Filtro Wiener discreto. Filtrado lineal óptimo de señales continuas.

Definición
Subsecuencia (βn) llamada secuencia infinitamente grande, si por alguien, arbitrariamente gran número M, existe tal cosa número natural N M dependiendo de M tal que para todo n natural > N M se cumple la siguiente desigualdad:
|βn | >M.
En este caso escriben
.
O en .
Dicen que tiende al infinito, o converge al infinito.

Si, a partir de algún número N 0 , Eso
( converge a más infinito).
si entonces
( converge a menos infinito).

Escribamos estas definiciones usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad:
(1) .
(2) .
(3) .

Las secuencias con límites (2) y (3) son casos especiales de una secuencia infinitamente grande (1). De estas definiciones se deduce que si el límite de una secuencia es igual a más o menos infinito, entonces también es igual a infinito:
.
Lo contrario, por supuesto, no es cierto. Los miembros de una secuencia pueden tener signos alternos. En este caso, el límite puede ser igual al infinito, pero sin un signo específico.

Tenga en cuenta también que si alguna propiedad se cumple para una secuencia arbitraria con un límite igual al infinito, entonces la misma propiedad se cumple para una secuencia cuyo límite es igual a más o menos infinito.

En muchos libros de texto de cálculo, la definición de secuencia infinitamente grande establece que el número M es positivo: M > 0 .

Sin embargo, este requisito es innecesario. Si se cancela, no surgen contradicciones. Lo que pasa es que los valores pequeños o negativos no nos interesan. Estamos interesados ​​en el comportamiento de la secuencia para valores positivos arbitrariamente grandes de M. > 0 Por lo tanto, si surge la necesidad, entonces M puede limitarse desde abajo por cualquier número predeterminado a, es decir, podemos suponer que M > a. Cuando definimos ε - la vecindad del punto final, entonces el requisito ε es importante. En

valores negativos

, la desigualdad no puede mantenerse en absoluto. Barrios de puntos en el infinito..

Cuando consideramos límites finitos, introdujimos el concepto de vecindad de un punto. Recuerde que una vecindad de un punto final es un intervalo abierto que contiene este punto. También podemos introducir el concepto de barrios de forma indefinida.
puntos remotos, , se llama conjunto.
Barrio del punto "más infinito", , se llama conjunto.
En las proximidades del punto "menos infinito", , se llama conjunto.

Estrictamente hablando, la vecindad del punto "infinito" es el conjunto
(4) ,
donde M 1 y m 2 - números positivos arbitrarios. Usaremos la primera definición, ya que es más sencilla. Aunque todo lo que se dice a continuación también es cierto cuando se utiliza la definición (4).

Ahora podemos dar definición única límite de una secuencia, que se aplica tanto a límites finitos como a infinitos.

Definición universal de límite de secuencia..
Un punto a (finito o en el infinito) es un límite de una secuencia si para cualquier vecindad de este punto existe un número natural N tal que todos los elementos de la secuencia con números pertenecen a esta vecindad.

Por tanto, si existe un límite, entonces fuera de la vecindad del punto a sólo puede haber un número finito de miembros de la secuencia, o un conjunto vacío. Esta condición es necesaria y suficiente. La demostración de esta propiedad es exactamente la misma que para los límites finitos.

Propiedad de vecindad de una secuencia convergente
Para que un punto a (finito o en el infinito) sea límite de la secuencia, es necesario y suficiente que fuera de cualquier vecindad de este punto haya un número finito de términos de la secuencia o un conjunto vacío.
Prueba .

También a veces se introducen los conceptos de ε - vecindades de puntos en el infinito.
Recuerde que la ε-vecindad de un punto finito a es el conjunto.
Introduzcamos la siguiente notación. Sea ε la vecindad del punto a.
.
Luego, para el punto final,
;
;
.
Para puntos en el infinito: Usando los conceptos de ε - vecindades, podemos dar otra definición universal

límite de secuencia: > 0 Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de la secuencia si para cualquier número positivo ε
.

existe un número natural N ε que depende de ε tal que para todos los números n > N ε los términos x n pertenecen a la ε-vecindad del punto a:
.

Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, esta definición se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplos de secuencias infinitamente grandes.

Primero veremos tres ejemplos simples similares y luego resolveremos uno más complejo.

.

.
Ejemplo 1
(1) .
Anotemos la definición de una secuencia infinitamente grande:
.

En nuestro caso
.
Introducimos los números y , conectándolos con desigualdades:
.
Tenga en cuenta que esta desigualdad es válida para cualquier n.
Por lo tanto, puedes elegir así:
en ;

en .
.
Entonces, para cualquiera podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad.

Entonces para todos,

Esto significa que.
.

(2) .
Es decir, la secuencia es infinitamente grande.
.

Ejemplo 2
.
.

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.
El término general de la secuencia dada tiene la forma:

.

Ingrese los números y:

Esto significa que.
.

Entonces, para cualquiera se puede encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, por lo que para todos,
(3) .
Es decir, la secuencia es infinitamente grande.
.

Ejemplo 2
.
Esto significa que.
.

Ejemplo 3
.

Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a menos infinito:
.

De esto queda claro que si y , entonces

Esto significa que.
.

Dado que para cualquiera es posible encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, entonces
.
Dado , como N podemos tomar cualquier número natural que satisfaga la siguiente desigualdad:
(2) .

Ejemplo 4 = 1, 2, 3, ... , Eso
;
;
.

Anotemos el término general de la sucesión:
.
Esto significa que.
.

Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a más infinito:
.
El término general de la secuencia dada tiene la forma:

Como n es un número natural, n
Introducimos números y M, conectándolos con desigualdades: Entonces, para cualquier número M podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
Literatura usada:

L.D. Kudryavtsev. Bien análisis matemático (∞, ε ) = {. Volumen 1. Moscú, 2003. ∈ | |CENTÍMETRO. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983. Definimos la vecindad de este punto como el exterior de círculos centrados en el origen: . Volumen 1. Moscú, 2003. Ud. z = z (. Volumen 1. Moscú, 2003. | > ε). Punto . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ es un punto singular aislado de la función analítica . Volumen 1. Moscú, 2003. w z = z (. Volumen 1. Moscú, 2003. F ), si en alguna vecindad de este punto no existen otros puntos singulares de esta función. Para determinar el tipo de este punto singular, hacemos un cambio de variable, y el punto . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ va al punto z = z (. Volumen 1. Moscú, 2003. 1 = 0, función . Volumen 1. Moscú, 2003. ) tomará la forma z = φ (. Volumen 1. Moscú, 2003. . Tipo de punto singular z = z (. Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ funciones . Volumen 1. Moscú, 2003. ) llamaremos al tipo de punto singular . Volumen 1. Moscú, 2003. 1 = 0 funciones . Volumen 1. Moscú, 2003. 1). Si la expansión de la función . Volumen 1. Moscú, 2003. ) por grados . Volumen 1. Moscú, 2003. en las proximidades de un punto . Volumen 1. Moscú, 2003. ) llamaremos al tipo de punto singular . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞, es decir con valores de módulo suficientemente grandes
, tiene la forma , entonces, reemplazando . Volumen 1. Moscú, 2003. encendido, lo recibiremos. Así, con tal cambio de variable, las partes principal y regular de la serie de Laurent cambian de lugar, y el tipo de punto singular = ∞ está determinado por el número de términos en la parte correcta del desarrollo de la función en la serie de Laurent en potencias 0);
= 0. Por lo tanto . Volumen 1. Moscú, 2003. 1. Punto = ∞ es un punto singular removible si esta expansión no contiene la parte correcta (excepto, quizás, por el término A 2. Punto · = ∞ - polo ;
norte . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ es un punto esencialmente singular si la parte regular contiene infinitos términos.

En este caso, siguen siendo válidos los criterios para los tipos de puntos singulares por valor: si . Volumen 1. Moscú, 2003.= ∞ es un punto singular removible, entonces este límite existe y es finito si . Volumen 1. Moscú, 2003.= ∞ es un polo, entonces este límite es infinito si . Volumen 1. Moscú, 2003.= ∞ es un punto esencialmente singular, entonces este límite no existe (ni finito ni infinito).

Ejemplos: 1. z (. Volumen 1. Moscú, 2003. ) = -5 + 3CENTÍMETRO. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983. 2 - . Volumen 1. Moscú, 2003. 6. La función ya es un polinomio en potencias. . Volumen 1. Moscú, 2003. , el grado más alto es el sexto, por lo tanto . Volumen 1. Moscú, 2003.
El mismo resultado se puede obtener de otra manera. reemplazaremos . Volumen 1. Moscú, 2003. encendido, entonces . Para función φ (. Volumen 1. Moscú, 2003. 1) punto . Volumen 1. Moscú, 2003. 1 = 0 es un polo de sexto orden, por lo tanto para z (. Volumen 1. Moscú, 2003. ) punto . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ - polo de sexto orden.
2. . Para esta función, obtenga una expansión de potencia. . Volumen 1. Moscú, 2003. difícil, entonces encontremos: ; el límite existe y es finito, por lo que el punto . Volumen 1. Moscú, 2003.
3. . Parte correcta de la expansión de potencia. . Volumen 1. Moscú, 2003. contiene infinitos términos, por lo que . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ es un punto esencialmente singular. De lo contrario, este hecho puede establecerse basándose en el hecho de que no existe.

Residuo de una función en un punto singular infinitamente distante.

Para el último punto singular a , Dónde γ - un circuito que no contiene otros excepto a , puntos singulares, atravesados ​​de tal manera que el área delimitada por él y que contiene el punto singular permanece a la izquierda (en sentido antihorario).

Definamos de manera similar: , donde Γ − es el contorno que limita dicha vecindad análisis matemático (∞, r ) puntos . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞, que no contiene otros puntos singulares y es transitable de modo que esta vecindad permanece a la izquierda (es decir, en el sentido de las agujas del reloj). Por lo tanto, todos los demás puntos singulares (finales) de la función deben ubicarse dentro del contorno Γ − . Cambiemos la dirección de recorrido del contorno Γ − : . Por el teorema principal de los residuos. , donde la suma se realiza sobre todos los puntos singulares finitos. Por lo tanto, finalmente

,

aquellos. el residuo en un punto singular infinitamente distante es igual a la suma de los residuos de todos los puntos singulares finitos, tomados con el signo opuesto.

Como consecuencia, hay teorema de la suma total: si función z = z (. Volumen 1. Moscú, 2003. ) es analítico en todas partes del avión CON , excepto por un número finito de puntos singulares . Volumen 1. Moscú, 2003. 1 , . Volumen 1. Moscú, 2003. 2 , . Volumen 1. Moscú, 2003. 3 , …,z k , entonces la suma de los residuos en todos los puntos singulares finitos y el residuo en el infinito es cero.

Tenga en cuenta que si . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ es un punto singular removible, entonces el residuo en él puede ser diferente de cero. Entonces, para la función, obviamente, ; . Volumen 1. Moscú, 2003. = 0 es el único punto singular finito de esta función, entonces , a pesar de que, es decir . Volumen 1. Moscú, 2003. = ∞ es un punto singular removible.