Главная › Настройки › Реферат: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования. Пусть многоугольник ABCDEFGH изображает множество допустимых решений ЗЛП с двумя переменными, а вектор N - градиент целевой функции. Симплекс–метод применяется к задаче

Реферат: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования. Пусть многоугольник ABCDEFGH изображает множество допустимых решений ЗЛП с двумя переменными, а вектор N - градиент целевой функции. Симплекс–метод применяется к задаче

ВВЕДЕНИЕ

Тема моей работы касается решения задач, возникающих в экономике. При этом встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. А на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов.

Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений), а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат.

Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов.

1. Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры называют управляющими переменными и обозначают , формируя из них вектор . Принять решение – это значит задать конкретные значения переменных.

2. Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через .

3. Описание всего множества X допустимых значений переменных – ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т.п..

Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений.

1. Геометрический метод решения задач ЛП

Этот метод часто используется при решении задач, в которых только две неизвестных величины. Разберем его на следующих примерах:

Пример 1.1 . (Задача о производстве красок).

Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: INT - для внутренних работ и EXT - для наружных работ. В производстве красок используются два исходных продукта А и В . Из-за малой площади склада максимально возможные суточные запасы этих продуктов равны 6 т. и 8 т. соответственно. На производство 1 тонны краски INT расходуется 1 тонна продукта А и 2тонны продукта В , а на изготовление 1 тонны краски EXT идет 2 тонны продукта А и 1 тонна продукта В . Фабрика продает краску по цене 3тыс. долл. за тонну краски INT и 2 тыс. долл. за тонну краски EXT . Исходные данные удобно свести в таблицу:

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT , более чем на 1 тонну. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через x 1 - планируемый суточный объем производства краски INT, а через x 2 - суточный объем производства краски EXT. Целевая функция f(x) будет выражать суточный доход от продажи краски, равный 3x 1 + 2x 2 (тыс. долл.). Этот доход подлежит максимизации

f( x)= 3 x 1 + 2 x 2 ® max.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами продуктов А и В . На производство краски INT в количестве x 1 (т) будет использовано 1x 1 (т) продукта А , а на производство краски EXT в объеме x 2 (т) будет затрачено 2x 2 (т) продукта А . Поскольку суточный запас продукта А равен 6 т., то расход продукта А на изготовление красок двух видов не может превышать в сутки этой величины: 1x 1 + 2x 2 £ 6 . Аналогично получим ограничение, связанное с запасом продукта В : 2x 1 +1x 2 £ 8 . Ограничение по соотношению спроса на краски можно описать неравенством: x 2 - x 1 £ 1 . Учитывая естественные условия неотрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую задачу линейного программирования

f(x) = 3 x 1 + 2 x 2 ® max (1.1)

1 x 1 + 2 x 2 £ 6 , (1.2)

2 x 1 + 1 x 2 £ 8 , (1.3)

- x 1 + x 2 £ 1 , (1.4)

x 1 ³ 0, x 2 ³ 0 . (1.5)

Построим множество планов задачи, описываемое ограничениями (1.2)-(1.5). Рассмотрим первое неравенство. Оно задает некоторую полуплоскость, расположенную по одну сторону от граничной прямой

p 1 : 1x 1 +2x 2 =6

Построим эту прямую на плоскости с координатными осями x 1 и x 2 . Для проведения прямой достаточно знать две ее точки. Проще всего найти точки пересечения прямой с осями координат. Полагая x 1 = 0 , из уравнения прямой получим x 2 = 3 , а при x 2 = 0 найдем x 1 = 6 . Таким образом прямая p 1 пройдет через точки (0,3) и (6,0) . Чтобы определить, по какую сторону от прямой расположена искомая полуплоскость, достаточно подставить в неравенство (1.2) координаты любой точки плоскости. Если прямая не проходит через начало координат, то удобнее всего взять точку (0, 0) . Очевидно, что в этой точке неравенство (1.2) строго выполняется (1* 0 + 2* 0 < 6) , значит полуплоскость, определяемая этим неравенством, лежит ниже прямой p 1 , включая в себя начало координат. Искомую полуплоскость отметим штриховкой (рис.1.1 ).

Аналогично построим полуплоскость, задаваемую неравенством (1.3). Для этого нанесем на координатную плоскость граничную прямую

p 2 : 2x 1 +x 2 =8 ,

найдя ее точки пересечения с осями координат: (0,8) и (4,0) .

Подставляя координаты точки (0,0) в неравенство (2.3), видим, что начало координат лежит в искомой полуплоскости (2* 0 + 1* 0 < 8) , значит все точки, удовлетворяющие неравенству (2.3), расположены левее прямой p 2 . Отметим эту область штриховкой (рис.1.1 ).

Точки, задаваемые ограничением (4 ), находятся ниже прямой

p 3 : -x 1 +x 2 =1,

проходящей через точки (0, 1) и (-1, 0) .

Наконец, условия неотрицательности: x 1 ³ 0, x 2 ³0 задают все точки первой четверти, что также отметим штриховкой.

Выделяя теперь точки плоскости, удовлетворяющие всем ограничениям задачи (1.1)-(1.5), то есть расположенные одновременно во всех заштрихованных полуплоскостях, получаем множество планов X . Оно представляет собой многоугольник (в данной задаче - пятиугольник). Его стороны лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы неравенств (1.2)-(1.5) заменой знаков неравенств на строгие равенства.

Для графического представления целевой функции введем понятие линии уровня (изолинии функции).

Определение. Линией уровня (изолинией) функции f(x) называется множество точек x = (x 1, x 2) , в которых она принимает одно и то же постоянное значение f(x) = h , где h - некоторое число. Для линейной функции двух переменных f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 линия уровня, соответствующая числу h , будет представлять прямую с уравнением

c 1 x 1 + c 2 x 2 = h (1.6)

При изменении числа h будем получать семейство линий уровня (параллельных прямых) с одним и тем же направляющим вектором c = =(c 1 , c 2) , перпендикулярным всем прямым. Известно, что вектор c = (c 1 , c 2) для линейной функции f(x) = c 1 x 1 +c 2 x 2 указывает направление ее возрастания. Геометрически это означает, что при параллельном перемещении прямой (1.6) в направлении целевого вектора c значение целевой функции возрастает.

Построим линии уровня целевой функции f(x) = 3x 1 + 2 x 2 в нашей задаче. Их уравнения будут иметь вид 3x 1 + 2 x 2 = h. Они задают семейство параллельных прямых, зависящих от параметра h . Все прямые перпендикулярны целевому вектору c = (3, 2) , составленному из коэффициентов целевой функции, поэтому для построения семейства линий уровня целевой функции достаточно построить ее целевой вектор, и провести несколько прямых, перпендикулярных этому вектору. Линии уровня будем проводить на множестве планов X , помня при этом, что при параллельном перемещении прямых в направлении целевого вектора c = (3, 2) значение функции f(x)= 3x 1 + 2x 2 будет возрастать. Поскольку в задаче оптимальный план должен доставлять целевой функции максимально возможное значение, то для решения задачи графически надо среди всех точек x = (x 1, x 2) множества планов X найти такую точку x* = (x 1 * , x 2 *) , через которую пройдет последняя линия уровня в направлении целевого вектора c = (3,2) . Из рисунка 1.2 видно, что искомой точкой будет точка, лежащая в вершине множества X , образованной пересечением прямых p 1 и p 2 . Решая систему уравнений, описывающих эти прямые найдем оптимальный план x 1 * = 3 1 / 3 , x 2 * = 1 1 / 3 . При этом максимальное значение целевой функции будет равно f(x*) = 12 2 / 3 . Таким образом, ежесуточно фабрика должна производить 3 1 / 3 тонн краски INT и 1 1 / 3 тонн краски EXT , получая при этом доход 12 2 / 3 тыс. долларов.

x 1 + 2 x 2 = 6,

2 x 1 + x 2 = 8,

Пример 1.2. Лечебное предприятие закупает два вида мультивитаминных комплексов «Здоровье» и «Долголетие» с содержанием витаминов трех видов. Количество единиц этих витаминов в одном грамме мультикомплексов, необходимая их норма при профилактическом приеме и стоимость одного грамма комплексов «Здоровье» и «Долголетие» отражены в таблице

Сколько граммов мультивитаминных комплексов каждого вида требуется на один профилактический прием, чтобы были получены все витамины не меньше требуемой нормы, и при этом их суммарная стоимость была минимальной.

Составим математическую модель задачи. Для этого введем переменные: x 1 – количество комплекса «Здоровье» (гр.) , x 2 – количество комплекса «Долголетие» (гр.) , необходимое для профилактического приема. Целевая функция выражает суммарную стоимость витаминных комплексов, которая должна быть минимально возможной

f( x)= 5 x 1 + 4 x 2 ® min (1.7)

Ограничения, описывающие выполнение норм по витаминам, имеют вид:

По витамину V 1 : 3x 1 + x 2 ³9 , (1.8)

По витамину V 2 : x 1 + 2x 2 ³ 8, (1.9)

По витамину V 3 : x 1 + 6x 2 ³12 . (1.10)

При этом переменные должны быть неотрицательны: x j ³0, j = 1, 2.

Снова начнем решение с построения множества планов X , для чего проведем граничные прямые, уравнения которых получаются при замене в ограничениях знаков неравенств на равенства

p 1 : 3 x 1 + x 2 = 9,

p 2 : x 1 + 2 x 2 = 8,

p 3 : x 1 + 6 x 2 = 12.

Подставляя координаты точки (0,0) в неравенства (1.8)-(1.10) видим, что начало координат им не удовлетворяет и, следовательно, не входит в множество планов Х . Поэтому штриховки направлены выше и правее граничных прямых. Выделяя точки, удовлетворяющие всем неравенствам и условиям неотрицательности, получаем множество планов, изображенное на рис. 1.2. В данном примере оно не ограничено.

Изобразим целевую функцию (1.7) с помощью линий уровня. Для этого достаточно построить целевой вектор c = (5, 4) и перпендикулярно ему провести несколько прямых на множестве Х. Поскольку целевой вектор указывает направление возрастания целевой функции, а в задаче о рационе требуется найти ее минимум, то для нахождения оптимального решения будем перемещать линию уровня параллельно самой себе по множеству Х в направлении, противоположном целевому вектору.

Последней точкой множества планов, через которую еще проходит линия уровня будет точка пересечения прямых p 1 и p 2 . Решая систему уранений (рис. 1.3).

3 x 1 + x 2 = 9

x 1 + 2 x 2 = 8

получим оптимальный план x 1 * = 2, x 2 * = 3. Минимальное значение целевой функции при этом будет равно

f(x*) = 5∙2 + 4∙3 = 22.

Следовательно, самый дешевый набор для профилактического приема состоит из 2 гр . комплекса А и 3 гр . комплекса В , и его стоимость равна 22 руб.

Теперь несложно сформулировать геометрический способ решения стандартных задач ЛП с двумя переменными:

· изображается допустимый многоугольник – пересечение полуплоскостей, являющихся решениями соответствующих неравенств;

· изображается целевой вектор ;

· через допустимое множество проводится перпендикуляр к целевому вектору – это линия уровня целевой функции;

· путем перемещения линии уровня параллельно самой себе в направлении целевого вектора до тех пор, пока не окажется по одну сторону от перемещаемой прямой, визуально определяется точка (или точки) максимума;

· вычисляются координаты точки максимума (решением соответствующей системы уравнений, задающих прямые, точка пересечения которых и есть искомая точка) и максимальное значение целевой функции.

Замечание. Для определения точки минимума следует перемещать изолинию против направления целевого вектора.

В разобранных примерах оптимальный план находился в единственной вершине многоугольника допустимых планов. Однако при решении задач ЛП могут встретиться и другие случаи.

Бесконечное множество оптимальных планов. На рис.1.4 целевая функция принимает одно и то же максимальное значение в любой точке отрезка AB , соединяющего две вершины множества планов Х . Такая ситуация возникает, если линии уровня параллельны граничной прямой.

Отсутствие ограниченного решения . На рис.1.5 изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве планов и решение задачи на максимум не существует. При этом решение задачи на минимум может существовать, (как в задаче о витаминах).

Отсутствие допустимых планов. На рис.1.6 области, допустимые по каждому из ограничений, не имеют общих точек. В этом случае говорят, что ограничения несовместны, множество планов пусто и задача ЛП решения не имеет.

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.6

2. Симплекс-метод

2.1 Идея симплекс-метода

Рассмотрим универсальный метод решения канонической задачи линейного программирования

, , ,

с n переменными и m ограничениями-равенствами, известный как симплекс-метод.

Множество планов канонической задачи – выпуклое многогранное множество, имеющее конечное число угловых точек. И если эта задача имеет оптимальное решение, то оно достигается хотя бы в одной угловой точке.

С любой угловой точкой связан базисный план задачи, в котором переменных равны нулю, а оставшимся переменным соответствуют линейно независимые столбцы матрицы условий . Эти линейно независимые столбцы образуют невырожденную базисную матрицу .

Перебор всех угловых точек сопряжен с большими вычислительными затратами и поэтому не эффективен. В 1947 году Дж. Данциг предложил упорядоченную процедуру перебора угловых точек, при которой для нахождения оптимального решения достаточно исследовать лишь небольшую их часть. Эта процедура называется симплекс-методом .

Дж. Данциг предложил при переходе от одной крайней точки к другой заменять в базисной матрице всего один вектор. Это означает, что при таком переходе мы должны одну из базисных переменных исключить – сделать ее небазисной (равной нулю), а на ее место ввести новую переменную из числа небазисных (нулевых) – сделать ее базисной (положительной).

Оказывается, геометрически такая замена приводит к переходу от одной угловой точки к смежной (соседней), связанной с предыдущей точкой общим ребром.

Из всех соседних точек выбирается та, в которой целевая функция возрастает более всего. Поскольку число угловых точек конечно, через конечное число переходов будет найдена вершина с наибольшим значением целевой функции, либо будет установлена неограниченность целевой функции на неограниченном множестве планов.

Общая схема симплекс-метода состоит из следующих основных шагов.

· шаг 0 . Определение начального базиса и соответствующей ему начальной угловой точки (базисного плана) .

· шаг 1 . Проверка текущего базисного плана на оптимальность. Если критерий оптимальности выполнен,топлан оптимален и решение закончено. Иначе переход на шаг 2.

· шаг 2 . Нахождение переменной, вводимой в состав базисных. (Из условия увеличения целевой функции).

· шаг 3 . Нахождение переменной, исключаемой из состава базисных переменных (Из условия сохранения ограничений задачи).

· шаг 4 . Нахождение координат нового базисного плана (смежной угловой точки). Переход на шаг 1.

Повторяющиеся шаги 1–4 образуют одну итерацию симплекс-метода.

Из этой схемы следует, что во-первых, для начала работы симплекс-метода надо иметь какую-то угловую точку – начальный базисный план, а во-вторых, надо уметь исследовать текущую угловую точку на оптимальность, не вычисляя всех смежных вершин. Эти проблемы легко решаются, если каноническая задача ЛП имеет некий специальный вид.

Определение . Будем говорить, что каноническая задача ЛП имеет "предпочтительный вид", если

1. правые части уравнений , .

2. матрица условий содержит единичную подматрицу размера

Другими словами, в любом уравнении есть переменная с коэффициентом равным единице, отсутствующая в остальных уравнениях. Первое условие не является обременительным, так как в случае отрицательной правой части некоторого уравнения, достаточно умножить его на (–1). В задаче предпочтительного вида начальный базисный план находится очень просто.

Пример 2.1.

Матрица условий A и вектор правых частей ограничений b имеют вид

, ,

а целевой вектор с = (1, -3, 0, 4, 2).

Сразу очевидна одна базисная матрица: с единичными векторами условий.

Следовательно, выбирая в качестве базисных переменных x 1 , x 3 ,x 5 , и полагая в системе уравнений x 2 = x 4 = 0 (небазисные переменные), немедленно находим x 1 = 10,x 3 = 20,x 5 = 8, так что начальный базисный план x 0 = (10, 0, 20, 0, 8).Видим, что значения базисных переменных равны правым частям ограничений. Из этого понятно требование положительности правых частей b i .

В дальнейшем, базисные переменные будем объединять в вектор x Б.

Таким образом, в канонической задаче предпочтительного вида в качестве начальной базисной матрицы берется единичная подматрица A Б = E , а соответствующие ей базисные переменные равны правым частям ограничений:

x Б = b .

Для базисного плана такого вида может быть сформулирован достаточно простой для проверки критерий оптимальности. Введем величины

∆ j = < с Б, A j > – c j , j = 1,...,n, (2.1)

где с Б – вектор из коэффициентов целевой функции при базисных переменных x Б , A j – j- йстолбец матрицы условий, c j – j- й коэффициент целевой функции. Разности ∆ j называются симплексными разностями или симплексными оценками.

Критерий оптимальности базисного плана . Если для базисного плана с единичной базисной матрицей все симплексные оценки неотрицательны, то этот план оптимален.

Применим данный критерий для проверки на оптимальность базисного плана x 0 = (10, 0, 20, 0, 8) из примера 2.1.

Так как в этом плане вектор базисных переменных x Б =(x 1 , x 3 ,x 5 ), то с Б = (c 1 , c 3 ,c 5 ) = (1, 0, 2).

Следовательно,

∆ 1 = < с Б, A 1 > – c 1 =1∙1 + 0∙0 + 2∙0 – 1= 0,

∆ 2 = < с Б, A 2 > – c 2 =1∙3 + 0∙1 + 2∙2 – (-3) = 10,

∆ 3 = < с Б, A 3 > – c 3 =1∙0 + 0∙1 + 2∙0 – 0= 0,

∆ 4 = < с Б, A 4 > – c 4 =1∙(-1) + 0∙5 + 2∙1 – 4= -3,

∆ 5 = < с Б, A 5 > – c 5 =1∙0 + 0∙0 + 2∙1 – 2= 0.

Так как оценка ∆ 4 < 0, то базисный план x 0 не оптимален. Заметим, что симплексные оценки, соответствующие базисным переменным, всегда равны нулю, так что достаточно проверять только небазисные оценки.

2.2 Реализация симплекс-метода на примере

Продемонстрируем применение симплекс-метода на примере. Рассмотрим каноническую задачу ЛП

f(x) = x 1 + 2x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 →max	(2.2)
–x 1 + 2x 2 + x 3 = 4,	(2.3)
3 x 1 + 2x 2 + x 4 = 12,	(2.4)
x j ≥ 0, j = 1,2,3,4.	(2.5)

Матрица условий A = (A 1 , A 2 , A 3 , A 4), где

Целевой вектор c =(c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ) = (1, 2, 0, 0); вектор правых частей b =(b 1 , b 2) = (4, 12).

Шаг 0. Нахождение начальной угловой точки (базисного плана).

Задача имеет предпочтительный вид, так как правые части уравнений положительны, а столбцы матрицы условий A 3, A 4 образуют единичную подматрицу. Значит начальная базисная матрица = (A 3 , A 4); x 3 иx 4 – базисные переменные,x 1 иx 2 - небазисные переменные, c Б = (c 3, c 4) = = (0, 0).

Начальный базисный план имеет вид x 0 = (0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12); f( x o )= 0.

Шаг 1. Проверка базисного плана на оптимальность.

Подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных по формуле (5.1)

 1 = < c Б, A 1 > – c 1 = 0 ·(–1) + 0 ·3 – 1 = –1.

 2 = < c Б, A 2 > – c 2 = 0 ·2 + 0 · 2 – 2 = –2.

Так как оценки отрицательны, то план x – не оптимален. Будем искать новый базисный план (смежную угловую точку) с большим значением целевой функции.

Шаг 2 . Нахождение переменной вводимой в базис.

Целевую функцию можно увеличить, если ввести в состав базисных переменных (сделать положительной) одну из небазисных переменных x 1 илиx 2 , поскольку обе оценки  j < 0. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x 2.

Шаг 3. Определение переменной выводимой из базиса.

После ввода в базис переменной x 2 новый план будет иметь вид

x" = (0, x 2, x 3 , x 4).

Этот план не является базисным, так как он содержит только одну нулевую координату, значит надо сделать нулевой (исключить из базиса) одну из переменных x 3 или x 4 . Подставим координаты плана x" = (0, x 2, x 3 , x 4) в ограничения задачи. Получим

2x 2 + x 3 = 4,

2x 2 + x 4 = 12.

Выразим отсюда базисные переменные x 3 и x 4 через переменную x 2 , вводимую в базис.

Чем больше значение x 2 , тем больше возрастает целевая функция. Найдем максимальное значение новой базисной переменной, не нарушающее ограничения задачи, то есть удовлетворяющее условиям (2.8), (2.9).

Перепишем последние неравенства в виде

2x 2 ≤ 4,

2x 2 ≤ 12,

откуда максимальное значение x 2 = min { 4/2, 12/2 } = 2. Подставляя это значение в выражения (2.6), (2.7) для x 3 и x 4 ,получаем x 3 = 0.Следовательно x 3 выводится из базиса.

Шаг 4. Определение координат нового базисного плана.

Новый базисный план (смежная угловая точка) имеет вид

x" = (0, x 2, 0, x 4)

Базис этой точки состоит из столбцов A 2 и A 4 , так что = (A 2, A 4). Этот базис не является единичным, так как вектор A 2 = (2,2),и следовательно задача (2.2)–(2.5) не имеет предпочтительного вида относительно нового базиса. Преобразуем условия задачи (2.3), (2.4) таким образом, чтобы она приняла предпочтительный вид относительно новых базисных переменных x 2, x 4, то есть чтобы переменная x 2 входила в первое уравнение с коэффициентом, равным единице, и не присутствовала во втором уравнении. Перепишем уравнения задачи

– x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4, (p 1)

3x 1 +2 x 2 + x 4 = 12. (p 2)

Поделим первое уравнение на коэффициент при x 2 .Получим новое уравнение = p 1 / 2, эквивалентное исходному

– 1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2. ( )

Используем это уравнение, которое назовем разрешающим, для исключения переменной x 2 из второго уравнения. Для этого надо уравнение умножить на 2 и вычесть из p 2 . Получим = p 2 – 2 = p 2 – p 1:

4 x 1 – x 3 + x 4 = 8. ( )

В итоге получили новое "предпочтительное" представление исходной задачи относительно новых базисных переменных x 2 , x 4:

f (x ) = x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4  max

– 1/2 x 1 + x 2 + 1/2 x 3 = 2 ( )

4 x 1 – x 3 + x 4 = 8 ( )

x j 0, j = 1,2,3,4

Подставляя сюда представление нового базисного плана x 1 = (0, x 2, 0, x 4), сразу найдем его координаты, так как значения базисных переменных равны правым частям уравнений

x" = (0, 2, 0, 8); f (x 1)=4.

На этом завершается первая итерация простого симплекс-метода. Далее процесс решения задачи продолжается с шага 1, состоящем в проверке найденного плана на оптимальность. Решение заканчивается тогда, когда все симплексные оценки текущего базисного плана окажутся неотрицательными.

Мы не будем проводить вторую итерацию по схеме первой, поскольку все вычисления симплекс-метода удобнее проводить в табличном виде.

2.3 Табличная реализация простого симплекс-метода

Табличную реализацию продемонстрируем на том же примере (2.2)–(2.5).

Шаг 0 . Решение начинается с построения начальной симплекс-таблицы. Сначала заполняется правая часть таблицы с третьей колонки. В двух верхних строках записываются имена переменных задачи (x 1, ...,x 4) и коэффициенты целевой функции при этих переменных. Ниже записываются коэффициенты уравнений – элементы матрицы условий А , так что под переменной x 1 располагаетсястолбец A 1 , под переменной x 2 – столбец A 2 и т.д. В правый столбец заносятся правые части ограничений (числа b i > 0).

Затем находим столбцы матрицы условий, образующие единичный базис – в нашем примере это A 3 и A 4 и соответствующие им базисные переменные x 3, x 4 записываем во вторую колонку. Наконец, в первом столбце записываем коэффициенты целевой функции при базисных переменных.

Таблица 1 - Начальная симплекс-таблица

С Б	Базисные переменные	с 1 =1	с 2 =2	с 3 =0	с 4 =0	Значения базисных перем. (x Б = b )
С Б	Базисные переменные	*x 1*	*x 2*	*x 3*	*x 4*	Значения базисных перем. (x Б = b )
c 3 =0	*x 3*	a 11 =-1	a 12 =2	a 13 =1	a 14 =0	b 1 =4
c 4 =0	*x 4*	a 21 =3	a 22 =2	a 23 =0	a 24 =1	b 2 =12
Строка оценок  j		 1 = -1	 2 = -2	 3 = 0	 4 = 0	f(x)= 0

Так как задача имеет предпочтительный вид, то значения базисных переменных равны правым частям уравнений, расположенным в последнем столбце. Поскольку небазисные переменные равны нулю, то начальный базисный план равен

x o = (0, 0, x 3 , x 4) = (0, 0, 4, 12).

Шаг 1. Для проверки плана x o на оптимальность подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных x 1 и x 2 по формуле

 j =< c Б , A j > – c j .

 1 = < c Б , A 1 > – c 1 = 0 ·(–1) + 0 ·3 – 1 = –1.

При табличной реализации для подсчета оценки  1 надо найти сумму произведений элементов первого столбца (c Б) на соответствующие элементы столбца A 1 при небазисной переменной x 1 . Аналогично подсчитывается оценка  2 , как скалярное произведение первого столбца (c Б) на столбец при переменной x 2 .

 2 = < c Б, A 2 > – c 2 = 0 ·2 + 0 · 2 – 2 = –2.

Симплексные оценки записываются в последней строке симплекс-таблицы, которая называется дельта-строкой. При этом заполняются не только клетки при небазисных переменных, но и базисные клетки. Легко проверить, что для базисных единичных столбцов матрицы условий симплексные оценки равны нулю. В последней клетке строки оценок записываем значение целевой функции в точке x o . Заметим, что, так как небазисные координаты базисного плана равны нулю, то подсчет целевой функции удобно производить по формуле

f (x )= < c Б , x Б >,

перемножая скалярно первый и последний столбцы таблицы.

Так как среди оценок  j естьотрицательные, то план x o – не оптимальный, и надо найти новый базисный план, заменив одну из базисных переменных на новую из числа небазисных.

Шаг 2. Поскольку обе оценки  1 и  2 < 0,то в базис можно включить любую из переменных x 1, x 2 . Введем в базис переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть x 2 .

Столбец симплекс-таблицы, в котором находится вводимая в базис переменная называется ведущим столбцом .

В примере ведущим будет столбец при x 2 .

Шаг 3. Если в ведущем столбце все элементы отрицательны, то решения задачи не существует и max f (x ) . В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение x 2 , при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. Напомним, что максимальное значение x 2 = min{4/2, 12/2}=2.

По таблице это значение вычисляется как наименьшее из отношений компонент базисного плана (из последнего столбца) к соответствующим положительным элементам ведущего столбца.

Наименьшее отношение находится в строке с базисной переменной x 3. Значит переменная x 3 исключается из состава базисных переменных (x 3 = 0).

Строка, содержащая переменную, исключаемую из базиса, называется ведущей строкой.

В примере ведущей строкой будет первая строка.

Элемент, находящийся на пересечение ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.

В нашем случае ведущий элемент a 12 = 2.

Табл. 2 - Начальная симплекс-таблица с ведущими строкой и столбцом

c Б	Базисные перемен.	с 1 =1	с 2 =2	с 3 =0	С 4 =0	Значения базисных перем.	Уравнения
c Б	Базисные перемен.	x 1	*x 2*	x 3	x 4	Значения базисных перем.	Уравнения
*c 3 =0*	x 3	–1	2	1	0	4	p 1
c 4 =0	x 4	3	2	0	1	12	p 2
Строка оценок  j		 1 = –1	 2 = –2	 3 = 0	 4 = 0	f(x)= 0

Шаг 4 . Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных.

Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x 3 запишем новую базисную переменную x 2 , а в первом столбце (с Б ) вместо с 3 запишем коэффициент целевой функции при x 2 : c 2 =2 . В новой симплекс таблице столбец при x 2 долженстать единичным (ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль). Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы.

a. Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы.

Полученную строку p 1 " назовем разрешающей.

b. К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль.

p 2 "= p 2 + (- 2) p 1 "= p 2 - p 1.

c. Заполним последнюю строку, вычислив оценки  j " = < c Б ", A j " > - - c j ,где c Б ", A j " - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы, и значение целевой функции f(x)= < c Б ", x Б " >.

Получим вторую симплекс-таблицу с новым базисом.

Таблица 3 - Результат первой итерации

c Б "	Базисные перемен.	с 1 =1	с 2 =2	с 3 =0	с 4 =0	Значения базисных перем.	Уравнения
c Б "	Базисные перемен.	x 1	x 2	x 3	x 4	Значения базисных перем.	Уравнения
c 2 =2	x 2	*–1/2*	1	1/2	0	2	p 1 " =p 1 /2
c 4 =0	*x 4*	4	0	-1	1	8	p 2 " =p 2 - p 1
оценки  j "		–2	0	1	0	f(x")=4

Новый базисный план x " = (0, x 2 , 0, x 4) = (0, 2, 0, 8 ).

Поскольку оценка  1 = -2 < 0, то план x " не оптимален. Для перехода к новому базисному плану (соседней угловой точки) проведем еще одну итерацию симплекс - метода.

Так как  1 < 0, то в базис вводится переменная x 1 . Первый столбец, содержащий x 1 - ведущий.

Находим отношения компонент базисного плана к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и в качестве ведущей строки берем строку с наименьшим отношением. В таблице 2 в ведущем столбце только второй элемент больше нуля (= 4), следовательно, вторая строка будет ведущей , а расположенная в ней базисная переменная x 4 подлежит исключению из базиса .

Выделяем ведущий столбец и ведущую строку и на их пересечении находим ведущий элемент (= 4) .

Строим новую (третью) симплекс-таблицу, заменяя в ней базисную переменную x 4 на x 1 , и снова преобразуя строки таблицы таким образом, чтобы ведущий элемент стал равным единице, а остальные элементы ведущего столбца обратились в ноль. Для этого ведущую (вторую) строку делим на 4, а к первой строке прибавляем полученную вторую строку, деленную на 2. Последнюю строку вычисляем по формулам для симплексных оценок  j "" = < c Б "", A j "" > - c j ,где c Б "", A j "" - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы. Значение целевой функции на новом базисном плане находим по формуле f(x "")= < c Б "", x Б "" >.

Таблица 4 - Результат второй итерации

c Б ""	Базисн. перемен.	с 1 =1	с 2 =2	с 3 =0	с 4 =0	Значения базисных перем.	уравнения
c Б ""	Базисн. перемен.	x 1	x 2	x 3	x 4	Значения базисных перем.	уравнения
c 2 =2	x 2	0	1	3/8	1/8	3	p 1 ""= p 1 "+p 2 ""/2
c 1 =1	x 1	1	0	-1/4	1/4	2	p 2 "" = p 2 "/4
оценки  j ""		0	0	1/2	1/2	f(x "")= 8

Новый базисный план x "" = (x 1 , x 2 , 0, 0) = (2, 3, 0, 0 ). Поскольку все оценки неотрицательны, то план x "" - оптимальный план.

Таким образом, x* = (2, 3, 0, 0 ), f(x*) = 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные способы решения задач линейного программирования широко используются на практике. Однако следует отметить, что математическая модель всегда беднее реальной экономической системы. Она описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из которых призван отразить какую-то одну определённую сторону экономической действительности с тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая лучше всего к ней подходит.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ашманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

3. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа, 1967.

4. Нит И.В. Линейное программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

5. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. – М.: Физматиз, 1963.

6. Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. – Иркутск: изд-во БГУЭП, 2003.

7. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1993. – 336 с.

8. www.yandex.ru

9. www.mathematica.ru

Лекция 3. Симплексные таблицы. Алгоритм симплексного метода.

§ 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

3.1. Общая идея симплекс–метода. Геометрическая интерпретация

Графический способ применим к весьма узкому классу задач линейного программирования: эффективно им можно решать задачи, содержащие не более двух переменных. Были рассмотрены основные теоремы линейного программирования, из которых следует, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Был указан путь решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвычайно велико.

Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции, т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было "лучше" (или, по крайней мере, "не хуже"), чем предыдущее, по значениям линейной функции (увеличение ее при отыскании максимума , уменьшение– при отыскании минимума
). Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыскании оптимума. Поясним это на графическом примере.

Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDE . Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать пять допустимых базисных решений, соответствующих пяти угловым точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. Вместо пяти перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию.

Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплексного метода или метода последовательного улучшения плана.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение по отношению к цели задачи; до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л.В. Канторовичем.

Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и вручную.

Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента:

способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

критерий проверки оптимальности найденного решения.

Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.

В литературе достаточно подробно описываются: нахождение начального опорного плана (первоначального допустимого базисного решения), тоже – методом искусственного базиса, нахождение оптимального опорного плана, решение задач с помощью симплексных таблиц.

3.2. Алгоритм симплекс–метода.

Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-методом и изложим ее применительно к задаче максимизации.

1. По условию задачи составляется ее математическая модель.

2. Составленная модель преобразовывается к канонической форме. При этом может выделиться базис с начальным опорным планом.

3. Каноническая модель задачи записывается в форме симплекс-таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицательными. Если начальный опорный план выделен, то переходят к пункту 5.

Симплекс таблица: вписывается система ограничительных уравнений и целевая функция в виде выражений, разрешенных относительно начального базиса. Строку, в которую вписаны коэффициенты целевой функции
, называют
–строкой или строкой целевой функции.

4. Находят начальный опорный план, производя симплексные преобразования с положительными разрешающими элементами, отвечающими минимальным симплексным отношениям, и не принимая во внимание знаки элементов
–строки. Если в ходе преобразований встретится 0-строка, все элементы которой, кроме свободного члена, нули, то система ограничительных уравнений задачи несовместна. Если же встретится 0-строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то система ограничительных уравнений не имеет неотрицательных решений.

Приведение системы (2.55), (2.56) к новому базису будем называть симплексным преобразованием . Если симплексное преобразование рассматривать как формальную алгебраическую операцию, то можно заметить, что в результате этой операции происходит перераспределение ролей между двумя переменными, входящими в некоторую систему линейных функций: одна переменная из зависимых переходит в независимые, а другая наоборот – из независимых в зависимые. Такая операция известна в алгебре под названием шага жорданова исключения.

5. Найденный начальный опорный план исследуется на оптимальность:

а) если в
–строке нет отрицательных элементов (не считая свободного члена), то план оптимален. Если при этом нет и нулевых, то оптимальный план единственный; если же есть хотя бы один нулевой, то оптимальных планов бесконечное множество;

б) если в
–строке есть хотя бы один отрицательный элемент, которому соответствует столбец неположительных элементов, то
;

в) если в
–строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в его столбце есть хотя бы один положительный, то можно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному. Для этого указанный столбец надо назначить разрешающим, по минимальному симплексному отношению найти разрешающую строку и выполнить симплексное преобразование. Полученный опорный план вновь исследовать на оптимальность. Описанный процесс повторяется до получения оптимального плана либо до установления неразрешимости задачи.

Столбец коэффициентов при переменной, включаемой в базис, называют разрешающим. Таким образом, выбирая переменную, вводимую в базис (или выбирая разрешающий столбец) по отрицательному элементу
–строки, мы обеспечиваем возрастание функции
.

Немного сложней определяется переменная, подлежащая исключению из базиса. Для этого составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (такие отношения называют симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет строку (разрешающую), содержащую исключаемую переменную. Выбор переменной, исключаемой из базиса (или выбор разрешающей строки), по минимальному симплексному отношению гарантирует, как уже установлено, положительность базисных компонент в новом опорном плане.

В пункте 3 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование не обязательно, но если оно выполнено, то все последующие симплексные преобразования производятся только с положительными разрешающими элементами, что удобно при расчетах. Если в столбце свободных членов есть отрицательные числа, то разрешающий элемент выбирают следующим образом:

1) просматривают строку, отвечающую какому-либо отрицательному свободному члену, например –строку, и выбирают в ней какой-либо отрицательный элемент, а соответствующий ему столбец принимают за разрешающий (предполагаем, что ограничения задачи совместны);

2) составляют отношения элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца, имеющим одинаковые знаки (симплексные отношения);

3) из симплексных отношений выбирают наименьшее. Оно и определит разрешающую строку. Пусть ею будет, например, р –строка;

4) на пересечении разрешающих столбца и строки находят разрешающий элемент. Если разрешающим оказался элемент –строки, то после симплексного преобразования свободный член этой строки станет положительным. В противном случае на следующем шаге вновь обращаются к–строке. Если задача разрешима, то через некоторое число шагов в столбце свободных членов не останется отрицательных элементов.

Если в форму ЗЛП облечена некоторая реальная производственная ситуация, то дополнительные переменные, которые приходится вводить в модель в процессе преобразования ее к канонической форме, всегда имеют определенный экономический смысл.

Идея симплекс– метода

Симплекс– метод

В предыдущем разделе было показано, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то одним из оптимальных решений является допустимое базисное решение ее системы ограничений, которое соответствует некоторой угловой точке многогранника допустимых решений системы. Было показано, как с помощью конечного перебора базисных решений системы ограничений задачи, найти это оптимальное решение. Однако с ростом размерности n системы ограничений задачи объем вычислений решения задачи методом полного перебора базисных решений растет экспоненциально и становится непригодным на практике. Можно организовать перебор только допустимых базисных решений и число перебираемых решений резко сократить, если каждое следующее допустимое базисное решение выбирать так, чтобы соответствующее значение целевой функции улучшалось или хотя бы не ухудшалось. Такой подход позволяет сократить число шагов при отыскании оптимального базисного решения. Эту идею поясним графически.

Пусть многоугольник ABCDEFGH изображает множество допустимых решений ЗЛП с двумя переменными, а вектор – градиент целевой функции.

Нужно найти точку этого многоугольника, в которой целевая функция принимает наименьшее значение. Пусть определено начальное допустимое базисное решение задачи, соответствующее угловой точке B. При полном переборе всех допустимых базисных решений придется исследовать восемь таких решений, соответствующих восьми угловым точкам многоугольника. Однако из рисунка видно, что, учитывая направление градиента , выгоднее перейти к соседней вершине C, затем к соседней вершине D, которой соответствует оптимальное базисное решение задачи. Таким образом, вместо восьми решений придется перебрать только три допустимых базисных решения.

Идея последовательного улучшения решения и положена в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплекс–метода.

Геометрический смысл симплекс–метода состоит в том, что выполняется последовательный переход от одной вершины многогранника допустимых решений задачи к соседней, в которой целевая функция принимает значение не худшее, чем в предыдущей вершине. Этот переход продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или не будет обнаружено, что задача его не имеет.

Впервые симплекс–метод и его название были предложены американским математиком Джоном Данцигом в 1947 году, хотя идеи метода были опубликованы российским математиком Л.В. Канторовичем еще в 1939 году в статье «Математические методы организации и планирования производства».

Симплекс–метод состоит из трех основных элементов.

Симплекс-метод заключается в нахождении и тестировании вершины (угла), являющейся решением задачи ЛП . На каждом этапе метод выделяет вершину и соответствующие ей переменные, которые обеспечивают движение к минимуму (максимуму) с наибольшей скоростью. Выбранная переменная заменяет другую, наиболее ограничивающую. Симплекс-метод позволяет также определить, существует ли решение. Реализующий симплекс-метод алгоритм можно записать в виде:

Шаг 1. Определяется некоторая вершина в ОДР, соответствующая базисным допустимым решениям (переменным), найденным путем выделения из матрицы т - линейно независимых столбцов и приравнивания нулю всех других переменных, соответствующих другим столбцам матрицы.

Шаг 2. Выбирается из всех возможных оставшихся п - т ребер, соответствующих небазисным переменным, ребро (переменная), которое приводит при движении по нему к наискорейшему уменьшению целевой функции.

Шаг 3. Осуществляется как бы движение от начальной вершины вдоль выбранного ребра к другой вершине, которая дает новое решение, имеющее меньшее значение ЦФ. Новая вершина образуется путем замены базисной переменной (ребра) на новую базисную переменную (ребро).

Столбцы и элементы векторов обычно упорядочиваются и записываются в виде симплекс-таблицы, образование которой будет показано ниже.

Симплекс-метод решает задачу Л П в стандартной форме.

Минимизировать (максимизировать) функцию при условиях х > 0; Ах = Ь.

Матрица А действительная, имеет размерность т х «и ранг т.

Сформулированную задачу ЛП можно также записать в виде

Исходя из записи задачи ЛП в виде (8Л) можно сказать, что расширенная матрица

размерности (т + 1) (п + 2) соответствует решениям[х/] т.

Представим матрицу А в виде совокупности столбцов

Так как матрица А имеет ранг т, то найдутся т линейно независимых столбцов матрицы А, например {а У1 ,...,а У/и Рассмотрим вектор х° > 0, такой, что все его п - т элементов равны 0 и Ах° = Ь. Пусть это будут элементы с номерами... , i n _ m . Предположим также, что место расположения aw линейно независимых столбцов матрицы А соответствует месту расположения ненулевых элементов векторах 0 . Геометрически, согласно утверждению 3 § 7.6, это означает, что х° является вершиной (углом) ОДР и, кроме того, удовлетворяет заданным условиям. Такое решение называется допустимым базисным решением. Углы допустимого множества являются допустимыми базисными решениями.

Напомним, что множество базисных решений содержит всю информацию, необходимую для оптимального решения задачи ЛП. Для рассмотренного в § 7.6 двумерного случая базисными решениями являются все 6 точек, а допустимыми базисными решениями являются точки Л, В, Си 0.

Таким образом, любой аналогичный х° вектор х можно записать как

где х в - вектор, элементы которого сответствуют линейно независимым столбцам матрицы A; x F - вектор с нулевыми элементами.

Аналогично определим векторы

Переменные, являющиеся элементами вектора х в, называются базисными переменными, а переменные, являющиеся элементами вектора x F , называются свободными (небазисными) переменными.

Так как x° F =0, то значение целевой функции для начального вектора х° будет равно

где/° - значение /в точке х°.

Решение (8.1) вида [х°/°] т при х > 0 называется очевидным {явным) решением. Таким образом, если приравнять нулю небазисные переменные, получается очевидное решение.

Для удобства переставим т линейно независимых столбцов матрицы А в левую часть и запишем матрицу в виде

Здесь матрица В соответствует т линейно независимым столбцам имеет размерность тх т и ранг т, а матрица F

является тх (п - т) матрицей. Так как матрица В состоит из линейно независимых столбцов, то она имеет обратную В -1 и detB ф 0. Отметим, что для образования матрицы В можно выбрать любые т линейно независимых столбцов матрицы А.

Представим задачу (8.1) с учетом введенных обозначений

Данному представлению соответствует расширенная матрица Предположим, что

откуда следует

Если вектор х в будет решением системы Вх й =Ь, то он будет базисным решением. Если выполняется неравенство в = В -1 Ь > О, тогда х в будет допустимым решением.

Таким образом, текущее решение удовлетворяет следующему уравнению:

Рассмотрим матрицу (8.4). Базисные переменные будут представлены в явном виде, если заменить матрицу В единичной матрицей I. Умножив первую строку матрицы (8.4) слева на В~ 1 , получим

где В _1 Ь > О, т.е. т верхних элементов в правом столбце неотрицательны и представляют собой текущее значение переменных.

В левой стороне верхней строки получилась единичная матрица: В -1 В = I. Данное представление очень удобно, так как при умножении на вектор х в каждая переменная будет находиться в отдельной строке.

Таким образом, базисное решение, которое будем считать допустимым и соответствующим базису В, есть х т = [х в 0], где х в = = В _1 Ь. Базисное решение является результатом предположения, что x F = 0. Однако, если x F * 0, то х^может быть вычислено какх 5 = = B~"b - B^"Fx/r. Подставив это выражение в целевую функцию (функцию стоимости), получим

Так как необходимо определить зависимость стоимости от небазисных переменных, одну из которых затем включить в базисные, то нижняя строка под матрицей I должна быть нулевой. Для этого в (8.7) умножим первую строку (матрицы) на с в и сложим со второй

где - значение целевой функции для начального век

тора х 0 из (8.3).

Матрица (8.8) называется симплекс-таблицей. Приведение ее к данному виду является начальным этапом симплекс-алгоритма. В процессе выполнения алгоритма осуществляется переход от одной таблицы к другой, пока нижний правый элемент таблицы не станет максимальным или минимальным.

С использованием симплекс-таблицы легко увидеть допустимое решение. Переменные x F соответствуют нулевой подматрице, переменные х в - единичной матрице:

Предположим, что задача Л П приведена к стандартной форме, вычислена симплекс-таблица и выбрано начальное базисное решение, соответствующее вершине многогранника решений.

Тогда - решение задачи (8.1). Так

как b > О, это решение базисное допустимое.

Представим матрицу (8.9) в более удобном виде, сохранив основные обозначения:

Рассмотрим отдельно задачи максимизации и минимизации.

Симплекс-метод

1. Идея симплекс-метода

Рассмотрим универсальный метод решения канонической задачи ЛП.

известный как симплекс-метод.

Как было установлено в главе 2, множество планов канонической задачи - выпуклое многогранное множество, имеющее конечное число угловых точек. И если эта задача имеет оптимальное решение, то оно достигается хотя бы в одной угловой точке.

С любой угловой точкой связан базисный план задачи, в котором переменных равны нулю, а оставшимся переменным соответствуют линейно независимые столбцы матрицы условий. Эти линейно независимые столбцы образуют невырожденную базисную матрицу.

Перебор всех угловых точек сопряжен с большими вычислительными затратами и поэтому не эффективен. В 1944 году Дж. Данциг предложил упорядоченную процедуру перебора угловых точек, при которой для нахождения оптимального решения достаточно исследовать лишь небольшую их часть. Эта процедура называется симплекс-методом.

Дж. Данциг предложил при переходе от одной крайней точки к другой заменять в базисной матрице всего один вектор. Это означает, что при таком переходе мы должны одну из базисных переменных исключить - сделать ее небазисной (равной нулю), а на ее место ввести новую переменную из числа небазисных (нулевых) - сделать ее базисной (положительной).

Общая схема симплекс-метода состоит из следующих основных шагов.

·0 шаг . Определение начального базиса и соответствующей ему начальной угловой точки (базисного плана) .

·1 шаг . Проверка текущего базисного плана на оптимальность. Если критерий оптимальности выполнен, то план оптимален и решение закончено. Иначе переход на шаг 2.

·2 шаг . Нахождение переменной, вводимой в состав базисных. (Из условия увеличения целевой функции).

·3 шаг . Нахождение переменной, исключаемой из состава базисных переменных (Из условия сохранения ограничений задачи).

·4 шаг . Нахождение координат нового базисного плана (смежной угловой точки). Переход на шаг 1.

Повторяющиеся шаги 1-4 образуют одну итерацию симплекс-метода.

Из этой схемы следует, что, во-первых, для начала работы симплекс-метода надо иметь какую-то угловую точку - начальный базисный план, а во-вторых, надо уметь исследовать текущую угловую точку на оптимальность, не вычисляя всех смежных вершин. Эти проблемы легко решаются, если каноническая задача ЛП имеет некий специальный вид.

Определение . Будем говорить, что каноническая задача ЛП имеет «предпочтительный вид», если

1.правые части уравнений, .

Матрица условий содержит единичную подматрицу размера

Другими словами, в любом уравнении есть переменная с коэффициентом равным единице, отсутствующая в остальных уравнениях. Условие 1 не является обременительным, так как в случае отрицательной правой части некоторого уравнения, достаточно умножить его на (-1). В задаче предпочтительного вида начальный базисный план находится очень просто.

Пример.

Матрица условий и вектор правых частей ограничений имеют вид

Сразу очевидна одна базисная матрица: с единичными векторами

Следовательно, - базисные переменные, а x2, x4 - небазисные. Полагая в системе уравнений x2=x4 =0, немедленно находим x1 =10, x3 =20, x5 =8. Видим, что значения базисных переменных равны правым частям ограничений. Из этого понятно требование положительности правых частей bi.

В дальнейшем, базисные переменные будем объединять в вектор x Б.

Таким образом, в канонической задаче предпочтительного вида в качестве начальной базисной матрицы берется единичная подматрица AБ =E, а соответствующие ей базисные переменные равны правым частям ограничений: xБ =b.

. Простейшая реализация симплекс-метода

Простейшая реализация симплекс-метода («простой С-метод») применяется к канонической задаче ЛП, имеющей «предпочтительный вид». Не умаляя общности, будем считать, что единичная подматрица содержится в первых m столбцах. Тогда каноническая задача запишется следующим образом

f(x) = c1x1 + c2x2 +… + cmxm + cm+1xm+1 +… + cnxn ??max(3.1)x1 + a1m+1 xm+1 + … + a1n xn = b1(3.2)x2 + a2m+1 xm+1 + … + a2n xn = b2………………………………………………………….xm + amm+1 xm+1 + … + amn xn = bmxj³ 0, j=1,2,…, n.(3.3)

Матрица условий

содержит единичную подматрицу размера m x m в первых m столбцах, следовательно AБ ={A1, A2,…, Am}=E.

Основные шаги симплекс-метода (теория)

Поскольку единичная базисная матрица находится в первых m столбцах матрицы условий, то первые m координат начального базисного плана являются базисными, а последние n - m координат являются небазисными, то есть равны нулю:

o = (x1, x2,…, xm, 0,…, 0).

Подставляя координаты точки xo в ограничения (3.2) и учитывая, чтоm+1 =… = xn = 0, получаем: x1 = b1, x2 = b2,…, xm = bm, то есть xoБ = b.

Значит начальный базисный план имеет вид:

xo = (b1,…, bm, 0,…, 0),

где сБ = (с1,…, сm) - вектор, составленный из коэффициентов целевой функции при базисных переменных.

1 шаг.

Из системы ограничений (3.2) выразим базисные переменные через небазисные:

x1= b1 - a1m+1xm+1 - … - a1nxn, x2 = b2 - a2m+1xm+1 - … - a2nxn, ………………………………………… xm = bm - amm+1xm+1 - … - amnxn,(3.4)

Подставим эти выражения в целевую функцию (3.1).

f (x) = c1 (b1 - a1m+1xm+1 - … - a1nxn) + c2 (b2 - a2m+1xm+1 - … - a2nxn) +

………………………………………………..

Cm (bm - amm+1xm+1 - … - amnxn) + cm+1xm+1 +… + cnxn.

Сгруппируем слагаемые при одинаковых небазисных переменных:

f (x) = - (c1 a1m+1 + c2 a2m+1 + … + cm amm+1 - cm+1).xm+1 - …-

- (c1 a1n + c2 a2n + … + cm amn - cn). xn.(3.5)

Заметим, что выражения в круглых скобках можно записать в виде

c1 a1m+1 + c2 a2m+1 + … + cm amm+1 - cm+1 = < cБ, Am+1 > - cm+1 = Dm+1,

…………………………………………………………………………………………………………………………1 a1n + c2 a2n + … + cm amn - cn = < cБ, An > - cn = Dn,

где сБ = (с1,…, сm) - вектор, составленный из коэффициентов целевой функции при базисных переменных, Am+1,…, An - столбцы матрицы условий А при небазисных переменных xm+1,…, xn.

Выражения

D j = < сБ, Aj > - cj, j = m+1,…, n,(3.6)

называются симплексными разностями или симплексными оценками базисного плана.

С учетом (3.6), формулу (3.5) для целевой функции можно переписать в виде

Эта формула позволяет получить признак оптимальности базисного плана. Если все симплексные оценки с небазисными номерами D j ³ 0, то текущий базисный план - оптимален.

Действительно, если хотя бы одна оценка, например, ?k строго отрицательна, то придавая соответствующей небазисной переменной xk положительное значение, а остальные небазисные переменные плана x полагая равными нулю, получим

f (x) = f (xo) - Dk xk = f (xo) + | D k | xk > f (xo),(3.7)

то есть в этом случае план xo может быть улучшен.

Легко проверить, что симплексные оценки, соответствующие единичным базисным столбцам всегда равны 0.

2 шаг . Нахождение переменной вводимой в состав базисных переменных.

Как следует из формулы (3.7), целевую функцию можно увеличить, если ввести в состав базисных переменных (сделать положительной) небазисную переменную xj, которой соответствует отрицательная оценка?j < 0. Если таких оценок несколько, то обычно в состав базисных вводят небазисную переменную хк с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть такую, для которой

где D j = < CБ, Aj > - cj, j = m+1,…, n (номера небазисных переменных).

Таким образом мы получим новый план

x1 = (x1,…, xm,0,…, xk,…, 0,…, 0).

Но х1 - небазисный план, так как число положительных координат равно m+1, число нулевых координат равно n - m -1.

Чтобы получить новую угловую точку, занулим одну из базисных переменных, то есть выведем одну переменную из состава базисных.

3 шаг.

Подставим координаты точки х1 в условия (3.4) и учтем, что переменные xj должны быть неотрицательны

x1 = b1 - a1kxk³ 0 x2 = b2 - a2kxk³ 0 …………………………. xm = bm - amkxk³ 0(3.8)

Из формулы (3.7) видно, что чем больше величина хк > 0, тем больше возрастает целевая функция. Постараемся найти максимальное значение хк, не нарушая ограничений задачи и выполняя условия неотрицательности (3.8).

Неравенства (3.8) можно переписать в виде

A1kxk£ b1 a2kxk£ b2 ……………… amkxk £ bm(3.9)

При решении системы неравенств (3.9) возможны два случая:) среди коэффициентов при хк нет положительных: aik£ 0, i=1,2,…, m. Так как bi> 0, то неравенства (3.9) выполняются при любом сколь угодно большом значении хк. Это говорит о том, что целевая функция не ограничена на множестве планов (max f(x) ® ¥) и следовательно, решения задачи ЛП не существует.) среди коэффициентов при хк есть положительные aik > 0. Решая систему неравенств (3.9) получим:

хк £ bi /aik, для всех i, для которых aik > 0.(3.10)

Наибольшее значение хк, удовлетворяющее всем ограничениям (3.10), равно наименьшему из отношений в правых частях этих неравенств

хк = min {bi /aik} по всем i: aik > 0.

Пусть минимум достигается при i = r, то есть хк ? br /ark. Это означает, что базисная переменная хr в условиях (3.8) обращается в нуль.

хr = br - ark xk = br - ark (br /ark) = 0, 1 ??r ??m.

Переменная xr исключается из базиса. Следовательно, получили новый состав базисных и небазисных переменных, отличающийся от исходного одной базисной и одной небазисной координатой.

4 шаг.

Новый базисный план будет иметь вид

1 = (x1, x2,…, 0,…, xm, 0,…, хk,0,…, 0),

где на месте хr стоит ноль, а хк > 0.тому базисному плану соответствует новая базисная матрица:

Для нахождения координат новой угловой точки х1 каноническая задача ЛП приводится к новому предпочтительному виду, то есть к такой форме, чтобы матрица стала единичной (= E). Для этого столбец Аk нужно преобразовать к единичному представлению,

R-я строка,

в котором коэффициент = 1, а все остальные элементы =0, i ??r. Этого можно добиться с помощью элементарных операций над уравнениями системы. Решение заканчивается тогда, когда для некоторой точки все оценки Dj ³ 0.

3. Реализация симплекс-метода на примере

Продемонстрируем применение симплекс-метода на примере из главы 2.

Рассмотрим каноническую задачу ЛП

f(x) = x1+ 2x2 +0 x3 + 0 x4 max(3.11)-x1+ 2x2+ x3 = 4,(3.12)3 x1 +2x2 + x4 = 12,(3.13)xj ? 0, j = 1,2,3,4.(3.14)

Матрица условий A = (A1, A2, A3, A4), где

Целевой вектор c =(c1, c2, c3, c4)=(1, 2, 0, 0); вектор правых частей b=(b1, b2) = (4, 12).

0 шаг. Нахождение начальной угловой точки (базисного плана).

Задача имеет предпочтительный вид, так как правые части уравнений положительны, а столбцы матрицы условий A3, A4 образуют единичную подматрицу. Значит начальная базисная матрица = (A3, A4); x3 и x4 - базисные переменные, x1 и x2 - небазисные переменные, cБ = (c3, c4) = (0, 0).

Начальный базисный план имеет вид

x0 = (0, 0, x3, x4) = (0, 0, 4, 12); f(xo) = 0.

1 шаг. Проверка базисного плана на оптимальность.

Подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных по формуле (3.6)

D1 = < cБ, A1 > - c1 = 0 ·(-1) + 0 ·3 - 1 = -1.

D2 = < cБ, A2 > - c2 = 0 ·2 + 0 · 2 - 2 = -2.

Так как оценки отрицательны, то план xo - не оптимален. Будем искать новый базисный план (смежную угловую точку) с большим значением целевой функции.

2 шаг . Нахождение переменной вводимой в базис.

Целевую функцию можно увеличить, если ввести в состав базисных переменных (сделать положительной) одну из небазисных переменных x1 или x2, поскольку обе оценки Dj < 0. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x2.

3 шаг. Определение переменной выводимой из базиса.

После ввода в базис переменной x2 новый план будет иметь вид1 = (0, x2, x3, x4).

Этот план не является базисным, так как он содержит только одну нулевую координату, значит надо сделать нулевой (исключить из базиса) одну из переменных x3 или x4.

Подставим координаты плана x1 = (0, x2, x3, x4) в ограничения задачи. Получим

Выразим отсюда базисные переменные x3 и x4 через переменную x2, вводимую в базис.

x3 = 4 - 2x2,(3.15)x4 = 12 - 2x2.(3.16)

Так переменные x3 и x4 должны быть неотрицательны, получим систему неравенств

4 - 2x2 ³ 0,(3.17)12 - 2x2 ³ 0.(3.18)

Чем больше значение x2, тем больше возрастает целевая функция. Найдем максимальное значение новой базисной переменной, не нарушающее ограничения задачи, то есть удовлетворяющее условиям (3.17), (3.18).

Перепишем неравенства в виде

x2£ 4,

x2£12,

откуда максимальное значение x2 = min {4/2, 12/2} = 2. Подставляя это значение в выражения (3.15), (3.16) для x3 и x4, получаем x3 = 0. Следовательно x3 выводится из базиса.

4 шаг. Определение координат нового базисного плана.

Новый базисный план (смежная угловая точка) имеет вид

x1 = (0, x2, 0, x4).

Базис этой точки состоит из столбцов A2 и A4, так что = (A2, A4). Заметим, что этот базис не является единичным, так как вектор A2 = (2, 2), и следовательно задача (3.11) - (3.14) не имеет предпочтительного вида относительно нового базиса. Преобразуем условия задачи (3.12), (3.13) таким образом, чтобы она приняла предпочтительный вид относительно новых базисных переменных x2, x4, то есть чтобы переменная x2 входила в первое уравнение с коэффициентом, равным единице, и не присутствовала во втором уравнении. Перепишем уравнения задачи

x1+ 2x2+ x3 = 4, (p1)

x1 +2x2 + x4 = 12. (p2)

Поделим первое уравнение на коэффициент при x2. Получим новое уравнение = p1 / 2, эквивалентное исходному

1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ()

Используем это уравнение, которое назовем разрешающим, для исключения переменной x2 из второго уравнения. Для этого надо уравнение умножить на 2 и вычесть из p2. Получим уравнение = p2 - 2 = p2 - p1.

x1 - x3 + x4 = 8. ()

В итоге получили новое «предпочтительное» представление исходной задачи (3.11) - (3.14) относительно новых базисных переменных x2, x4:

f(x) = x1+ 2x2 + 0 x3 + 0 x4® max

1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ()

x1 - x3 + x4 = 8. ()

xj ³ 0, j = 1,2,3,4.

Подставляя сюда представление нового базисного плана x1 = (0, x2,0, x4), сразу найдем его координаты, так как значения базисных переменных равны правым частям уравнений

x1 = (0,2,0,8); f(x1)=4.

симплекс переменная канонический программирование

Литература

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.: ил.

Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 192 с.: ил.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. - М.: Дело, 2001. - 400 с.

Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. - 3-е изд., испр. - М.: Дело, 2003. - 208 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 1999.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. Вып. 1. - М.: Статистика, 1977.

Ланге О. Введение в эконометрику / Пер. с польск. - М.: Прогресс, 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. - М.: Статистика, 1971.

Маленво Э. Статистические методы эконометрии. - М.: Статистика, 1976.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Финансы и статистика, 1965.

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - 6-е изд. - М.: Высш. шк., 1999.