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Construya un diagrama de red. Construyendo un diagrama de red: un ejemplo. Modelo del proceso de producción. Plan de conexión de equipos por puertos

Muchos procesos que ocurren en la naturaleza y la tecnología tienden a repetirse en ciertos intervalos. Estos procesos se denominan periódicos y se describen matemáticamente mediante funciones periódicas. Tales funciones incluyen pecado(X) , porque(X) , pecado(wx), porque(wx) . La suma de dos funciones periódicas, por ejemplo, una función de la forma , En términos generales, ya no es periódico. Pero se puede demostrar que si la relación w 1 / w 2 es un número racional, entonces esta suma es una función periódica.

Los procesos periódicos más simples (oscilaciones armónicas) se describen mediante funciones periódicas. pecado(wx) Y porque(wx). Los procesos periódicos más complejos se describen mediante funciones compuestas por un número finito o infinito de términos de la forma pecado(wx) Y porque(wx).

3.2. Serie trigonométrica. coeficientes de Fourier

Consideremos una serie funcional de la forma:

Esta serie se llama trigonométrico; números A 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,A 2 , b 2 …, a norte , b norte ,… son llamados coeficientes series trigonométricas. La serie (1) a menudo se escribe de la siguiente manera:

. (2)

Dado que los miembros de la serie trigonométrica (2) tienen un período común
, entonces la suma de la serie, si converge, también es una función periódica con período
.

Supongamos que la función F(X) es la suma de esta serie:

. (3)

En este caso dicen que la función F(X) se expande a una serie trigonométrica. Suponiendo que esta serie converge uniformemente en el intervalo
, puedes determinar sus coeficientes usando las fórmulas:

,
,
. (4)

Los coeficientes de la serie determinada por estas fórmulas se denominan Coeficientes de Fourier.

Las series trigonométricas (2), cuyos coeficientes están determinados por fórmulas de Fourier (4), se denominan cerca de Fourier, correspondiente a la función F(X).

Por tanto, si una función periódica F(X) es la suma de una serie trigonométrica convergente, entonces esta serie es su serie de Fourier.

3.3. Convergencia de series de Fourier

Las fórmulas (4) muestran que los coeficientes de Fourier se pueden calcular para cualquier integrable en el intervalo

-función periódica, es decir Para tal función siempre se puede construir una serie de Fourier. Pero, ¿esta serie convergerá a la función? F(X) ¿Y bajo qué condiciones?

Recuerde que la función F(X), definido en el segmento [ a; b] , se llama suave por partes si él y su derivada no tienen más que un número finito de puntos de discontinuidad del primer tipo.

El siguiente teorema da condiciones suficientes Descomponibilidad de una función en una serie de Fourier.

Teorema de Dirichlet. Dejar
-función periódica F(X) es suave a trozos
. Entonces su serie de Fourier converge a F(X) en cada uno de sus puntos de continuidad y al valor 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) en el punto de ruptura.

Ejemplo 1.

Expande la función a una serie de Fourier. F(X)= X, especificado en el intervalo
.

Solución. Esta función satisface las condiciones de Dirichlet y, por tanto, puede ampliarse en una serie de Fourier. Usando fórmulas (4) y el método de integración por partes
, encontramos los coeficientes de Fourier:

Por tanto, la serie de Fourier para la función F(X) tiene una mirada.

Que ya son bastante aburridos. Y siento que ha llegado el momento de extraer nuevas conservas de las reservas estratégicas de la teoría. ¿Es posible expandir la función a una serie de alguna otra manera? Por ejemplo, ¿expresar un segmento de línea recta en términos de senos y cosenos? Parece increíble, pero funciones tan aparentemente lejanas pueden ser
"reunificación". Además de los títulos familiares en teoría y práctica, existen otros enfoques para expandir una función en una serie.

En Esta lección Nos familiarizaremos con la serie trigonométrica de Fourier, abordaremos el tema de su convergencia y suma y, por supuesto, analizaremos numerosos ejemplos de expansión de funciones en series de Fourier. Sinceramente quería titular el artículo “Serie de Fourier para tontos”, pero sería falso, ya que resolver los problemas requeriría conocimiento de otras ramas del análisis matemático y algo de experiencia práctica. Por lo tanto, el preámbulo se parecerá al entrenamiento de astronautas =)

En primer lugar, el estudio de los materiales de las páginas debe abordarse en en gran forma. Somnoliento, descansado y sobrio. Sin emociones fuertes por la pata rota de un hámster y pensamientos obsesivos sobre las dificultades de la vida. peces de acuario. Sin embargo, la serie de Fourier no es difícil de entender. tareas practicas simplemente requieren una mayor concentración de atención; lo ideal es desconectarse por completo de los estímulos externos. La situación se ve agravada por el hecho de que no existe una manera sencilla de comprobar la solución y la respuesta. Por lo tanto, si su salud está por debajo del promedio, entonces es mejor hacer algo más simple. Es verdad.

En segundo lugar, antes de volar al espacio es necesario estudiar. panel astronave. Comencemos con los valores de las funciones en las que se debe hacer clic en la máquina:

Para cualquier valor natural:

1). De hecho, la sinusoide "cose" el eje x a través de cada "pi":
. Cuando valores negativos argumento, el resultado, por supuesto, será el mismo: .

2). Pero no todos lo sabían. El coseno "pi" es el equivalente a una "intermitente":

Un argumento negativo no cambia la cuestión: .

Quizás eso sea suficiente.

Y en tercer lugar, querido cuerpo de cosmonautas, debéis ser capaces de... integraros.
En particular, subsumir con confianza una función bajo el signo diferencial, integrarla por partes y estar en armonía con la fórmula de Newton-Leibniz. Comencemos los importantes ejercicios previos al vuelo. No recomiendo categóricamente omitirlo para no aplastarlo más tarde en la ingravidez:

Ejemplo 1

Calcular integrales definidas

donde toma los valores naturales.

Solución: la integración se realiza sobre la variable “x” y sobre En este punto la variable discreta "en" se considera una constante. En todas las integrales subsumimos la función bajo el signo diferencial:

Una versión corta de la solución a la que sería bueno apuntar se ve así:

Acostumbrémonos:

Los cuatro puntos restantes corren por tu cuenta. Intenta abordar la tarea concienzudamente y completar las integrales. el camino corto. Soluciones de muestra al final de la lección.

Después de realizar los ejercicios CALIDAD, nos ponemos trajes espaciales.
¡Y preparándonos para empezar!

Expansión de una función a una serie de Fourier en el intervalo

Consideremos alguna función que esté definida al menos en un intervalo (y, posiblemente, en un intervalo mayor). Si esta función es integrable en el intervalo, entonces se puede expandir a una serie trigonométrica de Fourier:
, donde están los llamados coeficientes de Fourier.

En este caso, el número se llama período de descomposición y el número se llama medio período de descomposición.

Es obvio que en caso general La serie de Fourier consta de senos y cosenos:

De hecho, vamos a anotarlo en detalle:

El término cero de la serie suele escribirse en la forma.

Los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

Entiendo perfectamente que quienes empiezan a estudiar el tema aún no tienen claros los nuevos términos: periodo de descomposición, medio ciclo, coeficientes de Fourier etc. Que no cunda el pánico, esto no es comparable a la emoción antes de ir al espacio exterior. Resolvamos todo en el siguiente ejemplo, antes de ejecutarlo, es lógico hacer algunas preguntas vitales: cuestiones prácticas:

¿Qué necesitas hacer en las siguientes tareas?

Expande la función a una serie de Fourier. Además, a menudo es necesario representar la gráfica de una función, la gráfica de la suma de una serie, una suma parcial y, en el caso de fantasías docentes sofisticadas, hacer otra cosa.

¿Cómo expandir una función a una serie de Fourier?

Básicamente, necesitas encontrar coeficientes de Fourier, es decir, componer y calcular tres integrales definidas.

Vuelva a escribir la forma general de la serie de Fourier y las tres fórmulas de trabajo en su cuaderno. Estoy muy contento de que algunos visitantes del sitio estén haciendo realidad su sueño de la infancia de convertirse en astronautas ante mis ojos =)

Ejemplo 2

Expande la función a una serie de Fourier en el intervalo. Construye una gráfica, una gráfica de la suma de la serie y la suma parcial.

Solución: la primera parte de la tarea es expandir la función a una serie de Fourier.

El comienzo es estándar, asegúrese de anotarlo:

En este problema, el período de expansión es medio período.

Expandamos la función a una serie de Fourier en el intervalo:

Usando las fórmulas apropiadas, encontramos coeficientes de Fourier. Ahora necesitas componer y calcular tres integrales definidas. Por conveniencia, enumeraré los puntos:

1) La primera integral es la más simple, sin embargo, también requiere ojos:

2) Utilice la segunda fórmula:

Esta integral es bien conocida y se toma en partes:

Al realizar la búsqueda se utilizó el método de subsumir la función bajo el signo diferencial.

En el problema que estamos considerando, es más conveniente utilizar inmediatamente la fórmula de integración por partes en una integral definida. :

Un par de notas técnicas. En primer lugar, después de aplicar la fórmula, toda la expresión debe estar entre paréntesis grandes, ya que hay una constante delante de la integral original. ¡No la perdamos! Los paréntesis se pueden ampliar en cualquier paso posterior; lo hice como último recurso. En la primera "pieza" Ponemos mucho cuidado en la sustitución; como se puede ver, no se utiliza la constante y se sustituyen los límites de integración en el producto. Esta acción resaltado entre corchetes. Bueno, ya conoces la integral de la segunda “parte” de la fórmula de la tarea de entrenamiento;-)

Y lo más importante: ¡concentración extrema!

3) Buscamos el tercer coeficiente de Fourier:

Se obtiene una relativa a la integral anterior, que también se puede integrar por partes:

Este caso es un poco más complicado, comentaré los siguientes pasos paso a paso:

(1) Encerramos la expresión completa entre corchetes grandes. No quería parecer aburrido, pierden la constante con demasiada frecuencia.

(2) V en este caso Inmediatamente abrí esos grandes corchetes. Atención especial Nos dedicamos a la primera “pieza”: la constante fuma al margen y no participa en la sustitución de los límites de integración ( y ) en el producto. Debido al desorden del registro, nuevamente es aconsejable resaltar esta acción entre corchetes. Con la segunda "pieza" todo es más simple: aquí la fracción apareció después de abrir los corchetes grandes, y la constante, como resultado de integrar la integral familiar;-)

(3) Realizamos transformaciones entre corchetes, y en la integral derecha sustituimos los límites de integración.

(4) Retire la “luz intermitente” de corchetes: , después de lo cual abrimos los corchetes internos: .

(5) Cancelamos 1 y –1 entre paréntesis y hacemos simplificaciones finales.

Finalmente, se encuentran los tres coeficientes de Fourier:

Sustituyémoslos en la fórmula. :

Al mismo tiempo, no olvides dividir por la mitad. En último paso una constante (“menos dos”) que no depende de “en” se mueve fuera de la suma.

Así, hemos obtenido la expansión de la función en una serie de Fourier en el intervalo:

Estudiemos la cuestión de la convergencia de la serie de Fourier. Explicaré la teoría, en particular. teorema de dirichlet, literalmente "en los dedos", por lo que si necesita formulaciones estrictas, consulte el libro de texto sobre Análisis matemático (por ejemplo, el segundo volumen de Bohan; o el tercer volumen de Fichtenholtz, pero es más difícil).

La segunda parte del problema requiere dibujar una gráfica, una gráfica de la suma de una serie y una gráfica de una suma parcial.

La gráfica de la función es una línea recta ordinaria en el plano, que se dibuja con una línea de puntos negra:

Averigüemos la suma de la serie. Como tú sabes, serie funcional convergen a funciones. En nuestro caso, la serie de Fourier construida para cualquier valor de "x" convergerá a la función, que se muestra en rojo. Esta función sufre discontinuidades de 1er tipo en los puntos, pero también está definido en ellos (puntos rojos en el dibujo)

De este modo: . Es fácil ver que es notablemente diferente de la función original, por eso en la entrada Se utiliza una tilde en lugar de un signo igual.

Estudiemos un algoritmo que sea conveniente para construir la suma de una serie.

En el intervalo central, la serie de Fourier converge con la función misma (el segmento rojo central coincide con la línea de puntos negra de la función lineal).

Ahora hablemos un poco sobre la naturaleza de la expansión trigonométrica que estamos considerando. series de Fourier incluye solo funciones periódicas (constantes, senos y cosenos), por lo que la suma de la serie También es una función periódica.

¿Qué significa esto en nuestro ejemplo específico? Y esto significa que la suma de la serie – es ciertamente periódico y el segmento rojo del intervalo debe repetirse sin cesar a izquierda y derecha.

Creo que el significado de la frase “período de descomposición” finalmente ha quedado claro. En pocas palabras, cada vez la situación se repite una y otra vez.

En la práctica suele ser suficiente representar tres períodos de descomposición, como se muestra en el dibujo. Bueno, y también los "muñones" de los períodos vecinos, para que quede claro que el gráfico continúa.

De particular interés son los puntos de discontinuidad del primer tipo. En tales puntos, la serie de Fourier converge a valores aislados, que se encuentran exactamente en el medio del "salto" de la discontinuidad (puntos rojos en el dibujo). ¿Cómo saber la ordenada de estos puntos? Primero, encontremos la ordenada del “piso superior”: para ello, calculamos el valor de la función en el punto más a la derecha del período central de la expansión: . Para calcular la ordenada del “piso inferior” la forma más sencilla es tomar el extremo valor izquierdo del mismo periodo: . La ordenada del valor promedio es la media aritmética de la suma de “arriba y abajo”: . Un hecho agradable es que al construir un dibujo, verá inmediatamente si el medio se calculó correctamente o incorrectamente.

Construyamos una suma parcial de la serie y al mismo tiempo repitamos el significado del término "convergencia". El motivo también se conoce por la lección sobre la suma de una serie numérica. Describamos nuestra riqueza en detalle:

Para componer una suma parcial, debes escribir cero + dos términos más de la serie. Eso es,

El dibujo muestra la gráfica de la función. verde y, como puede ver, "envuelve" la cantidad total con bastante fuerza. Si consideramos una suma parcial de cinco términos de la serie, entonces la gráfica de esta función se aproximará a las líneas rojas con mayor precisión, si hay cien términos, entonces la "serpiente verde" se fusionará completamente con los segmentos rojos; etc. Por tanto, la serie de Fourier converge a su suma.

Es interesante notar que cualquier suma parcial es una función continua, pero la suma total de la serie sigue siendo discontinua.

En la práctica, no es tan raro construir un gráfico de suma parcial. ¿Cómo hacerlo? En nuestro caso, es necesario considerar la función en el segmento, calcular sus valores en los extremos del segmento y en puntos intermedios(Cuantos más puntos consideres, más precisa será la gráfica). Luego, debes marcar estos puntos en el dibujo y dibujar cuidadosamente un gráfico en el período, y luego "replicarlo" en intervalos adyacentes. ¿De que otra forma? Después de todo, la aproximación también es una función periódica... ...en cierto modo su gráfico me recuerda a un ritmo cardíaco uniforme en la pantalla de un dispositivo médico.

Realizar la construcción, por supuesto, no es muy conveniente, ya que hay que tener mucho cuidado, manteniendo una precisión de al menos medio milímetro. Sin embargo, complaceré a los lectores que no se sienten cómodos dibujando: en un problema "real" no siempre es necesario realizar un dibujo, en aproximadamente el 50% de los casos es necesario expandir la función a una serie de Fourier y eso es todo; .

Después de completar el dibujo, completamos la tarea:

Respuesta :

En muchos problemas, la función sufre una discontinuidad de 1er tipo justo en el período de expansión:

Ejemplo 3

Expande la función dada en el intervalo a una serie de Fourier. Dibuja una gráfica de la función y la suma total de la serie.

La función propuesta se especifica por partes. (y, nota, solo en el segmento) y sufre una discontinuidad de 1º tipo en el punto . ¿Es posible calcular los coeficientes de Fourier? Ningún problema. Tanto el lado izquierdo como el derecho de la función son integrables en sus intervalos, por lo tanto, las integrales en cada una de las tres fórmulas deben representarse como la suma de dos integrales. Veamos, por ejemplo, cómo se hace esto para un coeficiente cero:

La segunda integral resultó ser igual a cero, lo que redujo el trabajo, pero esto no siempre sucede.

Los otros dos coeficientes de Fourier se describen de manera similar.

¿Cómo mostrar la suma de una serie? En el intervalo de la izquierda dibujamos un segmento de línea recta, y en el intervalo, un segmento de línea recta (resaltamos la sección del eje en negrita y negrita). Es decir, en el intervalo de expansión, la suma de la serie coincide con la función en todas partes excepto en tres puntos "malos". En el punto de discontinuidad de la función, la serie de Fourier convergerá a un valor aislado, que se ubica exactamente en el medio del “salto” de la discontinuidad. No es difícil verlo oralmente: límite del lado izquierdo:, límite del lado derecho: y, obviamente, la ordenada del punto medio es 0,5.

Debido a la periodicidad de la suma, la imagen debe "multiplicarse" en períodos adyacentes, en particular, lo mismo debe representarse en los intervalos y . Al mismo tiempo, en los puntos la serie de Fourier convergerá a los valores medianos.

De hecho, no hay nada nuevo aquí.

Intente hacer frente a esta tarea usted mismo. muestra aproximada Diseño final y dibujo al final de la lección.

Expansión de una función a una serie de Fourier durante un período arbitrario

Para un período de expansión arbitrario, donde "el" es cualquier número positivo, las fórmulas para la serie de Fourier y los coeficientes de Fourier se distinguen por un argumento un poco más complicado para el seno y el coseno:

Si , entonces obtenemos las fórmulas de intervalo con las que comenzamos.

El algoritmo y los principios para resolver el problema se conservan por completo, pero aumenta la complejidad técnica de los cálculos:

Ejemplo 4

Expande la función a una serie de Fourier y traza la suma.

Solución: en realidad un análogo del Ejemplo No. 3 con una discontinuidad del primer tipo en el punto. En este problema, el período de expansión es medio período. La función se define sólo en el medio intervalo, pero esto no cambia el asunto: es importante que ambas partes de la función sean integrables.

Ampliemos la función a una serie de Fourier:

Dado que la función es discontinua en el origen, cada coeficiente de Fourier obviamente debe escribirse como la suma de dos integrales:

1) Escribiré la primera integral con el mayor detalle posible:

2) Observamos atentamente la superficie de la Luna:

Tomamos la segunda integral por partes:

¿A qué debemos prestar mucha atención después de abrir la continuación de la solución con un asterisco?

En primer lugar, no perdemos la primera integral. , donde inmediatamente aplicamos el signo diferencial. En segundo lugar, no olvide la constante desafortunada antes de los corchetes grandes y no se confunda con los signos al usar la fórmula. . Es aún más conveniente abrir los soportes grandes inmediatamente en el siguiente paso.

El resto es cuestión de técnica; las dificultades sólo pueden deberse a una experiencia insuficiente en la resolución de integrales.

Sí, no en vano los eminentes colegas del matemático francés Fourier se indignaron: ¡¿cómo se atrevió a ordenar funciones en series trigonométricas?! =) Por cierto, probablemente todo el mundo esté interesado en el significado práctico de la tarea en cuestión. El propio Fourier trabajó en modelo matemático La conductividad térmica, y posteriormente la serie que lleva su nombre, comenzaron a utilizarse para estudiar muchos procesos periódicos que son visibles e invisibles en el mundo circundante. Ahora, por cierto, me sorprendí pensando que no fue por casualidad que comparé la gráfica del segundo ejemplo con el ritmo periódico del corazón. Los interesados pueden familiarizarse con aplicación práctica Transformada de Fourier V fuentes de terceros. ...Aunque es mejor no hacerlo, será recordado como el primer amor =)

3) Considerando lo repetidamente mencionado enlaces débiles, veamos el tercer coeficiente:

Integramos por partes:

Sustituyamos los coeficientes de Fourier encontrados en la fórmula. sin olvidar compartir coeficiente cero a la mitad:

Tracemos la suma de la serie. Repitamos brevemente el procedimiento: construimos una línea recta en un intervalo y una línea recta en un intervalo. En valor cero“x” ponemos un punto en medio del “salto” de la brecha y “replicamos” el gráfico para los períodos vecinos:

En las “cruces” de períodos, la suma también será igual a los puntos medios del “salto” de la brecha.

Listo. Permítanme recordarles que la función en sí, por condición, está definida solo en un medio intervalo y, obviamente, coincide con la suma de la serie en los intervalos.

Respuesta :

A veces, una función dada por partes es continua durante el período de expansión. El ejemplo más simple: . Solución (ver Bohan volumen 2) Lo mismo que en los dos ejemplos anteriores: a pesar de la continuidad de la función en el punto, cada coeficiente de Fourier se expresa como la suma de dos integrales.

En el intervalo de expansión, puede haber más puntos de discontinuidad de 1er tipo y/o puntos “conjuntos” del gráfico (dos, tres y generalmente cualquier final cantidad). Si una función es integrable en cada parte, entonces también es expandible en una serie de Fourier. Pero de donde experiencia práctica No recuerdo tanta crueldad. Sin embargo, hay tareas más difíciles que las que acabamos de considerar, y al final del artículo hay enlaces a series de Fourier de mayor complejidad para todos.

Mientras tanto, relajémonos, recuéstese en nuestros asientos y contemplemos las infinitas extensiones de estrellas:

Ejemplo 5

Expande la función a una serie de Fourier en el intervalo y traza la suma de la serie.

En este problema, la función es continua en el medio intervalo de la expansión, lo que simplifica la solución. Todo es muy similar al Ejemplo No. 2. No hay forma de escapar de la nave espacial; tendrás que decidir =) Se adjunta una muestra de diseño aproximada al final de la lección y un cronograma.

Expansión en serie de Fourier de funciones pares e impares

Con funciones pares e impares, el proceso de resolución del problema se simplifica notablemente. Y es por eso. Volvamos al desarrollo de una función en una serie de Fourier con un período de “dos pi” y periodo arbitrario “dos el” .

Supongamos que nuestra función es par. El término general de la serie, como puedes ver, contiene cosenos pares y senos impares. Y si estamos expandiendo una función PAR, ¿por qué necesitamos senos impares? Restablezcamos el coeficiente innecesario: .

Por tanto, una función par se puede expandir a una serie de Fourier sólo en cosenos:

Dado que las integrales de funciones pares sobre un segmento de integración simétrico con respecto a cero se pueden duplicar, los coeficientes de Fourier restantes también se simplifican.

Para la brecha:

Para un intervalo arbitrario:

Los ejemplos de libros de texto que se pueden encontrar en casi cualquier libro de texto sobre análisis matemático incluyen expansiones de funciones pares. . Además, los he encontrado varias veces en mi práctica personal:

Ejemplo 6

La función está dada. Requerido:

1) expandir la función a una serie de Fourier con período , donde es un número positivo arbitrario;

2) escribir el desarrollo del intervalo, construir una función y graficar la suma total de la serie.

Solución: en el primer párrafo se propone resolver el problema en vista general¡Y es muy conveniente! Si surge la necesidad, simplemente sustituya su valor.

1) En este problema, el período de expansión es medio período. Durante otras acciones, en particular durante la integración, "el" se considera una constante

La función es par, lo que significa que se puede expandir a una serie de Fourier sólo en cosenos: .

Buscamos coeficientes de Fourier usando las fórmulas. . Preste atención a sus ventajas incondicionales. En primer lugar, la integración se realiza sobre el segmento positivo de la expansión, lo que significa que nos deshacemos del módulo de forma segura. , considerando sólo la “X” de las dos piezas. Y, en segundo lugar, la integración se simplifica notablemente.

Dos:

Integramos por partes:

De este modo:
, mientras que la constante , que no depende de “en”, se saca de la suma.

Respuesta :

2) Escribamos la expansión en el intervalo, para ello en formula general sustituto valor deseado medio ciclo:

En esta lección nos familiarizaremos con la serie trigonométrica de Fourier, abordaremos el tema de su convergencia y suma y, por supuesto, analizaremos numerosos ejemplos de desarrollo de funciones en series de Fourier. Sinceramente quería titular el artículo “Serie de Fourier para tontos”, pero sería falso, ya que resolver los problemas requeriría conocimiento de otras ramas del análisis matemático y algo de experiencia práctica. Por lo tanto, el preámbulo se parecerá al entrenamiento de astronautas =)

En primer lugar, el estudio de los materiales de las páginas debe abordarse en excelente forma. Somnoliento, descansado y sobrio. Sin emociones fuertes por la pata rota de un hámster y pensamientos obsesivos sobre las dificultades de la vida de los peces de acuario. La serie de Fourier no es difícil de entender, pero las tareas prácticas simplemente requieren una mayor concentración de atención; lo ideal es desconectarse por completo de los estímulos externos. La situación se ve agravada por el hecho de que no existe una manera sencilla de comprobar la solución y la respuesta. Por lo tanto, si su salud está por debajo del promedio, entonces es mejor hacer algo más simple. Es verdad.

En segundo lugar, antes de volar al espacio, es necesario estudiar el panel de instrumentos de la nave espacial. Comencemos con los valores de las funciones en las que se debe hacer clic en la máquina:

Para cualquier valor natural:

1). De hecho, la sinusoide "cose" el eje x a través de cada "pi":
. En el caso de valores negativos del argumento, el resultado, por supuesto, será el mismo: .

2). Pero no todos lo sabían. El coseno "pi" es el equivalente a una "intermitente":

Un argumento negativo no cambia la cuestión: .

Quizás eso sea suficiente.

Ejemplo 1

Calcular integrales definidas

donde toma los valores naturales.

Solución: la integración se realiza sobre la variable “x” y en esta etapa la variable discreta “en” se considera constante. En todas las integrales subsumimos la función bajo el signo diferencial:

Una versión corta de la solución a la que sería bueno apuntar se ve así:

Acostumbrémonos:

Los cuatro puntos restantes corren por tu cuenta. Intenta abordar la tarea concienzudamente y escribe las integrales de forma breve. Soluciones de muestra al final de la lección.

Después de realizar los ejercicios CALIDAD, nos ponemos trajes espaciales.
¡Y preparándonos para empezar!

Expansión de una función a una serie de Fourier en el intervalo

En este caso, el número se llama período de descomposición y el número se llama medio período de descomposición.

Es obvio que en el caso general la serie de Fourier consta de senos y cosenos:

De hecho, vamos a anotarlo en detalle:

El término cero de la serie suele escribirse en la forma.

Los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes fórmulas:

Entiendo perfectamente que quienes empiezan a estudiar el tema aún no tienen claros los nuevos términos: periodo de descomposición, medio ciclo, coeficientes de Fourier etc. Que no cunda el pánico, esto no es comparable a la emoción antes de ir al espacio exterior. Entendamos todo en el siguiente ejemplo, antes de ejecutarlo es lógico plantearse preguntas prácticas urgentes:

¿Qué necesitas hacer en las siguientes tareas?

¿Cómo expandir una función a una serie de Fourier?

Básicamente, necesitas encontrar coeficientes de Fourier, es decir, componer y calcular tres integrales definidas.

Ejemplo 2

Expande la función a una serie de Fourier en el intervalo. Construye una gráfica, una gráfica de la suma de la serie y la suma parcial.

Solución: la primera parte de la tarea es expandir la función a una serie de Fourier.

El comienzo es estándar, asegúrese de anotarlo:

En este problema, el período de expansión es medio período.

Expandamos la función a una serie de Fourier en el intervalo:

Usando las fórmulas apropiadas, encontramos coeficientes de Fourier. Ahora necesitas componer y calcular tres integrales definidas. Por conveniencia, enumeraré los puntos:

1) La primera integral es la más simple, sin embargo, también requiere ojos:

2) Utilice la segunda fórmula:

Esta integral es bien conocida y se toma en partes:

Al realizar la búsqueda se utilizó el método de subsumir la función bajo el signo diferencial.

En el problema que estamos considerando, es más conveniente utilizar inmediatamente la fórmula de integración por partes en una integral definida. :

Un par de notas técnicas. En primer lugar, después de aplicar la fórmula, toda la expresión debe estar entre paréntesis grandes, ya que hay una constante delante de la integral original. ¡No la perdamos! Los paréntesis se pueden ampliar en cualquier paso posterior; lo hice como último recurso. En la primera "pieza" Ponemos mucho cuidado en la sustitución; como se puede ver, no se utiliza la constante y se sustituyen los límites de integración en el producto. Esta acción está resaltada entre corchetes. Bueno, ya conoces la integral de la segunda “parte” de la fórmula de la tarea de entrenamiento;-)

Y lo más importante: ¡concentración extrema!

3) Buscamos el tercer coeficiente de Fourier:

Se obtiene una relativa a la integral anterior, que también se puede integrar por partes:

Este caso es un poco más complicado, comentaré los siguientes pasos paso a paso:

(1) Encerramos la expresión completa entre corchetes grandes. No quería parecer aburrido, pierden la constante con demasiada frecuencia.

(2) En este caso, abrí inmediatamente estos grandes paréntesis. Prestamos especial atención a la primera “pieza”: la constante fuma al margen y no participa en la sustitución de los límites de integración ( y ) en el producto. Debido al desorden de la grabación, nuevamente es aconsejable resaltar esta acción entre corchetes. Con la segunda "pieza" todo es más simple: aquí la fracción apareció después de abrir los corchetes grandes, y la constante, como resultado de integrar la integral familiar;-)

(3) Realizamos transformaciones entre corchetes, y en la integral derecha sustituimos los límites de integración.

(4) Quitamos la “luz intermitente” de los corchetes:, y luego abrimos los corchetes interiores:.

(5) Cancelamos 1 y –1 entre paréntesis y hacemos simplificaciones finales.

Finalmente, se encuentran los tres coeficientes de Fourier:

Sustituyémoslos en la fórmula. :

Al mismo tiempo, no olvides dividir por la mitad. En el último paso, la constante (“menos dos”), que no depende de “en”, se saca de la suma.

Así, hemos obtenido la expansión de la función en una serie de Fourier en el intervalo:

Estudiemos la cuestión de la convergencia de la serie de Fourier. Explicaré la teoría, en particular. teorema de dirichlet, literalmente "en los dedos", por lo que si necesita formulaciones estrictas, consulte el libro de texto sobre análisis matemático. (por ejemplo, el segundo volumen de Bohan; o el tercer volumen de Fichtenholtz, pero es más difícil).

La segunda parte del problema requiere dibujar una gráfica, una gráfica de la suma de una serie y una gráfica de una suma parcial.

La gráfica de la función es una línea recta ordinaria en el plano, que se dibuja con una línea de puntos negra:

Averigüemos la suma de la serie. Como sabes, las series de funciones convergen en funciones. En nuestro caso, la serie de Fourier construida para cualquier valor de "x" convergerá a la función, que se muestra en rojo. Esta función tolera discontinuidades de primer tipo en los puntos , pero también está definida en ellos (puntos rojos en el dibujo)

De este modo: . Es fácil ver que es notablemente diferente de la función original, por eso en la entrada Se utiliza una tilde en lugar de un signo igual.

Estudiemos un algoritmo que sea conveniente para construir la suma de una serie.

En el intervalo central, la serie de Fourier converge con la función misma (el segmento rojo central coincide con la línea de puntos negra de la función lineal).

Creo que el significado de la frase “período de descomposición” finalmente ha quedado claro. En pocas palabras, cada vez la situación se repite una y otra vez.

De particular interés son los puntos de discontinuidad del primer tipo. En tales puntos, la serie de Fourier converge a valores aislados, que se encuentran exactamente en el medio del "salto" de la discontinuidad (puntos rojos en el dibujo). ¿Cómo saber la ordenada de estos puntos? Primero, encontremos la ordenada del “piso superior”: para ello, calculamos el valor de la función en el punto más a la derecha del período central de la expansión: . Para calcular la ordenada del “piso inferior”, la forma más sencilla es tomar el valor más a la izquierda del mismo período: . La ordenada del valor promedio es la media aritmética de la suma de “arriba y abajo”: . Un hecho agradable es que al construir un dibujo, verá inmediatamente si el medio se calculó correctamente o incorrectamente.

Para componer una suma parcial, debes escribir cero + dos términos más de la serie. Eso es,

En el dibujo, la gráfica de la función se muestra en verde y, como puede ver, "envuelve" la suma completa con bastante precisión. Si consideramos una suma parcial de cinco términos de la serie, entonces la gráfica de esta función se aproximará a las líneas rojas con mayor precisión, si hay cien términos, entonces la "serpiente verde" se fusionará completamente con los segmentos rojos; etc. Por tanto, la serie de Fourier converge a su suma.

Es interesante notar que cualquier suma parcial es una función continua, pero la suma total de la serie sigue siendo discontinua.

En la práctica, no es tan raro construir un gráfico de suma parcial. ¿Cómo hacerlo? En nuestro caso, es necesario considerar la función en el segmento, calcular sus valores en los extremos del segmento y en los puntos intermedios (cuantos más puntos considere, más precisa será la gráfica). Luego, debes marcar estos puntos en el dibujo y dibujar cuidadosamente un gráfico en el período, y luego "replicarlo" en intervalos adyacentes. ¿De que otra forma? Después de todo, la aproximación también es una función periódica... ...en cierto modo su gráfico me recuerda a un ritmo cardíaco uniforme en la pantalla de un dispositivo médico.

Después de completar el dibujo, completamos la tarea:

Respuesta :

En muchos problemas, la función sufre una discontinuidad de 1er tipo justo en el período de expansión:

Ejemplo 3

Expande la función dada en el intervalo a una serie de Fourier. Dibuja una gráfica de la función y la suma total de la serie.

Los otros dos coeficientes de Fourier se describen de manera similar.

De hecho, no hay nada nuevo aquí.

Intente hacer frente a esta tarea usted mismo. Una muestra aproximada del diseño final y un dibujo al final de la lección.

Expansión de una función a una serie de Fourier durante un período arbitrario

Si , entonces obtenemos las fórmulas de intervalo con las que comenzamos.

El algoritmo y los principios para resolver el problema se conservan por completo, pero aumenta la complejidad técnica de los cálculos:

Ejemplo 4

Expande la función a una serie de Fourier y traza la suma.

Ampliemos la función a una serie de Fourier:

Dado que la función es discontinua en el origen, cada coeficiente de Fourier obviamente debe escribirse como la suma de dos integrales:

1) Escribiré la primera integral con el mayor detalle posible:

2) Observamos atentamente la superficie de la Luna:

Tomamos la segunda integral por partes:

¿A qué debemos prestar mucha atención después de abrir la continuación de la solución con un asterisco?

El resto es cuestión de técnica; las dificultades sólo pueden deberse a una experiencia insuficiente en la resolución de integrales.

Sí, no en vano los eminentes colegas del matemático francés Fourier se indignaron: ¡¿cómo se atrevió a ordenar funciones en series trigonométricas?! =) Por cierto, probablemente todo el mundo esté interesado en el significado práctico de la tarea en cuestión. El propio Fourier trabajó en un modelo matemático de conductividad térmica y, posteriormente, la serie que lleva su nombre comenzó a utilizarse para estudiar muchos procesos periódicos que son visibles e invisibles en el mundo circundante. Ahora, por cierto, me sorprendí pensando que no fue por casualidad que comparé la gráfica del segundo ejemplo con el ritmo periódico del corazón. Los interesados pueden familiarizarse con la aplicación práctica. Transformada de Fourier en fuentes de terceros. ...Aunque es mejor no hacerlo, será recordado como el primer amor =)

3) Teniendo en cuenta los eslabones débiles mencionados repetidamente, veamos el tercer coeficiente:

Integramos por partes:

Sustituyamos los coeficientes de Fourier encontrados en la fórmula. , sin olvidar dividir el coeficiente cero por la mitad:

Tracemos la suma de la serie. Repitamos brevemente el procedimiento: construimos una línea recta en un intervalo y una línea recta en un intervalo. Si el valor de “x” es cero, ponemos un punto en medio del “salto” de la brecha y “replicamos” el gráfico para los períodos vecinos:

En las “cruces” de períodos, la suma también será igual a los puntos medios del “salto” de la brecha.

Listo. Permítanme recordarles que la función en sí, por condición, está definida solo en un medio intervalo y, obviamente, coincide con la suma de la serie en los intervalos.

Respuesta :

En el intervalo de expansión, puede haber más puntos de discontinuidad de 1er tipo y/o puntos “conjuntos” del gráfico (dos, tres y generalmente cualquier final cantidad). Si una función es integrable en cada parte, entonces también es expandible en una serie de Fourier. Pero por experiencia práctica no recuerdo algo tan cruel. Sin embargo, hay tareas más difíciles que las que acabamos de considerar, y al final del artículo hay enlaces a series de Fourier de mayor complejidad para todos.

Mientras tanto, relajémonos, recuéstese en nuestros asientos y contemplemos las infinitas extensiones de estrellas:

Ejemplo 5

Expande la función a una serie de Fourier en el intervalo y traza la suma de la serie.

Expansión en serie de Fourier de funciones pares e impares

Por tanto, una función par se puede expandir a una serie de Fourier sólo en cosenos:

Dado que las integrales de funciones pares sobre un segmento de integración simétrico con respecto a cero se pueden duplicar, los coeficientes de Fourier restantes también se simplifican.

Para la brecha:

Para un intervalo arbitrario:

Ejemplo 6

La función está dada. Requerido:

1) expandir la función a una serie de Fourier con período , donde es un número positivo arbitrario;

2) escribir el desarrollo del intervalo, construir una función y graficar la suma total de la serie.

Solución: el primer párrafo sugiere resolver el problema en forma general, ¡y esto es muy conveniente! Si surge la necesidad, simplemente sustituya su valor.

1) En este problema, el período de expansión es medio período. Durante acciones posteriores, en particular durante la integración, "el" se considera una constante

La función es par, lo que significa que se puede expandir a una serie de Fourier sólo en cosenos: .

Dos:

Integramos por partes:

De este modo:
, mientras que la constante , que no depende de “en”, se saca de la suma.

Respuesta :

2) Anotemos la expansión en el intervalo, para ello sustituimos el valor requerido del medio período en la fórmula general:

como insertar fórmulas matemáticas al sitio web?

Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio web los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.

Si utiliza constantemente fórmulas matemáticas en su sitio web, le recomiendo que utilice MathJax, un programa especial biblioteca de javascript, que muestra notación matemática en navegadores web utilizando el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.

Hay dos formas de empezar a utilizar MathJax: (1) utilizando código sencillo puede conectar rápidamente el script MathJax a su sitio, que estará en momento justo cargar automáticamente desde servidor remoto(lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.

Conectar guión Bibliotecas MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:

Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción rastrea y carga automáticamente Últimas Versiones MatemáticasJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar archivos de terceros. código javascript, copie en él la primera o segunda versión del código de carga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca del comienzo de la plantilla (por cierto, esto no es en absoluto necesario, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Cualquier fractal se construye según una determinada regla, que se aplica de forma coherente. cantidad ilimitada una vez. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.

El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.

Principio de creación red local a cualquiera Versiones de Windows(XP, 7, 8, 10) prácticamente no es diferente. Las excepciones son complejos multinivel. redes corporativas, donde se utilizan varias subredes, servidores proxy y VPN.

Pero en este artículo veremos cómo crear. red domestica sin recurrir a la compra de equipos costosos, sino utilizando un conmutador o enrutador normal con soporte Wi-Fi.

¿Qué se necesita para crear una red?

En primer lugar, para crear una red local de una cierta cantidad de computadoras, necesitamos equipo:

Tenga en cuenta: si se utiliza una conexión directa (es decir, par trenzado insértelo en ambos dispositivos sin usar un enrutador), entonces no necesitará cable estándar, y cross-over , excepto cuando se instalen modernos tarjetas de red con soporte MDI-X. En este caso puedes usar método estándar engarzado.

Cómo crear una red local

Ahora procedamos directamente a la creación. Primero necesitamos preparar:

Instale todos los equipos en su lugar: computadoras, enrutadores, etc.
Engarzamos el cable, si es necesario.
Hacemos el cableado, es decir. Extendemos el par trenzado al equipo.
Conectamos el equipo mediante cable de par trenzado.

Vale la pena señalar que cuando se realiza la conexión y se inician todos los dispositivos, los conectores de conexión de las computadoras deben iluminarse. Lo mismo se aplica a los enrutadores con enrutadores, solo que tienen bombillas ubicadas en el panel frontal. Si alguna luz no se enciende, significa que la conexión se realizó incorrectamente.

Cuando se realiza la conexión, debe configurar la red en el sistema operativo.

Primero comprobamos el grupo de trabajo, para lo cual nos dirigimos a las propiedades de “Mi PC”. No puede abrir propiedades, pero use la combinación Win + R e ingrese sysdm en la ventana. compl.

En todos los dispositivos grupo de trabajo debe ser el mismo, de lo contrario las computadoras no se verán entre sí.

Para cambiar un grupo, simplemente haga clic en el botón cambiar e ingrese el nombre del grupo. El nombre debe ingresarse en latín y ser el mismo en todos los dispositivos.

Luego buscamos el ícono de red en el área de notificación y lo usamos para llegar al Centro de redes y recursos compartidos.

Aquí nos interesa el enlace de cambio. parámetros adicionales, es el tercero desde la izquierda y le permitirá editar la configuración para compartir. En cada perfil, seleccione: Habilitar descubrimiento de red, configuración automática y acceso general a archivos e impresoras.

Desplácese hacia abajo en la página y en la parte inferior desactive compartir desde protección de contraseña. Todas las demás configuraciones se pueden dejar. Haga clic en Guardar cambios y salir.

Esto completa la configuración. La red debería funcionar, pero sólo si su enrutador distribuye direcciones dinámicas.

Si utilizó un enrutador o los dispositivos estaban conectados directamente con un cable, entonces deberá realizar algunas configuraciones más.

Configuración de la red

Cuando conexión directa o usando un enrutador, necesitaremos cambiar las direcciones IP de las computadoras. Para hacer esto necesitas:

No describiremos de qué es responsable cada configuración, porque... Este es un tema bastante amplio. Basta con ingresar las direcciones descritas anteriormente en todas las computadoras.

Después de realizar todas las configuraciones descritas anteriormente, la red debería funcionar. Sin embargo, no olvide que un firewall o un software antivirus pueden bloquear completamente la red. Por lo tanto, si nada funciona, verifique su configuración o desactívelos temporalmente por completo.

Red local a través de enrutador WiFi

Configurar una red a través de un enrutador no es completamente diferente de lo que describimos anteriormente.

Si el dispositivo está configurado para distribuir direcciones dinámicas, no es necesario cambiar las direcciones. Bueno, si las IP son estáticas, entonces tendrás que utilizar el apartado anterior.

Además, no habrá diferencia entre si el dispositivo está conectado por cable o mediante Wi-Fi; en la mayoría de los enrutadores, los ajustes para distribuir direcciones se configuran simultáneamente para conexiones inalámbricas y por cable;

Cómo hacer carpetas compartidas

Una vez que todo esté configurado, deberá crear carpetas compartidas para intercambiar información.

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