Как найти табличное значение критерия фишера. Точный критерий фишера
Функция ФИШЕР выполняет возвращение преобразования Фишера для аргументов X . Это преобразование строит функцию, которая имеет нормальное, а не асимметричное распределение. Используется функция ФИШЕР для того чтобы проверить гипотезу с помощью коэффициента корреляции.
Описание работы функции ФИШЕР в Excel
При работе с данной функцией необходимо задать значение переменной. Сразу стоит отметить, что существуют некоторые ситуации, при которых данная функция не будет выдавать результатов. Это возможно, если переменная:
- не является числом. В такой ситуации функция ФИШЕР осуществит возвращение значения ошибки #ЗНАЧ!;
- имеет значение либо меньше -1, либо больше 1. В данном случае функция ФИШЕР возвратит значение ошибки #ЧИСЛО!.
Уравнение, которое используется для математического описания функции ФИШЕР, имеет вид:
Z"=1/2*ln(1+x)/(1-x)
Рассмотрим применение данной функции на 3-x конкретных примерах.
Оценка взаимосвязи прибыли и затрат по функции ФИШЕР
Пример 1. Используя данные об активности коммерческих организаций, требуется сделать оценку связи прибыли Y (млн руб.) и затрат X (млн руб.), используемых для разработки продукции (приведены в таблице 1).
Таблица 1 – Исходные данные:
| № | X | Y |
| 1 | 210 000 000,00 ₽ | 95 000 000,00 ₽ |
| 2 | 1 068 000 000,00 ₽ | 76 000 000,00 ₽ |
| 3 | 1 005 000 000,00 ₽ | 78 000 000,00 ₽ |
| 4 | 610 000 000,00 ₽ | 89 000 000,00 ₽ |
| 5 | 768 000 000,00 ₽ | 77 000 000,00 ₽ |
| 6 | 799 000 000,00 ₽ | 85 000 000,00 ₽ |
Схема решения таких задач выглядит следующим образом:
- Рассчитывается линейный коэффициент корреляции r xy ;
- Проверяется значимость линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю. При проверке этой гипотезы используется t-статистика. Если гипотеза подтверждается, t-статистика имеет распределение Стьюдента. Если расчетное значение t р > t кр, то гипотеза отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и Y;
- Определяется интервальная оценка для статистически значимого линейного коэффициента корреляции.
- Определяется интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции на основе обратного z-преобразования Фишера;
- Рассчитывается стандартная ошибка линейного коэффициента корреляции.
Результаты решения данной задачи с применяемыми функциями в пакете Excel приведены на рисунке 1.
Рисунок 1 – Пример расчетов.
| № п/п | Наименование показателя | Формула расчета |
| 1 | Коэффициент корреляции | =КОРРЕЛ(B2:B7;C2:C7) |
| 2 | Расчетное значение t-критерия tp | =ABS(C8)/КОРЕНЬ(1-СТЕПЕНЬ(C8;2))*КОРЕНЬ(6-2) |
| 3 | Табличное значение t-критерия trh | =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4) |
| 4 | Табличное значение стандартного нормального распределения zy | =НОРМСТОБР((0,95+1)/2) |
| 5 | Значение преобразования Фишера z’ | =ФИШЕР(C8) |
| 6 | Левая интервальная оценка для z | =C12-C11*КОРЕНЬ(1/(6-3)) |
| 7 | Правая интервальная оценка для z | =C12+C11*КОРЕНЬ(1/(6-3)) |
| 8 | Левая интервальная оценка для rxy | =ФИШЕРОБР(C13) |
| 9 | Правая интервальная оценка для rxy | =ФИШЕРОБР(C14) |
| 10 | Стандартное отклонение для rxy | =КОРЕНЬ((1-C8^2)/4) |
Таким образом, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции заключен в интервале от (–0,386) до (–0,990) со стандартной ошибкой 0,205.
Проверка статистической значимости регрессии по функции FРАСПОБР
Пример 2. Произвести проверку статистической значимости уравнения множественной регрессии с помощью F-критерия Фишера, сделать выводы.
Для проверки значимости уравнения в целом выдвинем гипотезу Н 0 о статистической незначимости коэффициента детерминации и противоположную ей гипотезу Н 1 о статистической значимости коэффициента детерминации:
Н 1: R 2 ≠ 0.
Проверим гипотезы с помощью F-критерия Фишера. Показатели приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходные данные
Для этого используем в пакете Excel функцию:
FРАСПОБР (α;p;n-p-1)
- α – вероятность, связанная с данным распределением;
- p и n – числитель и знаменатель степеней свободы, соответственно.
Зная, что α = 0,05, p = 2 и n = 53, получаем следующее значение для F крит (см. рисунок 2).
Рисунок 2 – Пример расчетов.
Таким образом можно сказать, что F расч > F крит. В итоге принимается гипотеза Н 1 о статистической значимости коэффициента детерминации.
Расчет величины показателя корреляции в Excel
Пример 3. Используя данные 23 предприятий о: X - цена на товар А, тыс. руб.; Y - прибыль торгового предприятия, млн. руб, производится изучение их зависимости. Оценка регрессионной модели дала следующее: ∑(yi-yx) 2 = 50000; ∑(yi-yср) 2 = 130000. Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину показателя корреляции и, используя критерий Фишера, сделайте вывод о качестве модели регрессии.
Определим F крит из выражения:
F расч = R 2 /23*(1-R 2)
где R – коэффициент детерминации, равный 0,67.
Таким образом, расчетное значение F расч = 46.
Для определения F крит используем распределение Фишера (см. рисунок 3).
Рисунок 3 – Пример расчетов.
Таким образом, полученная оценка уравнения регрессии надежна.
1. Таблица значений F-критерия Фишера для уровня значимости α = 0.05
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 | 24 | ∞ | |
| 1 | 161,45 | 199,50 | 215,72 | 224,57 | 230,17 | 233,97 | 238,89 | 243,91 | 249,04 | 254,32 |
| 2 | 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | 19,50 |
| 3 | 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | 8,53 |
| 4 | 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | 5,63 |
| 5 | 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5, 19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | 4,36 |
| 6 | 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4,00 | 3,84 | 3,67 |
| 7 | 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | 3,23 |
| 8 | 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | 2,93 |
| 9 | 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,23 | 3,07 | 2,90 | 2,71 |
| 10 | 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | 2,54 |
| 11 | 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3, 20 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | 2,40 |
Когда m=1, выбираем 1 столбец.
k 2 =n-m=7-1=6 - т.е.6-я строка - берем табличное значение Фишера
F табл =5.99, у ср. = итого: 7
Влияние х на у - умеренное и отрицательное
ŷ - модельное значение.
| F расч. = | 28,648: 1 | = 0,92 |
| 200,50: 5 |
А = 1/7 * 398,15 * 100% = 8,1% < 10% -
приемлемое значение
Модель достаточно точная.
F расч. = 1/0,92 =1,6
F расч. = 1,6 < F табл. = 5,99
Должно быть F расч. > F табл
Нарушается данная модель, поэтому данное уравнение статистически не значимо.
Так как расчетное значение меньше табличного - незначимая модель.
| 1 | Σ | (y - ŷ) | *100% | |
| N | y |
Ошибка аппроксимации.
A= 1/7*0,563494* 100% = 8,04991% 8,0%
Считаем, что модель точная, если средняя ошибка аппроксимации менее 10%.
Параметрическая идентификация парной нелинейной регрессии
Модель у = а * х b - степенная функция
Чтобы применить известную формулу, необходимо логарифмировать нелинейную модель.
log у = log a + b log x
Y=C+b*X -линейная модель.
С = 1,7605 - (- 0,298) * 1,7370 = 2,278
Возврат к исходной модели
Ŷ=10 с *x b =10 2.278 *x -0.298
| №п/п | У | X | Y | X | Y*X | У | I (y-ŷ) /yI | |
| 1 | 68,80 | 45,10 | 1,8376 | 1,6542 | 3,039758 | 2,736378 | 60,9614643 | 0,113932 |
| 2 | 61, 20 | 59,00 | 1,7868 | 1,7709 | 3,164244 | 3,136087 | 56,2711901 | 0,080536 |
| 3 | 59,90 | 57, 20 | 1,7774 | 1,7574 | 3,123603 | 3,088455 | 56,7931534 | 0,051867 |
| 4 | 56,70 | 61,80 | 1,7536 | 1,7910 | 3,140698 | 3, 207681 | 55,4990353 | 0,021181 |
| 5 | 55,00 | 58,80 | 1,7404 | 1,7694 | 3,079464 | 3,130776 | 56,3281590 | 0,024148 |
| 6 | 54,30 | 47, 20 | 1,7348 | 1,6739 | 2,903882 | 2,801941 | 60,1402577 | 0,107555 |
| 7 | 49,30 | 55, 20 | 1,6928 | 1,7419 | 2,948688 | 3,034216 | 57,3987130 | 0,164274 |
| Итого | 405, 20 | 384,30 | 12,3234 | 12,1587 | 21,40034 | 21,13553 | 403,391973 | 0,563493 |
| Средняя | 57,88571 | 54,90 | 1,760486 | 1,736957 | 3,057191 | 3,019362 | 57,62742 | 0,080499 |
Входим в EXCEL через "Пуск"-программы. Заносим данные в таблицу. В "Сервис" - "Анализ данных" - "Регрессия" - ОК
Если в меню "Сервис" отсутствует строка "Анализ данных", то ее необходимо установить через "Сервис" - "Настройки" - "Пакет анализа данных"
Прогнозирование спроса на продукцию предприятия. Использование в MS Excel функции "Тенденция"
A - спрос на товар. B - время, дни
| № п/п | A | |
| 1 | 11 | 1 |
| 2 | 14 | 2 |
| 3 | 13 | 3 |
| 4 | 15 | 4 |
| 5 | 17 | 5 |
| 6 | 17,9 | |
| 7 | 18,4 | 7 |
Шаг 1. Подготовка исходных данных
Шаг 2. Продлеваем временную ось, ставим на 6,7 вперед; имеем право прогнозировать на 1/3 от данных.
Шаг 3. Выделим диапазон A6: A7 под будущий прогноз.
Шаг 4. Вставка функция
Вставка диаграмма нестандартны гладкие графики
диапазон у готово.
Если каждое последующее значение нашего временной оси будет отличаться не на несколько процентов, а в несколько раз, тогда нужно использовать не функцию "Тенденция", а функцию "Рост".
Список литературы
1. Елисеева "Эконометрика"
2. Елисеева "Практикум по эконометрике"
3. Карлсберг "Excel для цели анализа"
Приложение
| ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||||
| Регистрационная статистика | ||||||||
| Множественный R | 0,947541801 | |||||||
| R-квадрат | 0,897835464 | |||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,829725774 | |||||||
| Стандартная ошибка | 0,226013867 | |||||||
| Наблюдения | 6 | |||||||
| Дисперсионный анализ | ||||||||
| Значимость F | ||||||||
| Регрессия | 2 | 1,346753196 | 0,673376598 | 13,18219855 | 0,032655042 | |||
| Остаток | 3 | 0,153246804 | 0,051082268 | |||||
| Итого | 5 | 1,5 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | Р-значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95% | Верхние 95% |
|
| Y-пересечение | 4,736816539 | 0,651468195 | 7,27098664 | 0,005368842 | 2,66355399 | 6,810079088 | 2,66355399 | 6,810079088 |
| Переменная X1 | 0,333424008 | 0,220082134 | 1,51499807 | 0,227014505 | -0,366975566 | 1,033823582 | -0,366975566 | |
На данном примере рассмотрим, как оценивается надежность полученного уравнение регрессии. Этот же тест используется для проверки гипотезы о том, что коэффициенты регрессии одновременно равны нулю, a=0 , b=0 . Другими словами, суть расчетов - ответить на вопрос: можно ли его использовать для дальнейшего анализа и прогнозов?
Для установления сходства или различия дисперсий в двух выборках используйте данный t-критерий .
Итак, целью анализа является получение некоторой оценки, с помощью которой можно было бы утверждать, что при некотором уровне α полученное уравнение регрессии - статистически надежно. Для этого используется коэффициент детерминации R 2
.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k 1 =(m) и k 2 =(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2 (или через функцию Excel FРАСПОБР(вероятность;1;n-2)).
F табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k 1 =1 и k 2 =48, F табл = 4
Выводы : Поскольку фактическое значение F > F табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна ) .
Дисперсионный анализ
.Показатели качества уравнения регрессии
Пример
. По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: X - цена на товар А, тыс. руб.; Y - прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y ср) 2 = 138000. Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину этого показателя, на основе этого результата и с помощью F-критерия Фишера
сделайте вывод о качестве модели регрессии.
Решение. По этим данным можно определить эмпирическое корреляционное отношение : 
, где ∑(y ср -y x) 2 = ∑(y i -y ср) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92 000.
η 2 = 92 000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7 < η < 0.9 - связь между X и Y высокая).
F-критерий Фишера
: n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46. F табл (1; 23) = 4.27
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.
Вопрос: Какую статистику используют для проверки значимости модели регрессии?
Ответ: Для значимости всей модели в целом используют F-статистику (критерий Фишера).
