Filtro Wiener para filtrado de frecuencia industrial. Usando filtros Wiener. Facultad de Automática e Informática

Aquí consideraremos caso especial problema discutido en el párrafo anterior, y llamémoslo filtro Wiener. Por simplicidad, nos limitaremos a estudiar sólo el caso continuo. Todos los cálculos presentados en esta sección son un caso especial de la teoría general del filtro de Kalman-Wiener. El método de cálculo basado en el algoritmo de filtro de Kalmam está, en términos generales, más cerca de una implementación práctica que el método discutido aquí. Por otro lado, muchos problemas de estimación prácticamente importantes pueden clasificarse, al menos con una aproximación suficiente, como estacionarios, y los métodos presentados en esta sección y desarrollados antes de la teoría general de Kalman ya han encontrado una aplicación exitosa en numerosos problemas prácticos.

En 1949 se publicó el trabajo de Wiener "Extrapolación, interpolación y suavizado de secuencias de tiempo estacionarias". Su publicación fue un hito importante no sólo porque los resultados eran nuevos y atrajeron un mayor interés, sino que también (lo que es más importante) elevaron un problema particular al rango de una teoría que era ampliamente utilizada en ese momento, en particular la teoría de los filtros de frecuencia. . Desafortunadamente, debido a que los resultados principales se formularon en “lenguaje de frecuencia”, no pudieron generalizarse directamente a problemas no estacionarios. Aunque el problema no estacionario fue formulado en vista general, es decir, se escribió la ecuación de Wiener-Hopf, pero se obtuvieron muy pocos resultados prácticos, con la excepción únicamente de los trabajos de Bouton, Zade y Ragazini. Hasta que se desarrolló el algoritmo del filtro de Kalman, las dificultades computacionales no se superaron en el caso general no estacionario.

Filtro Kalman estacionario. En versión estacionaria tarea común Evaluación de la condición Se deben cumplir las siguientes tres condiciones:

1. Los modelos de informes y observación no cambian con el tiempo, es decir se describen mediante ecuaciones con coeficientes constantes:

, (7.152)

donde están las matrices de coeficientes constantes.

2. El ruido de entrada y el ruido de medición son estacionarios, al menos en en un sentido amplio, es decir.

donde y son matrices de coeficientes constantes. Además, se supone que y son ruidos blancos no correlacionados con media cero.

3. El intervalo de observación comienza a las . Evidentemente, esta condición nunca podrá cumplirse en la práctica. Sin embargo, desde el momento en que comenzaron las observaciones se ubica lo suficientemente lejos en el pasado, por lo que todo procesos transitorios logra terminar, entonces esta suposición puede considerarse justa.

Si se cumplen estos tres supuestos, entonces, obviamente, el problema de estimación ya no depende de la elección del punto de referencia temporal en el sentido de que cualquier movimiento finito de la escala temporal es permisible sin cambiar las condiciones del problema. Por tanto, la ganancia del filtro de Kalman debe ser constante durante tiempos finitos, ya que no hay razón para que cambie entre dos tiempos finitos. Además, el proceso aleatorio y, por tanto, el proceso son estacionarios, por lo que , y la ecuación de dispersión (7.105) se escribe como

La ganancia de Kalman constante en este caso se define como

. (7.156)

y finalmente, la ecuación de filtración tiene la forma

Tenga en cuenta que en el caso estacionario la ecuación de dispersión se convierte en una ecuación matricial de Riccati degenerada.

Uno de los métodos utilizados con frecuencia para resolver la ecuación (7.155) (generalmente usando una computadora digital) es resolver la ecuación de dispersión no estacionaria (7.105) con los valores constantes correspondientes de los coeficientes a partir de los cuales se componen las matrices y, y una matriz definida arbitraria no negativa condiciones iniciales durante el tiempo actual hasta que la solución resultante alcance un valor constante en estado estacionario. Este valor final se toma como la solución deseada a la ecuación (7.155). Aquí ecuación algebraica se convierte a diferencial, ya que los algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales en computadoras digitales (o analógicas), por regla general, más eficiente que los algoritmos Resolver ecuaciones algebraicas no lineales. Otro método que se puede utilizar para encontrar una solución a la ecuación (7.155) está asociado con la implementación de un procedimiento de búsqueda en una computadora digital, por ejemplo, el método del gradiente.

Ejemplo 7.7. Definamos un filtro estacionario que proporcione una variación de error mínima para el sistema.

La ecuación de Riccati degenerada (7.155) para este ejemplo se escribe como

Si multiplicamos todas estas matrices, obtenemos las siguientes tres ecuaciones

La solución de la última ecuación tiene la forma. Si elegimos como solución la raíz positiva de esta ecuación, obtenemos y , respectivamente. Para que sea positivo definido, es necesario elegir valores positivos para y - de modo que como resultado tengamos

.

Así, hemos encontrado, según lo requerido, raíces definidas positivas reales de la ecuación degenerada de Riccati.

Para encontrar la ganancia constante del filtro de Kalman, basta con sustituir la matriz encontrada en la ecuación (7.156). Como resultado obtenemos

.

En la figura. 7.9, y muestra la implementación "canónica" del filtro Wiener. Si estamos interesados, como suele ser el caso, sólo en estimaciones del estado o , entonces podemos usar filtros, implementados de acuerdo con los diagramas de bloques de la Fig. 7.9b, 7.9c. Estos filtros pueden ser más simple que un filtro, mostrado en la Fig. 7.9a. Sin embargo, el filtro, cuyo diagrama de bloques se muestra en la Fig. 7.9a, genera simultáneamente estimaciones y , que en caso general no están relacionados por . Consideremos ahora la forma clásica de resolver la ecuación del filtro de Wiener, que subyace a la implementación de los filtros que se muestran en la Fig. 7,9, b, 7,9, c.

Arroz. 7.9. Diagramas de bloques de los filtros discutidos en el ejemplo 7.7.

Filtro de salchicha. Arriba, los resultados de la resolución de un problema de estimación estacionaria se obtuvieron introduciendo supuestos adicionales relacionados con la estacionariedad del problema y permitiendo simplificar el algoritmo de filtrado de Kalman generalizado. En particular, se encontró que el filtro de Kalman se vuelve estacionario. Ahora formulemos el problema de estimación estacionaria de otra forma, bastante cercana a trabajo original Salchicha. Formulemos el problema en “lenguaje de frecuencia” utilizando conceptos como funciones de transferencia y densidades espectrales. A primera vista puede parecer que existe sólo una ligera conexión entre los problemas de Kalman y Wiener. Sin embargo, se mostrará a continuación que estos dos problemas son equivalentes, aunque la solución obtenida en forma de filtro de Kalman suele ser preferible desde un punto de vista computacional. El problema se puede representar en la forma diagrama de bloques, como se muestra en la figura 7.10. La señal es distorsionada por el ruido aditivo y mutuamente

Arroz. 7.10. Representación del problema de filtrado de Wiener multidimensional.

estacionario no correlacionado procesos aleatorios con promedio cero y con densidades espectrales, . Observación pasó a través de un filtro de línea con parámetros constantes y función de transferencia. La señal en la salida del filtro se designa como . La tarea es seleccionar un filtro cuya salida formaría la mejor estimación, en el sentido de varianza mínima, de la señal original, que se obtiene aplicando un operador ideal a la señal. A menudo, un operador ideal se entiende como un operador idéntico (unitario) y, por tanto, representa una señal no distorsionada. En resumen, es necesario seleccionar una función de transferencia de filtro que proporcione el error cuadrático medio (RMS) mínimo.

Dónde .

Según el teorema de Parseval, el error cuadrático medio se puede expresar en términos de la matriz de densidad espectral del error:

. (7.159)

Esta expresión, que define el error cuadrático medio como la integral de la densidad espectral del error especificado en el dominio de frecuencia complejo, nos permite derivar la ecuación del filtro en dominio de frecuencia, operando solo con densidades espectrales. Este enfoque de frecuencia permite simplificar significativamente los cálculos, pero, obviamente, su aplicación se limita únicamente a problemas estacionarios.

La densidad de error espectral, que se puede encontrar mediante los métodos analizados en el § 3.5, es igual a

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (7.159), obtenemos

La tarea consiste en elegir una función de transferencia matricial que minimice el error cuadrático medio. Para resolver este problema, imaginemos cómo

. (7.162)

donde está la función de transferencia óptima, es una función de transferencia matricial arbitraria; - cantidad escalar. La función de transferencia del filtro óptimo se obtiene resolviendo la ecuación

en arbitrario.

Usemos este método para resolver el problema de estimación formulado. Si asumimos que , entonces la raíz del error cuadrático medio se expresa de la siguiente manera

Aquí introdujimos dos argumentos y enfatizamos que el MSE depende de ambos y . La ecuación (7.163) ahora se escribe como

(7.165)

Si utilizamos la propiedad de simetría de las matrices de densidad espectral y la identidad , entonces la ecuación (7.165) se puede escribir en la forma

La ecuación (7.166) se cumplirá para arbitrario si

Esta solución corresponde a un filtro de Wiener físicamente irrealizable, ya que, en general, tiene polos en el semiplano derecho de la variable compleja. Recordamos que la presencia de polos en el semiplano derecho no indica la inestabilidad del sistema, sino más bien la impracticabilidad física del sistema, ya que en tal sistema la respuesta está por delante de la influencia.

Con el fin de representaba una solución admisible, y debía ser físicamente realizable o, en otras palabras, debía tener todos los polos en el semiplano izquierdo de la variable compleja. Usando esta restricción en , podemos elegir , que satisfaría la ecuación (7.166) y sería físicamente realizable.

Supongamos que la matriz de densidad espectral es un espectro que admite factorización en la forma

donde es una matriz para la cual tiene todos ceros y polos en el semiplano izquierdo de la variable compleja. El cumplimiento de esta condición garantiza que la matriz inversa también serán funciones analíticas en el semiplano derecho de la variable compleja. El procedimiento para encontrar es, en general, difícil problema computacional, que normalmente sólo se puede completar método numérico utilizando algoritmos bastante complejos. La ecuación (7.166) ahora se puede escribir como

imaginemos en forma de dos términos

donde combina todos los términos que tienen polos en el semiplano izquierdo y - todos los términos que tienen polos en el semiplano derecho.

La matriz, que también puede considerarse como la transformada de Laplace de la parte de la respuesta del filtro que existe en el tiempo positivo, se denominará parte físicamente realizable del filtro y se denotará . En este caso, la respuesta impulsiva total del filtro se define como la transformada de Laplace para el valor del lado derecho de la ecuación (7.170).

Si sustituimos la ecuación (7.170) en (7.169), entonces condición necesaria la optimización se escribirá en la forma

Sin embargo, la segunda integral aquí es igual a cero, ya que todos los polos se encuentran en el semiplano derecho. Si el contorno de integración termina a la izquierda y no hay ningún polo dentro del contorno, entonces el valor de la integral es igual a cero, de modo que la ecuación (7.171) toma la forma

. (7.172)

Por lo tanto, el filtro óptimo físicamente realizable tiene una función de transferencia.

, (7.173)

que también se puede expresar a través de las cantidades iniciales

Entonces, hemos obtenido la solución final al problema de estimación estacionaria multidimensional en forma de un filtro de matriz de Wiener. Darlington, Young, Thomas y Davis obtuvieron el filtro de matriz de Wiener como solución a un problema de estimación estacionaria multivariante. Sin embargo este resultado no fue encontrado. amplia aplicación en la práctica de la ingeniería debido a problemas computacionales bastante difíciles asociados con la necesidad de factorizar el espectro especificado en forma de matriz. Aunque los trabajos proporcionan procedimientos computacionales para la factorización del espectro, que se basan en la resolución de ecuaciones matriciales de Riccati, el uso generalizado de algoritmos de filtrado de Kalman ha desplazado a muchos partidarios del filtro matricial de Wiener.

En el caso de que la señal y el ruido no estén correlacionados, el filtro óptimo tiene una función de transferencia.

. (7.177)

En el caso unidimensional

y finalmente, cuando la señal y el ruido aditivo no están correlacionados, la función de transferencia del filtro lineal óptimo es

Ejemplo 7.8. Consideremos un problema unidimensional simple. La densidad espectral de la señal es . El ruido es blanco con densidad espectral y la señal y el ruido no están correlacionados. Es necesario evaluar la señal y. En este caso

La factorización espectral es fácil de realizar y como resultado tenemos:

; .

Obsérvese que los dos polos situados en el origen se separaron de modo que uno de ellos quedó asignado al semiplano derecho y el otro al semiplano izquierdo. Usando la ecuación (7.179), obtenemos:

.

Veamos el numerador de esta expresión. La descomposición en fracciones elementales tiene la forma.

.

La función no es significativa, ya que está incluida en la primera potencia, y sólo nos interesa aquella parte de la descomposición en fracciones elementales que tiene polos sólo en el semiplano izquierdo. Como está en el numerador, esta función debe tener raíces sólo en el semiplano derecho de la variable compleja. Por lo tanto, obtenemos

.

y la función de transferencia del filtro óptimo

.

El valor mínimo de la varianza del error se calcula sustituyendo la expresión por en la fórmula (7.159) y la posterior integración a lo largo del contorno. Esta parte del trabajo se ve facilitada enormemente por el hecho de que las integrales de la forma

. (7.180)

. (7.181)

tabulados para todos los valores. Cuando los valores de las integrales son respectivamente iguales:

(7.182)

Sin embargo, reducir expresiones a integrales de tabla a menudo requiere realizar transformaciones algebraicas engorrosas. Si la señal y el ruido no están correlacionados, entonces

Analizando por separado cada término incluido en esta expresión, se puede observar que la factorización, necesaria para reducir las integrales a tabulares, se realiza fácilmente simplemente factorizando las densidades espectrales y , que muy a menudo ya están dadas en forma factorizada.

Una propiedad útil de este método es que permite separar inmediatamente el error cuadrático medio en un componente de señal y un componente de ruido. Si designamos respectivamente estos componentes como y , obtenemos

. (7.186)

Ejemplo 7.9. Usemos el método presentado anteriormente para determinar el valor mínimo del error cuadrático medio del filtro óptimo sintetizado en el ejemplo 7.8. Dado que la señal y el ruido no están correlacionados, usaremos las ecuaciones simplificadas (7.184) - (7.186). La raíz del error cuadrático medio viene dada por

Esta expresión está escrita en una forma que le permite usar directamente la integral de tabla (7.182) con parámetros y para cálculos. Como resultado obtenemos

.

Según la expresión (7.186), el componente de ruido del error cuadrático medio

.

Y en este caso usaremos la integral de tabla con los parámetros: . Como resultado obtenemos

Finalmente, encontramos el error cuadrático medio total:

Un lector interesado puede encontrar en la literatura un estudio más completo del filtro de Wiener, que incluye una serie de generalizaciones de la teoría básica (ver, por ejemplo, , , ). La versión discreta del filtro Wiener se estudia en detalle en.

Relación entre filtros estacionarios Kalman y Wiener. En los párrafos anteriores de esta sección dos varios metodos Resolver un problema de estimación estacionaria. La ecuación del filtro de Kalman estacionario, o la forma degenerada del filtro de Kalman generalizado, se derivó en el dominio del tiempo y se expresó en términos de variables de estado. La ecuación del filtro de Wiener, por otro lado, se derivó en el dominio de la frecuencia y se expresó en términos de la respuesta de frecuencia. En ambos casos, la derivación de la ecuación se basó en el uso directo de métodos de cálculo de variaciones. Tras un examen más detenido, puede parecer que estos dos enfoques tienen poco en común. Sin embargo, este no es el caso y existe una estrecha conexión entre ambos enfoques.

La principal diferencia entre los problemas formulados para los filtros de Kalman y Wiener es la forma en que se especifica el modelo de mensaje. Al considerar el filtro de Kalman, el modelo de mensaje viene dado por la ecuación diferencial vectorial de primer orden (7.151), y el modelo de observación asociado viene dado por la ecuación (7.152). Al considerar un filtro de Wiener, el modelo de mensaje se especifica en términos de la densidad espectral de la señal. Claramente, estos dos enfoques son equivalentes, ya que se puede encontrar la densidad espectral del proceso que está relacionada con el modelo de mensaje utilizado al considerar el filtro de Kalman como

De la misma manera, si se da la densidad espectral de un mensaje, siempre se pueden determinar las ecuaciones diferenciales vectoriales de primer orden asociadas que forman un proceso con una densidad espectral dada. En particular, para la observación escalar se puede descomponer en dos factores: , donde tiene todos los polos y ceros en el semiplano izquierdo, a tiene todos los polos y ceros en el semiplano derecho. Si lo escribimos en la forma

(7.188)

entonces puedes construir un modelo de mensaje con fase variable en la forma [ver (7.151) y (7.152)]

; ; (7.189)

.

Para establecer la equivalencia de los filtros estacionarios de Kalman y Wiener, seleccionamos los modelos de mensaje y observación en la formulación del problema de Kalman y encontramos su representación espectral equivalente, lo cual es necesario cuando se utiliza el enfoque de Wiener. Luego resolvemos estos dos problemas de estimación y comparamos los resultados obtenidos.

Supongamos que los modelos de comunicación y observación a la hora de resolver un problema mediante el método de Kalman vienen dados por las ecuaciones:

. (7.191)

donde y son ruidos blancos con media cero y covarianzas; .

Supongamos que el sistema descrito por la ecuación (7.190) es asintóticamente estable y controlable. La densidad espectral equivalente de la señal en la formulación del problema de Wiener se define como

¿Dónde está la matriz resolutiva?

, (7.193)

y la densidad espectral del ruido es igual a

La matriz se supone definida positiva, de modo que permite que la representación considere la matriz, luego la ecuación (7.200) toma la forma. Usando una identidad matricial especial, obtenemos. El filtro se puede escribir en la forma.

En términos generales, el algoritmo de Kalman tiene una ventaja computacional sobre el algoritmo de Wiener, principalmente debido al hecho de que es más adecuado para calcular en una computadora digital, especialmente cuando se resuelven problemas multidimensionales. problemas estacionarios o ecuaciones de orden superior en las que la observación es un vector, así como problemas no estacionarios. Por otro lado, existen una serie de problemas en los que la factorización del espectro se puede realizar de forma general, y esto nos permite profundizar en la esencia de la solución resultante. El método Wiener también puede examinar casos de observaciones de ruido no blanco, predicción ideal y operaciones de retardo, y también tener en cuenta las limitaciones asociadas con la saturación y el ancho de banda limitado del sistema. Sin embargo, tenga en cuenta que una vez encontrado el filtro óptimo, para obtener la respuesta de frecuencia requerida aún es necesario determinar su parte físicamente realizable, y esto no siempre es una tarea sencilla.

Los conceptos de estimación lineal óptima son fundamentales para cualquier consideración. filtros adaptativos. Proceso filtrado adaptativo Implica dos etapas de estimación: 1) estimar la salida de filtro deseada y 2) estimar los pesos de filtro necesarios para lograr el objetivo anterior. La segunda de estas dos etapas es necesaria debido a que en el caso del filtrado adaptativo las características de la señal de entrada no se conocen a priori.

El tipo de estructura más común. filtro adaptativo es una estructura que utiliza una arquitectura finita respuesta al impulso(KIH). Estos filtros deben converger a una solución utilizando un estimador óptimo no recursivo, con la solución dada por la ecuación de Wiener-Hopf.

La síntesis de los estimadores FIR e IIR depende significativamente de la definición de la función de costo, según la cual la calidad de la estimación se caracteriza por la diferencia entre la señal de salida del estimador y el verdadero parámetro a estimar:

Aquí e(n)– error de estimación; x(n) – variable aleatoria, que necesita ser evaluado y que puede ser determinista, y es la evaluación realizada utilizando nuestro sistema de evaluación, y

aquellos. x(n) – función lineal secuencias de señales de entrada y(n) y un conjunto de pesos de filtro h(n). Secuencia de señal observada y(n) en forma general se puede representar como la secuencia original x(n), distorsionado por el ruido blanco adaptativo v(n) con dispersión σ v 2:

. (5.26)

El método más comúnmente utilizado para la estimación óptima es mínimos cuadrados(EMN). La raíz del error cuadrático medio se define como

Se minimiza en relación con los coeficientes de ponderación del estimador para obtener una estimación óptima utilizando el criterio de mínimos cuadrados. Cabe señalar que se puede utilizar algo más que la función de costes descrita. Las funciones alternativas serían la magnitud absoluta del error y la función de umbral no lineal. Esta función de error se utiliza cuando hay un rango de error aceptable (es decir, hay un rango de error especificado). error aceptable). Cuando se utiliza el criterio de mínimos cuadrados medios, los errores pequeños contribuyen menos que los errores grandes (a diferencia de la magnitud absoluta del criterio de error, que otorga el mismo peso a todos los errores).

Arroz. 5.9. Filtro o estimador no recursivo generalizado.

En un estimador no recursivo, la estimación x(n) se define como un polinomio lineal finito y(n):

, (5.28)

Dónde h k son los pesos individuales en la estructura del filtro FIR no recursivo que se muestra en la Fig. 5.9. La expresión (5.28) se puede reescribir en notación matricial-vectorial:

Y ,

y el superíndice T denota transposición de matriz. Entonces la función de error cuadrático medio toma la forma

Esta expresión describe una superficie de error cuadrático estándar con un único mínimo. Diferenciación (5.30) por da

. (5.31)

y suponiendo que (5.31) es igual a cero, tenemos

(5.32)

Suponiendo que el vector de peso y el vector de señal Sí(n) no están correlacionados, obtenemos

Los términos de la expectativa matemática incluidos en (5.33) se pueden definir de la siguiente manera:

p= E(x(n)Y(n)) – correlación cruzada entre señal de entrada y el parámetro estimado;

R= E(Y(n)Y T (n))– matriz de autocorrelación de la secuencia de la señal de entrada.

Entonces (5.33) puede reescribirse como

P T = H T opt R. (5.34)

La ecuación (5.34) es la conocida ecuación de Wiener-Hopf, que da la solución de Wiener óptima (mínimos cuadrados) para H.

Resultados de restauración de imágenes desenfocadas

Al desenfocar, el sistema de distorsión se aproxima bien mediante una función de dispersión de puntos cilíndricos (PSF) de radio r.

PSF cilíndrico

A continuación se muestran los resultados. restauración de tres Imágenes reales desenfocadas del mismo objeto (páginas de un libro). La filmación se realizó sin trípode desde una distancia de aproximadamente 50 cm. El grado de desenfoque de la lente se aumentó manualmente de cuadro a cuadro. Los parámetros del filtro Wiener r y la relación señal-ruido (SNR) se seleccionaron manualmente para proporcionar la mejor calidad visual de la reconstrucción. Para compensar los efectos de los bordes, el brillo de la imagen se reduce gradualmente en los bordes.

Imagen A

Resultado de la restauración de la imagen A. r = 53, SNR = 5200

Imagen B

Resultado de la restauración de la imagen B. r = 66, SNR = 4400

Imagen C

Resultado de la restauración de la imagen C. r = 102, SNR = 7100

Se puede ver que incluso con un desenfoque significativo, la legibilidad del texto es casi
completamente restaurado.

Resultados de la restauración de imágenes borrosas de matrículas.

La imagen borrosa se produce cuando la cámara y el sujeto se mueven entre sí durante la exposición. Consideremos sólo el caso en el que el objeto fotografiado se mueve linealmente con respecto a una cámara estacionaria. En este caso, el sistema de distorsión se aproxima bien al PSF en forma de segmento, que se dirige a lo largo del movimiento del objeto. Dicho PSF se especifica mediante dos parámetros: longitud L y ángulo de desenfoque THETA.

PSF con lubricación lineal

A continuación se muestra una imagen distorsionada de dos automóviles, obtenida con una exposición insuficientemente corta, lo que provocó la aparición de un desenfoque notable.

Imagen distorsionada de dos coches.

A continuación se muestran los resultados de la restauración de las matrículas de ambos automóviles utilizando el filtro Wiener. Los valores de los parámetros L, THETA y SNR se seleccionaron de tal manera que garantizaran la mejor calidad visual de la reconstrucción de matrículas de automóviles.

Resultado de la restauración de la matrícula de un coche de color claro. L = 78, THETA = 15, SNR = 300

Resultado de restaurar el número de placa de un auto oscuro. L=125, THETA=0, SNR=700

Se puede ver que incluso con una borrosidad significativa es posible restaurar la legibilidad de los números.
coches.

El algoritmo de filtrado se implementa en C++ OpenCV como una aplicación de consola.
Los códigos fuente se pueden encontrar en los enlaces siguientes.

Literatura

1. RC González, R.E. Bosque. Fundamentos de la imagen digital. 1987.
2. ES. Gruzmán, V.S. Kirichuk, vicepresidente. Kosykh, G.I. Peretyagin, A.A. Espectro. Procesamiento digital Imágenes en sistemas de información. 2000.

Gruzdev A. A. grupo 4676

Generalmente imágenes formadas por varios sistemas de información, están distorsionados por la interferencia. Esto dificulta tanto su análisis visual por parte de un operador humano como procesamiento automático en la computadora. Al resolver algunos problemas de procesamiento de imágenes, ciertos componentes de la propia imagen pueden actuar como ruido. Por ejemplo, al analizar una imagen satelital de la superficie terrestre, la tarea puede ser determinar los límites entre sus secciones separadas- bosque y campo, agua y tierra, etc. Desde el punto de vista de esta tarea, los detalles individuales de la imagen dentro de las regiones separadas son interferencias.

La reducción del efecto de la interferencia se logra mediante el filtrado. Al filtrar, el brillo (señal) de cada punto imagen original, distorsionado por las interferencias, se reemplaza por algún otro valor de brillo, que se reconoce como el menos distorsionado por las interferencias. La imagen es a menudo una función bidimensional de coordenadas espaciales, que cambia a lo largo de estas coordenadas más lentamente (a veces mucho más lentamente) que el ruido, que también es función bidimensional. Esto permite, a la hora de evaluar la señal útil en cada punto de la trama, tener en cuenta un determinado conjunto de puntos vecinos, aprovechando una cierta similitud de la señal en estos puntos. En otros casos, por el contrario, los cambios bruscos de brillo son señal de una señal útil. Sin embargo, por regla general, la frecuencia de estos cambios es relativamente pequeña, de modo que en intervalos significativos entre ellos la señal es constante o cambia lentamente. Y en este caso, las propiedades de la señal aparecen al observarla no solo en punto local, sino también al analizar su entorno. El concepto de barrio es bastante condicional. Puede estar formado sólo por los vecinos más cercanos en el marco, pero puede haber barrios que contengan bastante y sean bastante fuertes. puntos remotos marco. En este último caso, por supuesto, el grado de influencia de los puntos distantes y cercanos sobre las decisiones tomadas por el filtro en un punto dado del encuadre será completamente diferente.

Así, la ideología de la filtración se basa en uso racional datos de punto de operación, y de su entorno. Esto revela una diferencia significativa entre el filtrado y los procedimientos de elementos analizados anteriormente: el filtrado no puede ser un procedimiento de procesamiento de imágenes elemento por elemento.

La tarea es encontrar un procedimiento computacional racional que permita lograr mejores resultados. Para resolver este problema, generalmente se acepta confiar en el uso de modelos probabilísticos de imagen y ruido, así como en el uso de criterios estadísticos de optimización. Las razones de esto son claras; es de naturaleza aleatoria ya que señal de información, así como la interferencia y este deseo de obtener la mínima diferencia promedio entre el resultado del procesamiento y la señal ideal. La variedad de métodos y algoritmos está asociada con una amplia variedad de temas que deben ser descritos por diferentes modelos matemáticos. Además, se aplican diferentes criterios de optimización, lo que también conduce a una variedad de métodos de filtrado. Finalmente, incluso cuando los modelos y criterios coinciden, muchas veces no es posible encontrar el procedimiento óptimo debido a dificultades matemáticas. dificultad para encontrar soluciones exactas genera varias opciones métodos y procedimientos aproximados.

Estructura general El filtro adaptativo se muestra en la figura. Aporte señal discreta x(k) se procesa filtro discreto, lo que da como resultado la señal de salida y(k). Esta señal de salida se compara con la señal de referencia d(k), la diferencia entre ellas forma la señal de error e(k). La tarea del filtro adaptativo es minimizar el error en la reproducción de la señal de referencia. Para ello, el bloque de adaptación, después de procesar cada muestra, analiza la señal de error y los datos adicionales provenientes del filtro, utilizando los resultados de este análisis para ajustar los parámetros de los coeficientes del filtro.

Al sintetizar un filtro de Wiener, se tiene en cuenta la información sobre la densidad de potencia espectral de la imagen y el ruido. Por tanto, es menos susceptible a interferencias y ceros de la función de transferencia del sistema distorsionador. Respuesta de frecuencia Filtro de salchicha:

donde están las densidades espectrales de potencia del ruido periódicamente continuo, las imágenes observadas y originales, es la densidad espectral de potencia mutua de las imágenes original y observada, * es el símbolo de conjugación complejo.

Transformemos la función de transferencia del filtro de Wiener:

1. Si no hay ruido, el filtro Wiener se convierte en un filtro inverso. Por lo tanto, en la zona bajas frecuencias, donde, por regla general, la relación señal-ruido es alta, las funciones de transferencia de estos filtros prácticamente coinciden.

2. A medida que disminuye la densidad espectral de potencia de la imagen original, la función de transferencia del filtro Wiener tiende a 0. Esto es típico de la imagen a altas frecuencias.

3. A frecuencias correspondientes a los ceros de la función de transferencia del sistema de formación, la función de transferencia del filtro Wiener también es igual a 0.

La principal desventaja del filtro Wiener sigue siendo la presencia de efectos de borde, que se manifiestan en forma de ruido oscilante (ondulaciones o rayas).

A continuación se muestran secciones transversales unidimensionales de funciones de transferencia típicas de filtros Wiener ( línea continua). Aquí, a modo de comparación, se muestran las secciones transversales de las funciones de transferencia de filtros inversos y, que se indican con una línea discontinua.

Consideremos los resultados del modelado del algoritmo de recuperación de Wiener. En la figura. 2.a y 4.a muestran los resultados de distorsionar las imágenes “Saturno” y “Reloj” mediante convolución con un PSF gaussiano () seguido de “cortar” los bordes y agregar ruido aditivo correlacionado delta (). En la figura. 3.a y 5.b muestran imágenes obtenidas como resultado de desenfocar () las imágenes “Saturno” y “Reloj” () también con el posterior “corte” de los bordes y agregando ruido aditivo correlacionado delta ().

Las dimensiones de todas las imágenes observadas y reconstruidas son 170x170 elementos. Los resultados de la reconstrucción de la imagen de Saturno con un filtro Wiener (Fig. 2.b y Fig. 3.b) indican que el filtro Wiener suprime el ruido mucho mejor. El ruido oscilante en los resultados de la reconstrucción de la imagen del "Reloj" (Fig. 4.b y Fig. 5.c) es causado por efectos de borde. Su nivel es significativamente menor que con el filtrado inverso. Sin embargo, el filtro Wiener sólo compensa parcialmente los efectos de borde que hacen que la calidad de la reconstrucción sea insatisfactoria.

El filtrado inverso tiene baja inmunidad al ruido porque este método no tiene en cuenta el ruido de la imagen observada. Significativamente menos susceptible a interferencias y singularidades causadas por ceros de la función de transferencia del sistema distorsionador, Filtro de salchicha, porque durante su síntesis, junto con el tipo de PSF, se utiliza información sobre las densidades espectrales de potencia de la imagen y ruido.

La densidad espectral de la señal está determinada por la relación:

¿Dónde está la función de autocorrelación?

La densidad espectral mutua de la señal está determinada por la relación:

, (14)

¿Dónde está la función de correlación cruzada?

Al construir un filtro Wiener, la tarea es minimizar la desviación estándar de la imagen procesada del objeto:

¿Dónde está la expectativa matemática? Reordenando estas expresiones, se puede demostrar que el mínimo se alcanza cuando la función de transferencia viene dada por la siguiente expresión:

.

Un análisis más detallado muestra que la restauración de la imagen, cuya formación se describe mediante la expresión, debe llevarse a cabo utilizando el siguiente OPF del convertidor de reconstrucción:

Si no hay ruido en la imagen, entonces la densidad espectral de la función de ruido es 0 y la expresión, que se llama filtro de Wiener, se convierte en un filtro inverso normal.

A medida que disminuye la densidad espectral de potencia de la imagen original, la función de transferencia del filtro Wiener tiende a cero. En el caso de las imágenes, esto es típico en altas frecuencias.

A frecuencias correspondientes a los ceros de la función de transferencia del sistema de formación, la función de transferencia del filtro de Wiener también es cero. De este modo, se resuelve el problema de la singularidad del filtro de reconstrucción.

Arroz. 1. Ejemplos de filtros

Los ejemplos de reconstrucción muestran que el filtro Wiener suprime mucho mejor el ruido. El ruido oscilante en los resultados de la reconstrucción de imágenes es causado por efectos de borde. Obviamente, su nivel es significativamente menor que con el filtrado inverso, pero el filtro de Wiener sólo compensa parcialmente los efectos de borde que hacen que la calidad de la reconstrucción sea insatisfactoria. La compensación de los efectos de borde se realiza específicamente. Sin embargo, estos métodos no son óptimos y no siempre proporcionan una compensación efectiva de las distorsiones y eliminan los efectos de borde al mismo tiempo.