Construya una línea de tendencia en Excel. Resolución de problemas de aproximación utilizando Excel. Línea de tendencia polinómica en Excel

Más a menudo la tendencia está representada por una relación lineal del tipo que se está estudiando

donde y es la variable de interés (por ejemplo, productividad) o la variable dependiente;
x es un número que determina la posición (segundo, tercero, etc.) del año en el período de pronóstico o una variable independiente.

Al aproximar linealmente la relación entre dos parámetros, el método más utilizado para encontrar los coeficientes empíricos de una función lineal es mínimos cuadrados. La esencia del método es que función lineal El “mejor ajuste” pasa por los puntos del gráfico correspondientes al mínimo de la suma de las desviaciones al cuadrado del parámetro medido. Esta condición se parece a:

donde n es el volumen de la población en estudio (el número de unidades de observación).

Arroz. 5.3. Construyendo una tendencia usando el método de mínimos cuadrados

Los valores de las constantes b y a o el coeficiente de la variable X y el término libre de la ecuación están determinados por la fórmula:

en la mesa 5.1 muestra un ejemplo de cálculo. tendencia lineal según datos.

Tabla 5.1. Cálculo de tendencia lineal

Métodos para suavizar las oscilaciones.

Si existen fuertes discrepancias entre valores vecinos, la tendencia obtenida mediante el método de regresión es difícil de analizar. Al pronosticar, cuando una serie contiene datos con una gran variedad de fluctuaciones en los valores vecinos, se deben suavizar de acuerdo con ciertas reglas y luego buscar el significado en el pronóstico. Al método de suavizar las oscilaciones.
Incluye: método de promedio móvil (se calcula el promedio de n puntos), método de suavizado exponencial. Mirémoslos.

Método de media móvil (MAM).

MSS le permite suavizar una serie de valores para resaltar una tendencia. Este método toma el promedio (normalmente la media aritmética) de un número fijo de valores. Por ejemplo, una media móvil de tres puntos. Se toman los primeros tres valores, recopilados a partir de datos de enero, febrero y marzo (10 + 12 + 13), y se determina que el promedio es 35: 3 = 11,67.

El valor resultante de 11,67 se coloca en el centro del rango, es decir según la línea de febrero. Luego nos “deslizamos un mes” y tomamos los segundos tres números, de febrero a abril (12 + 13 + 16), y calculamos el promedio igual a 41: 3 = 13,67, y de esta manera procesamos los datos para el serie entera. Los promedios resultantes representan nueva fila datos para construir una tendencia y su aproximación. Cuantos más puntos se toman para calcular la media móvil, más fuerte se suavizan las fluctuaciones. En la tabla se muestra un ejemplo de MBA de construcción de tendencias. 5.2 y en la Fig. 5.4.

Tabla 5.2 Cálculo de tendencias utilizando el método de media móvil de tres puntos

La naturaleza de las fluctuaciones en los datos originales y los datos obtenidos mediante el método de media móvil se ilustra en la Fig. 5.4. Al comparar los gráficos de la serie de valores iniciales (serie 3) y las medias móviles de tres puntos (serie 4), queda claro que las fluctuaciones se pueden suavizar. Cómo numero mayor Cuantos más puntos haya en el rango de cálculo de la media móvil, más claramente surgirá la tendencia (fila 1). Pero el procedimiento de ampliación del rango conduce a una reducción en el número de valores finales y esto reduce la precisión del pronóstico.

Los pronósticos deben realizarse a partir de estimaciones de la línea de regresión basadas en los valores de los datos iniciales o promedios móviles.

Arroz. 5.4. La naturaleza de los cambios en el volumen de ventas por mes del año:
datos iniciales (fila 3); medias móviles (fila 4); suavizado exponencial(fila 2); tendencia construida mediante el método de regresión (fila 1)

Método de suavizado exponencial.

Un enfoque alternativo para reducir la dispersión de los valores de las series es utilizar el método de suavizado exponencial. El método se denomina “suavizado exponencial” debido a que cada valor de los períodos del pasado se reduce en un factor (1 – α).

Cada valor suavizado se calcula utilizando una fórmula de la forma:

St =aYt +(1−α)St−1,

donde St es el valor suavizado actual;
Yt – valor actual de la serie temporal; St – 1 – valor suavizado anterior; α es una constante de suavizado, 0 ≤ α ≤ 1.

Cómo menos valor Cuanto más constante es α, menos sensible es a los cambios de tendencia en una serie de tiempo determinada.

La previsión es muy elemento importante casi cualquier campo de actividad, desde la economía hasta la ingeniería. existe gran número software, especializada en esta área. Desafortunadamente, no todos los usuarios saben que lo habitual procesador de mesa Excel tiene en su arsenal herramientas para realizar pronósticos, que no son muy inferiores en efectividad. programas profesionales. Averigüemos cuáles son estas herramientas y cómo hacer un pronóstico en la práctica.

El propósito de cualquier pronóstico es identificar la tendencia actual y determinar el resultado esperado en relación con el objeto en estudio en un momento determinado en el futuro.

Método 1: línea de tendencia

Uno de los más tipos populares El pronóstico gráfico en Excel es una extrapolación realizada mediante la construcción de una línea de tendencia.

Intentemos predecir la cantidad de ganancias de la empresa en 3 años basándonos en los datos de este indicador de los 12 años anteriores.

Método 2: operador PRONÓSTICO

La extrapolación de datos tabulares se puede realizar utilizando función estándar Sobresalir PREDICCIÓN. Este argumento se clasifica como una herramienta estadística y tiene la siguiente sintaxis:

PREDICCIÓN(X, valores_conocidos_y, valores_conocidos_x)

"INCÓGNITA" es el argumento para el cual es necesario determinar el valor de la función. En nuestro caso, el argumento será el año para el que se debe realizar la previsión.

« Valores conocidos y"— una base de valores de funciones conocidos. En nuestro caso, su papel lo desempeña el monto de la ganancia de períodos anteriores.

"Valores conocidos de x"— estos son los argumentos que corresponden a los valores conocidos de la función. En su función, utilizamos la numeración de los años para los que se recopiló información sobre los beneficios de años anteriores.

Naturalmente, el argumento no tiene por qué ser necesariamente un período de tiempo. Por ejemplo, puede ser la temperatura y el valor de la función puede ser el nivel de expansión del agua cuando se calienta.

Al calcular de esta manera, se utiliza el método de regresión lineal.

Veamos los matices del uso del operador. PREDICCIÓN en ejemplo específico. Tomemos la misma mesa. Necesitaremos conocer la previsión de beneficios para 2018.

Pero no olvide que, al igual que cuando se construye una línea de tendencia, el período de tiempo anterior al período de pronóstico no debe exceder el 30% de todo el período para el cual se acumuló la base de datos.

Método 3: operador TENDENCIA

Para realizar pronósticos, puede utilizar una función más: TENDENCIA. También entra en la categoría de operadores estadísticos. Su sintaxis es en muchos aspectos similar a la sintaxis de la herramienta. PREDICCIÓN y se ve así:

TENDENCIA(Valores_y_conocidos; valores_x_conocidos; valores_x_nuevos; [const])

Como vemos, los argumentos "Valores y conocidos" Y "Valores conocidos de x" corresponden completamente a elementos similares del operador PREDICCIÓN, y el argumento "Nuevos valores de x" coincide con el argumento "INCÓGNITA" herramienta anterior. Además, en TENDENCIA hay un argumento adicional "Constante", pero no es obligatorio y se utiliza sólo en presencia de factores constantes.

Este operador se utiliza con mayor eficacia cuando hay dependencia lineal funciones.

Veamos cómo funcionará esta herramienta con la misma matriz de datos. Para comparar los resultados obtenidos, definiremos el año 2019 como punto de previsión.

Método 4: operador CRECIMIENTO

Otra función que se puede utilizar para realizar pronósticos en Excel es el operador CRECIMIENTO. También se aplica a grupo estadístico herramientas, pero, a diferencia de los anteriores, a la hora de calcular no se utiliza el método de dependencia lineal, sino el exponencial. La sintaxis de esta herramienta se ve así:

CRECIMIENTO(Valores conocidos_y; valores conocidos_x; nuevos_valores_x; [const])

Como puede ver, los argumentos de esta función repiten exactamente los argumentos del operador TENDENCIA, por lo que no nos detendremos en su descripción por segunda vez, sino que pasaremos inmediatamente al uso de esta herramienta en la práctica.

Método 5: operador ESTIMACIÓN LINEAL

Operador ESTILO LINEAL Al calcular, utiliza el método de aproximación lineal. No debe confundirse con el método de relación lineal utilizado por la herramienta. TENDENCIA. Su sintaxis se ve así:

LINEST(Valores_y conocidos; valores_x_conocidos; valores_x_nuevos;[const];[estadísticas])

Los dos últimos argumentos son opcionales. Conocemos los dos primeros. metodos anteriores. Pero habrás notado que a esta función le falta un argumento que apunte a los nuevos valores. El caso es que esta herramienta determina solo el cambio en la cantidad de ingresos por unidad de período, que en nuestro caso es igual a un año, pero tenemos que calcular el resultado total por separado sumando el resultado del cálculo del operador al último valor de ganancia real ESTILO LINEAL, multiplicado por el número de años.

Como podemos ver, el beneficio proyectado, calculado mediante el método de aproximación lineal, en 2019 será de 4.614,9 mil rublos.

Método 6: operador LGRFPRIBL

La última herramienta que veremos será LGRFPRIBL. Este operador realiza cálculos basados ​​en el método de ajuste exponencial. Su sintaxis tiene la siguiente estructura:

LGRFPRIBL (Valores_y conocidos; valores_x_conocidos; valores_x_nuevos; [const];[estadísticas])

Como puede ver, todos los argumentos repiten completamente los elementos correspondientes. función anterior. El algoritmo para calcular el pronóstico cambiará ligeramente. La función calculará una tendencia exponencial, que mostrará cuántas veces cambiará la cantidad de ingresos en un período, es decir, en un año. Necesitaremos encontrar la diferencia en las ganancias entre el último período real y el primer período planificado, multiplicarla por el número de períodos planificados. (3) y sume el importe del último período real al resultado.

La cantidad prevista de ganancias en 2019, calculada mediante el método de aproximación exponencial, será de 4639,2 mil rublos, lo que nuevamente no difiere mucho de los resultados obtenidos mediante el cálculo utilizando métodos anteriores.

Descubrimos cómo hacer pronósticos en Excel. Esto se puede hacer gráficamente mediante el uso de una línea de tendencia y analíticamente, utilizando una serie de funciones integradas. funciones estadísticas. El procesamiento de datos idénticos por parte de estos operadores puede dar lugar a resultados diferentes. Pero esto no es sorprendente, ya que todos usan diferentes metodos cálculo. Si la fluctuación es pequeña, entonces todas estas opciones, aplicables a un caso particular, pueden considerarse relativamente fiables.

Para predecir un evento basándose en datos existentes, si no hay tiempo, puede utilizar una línea de tendencia. Al usarlo, puede comprender visualmente qué dinámica tienen los datos a partir de los cuales se construye el gráfico. El paquete de software de Microsoft tiene una maravillosa Capacidad de Excel, que le ayudará a crear un pronóstico bastante preciso utilizando esta herramienta: línea de tendencia en Excel. Construir esta herramienta de análisis es bastante simple, a continuación se detalla descripción detallada proceso y tipos de líneas de tendencia.

Línea de tendencia en Excel. Proceso de construcción

Una línea de tendencia es una de las principales herramientas de análisis de datos.

Para formar una línea de tendencia, es necesario completar tres etapas, a saber:
1. Crea una tabla;
2.
3. Seleccione el tipo de línea de tendencia.

Después de recolectar todo información necesaria, puedes proceder directamente a los pasos para obtener el resultado final.

Primero, debes crear una tabla con los datos de origen. A continuación, seleccione el rango requerido y vaya a la pestaña "Insertar" y seleccione la función "Gráfico". Después de la construcción, en resultado final se puede aplicar características adicionales, en forma de títulos y leyendas. Para hacer esto, simplemente haga clic izquierdo en el gráfico, seleccione la pestaña llamada "Diseñador" y seleccione "Diseño". Lo siguiente que debes hacer es simplemente ingresar el título.

El siguiente paso es construir la propia línea de tendencia. Entonces, para hacer esto, debe resaltar el gráfico nuevamente y seleccionar la pestaña "Diseño" en la cinta de tareas. Siguiente en este menú debe hacer clic en el botón "Línea de tendencia" y seleccionar "aproximación lineal" o "aproximación exponencial".

Varias variaciones de llíneas de tendencia

Dependiendo de las características de los datos ingresados ​​por el usuario, vale la pena elegir una de las opciones presentadas a continuación se describe los tipos de líneas de tendencia;
Aproximación exponencial. Si la tasa de cambio de los datos de entrada aumenta, y de manera continua, entonces es esta linea será de gran utilidad. Sin embargo, si los datos que se ingresaron en la tabla contienen cero o características negativas, este tipo inaceptable.

Aproximación lineal. Esta línea es de naturaleza recta y generalmente se usa en casos elementales cuando la función aumenta o disminuye a una velocidad aproximadamente constante.

Aproximación logarítmica. Si el valor inicialmente crece correcta y rápidamente o, por el contrario, disminuye, pero luego, después de algún valor, se estabiliza, entonces esta línea de tendencia será útil.

Aproximación polinomial. El aumento y la disminución variables son las características que caracterizan a esta línea. Además, el grado de los polinomios (polinomios) en sí está determinado por el número de máximos y mínimos.

Aproximación de potencia. Caracteriza el aumento y disminución monótono de un valor, pero su aplicación es imposible si los datos tienen valores negativos y cero.

media móvil. Se utiliza para mostrar claramente la dependencia directa de uno respecto del otro, suavizando todos los puntos de oscilación. Esto se logra tomando el valor promedio entre dos puntos adyacentes. Por lo tanto, el gráfico se promedia y el número de puntos se reduce al valor seleccionado en el menú "Puntos" por el usuario.

¿Cómo se utiliza? D Para predecir opciones económicas, es precisamente polinomio una línea cuyo grado polinómico se determina con base en varios principios: maximizar el coeficiente de determinación, así como la dinámica económica del indicador durante el período para el cual se requiere el pronóstico.

Siguiendo todas las etapas de formación y comprendiendo las características, se puede construir sólo una línea de tendencia primaria, que sólo corresponde vagamente a las previsiones reales. Pero después de configurar los parámetros, ya podemos hablar de una imagen más realista del pronóstico.

Línea de tendencia en Excel. Configuración de parámetrosen la línea funcional

Al hacer clic en el botón “Línea de tendencia”, seleccione el menú requerido llamado “ Opciones adicionales" En la ventana que aparece, haga clic en "Formato de línea de tendencia" y luego marque la casilla junto al valor "coloque el valor de confiabilidad de aproximación R^2 en el diagrama". Después de eso, cierre el menú haciendo clic en el botón correspondiente. En el propio diagrama aparece el coeficiente R^2 = 0,6442.

Luego de esto cancelamos los cambios realizados. Seleccionando el gráfico y haciendo clic en la pestaña "Diseño", luego haga clic en "Línea de tendencia" y haga clic en "No". A continuación, yendo a la función “Formato de línea de tendencia”, haga clic en polinomio línea e intente lograr el valor R ^ 2 = 0.8321 cambiando el grado.

Para ver fórmulas o crear otras variaciones de pronósticos que difieran de los estándar, basta con no tener miedo de experimentar con valores, y especialmente con polinomios. Así, utilizando sólo una programa excel, puede crear un pronóstico bastante preciso basado en los datos de entrada.

Graficando

Análisis de regresión

Ecuación de regresión Y de incógnita llamado dependencia funcional y=f(x), y su gráfica es una recta de regresión.

Excel te permite crear tablas y gráficos bastante calidad aceptable. Excel disponible remedio especial- Asistente de gráficos, que guía al usuario a través de las cuatro etapas del proceso de creación de un cuadro o gráfico.

Como regla general, el trazado comienza seleccionando un rango que contiene los datos sobre los que se debe trazar. Este comienzo simplifica el avance posterior de la trama. Sin embargo, el rango con los datos originales se puede dividir en la segunda etapa del diálogo con MAESTRO DE DIAGRAMA. En Excel 2003 MAESTRO DE DIAGRAMA ubicado en el menú como un botón o se puede crear un diagrama haciendo clic en la pestaña INSERTAR y en la lista que se abre busque el artículo DIAGRAMA. En Excel 2007 también encontramos la pestaña INSERTAR(Figura 31).

Arroz. 31. MAESTRO DE DIAGRAMA en excel 2007

La forma más sencilla de seleccionar un rango de datos de origen en el que estos datos se encuentran en filas adyacentes (columnas o filas) es hacer clic en la celda superior izquierda del rango y luego arrastrar el puntero del mouse a la celda inferior derecha del rango. Al seleccionar datos ubicados en filas no adyacentes, arrastre el puntero del mouse a lo largo de las filas seleccionadas mientras presiona tecla Ctrl. Si una de las series de datos tiene una celda con un nombre, el resto de la serie seleccionada también debe tener una celda correspondiente, incluso si está vacía.

para llevar a cabo análisis de regresión Lo mejor es utilizar un diagrama de dispersión (Fig. 30). Al construirlo, Excel percibe la primera fila del rango seleccionado de datos de origen como un conjunto de valores de argumentos de las funciones cuyos gráficos deben trazarse (el mismo conjunto para todas las funciones). Las siguientes filas se perciben como conjuntos de valores de las funciones mismas (cada fila contiene los valores de una de las funciones correspondientes valores dados argumento ubicado en la primera fila del rango seleccionado).

En Excel 2007, los nombres de los ejes se colocan en la pestaña del menú. DISPOSICIÓN(Figura 32).

Arroz. 32. Configuración de los nombres de los ejes del gráfico en Excel 2007.

Para obtener un modelo matemático, es necesario trazar una línea de tendencia en el gráfico. En Excel 2003 y 2007 debe hacer clic clic derecho ratón sobre los puntos del gráfico. Luego en Excel 2003 aparecerá una pestaña con una lista de elementos entre los cuales seleccionamos AÑADIR LÍNEA DE TENDENCIA(Figura 33).

Arroz. 33. AÑADIR LÍNEA DE TENDENCIA

Después de hacer clic en el elemento AÑADIR LÍNEA DE TENDENCIA aparecerá una ventana LÍNEA DE TENDENCIA(Figura 34). En la pestaña TIPO puede seleccionar siguientes tipos líneas: lineal, logarítmica, exponencial, potencia, polinómica, filtrado lineal.

Arroz. 34. ventana LÍNEA DE TENDENCIA en excel 2003

en la pestaña PARÁMETROS(Fig. 35) marque la casilla junto a los elementos MOSTRAR ECUACIÓN EN EL DIAGRAMA, luego aparecerá en el gráfico modelo matemático esta dependencia. También ponemos una casilla de verificación al lado del elemento. MUESTRA EN EL DIAGRAMA EL VALOR DE CONFIABILIDAD DE LA APROXIMACIÓN (R^2). Cuanto más se acerque el valor de confianza de aproximación a 1, más se acercará la curva seleccionada a los puntos del gráfico. A continuación, haga clic en el botón DE ACUERDO. En el gráfico aparecerá una línea de tendencia, su ecuación correspondiente y el valor de confiabilidad de aproximación.

Arroz. 35. Pestaña PARÁMETROS

En Excel 2007, después de hacer clic derecho en los puntos del gráfico, aparece una lista de elementos de menú, de los cuales SELECCIONAR AÑADIR LÍNEA DE TENDENCIA(Figura 36).

Arroz. 36. AÑADIR LÍNEA DE TENDENCIA

Arroz. 37. Pestaña PARÁMETROS DE LA LÍNEA DE TENDENCIA

Marque las casillas requeridas y presione el botón CERCA.

En el gráfico aparecerá una línea de tendencia, su ecuación correspondiente y el valor de confiabilidad de aproximación.

Objeto del servicio. El servicio se utiliza para calcular los parámetros de tendencia de la serie temporal y t en línea utilizando el método de mínimos cuadrados (LS) (ver el ejemplo de cómo encontrar la ecuación de tendencia), así como el método desde cero condicional. Para ello se construye un sistema de ecuaciones:
un 0 norte + un 1 ∑t = ∑y
un 0 ∑t + un 1 ∑t 2 = ∑y t

y una tabla como esta:

t	y	t 2	y 2	t y	y(t)
1
...	...	...	...	...	...
norte
TOTAL	∑	∑	∑	∑	∑

Instrucciones. Especifique la cantidad de datos (número de filas). La solución resultante se almacena en archivo de palabra y Excel.

Número de líneas (datos de origen)
Utilice el método de contar el tiempo desde un inicio condicional.(transfiera el origen de coordenadas a la mitad de la serie dinámica)
",1);">

La tendencia de una serie temporal caracteriza un conjunto de factores que tienen una influencia a largo plazo y forman la dinámica general del indicador en estudio.

Método para contar el tiempo desde un inicio condicional.

Para definir parámetros función matemática Al analizar una tendencia en series de tiempo, se utiliza el método de contar el tiempo desde un comienzo condicional. Se basa en la notación de la serie temporal de modo que ∑t i . En este caso, en una serie dinámica con un número impar de niveles, el número de serie del nivel ubicado en el medio de la serie se denota por valor nulo y tómelo como el inicio condicional del tiempo contando con un intervalo de +1 de todos los niveles posteriores y –1 de todos los niveles anteriores. Por ejemplo, al denotar tiempo habrá: –2, –1, 0, +1, +2. En número par niveles números de serie La mitad superior de la fila (desde el medio) se indica con los números: –1, –3, –5, y la mitad inferior de la fila se indica con +1, +3, +5.

Ejemplo. Estudio estadístico de la dinámica poblacional.

1. Utilizando indicadores de dinámica en cadena, básicos y promedio, evalúe el cambio en los números y escriba sus conclusiones.
2. Utilizando el método de alineación analítica (línea recta y parábola, determinando los coeficientes mediante MCO), identifique la tendencia principal en el desarrollo del fenómeno (población de la República de Komi). Evaluar la calidad de los modelos resultantes utilizando errores y coeficientes de aproximación.
3. Determine los coeficientes de tendencia lineal y parabólica utilizando el Asistente para gráficos. Proporcione pronósticos de población puntuales y de intervalo para 2010. Escriba sus conclusiones.

1990	1996	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
1249	1133	1043	1030	1016	1005	996	985	975	968

Método de alineación analítica

A) ecuación lineal la tendencia tiene la forma y = bt + a
1. Encuentra los parámetros de la ecuación usando el método de mínimos cuadrados.. Usamos el método de contar el tiempo desde un comienzo condicional.
El sistema de ecuaciones de mínimos cuadrados para una tendencia lineal tiene la forma:
un 0 norte + un 1 ∑t = ∑y
un 0 ∑t + un 1 ∑t 2 = ∑y t

t	y	t 2	y 2	t y
-9	1249	81	1560001	-11241
-7	1133	49	1283689	-7931
-5	1043	25	1087849	-5215
-3	1030	9	1060900	-3090
-1	1016	1	1032256	-1016
1	1005	1	1010025	1005
3	996	9	992016	2988
5	985	25	970225	4925
7	975	49	950625	6825
9	968	81	937024	8712
0	10400	330	10884610	-4038

Para nuestros datos, el sistema de ecuaciones tomará la forma:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
De la primera ecuación expresamos un 0 y lo sustituimos en la segunda ecuación.
Obtenemos un 0 = -12.236, un 1 = 1040
Ecuación de tendencia:
y = -12,236 t + 1040

Evaluemos la calidad de la ecuación de tendencia utilizando el error de aproximación absoluto.

El error de aproximación entre 5% y 7% indica buena seleccion ecuaciones de tendencia a los datos originales.

b) alineación parabólica
La ecuación de tendencia es y = at 2 + bt + c
1. Encuentra los parámetros de la ecuación usando el método de mínimos cuadrados.
Sistema de ecuaciones de mínimos cuadrados:
un 0 norte + un 1 ∑t + un 2 ∑t 2 = ∑y
un 0 ∑t + un 1 ∑t 2 + un 2 ∑t 3 = ∑yt
un 0 ∑t 2 + un 1 ∑t 3 + un 2 ∑t 4 = ∑yt 2

t	y	t 2	y 2	t y	t 3	t 4	t 2 años
-9	1249	81	1560001	-11241	-729	6561	101169
-7	1133	49	1283689	-7931	-343	2401	55517
-5	1043	25	1087849	-5215	-125	625	26075
-3	1030	9	1060900	-3090	-27	81	9270
-1	1016	1	1032256	-1016	-1	1	1016
1	1005	1	1010025	1005	1	1	1005
3	996	9	992016	2988	27	81	8964
5	985	25	970225	4925	125	625	24625
7	975	49	950625	6825	343	2401	47775
9	968	81	937024	8712	729	6561	78408
0	10400	330	10884610	-4038	0	19338	353824

Para nuestros datos, el sistema de ecuaciones tiene la forma
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Obtenemos a 0 = 1,258, a 1 = -12,236, a 2 = 998,5
Ecuación de tendencia:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5

Error de aproximación para la ecuación de tendencia parabólica.

Dado que el error es inferior al 7%, esta ecuación se puede utilizar como tendencia.

Error de aproximación mínimo para alineación parabólica. Además, el coeficiente de determinación R2 es mayor que el lineal. Por lo tanto, es necesario utilizar una ecuación parabólica para realizar pronósticos.

Previsión de intervalos.
Determinemos la raíz del error cuadrático medio del indicador predicho.

m = 1 - el número de factores que influyen en la ecuación de tendencia.
Uy = y n+L ± K
Dónde

L - período de avance; y n+L - pronóstico puntual según el modelo en el (n + L)-ésimo momento en el tiempo; n es el número de observaciones de la serie temporal; Sy- error estándar indicador previsto; mesa T - valor de la tabla Prueba t de Student para el nivel de significancia α y para el número de grados de libertad igual a n-2.
Usando la tabla de Student encontramos Ttable
Tabla T (n-m-1;α/2) = (8;0,025) = 2,306
Pronóstico puntual, t = 10: y(10) = 1,26*10 2 -12,24*10 + 998,5 = 1001,89 mil personas.

1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Pronóstico de intervalo:
t = 9+1 = 10: (930,76;1073,02)