Удаление первого элемента массива матлаб. Иллюстрированный самоучитель по MatLab. Задачи линейной алгебры, вычисление функций и построение графиков

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S . Для этого отображения будем использовать обозначение y=A (x) или y=A x .

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x 1 и x 2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A (x 1 +x 2)=A x 1 +A x 2 .
2. A (λx )=λ A x .

Если пространство S совпадает с пространством R , то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R .

Пусть заданы два векторных пространства n- мерный R и m- мерный S , и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A , отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K , что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x .

Пусть x − произвольный элемент в R . Тогда

где a ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

где x ∈R означает, что x принадлежит пространстве R .

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B . Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e j , тогда:

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R , S и T . Пусть линейный оператор B отображает R в S , а линейный оператор A отображает S в T .

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C , для которого выполняется следующее равенство при любом x из R :

Cx =A (Bx ), x ∈ R .

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB . Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T . Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A , B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A , B , C

Учитывая произвольность х, получим

Таким образом оператор C отображает пространство R в S . Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x , y , z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х , получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ .

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O . Действие нулевого оператора можно записать так:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R Ax =0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A .

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R , для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R .

Образ линейного оператора обозначается символом im A .

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A , т.е.: rang A =dim(im A ).

Оператор является неделимым элементом программы, который дает возможность выполнять определенные алгоритмические действия. Отличием оператора, по отношению к другим элементам, является то, что под ним всегда подразумевается какое-то действие. В языке Паскаль операторы состоят из служебных слов. Операторы, используемые в программе, отделяются между собой и от других элементов программы символом (;). Все операторы языка Паскаль можно условно разбить на две группы :

1. простые;
2. структурированные.

Простые операторы - это операторы, не содержащие в себе других операторов. К ним относятся:

• оператор присвоения (:=);
• оператор процедуры;
• оператор безусловного перехода (GOTO).

Структурированные операторы - это операторы, которые содержат в себе другие операторы. К ним относятся:

• составной оператор;
• операторы условий (IF, CASE);
• операторы цикла (FOR, WHILE, REPEAT);
• оператор присоединения (WITH).

Простые операторы

Оператор процедуры

Оператор процедуры служит для вызова процедуры.

Формат: [имя_процедуры] (список параметров вызова);

Оператор процедуры состоит из идентификатора процедуры, непосредственно за которым в скобках расположен список параметров вызова. В Паскале имеются процедуры без параметров. В этом случае, при вызове, список параметров отсутствует. Выполнение оператора процедуры приводит к активизации действий описанных в ее теле. В языке Паскаль имеется два вида процедур:

• Стандартные, которые описаны в самом языке и являются принадлежностью языка;
• Процедуры пользователя, которые создает пользователь.

Для вызова стандартных процедур необходимо подключение в разделе USES имени модуля (библиотеки), где описана данная процедура. Ряд процедур, находящихся в модуле SYSTEM всегда подключается к программе автоматически и их подключение в разделе USES не нужно. Стандартные процедуры языка Паскаль - READ, WRITE, REWRITE, CLOSE, RESET.

READ ([файловая_переменная], [список_ввода])

READ (x,y)

Процедуры пользователя (нестандартные) должны быть созданы перед их использованием в программе и находятся либо в разделе описания самой программы, либо в отдельные программные единицы модуля. Если процедура находится в модуле, то имя этого модуля необходимо упомянуть в приложении USES.

Оператор безусловного перехода GOTO

Формат: GOTO [метка];

GOTO - зарезервированное слово в языке Паскаль. [метка] - это произвольный идентификатор, который позволяет пометить некий оператор программы и в дальнейшем сослаться на него. В языке Паскаль допускается в качестве меток использовать целое число без знаков. Метка располагается перед помеченным оператором и отделяется от него (:). Один оператор можно помечать несколькими метками. Они так же отделяются друг от друга (:). Перед тем как использовать метку в разделе оператора ее необходимо описать в разделе LABEL (раздел описания).

Действие GOTO передает управление соответствующему помеченному оператору. При использовании меток нужно руководствоваться следующими правилами:

• метка должна быть описана в разделе описаний и все метки должны быть использованы;
• если в качестве меток используются целые числа, их не объявляют.

Противоречит принципам технологии структурного программирования. Современные языки программирования не имеют в своем составе такого оператора, и в его использовании нет необходимости. Кроме того в современных компьютерах используется так называемый конвейерный способ. Если в программе встречается оператор безусловного перехода, то такой оператор ломает весь конвейер, заставляя создавать его заново, что существенно замедляет вычислительный процесс.

Структурированные операторы

Операторы условия IF

Условный оператор используется в программе для реализации алгоритмической структуры - ветвления. В данной структуре вычислительный процесс может продолжаться по одному из возможных направлений. Выбор направления обычно осуществляется проверкой какого-либо условия. Существует два вида структуры ветвления: структура вилка и обход.

В языке Паскаль условный оператор IF это средство организации ветвящегося вычислительного процесса.

Формат: IF [логическое_выражение] Then [оператор_1]; Else [оператор_2];

IF, Then, Else - служебные слова. [оператор_1], [оператор_2] - обыкновенные операции языка Паскаль. Часть Else является необязательной (может отсутствовать).

Оператор IF работает следующим образом: вначале проверяется результат логического выражения. Если результат Истина(TRUE), то выполняется [оператор_1], следующий за служебным словом Then, а [оператор_2] пропускается. Если результат Ложь(FALSE), то [оператор_1] пропускается, а [оператор_2] исполняется.

Если часть Else отсутствует, то оператор IF имеет не полную форму:

IF [логическое_выражение] Then [оператор];

В этом случае, если результат Истина(TRUE), то выполняется [оператор], если Ложь(FALSE), то управление передается оператору, следующему за оператором IF.

имеются 2 числа A и B. Найти максимальное число.

Составной оператор

Составной оператор - это последовательность произвольных операций в программе, заключенная в так называемые операторные скобки (Begin-End).

Формат: Begin [операторы]; End;

Составные операторы позволяют представлять группу операторов, как один оператор.

Оператор выбора CASE

Предназначен для реализации множественных ветвлений, поскольку оператор IF может реализовать всего два направления вычислительного процесса, использовать его для реализации множественных ветвлений не всегда удобно. Множественное ветвление реализуется оператором CASE.

Формат: CASE [ключ_выбора] OF

[константа_выбора_1]:[оператор_1];

[константа_выбора_2]:[оператор_2];

[константа_выбора_N]:[оператор_N];

ELSE [оператор];

CASE, OF, ELSE, END - служебные слова. [ключ_выбора] - это параметр одного из порядковых типов. [константы_выбора] - константы того же типа, что и ключ выбора, реализующие выбор. [оператор_1(N)] - обыкновенный оператор. ELSE может отсутствовать.

Оператор выбора работает следующим образом: до работы оператора определяется значение параметра ключ выбора. Этот параметр может быть либо выражен как переменная в программе, либо другим путем. Затем параметр ключ выбора последовательно сравниваем с константой выбора. При совпадении значения ключа выбора с одной из констант выбора, выполняется оператор, следующий за этой константой, а все прочие операторы игнорируются. В случае не совпадения ключа выбора ни с одним из констант, выполняется оператор, следующий за Else. Часто Else является не обязательной и в случае несовпадения ключа выбора ни с одной из констант выбора и при отсутствии Else, управление передается оператору, следующему за оператором CASE.

В операторе CASE нет явной проверки условия, характерного для оператора IF. В тоже время в неявном виде операция сравнения выполняется. CASE вносит диссонанс в программу на языке Паскаль, поскольку данные оператор завершается служебным словом End, которому нет парного Begin.

Составить алгоритм и программу задачи, моделирующей работу светофора. При вводе символа первой буквы цветов светофора, программа должна выводить сообщение о соответствующем цвете и действиях.

Программа работает следующим образом: с клавиатуры процедурой Read вводится символ буквы цвета светофора. Если введена буква ‘з’ соответствующая зеленому цвету, то в операторе CASE введено значение в списке выбора найдет константу выбора ‘з’ и будет выведено сообщение “Зеленый цвет, движение разрешено”. При вводе символа букв ‘к’ и ‘ж’ буду выведены аналогичные сообщения. При вводе любого другого символа будет выведено сообщение “Светофор не работает”, поскольку в этом случае работает часть Else, оператора CASE.

Операторы цикла

Циклической алгоритмической структурой считается такая структура, в которой некоторые действия выполняются несколько раз. В программировании имеются два вида циклических структур: цикл с параметром и итерационный цикл.

В цикле с параметром всегда имеются так называемые параметры цикла: X, X n , X k , ∆X. Иногда цикл с параметром называют регулярным циклом. Характерной чертой является то, что число циклов и повторений можно определить до выполнения цикла.

В итерационном цикле невозможно определить число циклов до его выполнения. Он выполняется до тех пор, пока выполняется условие продолжение цикла.

В языке Паскаль имеются три оператора, реализующих циклические вычислительные структуры:

• счетный оператор FOR. Он предназначен для реализации цикла с параметром и не может быть использован для реализации итерационного цикла;
• оператор цикла с предусловием WHILE;
• оператор цикла с постусловием REPEAT.

Последние два ориентированы на реализацию итерационного цикла, однако их можно использовать и для реализации цикла с параметром.

Оператор FOR

Формат: FOR [параметр_цикла] := [н_з_п_ц] To [к_з_п_ц] Do [оператор];

FOR, To, Do - служебные слова. [параметр_цикла] - параметр цикла. [н_з_п_ц] - начальное значение параметра цикла. [к_з_п_ц] - конечное значение параметра цикла. [оператор] - произвольный оператор.

Параметр цикла должен быть переменой порядкового типа. Начальное и конечное значения параметра цикла должны быть того же типа, что и параметр цикла.

Работу оператора рассмотрим на его алгоритме:

На первом шаге значение параметра цикла принимает [н_з_п_ц], затем осуществляется проверка параметр цикла меньше или равен [к_з_п_ц]. Это условие является условием продолжения цикла. Если выполнено, то цикл продолжает свою работу и выполняется [оператор], после чего параметр цикла увеличивается (уменьшается) на единицу. Затем с новым значением параметр цикла, проверяется условие продолжения цикла. Если оно выполняется, то действия повторяются. Если условие не выполняется, то цикл прекращает свою работу.

Оператор For существенно отличается от аналогичных операторов в других языках программирования. Отличия следующие:

• телом оператора For. Оператор может не выполниться ни разу, поскольку проверка условия продолжения цикла выполняется до тела цикла;
• шаг изменения параметра цикла постоянный и равен 1;
• тело цикла в операторе For представлено одним оператором. В том случае, если действие тела цикла требует более одного простого оператора, то эти операторы необходимо превратить в один составной оператор посредством операторных скобок (BEGIN-END);
• Параметр цикла может быть только переменой порядкового типа.

Пример использования оператора FOR: составить таблицу перевода рублей в доллары.

Оператор WHILE (оператор цикла с предусловием)

Формат: WHILE [условие] Do [оператор];

WHILE, Do - служебные слова. [условие] - выражение логического типа. [оператор] - обыкновенный оператор.

;

Оператор While работает следующим образом: вначале работы проверяется результат логического условия. Если результат истина, то выполняется оператор, после которого осуществляется возврат на проверку условия с новым значением параметров в логическом выражении условия. Если результат ложь, то осуществляется завершение цикла.

При работе с While надо обратить внимание на его свойства:

• условия, использованные в While, являются условием продолжения цикла;
• в теле цикла всегда происходит изменение значения параметра входящего в выражение условия;
• цикл While может, не выполнится ни разу, поскольку проверка условия в продолжение цикла выполняется до тела цикла.

Оператор REPEAT (оператор цикла с постусловием)

Формат: REPEAT [тело_цикла]; UNTIL [условие];

Оператор REPEAT работает следующим образом: сначала выполняются операторы тела цикла, после чего результат проверяется логического условия. Если результат ложь, то осуществляется возврат к выполнению операторов очередного тела цикла. Если результат истина, то оператор завершает работу.

Оператор Repeat имеет следующие особенности:

• в Repeat проверяется условие завершения цикла и если условие выполняется, то цикл прекращает работу;
• тело цикла всегда выполняется хотя бы один раз;
• параметр для проверки условия изменяется в теле цикла;
• операторы тела цикла не надо заключать в операторские скобки (BEGIN-END), при этом роль операторных скобок выполняют Repeat и Until.

Вычислить y=sin(x), где xn=10, xk=100, шаг равен 10.

Операторы

Опера́тор (позднелат. operator - работник, исполнитель, от operor - работаю, действую) - то же, что отображение .

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

• Функциональный анализ : Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
• Линейная алгебра : Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
• Дискретная математика : Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология

Пусть оператор A действует из множества X в множество Y .

Простые примеры

Оператор, действующий над пространствами функций - это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x (t ) согласно правилу A в другую функцию y (t ) имеет вид y (t ) = A {x (t )} или, проще, y = A x .

Примерами подобных преобразований - умножение на число: y (t ) = c x (t ) и дифференцирование: . Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x (t ) в другую функцию y того же аргумента t . Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:

или преобразование Фурье из временной в частотную область:

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y , вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x (t ) , а от значений функции x во всех точках t . Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке ω меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки t .

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов . Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов . Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения n -мерного вектора на матрицу размером . Этот оператор отображает n -мерное пространство векторов в m -мерное.

Линейные операторы

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным ), если он обладает следующими свойствами:

1. может применяться почленно к сумме аргументов: L (x 1 + x 2) = L (x 1) + L (x 2) ;
2. скаляр (постоянную величину) c можно выносить за знак оператора: L (c x ) = c L (x ) ;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L (0) = 0 .

Оператор L называется линейным неоднородным , если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

,

где L 0 - линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций y k являются линейными функциями от старых значений x k :

.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных , и называется ядром линейного интегрального преобразования:

Функция-операнд f (ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f (ω) заменяется вектором W . В этом случае представимо конечным или бесконечным рядом функций:

Единичный (тождественный) оператор

Оператор E , ставящий в соответствие каждому вектору сам вектор , очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

то есть как матричный оператор определяется равенством

и как интегральный оператор - равенством

.

Единичная матрица E i k записывается большей частью с помощью символа δ i k = δ k i (символ Кронекера). Имеем: δ i k = 1 при i = k и δ i k = 0 при .

Единичное ядро E (x ,t ) записывается в виде E (x ,t ) = δ(t − x ) (дельта-функция). δ(x − t ) = 0 всюду, кроме x = t , где функция становится бесконечной и притом такой, что

.

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами , число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

• префиксная : где первым идёт оператор и операнды следом, например:

• постфиксная : если символ оператора следует за операндами, например:

• инфиксная : оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:

• позиционная : знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов ;
• подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Q f вместо Q (f ) ; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q (f g ) . Q , действующий на f (x ) , также записывают (Q f )(x ) . Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные n ! (факториал «!», справа от операнда), − n (отрицание, слева) или

Массивы являются основными объектами в системе MATLAB : в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы - векторы - и двумерные массивы - матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов - тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х.

Формирование массивов специального вида

• ZEROS - формирование массива нулей
• ONES - формирование массива единиц
• EYE - формирование единичной матрицы
• RAND - формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
• RANDN - формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
• CROSS - векторное произведение
• KRON - формирование тензорного произведения
• LINSPACE - формирование линейного массива равноотстоящих узлов
• LOGSPACE - формирование узлов логарифмичесокй сетки
• MESHGRID - формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
• : - формирование векторов и подматриц

Операции над матрицами

• DIAG - формирование или извлечение диагоналей матрицы
• TRIL - формирование нижнетреугольной матрицы (массива)
• TRIU - формирование верхнетреугольной матрицы (массива)
• FLIPLR - поворот матрицы относительно вертикальной оси
• FLIPUD - поворот матрицы относительно горизонтальной оси
• ROT90 - поворот матрицы на 90 градусов
• RESHAPE - преобразование размеров матрицы

Специальные матрицы

• COMPAN - сопровождающая матрица характеристического многочлена
• HADAMARD - матрица Адамара (Hadamard matrix)
• HANKEL - матрица Ганкеля (Hankel matrix)
• HILB, INVHILB - матрица Гильберта (Hilbert matrix)
• MAGIC - магический квадрат
• PASCAL - матрица Паскаля (Pascal matrix)
• ROSSER - матрица Рессера (Rosser matrix)
• TOEPLITZ - матрица Теплица (Toeplitz matrix)
• VANDER - матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)
• WILKINSON - матрица Уилкинсона (Wilkinson matrix)

CONV, DECONV

Свертка одномерных массивов

Синтаксис:

Z = conv(x, y)
= deconv(z, x)

Описание:

Если заданы одномерные массивы x и y длины соответственно m = length(x) и n = length(y), то свертка z - это одномерный массив длины m + n -1, k-й элемент которого определяется по формуле

Функция z = conv(x, y) вычисляет свертку z двух одномерных массивов x и y.

Рассматривая эти массивы как выборки из двух сигналов, можно сформулировать теорему свертки в следующей форме:
Если X = fft() и Y = fft() - согласованные по размерам преобразования Фурье сигналов x и y, то справедливо соотношение conv(x, y) = ifft(X.*Y).

Иначе говоря, свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов.

Функция = deconv(z, x) выполняет операцию, обратную операции свертки. Эта операция равносильна определению импульсной характеристики фильтра. Если справедливо соотношение z = conv(x, y), то q = y, r = 0.

Сопутствующие функции: Signal Processing Toolbox .

1. Signal Processing Toolbox User’s Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1993.

Установка шаблона матриц и векторов (Matrix...)

Операция Matrix... (Матрицы) обеспечивает задание векторов или матриц Как известно, матрица является заданным своим именем объектом в виде массива данных MathCAD использует одномерные массивы — векторы и двумерные — собственно матрицы

Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns Элементами матриц могут быть числа, константы, пере менные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными

Если использовать операцию Matrix..., то в текущем окне появится не большое окошко, позволяющее задать размерность вектора или матрицы (см рис 515 справа) Для этого нужно указать число строк Rows и число сголбцов Columns Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить) в окошке, можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1)

Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Один из прямоугольников можно сделать активным (отметив его курсором мыши). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали пробежаться по всем прямоугольникам и ввести все элементы вектора или матрицы.

Рис. 5. 15 Вывод шаблонов вектора и матрицы и их заполнение

Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако, если закончить ввод до полного заполнения шаблонов, система выведет сообщение об ошибке — незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом.

Если использовать операцию Insert (Включение) при уже выведенном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (Стирание) позволяет убрать расширение матрицы, вычеркнув из нее строку или столбец.

Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой — номер столбца. Для набора индексированной переменной прежде надо ввести имя переменной, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Прежде указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца. Примеры вывода индексированных переменных (элементов матрицы М) также даны на рис. 5. 14.

Вырожденная в одну строку или в один столбец матрица является вектором. Его элементы — индексированные переменные с одним индексом. Нижняя граница индексов задается значением системной переменной ORIGIN. Обычно ее значение задают равным 0 или 1.