Encuentra los extremos de la función f x x3 x2. Extremos de una función: signos de existencia, ejemplos de soluciones. Los valores mayor y menor de una función de dos variables en un dominio cerrado
>>extrema
Extremo de la función
Definición de extremo
Función y = f(x) se llama creciente (decreciente) en un cierto intervalo, si para x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).
Si la función diferenciable y = f (x) aumenta (disminuye) en un intervalo, entonces su derivada en este intervalo f " (X)> 0
(F"(X)< 0).
Punto X oh llamado punto máximo local (mínimo) función f (x) si hay una vecindad del punto x o, para todos los puntos en los que la desigualdad f (x) es cierta≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).
Los puntos máximo y mínimo se llaman puntos extremos, y los valores de la función en estos puntos son sus extremos.
Puntos extremos
Las condiciones necesarias extremo . si el punto X oh es el punto extremo de la función f (x), entonces f " (x o ) = 0, o f(x o ) no existe. Estos puntos se llaman crítico, y la función misma se define en el punto crítico. Los extremos de una función deben buscarse entre sus puntos críticos.
La primera condición suficiente. Dejar X oh - punto crítico. Si f" (x ) al pasar por un punto X oh cambia el signo más a menos, luego en el punto x o la función tiene un máximo, en caso contrario tiene un mínimo. Si al pasar por el punto crítico la derivada no cambia de signo, entonces en el punto X oh no hay ningún extremo.
Segunda condición suficiente.
Sea la función f(x) tener
F" (x ) en las proximidades del punto X
oh
y la segunda derivada en el punto mismo x o. Si f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o es el punto mínimo (máximo) local de la función f (x). Si =0, entonces necesita usar la primera condición suficiente o involucrar otras superiores.
En un segmento, la función y = f (x) puede alcanzar su valor mínimo o máximo ya sea en puntos críticos o en los extremos del segmento.
Ejemplo 3.22.
Solución. Porque F " (
Problemas para encontrar el extremo de una función.
Ejemplo 3.23. a
Solución. X Y y y
0
≤ X≤
> 0, y cuando x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funciones kv.
unidades).
Ejemplo 3.24. pag ≈
Solución. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.
Ejemplo 3.22.Encuentra los extremos de la función f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Solución. Porque F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), entonces los puntos críticos de la función x 1 = 2 y x 2 = 3. Los extremos solo pueden estar en estos puntos. Dado que al pasar por el punto x 1 = 2 la derivada cambia de signo de más a menos, entonces en este punto la función tiene un máximo. Al pasar por el punto x 2 = 3, la derivada cambia de signo de menos a más, por lo que en el punto x 2 = 3 la función tiene un mínimo. Habiendo calculado los valores de la función en los puntos.
x 1 = 2 y x 2 = 3, encontramos los extremos de la función: máximo f (2) = 14 y mínimo f (3) = 13.
Ejemplo 3.23.Es necesario construir un área rectangular cerca del muro de piedra para que esté cercada por tres lados con una malla de alambre y el cuarto lado quede adyacente al muro. Para esto hay a Metros lineales de malla. ¿En qué relación de aspecto el sitio tendrá el área más grande?
Solución.Denotemos los lados de la plataforma por X Y y. El área del sitio es S = xy. Dejar y- esta es la longitud del lado adyacente a la pared. Entonces, por condición, se debe satisfacer la igualdad 2x + y = a. Por lo tanto y = a - 2x y S = x (a - 2x), donde
0
≤ X≤ a /2 (el largo y el ancho del área no pueden ser negativos). S " = a - 4x, a - 4x = 0 en x = a/4, de donde
y = a - 2 × a/4 =a/2. Porque el x = a /4 es el único punto crítico; comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. En x a /4 S "> 0, y cuando x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funciones S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv.
unidades).
Dado que S es continua y sus valores en los extremos S(0) y S(a/2) son iguales a cero, entonces el valor encontrado será el valor más grande de la función. Por tanto, la relación de aspecto más favorable del sitio bajo las condiciones dadas del problema es y = 2x.
Ejemplo 3.24.Se requiere fabricar un tanque cilíndrico cerrado con capacidad de V=16 pag ≈ 50m3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque (radio R y altura H) para que se utilice la menor cantidad de material para su fabricación?
Solución.La superficie total del cilindro es S = 2 pag R(R+H). Sabemos el volumen del cilindro V = p R 2 Í Þ Í = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Entonces S(R) = 2 pag (R2+16/R). Encontramos la derivada de esta función:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 en R 3 = 8, por lo tanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.
El punto extremo de una función es el punto en el dominio de definición de la función en el que el valor de la función adquiere un mínimo o valor máximo. Los valores de la función en estos puntos se llaman extremos (mínimo y máximo) de la función..
Definición. Punto X1 dominio de función F(X) se llama punto máximo de la función , si el valor de la función en este punto más valores función en puntos suficientemente cercanos a él, ubicados a la derecha y a la izquierda de él (es decir, la desigualdad F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 máximo.
Definición. Punto X2 dominio de función F(X) se llama punto mínimo de la función, si el valor de la función en este punto es menor que los valores de la función en puntos suficientemente cercanos a él, ubicados a la derecha e izquierda del mismo (es decir, la desigualdad se cumple F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). En este caso decimos que la función tiene en el punto X2 mínimo.
digamos punto X1 - punto máximo de la función F(X). Luego en el intervalo hasta X1 la función aumenta, por lo tanto la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X) > 0 ), y en el intervalo posterior X1 la función disminuye, por lo tanto, derivada de una función menos que cero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1
Supongamos también que el punto X2 - punto mínimo de la función F(X). Luego en el intervalo hasta X2 la función es decreciente y la derivada de la función es menor que cero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la función es creciente y la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X) > 0 ). En este caso también en el punto X2 la derivada de la función es cero o no existe.
Teorema de Fermat (un signo necesario de la existencia de un extremo de una función). si el punto X0 - punto extremo de la función F(X) entonces en este punto la derivada de la función es igual a cero ( F "(X) = 0 ) o no existe.
Definición. Los puntos en los que la derivada de una función es cero o no existe se llaman puntos críticos .
Ejemplo 1. Consideremos la función.
En el punto X= 0 la derivada de la función es cero, por lo tanto el punto X= 0 es el punto crítico. Sin embargo, como se puede observar en la gráfica de la función, ésta aumenta en todo el dominio de definición, por lo que el punto X= 0 no es el punto extremo de esta función.
Así, las condiciones de que la derivada de una función en un punto sea igual a cero o no exista son condiciones necesarias para un extremo, pero no suficientes, ya que se pueden dar otros ejemplos de funciones para las que se cumplen estas condiciones, pero la función no tiene un extremo en el punto correspondiente. Es por eso debe haber pruebas suficientes, lo que permite juzgar si hay un extremo en un punto crítico particular y qué tipo de extremo es: máximo o mínimo.
Teorema (el primer signo suficiente de la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 F(X) si al pasar por este punto la derivada de la función cambia de signo, y si el signo cambia de “más” a “menos”, entonces es un punto máximo, y si de “menos” a “más”, entonces es un punto mínimo.
Si cerca del punto X0 , a la izquierda y a la derecha, la derivada conserva su signo, esto significa que la función solo disminuye o solo aumenta en una determinada vecindad del punto X0 . En este caso, en el punto X0 no hay ningún extremo.
Entonces, para determinar los puntos extremos de la función, debe hacer lo siguiente :
- Encuentra la derivada de la función.
- Iguale la derivada a cero y determine los puntos críticos.
- Mentalmente o en papel, marque los puntos críticos en la recta numérica y determine los signos de la derivada de la función en los intervalos resultantes. Si el signo de la derivada cambia de "más" a "menos", entonces el punto crítico es el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo.
- Calcula el valor de la función en los puntos extremos.
Ejemplo 2. Encuentra los extremos de la función. 
.
Solución. Encontremos la derivada de la función:
Igualemos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
.
Dado que para cualquier valor de "x" el denominador no es igual a cero, igualamos el numerador a cero:
Tengo un punto crítico X= 3 . Determinemos el signo de la derivada en los intervalos delimitados por este punto:
en el rango de menos infinito a 3 - un signo menos, es decir, la función disminuye,
en el intervalo de 3 a más infinito hay un signo más, es decir, la función aumenta.
Es decir, punto X= 3 es el punto mínimo.
Encontremos el valor de la función en el punto mínimo:
Así, se encuentra el punto extremo de la función: (3; 0), y es el punto mínimo.
Teorema (el segundo signo suficiente de la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 es el punto extremo de la función F(X) si la segunda derivada de la función en este punto no es igual a cero ( F ""(X) ≠ 0 ), y si la segunda derivada es mayor que cero ( F ""(X) > 0 ), entonces el punto máximo, y si la segunda derivada es menor que cero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.
Nota 1. Si en el punto X0 Si tanto la primera como la segunda derivada desaparecen, entonces en este punto es imposible juzgar la presencia de un extremo basándose en el segundo criterio suficiente. En este caso, es necesario utilizar el primer criterio suficiente para el extremo de una función.
Observación 2. El segundo criterio suficiente para el extremo de una función no es aplicable incluso cuando la primera derivada no existe en un punto estacionario (entonces la segunda derivada tampoco existe). En este caso, también es necesario utilizar el primer signo suficiente de un extremo de una función.
Naturaleza local de los extremos de la función.
De las definiciones anteriores se deduce que el extremo de una función es de naturaleza local: es el valor mayor y menor de la función en comparación con los valores cercanos.
Supongamos que está analizando sus ganancias durante un período de un año. Si en mayo ganó 45.000 rublos, en abril 42.000 rublos y en junio 39.000 rublos, entonces los ingresos de mayo son el máximo de la función de ingresos en comparación con los valores cercanos. Pero en octubre ganó 71.000 rublos, en septiembre 75.000 rublos y en noviembre 74.000 rublos, por lo que los ingresos de octubre son el mínimo de la función de ingresos en comparación con los valores cercanos. Y se puede ver fácilmente que el máximo entre los valores de abril-mayo-junio es menor que el mínimo de septiembre-octubre-noviembre.
En términos generales, en un intervalo una función puede tener varios extremos y puede resultar que algún mínimo de la función sea mayor que cualquier máximo. Entonces, para la función que se muestra en la figura anterior, .
Es decir, no se debe pensar que el máximo y el mínimo de una función son, respectivamente, sus valores mayor y menor en todo el segmento considerado. En el punto máximo, la función tiene el valor más grande solo en comparación con aquellos valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto máximo, y en el punto mínimo tiene el valor más pequeño solo en comparación con esos valores. que tenga en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto mínimo.
Por lo tanto, podemos aclarar el concepto anterior de puntos extremos de una función y llamar a los puntos mínimos puntos mínimos locales y a los puntos máximos puntos máximos locales.
Buscamos juntos los extremos de la función.
Ejemplo 3.
Solución: La función está definida y es continua en toda la recta numérica. su derivado 
también existe en toda la recta numérica. Por lo tanto en en este caso Los puntos críticos son sólo aquellos en los que, es decir. , desde donde y . Puntos críticos y dividen todo el dominio de definición de la función en tres intervalos de monotonicidad: . Elijamos uno de cada uno de ellos. punto de control y encuentre el signo de la derivada en este punto.
Para el intervalo, el punto de control puede ser: encontrar. Tomando un punto en el intervalo, obtenemos, y tomando un punto en el intervalo, tenemos. Entonces, en los intervalos y , y en el intervalo . Según el primer criterio suficiente para un extremo, no hay extremo en el punto (ya que la derivada conserva su signo en el intervalo), y en el punto la función tiene un mínimo (ya que la derivada cambia de signo de menos a más al pasar hasta este punto). Encontremos los valores correspondientes de la función: , a . En el intervalo la función disminuye, ya que en este intervalo , y en el intervalo aumenta, ya que en este intervalo .
Para aclarar la construcción del gráfico, encontramos los puntos de intersección del mismo con los ejes de coordenadas. Cuando obtenemos una ecuación cuyas raíces son y , es decir, se han encontrado dos puntos (0; 0) y (4; 0) de la gráfica de la función. Utilizando toda la información recibida, construimos un gráfico (ver el comienzo del ejemplo).
Ejemplo 4. Encuentra los extremos de la función y construye su gráfica.
El dominio de definición de una función es la recta numérica completa, excepto el punto, es decir .
Para acortar el estudio, puedes utilizar el hecho de que esta función es par, ya que 
. Por lo tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje. Oye y el estudio sólo se puede realizar durante el intervalo.
Encontrar la derivada 
y puntos críticos de la función:
1) 
;
2) 
,
pero la función sufre una discontinuidad en este punto, por lo que no puede ser un punto extremo.
Por tanto, la función dada tiene dos puntos críticos: y . Teniendo en cuenta la paridad de la función, comprobaremos solo el punto utilizando el segundo criterio suficiente para un extremo. Para hacer esto, encontramos la segunda derivada. 
y determinamos su signo en: obtenemos . Dado que y , es el punto mínimo de la función, y 
.
Para obtener una imagen más completa de la gráfica de una función, descubramos su comportamiento en los límites del dominio de definición:
(aquí el símbolo indica el deseo X a cero desde la derecha, y X sigue siendo positivo; de manera similar significa aspiración X a cero desde la izquierda, y X sigue siendo negativo). Por lo tanto, si, entonces. A continuación, encontramos
,
aquellos. si, entonces.
La gráfica de una función no tiene puntos de intersección con los ejes. La imagen está al principio del ejemplo.
Seguimos buscando juntos los extremos de la función.
Ejemplo 8. Encuentra los extremos de la función.
Solución. Encontremos el dominio de definición de la función. Como la desigualdad debe satisfacerse, obtenemos de .
Encontremos la primera derivada de la función:
Encontremos los puntos críticos de la función.
Lección sobre el tema: "Encontrar puntos extremos de funciones. Ejemplos"
Materiales adicionales
Estimados usuarios, ¡no olviden dejar sus comentarios, reseñas, deseos! Todos los materiales han sido revisados por un programa antivirus.
Manuales y simuladores en la tienda online Integral para grado 10 de 1C
Resolución de problemas de geometría. Tareas de construcción interactivas para los grados 7-10.
Entorno de software "1C: Constructor matemático 6.1"
Qué estudiaremos:
1. Introducción.
2. Puntos mínimos y máximos.
4. ¿Cómo calcular los extremos?
5. Ejemplos.
Introducción a las funciones extremas
Chicos, veamos la gráfica de una determinada función:
Observe que el comportamiento de nuestra función y=f (x) está determinado en gran medida por dos puntos x1 y x2. Echemos un vistazo más de cerca a la gráfica de la función en y alrededor de estos puntos. Hasta el punto x2 la función aumenta, en el punto x2 hay una inflexión e inmediatamente después de este punto la función disminuye hasta el punto x1. En el punto x1 la función se dobla nuevamente y luego aumenta nuevamente. Por ahora llamaremos a los puntos x1 y x2 puntos de inflexión. Dibujemos tangentes en estos puntos:
Las tangentes en nuestros puntos son paralelas al eje x, lo que significa que la pendiente de la tangente es cero. Esto significa que la derivada de nuestra función en estos puntos es igual a cero.
Veamos la gráfica de esta función:
Es imposible trazar líneas tangentes en los puntos x2 y x1. Esto significa que la derivada no existe en estos puntos. Ahora veamos nuevamente nuestros puntos en los dos gráficos. El punto x2 es el punto en el que la función alcanza su mayor valor en alguna región (cerca del punto x2). El punto x1 es el punto en el que la función alcanza su valor más pequeño en alguna región (cerca del punto x1).
Puntos mínimos y máximos.
Definición: El punto x= x0 se llama punto mínimo de la función y=f(x) si hay una vecindad del punto x0 en la que se cumple la desigualdad: f(x) ≥ f(x0).
Definición: El punto x=x0 se llama punto máximo de la función y=f(x) si hay una vecindad del punto x0 en la que se cumple la desigualdad: f(x) ≤ f(x0).
Chicos, ¿qué es un barrio?
Definición: Una vecindad de un punto es un conjunto de puntos que contienen nuestro punto y aquellos cercanos a él.
Podemos configurar el vecindario nosotros mismos. Por ejemplo, para un punto x=2, podemos definir una vecindad en forma de puntos 1 y 3.
Volvamos a nuestras gráficas, mire el punto x2, es más grande que todos los demás puntos de una determinada vecindad, entonces, por definición, es un punto máximo. Ahora miremos el punto x1, es más pequeño que todos los demás puntos de una determinada vecindad, entonces, por definición, es un punto mínimo.
Chicos, introduzcamos la notación:
Y min - punto mínimo,
y max - punto máximo.
¡Importante! Chicos, no confundan los puntos máximo y mínimo con el valor más pequeño y más grande de la función. menos y valor más alto se buscan en todo el dominio de definición función dada, y los puntos mínimo y máximo están en un determinado vecindario.
Extremos de la función
Para puntos mínimos y máximos hay termino general– puntos extremos.
Extremum (lat. extremum - extremo) - máximo o valor mínimo funciones en un conjunto dado. El punto en el que se alcanza el extremo se llama punto extremo.
En consecuencia, si se alcanza un mínimo, el punto extremo se denomina punto mínimo, y si se alcanza un máximo, se denomina punto máximo.
¿Cómo buscar los extremos de una función?
Volvamos a nuestros gráficos. En nuestros puntos, la derivada desaparece (en el primer gráfico) o no existe (en el segundo gráfico).
Entonces podemos hacer una afirmación importante: si la función y= f(x) tiene un extremo en el punto x=x0, entonces en este punto la derivada de la función es cero o no existe.
Los puntos en los que la derivada es igual a cero se llaman estacionario.
Los puntos en los que la derivada de una función no existe se llaman crítico.
¿Cómo calcular los extremos?
Chicos, volvamos a la primera gráfica de la función:
Analizando esta gráfica dijimos: hasta el punto x2 la función aumenta, en el punto x2 se produce una inflexión, y después de este punto la función disminuye hasta el punto x1. En el punto x1 la función se dobla nuevamente y luego la función aumenta nuevamente.
Con base en tal razonamiento, podemos concluir que la función en los puntos extremos cambia la naturaleza de la monotonicidad y, por lo tanto, la función derivada cambia de signo. Recuerde: si una función disminuye, entonces la derivada es menor o igual a cero, y si la función aumenta, entonces la derivada es mayor o igual a cero.
Resumamos los conocimientos adquiridos con la siguiente afirmación:
Teorema: Condición suficiente extremo: sea la función y=f(x) continua en algún intervalo X y tenga un punto estacionario o crítico x= x0 dentro del intervalo. Entonces:
Para resolver problemas, recuerda estas reglas: Si se definen los signos de las derivadas entonces:
Algoritmo de investigación función continua y= f(x) para monotonicidad y extremos:
- Encuentra la derivada de y'.
- Encuentra puntos estacionarios (la derivada es cero) y puntos críticos (la derivada no existe).
- Marque los puntos estacionarios y críticos en la recta numérica y determine los signos de la derivada en los intervalos resultantes.
- Con base en las afirmaciones anteriores, saque una conclusión sobre la naturaleza de los puntos extremos.
Ejemplos de búsqueda de puntos extremos.
1) Encuentra los puntos extremos de la función y determina su naturaleza: y= 7+ 12*x - x 3
Solución: Nuestra función es continua, entonces usaremos nuestro algoritmo:
a) y"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, en x= ±2, 
El punto x= -2 es el punto mínimo de la función, el punto x= 2 es el punto máximo de la función.
Respuesta: x= -2 es el punto mínimo de la función, x= 2 es el punto máximo de la función.
2) Encuentra los puntos extremos de la función y determina su naturaleza.
Solución: Nuestra función es continua. Usemos nuestro algoritmo: A)
b) en el punto x= 2 la derivada no existe, porque No puedes dividir por cero 
Dominio de definición de la función: , no hay extremo en este punto, porque la vecindad del punto no está definida. Encontremos el valor en el que la derivada es igual a cero: 
c) Marcar puntos estacionarios en la recta numérica y determinar los signos de la derivada: 
d) mire nuestra figura, que muestra las reglas para determinar los extremos. El punto x= 3 es el punto mínimo de la función.
Respuesta: x= 3 es el punto mínimo de la función.
3) Encuentre los puntos extremos de la función y= x - 2cos(x) y determine su naturaleza, para -π ≤ x ≤ π.
Solución: Nuestra función es continua, usemos nuestro algoritmo:
a) y"= 1 + 2sen(x),
b) encuentre los valores en los que la derivada es igual a cero: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
porque -π ≤ x ≤ π, entonces: x= -π/6, -5π/6,
c) marcar puntos estacionarios en la recta numérica y determinar los signos de la derivada: 
d) mire nuestra figura, que muestra las reglas para determinar los extremos.
El punto x= -5π/6 es el punto máximo de la función.
El punto x= -π/6 es el punto mínimo de la función.
Respuesta: x= -5π/6 es el punto máximo de la función, x= -π/6 es el punto mínimo de la función.
4) Encuentra los puntos extremos de la función y determina su naturaleza:
Solución: Nuestra función tiene una discontinuidad solo en un punto x= 0. Usemos el algoritmo: A)
b) encontrar los valores en los que la derivada es igual a cero: y"= 0 en x= ±2, c) marcar puntos estacionarios en la recta numérica y determinar los signos de la derivada:
d) mire nuestra figura, que muestra las reglas para determinar los extremos.
El punto x= -2 es el punto mínimo de la función.
El punto x= 2 es el punto mínimo de la función.
En el punto x= 0 la función no existe.
Respuesta: x= ±2 - puntos mínimos de la función.
Problemas para resolver de forma independiente.
a) Encuentra los puntos extremos de la función y determina su naturaleza: y= 5x 3 - 15x - 5.b) Encuentra los puntos extremos de la función y determina su naturaleza:
c) Encuentre los puntos extremos de la función y determine su naturaleza: y= 2sen(x) - x para π ≤ x ≤ 3π. d) Encontrar los puntos extremos de la función y determinar su naturaleza:
