Hogar › Ajustes › ¿Cuál es la idea del método simplex? Resumen: Método gráfico y método simplex para la resolución de problemas de programación lineal. De todas las proporciones, elegimos la más pequeña. Déjalo ser

¿Cuál es la idea del método simplex? Resumen: Método gráfico y método simplex para la resolución de problemas de programación lineal. De todas las proporciones, elegimos la más pequeña. Déjalo ser

Estrategia óptima de reemplazo de equipos

Uno de los problemas económicos importantes es determinar la estrategia óptima para reemplazar máquinas, unidades y máquinas viejas por otras nuevas.

El envejecimiento de los equipos incluye su desgaste físico y moral, como resultado de lo cual aumentan los costos de producción para producir productos en equipos viejos, aumentan los costos de reparación y mantenimiento, y disminuyen la productividad y el valor líquido.

Llega un momento en el que resulta más rentable vender equipos viejos y sustituirlos por equipos nuevos que operarlos con un gran coste; Además, se puede sustituir por equipos nuevos del mismo tipo o por otros nuevos y más avanzados.

La estrategia óptima para reemplazar equipos es determinar el momento óptimo de reemplazo. El criterio de optimización en este caso puede ser el beneficio de operar el equipo, que debe optimizarse, o los costos operativos totales durante el período de tiempo considerado, que deben minimizarse.

Introduzcamos la siguiente notación: r(t) es el costo de los productos producidos en un año en una unidad de equipo de t años;

u(t) - costos anuales de mantenimiento de equipos con una antigüedad de t años;

s(t) - valor residual de los equipos de t años;

P es el precio de compra del equipo.

Considere un período de N años dentro del cual es necesario determinar el ciclo óptimo de reemplazo de equipos.

Denotemos por fN(t) ingreso máximo, obtenido de equipos de t años durante los N años restantes del ciclo de uso del equipo, sujeto a una estrategia óptima.

La antigüedad del equipo se cuenta en la dirección del flujo del proceso. Así, t = 0 corresponde al caso de utilizar equipos nuevos. Las etapas temporales del proceso se numeran en sentido inverso al avance del proceso. Por lo tanto, N = 1 se refiere a una etapa de tiempo restante hasta la finalización del proceso, y N = N - al comienzo del proceso.

En cada etapa del proceso de N etapas, se debe tomar la decisión de conservar o reemplazar el equipo. La opción elegida debe garantizar el máximo beneficio.

Las ecuaciones funcionales basadas en el principio de optimización tienen la forma:

La primera ecuación describe un proceso de N etapas y la segunda describe un proceso de una etapa. Ambas ecuaciones constan de dos partes: línea superior determina los ingresos recibidos por el mantenimiento del equipo; menor: ingresos recibidos al reemplazar equipos y continuar el proceso de trabajo en equipos nuevos.

En la primera ecuación, la función r(t) - u(t) es la diferencia entre el costo de los productos manufacturados y los costos operativos en la enésima etapa del proceso.

La función fN–1 (t + 1) caracteriza el beneficio total de (N - 1) etapas restantes para equipos cuya antigüedad al inicio de estas etapas es (t + 1) años.

El resultado final de la primera ecuación se caracteriza de la siguiente manera: la función s(t) - P representa el costo neto de reemplazar equipo que tiene t años.

La función r(0) expresa los ingresos recibidos por equipos nuevos de 0 años. Se supone que la transición de trabajar en equipos de t años a trabajar en equipos nuevos se produce instantáneamente, es decir. el período de sustitución de equipos antiguos y la transición al trabajo en equipos nuevos encajan en la misma etapa.

La última función fN–1 representa los ingresos de las N - 1 etapas restantes, antes de cuyo inicio el equipo tiene un año.

Se puede dar una interpretación similar a la ecuación de un proceso de una etapa. No existe ningún término de la forma f0(t + 1), ya que N toma el valor 1, 2,..., N. La igualdad f0(t) = 0 se deriva de la definición de la función fN(t).

Las ecuaciones son relaciones recurrentes que permiten determinar el valor de fN(t) en función de fN–1(t + 1). La estructura de estas ecuaciones muestra que al pasar de una etapa del proceso a la siguiente, la edad del equipo aumenta de t a (t + 1) años, y el número de etapas restantes disminuye de N a (N - 1) .

El cálculo comienza usando la primera ecuación. Las ecuaciones le permiten evaluar opciones de reemplazo y mantenimiento de equipos para aceptar el que ofrece mayores ingresos. Estos ratios permiten no sólo elegir un curso de acción a la hora de decidir si mantener o reemplazar un equipo, sino también determinar la ganancia obtenida al tomar cada una de estas decisiones.

Ejemplo. Determine el ciclo óptimo de reemplazo de equipos con los siguientes datos iniciales: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), presentados en la tabla.

Solución. Escribimos las ecuaciones de la siguiente forma:

Continuamos los cálculos hasta que se cumpla la condición f1(1) > f2(2), es decir V en este momento el equipo debe ser reemplazado, ya que la cantidad de beneficio obtenido como resultado de la sustitución del equipo es mayor que en el caso de utilizar el antiguo. Colocamos los resultados del cálculo en la tabla, marcamos el momento de reemplazo con un asterisco, después de lo cual detenemos más cálculos a lo largo de la línea.

No es necesario resolver la ecuación cada vez, sino realizar los cálculos en una tabla. Por ejemplo, calculemos f4(t):

Dejamos de realizar más cálculos para f4(t), ya que f4(4) = 23 Con base en los resultados del cálculo y a lo largo de la línea que delimita las áreas de decisión para el mantenimiento y reemplazo de equipos, encontramos el ciclo óptimo de reemplazo de equipos. Para esta tarea son 4 años.

Respuesta. Para obtener el máximo beneficio del uso de equipos en un proceso de doce pasos, el ciclo óptimo es reemplazar el equipo cada 4 años.

Distribución óptima recursos

Sea una cierta cantidad de recursos x que deben distribuirse entre n empresas, objetos, trabajos, etc. diferentes. para obtener la máxima eficiencia total del método de distribución seleccionado.

Introduzcamos la siguiente notación: xi - la cantidad de recursos asignados a la i-ésima empresa (i = );

gi(xi) es la función de utilidad, en en este caso esta es la cantidad de ingresos por el uso del recurso xi recibido por la i-ésima empresa;

fk(x) es el mayor ingreso que se puede obtener utilizando los recursos x de las primeras k empresas diferentes.

El problema formulado se puede escribir en forma matemática:

con restricciones:

Para resolver el problema, es necesario obtener una relación de recurrencia que conecte fk(x) y fk–1(x).

Denotemos por xk la cantidad de recursos utilizados por el método k (0 ≤ xk ≤ x), luego, para los métodos (k - 1), la cantidad de recursos restantes es igual a (x - xk). El mayor ingreso que se obtiene al utilizar un recurso (x - xk) de los primeros (k - 1) métodos será fk–1(x - xk).

Para maximizar el ingreso total de los métodos k–ésimo y primero (k - 1), es necesario elegir xk de tal manera que se satisfagan las siguientes relaciones:

consideremos tarea específica sobre la distribución de inversiones de capital entre empresas.

Distribución de inversiones para uso efectivo potencial empresarial

El consejo de administración de la empresa está considerando propuestas para aumentar la capacidad de producción para aumentar la producción de productos homogéneos en cuatro empresas de propiedad de la empresa.

Para ampliar la producción, la junta directiva asigna fondos por valor de 120 millones de rublos. con discreción de 20 millones de rublos. El aumento de la producción en las empresas depende de la cantidad asignada; sus valores son presentados por las empresas y figuran en la tabla.

Encuentre la distribución de fondos entre empresas que garantice el máximo aumento de la producción y no se pueda realizar más de una inversión por empresa.

Solución. Dividamos la solución del problema en cuatro etapas según el número de empresas en las que se espera realizar inversiones.

Las relaciones de recurrencia se verán así:

para la empresa número 1

para todas las demás empresas

Realizaremos la solución según relaciones de recurrencia en cuatro etapas.

1ra etapa. Realizamos inversiones sólo para la primera empresa. Entonces

2da etapa. Asignamos inversiones a la primera y segunda empresa. La relación de recurrencia para la segunda etapa tiene la forma

en x = 20 f2(20) = máx (8 + 0,0 + 10) = máx (8, 10) = 10,

en x = 40 f2(40) = máx (16,8 + 10,20) = máx (16, 18, 20) =20,

en x = 60 f2(60) = máx (25,16 + 10, 8 + 20,28) = máx (25,26, 28,28) = 28,

en x = 80 f2(80) = máx (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = máx (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

en x = 100 f2(100) = máx (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = máx (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

en x = 120 f2(120) = máx (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = máx (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3ra etapa. Estamos financiando la 2da etapa y el tercer emprendimiento. Realizamos cálculos utilizando la fórmula.

en x = 20 f3(20) = máx(10, 12) = 12,

en x = 40 f3(40) = máx (20,10 + 12,21) = máx (20, 22, 21) = 22,

en x = 60 f3(60) = máx (28,20 + 12,10 + 21,27) = máx (28, 32, 31, 27) = 32,

en x = 80 f3(80) = máx (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = máx (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

en x = 100 f3(100) = máx (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = máx (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

en x = 120 f3(120) = máximo (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = máximo (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4ta etapa. Inversiones por valor de 120 millones de rublos. distribuidos entre la 3ª etapa y la cuarta empresa.

En x = 120 f4(120) = máximo (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = máximo (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Se obtienen las condiciones de control de la 1ª a la 4ª etapa. Volvamos de la cuarta a la primera etapa. El aumento máximo en la producción de productos es de 64 millones de rublos. obtenido en la cuarta etapa como 41 + 23, es decir 23 millones de rublos. corresponden a la asignación de 40 millones de rublos. la cuarta empresa (ver Tabla 29.3). Según la tercera etapa, 41 millones de rublos. obtenido como 20 + 21, es decir 21 millones de rublos. corresponde a una dotación específica de 40 millones de rublos. a una tercera empresa. Según la etapa 2, 20 millones de rublos. recibido con la asignación de 40 millones de rublos. a la segunda empresa.

Por tanto, las inversiones ascienden a 120 millones de rublos. Es aconsejable asignar 40 millones de rublos cada una a la segunda, tercera y cuarta empresa. cada uno, mientras que el aumento de la producción será máximo y ascenderá a 64 millones de rublos.

Minimizar los costos de construcción y operación de empresas.

Tarea en colocación óptima Las empresas de producción pueden reducirse al problema de la asignación de recursos según el criterio de minimización, teniendo en cuenta las condiciones enteras impuestas a las variables.

Supongamos que existe una necesidad determinada de un producto en demanda en un territorio determinado. Hay puntos conocidos donde es posible construir empresas que produzcan este producto. Se han calculado los costos de construcción y operación de dichas empresas.

Es necesario ubicar las empresas de manera que los costos de su construcción y operación sean mínimos.

Introduzcamos la siguiente notación:

x es la cantidad de recurso distribuido que se puede utilizar de n maneras diferentes,

xi - cantidad de recurso utilizado según el método i (i = );

gi(xi) es una función de costos igual, por ejemplo, al valor de los costos de producción cuando se utiliza el recurso xi utilizando el método i;

φk(x) es el menor costo en el que se debe incurrir al utilizar el recurso x en las primeras k formas.

Es necesario minimizar el costo total de desarrollar el recurso x en todos los sentidos:

bajo restricciones

El significado económico de las variables xi es encontrar el número de empresas recomendadas para la construcción en el punto i. Para facilitar los cálculos, asumiremos que está prevista la construcción de empresas de la misma capacidad.

Consideremos el problema específico de la localización de empresas.

Ejemplo. En tres distritos de la ciudad, el empresario planea construir cinco empresas de igual capacidad para producir los productos de panadería más demandados.

Es necesario ubicar las empresas de tal manera que se aseguren costos totales mínimos para su construcción y operación. Los valores de la función de costos gi(x) se dan en la tabla.

EN en este ejemplo gi(x) es una función de los gastos en millones de rublos, que caracteriza el monto de los costos de construcción y operación dependiendo del número de empresas ubicadas en la i-ésima región;

φk(x) es la cantidad más pequeña de costos en millones de rublos en los que se debe incurrir durante la construcción y operación de empresas en las primeras k regiones.

Solución. Resolvemos el problema usando relaciones de recurrencia: para la primera región

para otras áreas

Resolveremos el problema en tres etapas.

1ra etapa. Si todas las empresas se construyen sólo en el primer distrito, entonces

los costes mínimos posibles en x = 5 son 76 millones de rublos.

2da etapa. Determinemos la estrategia óptima para ubicar empresas solo en las dos primeras regiones usando la fórmula

Encontremos φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = mín (10, 11) = 10.

Calculemos φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = mín (19, 21, 18) = 18.

Encontremos φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = mín. (34, 30, 28, 35) = 28.

Definamos φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = mín. (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Calculemos φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = mín. (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

3ra etapa. Determinemos la estrategia óptima para ubicar cinco empresas en tres distritos usando la fórmula

φ3(x) = mín(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Encontremos φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = mín. (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Los costes mínimos posibles en x = 5 son 46 millones de rublos.

Se han determinado los costos de construcción de empresas de la 1ª a la 3ª etapa. Volvamos a la etapa 1 el día 3. Costos mínimos a 46 millones de rublos. en la tercera etapa se obtienen 9 + 37, es decir 9 millones de rublos. corresponden a la construcción de una empresa en la tercera región (ver Cuadro 29.4). Según la segunda etapa, 37 millones de rublos. obtenido como 19 + 18, es decir 19 millones de rublos. Corresponden a la construcción de dos emprendimientos en la segunda región. Según la primera etapa, 18 millones de rublos. Corresponden a la construcción de dos emprendimientos en la primera región.

Respuesta. La estrategia óptima es construir una empresa en la tercera región, dos empresas en la segunda y la primera región, mientras que el costo mínimo de construcción y operación será de 46 den. unidades

Encontrar costos racionales en la construcción de oleoductos y arterias de transporte.

Se requiere trazar un camino (tubería, carretera) entre dos puntos A y B de tal manera que los costos totales de su construcción sean mínimos.

Solución. Dividamos la distancia entre los puntos A y B en pasos (segmentos). En cada paso podemos movernos hacia el este (a lo largo del eje X) o hacia el norte (a lo largo del eje Y). Entonces, el camino de A a B es una línea discontinua escalonada, cuyos segmentos son paralelos a uno de los ejes de coordenadas. Los costos de construcción de cada sección se conocen (Fig. 29.2) en millones de rublos.

Dividamos la distancia de A a B en dirección este en 4 partes, en el norte, en 3 partes. El camino puede considerarse como un sistema controlado, que se mueve bajo la influencia del control desde el estado inicial A al estado final B. El estado de este sistema antes del inicio de cada paso se caracterizará por dos coordenadas enteras x e y. Para cada uno de los estados del sistema (punto nodal), encontramos el condicional control óptimo. Se elige de modo que el coste de todos los pasos restantes hasta el final del proceso sea mínimo. Realizamos el procedimiento de optimización condicional en la dirección opuesta, es decir del punto B al punto A.

Encontremos la optimización condicional del último paso.

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Introducción

Actualmente existe en todo el mundo un gran número de empresas diferentes que utilizan maquinaria para producir productos. Por tanto, a la hora de implementarlo es necesario elaborar un plan óptimo de reposición y uso de equipos. Esta tarea se considera un proceso de varias etapas típico de programación dinámica.

En una economía de mercado, elegir una estrategia para reemplazar equipos o garantizar su rendimiento para una empresa industrial suele ser bastante complejo y, para obtener resultados aceptables, a veces solo una experiencia sólida puede no ser suficiente, ya que la intuición a menudo lleva a conclusiones erróneas. La consideración matemática nos permite obtener estimaciones correctas y fácilmente computables.

La teoría económica ha desarrollado una amplia gama de modelos de reemplazo de equipos que permiten evaluar la viabilidad y las condiciones del reemplazo de manera más completa y adecuada. Estos modelos fueron construidos tanto por especialistas como por científicos extranjeros de la URSS y la Federación Rusa. En la actualidad parece muy importante sistematizar estos modelos e identificar áreas de su aplicación efectiva.

El propósito de este trabajo del curso es determinar el momento óptimo para reemplazar el equipo viejo.

Los objetivos de este trabajo son:

Al encontrar una solución óptima condicional al problema;

en compilacion plan optimo reemplazo de equipos.

El envejecimiento de los equipos incluye su desgaste físico y moral. Como resultado, los costos de producción aumentan, los costos de mantenimiento y reparación de equipos aumentan, la productividad laboral y el valor líquido disminuyen. El criterio de optimización es el beneficio de operar el equipo o los costos operativos totales durante el período planificado.

1. Descripción teórica del modelo de sustitución de equipos.

1.1 Características del modelo de sustitución de equipos

Importante problema económico es la reposición oportuna de equipos: automóviles, máquinas, electrónica, etc. El envejecimiento de los equipos incluye el desgaste físico y moral y, como resultado, los costos de mantenimiento y reparación de los equipos aumentan, la productividad laboral disminuye y trabajar con equipos viejos no es tan agradable como con uno nuevo. En consecuencia, es necesario saber cuándo y cómo reemplazar el equipo.

El problema de reemplazar equipos es determinar el momento óptimo para reemplazar equipos viejos. Problemas económicos y matemáticos que resuelven. este problema, se llaman optimización.

Los problemas de optimización se resuelven utilizando modelos de optimización utilizando métodos. programación matemática. La estructura del modelo de optimización consta de función objetivo, el área de soluciones factibles y el sistema de restricciones que definen esta área.

La función objetivo es una función que conecta la meta con las variables controladas. Región valores aceptables- esta es el área dentro del cual se toman las decisiones. Está limitado por un sistema de restricciones que consta de ecuaciones y desigualdades.

Se identifica un grupo de problemas según el tipo de criterio de optimización:

Tareas programación lineal. La función objetivo y las funciones en el sistema de restricciones son funciones lineales.

Problemas de programación lineal entera. A las condiciones anteriores se suma la condición de la necesidad de obtener una respuesta en forma de números enteros.

Problemas de programación no lineal. La función objetivo y/o funciones en el sistema de restricciones son funciones no lineales.

Problemas de programación cuadrática. El conjunto de soluciones factibles es un poliedro convexo y la función objetivo es cuadrática.

Problemas de programación convexa. El conjunto de soluciones factibles y la función objetivo son un conjunto convexo.

Problemas de programación estocástica. Las funciones son aleatorias.

Problemas de programación heurística. Excesivamente gran número opciones de solución, lo que lleva a la imposibilidad de encontrar algorítmicamente el óptimo exacto.

Problemas de programación dinámica. El criterio de eficiencia se expresa implícitamente a través de ecuaciones que describen las operaciones a lo largo del tiempo.

El modelo de sustitución de equipos es un modelo de optimización que podemos relacionar con la programación dinámica. El método de programación dinámica se basa en el principio optimización secuencial: solución problema original La optimización de alta dimensión se reemplaza resolviendo una secuencia de problemas de optimización de baja dimensión. La condición principal para la aplicabilidad del método de programación dinámica es la posibilidad de dividir el proceso de toma de decisiones en una serie de pasos o etapas similares, cada una de las cuales se planifica por separado, pero teniendo en cuenta los resultados obtenidos en otros pasos.

1.2 Principio de optimización de Bellman

programación matemática del equipo de reemplazo

El método de programación dinámica consiste en construir gradualmente un control óptimo. En cada paso, se optimiza el control de sólo ese paso. Al mismo tiempo, en cada paso el control se selecciona teniendo en cuenta las consecuencias, ya que el control que optimiza la función objetivo solo para este paso, puede provocar un efecto subóptimo de todo el proceso. La gestión en cada paso debe ser óptima desde el punto de vista del proceso en su conjunto. Esta regla básica de programación dinámica, formulada por Bellman, se denomina principio de optimización.

Está previsto utilizar el equipo durante un período de tiempo determinado. Los equipos tienden a envejecer con el tiempo y generar cada vez menos ingresos. Al mismo tiempo, es posible vender a principios de cualquier año. equipo obsoleto por un precio determinado, que también depende de la edad, y comprar equipos nuevos. La antigüedad del equipo se refiere al período de funcionamiento del equipo después del último reemplazo, definido en años. Es necesario encontrar el plan óptimo para reemplazar equipos por otros nuevos para que los ingresos totales durante todos los años de operación sean máximos.

Introduzcamos la siguiente notación: r(t) - el costo de los productos producidos en un año en una unidad de equipo de t años:

u(t) - costos de mantenimiento anual para equipos de t años;

s(t) -- valor residual del equipo con una antigüedad de t años;

P es el precio de compra del equipo.

Considere un período de N años dentro del cual es necesario determinar el ciclo óptimo de reemplazo de equipos.

Denotemos por fN(t) el ingreso máximo recibido de equipos de t años durante los N años restantes del ciclo de uso del equipo, sujeto a una estrategia óptima.

La antigüedad del equipo se cuenta en la dirección del flujo del proceso. Así, t = 0 corresponde al caso de utilizar equipos nuevos. Las etapas temporales del proceso se numeran en sentido inverso al avance del proceso. Así, N = 1 se refiere a una etapa de tiempo restante hasta la finalización del proceso, y N = N se refiere al inicio del proceso (Fig. 1).

En cada etapa del proceso de N etapas, se debe tomar la decisión de conservar o reemplazar el equipo. La opción elegida debe garantizar el máximo beneficio.

Las ecuaciones funcionales basadas en el principio de optimización se muestran en la figura. 2:

La Ecuación 1 describe un proceso de N etapas y la Ecuación 2 describe un proceso de una etapa. Ambas ecuaciones tienen dos partes: la línea superior determina los ingresos que se reciben por el mantenimiento del equipo; menor: ingresos recibidos al reemplazar equipos y continuar el proceso de trabajo en equipos nuevos.

En la ecuación 1, la función r(t) - u(t) es la diferencia entre el costo de producción y los costos operativos de Enésima etapa proceso.

La función fN-1 (t + 1) caracteriza el beneficio total de (N -- 1) etapas restantes para equipos cuya antigüedad al inicio de estas etapas es (t + 1) años.

La línea de fondo 1 se caracteriza de la siguiente manera: la función s(t) -- P representa el costo neto de reemplazar equipos que tienen t años.

La última función fN-1 en 1 representa los ingresos de las N - 1 etapas restantes, antes de cuyo inicio el equipo tiene un año.

Las ecuaciones 1 y 2 son relaciones de recurrencia que nos permiten determinar el valor de fN(t) en función de fN-1(t + 1). La estructura de estas ecuaciones muestra que al pasar de una etapa del proceso a la siguiente, la edad del equipo aumenta de t a (t + 1) años, y el número de etapas restantes disminuye de N a (N - 1) .

El cálculo comienza con el uso de la ecuación 1. Las ecuaciones 1 y 2 permiten evaluar opciones de reemplazo y mantenimiento de equipos para poder aceptar aquella que implique mayores ingresos. Estos ratios permiten no sólo elegir un curso de acción a la hora de decidir si mantener o reemplazar un equipo, sino también determinar la ganancia obtenida al tomar cada una de estas decisiones.

2. Información y soporte metodológico para la modelización

2.1 Apoyo metodológico modelos

En los problemas de programación dinámica, el proceso económico depende del tiempo (en varios períodos (etapas) de tiempo), por lo que una serie de soluciones optimas(de forma secuencial para cada etapa), asegurando el óptimo desarrollo de todo el proceso en su conjunto. Los problemas de programación dinámica se denominan de varios pasos o de varios pasos. La programación dinámica es un aparato matemático que permite una planificación óptima de procesos controlados de varios pasos y procesos dependientes del tiempo. Un proceso económico se llama controlado si es posible influir en el curso de su desarrollo. La gestión es el conjunto de decisiones que se toman en cada etapa para influir en el curso del proceso.

En los procesos económicos, la gestión consiste en la distribución y redistribución de fondos en cada etapa. Por ejemplo, la producción de productos por cualquier empresa es un proceso controlado, ya que está determinado por cambios en la composición de los equipos, el volumen de suministros de materias primas, el monto de financiamiento, etc. El conjunto de decisiones que se toman al inicio de cada año del período de planificación sobre el suministro de materias primas a la empresa, la reposición de equipos, el monto del financiamiento, etc., es gestión. Parecería que para obtener el máximo volumen de producción, la forma más sencilla es invertir el máximo cantidad posible fondos y uso para potencia total equipo. Pero esto conduciría a un rápido desgaste de los equipos y, como consecuencia, a una disminución de la producción.

Por lo tanto, el lanzamiento del producto debe planificarse de tal manera que se eviten efectos indeseables. Es necesario tomar medidas para garantizar que el equipo se reponga a medida que se desgasta, es decir, por periodos de tiempo. Esto último, si bien conduce a una disminución del volumen inicial de producción, ofrece la posibilidad de ampliar la producción en el futuro. Por tanto, se puede considerar que el proceso económico de producción consta de varias etapas (pasos), cada una de las cuales influye en su desarrollo.

El inicio de la etapa (paso) del proceso controlado se considera el momento de la toma de decisiones (sobre el valor inversiones de capital, sobre la sustitución de equipos de un determinado tipo, etc.). Habitualmente se entiende por etapa un ejercicio económico.

La programación dinámica, utilizando la planificación paso a paso, permite no solo simplificar la solución del problema, sino también resolver aquellos problemas a los que no se pueden aplicar métodos. análisis matemático. La simplificación de la solución se logra reduciendo significativamente el número de opciones en estudio, ya que en lugar de resolver un problema multivariado complejo una vez, el método de planificación paso a paso implica resolver problemas relativamente simples varias veces.

Al planificar un proceso paso a paso, partimos de los intereses de todo el proceso en su conjunto, es decir, Al tomar una decisión en una etapa particular, siempre es necesario tener presente el objetivo final.

Un problema de programación dinámica debe satisfacer dos condiciones. La primera condición suele denominarse condición de ausencia de efecto secundario y la segunda es condición de aditividad de la función objetivo del problema.

2.2 Soporte algorítmico del modelo

Durante la operación y almacenamiento, los equipos están sujetos a desgaste físico y moral. Desgaste físico caracterizado por la pérdida del equipo de sus cualidades originales. Esto provoca una disminución en la precisión del equipo y una disminución en la velocidad de su funcionamiento. El desgaste físico de los equipos es la razón del aumento de la proporción de productos defectuosos y del aumento del tiempo de inactividad de los equipos. razones técnicas, consumo excesivo de materiales básicos y auxiliares, tiempos de inactividad por accidentes, lo que en última instancia conduce a un aumento de los costes de producción. La obsolescencia de los equipos se presenta de dos formas. La primera forma de obsolescencia provoca una disminución del coste de los equipos debido a la reducción del coste de su reproducción. La segunda forma de obsolescencia se produce cuando las características de diseño y rendimiento de las nuevas máquinas cambian, cuando la máquina queda técnicamente obsoleta y es sustituida por una más avanzada.

Las empresas deben tomar constantemente medidas para prevenir o eliminar las consecuencias del desgaste de los equipos mediante la atención oportuna. varios tipos reparaciones y mantenimiento de equipos.

La organización del mantenimiento y reparación de equipos en las empresas tiene como objetivo mantener y restaurar la funcionalidad del equipo. Pero como resultado de las reparaciones, es posible no solo restaurar las funciones perdidas de piezas y conjuntos de máquinas y mecanismos, sino también modernizarlos para mejorar. caracteristicas tecnicas. La esencia de la reparación es garantizar la seguridad y la restauración de alta calidad. características de rendimiento equipo reemplazando o restaurando piezas desgastadas y ajustando mecanismos.

La reparación es un conjunto de operaciones para restaurar la capacidad de servicio, la operatividad del recurso del equipo o de sus componentes.

Los objetivos de organizar los trabajos de reparación en la empresa son:

mantenimiento de equipos en en condiciones de trabajo;

prevención del desgaste prematuro de piezas y componentes;

conservación alta precisión, confiabilidad y durabilidad de los equipos;

reducción del tiempo de inactividad del equipo durante reparaciones y mantenimiento;

reducción de costes de reparación y mantenimiento.

Se entiende por sistema de reparación un conjunto de disposiciones y normas interrelacionadas que determinan la organización e implementación de los trabajos de reparación en la empresa. Existen varios sistemas para organizar las reparaciones de equipos. Cada uno de ellos se basa en un determinado principio inicial. Se trata, en primer lugar, de la frecuencia de las reparaciones y el mantenimiento. Tres sistemas son los más utilizados.

El sistema de reparación de equipos "basado en fallos" prevé reparaciones en caso de fallo del equipo. En este sistema, es bastante difícil prever el tiempo de inactividad y los costos de reparación. Las desventajas de este sistema incluyen la duración del tiempo de inactividad del equipo durante las reparaciones y los importantes costos de reparación.

Sistema de reparación post-inspección. Al utilizar este sistema, la decisión de realizar reparaciones se toma después de inspeccionar el equipo.

Los dos sistemas anteriores también se denominan sistemas de reparación bajo demanda.

Sistema de mantenimiento preventivo planificado (PPR). Cuando se utiliza este sistema de reparación, se lleva a cabo una serie de trabajos con anticipación para evitar un alto desgaste del equipo, largos tiempos de inactividad, altos costos de reparación y accidentes.

El sistema de mantenimiento preventivo planificado se entiende como un conjunto de medidas organizativas y eventos técnicos sobre el estudio y seguimiento del desgaste de piezas y conjuntos de máquinas, así como sobre el cuidado, supervisión, mantenimiento y reparación de los equipos que se realicen reglamentariamente al efecto mantenimiento constante equipos en buen estado de funcionamiento y evitando fallas inesperadas. Este sistema de reparación permite de la mejor manera posible combinar trabajo en mantenimiento y mantenimiento preventivo con el avance general del proceso productivo en la empresa.

La esencia del sistema de mantenimiento preventivo es la siguiente:

comprobar sistemáticamente el estado de los equipos y realizar reparaciones necesarias para prevenir un accidente;

la necesidad de estudiar el desgaste de piezas y conjuntos y planificar reparaciones para prevenir accidentes;

material obligatorio y preparación técnica de las reparaciones planificadas para mejorar la calidad de las reparaciones y reducir el tiempo de inactividad durante las reparaciones de máquinas;

creando requisitos previos confiables para reducir la intensidad laboral de las reparaciones.

La planificación de los trabajos de reparación se realiza en forma de calendario anual. El cronograma se basa en la estructura del ciclo de reparación para cada tipo de equipo y los estándares de intensidad de mano de obra para los tipos de reparaciones planificadas para cada tipo de equipo.

El plan de reparación anual se elabora según los meses del año planificado. Los trabajos de reparación previstos en el calendario deben, si es posible, distribuirse uniformemente entre trimestres y meses del año para equipos del mismo tipo.

Así, el enfoque clásico del mantenimiento preventivo se basa en un calendario: los equipos se reparan en un intervalo de tiempo determinado, independientemente del desgaste del momento. Cada equipo tiene su propio periodo de reparación y su propio coste de reparación. En la producción, los equipos suelen ser complejos. Y cada pieza de equipo complejo tiene su propio período de reparación y su propio coste de reparación. Si el período de reparación de equipos complejos coincide con el período de reparación de sus piezas, los costos de reparación se reducen.

El reemplazo de equipos es necesario en un momento en que las ganancias disminuyen y los costos de mantenimiento y reparación aumentan considerablemente.

3. Enfoque multimodelo para resolver el problema de gestionar el proceso de sustitución. equipo de producción

Para gestión eficaz empresa manufacturera Cada vez se utilizan más modelos y métodos de optimización matemática. El problema de la gestión empresarial eficaz y, en particular, la gestión del proceso de sustitución de equipos de producción, debe resolverse de forma integral y en cada nivel jerárquico de la gestión empresarial.

Cabe señalar que en el entorno competitivo actual, evaluar el desempeño de una empresa en comparación con estándares anteriores ya no funciona. Para competir y desarrollarse con éxito, las empresas deben adoptar una filosofía de mejora continua, que es un proceso continuo en el que hay una búsqueda continua de formas que se reducen a mejorar las tecnologías operativas, realizar actualizaciones oportunas, reparar, reemplazar y seleccionar nuevas. equipos y encaminados a reducir costes y aumentar su productividad. Al mismo tiempo, uno de los objetivos de la empresa es atraer inversiones adicionales.

Para atraer inversiones adicionales, una empresa debe tener atractivo para la inversión. En este sentido, surge el problema de la gestión eficaz del proceso de sustitución de equipos de producción de una empresa, cuya solución se reduce a resolver una serie de problemas de optimización. EN caso general La solución del problema de gestionar eficazmente el proceso de sustitución de equipos empresariales está estrechamente interconectada con la solución del problema del desarrollo estratégico eficaz de la empresa.

En la figura. La Figura 3 muestra la relación entre los indicadores de desempeño del desempeño de la empresa, donde la solución al problema del desarrollo estratégico efectivo de la empresa depende de la solución al problema de la gestión efectiva de los activos de producción (equipos) de la empresa.

De lo anterior y de la necesidad de tener en cuenta muchos factores, se deduce que los problemas de gestionar eficazmente el proceso de sustitución deben resolverse de forma integral y paso a paso. Este artículo propone un sistema de modelos y métodos para resolver problemas de gestión del proceso de reemplazo de equipos de producción de una empresa (ver Tabla 1).

Tareas de reposición de equipos.
Dado: el flujo de costos de los equipos desde el período de puesta en servicio. Criterio objetivo: minimizar los costes medios durante el período de explotación.	MA1. Modelo analítico para determinar el período óptimo de reemplazo de equipos en función de los costos promedio.
Dado: el flujo de ingresos de los productos manufacturados y los costos de los equipos por la puesta en servicio. Criterio objetivo: maximizar la cantidad de beneficio y valor líquido durante el período operativo.	MA2. modelo analítico determinar el período óptimo para la sustitución de equipos en función de los ingresos.	Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un extremo de la función objetivo.
Dado: el flujo de ingresos y gastos por la puesta en servicio de un sistema de equipos idénticos con función dada fiabilidad. Criterio objetivo: maximizar la cantidad de beneficio desde el comienzo de la vida útil	MA3. Modelo estocástico para reemplazar un sistema de equipos idénticos con fallas.	Métodos de teoría de confiabilidad necesarios y condiciones suficientes existencia de un extremo de la función
Dado: flujo de gastos de equipo, edad inicial del equipo, período de operación, costo de equipo nuevo, método de depreciación, tasa de inflación. Criterio objetivo: minimizar los costos durante un proceso de reemplazo de equipos de varios pasos.	MV1 Modelo dinámico controlado del proceso de sustitución de equipos de producción con averías (o sin averías).	Métodos de programación dinámica en tiempo inverso.
Dado: flujo de ingresos, costos de equipos, edad inicial de los equipos, período de operación, costo de equipos nuevos, método de depreciación, tasa de inflación, tasa de costo de equipos nuevos, productos, funciones de confiabilidad	MV2. Modelos de pronóstico de series dinámicas MV3. Modelo dinámico controlado del proceso de sustitución de equipos de producción defectuosos.	Métodos para calcular tendencia, media móvil, análisis de regresión. Métodos de programación dinámica en tiempo directo.

Problemas de clase A. Para datos iniciales dados, encuentre el momento óptimo para reemplazar el equipo. Las funciones objetivo son los costos promedio para el período de operación, la cantidad de ganancia y el valor líquido para el período de operación.

Problemas de clase B. Para datos iniciales dados, encontrar estrategias óptimas para reemplazar equipos nuevos y existentes a largo plazo. Las funciones objetivo son los costos y las ganancias en un proceso de varios pasos de reemplazo de equipos.

Debido al hecho de que la decisión de reemplazar los problemas de esta clase se toma al comienzo de cada año calendario de operación del equipo, la tarea de determinar las estrategias óptimas para reemplazar los equipos nuevos y existentes se reduce a un procedimiento de toma de decisiones de varios pasos. . Cada paso se evalúa por el monto de la ganancia o el monto del gasto, que se puede calcular durante un año de operación. Es obvio que la solución a tal problema se puede llevar a cabo utilizando un sistema controlado. modelo dinámico, ya que su potencial para reflejar adecuadamente las propiedades sistemas reales mayor que los modelos estáticos. Además, se les aplica el principio de optimización de R. Bellman: el control óptimo tiene la propiedad de que, cualquiera que sea el estado inicial del sistema en cualquier paso y el control elegido en este paso, los pasos de control posteriores deben elegirse óptimos en relación con el estado. al cual llegará el sistema al final de este paso. El uso de este principio nos permite construir ecuaciones funcionales recurrentes de programación dinámica con respecto a valor optimo función objetivo.

Conclusión

El funcionamiento de una empresa en un entorno competitivo tiene una serie de características que influyen en las formas organizativas y legales de gestión empresarial. Para resolver con éxito el problema de la gestión eficaz de los activos de producción, se deben utilizar modelos y métodos económicos y matemáticos. Al mismo tiempo, el reflejo de todos los aspectos principales en el problema de optimizar la gestión de la reposición de equipos de producción se puede lograr mediante un enfoque multimodelo, cuando para resolver el problema de la gestión de la reposición no se utiliza uno, sino varios modelos matemáticos. se utilizan, que permiten describir el proceso de sustitución con distintos grados de detalle. El trabajo muestra que el reemplazo de equipos es un proceso de múltiples pasos y en este caso la estrategia de reemplazo óptima es una solución al problema de optimización planteado sobre un modelo dinámico discreto controlado.

La metodología propuesta en el trabajo para determinar la estrategia óptima para el reemplazo y operación de equipos, basada en un modelo dinámico controlado, tiene como objetivo incrementar la eficiencia de los procesos y gestionar los activos productivos de la empresa. Es más adecuado para aplicación práctica actualmente. La formulación propuesta de problemas para determinar los períodos óptimos de reemplazo y el enfoque, a diferencia de los tradicionales, nos permite resolver el problema de elegir la estrategia óptima para reemplazar los activos de producción de una empresa en un modelo dinámico controlado discreto de la estrategia de reemplazo utilizando el Método de programación dinámica de la toma de decisiones en tiempo directo, que no requiere fijar la vida útil y es innovador en la determinación del momento de sustitución actual.

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Este servicio está destinado a online. resolviendo el problema de la estrategia óptima de actualización de equipos. Normalmente, los siguientes parámetros se especifican en los datos de origen:

r(t) es el costo de los productos producidos durante cada año del período de planificación utilizando este equipo;
u(t) - costos anuales asociados con la operación del equipo;
s(t) - valor residual del equipo;
p es el costo de los equipos nuevos, que incluye los costos asociados con la instalación, puesta en servicio y puesta en marcha del equipo y no cambia en un período de planificación determinado.

Si no se especifica el costo del equipo, se resolverá un problema con el costo y las funciones de reemplazo (problema de planificación de inversión de capital).

Planificación de inversiones de capital.

Ejemplo No. 1. Encuentre la estrategia óptima para operar el equipo por un período de 6 años, si en la tabla se dan el ingreso anual r(t) y el valor residual S(t) dependiendo de la edad, el costo del equipo nuevo es P = 13, y la antigüedad del equipo al inicio del período operativo era de 1 año.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
calle)	12	10	8	8	7	6	4

Solución.
Etapa I. Optimización condicional (k = 6,5,4,3,2,1).
Variable de control activada k-ésimo paso es una variable lógica que puede tomar uno de dos valores: mantener (C) o reemplazar (R) el equipo al comienzo del k-ésimo año.
1er paso: k = 6. Para el 1er paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3,4,5,6, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 6 (t) = máx(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = máx(7; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = máx(7; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = máx(6; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = máx(6; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = máx(5; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = máx(5; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2do paso: k = 5. Para el 2do paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3,4,5, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 5 (t) = máx(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = máx(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = máx(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = máx(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = máx(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = máx(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3er paso: k = 4. Para el 3er paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3,4, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 4 (t) = máx(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = máx(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = máx(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = máx(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = máx(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = máx(5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4to paso: k = 3. Para el 4to paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 3 (t) = máx(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = máx(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = máx(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = máx(6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = máx(6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = máx(5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5to paso: k = 2. Para el 5to paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 2 (t) = máx(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = máx(7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = máx(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = máx(6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = máx(6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = máx(5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6to paso: k = 1. Para el 6to paso, los posibles estados del sistema son t = 1, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 1 (t) = máx(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = máx(7 + 30; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = máx(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = máx(6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = máx(6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = máx(5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Los resultados de los cálculos utilizando las ecuaciones de Bellman F k (t) se dan en la tabla, en la que k es el año de funcionamiento y t es la antigüedad del equipo.
Tabla – Matriz de Beneficio Máximo

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

En la tabla se destaca el valor de la función correspondiente al estado (3) - reemplazo de equipo.
Al resolver este problema en algunas tablas al evaluar la elección. control requerido recibimos mismos valores F para ambas opciones de control. En este caso, de acuerdo con el algoritmo de solución. tareas similares es necesario seleccionar la gestión de conservación del equipo.
Etapa II. Optimización incondicional(k = 6,5,4,3,2,1).
Según las condiciones del problema, la antigüedad del equipo es t 1 =1 años. Período previsto N=6 años.
Al comienzo del primer año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. La ganancia será F 1 (1) = 37.
Control óptimo para k = 1, x 1 (1) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 1 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del segundo año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. La ganancia será F 2 (2) = 30.
Control óptimo para k = 2, x 2 (2) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 2 a 6 se logra si se mantiene el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del tercer año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. La ganancia será F 3 (3) = 23.
Control óptimo incondicional para k = 3, x 3 (3)=(3), es decir Para obtener el máximo beneficio durante los años restantes, es necesario reemplazar el equipo este año.
Al comienzo del cuarto año de operación, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. La ganancia será F 4 (1) = 20.
Control óptimo para k = 4, x 4 (1) = (C), es decir los ingresos máximos para los años 1 a 6 se alcanzan si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del quinto año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. La ganancia será F 5 (2) = 13.
Control óptimo para k = 5, x 5 (2) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 2 a 6 se logra si se mantiene el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del sexto año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. La ganancia será F 6 (3) = 6.
Control óptimo para k = 6, x 6 (3) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 3 a 6 se logra si se mantiene el equipo, es decir, no reemplazado.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (W)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Así, después de 6 años de funcionamiento del equipo, el reemplazo deberá realizarse al inicio del 3er año de funcionamiento.

Ejemplo No. 2. El problema de la planificación de inversiones de capital. Intervalo de planificación T=5 años. Función de costo para reparaciones y operaciones posteriores K(t)=t+2t 2 (r.); función de reemplazo P(t)=10+0.05t 2 (p.). Determine la estrategia óptima de reemplazo y reparación para equipos nuevos (t=0) y equipos de edad t=1, t=2, t=3.
Determine los costos planificados óptimos para los años del plan quinquenal, si la cantidad de equipos por grupos de edad es la siguiente: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5

Introducción………………...………………………………………………………………...………….3

Capítulo 1. Descripción teórica del modelo de sustitución de equipos…………..….4

1.1. Características del estado de una entidad económica e identificación de tendencias en su desarrollo………………………………………………………………..……...4

1.2. Información y soporte metodológico para la modelación económica………………...……...……………………………………...4

1.2.1. Base metodológica para la resolución del modelo…………………….…………....4

1.2.2. Información y soporte metodológico del método…………..…9

Capítulo 2. Cálculo de indicadores del modelo económico-matemático e interpretación económica de los resultados………………………….…………...13

2.1. Encontrar una solución óptima condicional al problema…………...15

2.2. Elaboración de un plan óptimo de sustitución de equipos…………21

Conclusión………………………………………………………………………………....24

Referencias…………………………………………………………..…..26

Aplicaciones……………………………………………………………………...27

Introducción

Hay muchas empresas en todo el mundo que utilizan maquinaria para producir sus productos. Por tanto, a la hora de implementarlo es necesario elaborar un plan óptimo de uso y reposición de equipos. Las tareas de reemplazo de equipos se consideran un proceso de varios pasos, lo cual es característico de la programación dinámica.

Muchas empresas conservan o reemplazan equipos basándose en la intuición, sin utilizar técnicas de programación dinámica. Es recomendable utilizar estos métodos, ya que le permiten maximizar claramente las ganancias o minimizar los costos.

El propósito de este trabajo es determinar el momento óptimo para reemplazar equipos viejos.

Los objetivos de este trabajo son:

· en encontrar una solución óptima condicional al problema;

· en la elaboración de un plan óptimo de sustitución de equipos.

El envejecimiento de los equipos incluye su desgaste físico y moral. Como resultado, los costos de producción aumentan, los costos de mantenimiento y reparación aumentan, la productividad laboral y el valor líquido disminuyen. El criterio de optimización es el beneficio de operar el equipo o los costos operativos totales durante el período planificado.

El trabajo del curso contiene 2 capítulos, 12 tablas, 1 apéndice, 5 dibujos y tiene un formato de 30 páginas.

Capítulo 1. Descripción teórica del modelo de sustitución de equipos.

1.1. Características del estado de una entidad económica e identificación de tendencias en su desarrollo.

Para llevar a cabo sus actividades eficazmente, las asociaciones y empresas de producción deben reemplazar periódicamente los equipos que utilizan. Este reemplazo tiene en cuenta el rendimiento del equipo utilizado y los costos asociados con el mantenimiento y reparación del equipo.

La característica de la programación dinámica es el enfoque para resolver un problema en etapas, cada una de las cuales está asociada con una variable controlada. Un conjunto de procedimientos computacionales recurrentes que conectan varias etapas, asegura recibir solución factible tareas en su conjunto al llegar a la última etapa.

() (1.1)

(1.1) - Principio de optimización de Bellman.

(1.2)

Dónde t – edad del equipo al inicio késimo año ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

– control implementado al principio késimo año; P 0 – costo de equipo nuevo.

(1.2) - Ecuación funcional de Bellman.

1.2. Información y soporte metodológico para la modelización económica.

1.2.1. Base metodológica para la resolución del modelo.

En los problemas de programación dinámica, el proceso económico depende del tiempo (de varios períodos (etapas) de tiempo), por lo que se encuentran una serie de soluciones óptimas (secuencialmente para cada etapa) que aseguren un desarrollo óptimo de todo el proceso en su conjunto. Los problemas de programación dinámica se denominan de varios pasos o de varios pasos. La programación dinámica es un aparato matemático que permite una planificación óptima de procesos controlados de varios pasos y procesos dependientes del tiempo. Un proceso económico se llama controlado si es posible influir en el curso de su desarrollo. La gestión es el conjunto de decisiones que se toman en cada etapa para influir en el curso del proceso. En los procesos económicos, la gestión consiste en la distribución y redistribución de fondos en cada etapa. Por ejemplo, la producción de productos por cualquier empresa es un proceso controlado, ya que está determinado por cambios en la composición de los equipos, el volumen de suministros de materias primas, el monto de financiamiento, etc. El conjunto de decisiones que se toman al inicio de cada año del período de planificación sobre el suministro de materias primas a la empresa, la reposición de equipos, el monto del financiamiento, etc., es gestión. Parecería que para obtener el máximo volumen de producción, la forma más sencilla es invertir la máxima cantidad de fondos posible y utilizar el equipo a plena capacidad. Pero esto conduciría a un rápido desgaste de los equipos y, como consecuencia, a una disminución de la producción. Por lo tanto, el lanzamiento del producto debe planificarse de tal manera que se eviten efectos indeseables. Es necesario tomar medidas para garantizar que el equipo se reponga a medida que se desgasta, es decir, por periodos de tiempo. Esto último, si bien conduce a una disminución del volumen inicial de producción, ofrece la posibilidad de ampliar la producción en el futuro. Por tanto, se puede considerar que el proceso económico de producción consta de varias etapas (pasos), cada una de las cuales influye en su desarrollo.

Se considera inicio de una etapa (paso) de un proceso controlado el momento en que se toma una decisión (sobre el monto de la inversión de capital, sobre la reposición de equipos de un determinado tipo, etc.). Habitualmente se entiende por etapa un ejercicio económico.

La programación dinámica, utilizando planificación paso a paso, permite no solo simplificar la solución del problema, sino también resolver aquellos problemas a los que no se pueden aplicar métodos de análisis matemático. La simplificación de la solución se logra reduciendo significativamente el número de opciones en estudio, ya que en lugar de resolver un problema multivariado complejo una vez, el método de planificación paso a paso implica resolver problemas relativamente simples varias veces.

Supongamos que algún sistema S se encuentra en algún estado inicial S 0 y es controlable. Por lo tanto, debido a la implementación de algún control U, el sistema especificado pasa del estado inicial S 0 a estado final S k. En este caso, la calidad de cada uno de los controles implementados U se caracteriza por el valor correspondiente de la función W(U). La tarea es asegurar que del conjunto. posibles controles U encuentre una U* para la cual la función W(U) toma un valor extremo (máximo o mínimo) W(U*).

Los problemas de programación dinámica tienen interpretación geométrica. Estado sistema fisico S puede describirse mediante parámetros numéricos, por ejemplo, consumo de combustible y velocidad, monto de inversión, etc. Llamemos a estos parámetros coordenadas del sistema; entonces el estado del sistema se puede representar mediante el punto S, y la transición de un estado S 1 a otro S 2, mediante la trayectoria del punto S. Controlar U significa elegir una trayectoria específica para mover el punto S de S 1 a S 2 , es decir. establecimiento de una determinada ley de movimiento del punto S.

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