 6,00.

Vytvořte si denní výživový plán s minimálními náklady.

Problém 6

Farma má následující zdroje: plocha - 100 jednotek, pracovní síla - 120 jednotek, trakce - 80 jednotek. Farma vyrábí čtyři druhy produktů: P 1 , P 2 , P 3 a P 4. Organizaci výroby charakterizuje následující tabulka:

Vypracujte plán výroby, který farmě zajistí maximální zisk.

Úkol 7.

Dílna vyrábí dva typy transformátorů. K výrobě obou typů transformátorů se používá železo a drát. Celková zásoba železa je 3 tuny, drát - 18 tun. Jeden transformátor prvního typu spotřebuje 5 kg železa a 3 kg drátu a jeden transformátor druhého typu 3 kg železa a 2 kg drátu. Za každý prodaný transformátor prvního typu získá závod zisk 3 jednotky, z druhého - 4 jednotky.

Vypracujte plán výroby transformátorů, který zajistí maximální zisk pro závod.

Problém 8

Státní statek vyčlenil tři pozemky o výměře 5000, 8000 a 9000 hektarů pro pěstování žita, pšenice a kukuřice. Průměrný výnos v centech na 1 hektar polí je uveden v následující tabulce:

Plodiny	Pole
já	II	III
žito
pšenice
kukuřice

Za 1 cent žita obdrží státní statek 2 CU, za 1 cent pšenice – 2,8 CU, za 1 cent kukuřice – 1,4 CU. Kolik hektarů a na jakých plochách by měl státní statek věnovat každé plodině, aby měl maximální výnos, je-li podle plánu povinen dodat minimálně 1900 tun žita, 158 000 tun pšenice a 30 000 tun kukuřice?

Problém 9

Směs je vyrobena ze tří výrobků – I, II, III. Směs musí obsahovat minimálně 6 jednotek. chemická látka A, 8 jednotek. – látky B a nejméně 12 jednotek. látky C. Struktura chemických látek je uvedena v následující tabulce:

Produkt	Chemický obsah v 1 jednotce. produkty	Cena 1 jednotka. produkty
A	V	S
já
II
III		1,5		2,5

Vytvořte co nejlevnější směs.

Problém 10

Škola pořádá soutěž o nejlepší nástěnné noviny. Jeden student dostal následující úkol:

koupit akvarelovou barvu za cenu 30 rublů. za krabičku, barevné tužky za 20,00. na krabici, pravítka za 12 rublů, notebooky za 10 rublů;

Musíte si koupit alespoň tři krabice barev, tolik sešitů, kolik je krabic tužek a barev dohromady, ne více než pět pravítek. Na nákupy je přiděleno nejméně 300 rublů.

V jakém množství má student nakoupit uvedené položky, aby celkový počet položek byl minimální?

Problém 11

K dispozici jsou tři specializované opravny motorů. Jejich výrobní kapacity se rovnají 100, 700, 980 oprav ročně, resp. V pěti oblastech obsluhovaných těmito dílnami je potřeba oprav 90, 180, 150, 120, 80 motorů ročně. Náklady na přepravu jednoho motoru z okresů do dílen jsou následující:

Okresy	Workshopy
	4,5	3,7	8,3
	2,1	4,3	2,4
	7,5	7,1	4,2
	5,3	1,2	6,2
	4,1	6,7	3,1

Naplánujte počet oprav pro každou dílnu pro každou oblast, abyste minimalizovali celkové náklady na dopravu.

Problém 12

Ropná rafinerie odebírá čtyři polotovary: 400 tisíc litrů alkylátu, 250 tisíc litrů krakovaného benzínu, 350 tisíc litrů benzínu pro přímou destilaci a 100 tisíc litrů izopentonu. V důsledku smíchání těchto čtyř složek v různých poměrech vzniknou tři třídy leteckého benzínu: benzín A-2:3:5:2, benzín B-3:1:2:1, benzín C-2:2:1 :3. Náklady na 1 000 litrů těchto typů benzínu jsou charakterizovány čísly 120 rublů, 100 rublů, 150 rublů.

Vypracujte plán výroby různých druhů leteckého benzinu na základě podmínky získání maximálních nákladů na všechny produkty.

Problém 13

Pro účast v soutěžích musí sportovní klub postavit družstvo složené ze sportovců kategorie I. a II. Soutěže se konají v Bugu, vysoké sponě a skoku dalekém. 5 sportovců se musí zúčastnit běhu, 8 sportovců ve skoku dalekém a ne více než 10 ve skoku vysokém Počet bodů zaručených sportovci v každé kategorii je uveden v tabulce:

Rozdělte sportovce do týmů tak, aby součet bodů týmu byl největší, pokud je známo, že pouze 10 sportovců v týmu má první kategorii.

Problém 14

Kožešinová farma chová černé a hnědé lišky a lišky polární. Na kožešinové farmě je 10 000 klecí. V jedné kleci mohou být buď 2 lišky nebo 1 polární liška. Podle plánu by na farmě mělo být minimálně 3000 lišek a 6000 lišek polárních. Za jeden den je nutné dát každé lišce 4 jednotky potravy a každé polární lišky – 5 jednotek. Farma nemůže mít více než 200 000 jednotek krmiva denně. Z prodeje jedné kůže lišky obdrží farma zisk 10,00 az prodeje jedné kůže polární lišky - 5,00.

Kolik lišek a polárních lišek by se mělo chovat na farmě, abyste získali co největší zisk?

Problém 15

K dispozici jsou dva výtahy, které skladují 4 200 a 1 200 tun obilí. Obilí je potřeba dopravit do tří pekáren v množství 1000, 2000 a 1600 tun každé. Vzdálenost od výtahu k pekárně je uvedena v následující tabulce:

Náklady na přepravu 1 tuny produktu na 1 km jsou 25 CU. Naplánujte si přepravu obilí, abyste minimalizovali přepravní náklady.

Problém 16

Ze dvou jakostí benzinu se vytvoří dvě směsi - A a B. Směs A obsahuje 60 % benzinu 1. třídy a 40 % benzinu 2. třídy; směs B – 80 % 1. stupeň a 20 % 2. stupeň. Cena 1 kg směsi A je 10 eur a směsi B 12 eur.

Vytvořte si plán tvorby směsí, které budou mít za následek maximální příjem, pokud je k dispozici 50 tun benzinu 1. třídy a 30 t benzinu druhé třídy.

Problém 17

Existují dvě půdně-klimatické zóny, jejichž výměra je 0,8 a 0,6 milionu hektarů. Údaje o výnosech zrna jsou uvedeny v tabulce:

Určete velikost osevních ploch ozimých a jarních plodin nutných k dosažení maximálního produkčního výnosu v hodnotovém vyjádření.

Problém 18

Závod vyrábí čtyři druhy výrobků. Z prodeje 1 ks. Za každý produkt získá závod zisk 2, 1, 3, 5, resp. Na výrobu produktů se vynakládají tři druhy zdrojů: energie, materiály a práce.

Údaje o technologický postup jsou uvedeny v následující tabulce:

Plánujte výrobu tak, aby zisk z jejich prodeje byl co největší.