Construir líneas de niveles de funciones dadas. Construir líneas de nivel de función. Interpretación geométrica de la función de dos.

Instrucciones

Al construir líneas de nivel, partimos del hecho de que son proyecciones sobre un plano con aplicación cero de las líneas de intersección de la gráfica de una función dada con algún plano horizontal. La aplicación de este plano de sección es la constante a la que se debe equiparar la ecuación de la función para obtener las coordenadas de los puntos de la recta. Puede cambiar con el paso especificado en las condiciones de la tarea si se requiere construir un conjunto de líneas. Y si necesita construir solo una línea nivelada, las condiciones pueden dar las coordenadas del punto que se encuentra en ella. Los gráficos de esta página se pueden guardar o editar en modo interactivo.

Reduzca la función especificada en las condiciones del problema a la forma f(x,y) = const. Por ejemplo, si se da z = x² + y² - 4*y, se puede escribir en una forma alternativa para representar mejor la forma de la gráfica de la función y equipararla a la constante c: c+4 = x²+(y -2)². La gráfica de volumen de tal función es infinita, y todas sus secciones por un plano horizontal elevado a diferentes (es decir, las líneas de nivel deseadas) serán círculos concéntricos con un radio determinado por la fórmula √(c+4).

Sustituya el valor de la línea de nivel especificada en las condiciones por la constante c. Si no se proporciona, elíjalo usted mismo según el rango de valores de la función. Por ejemplo, para el ejemplo anterior valor mínimo la constante puede ser el número -4. La constante se puede equiparar a 5, y en este caso la gráfica de la función será una circunferencia con radio √(5+4) = 3 y centro en un punto con abscisa igual a 0 y ordenada igual a 2.

Si necesita construir varias líneas de nivel, repita paso anterior el número de veces requerido.

En Internet puede encontrar servicios que le ayudarán a construir líneas niveladas. Por ejemplo, a continuación se muestra un enlace al servicio WolframAlpha. En el campo de entrada de su página, ingrese la fórmula de la función y haga clic en el botón con el signo igual. La función z = x² + y² - 4*y utilizada en el ejemplo debe ingresarse de la siguiente forma: x^2+y^2-4*y. En unos segundos aparecerán en la página gráficos en color bidimensionales y tridimensionales con líneas de nivel, así como la figura descrita por la fórmula, formas alternativas de escribirla y otras funciones que se pueden utilizar al construir líneas de nivel.

Fuentes:

• Servicio WolframAlpha

No todo el mundo quiere ser un déspota familiar, pero incluso las personas más tímidas y autosuficientes necesitan que al menos se escuche su opinión. Cómo alinearse correctamente líneas influencia? Sólo puedes influir en alguien que necesita algo, así que veamos cómo utilizar las necesidades de tu pareja para obtener lo que quieres de él, usando la pirámide de Maslow.

Instrucciones

La esfera de las necesidades humanas se basa en las necesidades, principalmente la sed, el hambre y el deseo sexual. Los socios son entrenados como el perro de Pavlov utilizando todos los métodos, pero este método es el menos sutil. Así, algunas esposas en su juventud privan a sus maridos de relaciones cercanas por el menor delito, y los maridos hacen lo mismo con quienes no les agradan. Sin embargo, es mucho más efectivo utilizar este método de manera positiva, es decir, en respuesta a las concesiones, brinde a su ser querido una intimidad embriagadora y encantadora.

Más arriba en la jerarquía está la necesidad de seguridad. Toda persona quiere vivir cómodamente, con un estilo de vida estable, sin temer a nada. Cuando una esposa ofendida de repente se niega a cocinar para su marido, sin saberlo, rompe sus hábitos domésticos, causándole dolor. Esta no siempre es una política razonable; en situaciones negativas es mejor comportarse de manera neutral y recompensar los más mínimos cambios positivos con el plato favorito de su marido o uno con el que tenga asociaciones románticas.

Consideraremos los dos niveles siguientes juntos, porque tienen un significado similar: estas son las necesidades de respeto y amor. Los insultos duelen y la famosa pregunta “¿Eres yo?” con intentos posteriores de manipular prácticamente estropean la sangre tanto de hombres como de mujeres. Pero a este nivel, muchas personas son muy dependientes y vulnerables. Fomentar el comportamiento correcto se logra mediante elogios sinceros, especialmente con extraños, caricias suaves y miradas cariñosas.

La pirámide está coronada por la necesidad de autorrealización. Un comportamiento incorrecto aquí es ridiculizar los gustos, las necesidades espirituales y las aspiraciones de un ser querido. Después de cada decisión que necesites, no escatimes en señales de atención a la creatividad de tu pareja. Esto puede manifestarse en pequeñas cosas, por ejemplo, te ríes de sus buenos chistes y se los cuentas a otras personas en referencia al autor. También es bueno crear las condiciones para que su ser querido sea creativo en el área en la que tiene verdadero talento.

Por supuesto, puedes lograr tus objetivos privando a tu pareja de lo que necesita. Pero sólo es posible fortalecer y enriquecer las relaciones tratando de satisfacer las necesidades. ser amado Por clase alta. El amor desinteresado y desinteresado te ayudará a adivinar en una situación particular.

Vídeo sobre el tema.

nota

Utilizando la propiedad de linealidad del problema, conectamos estos puntos con la llamada recta de transición. La línea de influencia, compuesta por dos ramas construidas del gráfico S3−4 (x) y la línea recta de transición, forman la línea de influencia de la fuerza S3−4, es decir, la dependencia de esta fuerza de la ubicación de la unidad de carga. (Figura 97). Construimos una línea de influencia de fuerza en el estante 3-8 cuando una sola carga se mueve hacia abajo.

Fuentes:

• Método cinemático para la construcción de líneas de influencia en una viga en 2019.

El mundo que nos rodea a todos tiene tres dimensiones, pero la hoja de papel o el lienzo en el que intentamos representar la realidad circundante es, lamentablemente, sólo bidimensional. Para que los objetos que representamos parezcan lo más voluminosos y realistas posible, debemos seguir ciertas reglas y organizarlos correctamente. perspectiva.

Necesitará

• hoja de papel, lápiz, regla

Instrucciones

A continuación, determinamos dónde se ubicará el objeto en relación con la línea del horizonte. Si está a la altura de los ojos (es decir, en el horizonte), entonces estamos mirando el objeto directamente. Si un objeto está por encima de la línea del horizonte, lo miramos desde abajo, respectivamente, en este caso la parte inferior se vuelve visible. Si un objeto se coloca debajo de la línea del horizonte, será visible parte superior. Construimos un objeto, comprobamos con una regla que todas las líneas paralelas convergen en un punto.

Vídeo sobre el tema.

nota

Además, al construir una perspectiva, debe recordar no solo que todas las líneas paralelas convergen en un punto, sino también que a medida que se aleja, todos los objetos representados se vuelven más pequeños. Los objetos muy distantes incluso se convierten en puntos.

EN Últimamente En la construcción de garajes se utilizan cada vez más materiales para tejados con revestimiento transparente. La ventaja de un techo transparente es que permite un gran número de luz, y el nivel de iluminación le permite trabajar sin adicionales iluminación artificial.

Necesitará

• - ruleta;
• - rotulador;
• - perforar;
• - tornillos;
• - destornillador;
• - plástico transparente;
• - anillos de sellado;
• - sellador;
• - espuma perfilada.

Instrucciones

Mide los techos con una cinta métrica. Marque el techo para que sus láminas se superpongan. El ancho de la superposición es de un centímetro y medio. Marca la línea de corte con un marcador de color. Tenga en cuenta que el extremo debe estar adyacente al borde en un ángulo de 90 grados.

Taladre agujeros para tornillos en las láminas de plástico. El diámetro del orificio debe ser 4 mm mayor que el diámetro del hardware. Asegure con tornillos. Los sujetadores deben ubicarse en cada segunda cresta de la hoja en relieve. El plástico es un material bastante frágil, por lo que al colocarlo, limite impacto mecanico. Se recomienda utilizar un destornillador.

Al instalar la cubierta del techo, es necesario instalar juntas tóricas y tapas de plástico entre las paredes. Como sello adicional, puede usar uno perfilado, que se fija con tornillos en los orificios pasantes.

Vídeo sobre el tema.

nota

El techo del garaje se verá correcto y hermoso solo si los marcos de las vigas tienen Misma forma y colocado correctamente. Por lo tanto, al realizar trabajos preparatorios y de techado, se deben utilizar plantillas. El primer marco prefabricado se utiliza como plantilla.

Consejo útil

Para evitar que la capa transparente se mueva durante el proceso de corte, se debe sujetar con una herramienta, utilizando tablas de madera como espaciadores. Lo mejor es cortar el tejado de plástico con una sierra de dientes finos. La herramienta debe inclinarse ligeramente y utilizarse sin presión. De lo contrario, la hoja de la sierra para metales se atascará.

Fuentes:

• Dispositivo diferentes tipos techos de garaje en 2019

Con la llegada del verano, quiero cambiar mi guardarropa, agregarle nuevos colores y estilos. Para esto no es necesario ir a la tienda; algunos modelos de ropa los puedes coser tú mismo. Un vestido de verano se considera, con razón, una de las prendas más fáciles de hacer. Solo elige buena luz tela, hacer un patrón y coser todas las partes juntas.

Necesitará

• - papel;
• - lápiz;
• - cinta métrica;
• - gobernante;
• - tijeras.

Instrucciones

Tome una cinta métrica y mida las siguientes distancias: DSP - longitud de la espalda hasta la cintura, DSB - longitud de la espalda hasta las caderas, PG - distancia desde el hombro hasta la parte superior del pecho, OT - circunferencia de la cintura, OB - volumen de las caderas, OG - volumen del pecho, VT - distancia entre los puntos superiores del pecho, DI - longitud del producto (desde el hombro hasta el dobladillo).

Llevar hoja grande papel (mejor que el papel especial para patrones con marcas milimétricas) y dibuje un rectángulo cuya longitud sea igual a DI y su ancho sea igual a un cuarto de OG. Si tus caderas son más grandes que tu pecho, el ancho del rectángulo debe ser igual a un cuarto del OB. Esta será la mitad del frente. Por favor marque uno de los siguientes lados verticales como el medio.

Encuentra tu cintura, pecho y caderas. Para hacer esto, desde el borde superior del rectángulo, mida distancias iguales a PG, DST y DSB y dibuje en este nivel. lineas horizontales.

Encuentra el punto superior de tu cofre. Para hacer esto, mida la mitad del VT a lo largo de la línea del pecho desde la mitad del frente. Dibuja una línea vertical desde este punto a lo largo de todo el rectángulo.

En la intersección de esta línea con la línea de la cintura, haga un dardo; para ello, reserve 2 a 4 cm a la derecha e izquierda del punto de intersección. Conecte estos dos puntos con el punto superior del pecho y la línea de la cadera. . Deberías terminar con una forma de diamante vertical larga. Haz una segunda pinza a lo largo de la costura lateral (obtendrás medio diamante).

Decora la parte superior del vestido como desees con la forma de la letra "L". Puedes hacer un corte redondo, triangular o recto. Haz la sisa baja o alta, dependiendo de tu figura. En la parte superior de la "L" (en la intersección de la sisa y el escote), abrocha los tirantes.

Construya el patrón de la espalda de la misma manera. La diferencia entre la espalda y el frente es que la parte superior simplemente se cortará horizontalmente, a la altura de la intersección de la línea de la sisa con la línea lateral.

Recorta los detalles del patrón del vestido de verano y comienza a coser.

Los escenarios son plataformas cerca de la costa, como si flotaran sobre el agua.

Suelen ser de madera y representan una prolongación del camino del jardín. Puede colocar un cenador de madera o un banco en el escenario, sentado en el que podrá disfrutar de la pesca o simplemente admirar el estanque. Y si puedes nadar en un estanque, entonces más. lugar conveniente no hay lugar para bucear.

Diseñar e instalar andamios es una tarea interesante y creativa:

1. Primero se instalan los pilotes, que se pueden hacer a partir de un tubo de metal (100x100 mm),

2. Luego se les une un marco de madera o metal, al que ya están unidas las tablas del piso. Entre ellos se dejan huecos para ventilar la madera.

3. En la orilla, cada tres metros, se construyen pilares de cimentación sobre los que se apoya la cubierta. Deben elevarse entre 20 y 30 cm por encima del agua, dado que durante los períodos de lluvia el nivel del agua sube. Según los expertos, el escenario está formado por no más del 25% de la superficie del agua.

A

varias funciones

descargar tabla

Graficar una función en línea

instantáneamente.

Servicio en línea dibuja instantáneamente un gráfico

Absolutamente apoyado Todo funciones matemáticas

Funciones trigonométricas
				Cosecante	Cotangente	arcoseno	arco coseno	Arctangente	Arcosecante	arcocosecante	Arcotangente
Funciones hiperbólicas
Otro
Logaritmo natural		Logaritmo		Raíz cuadrada				Redondear a la baja		Redondeo
Mínimo						Máximo
min(expresión1,expresión2,…)						max(expresión1,expresión2,…)

Grafica la función

Construcción de una superficie 3D.

Introduce la ecuación

Construyamos una superficie definida por la ecuación f(x, y, z) = 0, donde a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Otros ejemplos:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0,3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = pecado((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Vista canónica de curva y superficie.

Puedes determinar el tipo de curva y superficie de segundo orden online con una solución detallada:

Reglas para ingresar expresiones y funciones.

Las expresiones pueden consistir en funciones (las notaciones se dan en orden alfabético):

absoluto(x) Valor absoluto X
(módulo X o |x|) arccos(x) Función - arco coseno de Xarcocosh(x) Arco coseno hiperbólico de Xarcosen(x) arcoseno de Xarcosinh(x) Arcoseno hiperbólico de Xarctán(x) Función - arcotangente de Xarctgh(x) Hiperbólica arcangente de Xmimi un número que es aproximadamente igual a 2,7 exp(x) Función - exponente de X(como mi^X) iniciar sesión(x) o en(x) Logaritmo natural de X
(Para obtener registro7(x), debe ingresar log(x)/log(7) (o, por ejemplo, para registro10(x)=registro(x)/registro(10)) Pi El número es "Pi", que es aproximadamente igual a 3,14 pecado(x) Función - Seno de Xporque(x) Función - Coseno de Xsinh(x) Función - Seno hiperbólico de Xcosh(x) Función: coseno hiperbólico de Xraíz cuadrada (x) Función - Raíz cuadrada de Xcuadrado(x) o x^2 Función - Cuadrado Xbronceado(x) Función - Tangente desde Xtgh(x) Función — Tangente hiperbólica desde Xcbrt(x) Función - raíz cúbica de Xpiso(x) Función - redondeo X hacia abajo (ejemplo piso(4.5)==4.0) signo(x) Función - Signo Xfuerza(x) Función de error (Laplace o integral de probabilidad)

Las siguientes operaciones se pueden utilizar en expresiones:

Numeros reales entrar como 7.5 , No 7,5 2*x- multiplicación 3/x- división x^3- exponenciación x+7- suma x - 6- resta

¿Cómo graficar una función en línea en este sitio?

A trazar una función en línea, sólo necesita ingresar su función en un campo especial y hacer clic en algún lugar fuera de él. Después de esto, la gráfica de la función ingresada se dibujará automáticamente. Supongamos que desea construir una gráfica clásica de la función "x al cuadrado". En consecuencia, debe ingresar "x^2" en el campo.

Si necesitas trazar varias funciones al mismo tiempo, luego haga clic en el botón azul “Agregar más”. Luego de esto, se abrirá otro campo en el que deberás ingresar la segunda función. Su horario también se creará automáticamente.

Puede ajustar el color de las líneas del gráfico haciendo clic en el cuadrado ubicado a la derecha del campo de entrada de la función. Las configuraciones restantes se encuentran directamente encima del área del gráfico. Con su ayuda, puede establecer el color de fondo, la presencia y el color de la cuadrícula, la presencia y el color de los ejes, la presencia de marcas, así como la presencia y el color de la numeración de los segmentos del gráfico. Si es necesario, puede escalar el gráfico de funciones usando la rueda del mouse o íconos especiales en la esquina inferior derecha del área de dibujo.

Después de trazar y entrar cambios necesarios en la configuración, puedes descargar tabla usando el gran botón verde "Descargar" en la parte inferior. Se le pedirá que guarde el gráfico de funciones como una imagen PNG.

¿Por qué necesitas graficar una función?

En esta página puedes construir gráfico interactivo funciones en línea.

Graficar una función en línea

Trazar un gráfico de función le permite ver la imagen geométrica de una función matemática particular. Para que le resulte más cómodo crear dicho gráfico, hemos creado un especial aplicaciones en linea. Es completamente gratuito, no requiere registro y se puede utilizar directamente en su navegador sin ningún problema. ajustes adicionales y manipulación. Los estudiantes de secundaria y preparatoria que estudian álgebra y geometría, así como los estudiantes de primer y segundo año que toman cursos superiores de matemáticas, suelen requerir la construcción de gráficas para una variedad de funciones. Generalmente, este proceso Se necesita mucho tiempo y material de oficina para dibujar los ejes del gráfico en papel, anotar puntos de coordenadas, conectarlos con una línea recta, etc. Usando esto Servicio en línea Podrás calcular y graficar la función. instantáneamente.

¿Cómo funciona una calculadora gráfica para graficar funciones?

Servicio en línea Funciona de forma muy sencilla. La función (es decir, la ecuación en sí, cuya gráfica debe trazarse) se ingresa en el campo en la parte superior. Inmediatamente después de ingresar a la aplicación. dibuja instantáneamente un gráfico en el área debajo de este campo. Todo sucede sin actualizar la página. A continuación podrá introducir varios ajustes de color, así como ocultar/mostrar algunos elementos del gráfico de funciones. Después de esto, el gráfico terminado se puede descargar haciendo clic en el botón correspondiente en la parte inferior de la aplicación. El dibujo se descargará a tu computadora en formato .png, que podrás imprimir o transferir a una libreta de papel.

¿Qué funciones admite el creador de gráficos?

Absolutamente apoyado todas las funciones matemáticas, que puede resultar útil al trazar gráficos. Es importante destacar aquí que, a diferencia del lenguaje clásico de las matemáticas adoptado en las escuelas y universidades, el signo del título dentro de la solicitud se indica con el signo internacional "^". Esto se debe a la imposibilidad de escribir un título en el formato habitual en el teclado de una computadora. A continuación se muestra una tabla con Lista llena funciones soportadas.

La aplicación admite las siguientes funciones:

Funciones trigonométricas
				Cosecante	Cotangente	arcoseno	arco coseno	Arctangente	Arcosecante	arcocosecante	Arcotangente
Funciones hiperbólicas
Otro
Logaritmo natural		Logaritmo		Raíz cuadrada				Redondear a la baja		Redondeo
Mínimo						Máximo
min(expresión1,expresión2,…)						max(expresión1,expresión2,…)

Ejemplos. Construir líneas de nivel de función correspondientes a los valores.

Construir líneas de nivel de función correspondientes a los valores. .

Suponiendo , obtenemos las ecuaciones de las líneas de nivel correspondientes:

Al construir estas líneas en sistema cartesiano coordenadas xOy, obtenemos rectas paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto ángulo coordenado (Fig.1)

Escribamos las ecuaciones de las líneas de nivel:

, , , Y .

Al construirlos en el plano xOy, obtenemos círculos concéntricos con centro en el origen de coordenadas (Fig.2)

Las rectas de nivel de esta función , , , y son parábolas simétricas con respecto a Oy con un vértice común en el origen (Fig. 3).

2. Derivada direccional

Una característica importante de un campo escalar es la tasa de cambio del campo en una dirección dada.

Para caracterizar la tasa de cambio del campo en la dirección del vector, se introduce el concepto de derivada del campo en la dirección.

Considere la función en punto y punto.

Dibujemos a través de los puntos y el vector. Los ángulos de inclinación de este vector con respecto a la dirección de los ejes de coordenadas. x, y, z denotemos a, b, g, respectivamente. Los cosenos de estos ángulos se llaman cosenos de dirección vector

∙ pasa por un punto de un plano paralelo a una recta paralela a ese plano.

Un ejemplo de construcción de una línea recta en un plano (figura 3.12):
Arroz. 3.12 Tarea: construir una línea recta en el plano ABC, dado
		proyección frontal

3.4 Líneas principales del avión

Para resolver muchos problemas de geometría descriptiva, se utilizan líneas de posición particular: líneas de nivel.

Las líneas de nivel son líneas en un plano paralelo al PP. Una línea paralela a la horizontal PP es horizontal, Frontal es frontal, Perfil PP es una línea de perfil.

Dado que las líneas de nivel son paralelas a sus planos de proyección, en otros PP sus proyecciones serán paralelas a los ejes de coordenadas. Por ejemplo, la proyección frontal de la horizontal es paralela al eje x 12.

Ejemplos de construcción de líneas de nivel: ∙ Horizontal h (Fig. 3.13);

h 11 1

Arroz. 3.13 Horizontal en un plano

Si el plano está definido por trazas, las líneas de nivel h y f serán paralelas a las trazas en sus planos de proyección: trazas horizontales a horizontales, frontales a frontales, etc. (Figura 3.14). Básicamente, la traza del plano es una línea de nivel infinitamente cercana al plano de proyección.

			f 1 ≡ h 2

Arroz. 3.14 Líneas de nivel de un plano definidas por trazas

3.5 Punto en un avión

Un punto está en un plano si pertenece a alguna recta de ese plano. Por lo tanto, para construir un punto en un plano, es necesario primero construir una línea auxiliar en el plano de manera que pase por una proyección dada del punto deseado y, luego, encontrar un punto en la línea auxiliar construida a lo largo de la línea de conexión. .

Ejemplos de construcción de un punto en un plano (figura 3.15):

		D1-?
	D1-?

Arroz. 3.15 Punto en un plano

Construir un punto en un plano definido por trazas.

Si el plano se especifica mediante trazas, como líneas pertenecientes al plano se utilizan líneas de nivel, con la ayuda de las cuales se comprueba la pertenencia de un punto al plano, que son fáciles de construir trazando paralelas a las trazas dadas (Fig. 3.16). Hay que recordar que la proyección de un punto perteneciente a la traza del plano sobre otro plano de proyección será sobre el eje que separa los planos de proyección (ver (.)1).

				f 1 ≡ h 2

Arroz. 3.16 Uso de líneas de nivel para construir vasos en un plano definido por pistas

Tema 4 Posición recíproca formas geométricas: recta y plano, dos planos.

Una recta y un plano, así como dos planos, pueden ser:

∙ paralelos entre sí

∙ cruzarse,

∙ perpendiculares entre sí.

4.1 Figuras paralelas

4.1.1 Línea recta paralela al plano.

Ejemplo 1 (figura 4.1). Hay un plano Σ(a Ç b).

Dado (.)A y proyección frontal 2 recta. Traza una recta que pase por (.)A paralela al plano Σ

un 2l 2

Arroz. 4.1 Construcción de una recta paralela al plano.

Ejemplo 2. Por (.)A trazar una recta horizontal paralela al plano

Σ(ABC) (figura 4.2).

Arroz. 4.2 Horizontal paralela al plano

4.1.2 Planos mutuamente paralelos

Dos planos son mutuamente paralelos si dos líneas que se cruzan de un plano son paralelas a dos líneas que se cruzan de otro plano (figura 4.3).

				anuncio
							ý Þ a // d
				a 2// d 2þ
				antes de Cristo				Þ b// c
				b 2// c 2þ
				pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )

Arroz. 4.3 Planos mutuamente paralelos

Las líneas se pueden seleccionar como líneas que se cruzan.
situación privada. De aquí:
Si las trazas del mismo nombre de dos planos son paralelas. Eso
los planos mismos son paralelos.
				pl .S (f Ç h ) //pl .T (f "Ç h ")
			h′
Arroz. 4.4 Planos paralelos,
	dado por rastros
Ejemplo 4.3: Por (.)A trazar un plano Θ paralelo al plano
Γ definida por dos líneas paralelas (Fig. 4.5).
	Arroz. 4.5 Planos paralelos

Técnica constructiva:

1. En el plano Г, utilizando una línea recta, se selecciona un punto auxiliar arbitrario1.

2. A través de (.) 1, dibuje dos líneas rectas arbitrarias lyk de modo que se crucen con otra línea recta, definiendo el plano - línea b.

3. A través de un punto dado Y dibuja dos rectas myn, paralelas a las rectas auxiliares l y k, respectivamente. Estos dos

las líneas que se cruzan lyk definirán el plano deseado Q, paralelo al plano dado Г.

Ejemplo 4.4: Dibujar a través de (.)A

avión

paralelo

plano de proyección frontalΣ (m ||n) (Fig. 4.6).

≡l2

Arroz. 4.6 Planos paralelos

Técnica constructiva:

1. En el PP frontal a través de la proyección frontal. Y 2 dado el punto A, se traza una recta A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Esta recta será la traza frontal del plano D deseado. ¡El plano paralelo al plano de proyección frontal debe ser el propio plano de proyección frontal!

2. Se seleccionan dos puntos al azar en un PP horizontal. a las 1 y

C1.

3. Proyecciones frontales En 2 y C 2 se buscan los puntos B y C a lo largo de las líneas de comunicación en la traza construida del plano deseado D.

¡NÓTESE BIEN! A pesar de que los puntos B y C fueron elegidos arbitrariamente en el PP horizontal, el plano definido por los puntos АВС será paralelo al plano de proyección frontal dado porque en el PP frontal los puntos АВС están ubicados en la misma línea paralela al traza frontal del plano dadoΣ.

4.2 La intersección de una recta y un plano. Punto de intersección

Consideremos caso especial, cuando es necesario encontrar (.)K intersecciones de una recta posición general l y plano de proyección horizontalΣ.

Ejemplo 4.9: Construya el punto de intersección de la recta l con el plano de proyección horizontal Σ (Fig. 4.7):

	å ^ P 1

Arroz. 4.7 Intersección de una línea recta con un plano saliente

La construcción es muy sencilla. Dado que el plano saliente Σ tiene una propiedad colectiva, el punto de su intersección con la línea recta

se ubica como el punto de intersección de la traza horizontal Σ 1 del plano y la proyección horizontal de la línea 1. La proyección frontal del punto de intersección se encuentra a lo largo de la línea de comunicación.

Construir el punto de intersección de una recta arbitraria con un plano genérico como elemento auxiliar Se deben utilizar planos de proyección auxiliares.

Ejemplo 4.10: Construir el punto de intersección de la recta m con el plano

(a Ç b) (Figura 4.8).

å ^ P 2; å º m

å ÇD(aÇb) => l

l1 11

Arroz. 4.8 Intersecciones de una recta y un plano

Para la construcción se utilizó un plano auxiliar Σ que se proyecta frontalmente y que pasa por la línea m.

La línea l de intersección de los planos Σ Ç se encuentra en el mismo plano que la recta m, ya que el plano auxiliar se trazó especialmente a través de la recta. En consecuencia, al estar en el mismo plano, las rectas l y m, si se cruzan, darán un punto que será el punto de intersección deseado de la recta m y el plano dados.

Si las rectas l y m resultan ser paralelas, esto significará que la recta m dada y el plano son paralelos.

	La intersección de dos planos.
Para construir la línea de intersección de dos planos, basta
encontrar dos puntos cualesquiera de esta línea, o un punto y dirección
líneas de intersección.
Si buscas una línea de intersección de dos planos, uno de los cuales
Al proyectar, la línea de intersección está determinada por el método más simple.
construcciones.
Ejemplo 4.5: Construir una línea de intersección plana				dado
dos líneas rectas l ||m y un plano horizontal Σ (Fig.
			S2≡S2
	Arroz. 4.9 Intersección de planos

¡NÓTESE BIEN! La línea de intersección pertenece al plano horizontal del nivel Σ, por lo tanto es horizontal.

La simplicidad de construir la línea de intersección de planos generales con planos particulares da herramienta útil construir la línea de intersección de dos planos en posición general.

Arroz. 4.10 Planos de corte auxiliares

Dicha herramienta son planos de corte auxiliares de una posición particular, por ejemplo, planos nivelados (Fig. 4.10).

Para construir la línea de intersección de los planos Φ y Θ se utilizaron dos planos horizontales Г" y Г"". Puntos de intersección M y N

pares de líneas a"

S "X lX metro

Arroz. 4.11 Construcción de la línea de intersección de planos.

Para la construcción se utilizaron planos horizontales Σ" y Σ"".

Ejemplo 4.7: Construir la línea de intersección del plano Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Arroz. 4.12 Construcción de la línea de intersección de planos.

Para la construcción se utilizan planos auxiliares que se proyectan frontalmente "y", que en el PP frontal pasan a lo largo de las proyecciones frontales de las rectas paralelas l y m, definiendo el plano T. El plano auxiliar "interseca el plano dado Φ (ABC) a lo largo del línea 12. La proyección horizontal de esta línea se cruza con la proyección horizontal de la línea en el punto E 1. Este punto se busca en el PP frontal a lo largo de la línea de comunicación. El punto E es común al plano Φ(ABC) y Τ(l ||m). Por tanto, este punto es uno de los puntos de la línea de intersección de los planos Φ(ABC) y Τ(l ||m). También se encontró el punto F de la intersección del plano "" con la recta m. El punto F es también el punto de la línea de intersección de los planos Φ(ABC) y Τ(l ||m). Conectando los puntos obtenidos E y

h"1 m 1 h 1

Arroz. 4.13 Construcción de la línea de intersección de planos.

Los puntos de la línea de intersección son (.)M intersecciones de trazas horizontalesh y h" de planos dados y (.)N intersecciones de trazas frontalesf y f" . Al conectar estos puntos en los planos de proyección correspondientes se obtiene la proyección de la línea de intersección de los planos dados.

Definición. Sean n variables, y cada conjunto de sus valores (x X , X 2 ,..., X PAG ) de algún conjuntoXCorresponde a un valor bien definido de una variable.z. Entonces decimos que está dada una función de varias variables.z= F(X X , X 2 ,..., X PAG ) .

variables X X , X 2 ,..., X PAG son llamados variables independientes o argumentos,z - variable dependiente, un símbolo F medio ley de correspondencia. Un montón de X llamado dominio de definición de la función. Obviamente, este es un subconjunto del espacio n-dimensional.

Una función de dos variables se denota. z=f(x, y). Entonces su dominio de definición X es un subconjunto del plano coordenado Ohhh.

Barrio de un punto
una circunferencia que contiene un punto se llama
(ver figura 1).

Obviamente, un círculo en un plano es un análogo bidimensional de un intervalo en una línea recta.

Al estudiar funciones de varias variables, se utiliza el aparato matemático: cualquier función. z= F(X, y) puedes asociar un par de funciones de una variable: con un valor fijo x=x 0 función z=
y por un valor fijo y=y 0 función z= F(X, y 0 ).

Gráfica de una función de dos variables. z=
llamado el conjunto de puntos en el espacio tridimensional (x, y, z), aplicar z que está asociado con la abscisa X y ordenada en relación funcional z=
.

Para graficar una función z=f(x, y) Es útil considerar funciones de una variable. z= F(X, y 0 ) Y z=
, representando secciones Artes graficas z= F(X, y) planos paralelos a los planos coordenados Oxz Y Oyz, es decir. aviones y=en 0 Y x=x 0 .

Ejemplo 1. Graficar una función
.

Solución. Secciones de superficie
=
planos paralelos a los planos coordenados Oyz Y Oxz, representan parábolas (por ejemplo, en x = 0
, con y = 1
etc.). En una sección de una superficie por un plano coordenado. Ohhh, es decir. avión z=0, el resultado es un círculo
La gráfica de la función representa una superficie llamada paraboloide (ver Fig. 2)

Definición. línea de nivel funciones de dos variables z=f(x, y) es el conjunto de puntos del plano tal que en todos esos puntos el valor de la función es igual e igual a C. El número C en este caso se llama nivel.

La Figura 3 muestra las líneas de nivel correspondientes a los valores C=1 y C=2. Como puedes ver, la línea de nivel consta de dos curvas disjuntas. Línea – curva que se cruza a sí misma.

Muchos ejemplos de líneas de nivel son bien conocidos y familiares. Por ejemplo, los paralelos y meridianos de un globo son líneas al nivel de las funciones de latitud y longitud. Los meteorólogos publican mapas que muestran isotermas: líneas de temperatura.

Ejemplo 2. Construir líneas de nivel de función
.

Solución. línea de nivel z= C esta es una curva en un avión Oh, dado por la ecuación X 2 + en 2 - 2y = C o X 2 + (y - Yo) 2 = C+1. Esta es la ecuación de un círculo con centro en el punto (0; 1) y radio
(Figura 4).

El punto (0; 1) es una línea de nivel degenerada correspondiente al valor mínimo de la función. z=-1 y alcanzado en el punto (0; 1). Las líneas de nivel son círculos concéntricos, cuyo radio aumenta al aumentar z= C, Además, las distancias entre líneas con el mismo paso nivelado disminuyen con la distancia desde el centro. Las líneas de nivel le permiten visualizar la gráfica de esta función, que se trazó anteriormente en la Fig. 2.

Derivadas parciales

vamos a dar el argumento X incremento ∆х, argumento y - incremento ∆у. Entonces la función z recibirá el valor incrementado f (x+∆x, y+∆y). Magnitud ∆ z= F(X+∆ X, y+∆ y)- F{ X, y) llamado incremento de función completa en el punto (x;y). Si especifica solo el incremento del argumento X o simplemente incremento de argumento y, luego los incrementos resultantes de la función se llaman en consecuencia privado.

El incremento total de una función, en general, no es igual a la suma de los cocientes, es decir

Ejemplo 15.6. Encuentra los incrementos parciales y totales de una función. z= xy.

Solución. ;;.

Lo tengo

Definición.Derivada parcial de una función de varias variables según una de estas variables, se llama el límite de la relación entre el incremento parcial correspondiente de una función y el incremento de la variable independiente considerada cuando esta última tiende a cero (si este límite existe).

La derivada parcial se denota de la siguiente manera:
o
, o
.

Para encontrar la derivada
debemos considerar la variable y constante y encontrar
-variablex. En este caso, se conservan las reglas de diferenciación conocidas.

Ejemplo. Encuentra derivadas parciales de una función:

a) z= X en y+ .

Solución: Encontrar la derivada parcial con respecto a X, Nosotros pensamos en valor constante. De este modo,
. Del mismo modo, diferenciando con respecto a y, Nosotros pensamos X un valor constante, es decir
.

Función diferencial

Definición.Función diferencial es la suma de los productos de las derivadas parciales de esta función por los incrementos de las variables independientes correspondientes, aquellos.

dz=
. (1)

Considerando que para funciones f(x, y)=x,gramo(X, y)=y según (1) df= dx=∆ X; dg= dy=∆ y la fórmula diferencial (1) se puede escribir en la forma dz= z" X dx+ z" y dy (2) o

Definición.Funciónz= F(X, y) se llamadiferenciable en el punto (x, y), si su incremento total se puede representar como(3), Dóndedz - función diferencial, – ,infinitesimal en
.

Suficiente Condición para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

Teorema.Si las derivadas parciales de la funciónz" v (X, y) existen en las proximidades del punto (x, y) y son continuas en el punto (x, y), entonces la funciónz= F{ X, y) es diferenciable en este punto.

Hasta ahora hemos considerado el más simple. modelo funcional, donde función depende de lo único argumento. Pero al estudiar diversos fenómenos del mundo circundante, a menudo nos encontramos con cambios simultáneos en más de dos cantidades, y muchos procesos pueden formalizarse efectivamente. función de varias variables, Dónde - argumentos o variables independientes. Comencemos a desarrollar el tema por el más común en la práctica. funciones de dos variables .

Función de dos variables llamado ley, según el cual cada par de valores variables independientes(argumentos) de dominio de definición Corresponde al valor de la variable dependiente (función).

Esta función denotado de la siguiente manera:

O u otra letra estándar:

Dado que el par ordenado de valores "x" e "y" determina punto en el avión, entonces la función también se escribe a través de , donde hay un punto en el plano con coordenadas . Esta notación se utiliza ampliamente en algunas tareas prácticas.

Significado geométrico de una función de dos variables. muy simple. Si una función de una variable corresponde a una determinada recta en un plano (por ejemplo, la conocida parábola escolar), entonces la gráfica de una función de dos variables se ubica en un espacio tridimensional. En la práctica, la mayoría de las veces tenemos que lidiar con superficie, pero a veces la gráfica de una función puede ser, por ejemplo, una(s) línea(s) espacial(es) o incluso un solo punto.

Conocemos bien el ejemplo elemental de una superficie del curso. geometría analítica- Este avión. Suponiendo que, la ecuación se puede reescribir fácilmente como forma funcional:

El atributo más importante funciones de 2 variables - esto ya está anunciado dominio.

Dominio de una función de dos variables. llamado un conjunto todos pares para los cuales existe el valor.

Gráficamente, el dominio de definición es todo el avión o parte de él. Por tanto, el dominio de definición de la función. es todo el plano de coordenadas, por la razón de que para cualquier El punto existe valor.

Pero, por supuesto, un acuerdo tan inútil no siempre ocurre:

¿Como dos variables?

Considerando varios conceptos funciones de varias variables, es útil establecer analogías con los conceptos correspondientes de funciones de una variable. En particular, al descubrir dominio de definición nosotros pagamos Atención especial para aquellas funciones que contienen fracciones, incluso raíces, logaritmos, etc. ¡Aquí todo es exactamente igual!

La tarea de encontrar el dominio de definición de una función de dos variables con casi el 100% de probabilidad se encontrará en su trabajo temático, por lo que analizaré una cantidad decente de ejemplos:

Ejemplo 1

Encuentra el dominio de una función.

Solución: dado que el denominador no puede llegar a cero, entonces:

Respuesta: todo el plano de coordenadas excepto los puntos que pertenecen a la línea

Sí, sí, es mejor escribir la respuesta en este estilo. El dominio de definición de una función de dos variables rara vez se denota con algún símbolo; se utiliza con mucha más frecuencia; descripción verbal y/o dibujo.

si por condicion requerido hacer un dibujo, entonces sería necesario representar el plano de coordenadas y linea punteada hacer una línea recta. La línea de puntos indica que la línea excluido en el dominio de la definición.

Como veremos un poco más adelante, en ejemplos más difíciles no puedes prescindir de un dibujo.

Ejemplo 2

Encuentra el dominio de una función.

Solución: la expresión radical debe ser no negativa:

Respuesta: semiplano

Imagen gráfica aquí también es primitivo: dibujamos un sistema de coordenadas cartesiano, sólido dibuja una línea recta y sombrea la parte superior semiplano. La línea continua indica el hecho de que incluido en el dominio de la definición.

¡Atención! Si no entiende NADA del segundo ejemplo, estudie/repita la lección en detalle. Desigualdades lineales- ¡Será muy difícil sin él!

Miniatura para decisión independiente:

Ejemplo 3

Encuentra el dominio de una función.

Solución de dos líneas y respuesta al final de la lección.

Sigamos calentando:

Ejemplo 4

Y representarlo en el dibujo.

Solución: es fácil entender que esta es la formulación del problema requiere ejecución del dibujo (incluso si el dominio de definición es muy simple). Pero primero, analítica: el radical de la expresión debe ser no negativo: y, dado que el denominador no puede llegar a cero, la desigualdad se vuelve estricta:

¿Cómo determinar el área que define la desigualdad? Recomiendo el mismo algoritmo de acciones que en la solución. desigualdades lineales.

primero dibujamos línea, que se establece igualdad correspondiente. La ecuación determina círculo centrado en el origen de un radio que divide el plano coordenado en dos partes: "interior" y "exterior" del círculo. Ya que tenemos desigualdad estricto, entonces el círculo en sí ciertamente no estará incluido en el dominio de la definición y, por lo tanto, debe dibujarse linea punteada.

Ahora vamos a tomarlo arbitrario punto plano, no pertenecer a círculo y sustituye sus coordenadas en la desigualdad. La forma más sencilla, por supuesto, es elegir el origen:

Recibió falsa desigualdad, por lo tanto, punto no satisface desigualdad Además, esta desigualdad no se satisface con ningún punto que se encuentre dentro del círculo y, por lo tanto, el dominio de definición deseado es su parte exterior. El área de definición tradicionalmente está sombreada:

Cualquiera puede tomar cualquier punto perteneciente al área sombreada y asegurarse de que sus coordenadas satisfagan la desigualdad. Por cierto, la desigualdad opuesta da círculo centrado en el origen, radio .

Respuesta: parte exterior del círculo

Volvamos al significado geométrico del problema: hemos encontrado el dominio de definición y lo hemos sombreado, ¿qué significa esto? Esto significa que en cada punto del área sombreada hay un valor “zet” y gráficamente la función es el siguiente superficie:

El dibujo esquemático muestra claramente que superficie dada ubicado en algunos lugares arriba avión (octantes cercanos y lejanos de nosotros), en algunos lugares - bajo avión (octantes izquierda y derecha con respecto a nosotros). La superficie también pasa por los ejes. Pero el comportamiento de la función como tal no nos interesa mucho ahora; lo importante es que todo esto sucede exclusivamente en el campo de la definición. Si tomamos cualquier punto perteneciente al círculo, entonces no habrá superficie allí. (ya que no existe “zet”), como lo demuestra el espacio redondo en el medio de la imagen.

Por favor, comprenda bien este ejemplo, porque en él con más detalle explicó la esencia misma del problema.

La siguiente tarea la debes resolver tú solo:

Ejemplo 5

Solución rápida y un dibujo al final de la lección. En general, en el tema considerado entre líneas de segundo orden el más popular es el círculo, pero, como opción, pueden "empujar" el problema elipse, hipérbole o parábola.

Subamos:

Ejemplo 6

Encuentra el dominio de una función.

Solución: la expresión radical debe ser no negativa: y el denominador no puede ser igual a cero: . Por tanto, el dominio de definición lo especifica el sistema.

Tratamos la primera condición mediante esquema estándar discutido en clase Desigualdades lineales: traza una línea recta y determina el semiplano que corresponde a la desigualdad. Porque la desigualdad no estricto, entonces la línea recta en sí también será una solución.

Con la segunda condición del sistema, todo también es simple: la ecuación especifica el eje de ordenadas, y como , entonces debería excluirse del dominio de definición.

Dibujemos el dibujo, sin olvidar que la línea continua indica su entrada en el área de definición y la línea de puntos indica su exclusión de esta área:

Cabe señalar que aquí ya estamos. forzado hacer un dibujo. Y esta situación es típica: en muchas tareas, una descripción verbal del área es difícil, e incluso si la describe, lo más probable es que no lo entiendan bien y lo obliguen a representar el área.

Respuesta: dominio:

Por cierto, una respuesta así sin un dibujo parece realmente húmeda.

Repitamos una vez más el significado geométrico del resultado obtenido: en la zona sombreada hay una gráfica de la función , que representa superficie del espacio tridimensional. Esta superficie puede estar situada encima/debajo del plano, puede cruzar el plano - en en este caso Tenemos todo esto en paralelo. El hecho mismo de la existencia de la superficie es importante y es importante encontrar correctamente la región en la que existe.

Ejemplo 7

Encuentra el dominio de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. muestra aproximada terminar la tarea al final de la lección.

No es raro que funciones aparentemente simples produzcan una solución a largo plazo:

Ejemplo 8

Encuentra el dominio de una función.

Solución: usando fórmula de diferencia cuadrada, factoricemos la expresión radical: .

El producto de dos factores no es negativo. , Cuando ambos los multiplicadores no son negativos: O Cuando ambos no positivo: . Ésta es una característica típica. Por lo tanto, necesitamos resolver dos sistemas de desigualdades lineales Y COMBINARáreas recibidas. En una situación similar, en lugar del algoritmo estándar, el método de punzonado científico, o más bien práctico, funciona mucho más rápido =)

Dibujamos líneas rectas que dividen el plano de coordenadas en 4 “esquinas”. Tomamos algún punto que pertenece a la “esquina superior”, por ejemplo un punto, y sustituimos sus coordenadas en las ecuaciones del primer sistema: . Se obtienen las desigualdades correctas, lo que significa que la solución del sistema es todo"esquina" superior. Sombreado.

Ahora tomamos el punto que pertenece a la “esquina” derecha. Queda el segundo sistema, en el que sustituimos las coordenadas de este punto: . La segunda desigualdad no es cierta, por lo tanto, y todo el "rincón" correcto no es una solución para el sistema.

Lo mismo ocurre con la “esquina” izquierda, que tampoco está incluida en el alcance de la definición.

Y finalmente, sustituimos las coordenadas del punto experimental de la “esquina” inferior en el 2º sistema: . Ambas desigualdades son verdaderas, lo que significa que la solución del sistema es y todo la “esquina” inferior, que también debe estar sombreada.

En realidad, por supuesto, no es necesario describirlo con tanto detalle: ¡todas las acciones comentadas se realizan fácilmente de forma oral!

Respuesta: el dominio de definición es Unión soluciones del sistema .

Como puede imaginar, es poco probable que esa respuesta funcione sin un dibujo, y esta circunstancia lo obliga a tomar una regla y un lápiz, aunque la condición no lo requiera.

Y esta es tu nuez:

Ejemplo 9

Encuentra el dominio de una función.

Buen estudiante siempre pierde logaritmos:

Ejemplo 10

Encuentra el dominio de una función.

Solución: el argumento del logaritmo es estrictamente positivo, por lo que el dominio de definición lo da el sistema.

La desigualdad indica el semiplano derecho y excluye el eje.

Con la segunda condición la situación es más compleja, pero también transparente. Recordemos sinusoide. El argumento es “Igrek”, pero esto no debería confundirme: Igrek, entonces Igrek, Zyu, entonces Zyu. ¿Dónde el seno es mayor que cero? El seno es mayor que cero, por ejemplo, en el intervalo. Dado que la función es periódica, hay infinitos intervalos de este tipo y, en forma colapsada, la solución a la desigualdad se escribirá de la siguiente manera:
, donde es un número entero arbitrario.

Por supuesto, no se puede representar un número infinito de intervalos, por lo que nos limitaremos al intervalo y sus vecinos:

Completemos el dibujo, sin olvidar que según la primera condición, nuestro campo de actividad se limita estrictamente al semiplano derecho:

hmm... resultó ser una especie de dibujo de un fantasma... una buena representación de las matemáticas superiores...

Respuesta:

El siguiente logaritmo es tuyo:

Ejemplo 11

Encuentra el dominio de una función.

Durante la solución tendrás que construir. parábola, que dividirá el avión en 2 partes: el "interior" ubicado entre las ramas y la parte exterior. El método para encontrar la pieza requerida ha aparecido repetidamente en el artículo. Desigualdades lineales y ejemplos anteriores de esta lección.

Solución, dibujo y respuesta al final de la lección.

Los últimos frutos del párrafo están dedicados a los “arcos”:

Ejemplo 12

Encuentra el dominio de una función.

Solución: El argumento arcoseno debe estar dentro de los siguientes límites:

Entonces hay dos habilidades técnicas: lectores más preparados similares a los últimos ejemplos de la lección Dominio de una función de una variable. pueden “tirar” la doble desigualdad y dejar la “Y” en el medio. Para los principiantes, recomiendo convertir la “locomotora” en su equivalente. sistema de desigualdades:

El sistema se resuelve como de costumbre: construimos líneas rectas y encontramos los semiplanos necesarios. Como resultado:

Tenga en cuenta que aquí los límites se incluyen en el área de definición y se dibujan líneas rectas. lineas solidas. Esto siempre debe controlarse cuidadosamente para evitar un error grave.

Respuesta: el dominio de definición representa la solución del sistema

Ejemplo 13

Encuentra el dominio de una función.

La solución de muestra utiliza una técnica avanzada: convertir desigualdades dobles.

En la práctica, a veces también nos encontramos con problemas al encontrar el dominio de definición. funciones de tres variables Dominio de definición de funciones tres variables tal vez Todo espacio tridimensional, o parte de él. En el primer caso la función está definida para cualquier puntos en el espacio, en el segundo - solo para aquellos puntos que pertenecen a algún objeto espacial, con mayor frecuencia - cuerpo. Puede ser un paralelepípedo rectangular, elipsoide, "adentro" cilindro parabólico etc. La tarea de encontrar el dominio de definición de una función de tres variables suele consistir en encontrar este cuerpo y realizar un dibujo tridimensional. Sin embargo, estos ejemplos son bastante raros. (solo encontré un par de piezas), y por lo tanto me limitaré a este párrafo de descripción general.

Líneas de nivel

Para comprender mejor este término, compararemos el eje con altura: cómo mas valor“Z” – cuanto mayor es la altura, más menos valor“Z” – cuanto menor sea la altura. La altura también puede ser negativa.

Una función en su dominio de definición es una gráfica espacial; para mayor precisión y claridad, asumiremos que se trata de una superficie trivial. ¿Qué son las líneas de nivel?? En sentido figurado, las líneas de nivel son "rebanadas" horizontales de la superficie a varias alturas. Estas “rebanadas” o, más correctamente, secciones realizado por aviones, después de lo cual se proyectan en el avión .

Definición: una línea de nivel de función es una línea en el plano en cada punto del cual la función mantiene un valor constante: .

Por lo tanto, las líneas de nivel ayudan a descubrir cómo se ve una superficie en particular, ¡y ayudan sin necesidad de construir un dibujo tridimensional! Consideremos tarea específica:

Ejemplo 14

Encuentra y traza varias líneas de nivel de una gráfica de función.

Solución: Examinamos la forma de una superficie determinada utilizando líneas de nivel. Para mayor comodidad, ampliemos la entrada "de atrás hacia adelante":

Obviamente, en este caso “zet” (altura) obviamente no puede tomar valores negativos (ya que la suma de cuadrados no es negativa). Por tanto, la superficie se sitúa en el semiespacio superior (por encima del plano).

Dado que la condición no dice a qué alturas específicas deben "cortarse" las líneas de nivel, somos libres de elegir varios valores "Z" a nuestra discreción.

Examinamos la superficie a altura cero, para ello ponemos el valor en la igualdad :

La solución a esta ecuación es el punto. Eso es cuando la línea de nivel representa un punto.

Subimos a una unidad de altura y “cortamos” nuestra superficie avión (sustituir en la ecuación de la superficie):

De este modo, para la altura, la línea de nivel es un círculo centrado en un punto de radio unitario.

Te recuerdo que todas las “rebanadas” se proyectan en el avión¡Y es por eso que escribo dos, no tres, coordenadas para los puntos!

Ahora tomamos, por ejemplo, un plano y con él “cortamos” la superficie en estudio. (sustitutoen la ecuación de superficie):

De este modo, para alturala línea de nivel es un círculo centrado en el punto del radio.

Y construyamos otra línea de nivel, digamos por :

–círculo centrado en un punto de radio 3.

Las líneas de nivel, como ya he enfatizado, están ubicadas en el plano, pero cada línea está firmada: a qué altura corresponde:

No es difícil entender que otras líneas de nivel de la superficie considerada también son círculos, y cuanto más subimos (aumentamos el valor "Z"), mayor se vuelve el radio. De este modo, la superficie misma Es un cuenco sin fin con fondo ovoide, cuya parte superior se sitúa en un plano. Este “cuenco”, junto con el eje, “sale directamente hacia ti” desde la pantalla del monitor, es decir, estás mirando hacia abajo =) ¡Y esto no sin razón! Solo yo lo derramo en la carretera de manera tan letal =) =)

Respuesta: las líneas de nivel de una superficie dada son círculos concéntricos de la forma

Nota : cuando se obtiene un círculo degenerado de radio cero (punto)

El concepto mismo de línea de nivel proviene de la cartografía. Parafraseando la expresión matemática establecida, podemos decir que la línea de nivel es localización geográfica puntos misma altura . Consideremos una determinada montaña con líneas de nivel de 1000, 3000 y 5000 metros:

La figura muestra claramente que la pendiente superior izquierda de la montaña es mucho más empinada que la pendiente inferior derecha. Por lo tanto, las líneas de nivel le permiten reflejar el terreno en un mapa "plano". Por cierto, aquí los valores negativos de altitud también adquieren un significado muy específico; después de todo, algunas áreas de la superficie de la Tierra se encuentran por debajo del nivel cero de los océanos del mundo.