Квантование данных. Квантование сигналов, его назначение и виды. Квантование по уровню

Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Проще говоря, квантование – это округление дискретных значений сигнала до ближайших целых чисел из набора фиксированных уровней, на которые разбивается весь диапазон изменения сигнала, число этих уровней конечно и они называются уровнями квантования.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей. Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает сигнал по уровню. Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений.

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае равномерного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Шаг квантования определяется разрядностью АЦП.

Виды квантования.

Равномерное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного, характеристика квантования в этом случае носит линейный характер (рис. 1 а)):

Рисунок 1. Характеристики квантования: а) линейная; б) нелинейная

Нелинейное квантование – квантование с переменным шагом. Оно позволяет обеспечить достаточно большой динамический диапазон при снижении разрядности АЦП. При этом характеристика квантования имеет вид кривой, близкой к логарифмической. При квантовании малых сигналов шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала – достаточно высокой. При больших значениях сигнала шаг квантования увеличивается, что приводит к возрастанию ошибки. Но так как сигнал в этом случае имеет достаточно большой вес, шум квантования может быть эффективно замаскирован.

Преобразователи с нелинейной характеристикой квантования обеспечивают уменьшение разрядности и, как следствие, уменьшение скорости цифрового потока, но они могут являться источником нежелательных искажений. Слабые сигналы в присутствии сигнала с большой амплитудой из-за большой ошибки квантования могут подавляться на верхнем поддиапазоне.

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n - разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Число уровней квантования n и число двоичных разрядов АЦП определяют динамический диапазон преобразования. Динамический диапазон (в дБ) от числа разрядов АЦП или ЦАП определяется выражением:

где n – число двоичных разрядов.

Рис. Квантование сигнала по уровню:

а – с постоянным шагом квантования; б – погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

По оси ординат откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантование ∆ к.у. оказывается наибольшей. Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, б, в…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке в возникает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точки в, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам, и проводится пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией. Точки пересечения обозначаются буквами (а , b , c , d и т.д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆к.у., равная разности между значением функции λ(t ) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q /2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

(2.1)

Здесь + q /2 - максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 2, а - q /2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 3. Погрешность квантования представлены на рис. б), на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (рис. г.б), и проведен отрезок функции k-a . На участке а-b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции (t ), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т.д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию (t ), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию Из рис. г), а) следует, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию это позволяет рассматривать квантование как результат положения на функцию помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. а), число уровней квантования N на единицу больше числа интервала N – 1.

Если сообщение ограничено диапазоном от до , то

.

При имеем

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешности (в %), которая по определению равна . При описанном выше методе квантование (рис. б) погрешность не может превышать q /2, т.е. при подсчете нужно учитывать (2-1). Таким образом, считая, что (это достигается соответствующим расположением осей координат) получим

(2-4)

и шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

(2-5)

Пример 2-1. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции, от нуля до 100 В, с точностью . Согласно (2-5) q = 2В. Из (2-3) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от – q /2 до + q /2 (рис. б). При достаточно большом числе уровней квантование N распределение погрешности квантования в пределах от – q /2 до + q /2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции . Средне – квадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования Так, на рис. г) показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U . Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q , уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

О восстановлении функции, квантованной по уровню . Квантование по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжения, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции была осуществлена, когда мы горизонтальными отрезками соединяли вертикальные отрезки, образуя функцию (рис. а).

Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции её отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени , или дискретизацией. На рис. а) показано, что горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же интервал квантования .

Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией в точках 1, 2, 3, ..., 9 и определяют значения функции, начиная с Это значит, что в интервале Т непрерывная функция будет передаваться не бесконечным рядом значений, а в данном случае всего лишь десятью значениями. Нахождение точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, как и в квантовании по уровню, собственно процесс квантование по времени и заканчивается.

В том случае, если желают восстановить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, например, ступенчатую. При этом проводят из точек 0, 1, 2, ..., 9 горизонтальные линии до пересечения их с вертикальными линиями, т.е. линии 0-1", 1- 2" и т.д. Далее точки 1"-1, 2"-2, 3"-3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию "(t ).

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т , т.е. чем меньше шаг квантования t , тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция Однако излишне малая величина t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Рис. Квантование сообщения по времени:

а – метод квантования и восстановление функции ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которого заключается в следующим: любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F макс, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значением, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд ограничений для практичного применения этой теоремы. Так, все сообщения, передаваемые в телемеханике, ограничения во времени. Это обычно видео или радио импульсы длительностью τ, у которых согласно (1-14) и (1-22) спектр бесконечен. Поэтому представляет значительные трудности выбор величины F макс в (2-7) для функции, ограниченных во времени. Так, например, если предавать синусоидальное напряжение с частотой в 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно (2-7) для восстановления его формы его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, например, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из – за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

практически теореме Котельникова можно принять со следующей поправкой:

(2-8)

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной η л = 0,75/и при ступенчатой η ст = (3-5)η л (δ – относительная погрешность в %)

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. для примера на рис. б) начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, величины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны токовым же на рис. а). на рис. б) показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆ 3 на одном участке нарастания функции λ(t ) достигается за период ∆t , на другом за ∆t 2 , а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участке 1` - 2`). Это зависит от скорости нарастания функции λ=dλ/dt . Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции . Так, из рис. а) следует, что если бы на участке кривой 5-6 имелся всплеск функции (пунктир), то выбранный шаг квантования t оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен (следовало бы взять шаг ).

Величина абсолютной погрешности показана на рис. б). Здесь, как и в квантовании по уровню, при расчетах следует учитывать или , или , т.е. в среднем /2. Это значит, что = 100/2. Подставляя отсюда значение в (2-9), а значение из (2-11), получаем

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример 2-2. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F = 50 Гц. Погрешности при восстановлении δ = 1% . Согласно (2-7) ∆t = 1/2*50*10 -3 =10мм, т.е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период τ= 1/(50*10 -3)=20мм]. η л.и. =0,75/ 0,75/ = 7,5, то для ступенчатой интерполяции η ст =25 и ∆t ст = 1/25*2*50*10 -3 =0,4 мсек.. Так же результат получается и из (2-11). Таким образом, при заданной точности восстановления, каждый полупериод синусоиды следует предавать одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной.

Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или используя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая интерполяция, и наиболее редко используется фильтрация по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. а) выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значения до появления следующего значения

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. б). Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1", 2", ..., 9". Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9. В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности:

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно, лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной, нужно знать наперед хотя бы одну точку, что опять требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент t 4 (рис. а), т. 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (т. 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t , неизвестно: то ли значение возрастает (т. 5), то ли уменьшится (т. 5 2).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра НЧ, который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из–за того, что амплитудно–частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Зачастую квантование по времени используется для осуществления амплитудно – импульсной модуляции.

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2F max), где F max – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала F max.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x (t ), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax ). Для восстановления сигнала x (t ) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до F msx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x (t i) в моменты времени t i = i ∆t .

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2F max) используют приближенное значение F max (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до F max) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Т с и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t , равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Т с. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N =Т с/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой f дискр=1/∆t = φ0. При этом восстановление сигнала x (t ) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала К х(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x (t ) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x (t ), взятые в дискретные моменты времени t i и t i+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t =const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x (t ) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени Т о, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x (t ) дискретной шкалой х i (i = 1, 2, ..., m ), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t , называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x =const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

m = (x max – x min)/∆x ,

где x max и x min – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х ) = х – х дi, где х – кодируемая дискретная величина, х дi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х , тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x (t ), попавшее в интервал (х дi - ∆х /2; х дi + х дi х /2), округляется до х д, то возникающая при этом ошибка ξ(х ) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х )|=0,5∆х . На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x (t ) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (х max – х min), то принято считать ошибку квантования ξ(х ) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f 1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х ) внутри интервала (-∆х /2; +∆х /2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x =const относительная погрешность квантования ∆х =ξ(х )/х существенно зависит от текущего значения сигнала x (t ). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x (t )|). Выбор шага ∆х i =х дi – х дi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x (t ).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n =1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХПІ»

Кафедра «Обчислювальна техніка та програмування»

з курсу «Теорія інформації та кодування»

«Квантование сигналов»

Введение

Передача дискретных сигналов по каналам связи удобней и надежней, чем передача непрерывных сигналов, т. к. дискретные сигналы обладают лучшей помехозащищенностью, позволяют проще организовать многоканальную связь, кроме того, дискретные сигналы можно непосредственно обрабатывать с помощью ЭВМ.

Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

1. Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени

Частота квантования f k = 1/t должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t i ) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова: Функцию x(t) удовлетворяющую условиям Дирихле (ограниченную, кусочно-непрерывную и имеющую конечное число экстремумов), можно достаточно точно восстановить по ее отсчетам взятым через интервал времени t = 1/2f c =/ c , где - верхняя частота спектра функции а- круговая частота.

Значения функции x(t) в любой момент времени t определяется рядом Котельникова:

где - отсчеты (значения) функцииx(t) в дискретные моменты времени t = nt ; - функция отсчетов, которая представляет собой СБФ.

Для доказательства теоремы рассмотрим формулы Фурье

, , (2)

где- комплексный частотный спектр функцииx(t) .

В пределах диапазона [- c , ; + c ], сигнал x(t) можно представить интегралом Фурье через его частотный спектр

. (3)

Комплексный спектр можно отобразить рядом Фурье

. (4)

Где коэффициенты разложения равны

. (5)

Подставляя (5) в (4), а затем полученное выражение в (3) получим

Ряд Котельникова для x(t) с ограниченным спектром на конечном интервале T может быть представлен:

, (6)

где B = T/t = 2fT - база сигнала.

Рассмотрим функцию отсчетов сигналов

. (7)

Эта функция равна 1 при Z = 0, т. е. , и 0 при, где

Функция отсчета sinz/z представляет собой реакцию идеального фильтра НЧ на единичный импульс.

Если на приемной стороне поместить фильтр и пропустить через него квантованный сигнал, представляющий последовательность импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывной функции с частотой .

Если эти сигналы выхода фильтра просуммировать, то получим воспроизводящую функцию.

Рис. 2. Функция отсчетов

Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование по уровню

При квантовании по уровню (амплитуде) бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала x(t) заменяется конечным множеством дискретных значений x*(t) .

В результате квантования образуется ступенчатая функция (рис. 3).

Может быть использовано два способа квантования, при этом, мгновенное значение непрерывной функции заменятся меньшим дискретным значением или ближайшим.

x(t), x*(t) x(t), x*(t)

Рис.6.3. Квантование по уровню

Различают равномерное квантование, при котором диапазон изменения x(t) от x min до x max разбивается на N уровней с шагом ,называемых шагом квантования

При неравномерном квантовании шаг не постоянный. При замене действительных мгновенных значений функции на дискретные появляются методические погрешности, называемые шумом квантования (погрешность квантования по уровню). Эта погрешность носит случайный характер и для ее оценки необходимо использовать статические характеристики

При этом точку переключения необходимо выбирать так, чтобы эти характеристики были минимальными.

Рис. 4. Погрешности квантования

Плотность распределений, при большом числе уровней квантования, подчинятся закону равной плотности вероятности имеют вид, приведенный на рис. 4, и определяется соотношением:

В зависимости от используемого способа квантования, плотность вероятности и статистические характеристики погрешностей имеют вид:

Математическое ожидание погрешностей

(11)

Дисперсия погрешности

Среднеквадратическая ошибка

.

Если в результате квантования по уровню, значение сигнала выдается в двоичном коде с ценой младшего разряда, равного шагу квантования, то число двоичных разрядов и уровней квантования будет равно:

; ,

где добавление 1 соответствует учету первого уровня.

3. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна

то математическое ожидание ошибки равно

а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования

.

Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

Пример 1. В измерительном приборе расстояние между метками шкалы постоянно и равно x = a . При округлении отсчета до ближайшего целого деления погрешность по абсолютной величине не превышает половины расстояния между делением шкалы.

Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию округления.

Решение: Погрешность округления можно рассматривать как случайную величину x , принимающую с равной вероятностью любые значения в пределах от -x/2 до x/2 . Следовательно, плотность вероятности на этом интервале постоянна и равна нулю за этими пределами (10).

Математическое ожидание равно:

Дисперсия ошибки округления равна:

.

Среднеквадратическая ошибка равна:

Список литературы

А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.

Квантование

1.4. Дискретизация и квантование

Как уже отмечалось ранее, для описания различных информационных объектов используются различные функции времени. К ним относятся:

1. Непрерывная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.7).

Функция может принимать любые значения из бесконечного множества значений, расположенных в конечном интервале (x min , x max) , но только в фиксированные, наперед заданные моменты времени t k , k=0,1,2,...,n .

3. Дискретная функция непрерывного аргумента t (рис. 1.9).

Значения, которые могут принимать аргумент t и функция x(t) , образуют конечные дискретные ряды, заполняющие соответствующие интервалы (t 0 ,t n) и (x min , x max) .

Во многих случаях переход от непрерывного сообщения (сигнала) к дискретному осуществляется специально, поскольку это обеспечивает значительные преимущества при передаче, обработке и хранении информации. В связи с тем, что каждому из дискретных значений конечного множества можно сопоставить число, возникает возможность перейти к цифровому представлению информации, что позволит использовать ЭВМ при ее обработке.

Для выполнения этого перехода над непрерывной функцией непрерывного аргумента осуществляются преобразования, называемые квантованием по времени или дискретизацией и квантованием по уровню. В дальнейшем во избежание путаницы под дискретизацией будем понимать квантование по времени, а квантование по уровню будем называть просто квантованием .

1.4.1. Дискретизация

Дискретизация сводится к замене непрерывной по аргументу функции, функцией дискретного аргумента. В результате непрерывная функция отображается конечным числом ее мгновенных значений, взятых через определенные (равные или неравные) промежутки времени Dt .

Таким образом, дискретизация представляет собой по сути разложение непрерывной функции на совокупность составляющих ее элементарных функций. Для решения этой задачи используется упомянутое ранее обобщенное преобразование Фурье .

Примером ортогонального базиса, кроме рассмотренных ранее гармонических функций, являются функции отсчета Котельникова. Наличие разнообразных базисов в различных областях (частотной и временной) говорит о возможности различных спектральных представлений процессов.

Однако при любом из них возникает вопрос о возможности сколь угодно точного восстановления мгновенных значений процесса, исходя из отсчетных или выборочных значений, взятых через определенные интервалы. Дискретизация должна производиться так, чтобы по отсчетным значениям или коэффициентам разложения можно было получить воспроизводящую функцию, которая с заданной точностью отображает исходную функцию.

Восстановление непрерывной функции по конечному числу ее значений на конечном интервале времени T=(t 0 ,t n) приводит к погрешности, зависящей от числа взятых значений этой функции на этом интервале, т.е. от частоты дискретизации и от выбранного способа восстановления (интерполяции).

Таким образом, при дискретизации приходится решать вопрос о том, как часто следует производить отсчеты функции, т.е. каков должен быть шаг дискретизации Dt или частота дискретизации f=1/Dt .

При малом Dt количество отсчетов на интервале Т будет больше, точность воспроизведения - выше, но увеличится и количество информации, которое нужно хранить, передавать, обрабатывать. При большом Dt соответственно наоборот.

Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает восстановление исходной функции с заданной точностью при минимальном количестве отсчетов. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходной функции. В случае неоптимальной дискретизации, кроме существенных, производятся и избыточные отсчеты. Эти отсчеты не нужны для восстановления исходной функции с заданной точностью. Наличие избыточной информации нежелательно при ее передаче, обработке и хранении, так как требует больших ресурсов. Устранение этой избыточности может производиться в процессе дискретизации, в связи с чем дискретизацию можно рассматривать не только как операцию по преобразованию непрерывного сообщения в дискретное, но и как один из методов устранения избыточности.

Методы дискретизации и восстановления непрерывных функций классифицируются по следующим основным признакам:

а) регулярность отсчетов,

б) критерии оценки точности дискретизации и восстановления,

в) вида базисной функции.

Регулярность отсчетов в многом предопределяет степень устранения избыточности и сложность устройств дискретизации и восстановления. В соответствии с этим признаком можно выделить равномерную и неравномерную дискретизации. Дискретизация называется равномерной, если Dt =const на всем интервале Т . Величина Dt выбирается на основе априорных сведений о характере дискретизируемой функции. Равномерная дискретизация применяется достаточно широко из-за простоты алгоритмов и аппаратуры для ее реализации. Однако при ее использовании возможна значительная избыточность отсчетов.

Дискретизация называется неравномерной, если Dt =var . Выделяются два вида неравномерной дискретизации: адаптивная и программная.

При адаптивных методах дискретизации Dt изменяется в зависимости от текущего изменения значений дискретизируемой функции. При программной дискретизации Dt изменяется в соответствии с заранее составленной на основе априорных сведений о поведении дискретизируемой функции программой.

В качестве критериев оценки точности дискретизации и восстановления чаще других используются следующие критерии:

а) наибольшего отклонения,

б) среднеквадратический,

в) вероятностный,

г) интегральный.

Все эти критерии предлагают метод оценки отклонения воспроизводимой функции от исходной (т.е. ошибки дискретизации) на каждом из интервалов дискретизации. Если максимальная величина ошибки дискретизации задана, то эти критерии позволяют выбрать величину интервала дискретизации Dt , который обеспечить требуемую точность воспроизведения.

Существуют два способа воспроизведения исходного сигнала: воспроизведение с экстраполяцией и воспроизведение с интерполяцией. Методы дискретизации с экстраполяцией воспроизводящей функции не требуют задержки сигнала в пределах интервала дискретизации, т.е. могут использоваться в системах, работающих в реальном масштабе времени. Дискретизация с интерполяцией требует задержки сигнала на интервал интерполяции.

Выбор системы базисных функций определяется, с одной стороны, требуемой точностью восстановления, с другой - требованиями ограничения сложности устройств и программ дискретизации и восстановления. Требованию простоты нахождения коэффициентов разложения прежде всего отвечают степенные алгебраические полиномы. Использование в качестве базисных ортогональных систем функций в ряде случаев оказывается целесообразным, так как для такой системы относительно просто вычисляются коэффициенты разложения, и вычисление их включает операцию интегрирования сигнала, что положительно сказывается на помехоустойчивости алгоритма дискретизации. Задача оптимального выбора конкретного узкого класса базисных функций может решаться лишь при наличии значительной априорной информации о характере дискретизируемой функции. Так, например, если известно, что сигналы являются периодическими, то поиск базисных функций следует направит в класс гармонических функций.

Тот факт, что функция времени, отображающая непрерывной сообщение или сигнал, является произвольной и случайной, означает, что она может иметь временные изменения любой скорости - от самых медленных до бесконечно быстрых скачкообразных изменений. Это, в свою очередь, означает, что такая функция имеет бесконечный спектр . Реальные сообщения обладают спектром, основная часть энергии которых сосредоточена в ограниченной полосе частот. Это обусловлено тем, что устройства, формирующие и преобразующие сообщения и сигналы, обладают конечной ограниченной полосой пропускания. Функции, описывающие такие реальные процессы, называют функциями с ограниченным или финитным спектром .

Для таких функций сформулирована и доказана теорема Котельникова , суть которой состоит в том, что функцию s(t) с финитным спектром можно точно восстановить по ее отсчетам s(kDt) , взятым через интервалы времени Dt=1/2f в , где f в - верхняя частота спектра функции. Это осуществляется с помощью разложения функции в ряд Котельникова .

Функции , образующие базис Котельникова, называют функциями отсчета. Они отличаются друг от друга только сдвигом по оси времени (рис. 1.11) на интервалы, кратные Dt .

Свойства функции отсчетов:

1) в моменты времени t=kDt , где k - любое целое число, j k достигает своего максимального значения равного единице;

2) в моменты времени t=nDt , где n - любое целое число, причем n¹k , j k =0;

3) функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени.

Теорема Котельникова обобщается и на случайные процессы. В этом случае она формулируется следующим образом: «Для случайного процесса X(t) с финитным спектром ряд Котельникова , где X(kDt) - сечения процесса X(t) , взятые через интервалы Dt , сходится в среднеквадратическом смысле к процессу X(t) ».

Фундаментальное значение теоремы Котельникова состоит в том, что она, во-первых, позволяет заменить исследование непрерывных процессов более простой задачей исследования дискретных процессов. Во-вторых, она позволяет наряду с частотным представлением процессов (разложение в гармонический ряд Фурье, спектральные функции) применять и временное представление - разложение во временной ряд.

Полезно сопоставить вид функции отсчетов и получаемое по теореме Котельникова значение Dt с результатами рассмотрения параметров квазибелого шума. Из этого сопоставления можно сделать вывод о том, что шаг дискретизации Dt не должен быть больше интервала корреляции t к дискретизируемого процесса.

Однако применение этой теоремы встречает некоторые трудности. Строго говоря, функция с ограниченным спектром не ограничена (не финитна) во времени и, наоборот, финитная функция времени имеет неограниченный спектр.

На практике часто приходится иметь дело с сообщениями и сигналами конечной длительности, энергия или мощность которых почти полностью сосредоточена в интервале времени от Т 1 до Т 2 и в полосе частот DF = f в - f н . Слово «почти» оправдывает применение к этим объектам теоремы Котельникова и позволяет представлять их не бесконечным рядом, а конечной суммой. Естественно, такое представление уже не является точным и выполняется с некоторой погрешностью.

Будем полагать, что вся энергия сигнала содержится в полосе частот до f в , а все отсчеты за пределами интервала (Т 1 , Т 2 ) равны нулю. Тогда .

Ограничение членов ряда конечным числом приводит к появлению ошибки, абсолютное значение которой равно , а относительное , где знаменатель представляет собой полную мощность сигнала x(t) , а числитель - часть его мощности, отброшенную при введении ограничения по времени и ограничения по спектру.

Очень полезной и более простой формулой для определения допустимой величины шага дискретизации Dt при заданной погрешности Dt для стационарного случайного процесса X(t) является формула , где - значение коэффициента корреляции процесса X(t) при аргументе Dt . Из этой формулы при заданной погрешности d д можно получить выражение для допустимой величины шага дискретизации , где - функция, обратная коэффициенту корреляции процесса X(t).

Не смотря на наличие указанной погрешности, достоинство такого преобразования состоит в переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному пространству сигналов, т.е. сигналов, финитных и по спектру и по времени. Размерность этого пространства определяется числом элементов суммы членов ряда, которое равно или .

Эту величину B=2DFT называют базой сигнала . Физически она указывает на количество отсчетов, необходимых для описания сигнала

Обобщая сказанное о дискретизации можно заключить:

1. Представление процесса в виде разложения по ортонормированному базису называется обобщенным преобразованием Фурье. Энергия сигнала равна сумме энергий всех элементов обобщенного ряда Фурье. Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум ошибки аппроксимации.

2. Ряд Котельникова представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье. Базисными функциями в этом случае являются функции отсчета, сдвинутые во времени относительно друг друга на интервалы, кратные 1/2f в . Коэффициентами ряда Котельникова служат отсчеты разлагаемого процесса, взятые через равные промежутки времени Dt=1/2f в . Если в спектре процесса отсутствуют составляющие с частотами выше f в , то ряд Котельникова дает точное в среднеквадратическом смысле представление процесса.

1.4.2. Квантование

После дискретизации реализации непрерывного процесса (сообщения) он может быть представлен совокупностью отсчетов, каждый из которых, вообще говоря, может иметь бесконечное множество значений. Реальные получатели сообщений имеют конечную разрешающую способность, т.е. весьма малый, но не нулевой интервал, внутри которого все разные значения отсчетов воспринимаются как одинаковые. Сказанное свидетельствует о целесообразности квантования. Квантование функции есть, по сути, отображение непрерывного множества ее возможных значений на конечное подмножество ее значений, каждое из которых представляется в виде одного из заранее определенных дискретных уровней, называемых уровнями квантования .

Под шагом квантования понимается разность Dx = x m -x m -1 значений соседних уровней квантования. Число уровней квантования n на единицу больше числа интервалов квантования n-1 . Если квантуемая функция x ограничена диапазоном от x min до x max , то n-1= (x max - x min)/ Dx .

При квантовании обычно истинное значение функции x отождествляется или заменяется значением x i , соответствующим ближайшему уровню квантования.

Естественно, замена истинных значений на значения уровней квантования приводит к ошибке e=x i -x , называемой ошибкой или шумом квантования .

Обычно полагается, что при равномерном квантовании, когда Dx=const, шум квантования – случайная величина с равномерным законом распределения в пределах шага квантования . Максимальная ошибка квантования не превосходит половины шага квантования Dx / 2 . Среднеквадратическая ошибка квантования равна корню квадратному из дисперсии равномерного распределения , т.е. в Ö3 раз меньше максимальной ошибки.

Таким образом, ошибка квантования уменьшается с уменьшением шага квантования Dx . Однако при уменьшении шага растет число уровней квантования, а, следовательно, растет и разрядность чисел, требуемая для их представления. Кроме того, при уменьшении шага квантования его величина может оказаться сопоставимой с уровнем помех. Так что к выбору величины шага квантования необходимо подходить с тех же позиций, что и к выбору шага дискретизации, т.е. выбирать оптимальный шаг квантования с точки зрения обеспечения минимума уровней квантования и заданной величины ошибки квантования.

Рассмотренное квантование производилось с постоянным шагом Dx=const, вследствие чего квантованная функция состояла из одинаковых по величине ступенек. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с различным приращением уровней, т.е. с переменным шагом квантования Dx=var . Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

Таким образом, после выполнения операций дискретизации и квантования непрерывное сообщение представляется конечной последовательностью отсчетов, величина которых может принимать только вполне определенные значения, соответствующие уровням квантования. Если сопоставить каждому уровню квантования число, то непрерывное сообщение в результате выполнения операций дискретизации и квантования будет представлять собой последовательность чисел из конечного интервала, т.е. будет представлено в цифровой форме.