Defina y construya líneas de nivel de función en línea. Una clase sencilla para trazar líneas de nivel de una función de cuadrícula 2D. Funciones de varias variables.

Para demostrar el trabajo de la clase, un pequeño

WPF, que construye líneas de nivel para una función de la forma: z = x^2 + y^2 en una cuadrícula de 10 por 10.

Archivo MainWindow.xaml:

Si cada punto X = (x 1, x 2, ... x n) del conjunto (X) de puntos del espacio n-dimensional está asociado con un valor bien definido de la variable z, entonces se dice que el dado función de n variables z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

En este caso, las variables x 1, x 2, ... x n se llaman variables independientes o argumentos funciones, z - variable dependiente, y el símbolo f denota ley de correspondencia. El conjunto (X) se llama dominio de definición funciones (este es un cierto subconjunto del espacio n-dimensional).

Por ejemplo, la función z = 1/(x 1 x 2) es una función de dos variables. Sus argumentos son las variables x 1 y x 2, y z es la variable dependiente. El dominio de definición es todo el plano de coordenadas, con excepción de las rectas x 1 = 0 y x 2 = 0, es decir sin ejes x y de ordenadas. Sustituyendo cualquier punto del dominio de definición en la función, de acuerdo con la ley de correspondencia obtenemos cierto número. Por ejemplo, tomando el punto (2; 5), es decir x 1 = 2, x 2 = 5, obtenemos
z = 1/(2*5) = 0,1 (es decir, z(2; 5) = 0,1).

Una función de la forma z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, donde a 1, a 2,…, y n, b son números constantes, se llama lineal. Puede considerarse como la suma de n funciones lineales de las variables x 1, x 2, ... x n. Todas las demás funciones se llaman no lineal.

Por ejemplo, la función z = 1/(x 1 x 2) no es lineal y la función z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – lineal.

Cualquier función z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) se puede asociar con n funciones de una variable si fijamos los valores de todas las variables excepto una.

Por ejemplo, funciones de tres variables z = 1/(x 1 x 2 x 3) se pueden asociar con tres funciones de una variable. Si fijamos x 2 = a y x 3 = b, entonces la función tomará la forma z = 1/(abx 1); si fijamos x 1 = a y x 3 = b, entonces tomará la forma z = 1/(abx 2); si fijamos x 1 = a y x 2 = b, entonces tomará la forma z = 1/(abx 3). EN en este caso las tres funciones tienen la misma forma. Este no es siempre el caso. Por ejemplo, si para una función de dos variables fijamos x 2 = a, entonces tomará la forma z = 5x 1 a, es decir función de potencia, y si arreglamos x 1 = a, entonces tomará la forma, es decir función exponencial.

Cronograma función de dos variables z = f(x, y) es el conjunto de puntos en el espacio tridimensional (x, y, z), cuya aplicación z está relacionada con la abscisa x y la ordenada y por una relación funcional
z = f (x, y). Este gráfico representa alguna superficie en un espacio tridimensional (por ejemplo, como en la Figura 5.3).

Se puede demostrar que si una función es lineal (es decir, z = ax + by + c), entonces su gráfica es un plano en el espacio tridimensional. Se recomienda que estudie otros ejemplos de gráficos tridimensionales por su cuenta utilizando el libro de texto de Kremer (págs. 405-406).

Si hay más de dos variables (n variables), entonces cronograma La función es un conjunto de puntos en el espacio (n+1)-dimensional para el cual la coordenada x n+1 se calcula de acuerdo con una ley funcional dada. Tal gráfico se llama hipersuperficie(para una función lineal – hiperplano), y también representa una abstracción científica (es imposible representarla).

Figura 5.3 – Gráfica de una función de dos variables en un espacio tridimensional

Superficie nivelada una función de n variables es un conjunto de puntos en un espacio n-dimensional tal que en todos estos puntos el valor de la función es el mismo e igual a C. El número C en este caso se llama nivel.

Generalmente, para la misma función, es posible construir un número infinito de superficies de nivel (correspondientes a diferentes niveles).

Para una función de dos variables, la superficie de nivel toma la forma líneas de nivel.

Por ejemplo, considere z = 1/(x 1 x 2). Tomemos C = 10, es decir 1/(x 1 x 2) = 10. Entonces x 2 = 1/(10x 1), es decir en el plano, la línea de nivel tomará la forma que se muestra en la Figura 5.4 línea continua. Tomando otro nivel, por ejemplo, C = 5, obtenemos la línea de nivel en forma de gráfica de la función x 2 = 1/(5x 1) (que se muestra con una línea de puntos en la Figura 5.4).

Figura 5.4 - Líneas de nivel de función z = 1/(x 1 x 2)

Veamos otro ejemplo. Sea z = 2x 1 + x 2. Tomemos C = 2, es decir 2x 1 + x 2 = 2. Entonces x 2 = 2 - 2x 1, es decir en el plano la línea de nivel tomará la forma de una línea recta, representada en la Figura 5.5 por una línea continua. Tomando otro nivel, por ejemplo C = 4, obtenemos una línea de nivel en forma de línea recta x 2 = 4 - 2x 1 (que se muestra con una línea de puntos en la Figura 5.5). La línea de nivel para 2x 1 + x 2 = 3 se muestra en la Figura 5.5 como una línea de puntos.

Es fácil verificar que para una función lineal de dos variables, cualquier línea de nivel será una línea recta en el plano y todas las líneas de nivel serán paralelas entre sí.

Figura 5.5 - Líneas de nivel de función z = 2x 1 + x 2

Definición de una función de varias variables.

Al considerar funciones de una variable, señalamos que al estudiar muchos fenómenos uno tiene que encontrar funciones de dos o más variables independientes. Pongamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Cuadrado S rectángulo con lados cuyas longitudes son iguales incógnita Y en, se expresa mediante la fórmula S = xy. Cada par de valores incógnita Y en corresponde a un cierto valor de área S; S es una función de dos variables.

Ejemplo 2. Volumen V paralelepípedo rectangular con aristas cuyas longitudes son iguales incógnita, en, z, se expresa mediante la fórmula V= xyz. Aquí V hay una función de tres variables incógnita, en, z.

Ejemplo 3. Rango R vuelo de proyectiles disparados a velocidad inicial v 0 de un arma cuyo cañón está inclinado hacia la horizontal en un ángulo  se expresa mediante la fórmula
(si descuidamos la resistencia del aire). Aquí gramo– aceleración de la gravedad. Para cada par de valores v 0 y  esta fórmula da un cierto valor R, es decir. R es una función de dos variables v 0 y .

Ejemplo 4.
. Aquí Y hay una función de cuatro variables incógnita, en, z, t.

Definición 1. Si cada par ( incógnita, en) valores de dos variables independientes entre sí incógnita Y en desde algún área de su cambio D, corresponde a un cierto valor de la cantidad z, entonces decimos que z hay una función dos variables independientes x Y en, definido en el área D.

Simbólicamente, una función de dos variables se denota de la siguiente manera:

z= F(incógnita, y), z = F(incógnita, y), etc.

Una función de dos variables se puede especificar, por ejemplo, mediante una tabla o analíticamente, mediante una fórmula, como se hizo en los ejemplos comentados anteriormente. Según la fórmula, puede crear una tabla de valores de función para algunos pares de valores de variables independientes. Entonces, para el primer ejemplo, puedes crear la siguiente tabla:

S = xy

En esta tabla, en la intersección de una fila y una columna correspondientes a ciertos valores incógnita Y en, se introduce el valor de función correspondiente S. Si dependencia funcional z= F(incógnita, y) se obtiene como resultado de mediciones de la cantidad z Al estudiar experimentalmente cualquier fenómeno, inmediatamente se obtiene una tabla que determina z en función de dos variables. En este caso, la función se especifica únicamente en la tabla.

Como en el caso de una variable independiente, una función de dos variables no existe, en términos generales, para ningún valor. incógnita Y en.

Definición 2. Un conjunto de pares ( incógnita, en) valores incógnita Y en, en el que se determina la función z= F(incógnita, y), llamado dominio de definición o área de existencia esta función.

El dominio de definición de una función está claramente ilustrado geométricamente. Si cada par de valores incógnita Y en lo representaremos con un punto METRO(incógnita, en) en el avión Ohhh, entonces el dominio de definición de la función se representará como una determinada colección de puntos en el plano. A esta colección de puntos también la llamaremos dominio de definición de la función. En particular, el dominio de definición puede ser todo el plano. A continuación nos ocuparemos principalmente de áreas que representan partes del avion, delimitado por líneas. La línea limitante esta área, llamaremos bordeáreas. Los puntos de la región que no se encuentran en el límite se llamarán interno puntos de la zona. Un área que consta únicamente de puntos interiores se llama abierto o abierto. Si los puntos límite también pertenecen a la región, entonces la región se llama cerrado. Un área se dice acotada si existe tal constante CON, que la distancia de cualquier punto METROárea desde el origen ACERCA DE menos CON, es decir. | om| < CON.

Ejemplo 5. Determinar el dominio natural de una función.

z = 2incógnita – en.

Expresión analítica 2 incógnita – en tiene sentido para cualquier valor incógnita Y en. En consecuencia, el dominio natural de definición de la función es todo el plano. Ohhh.

Ejemplo 6.
.

Con el fin de z tenía un valor real, es necesario que haya un número no negativo debajo de la raíz, es decir incógnita Y en debe satisfacer la desigualdad 1 – incógnita 2 – en 2  0, o incógnita 2 + en 2  1.

Todos los puntos METRO(incógnita, en), cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad indicada, se encuentran en un círculo de radio 1 con centro en el origen y en el límite de este círculo.

Ejemplo 7.
.

Dado que los logaritmos se definen sólo para números positivos, la desigualdad debe satisfacerse incógnita + en> 0, o en >  incógnita.

Esto significa que el dominio de definición de la función z es la mitad del plano situada encima de la recta en =  incógnita, sin incluir la propia línea recta.

Ejemplo 8. Área de un triángulo S representa la función base incógnita y alturas en: S= xy/2.

El dominio de definición de esta función es el dominio incógnita  0, en 0 (ya que la base de un triángulo y su altura no pueden ser negativas ni cero). Tenga en cuenta que el dominio de definición de la función considerada no coincide con el dominio natural de definición de la expresión analítica con la que se especifica la función, ya que el dominio natural de definición de la expresión xy/ 2 es obviamente todo el avión Ohhh.

La definición de función de dos variables se puede generalizar fácilmente al caso de tres o más variables.

Definición 3. Si cada conjunto considerado de valores variables incógnita, en, z, …, tu, t corresponde a un determinado valor de variable w, entonces llamaremos w función de variables independientes incógnita, en, z, …, tu, t y escribe w= F(incógnita, en, z, …, tu, t) o w= F(incógnita, en, z, …, tu, t) etc.

Al igual que para una función de dos variables, podemos hablar del dominio de definición de una función de tres, cuatro o más variables.

Entonces, por ejemplo, para una función de tres variables, el dominio de definición es un determinado conjunto de tripletes de números ( incógnita, en, z). Observemos de inmediato que cada triple de números define un punto determinado. METRO(incógnita, en, z) en el espacio Ohhhz. En consecuencia, el dominio de definición de una función de tres variables es un determinado conjunto de puntos en el espacio.

De manera similar, podemos hablar del dominio de definición de una función de cuatro variables. tu= F(incógnita, y, z, t) como sobre alguna colección de cuádruplos de números ( incógnita, y, z, t). Sin embargo, el dominio de definición de una función de cuatro o más Las variables ya no permiten una interpretación geométrica simple.

El ejemplo 2 muestra una función de tres variables definidas para todos los valores. incógnita, en, z.

El ejemplo 4 muestra una función de cuatro variables.

Ejemplo 9. .

Aquí w– función de cuatro variables incógnita, en, z, Y, definido con valores de variables que satisfacen la relación:

Concepto de función de varias variables.

Introduzcamos el concepto de función de varias variables.

Definición 1. Deja que cada punto METRO a partir de un conjunto de puntos ( METRO) Espacio euclidiano mimetro según alguna ley, un determinado número se pone en correspondencia Y de un conjunto numérico Ud. Entonces diremos que en el set ( METRO) se da la función y =f(M). Además, los conjuntos ( METRO) Y Ud. se denominan, respectivamente, dominio de definición (asignación) y dominio de cambio de la función f(M).

Como sabes, una función de una variable. en = F(incógnita) se representa en el avión como una línea. En el caso de dos variables, el dominio de definición ( METRO norte) funciones z = f(x,y) representa un cierto conjunto de puntos en el plano de coordenadas Ohhh(Figura 8.1). Coordinar z llamado aplicar, y luego la función misma se representa como una superficie en el espacio mi3 . De manera similar, la función de t variables

definido en el conjunto ( METRO) Espacio euclidiano mimetro, representa una hipersuperficie en el espacio euclidiano mim+1.

Algunos tipos de funciones de varias variables.

Veamos ejemplos de funciones de varias variables y encontremos sus dominios de definición.

mi3 . El dominio de definición de esta función es el conjunto completo de puntos del plano. Oh. El rango de esta función es el intervalo)