El método del multiplicador de Lagrange es. El problema de Lagrange. Extremos incondicionales y condicionales. Modelo económico y matemático del problema.
Sea y dos veces continuamente diferenciable funciones escalares argumento vectorial. Se requiere encontrar el extremo de la función, siempre que el argumento satisfaga el sistema de restricciones:
(última condición también llamado condición de conexión).
Mayoría método sencillo encontrar un extremo condicional es reducir el problema a encontrar un extremo incondicional resolviendo la ecuación de conexión con respecto a metro variables y su posterior sustitución en la función objetivo.
Ejemplo 3. Encuentra el extremo de la función bajo la condición.
Solución. De la ecuación de conexión expresamos x2 a través de x1 y sustituir la expresión resultante en la función en:
Esta función tiene un único extremo (mínimo) en x1=2. Respectivamente, x2=1. Por tanto, el punto del extremo condicional (mínimo) función dada es el punto.
En el ejemplo considerado, la ecuación de acoplamiento se puede resolver fácilmente con respecto a una de las variables. Sin embargo, en más casos difíciles No siempre es posible expresar variables. En consecuencia, el enfoque descrito anteriormente no es aplicable a todos los problemas.
Más método universal resolver problemas de encontrar un extremo condicional es Método del multiplicador de Lagrange. Se basa en la aplicación del siguiente teorema. Si un punto es un punto extremo de una función en la región definida por las ecuaciones, entonces (para algunos condiciones adicionales) hay tal metro-vector dimensional que punto es un punto estacionario de la función
Algoritmo para el método multiplicador de Lagrange
Paso 1. Componga la función de Lagrange:
¿Dónde está el multiplicador de Lagrange correspondiente a i-ésima restricción.
Paso 2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange y equiparalas a cero.
Paso 3. Habiendo resuelto el sistema resultante de norte+metro ecuaciones, encontrar puntos estacionarios.
Tenga en cuenta que en puntos estacionarios se satisface lo necesario, pero no condición suficiente extremo de la función. Análisis de un punto estacionario para detectar la presencia de un extremo en él. en este caso bastante complicado. Por tanto, el método del multiplicador de Lagrange se utiliza principalmente en los casos en los que se conoce de antemano la existencia de un mínimo o máximo de la función en estudio a partir de consideraciones geométricas o sustantivas.
Al resolver algunos problemas económicos, los multiplicadores de Lagrange tienen un cierto contenido semántico. Entonces, si - el beneficio de la empresa según el plan de producción norte bienes, - costos i-ésimo recurso, entonces yo- evaluación de este recurso, caracterizando la tasa de cambio del óptimo función objetivo dependiendo del cambio i-ésimo recurso.
Ejemplo 4. Encuentra los extremos de la función bajo la condición.
Solución. Las funciones son continuas y tienen derivadas parciales continuas. Compongamos la función de Lagrange:
Encontremos las derivadas parciales y equiparémoslas a cero.
Obtenemos dos puntos estacionarios:
Teniendo en cuenta la naturaleza de la función objetivo, cuyas líneas de nivel son planos, y la función (elipse), concluimos que en el punto la función toma un valor mínimo y en el punto un máximo.
Ejemplo 5. En el campo de las soluciones de sistemas.
Encuentre el valor máximo y mínimo de la función dada la condición.
Solución. Cruzando la zona soluciones admisibles y la recta es el segmento Minnesota: METRO(0,6), norte(6.0). Por tanto, la función puede tomar valores extremos ya sea en puntos estacionarios o en puntos METRO Y norte. Para encontrar un punto estacionario aplicamos el método de Lagrange. Compongamos la función de Lagrange.
Encontremos las derivadas parciales de la función de Lagrange y equiparémoslas a cero.
Resolviendo el sistema, obtenemos un punto estacionario. k(2.2;3.8). Comparemos los valores de la función objetivo en los puntos. k, METRO, norte:
Por eso,
Ejemplo 6. Se sabe que la demanda del mercado de un determinado producto es de 180 unidades. Este producto puede ser fabricado por dos empresas de la misma empresa según varias tecnologías. Durante la producción x1 productos de la primera empresa, sus costos serán frotar., y durante la fabricación. x2 productos de la segunda empresa que integran frotar.
Determine cuántos productos fabricados con cada tecnología puede ofrecer la empresa para que los costos totales de su producción sean mínimos.
Solución. Modelo matemático del problema:
para encontrar valor mínimo función objetivo proporcionada x1+ x2=180, es decir Sin tener en cuenta el requisito de no negatividad de las variables, componemos la función de Lagrange:
Encontremos las primeras derivadas de la función de Lagrange con respecto a x1, x2, yo, y los equiparamos a 0. Obtenemos un sistema de ecuaciones:
Resolviendo este sistema, encontramos las siguientes raíces: , es decir. obtenemos las coordenadas de un punto sospechoso de ser un extremo.
Para determinar si un punto ( ) mínimo local, estudiamos el determinante de Hesse, para lo cual calculamos las segundas derivadas parciales de la función objetivo:
Porque
entonces el determinante de Hesse es definido positivo; por lo tanto, la función objetivo es convexa y en el punto ( ) tenemos un mínimo local:
Método del multiplicador de Lagrange.
El método del multiplicador de Lagrange es uno de los métodos que permite resolver problemas sin programación lineal.
La programación no lineal es una sección. programación matemática, estudiando métodos para resolver problemas extremos con una función objetivo no lineal y una región de soluciones factibles definida por restricciones no lineales. En economía, esto corresponde al hecho de que los resultados (eficiencia) aumentan o disminuyen desproporcionadamente a los cambios en la escala de uso de los recursos (o, lo que es lo mismo, la escala de producción): por ejemplo, debido a la división de los costos de producción en empresas en variables y semifijas; debido a la saturación de la demanda de bienes, cuando cada unidad posterior es más difícil de vender que la anterior, etc.
El problema de programación no lineal se plantea como el problema de encontrar el óptimo de una determinada función objetivo.
F(x 1 ,…x n), F (incógnita) → máx.
cuando se cumplen las condiciones
g j (x 1 ,…x n)≥0, gramo (incógnita) ≤ b , incógnita ≥ 0
Dónde incógnita-vector de las variables requeridas;
F (incógnita) -función objetiva;
gramo (incógnita) - función de restricción (continuamente diferenciable);
b - vector de constantes de restricción.
La solución a un problema de programación no lineal (máximo o mínimo global) puede pertenecer a la frontera o al interior del conjunto admisible.
A diferencia de un problema de programación lineal, en un problema de programación no lineal el óptimo no necesariamente se encuentra en el límite de la región definida por las restricciones. En otras palabras, la tarea es elegir tales valores no negativos variables sujetas a un sistema de restricciones en forma de desigualdades bajo las cuales se alcanza el máximo (o mínimo) de una función determinada. En este caso, no se especifican ni las formas de la función objetivo ni las desigualdades. puede haber diferentes casos: la función objetivo no es lineal y las restricciones son lineales; la función objetivo es lineal y las restricciones (al menos una de ellas) son no lineales; Tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales.
El problema de la programación no lineal se encuentra en las ciencias naturales, la ingeniería, la economía, las matemáticas, las relaciones comerciales y el gobierno.
La programación no lineal, por ejemplo, está relacionada con los conceptos básicos. tarea económica. Entonces en el problema de distribución recursos limitados maximizar la eficiencia o, si se estudia al consumidor, el consumo bajo restricciones que expresan condiciones de escasez de recursos. En una formulación tan general, la formulación matemática del problema puede resultar imposible, pero en aplicaciones específicas la forma cuantitativa de todas las funciones puede determinarse directamente. Por ejemplo, una empresa industrial produce productos plásticos. La eficiencia de la producción se mide aquí por las ganancias y las restricciones se interpretan como efectivo. fuerza laboral, áreas de producción, rendimiento de los equipos, etc.
El método de rentabilidad también encaja en el esquema de programación no lineal. este método Fue desarrollado para su uso en la toma de decisiones en el gobierno. Función general la eficiencia es bienestar. Aquí surgen dos problemas de programación no lineal: el primero es maximizar el efecto a costos limitados, el segundo es minimizar los costos siempre que el efecto esté por encima de un cierto nivel mínimo. Este problema suele modelarse bien mediante programación no lineal.
Los resultados de resolver un problema de programación no lineal son útiles para tomar decisiones gubernamentales. Por supuesto, se recomienda la solución resultante, por lo que es necesario examinar las suposiciones y la precisión del problema de programación no lineal antes de tomar una decisión final.
Los problemas no lineales son complejos; a menudo se simplifican conduciendo a problemas lineales. Para hacer esto, se supone convencionalmente que en un área particular la función objetivo aumenta o disminuye en proporción al cambio en las variables independientes. Este enfoque se denomina método de aproximaciones lineales por partes; sin embargo, es aplicable sólo a ciertos tipos de problemas no lineales;
Los problemas no lineales bajo ciertas condiciones se resuelven usando la función de Lagrange: habiéndola encontrado punto de silla, encontrando así una solución al problema. Entre algoritmos computacionales Notario público. gran lugar ocupar métodos de gradiente. No existe un método universal para problemas no lineales y, aparentemente, puede que no lo haya, ya que son extremadamente diversos. Los problemas multiextremos son especialmente difíciles de resolver.
Uno de los métodos que permite reducir un problema de programación no lineal a resolver un sistema de ecuaciones es el método de Lagrange de multiplicadores indefinidos.
Usando el método del multiplicador de Lagrange, esencialmente establecemos condiciones necesarias, permitiendo identificar puntos óptimos en problemas de optimización con restricciones en forma de igualdades. En este caso, el problema con restricciones se transforma en un problema equivalente sin optimización condicional, que involucra algunos parámetros desconocidos llamados multiplicadores de Lagrange.
El método del multiplicador de Lagrange consiste en reducir los problemas a extremo condicional a problemas en el extremo incondicional de una función auxiliar, la llamada. Funciones de Lagrange.
Para el problema del extremo de una función. F(x 1, x 2,..., x n) bajo las condiciones (ecuaciones de restricción) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., metro, la función de Lagrange tiene la forma
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Multiplicadores λ 1 , λ 2 , ..., λ metro llamado Multiplicadores de Lagrange.
Si los valores x 1 , x 2 , ..., x norte , λ 1 , λ 2 , ..., λm la esencia de las soluciones a las ecuaciones que determinan los puntos estacionarios de la función de Lagrange, es decir, para funciones diferenciables son soluciones al sistema de ecuaciones
entonces, bajo supuestos bastante generales, x 1 , x 2 , ..., x n proporcionan un extremo de la función f.
Considere el problema de minimizar una función de n variables sujetas a una restricción en forma de igualdad:
Minimizar f(x 1, x 2… x n) (1)
bajo restricciones h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Según el método del multiplicador de Lagrange, este problema se transforma en el siguiente problema de optimización sin restricciones:
minimizar L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
donde la función L(x;λ) se llama función de Lagrange,
λ es una constante desconocida, que se llama multiplicador de Lagrange. No existen requisitos para el signo de λ.
dejar en valor establecidoλ=λ 0 el mínimo incondicional de la función L(x,λ) con respecto a x se logra en el punto x=x 0 y x 0 satisface la ecuación h 1 (x 0)=0. Entonces, como es fácil ver, x 0 minimiza (1) teniendo en cuenta (2), ya que para todos los valores de x que satisfacen (2), h 1 (x)=0 y L(x,λ)=min f(x).
Por supuesto, es necesario seleccionar el valor λ=λ 0 para que la coordenada del punto mínimo incondicional x 0 satisfaga la igualdad (2). Esto se puede hacer si, considerando λ como una variable, encuentra el mínimo incondicional de la función (3) en la forma de una función λ y luego elige el valor de λ en el que se cumple la igualdad (2). Ilustremos esto con un ejemplo específico.
Minimizar f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
bajo la restricción h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
El correspondiente problema de optimización sin restricciones se escribe de la siguiente manera:
minimizar L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Solución. Igualando las dos componentes del gradiente L a cero, obtenemos
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Para comprobar si el punto estacionario x° corresponde al mínimo, calculamos los elementos de la matriz de Hesse de la función L(x;u), considerada en función de x,
lo cual resulta ser positivo definido.
Esto significa que L(x,u) es una función convexa de x. En consecuencia, las coordenadas x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 determinan el punto mínimo global. Valor óptimoλ se encuentra sustituyendo los valores x 1 0 y x 2 0 en la ecuación 2x 1 + x 2 =2, de donde 2λ+λ/2=2 o λ 0 =4/5. Por lo tanto, el mínimo condicional se logra en x 1 0 =4/5 y x 2 0 =2/5 y es igual a min f(x) = 4/5.
Al resolver el problema del ejemplo, consideramos L(x;λ) como una función de dos variables x 1 y x 2 y, además, asumimos que el valor del parámetro λ se eligió de modo que se cumpliera la restricción. Si la solución del sistema
J=1,2,3,…,norte
λ no se puede obtener en forma de funciones explícitas, entonces los valores de x y λ se encuentran resolviendo el siguiente sistema que consta de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Para encontrar a todos posibles soluciones este sistema se puede utilizar métodos numéricos búsqueda (por ejemplo, el método de Newton). Para cada una de las soluciones (), debemos calcular los elementos de la matriz de Hesse de la función L, considerada en función de x, y averiguar si esta matriz es definida positiva (mínimo local) o definida negativa (máximo local). ).
El método del multiplicador de Lagrange se puede extender al caso en que el problema tiene varias restricciones en forma de igualdades. Considere un problema general que requiere
Minimizar f(x)
bajo restricciones h k =0, k=1, 2, ..., K.
La función de Lagrange toma siguiente vista:
Aquí λ 1 , λ 2 , ..., λk-Multiplicadores de Lagrange, es decir Parámetros desconocidos cuyos valores es necesario determinar. Igualando las derivadas parciales de L con respecto a x a cero, obtenemos el siguiente sistema n ecuación con n incógnitas:
Si resulta difícil encontrar una solución al sistema anterior en forma de funciones del vector λ, entonces puede expandir el sistema incluyendo restricciones en forma de igualdades.
La solución del sistema extendido, que consta de n + K ecuaciones con n + K incógnitas, determina el punto estacionario de la función L. Luego se implementa un procedimiento para verificar el mínimo o máximo, que se lleva a cabo sobre la base del cálculo. los elementos de la matriz hessiana de la función L, considerados como función de x, de forma similar a como se hizo en el caso de un problema con una restricción. Para algunos problemas, el sistema extendido de n+K ecuaciones con n+K incógnitas puede no tener soluciones, y el método del multiplicador de Lagrange resulta inaplicable. Cabe señalar, sin embargo, que este tipo de tareas son bastante raras en la práctica.
Consideremos un caso especial. tarea común programación no lineal, suponiendo que el sistema de restricciones contiene solo ecuaciones, no existen condiciones para la no negatividad de las variables y y - las funciones son continuas junto con sus derivadas parciales. Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones (7), obtenemos todos los puntos en los que la función (6) puede tener valores extremos.
Algoritmo para el método multiplicador de Lagrange
1. Componga la función de Lagrange.
2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables x J ,λ i e igualalas a cero.
3. Resolvemos el sistema de ecuaciones (7), encontramos los puntos en los que la función objetivo del problema puede tener un extremo.
4. Entre los puntos sospechosos de un extremo, encontramos aquellos en los que se alcanza el extremo, y calculamos los valores de la función (6) en estos puntos.
Ejemplo.
Datos iniciales: Según el plan de producción, la empresa necesita producir 180 productos. Estos productos se pueden fabricar de dos formas tecnológicas. Al producir x 1 productos utilizando el primer método, los costos son 4x 1 +x 1 2 rublos, y cuando se producen x 2 productos utilizando el segundo método, son 8x 2 +x 2 2 rublos. Determine cuántos productos se deben producir usando cada método para que el costo de producción sea mínimo.
La función objetivo para el problema planteado tiene la forma
® mín. bajo las condiciones x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Componga la función de Lagrange
.
2.
Calculamos las derivadas parciales con respecto a x 1, x 2, λ y las igualamos a cero: 
3.
Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, encontramos x 1 =91,x 2 =89
4. Habiendo realizado un reemplazo en la función objetivo x 2 =180-x 1, obtenemos una función de una variable, a saber, f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Calculamos o 4x 1 -364=0 ,
de donde tenemos x 1 * =91, x 2 * =89.
Respuesta: El número de productos fabricados con el primer método es x 1 =91, con el segundo método x 2 =89, mientras que el valor de la función objetivo es igual a 17 278 rublos.
1.9 Método de multiplicadores indeterminados de Lagrange
Naturalmente, resolver problemas de optimización restringida es significativamente soluciones más difíciles Problemas de optimización sin restricciones. Es natural esforzarse por reducir el problema de la optimización condicional (búsqueda de un extremo relativo) a un problema más simple de optimización incondicional (búsqueda de un extremo absoluto). Este procedimiento se lleva a cabo en el método de Lagrange. Consideremos la esencia de este método.
Es necesario encontrar el extremo condicional de la función no lineal.
n variables, con m restricciones
(1.56)
Las restricciones de desigualdad se transforman en igualdades y los términos libres se transfieren a los lados izquierdos de las restricciones, es decir, El sistema (1.56) se reduce a la forma.
(1.57)
De acuerdo con el método de Lagrange, en lugar del extremo relativo de la función (1.55) bajo las restricciones (1.57), se busca el extremo absoluto de la función de Lagrange, que tiene la siguiente forma:
Dónde - factores indefinidos Lagrange, que al igual que las variables, son las variables buscadas.
Se puede observar que la función de Lagrange incluye la función objetivo más cada restricción multiplicada por el multiplicador de Lagrange.
Se ha demostrado que el extremo relativo de la función objetivo (1.55) bajo restricciones (1.57) coincide con el extremo absoluto de la función de Lagrange (1.58).
La búsqueda del extremo absoluto de la función (1.58) se realiza mediante métodos bien conocidos. En particular, las derivadas parciales de la función de Lagrange se determinan y se igualan a cero:
(1.59)
Las últimas m ecuaciones representan restricciones (1.57) del problema de optimización.
El sistema (1.59) contiene (m+n) ecuaciones y el mismo número de incógnitas.
El sistema de resolución (1.59) dará las coordenadas del mínimo absoluto de la función de Lagrange (1.58) o el mínimo relativo de la función objetivo (1.55) bajo restricciones (1.57).
La solución del sistema (1.59) se lleva a cabo utilizando métodos bien conocidos de matemática computacional. Si el sistema (1.59) es lineal, se suele utilizar el método gaussiano. Si el sistema (1.59) no es lineal: método de Newton.
1.10 Seleccionar un método de optimización
Antes de elegir un método de optimización, realizaremos breve análisis Tareas que el software desarrollado debe resolver:
el programa debe resolver el problema de minimización condicional, es decir Encuentre el extremo relativo, ya que en modelo matemático además de las restricciones lineales, también se producirán restricciones no lineales;
dado que la función objetivo es función de varias variables, puede tener varios extremos, en cuyo caso el programa debe buscar un mínimo local.
Después de analizar los métodos de optimización más utilizados, para lograr este objetivo se eligió el método de gradiente de programación cuadrática, que es el más efectivo de los métodos de gradiente anteriores, modificado con los métodos aproximación polinómica.
Se supone que la función objetivo y las condiciones de contorno se aproximan mediante dependencias cuadráticas o polinomios de segundo orden. Este método se analizará con más detalle más adelante en la sección "Desarrollo". software método de optimización".
Este método le permite crear programa confiable, cumpliendo todos los requisitos anteriores.
2. Desarrollo de un método de optimización para re potencia activa
Requerido en un sistema de energía eléctrica (EPS) poder total Los dispositivos de compensación se determinan a partir de la ecuación de equilibrio. potencia reactiva(6.1). Este poder debe colocarse en nodos. red electrica Con costos mínimos.
¿Dónde está la potencia reactiva total generada en la EPS, incluida la potencia reactiva proveniente de las EPS vecinas?
La potencia reactiva total de los consumidores de EPS, incluida la potencia reactiva suministrada a los EPS vecinos;
Potencia reactiva total de las necesidades propias de las centrales eléctricas;
Pérdidas totales de potencia reactiva;
Consumo total de energía reactiva en EPS.
Consideremos el esquema más simple. red existente(Figura 2.1). desde una fuente de alimentación con voltaje U, a través de la resistencia de la red R, la carga recibe energía S=P+jQ. En las barras colectoras de carga se instala un dispositivo de compensación con una capacidad de Qk.
Figura 2.1 – El esquema más simple compensación de potencia reactiva
Las pérdidas de potencia activa en la línea si el consumidor no tiene un dispositivo de compensación () son
. (2.2)
Al instalar un dispositivo de compensación () en el consumidor, estas pérdidas disminuirán al valor
. (2.3)
Así, la compensación de potencia reactiva permite reducir las pérdidas de potencia activa en un circuito de alimentación y, en consecuencia, mejorar los indicadores técnicos y económicos de este circuito.
Evaluemos el impacto de CG en los costos de la red.
La expresión de los costos totales de transmitir energía a la carga al instalar el intercambiador de calor tendrá la forma:
(2.4)
donde ZK – costos para CG;
соΔР – costos de cubrir las pérdidas de energía activa en la red;
с – costo por unidad de potencia activa perdida;
зк – costos unitarios para CG.
Para determinar el mínimo de la función 3, igualamos su derivada de la variable QK a cero:
(2.5)
A partir de (2.5) se determina la potencia reactiva económicamente viable, cuya transferencia desde la fuente al consumidor corresponde al costo mínimo.
(2.6)
El valor de QE no depende de la potencia activa P, sino que depende únicamente de la relación de los indicadores de costo zk y co y los parámetros de la red U y R a través de los cuales se transmite la potencia.
La cuestión de colocar dispositivos de compensación en la red eléctrica de una EPS real es un problema de optimización complejo. El desafío es que los sistemas de energía eléctrica son grandes sistemas compuestos por subsistemas interconectados. Es imposible considerar cada subsistema individual de forma aislada, ya que las propiedades grandes sistemas determinado por la naturaleza de las interrelaciones de los subsistemas individuales.
Al analizar sistemas grandes se utiliza. enfoque sistemático, según el cual el análisis gran sistema se lleva a cabo al dividirlo en subsistemas que no están directamente relacionados entre sí, pero que se influyen entre sí a través del sistema más alto nivel.
En relación con el tema que nos ocupa, la red eléctrica parece estar en diferentes niveles, como se muestra en la Fig. 2.2. el nivel superior es una red eléctrica con un voltaje de 110 kV y superior. Esta compleja red eléctrica, representada por diagrama completo la sustitución se muestra en la Fig. 2.2 condicionalmente como ES1. Las potencias reactivas generadas por los generadores de las centrales eléctricas QES, los dispositivos de compensación QK, las líneas eléctricas QС, así como las potencias reactivas que fluyen a través de las conexiones con los vecinos ES2 y ES3 (Q12, Q21, Q13, Q31) proporcionan la potencia reactiva disponible Qр1 en ES1.
Figura 2.2 – Disposición de la unidad de control en la red eléctrica
El segundo nivel es un conjunto de n redes de distribución local abiertas con un voltaje de 35 kV o menos, conectadas a n nodos de la red eléctrica. nivel superior a través de transformadores T. Estas redes de distribución local no están conectadas directamente entre sí, sino que se influyen entre sí a través de la red de nivel superior. Generadores, compensadores y motores síncronos en cada uno red de distribución están representados por una máquina síncrona equivalente G. Los consumidores de baja tensión P+jQ se alimentan de las redes eléctricas locales a través de transformadores de distribución T1.
Se pueden instalar dispositivos de compensación en las barras de alta (jQkv) y baja (jQks) de los transformadores T, así como en las barras de 0,4 kV de los transformadores de distribución T1 y en la propia red de 0,4 kV (jQkn). El valor de potencia de estos HRSG está sujeto a determinación.
EN vista general el problema de optimizar la colocación de los CP se formula de la siguiente manera: para determinar las potencias reactivas de las máquinas síncronas G disponibles en los nodos de 6...35 kV, se determina la potencia de los CP en redes de todos los voltajes Qkv, Qks, Qkn , así como los valores de las potencias reactivas Qеi (i=1, 2, …n), transmitidas en la red del consumidor, lo que asegura un mínimo de costes totales.
Los cálculos de compensación de potencia reactiva para redes de todo tipo se realizan tanto en el diseño del desarrollo de redes eléctricas como en sus condiciones de operación. Durante el diseño se determina la potencia del intercambiador de calor y se soluciona el problema de su distribución en la red eléctrica. Bajo condiciones de operación, determine modos óptimos CU disponibles durante el día. Los criterios de optimización en este caso son las pérdidas mínimas de potencia y energía y el cumplimiento de las desviaciones de voltaje. valores aceptables.
Al diseñar un circuito de alimentación, por regla general, se minimizan los costes monetarios de este circuito. Reducir las pérdidas de potencia por la instalación de intercambiadores de calor reduce el coste del circuito, según las siguientes razones:
Cada kW de potencia perdida debe generarse en centrales eléctricas y, por tanto, gastarse en ella. dinero;
Generar energía reactiva perdida en las centrales eléctricas es mucho más caro que el consumo (¡3 veces!).
Sin embargo, los dispositivos de compensación también suponen costes económicos.
En este sentido, surge el problema de determinar la potencia óptima de los dispositivos de compensación que cumpla con los costos totales mínimos. Este problema pertenece al problema de la optimización sin restricciones y puede resolverse, por ejemplo, mediante métodos de gradiente.
Consideremos un problema de este tipo para el circuito de alimentación principal (Fig. 2.3). Es necesario determinar la potencia de los dispositivos de compensación QK1 y QK2 en los nodos 1 y 2 basándose en la condición de costos totales mínimos para instalar estos dispositivos y cubrir las pérdidas de potencia activa en el circuito.
Figura 2.3 – Diagrama de suministro de energía
Datos iniciales:
voltaje del circuito U;
resistencias de línea R1 y R2;
cargas reactivas de los nodos 1 y 2 Q1 y Q2;
costos específicos para la instalación de dispositivos de compensación zo;
Costos específicos para cubrir pérdidas de energía activa c.
La función objetivo, que representa los costos totales de instalar dispositivos de compensación y cubrir las pérdidas de potencia activa en el circuito, tiene la siguiente forma
donde a1=R1∙co∙10-3/U2=0.0006;
a2=R2∙co∙10-3/U2=0.0004.
La introducción de un coeficiente numérico de 10-3 es necesaria para llevar todos los componentes de la función objetivo a una dimensión (cu).
Para resolver el problema, elegimos el método de descenso de coordenadas. Determinemos las derivadas parciales de la función objetivo Z respecto de las variables Q1 y Q2:
(2.8)
Tomemos la aproximación inicial:
Para estos valores calculamos los valores de la función objetivo y sus derivadas parciales.
Supongamos que en la dirección de la variable Qk2 la función objetivo Z disminuye más fuertemente que en la dirección de la variable Qk1, es decir
(2.10)
En dirección a la variable Qk2 iniciaremos nuestro descenso.
Tomemos el tamaño del paso =400 kvar. La primera aproximación (primer paso) será Qk11=0, Qk21=400 kvar. Calculamos el valor de la función objetivo Z1.
Segundo paso: Qk12=0, Qk22=400 kvar. Calculamos el valor de la función objetivo Z2.
El descenso por la coordenada Qk2 debe continuar hasta Zn Demos un nuevo paso en dirección a otra variable Qk1. Se encuentra un nuevo valor de la función objetivo Z. El descenso a lo largo de esta variable continúa de la misma manera que en la dirección Qk2 - hasta Zm. El punto con las coordenadas obtenidas Qk1m-1, Qk2n-1 se encuentra cerca del mínimo de la función objetivo Z. Con la longitud del paso adoptada = 400kvar, no se puede obtener una solución más precisa. Para obtener una solución más precisa es necesario reducir el paso y continuar descendiendo. Es absolutamente seguro que cuanto menor sea el paso, más preciso será el resultado. No podemos lograr tal precisión mediante el cálculo manual. Para resolver este problema sería recomendable utilizar software diseñado para resolver problemas de programación no lineal con restricciones no lineales. Uno de esos lenguajes de programación es C++. Esto se consideró un problema de optimización sin restricciones, es decir encontrar el mínimo absoluto. Al resolver el problema planteado, para encontrar el modo de funcionamiento óptimo de la red de OJSC Ilyich Iron and Steel Works, es necesario encontrar un mínimo relativo, ya que el sistema de restricciones tendrá una forma no lineal (ver más abajo “Desarrollo de software ”). Así, nos enfrentamos al problema de la optimización condicional de la potencia reactiva, para lo cual utilizamos el método de gradiente de programación cuadrática previamente seleccionado.
Información sobre el trabajo “Análisis de los modos de funcionamiento de las redes eléctricas de OJSC Ilyich Iron and Steel Works y desarrollo de un sistema de control adaptativo de los modos de consumo de energía” Primero, consideremos el caso de una función de dos variables. El extremo condicional de una función $z=f(x,y)$ en el punto $M_0(x_0;y_0)$ es el extremo de esta función, logrado bajo la condición de que las variables $x$ e $y$ en la la vecindad de este punto satisface la ecuación de conexión $\ varphi (x,y)=0$. El nombre de extremo “condicional” se debe al hecho de que se impone una condición adicional $\varphi(x,y)=0$ a las variables. Si una variable se puede expresar a partir de una ecuación de conexión a través de otra, entonces el problema de determinar el extremo condicional se reduce al problema de determinar el extremo habitual de una función de una variable. Por ejemplo, si la ecuación de conexión implica $y=\psi(x)$, entonces sustituyendo $y=\psi(x)$ en $z=f(x,y)$, obtenemos una función de una variable $z =f\izquierda (x,\psi(x)\derecha)$. Sin embargo, en el caso general este método es de poca utilidad, por lo que es necesaria la introducción de un nuevo algoritmo. El método del multiplicador de Lagrange consiste en construir una función de Lagrange para encontrar un extremo condicional: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (el parámetro $\lambda$ se llama el multiplicador de Lagrange). Las condiciones necesarias para el extremo se especifican mediante un sistema de ecuaciones a partir del cual se determinan los puntos estacionarios: $$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(alineado)\right. Una condición suficiente a partir de la cual se puede determinar la naturaleza del extremo es el signo $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Si en un punto estacionario $d^2F > 0$, entonces la función $z=f(x,y)$ tiene un mínimo condicional en este punto, pero si $d^2F< 0$, то условный максимум. Hay otra forma de determinar la naturaleza del extremo. De la ecuación de acoplamiento obtenemos: $\varphi_(x)^()dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^())( \varphi_ (y)^("))dx$, por lo tanto en cualquier punto estacionario tenemos: $$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^() \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \derecha)$$ El segundo factor (ubicado entre paréntesis) se puede representar de esta forma: Los elementos del determinante $\left| están resaltados en rojo. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, que es el hessiano de la función de Lagrange. Si $H > 0$, entonces $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, es decir tenemos un mínimo condicional de la función $z=f(x,y)$. Una nota sobre la notación del determinante $H$. mostrar\ocultar $$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(matriz) \derecha| $$ En esta situación, la regla formulada anteriormente cambiará de la siguiente manera: si $H > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, y si $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы. Digamos que tenemos una función de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $m$ ecuaciones de acoplamiento ($n > m$): $$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$ Denotando los multiplicadores de Lagrange como $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, componemos la función de Lagrange: $$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$ Las condiciones necesarias para la presencia de un extremo condicional están dadas por un sistema de ecuaciones a partir del cual se encuentran las coordenadas de los puntos estacionarios y los valores de los multiplicadores de Lagrange: $$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(alineado) \right.$$ Puedes averiguar si una función tiene un mínimo condicional o un máximo condicional en el punto encontrado, como antes, usando el signo $d^2F$. Si en el punto encontrado $d^2F > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, pero si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу: Determinante de la matriz $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, resaltado en rojo en la matriz $L$, es el hessiano de la función de Lagrange. Usamos la siguiente regla: Ejemplo No. 1 Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=x+3y$ bajo la condición $x^2+y^2=10$. La interpretación geométrica de este problema es la siguiente: se requiere encontrar los valores mayor y menor de la aplicación del plano $z=x+3y$ para los puntos de su intersección con el cilindro $x^2+y ^2=10$. Es algo difícil expresar una variable a través de otra a partir de la ecuación de acoplamiento y sustituirla en la función $z(x,y)=x+3y$, por lo que usaremos el método de Lagrange. Denotando $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, componemos la función de Lagrange: $$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$ Escribamos un sistema de ecuaciones para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange: $$ \left \( \begin(alineado) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (alineado)\derecha.$$ Si asumimos $\lambda=0$, entonces la primera ecuación se convierte en: $1=0$. La contradicción resultante indica que $\lambda\neq 0$. Bajo la condición $\lambda\neq 0$, de la primera y segunda ecuaciones tenemos: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Sustituyendo los valores obtenidos en la tercera ecuación, obtenemos: $$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(alineado) \right.\\ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(alineado) $$ Entonces, el sistema tiene dos soluciones: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ y $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario: $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$. Para ello, calculamos el determinante de $H$ en cada punto. $$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$ En el punto $M_1(1;3)$ obtenemos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, entonces en el punto La función $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ tiene un máximo condicional, $z_(\max)=z(1;3)=10$. De manera similar, en el punto $M_2(-1,-3)$ encontramos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Desde $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$. Observo que en lugar de calcular el valor del determinante $H$ en cada punto, es mucho más conveniente expandirlo en forma general. Para no saturar el texto con detalles, ocultaré este método debajo de una nota. Escribiendo el determinante $H$ en forma general. mostrar\ocultar $$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$ En principio, ya es obvio qué signo tiene $H$. Dado que ninguno de los puntos $M_1$ o $M_2$ coincide con el origen, entonces $y^2+x^2>0$. Por lo tanto, el signo de $H$ es opuesto al signo de $\lambda$. Puedes completar los cálculos: $$ \begin(alineado) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(alineado) $$ La pregunta sobre la naturaleza del extremo en los puntos estacionarios $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$ se puede resolver sin utilizar el determinante $H$. Encontremos el signo de $d^2F$ en cada punto estacionario: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\derecha) $$ Permítanme señalar que la notación $dx^2$ significa exactamente $dx$ elevado a la segunda potencia, es decir $\izquierda(dx \derecha)^2$. Por lo tanto tenemos: $dx^2+dy^2>0$, por lo tanto, con $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ obtenemos $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$. Respuesta: en el punto $(-1;-3)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=-10$. En el punto $(1;3)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=10$ Ejemplo No. 2 Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ bajo la condición $x+y=0$. Denotando $\varphi(x,y)=x+y$, componemos la función de Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$. $$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(alineado) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. Resuelto el sistema, obtenemos: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ y $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Tenemos dos puntos estacionarios: $M_1(0;0)$ y $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario usando el determinante $H$. $$H=\izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 y 1 y 1\\ 1 y 8 y -1 \\ 1 y -1 y 18y \end(array) \right|=-10-18y $$ En el punto $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, por lo tanto en este punto la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243)$. Investigamos la naturaleza del extremo en cada punto usando un método diferente, basado en el signo de $d^2F$: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$ De la ecuación de conexión $x+y=0$ tenemos: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$. $$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$ Dado que $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, entonces $M_1(0;0)$ es el punto mínimo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De manera similar, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума. De la ecuación de conexión $x+y=0$ obtenemos: $y=-x$. Sustituyendo $y=-x$ en la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obtenemos alguna función de la variable $x$. Denotemos esta función como $u(x)$: $$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$ Por lo tanto, reducimos el problema de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables al problema de determinar el extremo de una función de una variable. $$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9 \; y_2=-x_2=-\frac(10)(9); Obtuvimos los puntos $M_1(0;0)$ y $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Se conocen más investigaciones del curso de cálculo diferencial de funciones de una variable. Examinando el signo de $u_(xx)^("")$ en cada punto estacionario o comprobando el cambio en el signo de $u_(x)^(")$ en los puntos encontrados, obtenemos las mismas conclusiones que cuando resolviendo de la primera manera, por ejemplo, verificaremos el signo $u_(xx)^("")$: $$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$ Dado que $u_(xx)^("")(M_1)>0$, entonces $M_1$ es el punto mínimo de la función $u(x)$, y $u_(\min)=u(0)=0 $ . Desde $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$. Los valores de la función $u(x)$ para una condición de conexión dada coinciden con los valores de la función $z(x,y)$, es decir los extremos encontrados de la función $u(x)$ son los extremos condicionales buscados de la función $z(x,y)$. Respuesta: en el punto $(0;0)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=0$. En el punto $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$. Consideremos otro ejemplo en el que aclararemos la naturaleza del extremo determinando el signo de $d^2F$. Ejemplo No. 3 Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=5xy-4$ si las variables $x$ e $y$ son positivas y satisfacen la ecuación de acoplamiento $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$. Compongamos la función de Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Encontremos los puntos estacionarios de la función de Lagrange: $$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(alineado) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(alineado) \right. Todas las transformaciones posteriores se llevan a cabo teniendo en cuenta $x > 0; \; y > 0$ (esto se especifica en el enunciado del problema). De la segunda ecuación expresamos $\lambda=-\frac(5x)(y)$ y sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Sustituyendo $x=2y$ en la tercera ecuación, obtenemos: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$. Dado que $y=1$, entonces $x=2$, $\lambda=-10$. Determinamos la naturaleza del extremo en el punto $(2;1)$ basándonos en el signo de $d^2F$. $$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$ Dado que $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, entonces: $$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$ En principio, aquí puedes sustituir inmediatamente las coordenadas del punto estacionario $x=2$, $y=1$ y el parámetro $\lambda=-10$, obteniendo: $$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$ Sin embargo, en otros problemas, en un extremo condicional pueden haber varios puntos estacionarios. En tales casos, es mejor representar $d^2F$ en forma general y luego sustituir las coordenadas de cada uno de los puntos estacionarios encontrados en la expresión resultante: $$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$ Sustituyendo $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, obtenemos: $$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$ Dado que $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$. Respuesta: en el punto $(2;1)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=6$. En la siguiente parte consideraremos la aplicación del método de Lagrange para funciones de un mayor número de variables. Teorema 1. Sea el punto el punto extremo condicional de la función cuando se satisfacen las ecuaciones de conexión (3). Entonces existen números tales que las condiciones se satisfacen en el punto Consecuencia. vamos a poner ¿Dónde están los números especificados en el teorema? La función (8) se llama función de Lagrange. Si un punto es un punto extremo condicional de una función, entonces es un punto estacionario para la función de Lagrange, es decir en este punto Prueba del teorema. Sea el punto extremo condicional de la función y deje que la condición (4) se cumpla en este punto para mayor precisión. Entonces el punto es el punto del extremo habitual de la función, por lo tanto en el punto de donde, usando la invariancia de la forma del primer diferencial, para el punto tenemos Sustituyendo (5) en (3) y diferenciando la identidad resultante en una determinada vecindad del punto, y por tanto en el punto mismo, obtenemos En la fórmula (11), así como en la fórmula (10), los diferenciales son diferenciales de variables independientes y los diferenciales son diferenciales de funciones. Cualesquiera que sean los números, multiplicando la igualdad (11) en el punto de la función por y sumándolos y con igualdad (10), obtenemos Habiendo elegido para que las igualdades se mantengan en el punto Esto siempre es posible, ya que (13) es un sistema de ecuaciones lineal con respecto al determinante no igual a cero. Con esta elección tenemos Aquí, todos los diferenciales son diferenciales de variables independientes y, por lo tanto, son en sí mismas variables independientes que pueden tomar cualquier valor. Tomando y todos los demás diferenciales incluidos en la fórmula (14) iguales a cero, obtenemos Por tanto, hemos demostrado la existencia de condiciones tales que se cumplen las condiciones (13) y (15), es decir condiciones (7). El teorema ha sido demostrado. Algoritmo para encontrar el extremo de una función utilizando el método del multiplicador de Lagrange Sea necesario encontrar el extremo de una función de n variables f(x 1 ,x 2 ,…,x n) siempre que las variables x 1 ,x 2 ,…,x n estén relacionadas por relaciones (restricciones) entre los cuales el número m de restricciones de igualdad es menor que el número n de variables, y el número yr de restricciones de desigualdad puede ser arbitrario. Para encontrar los valores (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X, que necesariamente proporcionan los extremos de la función f(X), puedes utilizar el método de Lagrange de multiplicadores indefinidos: a su vez, se reducen a restricciones de igualdad introduciendo +r variables adicionales Como resultado, el problema de encontrar un extremo condicional tomará la forma canónica: en la que la relación m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X). 3. Se compila la función de Lagrange: Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r , en el que las variables adicionales ( 1 ,…, m++r )= se denominan multiplicadores de Lagrange indeterminados. Para la función de Lagrange construida, podemos plantear el problema de encontrar el extremo incondicional cuyo resultado coincidirá con la solución deseada al problema original de encontrar un extremo condicional. 4. Para la función Ф(Х,), se elaboran las condiciones necesarias para la existencia de un extremo: 5. Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante Ф(Х,) = 0 y, como resultado de la solución, se encuentran los valores. satisfaciendo las condiciones necesarias para la existencia de un extremo. 6. Para resolver la cuestión de si existen máximos o mínimos en los puntos encontrados, se deben utilizar condiciones suficientes para la existencia de extremos, que para funciones suaves Ф() se formulan de la siguiente manera: si en algún punto la matriz de segundas derivadas es definida positiva, entonces el mínimo de la función f(X) se encuentra en el punto analizado;Método del multiplicador de Lagrange para funciones de dos variables.
Algoritmo para estudiar una función de dos variables para un extremo condicional
Método multiplicador de Lagrange para funciones de n variables
Primer método (método del multiplicador de Lagrange)
Segunda forma
