Ejemplos del método multiplicador de Lagrange. Optimización condicional. Método del multiplicador de Lagrange. El mínimo y el máximo están unidos por el concepto de extremo. Para ser específicos, sólo hablaremos de problemas de maximización. Encontrar el mínimo no requiere consideraciones especiales.

Método multiplicadorLagrange(en la literatura inglesa “método de multiplicadores indeterminados de LaGrange”) ˗ es un método numérico para resolver problemas de optimización que permite determinar el extremo “condicional” función objetivo(valor mínimo o máximo)

en presencia de restricciones específicas sobre sus variables en forma de igualdades (es decir, el área valores aceptables)

˗ estos son los valores del argumento de la función (parámetros controlables) en el dominio real en el que el valor de la función tiende a un extremo. El uso del nombre extremo “condicional” se debe a que las variables están sujetas a condición adicional, que limita el rango de valores aceptables al buscar el extremo de una función.

El método del multiplicador de Lagrange permite transformar el problema de buscar un extremo condicional de una función objetivo en un conjunto de valores admisibles en un problema de optimización incondicional de una función.

En caso de que las funciones Y son continuas junto con sus derivadas parciales, entonces existen variables λ que no son simultáneamente iguales a cero, bajo las cuales se cumple la siguiente condición:

Así, de acuerdo con el método del multiplicador de Lagrange, para encontrar el extremo de la función objetivo en el conjunto de valores admisibles, compongo la función de Lagrange L(x, λ), que se optimiza aún más:

donde λ ˗ es un vector de variables adicionales llamado factores indefinidos Lagrange.

Así, el problema de encontrar el extremo condicional de la función f(x) se ha reducido al problema de encontrar el extremo incondicional de la función L(x, λ).

Y

La condición necesaria para el extremo de la función de Lagrange viene dada por un sistema de ecuaciones (el sistema consta de ecuaciones “n + m”):

Resolver este sistema de ecuaciones nos permite determinar los argumentos de la función (X) en los cuales el valor de la función L(x, λ), así como el valor de la función objetivo f(x) corresponden al extremo.

La magnitud de los multiplicadores de Lagrange (λ) es de interés práctico si las restricciones se presentan en forma de un término libre en la ecuación (constante). En este caso, podemos considerar un valor adicional (aumentar/disminuir) de la función objetivo cambiando el valor de la constante en el sistema de ecuaciones. Por tanto, el multiplicador de Lagrange caracteriza la tasa de cambio en el máximo de la función objetivo cuando cambia la constante límite.

Hay varias formas de determinar la naturaleza del extremo de la función resultante:

Primer método: Sean las coordenadas del punto extremo y el valor correspondiente de la función objetivo. Se toma un punto cercano al punto y se calcula el valor de la función objetivo:

Si , entonces hay un máximo en el punto.

Si , entonces hay un mínimo en el punto.

Segundo método: una condición suficiente a partir de la cual se puede determinar la naturaleza del extremo es el signo del segundo diferencial de la función de Lagrange. El segundo diferencial de la función de Lagrange se define de la siguiente manera:

si en punto dado mínimo, si , entonces la función objetivo f(x) tiene una condicional máximo.

Tercer método: Además, la naturaleza del extremo de la función se puede determinar considerando la función hessiana de Lagrange. La matriz de Hesse es simétrica. matriz cuadrada segundas derivadas parciales de una función en el punto en el que los elementos de la matriz son simétricos con respecto a la diagonal principal.

Para determinar el tipo de extremo (máximo o mínimo de una función), puedes utilizar la regla de Sylvester:

1. Para que el segundo diferencial de la función de Lagrange sea de signo positivo es necesario que los menores angulares de la función sean positivos. En tales condiciones, la función en este punto tiene un mínimo.

2. Para que el segundo diferencial de la función de Lagrange tenga signo negativo , es necesario que los menores angulares de la función se alternen, y el primer elemento de la matriz debe ser negativov. En tales condiciones, la función en este punto tiene un máximo.

Por menor angular nos referimos al menor ubicado en las primeras k filas y k columnas de la matriz original.

Lo esencial significado práctico El método de Lagrange es que le permite pasar de la optimización condicional a la incondicional y, en consecuencia, ampliar el arsenal. métodos disponibles resolviendo el problema. Sin embargo, el problema de resolver un sistema de ecuaciones, al que se reduce este método, V. caso general no es más fácil problema original buscando un extremo. Estos métodos se denominan indirectos. Su uso se explica por la necesidad de obtener una solución a un problema extremo en forma analítica(por ejemplo, para ciertos cálculos teóricos). Al resolver específicos problemas prácticos Se suelen utilizar métodos directos, basados ​​en procesos iterativos de cálculo y comparación de los valores de las funciones que se optimizan.

Método de cálculo

1 paso: Determinamos la función de Lagrange a partir de la función objetivo y el sistema de restricciones dados:

Adelante

Para agregar su comentario al artículo, regístrese en el sitio.

Consideremos un problema de optimización restringido que contiene sólo restricciones en forma de igualdades.

mín.

sujeto a restricciones

,
.

Este problema, en principio, puede resolverse como un problema de optimización sin restricciones obtenido eliminando m variables independientes de la función objetivo utilizando igualdades dadas. La presencia de restricciones en forma de igualdades en realidad permite reducir la dimensión del problema original. Nueva tarea se puede resolver con método adecuado optimización incondicional.

Ejemplo.

Se requiere minimizar la función.

cuando es limitado Al excluir la variable

usando la ecuación obtenemos un problema de optimización con dos variables sin restricciones:

minimizar,

que se puede resolver utilizando uno de los métodos de optimización incondicional.

Sin embargo, el método de eliminación de variables sólo es aplicable en los casos en que las ecuaciones que representan las restricciones se pueden resolver con respecto a un determinado conjunto de variables. Si hay un gran número de restricciones en forma de igualdades, el proceso de eliminación de variables se convierte en un procedimiento que requiere mucha mano de obra. Además, puede haber situaciones en las que la ecuación no se pueda resolver con respecto a una variable. En este caso, es recomendable utilizar el método del multiplicador de Lagrange.

Utilizando el método del multiplicador de Lagrange se establecen esencialmente las condiciones necesarias para permitir la identificación de puntos óptimos en problemas de optimización con restricciones de igualdad.

mín.

sujeto a restricciones

,
.

Consideremos el problema Del curso de análisis matemático se sabe bien que el punto mínimo condicional de la función

,

coincide con el punto silla de la función de Lagrange: al mismo tiempo punto de silla debe proporcionar un mínimo de variables y parámetros máximos . Estos parámetros se denominan multiplicadores de Lagrange. Igualar derivadas parciales de funciones Por

,
,

,
.

y por
a cero, obtenemos las condiciones necesarias para un punto estacionario:

Solución del sistema

Consideremos el problema no programación lineal con restricciones en forma de desigualdades

mín.

bajo restricciones

,
.

Reduzcamos las restricciones en forma de desigualdades a restricciones de igualdad agregando variables debilitantes a cada una de ellas. ,
:

.

Formemos la función de Lagrange:

Entonces las condiciones necesarias para un mínimo toman la forma

,
;

,
;

,
.

Puedes multiplicar la última ecuación por y reemplazar las variables atenuantes expresándolas a partir de la segunda ecuación. La segunda ecuación se puede transformar descartando las variables atenuantes y pasando a restricciones de desigualdad. Se debe agregar una condición más.
, que debe cumplirse en el punto mínimo condicional.

Finalmente, obtenemos las condiciones necesarias para la existencia de un mínimo de un problema de programación no lineal con restricciones de desigualdad, que se denominan condiciones de Kuhn-Tucker:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
. (4)

Restricción de desigualdad
llamado activo en un punto , si se convierte en igualdad
, y se llama inactivo si
.

Si es posible detectar, antes de resolver directamente el problema, restricciones que están inactivas en el punto óptimo, entonces estas restricciones pueden excluirse del modelo y así reducir su tamaño.
La ecuación (3) significa que
, o
.
Si
, Eso
y la restricción está activa y representa una restricción de igualdad. Por otro lado, si la restricción es una desigualdad estricta
, entonces el multiplicador de Lagrange tendrá la forma

aquellos. limitación

está inactivo y puede ignorarse. Por supuesto, no se sabe de antemano qué restricciones se pueden ignorar. Breve teoría El método del multiplicador de Lagrange es un método clásico para resolver problemas. programación matemática (en particular convexo). Desafortunadamente, cuando aplicación práctica El método puede encontrar importantes dificultades computacionales, lo que reduce el alcance de su uso. Consideramos aquí el método de Lagrange principalmente porque es un aparato utilizado activamente para fundamentar varias teorías modernas. métodos numéricos

, ampliamente utilizado en la práctica. En cuanto a la función de Lagrange y los multiplicadores de Lagrange, juegan un papel independiente y exclusivo. papel importante en teoría y aplicaciones no solo de programación matemática.

consideremos

El enfoque clásico para resolver el problema proporciona un sistema de ecuaciones (condiciones necesarias) que debe satisfacer el punto que proporciona a la función un extremo local en el conjunto de puntos que satisfacen las restricciones (para un problema de programación convexa, el punto encontrado también será el punto extremo global).

Supongamos que en un punto la función (1) tiene un extremo condicional local y el rango de la matriz es igual a . Entonces las condiciones necesarias se escribirán en la forma:

hay una función de Lagrange;

– Multiplicadores de Lagrange. También hay condiciones suficientes

, cuando se cumple, la solución del sistema de ecuaciones (3) determina el punto extremo de la función. Esta cuestión se resuelve a partir del estudio del signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange. Sin embargo, las condiciones suficientes son principalmente de interés teórico.

Puede especificar el siguiente procedimiento para resolver los problemas (1), (2) utilizando el método del multiplicador de Lagrange:

1) componer la función de Lagrange (4);

2) encontrar las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a todas las variables y equipararlas

cero. Así se obtendrá un sistema (3), formado por ecuaciones. Resuelva el sistema resultante (¡si es posible!) y así encuentre todos los puntos estacionarios de la función de Lagrange;

3) a partir de puntos estacionarios tomados sin coordenadas, seleccione puntos en los que la función tenga extremos locales condicionales en presencia de restricciones (2). Esta elección se hace, por ejemplo, utilizando condiciones suficientes para un extremo local. A menudo el estudio se simplifica si se utilizan las condiciones específicas del problema.

Ejemplo de solución de problema

Condición problemática

La empresa produce dos tipos de bienes en cantidades y . La función de costo útil está determinada por la relación. Los precios de estos bienes en el mercado son iguales y correspondientes.

Determine en qué volúmenes de producción se logra el beneficio máximo y a qué equivale si los costos totales no exceden

¿Tiene problemas para comprender el progreso de una decisión? El sitio web ofrece un servicio de resolución de problemas utilizando métodos de solución óptima para realizar el pedido.

solución del problema

Modelo económico y matemático del problema.

Función de beneficio:

Restricciones de costos:

Obtenemos el siguiente modelo económico y matemático:

Además, según el significado de la tarea.

Método del multiplicador de Lagrange

Compongamos la función de Lagrange:

Encontramos las derivadas parciales de primer orden:

Creemos y resolvamos un sistema de ecuaciones:

Desde entonces

Beneficio máximo:

Respuesta
Se proporciona un ejemplo de resolución de un problema de programación convexa cuadrática utilizando un método gráfico.

Resolver un problema lineal por método gráfico.
Consideró método gráfico Resolver un problema de programación lineal (LPP) con dos variables. Se da un ejemplo de la tarea. descripción detallada construir un dibujo y encontrar una solución.

El modelo de gestión de inventarios de Wilson.
Utilizando el ejemplo de resolución del problema, se considera el modelo básico de gestión de inventarios (modelo Wilson). Se calcularon los siguientes indicadores del modelo: tamaño óptimo cantidades de pedido, costes anuales de mantenimiento, intervalos de entrega y punto de pedido.

Matriz de relación de costos directos y matriz insumo-producto
Utilizando el ejemplo de la resolución de un problema, se considera el modelo intersectorial de Leontiev. Se muestra el cálculo de la matriz de coeficientes de rectas. costos de materiales, matrices insumo-producto, matrices de coeficientes de costos indirectos, vectores de consumo final y producción bruta.

Descripción del método

Dónde .

Razón fundamental

La siguiente justificación del método del multiplicador de Lagrange no es una prueba rigurosa del mismo. Contiene consideraciones heurísticas que ayudan a comprender el significado geométrico del método.

Caso bidimensional

Líneas de nivel y curva.

Sea necesario encontrar el extremo de alguna función de dos variables bajo la condición especificada por la ecuación . Supondremos que todas las funciones son continuamente diferenciables y que esta ecuación define una curva suave S en el avión. Entonces el problema se reduce a encontrar el extremo de la función. F en la curva S. También asumiremos que S no pasa por puntos donde el gradiente F se vuelve 0.

Dibujemos líneas de nivel de función en el plano. F(es decir, curvas). De consideraciones geométricas está claro que el extremo de la función F en la curva S sólo puede haber puntos en los que las tangentes a S y la línea de nivel correspondiente coinciden. De hecho, si la curva S cruza la línea de nivel F en un punto transversalmente (es decir, en algún ángulo distinto de cero), luego moviéndose a lo largo de la curva S desde un punto podemos llegar a las líneas de nivel correspondientes valor más alto F y menos. Por tanto, tal punto no puede ser un punto extremo.

Por tanto, una condición necesaria para un extremo en nuestro caso será la coincidencia de las tangentes. Para escribirlo en forma analítica, fíjate que equivale al paralelismo de los gradientes de las funciones. F y ψ en un punto dado, ya que el vector gradiente es perpendicular a la tangente a la línea de nivel. Esta condición se expresa en siguiente formulario:

donde λ es un número distinto de cero que es un multiplicador de Lagrange.

Consideremos ahora función de Lagrange, dependiendo de y λ:

Una condición necesaria para su extremo es que el gradiente sea igual a cero. De acuerdo con las reglas de diferenciación, se escribe en la forma

Hemos obtenido un sistema cuyas dos primeras ecuaciones son equivalentes a la condición necesaria para un extremo local (1), y la tercera es equivalente a la ecuación . Puedes encontrarlo en él. Además, dado que de lo contrario el gradiente de la función F desaparece en el punto , lo que contradice nuestras suposiciones. Cabe señalar que los puntos encontrados de esta manera pueden no ser los puntos deseados del extremo condicional; la condición considerada es necesaria, pero no suficiente. Encontrar un extremo condicional usando una función auxiliar l y forma la base del método multiplicador de Lagrange, aplicado aquí para el caso más simple de dos variables. Resulta que el razonamiento anterior se puede generalizar al caso de un número arbitrario de variables y ecuaciones que especifican las condiciones.

Con base en el método del multiplicador de Lagrange, es posible demostrar algunas condiciones suficientes para un extremo condicional, que requieren el análisis de las segundas derivadas de la función de Lagrange.

Solicitud

• El método del multiplicador de Lagrange se utiliza para resolver problemas de programación no lineal que surgen en muchos campos (por ejemplo, en economía).
• El método principal para resolver el problema de optimizar la calidad de la codificación de datos de audio y video a una tasa de bits promedio determinada (optimización de la distorsión - inglés. Optimización de distorsión de velocidad).

Ver también

Campo de golf

• Zorich V. A. análisis matemático. Parte 1. - ed. 2do, rev. y adicional - M.: FAZIS, 1997.

Fundación Wikimedia.

2010.

Vea qué son los “multiplicadores de Lagrange” en otros diccionarios: Multiplicadores de Lagrange - factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema extremo de programación convexa (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos utilizando el método de resolución de multiplicadores... ...

Diccionario económico y matemático. Multiplicadores de Lagrange - Factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema de programación extrema convexa (en particular, programación lineal) al resolverlo mediante uno de los métodos clásicos, el método de resolución de multiplicadores (método de Lagrange).... ...

Guía del traductor técnico Mecánica. 1) Ecuaciones de Lagrange de 1er tipo, ecuaciones diferenciales de movimiento mecánico. sistemas, que se dan en proyecciones sobre ejes de coordenadas rectangulares y contienen los llamados. Multiplicadores de Lagrange. Obtenido por J. Lagrange en 1788. Para un sistema holonómico, ... ...

Mecánica de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2º orden, que describen los movimientos mecánicos. sistemas bajo la influencia de fuerzas que se les aplican. lu establecido por J. Lag gama en dos formas: L. u. 1er tipo, o ecuaciones en Coordenadas cartesianas Con… … Enciclopedia Matemática

1) en hidromecánica, la ecuación del movimiento de un fluido (gas) en variables de Lagrange, que son las coordenadas del medio. Francés recibido científico J. Lagrange (aprox. 1780). De L. u. la ley del movimiento del medio está determinada en forma de dependencias... ... Mecánica. 1) Ecuaciones de Lagrange de 1er tipo, ecuaciones diferenciales de movimiento mecánico. sistemas, que se dan en proyecciones sobre ejes de coordenadas rectangulares y contienen los llamados. Multiplicadores de Lagrange. Obtenido por J. Lagrange en 1788. Para un sistema holonómico, ... ...

Método del multiplicador de Lagrange, un método para encontrar el extremo condicional de la función f(x), donde, en relación con m restricciones, i varía de uno a m. Contenido 1 Descripción del método ... Wikipedia

Función utilizada para resolver problemas en el extremo condicional de funciones de muchas variables y funcionales. Con la ayuda de L. f. Se anotan las condiciones necesarias para la optimización en problemas en un extremo condicional. En este caso, no es necesario expresar sólo variables... Enciclopedia Matemática

Método para resolver problemas en Extremo condicional; L.M.M. consiste en reducir estos problemas a problemas sobre extremo incondicional función auxiliar llamada Funciones de Lagrange. Para el problema del extremo de la función f (x1, x2,..., xn) para... ...

Variables con las que se construye la función de Lagrange al estudiar problemas en un extremo condicional. ... El uso de métodos lineales y la función de Lagrange nos permite obtener las condiciones de optimización necesarias en problemas que involucran un extremo condicional de forma uniforme... Enciclopedia Matemática

1) en hidromecánica, las ecuaciones de movimiento de un medio fluido, escritas en variables de Lagrange, que son las coordenadas de las partículas del medio. De L. u. la ley del movimiento de las partículas del medio se determina en forma de dependencias de las coordenadas con el tiempo, y a partir de ellas... ... Gran enciclopedia soviética

Primero, consideremos el caso de una función de dos variables. El extremo condicional de una función $z=f(x,y)$ en el punto $M_0(x_0;y_0)$ es el extremo de esta función, logrado bajo la condición de que las variables $x$ e $y$ en la la vecindad de este punto satisface la ecuación de conexión $\ varphi (x,y)=0$.

El nombre de extremo “condicional” se debe al hecho de que se impone una condición adicional $\varphi(x,y)=0$ a las variables. Si una variable se puede expresar a partir de una ecuación de conexión a través de otra, entonces el problema de determinar el extremo condicional se reduce al problema de determinar el extremo habitual de una función de una variable. Por ejemplo, si la ecuación de conexión implica $y=\psi(x)$, entonces sustituyendo $y=\psi(x)$ en $z=f(x,y)$, obtenemos una función de una variable $z =f\izquierda (x,\psi(x)\derecha)$. Sin embargo, en el caso general este método es de poca utilidad, por lo que es necesaria la introducción de un nuevo algoritmo.

Método del multiplicador de Lagrange para funciones de dos variables.

El método del multiplicador de Lagrange consiste en construir una función de Lagrange para encontrar un extremo condicional: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (el parámetro $\lambda$ se llama el multiplicador de Lagrange). Requisitos previos Los extremos están dados por un sistema de ecuaciones a partir del cual se determinan los puntos estacionarios:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(alineado)\right.

Una condición suficiente a partir de la cual se puede determinar la naturaleza del extremo es el signo $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Si en un punto estacionario $d^2F > 0$, entonces la función $z=f(x,y)$ tiene un mínimo condicional en este punto, pero si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Hay otra forma de determinar la naturaleza del extremo. De la ecuación de acoplamiento obtenemos: $\varphi_(x)^()dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^())( \varphi_ (y)^("))dx$, por lo tanto en cualquier punto estacionario tenemos:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^() \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \derecha)$$

El segundo factor (ubicado entre paréntesis) se puede representar de esta forma:

Los elementos del determinante $\left| están resaltados en rojo. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, que es el hessiano de la función de Lagrange. Si $H > 0$, entonces $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, es decir tenemos un mínimo condicional de la función $z=f(x,y)$.

Una nota sobre la notación del determinante $H$. mostrar\ocultar

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(matriz) \derecha| $$

En esta situación, la regla formulada anteriormente cambiará de la siguiente manera: si $H > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, y si $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmo para estudiar una función de dos variables para un extremo condicional

1. Componer la función de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Resuelve el sistema $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(alineado) \right.$
3. Determine la naturaleza del extremo en cada uno de los puntos estacionarios encontrados en el párrafo anterior. Para hacer esto, utilice cualquiera de los siguientes métodos:
   • Componga el determinante de $H$ y encuentre su signo
   • Teniendo en cuenta la ecuación de acoplamiento, calcule el signo de $d^2F$

Método multiplicador de Lagrange para funciones de n variables

Digamos que tenemos una función de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $m$ ecuaciones de acoplamiento ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Denotando los multiplicadores de Lagrange como $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, componemos la función de Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Las condiciones necesarias para la presencia de un extremo condicional están dadas por un sistema de ecuaciones a partir del cual se encuentran las coordenadas de los puntos estacionarios y los valores de los multiplicadores de Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(alineado) \right.$$

Puedes averiguar si una función tiene un mínimo condicional o un máximo condicional en el punto encontrado, como antes, usando el signo $d^2F$. Si en el punto encontrado $d^2F > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, pero si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinante de la matriz $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, resaltado en rojo en la matriz $L$, es el hessiano de la función de Lagrange. Usamos la siguiente regla:

• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ coinciden con el signo de $(-1)^m$, entonces el punto estacionario bajo estudio es el punto mínimo condicional de la función $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternan, y el signo del menor $H_(2m+1)$ coincide con el signo del número $(-1)^(m+1 )$, entonces el punto estacionario es el punto máximo condicional de la función $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Ejemplo No. 1

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=x+3y$ bajo la condición $x^2+y^2=10$.

La interpretación geométrica de este problema es la siguiente: se requiere encontrar el mayor y valor más pequeño se aplica del plano $z=x+3y$ para los puntos de su intersección con el cilindro $x^2+y^2=10$.

Es algo difícil expresar una variable a través de otra a partir de la ecuación de acoplamiento y sustituirla en la función $z(x,y)=x+3y$, por lo que usaremos el método de Lagrange.

Denotando $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, componemos la función de Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Escribamos un sistema de ecuaciones para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ \left \( \begin(alineado) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (alineado)\derecha.$$

Si asumimos $\lambda=0$, entonces la primera ecuación se convierte en: $1=0$. La contradicción resultante indica que $\lambda\neq 0$. Bajo la condición $\lambda\neq 0$, de la primera y segunda ecuaciones tenemos: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Sustituyendo los valores obtenidos en la tercera ecuación, obtenemos:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(alineado) \right.\\ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(alineado) $$

Entonces, el sistema tiene dos soluciones: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ y $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario: $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$. Para ello, calculamos el determinante de $H$ en cada punto.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

En el punto $M_1(1;3)$ obtenemos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, entonces en el punto La función $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ tiene un máximo condicional, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De manera similar, en el punto $M_2(-1,-3)$ encontramos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Desde $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Observo que en lugar de calcular el valor del determinante $H$ en cada punto, es mucho más conveniente expandirlo en vista general. Para no saturar el texto con detalles, ocultaré este método debajo de una nota.

Escribiendo el determinante $H$ en forma general. mostrar\ocultar

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principio, ya es obvio qué signo tiene $H$. Dado que ninguno de los puntos $M_1$ o $M_2$ coincide con el origen, entonces $y^2+x^2>0$. Por lo tanto, el signo de $H$ es opuesto al signo de $\lambda$. Puedes completar los cálculos:

$$ \begin(alineado) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(alineado) $$

La pregunta sobre la naturaleza del extremo en los puntos estacionarios $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$ se puede resolver sin utilizar el determinante $H$. Encontremos el signo de $d^2F$ en cada punto estacionario:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\derecha) $$

Permítanme señalar que la notación $dx^2$ significa exactamente $dx$ elevado a la segunda potencia, es decir $\izquierda(dx \derecha)^2$. Por lo tanto tenemos: $dx^2+dy^2>0$, por lo tanto, con $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ obtenemos $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Respuesta: en el punto $(-1;-3)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=-10$. En el punto $(1;3)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=10$

Ejemplo No. 2

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ bajo la condición $x+y=0$.

Primer método (método del multiplicador de Lagrange)

Denotando $\varphi(x,y)=x+y$, componemos la función de Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(alineado) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Resuelto el sistema, obtenemos: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ y $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Tenemos dos puntos estacionarios: $M_1(0;0)$ y $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario usando el determinante $H$.

$$H=\izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 y 1 y 1\\ 1 y 8 y -1 \\ 1 y -1 y 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

En el punto $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, por lo tanto en este punto la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Investigamos la naturaleza del extremo en cada punto usando un método diferente, basado en el signo de $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$

De la ecuación de conexión $x+y=0$ tenemos: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dado que $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, entonces $M_1(0;0)$ es el punto mínimo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De manera similar, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Segunda manera

De la ecuación de conexión $x+y=0$ obtenemos: $y=-x$. Sustituyendo $y=-x$ en la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obtenemos alguna función de la variable $x$. Denotemos esta función como $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Por lo tanto, reducimos el problema de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables al problema de determinar el extremo de una función de una variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9 \; y_2=-x_2=-\frac(10)(9);

Obtuvimos los puntos $M_1(0;0)$ y $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Se conocen más investigaciones del curso. cálculo diferencial funciones con una variable. Examinando el signo de $u_(xx)^("")$ en cada punto estacionario o comprobando el cambio en el signo de $u_(x)^(")$ en los puntos encontrados, obtenemos las mismas conclusiones que cuando resolviendo de la primera manera, por ejemplo, verificaremos el signo $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dado que $u_(xx)^("")(M_1)>0$, entonces $M_1$ es el punto mínimo de la función $u(x)$, y $u_(\min)=u(0)=0 $ . Desde $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Los valores de la función $u(x)$ para una condición de conexión dada coinciden con los valores de la función $z(x,y)$, es decir los extremos encontrados de la función $u(x)$ son los extremos condicionales buscados de la función $z(x,y)$.

Respuesta: en el punto $(0;0)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=0$. En el punto $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Consideremos otro ejemplo en el que aclararemos la naturaleza del extremo determinando el signo de $d^2F$.

Ejemplo No. 3

Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=5xy-4$ si las variables $x$ e $y$ son positivas y satisfacen la ecuación de acoplamiento $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Compongamos la función de Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Encontremos los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(alineado) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(alineado) \right.

Todas las transformaciones posteriores se llevan a cabo teniendo en cuenta $x > 0; \; y > 0$ (esto se especifica en el enunciado del problema). De la segunda ecuación expresamos $\lambda=-\frac(5x)(y)$ y sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Sustituyendo $x=2y$ en la tercera ecuación, obtenemos: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dado que $y=1$, entonces $x=2$, $\lambda=-10$. Determinamos la naturaleza del extremo en el punto $(2;1)$ basándonos en el signo de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dado que $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, entonces:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principio, aquí puedes sustituir inmediatamente las coordenadas del punto estacionario $x=2$, $y=1$ y el parámetro $\lambda=-10$, obteniendo:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Sin embargo, en otros problemas, en un extremo condicional pueden haber varios puntos estacionarios. En tales casos, es mejor representar $d^2F$ en forma general y luego sustituir las coordenadas de cada uno de los puntos estacionarios encontrados en la expresión resultante:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Sustituyendo $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, obtenemos:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dado que $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Respuesta: en el punto $(2;1)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=6$.

En la siguiente parte consideraremos la aplicación del método de Lagrange para funciones. más variables.