Dependencia lineal e independencia de las filas de la matriz.

Sean seleccionadas aleatoriamente k filas y k columnas (k ≤ min(m; n)) en una matriz A de dimensiones (m; n). Los elementos de la matriz ubicados en la intersección de las filas y columnas seleccionadas forman una matriz cuadrada de orden k, cuyo determinante se llama menor M kk de orden k y o k-ésimo orden menor de la matriz A.

El rango de una matriz es el orden máximo de r menores distintos de cero de la matriz A, y cualquier menor de orden r que sea distinto de cero es un menor de base. Designación: sonó A = r. Si sonó A = sonó B y los tamaños de las matrices A y B son iguales, entonces las matrices A y B se llaman equivalentes. Designación: A ~ B.

Los principales métodos para calcular el rango de una matriz son el método de menores limítrofes y el método.

Método menor limítrofe

La esencia del método de los menores limítrofes es la siguiente. Supongamos que ya se ha encontrado en la matriz un menor de orden k, diferente de cero. Luego consideramos a continuación solo aquellos menores de orden k+1 que contienen (es decir, borde) un menor de k-ésimo orden que es diferente de cero. Si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a k; de lo contrario, entre los menores limítrofes del orden (k+1) hay uno distinto de cero y se repite todo el procedimiento.

Independencia lineal de filas (columnas) de una matriz

El concepto de rango de matriz está estrechamente relacionado con el concepto de independencia lineal de sus filas (columnas).

Filas de matriz:

se llaman linealmente dependientes si hay números λ 1, λ 2, λ k tales que la igualdad es verdadera:

Las filas de la matriz A se llaman linealmente independientes si la igualdad anterior solo es posible en el caso de que todos los números λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

La dependencia lineal y la independencia de las columnas de la matriz A se determinan de forma similar.

Si cualquier fila (a l) de la matriz A (donde (a l)=(a l1, a l2,…, a ln)) se puede representar como

El concepto de combinación lineal de columnas se define de manera similar. El siguiente teorema sobre la base menor es válido.

Las filas y columnas de la base son linealmente independientes. Cualquier fila (o columna) de la matriz A es una combinación lineal de filas (columnas) de la base, es decir, filas (columnas) que intersecan la base menor. Por lo tanto, el rango de la matriz A: rang A = k es igual al número máximo de filas (columnas) linealmente independientes de la matriz A.

Aquellos. El rango de una matriz es la dimensión de la matriz cuadrada más grande dentro de la matriz para la cual es necesario determinar el rango, cuyo determinante no es igual a cero. Si la matriz original no es cuadrada, o si es cuadrada pero su determinante es cero, entonces para matrices cuadradas de orden inferior las filas y columnas se eligen arbitrariamente.

Además de los determinantes, el rango de una matriz se puede calcular mediante el número de filas o columnas linealmente independientes de la matriz. Es igual al número de filas o columnas linealmente independientes, lo que sea menor. Por ejemplo, si una matriz tiene 3 filas linealmente independientes y 5 columnas linealmente independientes, entonces su rango es tres.

Ejemplos de cómo encontrar el rango de una matriz.

Usando el método de menores limítrofes, encuentre el rango de la matriz.

Solución: menor de segundo orden

el menor limítrofe M 2 también es distinto de cero. Sin embargo, ambos menores son de cuarto orden, lindando con M 3 .

son iguales a cero. Por lo tanto, el rango de la matriz A es 3 y la base menor es, por ejemplo, la menor M 3 presentada anteriormente.

El método de las transformaciones elementales se basa en el hecho de que las transformaciones elementales de una matriz no cambian su rango. Usando estas transformaciones, puedes llevar la matriz a una forma donde todos sus elementos, excepto a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sean iguales a cero. Obviamente, esto significa que el rango A = r. Tenga en cuenta que si una matriz de enésimo orden tiene la forma de una matriz triangular superior, es decir, una matriz en la que todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero, entonces su definición es igual al producto de los elementos en la diagonal principal. . Esta propiedad se puede utilizar al calcular el rango de una matriz usando el método de transformaciones elementales: es necesario usarlas para reducir la matriz a triangular y luego, seleccionando el determinante correspondiente, encontramos que el rango de la matriz es igual al número de elementos de la diagonal principal que son distintos de cero.

Usando el método de transformaciones elementales, encuentre el rango de la matriz.

Solución Denotemos la i-ésima fila de la matriz A con el símbolo α i. En la primera etapa realizaremos transformaciones elementales.

En la segunda etapa, realizamos las transformaciones.

Como resultado obtenemos

Cada fila de la matriz A se denota por e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (por ejemplo,
e 1 = (a 11 a 12..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22..., a 2 n), etc.). Cada uno de ellos es una matriz de filas que se puede multiplicar por un número o sumar a otra fila de acuerdo con las reglas generales para trabajar con matrices.

combinación lineal Las rectas e l , e 2 ,...e k se denominan suma de los productos de estas rectas por números reales arbitrarios:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, donde l l, l 2,..., l k son números arbitrarios (coeficientes de una combinación lineal).

Las filas de la matriz e l , e 2 ,...e m se llaman linealmente dependiente, si hay números l l , l 2 ,..., l m que no son iguales a cero al mismo tiempo, de modo que la combinación lineal de filas de la matriz sea igual a la fila cero:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, donde 0 = (0 0...0).

Una relación lineal entre las filas de una matriz significa que al menos una fila de la matriz es una combinación lineal de las demás. De hecho, para mayor precisión, sea el último coeficiente l m ¹ 0. Luego, dividiendo ambos lados de la igualdad por l m, obtenemos una expresión para la última línea como una combinación lineal de las líneas restantes:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Si una combinación lineal de filas es igual a cero si y solo si todos los coeficientes son iguales a cero, es decir l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, entonces las líneas se llaman linealmente independiente.

Teorema del rango de la matriz. El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas o columnas linealmente independientes a través del cual se pueden expresar linealmente todas sus otras filas o columnas.

Demostremos este teorema. Sea una matriz A de tamaño m x n de rango r (r(A) £ min (m; n)). En consecuencia, existe un menor distinto de cero de orden r. Llamaremos a cada uno de esos menores. básico. Que sea menor para que quede claro.

Las líneas de este menor también se llamarán básico.

Demostremos que entonces las filas de la matriz e l , e 2 ,...e r son linealmente independientes. Supongamos lo contrario, es decir. una de estas filas, por ejemplo la r-ésima, es una combinación lineal de las demás: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Entonces, si restamos las elementos de la r-ésima fila 1.ª fila multiplicados por l l , elementos de la 2.ª fila multiplicados por l 2 , etc., finalmente, elementos de la (r-1)ésima fila multiplicados por l r-1 , luego la r-ésima la fila se convertirá en cero. En este caso, de acuerdo con las propiedades del determinante, el determinante anterior no debería cambiar y al mismo tiempo debería ser igual a cero. Se obtiene una contradicción y se prueba la independencia lineal de las filas.

Ahora demostramos que cualesquiera (r+1) filas de la matriz son linealmente dependientes, es decir cualquier cadena se puede expresar en términos de básicos.

Complementemos el menor considerado anteriormente con una fila más (i-ésima) y una columna más (j-ésima). Como resultado, obtenemos un menor de orden (r+1), que por definición de rango es igual a cero.

Los conceptos de dependencia lineal e independencia lineal se definen igualmente para filas y columnas. Por lo tanto, las propiedades asociadas con estos conceptos formulados para las columnas son, por supuesto, también válidas para las filas.

1. Si un sistema de columnas incluye una columna cero, entonces es linealmente dependiente.

2. Si un sistema de columnas tiene dos columnas iguales, entonces es linealmente dependiente.

3. Si un sistema de columnas tiene dos columnas proporcionales, entonces es linealmente dependiente.

4. Un sistema de columnas es linealmente dependiente si y sólo si al menos una de las columnas es una combinación lineal de las demás.

5. Cualquier columna incluida en un sistema linealmente independiente forma un subsistema linealmente independiente.

6. Un sistema de columnas que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.

7. Si un sistema de columnas es linealmente independiente y, después de agregarle una columna, resulta ser linealmente dependiente, entonces la columna se puede descomponer en columnas y, además, de una manera única, es decir, los coeficientes de expansión se pueden encontrar de forma única.

Demostremos, por ejemplo, la última propiedad. Como el sistema de columnas es linealmente dependiente, hay números que no todos son iguales a 0, lo que

En esta igualdad. De hecho, si, entonces

Esto significa que una combinación lineal no trivial de columnas es igual a una columna cero, lo que contradice la independencia lineal del sistema. Por lo tanto, y luego, es decir. una columna es una combinación lineal de columnas. Queda por mostrar la singularidad de tal representación. Supongamos lo contrario. Sean dos expansiones y , y no todos los coeficientes de las expansiones son respectivamente iguales entre sí (por ejemplo, ). Entonces de la igualdad

Obtenemos (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

secuencialmente, la combinación lineal de columnas es igual a la columna cero. Dado que no todos sus coeficientes son iguales a cero (al menos), esta combinación no es trivial, lo que contradice la condición de independencia lineal de las columnas. La contradicción resultante confirma la unicidad de la expansión.

Ejemplo 3.2. Demuestre que dos columnas distintas de cero y son linealmente dependientes si y solo si son proporcionales, es decir .

Solución. De hecho, si las columnas son linealmente dependientes, entonces hay números que no son iguales a cero al mismo tiempo, de modo que . Y en esta igualdad. De hecho, suponiendo que , obtenemos una contradicción, ya que la columna también es distinta de cero. Medio, . Por tanto, existe un número tal que . La necesidad ha sido probada.

Por el contrario, si, entonces. Obtuvimos una combinación lineal no trivial de columnas igual a la columna cero. Esto significa que las columnas son linealmente dependientes.

Ejemplo 3.3. Considere todo tipo de sistemas formados a partir de columnas.

Examine cada sistema para determinar su dependencia lineal.
Solución. Consideremos cinco sistemas que contienen una columna cada uno. Según el párrafo 1 de las Observaciones 3.1: los sistemas son linealmente independientes y un sistema que consta de una columna cero es linealmente dependiente.

Consideremos sistemas que contienen dos columnas:

– cada uno de los cuatro sistemas es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

– el sistema es linealmente dependiente, ya que las columnas son proporcionales (propiedad 3): ;

– cada uno de los cinco sistemas es linealmente independiente, ya que las columnas son desproporcionadas (ver el enunciado del ejemplo 3.2).

Considere sistemas que contienen tres columnas:

– cada uno de los seis sistemas es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

– los sistemas son linealmente dependientes, ya que contienen un subsistema linealmente dependiente (propiedad 6);

– sistemas y son linealmente dependientes, ya que la última columna se expresa linealmente a través del resto (propiedad 4): y, respectivamente.

Finalmente, los sistemas de cuatro o cinco columnas son linealmente dependientes (según la propiedad 6).

rango de matriz

En esta sección, consideraremos otra característica numérica importante de una matriz, relacionada con el grado en que sus filas (columnas) dependen unas de otras.

Definición 14.10 Sea una matriz de tamaños y un número que no exceda al más pequeño de los números y se le dé: . Elijamos aleatoriamente las filas y columnas de la matriz (los números de fila pueden diferir de los números de columna). El determinante de una matriz compuesta por elementos en la intersección de filas y columnas seleccionadas se llama orden de matriz menor.

Ejemplo 14.9 Dejar .

Un menor de primer orden es cualquier elemento de la matriz. Entonces 2, , son menores de primer orden.

Menores de segundo orden:

1. tomamos las filas 1, 2, las columnas 1, 2, obtenemos un menor ;

2. tomamos las filas 1, 3, las columnas 2, 4, obtenemos un menor ;

3. tomamos las filas 2, 3, columnas 1, 4, obtenemos menor

Menores de tercer orden:

Las filas aquí solo se pueden seleccionar de una manera,

1. toma las columnas 1, 3, 4, obtenemos menor ;

2. toma las columnas 1, 2, 3, obtenemos menor .

Proposición 14.23 Si todos los menores de una matriz de orden son iguales a cero, entonces todos los menores de orden, si existen, también son iguales a cero.

Prueba. Tomemos un menor de orden arbitrario. Este es el determinante de la matriz de orden. Analicémoslo en la primera línea. Entonces en cada término de la expansión uno de los factores será menor del orden de la matriz original. Por condición, los menores de orden son iguales a cero. Por tanto, el menor del orden será igual a cero.

Definición 14.11 El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores de la matriz distintos de cero. El rango de una matriz cero se considera cero.

No existe una designación única y estándar para el rango de la matriz. Siguiendo el libro de texto, lo denotaremos.

Ejemplo 14.10 La matriz del ejemplo 14.9 tiene rango 3 porque hay un menor de tercer orden distinto de cero, pero no hay menores de cuarto orden.

rango de matriz es igual a 1, ya que hay un menor de primer orden distinto de cero (elemento de matriz) y todos los menores de segundo orden son iguales a cero.

El rango de una matriz cuadrada de orden no singular es igual a , ya que su determinante es menor del orden y es distinto de cero para una matriz no singular.

Proposición 14.24 Cuando se transpone una matriz, su rango no cambia, es decir, .

Prueba. Un menor transpuesto de la matriz original será menor de la matriz transpuesta, y viceversa, cualquier menor es un menor transpuesto de la matriz original. Al transponer, el determinante (menor) no cambia (Proposición 14.6). Por lo tanto, si todos los menores de un orden en la matriz original son iguales a cero, entonces todos los menores del mismo orden también son iguales a cero. Si el menor de orden en la matriz original es distinto de cero, entonces b es un menor del mismo orden, distinto de cero. Por eso, .

Definición 14.12 Sea el rango de la matriz. Entonces, cualquier menor de orden distinto de cero se llama base menor.

Ejemplo 14.11 Dejar . El determinante de la matriz es cero, ya que la tercera fila es igual a la suma de las dos primeras. El menor de segundo orden, ubicado en las dos primeras filas y las dos primeras columnas, es igual a . En consecuencia, el rango de la matriz es dos y el menor considerado es básico.

Un menor básico también es un menor ubicado, digamos, en la primera y tercera fila, primera y tercera columna: . La base será la menor en la segunda y tercera fila, primera y tercera columna: .

El menor en la primera y segunda fila y en la segunda y tercera columna es cero y por lo tanto no será una base. El lector podrá comprobar de forma independiente qué otros menores de segundo orden serán básicos y cuáles no.

Dado que las columnas (filas) de una matriz se pueden sumar, multiplicar por números y formar combinaciones lineales, es posible introducir definiciones de dependencia lineal e independencia lineal de un sistema de columnas (filas) de una matriz. Estas definiciones son similares a las mismas definiciones 10.14, 10.15 para vectores.

Definición 14.13 Un sistema de columnas (filas) se llama linealmente dependiente si existe tal conjunto de coeficientes, al menos uno de los cuales es diferente de cero, que la combinación lineal de columnas (filas) con estos coeficientes será igual a cero.

Definición 14.14 Un sistema de columnas (filas) es linealmente independiente si la igualdad a cero de una combinación lineal de estas columnas (filas) implica que todos los coeficientes de esta combinación lineal son iguales a cero.

La siguiente proposición, similar a la Proposición 10.6, también es cierta.

Oración 14.25 Un sistema de columnas (filas) es linealmente dependiente si y sólo si una de las columnas (una de las filas) es una combinación lineal de otras columnas (filas) de este sistema.

Formulemos un teorema llamado teorema menor de base.

Teorema 14.2 Cualquier columna de matriz es una combinación lineal de las columnas que pasan por la base menor.

La demostración se puede encontrar en libros de texto de álgebra lineal, por ejemplo, en.

Proposición 14.26 El rango de una matriz es igual al número máximo de sus columnas formando un sistema linealmente independiente.

Prueba. Sea el rango de la matriz. Tomemos las columnas que pasan por la base menor. Supongamos que estas columnas forman un sistema linealmente dependiente. Entonces una de las columnas es una combinación lineal de las demás. Por lo tanto, en una base menor, una columna será una combinación lineal de las otras columnas. Según las Proposiciones 14.15 y 14.18, esta base menor debe ser igual a cero, lo que contradice la definición de base menor. Por lo tanto, la suposición de que las columnas que pasan por la base menor son linealmente dependientes no es correcta. Entonces, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente es mayor o igual a .

Supongamos que las columnas forman un sistema linealmente independiente. Hagamos una matriz con ellos. Todos los menores matriciales son menores matriciales. Por tanto, la base menor de la matriz tiene un orden no mayor que . Según el teorema de la base menor, una columna que no pasa por la base menor de una matriz es una combinación lineal de las columnas que pasan por la base menor, es decir, las columnas de la matriz forman un sistema linealmente dependiente. Esto es contrario a la elección de las columnas que forman la matriz. En consecuencia, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente no puede ser mayor que . Esto quiere decir que es igual a lo dicho.

Proposición 14.27 El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas formando un sistema linealmente independiente.

Prueba. Según la Proposición 14.24, el rango de la matriz no cambia durante la transposición. Las filas de la matriz se convierten en sus columnas. El número máximo de nuevas columnas de la matriz transpuesta (antiguas filas de la original) que forman un sistema linealmente independiente es igual al rango de la matriz.

Proposición 14.28 Si el determinante de una matriz es cero, entonces una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las columnas (filas) restantes.

Prueba. Sea el orden de la matriz igual a . El determinante es el único menor de una matriz cuadrada que tiene orden. Como es igual a cero, entonces. En consecuencia, un sistema de columnas (filas) es linealmente dependiente, es decir, una de las columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las demás.

Los resultados de las Proposiciones 14.15, 14.18 y 14.28 dan el siguiente teorema.

Teorema 14.3 El determinante de una matriz es igual a cero si y sólo si una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las restantes columnas (filas).

Encontrar el rango de una matriz calculando todos sus menores requiere demasiado trabajo computacional. (El lector puede comprobar que hay 36 menores de segundo orden en una matriz cuadrada de cuarto orden). Por lo tanto, se utiliza un algoritmo diferente para encontrar el rango. Para describirlo, se requerirá una serie de información adicional.

Definición 14.15 Llamemos a las siguientes acciones sobre ellas transformaciones elementales de matrices:

1) reordenamiento de filas o columnas;
2) multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero;
3) agregar a una de las filas otra fila multiplicada por un número o agregar a una de las columnas otra columna multiplicada por un número.

Proposición 14.29 Durante las transformaciones elementales, el rango de la matriz no cambia.

Prueba. Sea el rango de la matriz igual a , - la matriz resultante de realizar una transformación elemental.

Consideremos la permutación de cadenas. Sea un menor de la matriz, entonces la matriz tiene un menor que coincide o difiere de ella al reorganizar las filas. Por el contrario, cualquier matriz menor puede asociarse con una matriz menor que tenga el mismo orden de filas o difiera de él. Por tanto, del hecho de que todos los menores de un orden en una matriz son iguales a cero, se deduce que en la matriz todos los menores de este orden también son iguales a cero. Y como la matriz tiene un menor de orden, distinto de cero, entonces la matriz también tiene un menor de orden, distinto de cero, es decir.

Considere multiplicar una cadena por un número distinto de cero. Un menor de una matriz corresponde a un menor de una matriz que coincide o difiere de ella en una sola fila, que se obtiene de la fila menor multiplicando por un número distinto de cero. En este último caso. En todos los casos, y son simultáneamente iguales a cero o al mismo tiempo diferentes de cero. Por eso, .

Tenga en cuenta que las filas y columnas de la matriz pueden considerarse como vectores aritméticos de dimensiones. metro Y norte, respectivamente. Por tanto, la matriz de tamaño se puede interpretar como un conjunto metro norte-dimensional o norte metro-vectores aritméticos dimensionales. Por analogía con los vectores geométricos, introducimos los conceptos de dependencia lineal e independencia lineal de las filas y columnas de una matriz.

4.8.1. Definición. Línea
llamado combinación lineal de cuerdas con probabilidades
, si todos los elementos de esta línea tienen la siguiente igualdad:

,
.

4.8.2. Definición.

Instrumentos de cuerda
son llamados linealmente dependiente, si hay una combinación lineal no trivial de ellos igual a la fila cero, es decir hay números que no todos son iguales a cero

,
.

4.8.3. Definición.

Instrumentos de cuerda
son llamados linealmente independiente, si solo su combinación lineal trivial es igual a la fila cero, es decir

,

4.8.4. Teorema. (Criterio de dependencia lineal de las filas de la matriz)

Para que las filas sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que al menos una de ellas sea una combinación lineal de las demás.

Prueba:

Necesidad. deja las lineas
son linealmente dependientes, entonces hay una combinación lineal no trivial de ellos igual a la fila cero:

.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que el primero de los coeficientes de la combinación lineal es distinto de cero (de lo contrario, las filas se pueden renumerar). Dividiendo esta proporción por , obtenemos

,

es decir, la primera fila es una combinación lineal de las demás.

Adecuación. Dejemos que una de las líneas, por ejemplo, , es una combinación lineal de los demás, entonces

es decir, hay una combinación lineal no trivial de cadenas
, igual a la cadena cero:

lo que significa las líneas
son linealmente dependientes, que es lo que había que demostrar.

Comentario.

Se pueden formular definiciones y afirmaciones similares para las columnas de la matriz.

§4.9. Rango de matriz.

4.9.1. Definición. Menor orden matrices tamaño
llamado determinante del orden con elementos ubicados en la intersección de algunos de ellos líneas y columnas.

4.9.2. Definición. Orden menor distinto de cero matrices tamaño
llamado básico menor, si todos los menores de la matriz son de orden
son iguales a cero.

Comentario. Una matriz puede tener varias bases menores. Evidentemente, todos serán del mismo orden. También es posible que la matriz tamaño
orden menor es diferente de cero, y los menores son de orden
no existe, es decir
.

4.9.3. Definición. Las filas (columnas) que forman la base menor se llaman básico filas (columnas).

4.9.4. Definición. Rango de una matriz se llama orden de su base menor. rango de matriz denotado por
o
.

Comentario.

Tenga en cuenta que debido a la igualdad de las filas y columnas del determinante, el rango de la matriz no cambia cuando se transpone.

4.9.5. Teorema. (Invariancia del rango de la matriz bajo transformaciones elementales)

El rango de una matriz no cambia durante sus transformaciones elementales.

Ninguna prueba.

4.9.6. Teorema. (Sobre el menor básico).

Las filas (columnas) subyacentes son linealmente independientes. Cualquier fila (columna) de una matriz se puede representar como una combinación lineal de sus filas (columnas) básicas.

Prueba:

Hagamos la prueba de cuerdas. La prueba del enunciado por columnas se puede realizar por analogía.

Sea el rango de la matriz. tamaños
es igual , A
− básica menor. Sin pérdida de generalidad, asumimos que la base menor está ubicada en la esquina superior izquierda (de lo contrario, la matriz se puede reducir a esta forma mediante transformaciones elementales):

.

Primero demostremos la independencia lineal de las filas de la base. Realizaremos la prueba por contradicción. Supongamos que las filas de la base son linealmente dependientes. Luego, según el Teorema 4.8.4, una de las cadenas se puede representar como una combinación lineal de las cadenas básicas restantes. Por lo tanto, si restamos la combinación lineal especificada de esta fila, obtenemos una fila cero, lo que significa que el menor
es igual a cero, lo que contradice la definición de base menor. Por tanto, hemos obtenido una contradicción; por lo tanto, se ha demostrado la independencia lineal de las filas de la base.

Demostremos ahora que cada fila de una matriz se puede representar como una combinación lineal de filas base. Si el número de línea en cuestión de 1 a r, entonces, obviamente, se puede representar como una combinación lineal con un coeficiente igual a 1 para la recta y coeficientes cero para las filas restantes. Demostremos ahora que si el número de línea de
a
, se puede representar como una combinación lineal de cadenas base. Considere la matriz menor
, obtenido de la base menor
añadiendo una línea y una columna arbitraria
:

Demostremos que este menor
de
a
y para cualquier número de columna de 1 a .

De hecho, si el número de columna de 1 a r, entonces tenemos un determinante con dos columnas idénticas, que obviamente es igual a cero. Si el número de columna de r+1 a y el número de línea de
a
, Eso
es menor de la matriz original de orden superior a la base menor, lo que significa que es igual a cero según la definición de base menor. Así, se ha demostrado que el menor
es cero para cualquier número de línea de
a
y para cualquier número de columna de 1 a . Expandiéndolo sobre la última columna, obtenemos:

Aquí
− sumas algebraicas correspondientes. Tenga en cuenta que
, ya que por lo tanto
es un menor básico. Por lo tanto, los elementos de la línea k se puede representar como una combinación lineal de los elementos correspondientes de las filas base con coeficientes independientes del número de columna :

Por tanto, hemos demostrado que una fila arbitraria de una matriz se puede representar como una combinación lineal de sus filas base. El teorema ha sido demostrado.

Conferencia 13

4.9.7. Teorema. (Sobre el rango de una matriz cuadrada no singular)

Para que una matriz cuadrada sea no singular, es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual al tamaño de esta matriz.

Prueba:

Necesidad. Sea la matriz cuadrada tamaño norte no es degenerado, entonces
, por tanto, el determinante de la matriz es una base menor, es decir

Adecuación. Dejar
entonces el orden de la base menor es igual al tamaño de la matriz, por lo tanto la base menor es el determinante de la matriz , es decir.
por definición de menor básico.

Consecuencia.

Para que una matriz cuadrada sea no singular es necesario y suficiente que sus filas sean linealmente independientes.

Prueba:

Necesidad. Dado que una matriz cuadrada no es singular, su rango es igual al tamaño de la matriz.
es decir, el determinante de la matriz es una base menor. Por lo tanto, según el Teorema 4.9.6 sobre la base menor, las filas de la matriz son linealmente independientes.

Adecuación. Dado que todas las filas de la matriz son linealmente independientes, su rango no es menor que el tamaño de la matriz, lo que significa
por lo tanto, según el Teorema anterior 4.9.7, la matriz no es degenerado.

4.9.8. El método de los menores limítrofes para encontrar el rango de una matriz.

Tenga en cuenta que parte de este método ya se ha descrito implícitamente en la demostración del teorema menor de base.

4.9.8.1. Definición. Menor
llamado limítrofe relativo al menor
, si se obtiene de un menor
agregando una nueva fila y una nueva columna a la matriz original.

4.9.8.2. El procedimiento para encontrar el rango de una matriz utilizando el método de menores limítrofes.

Encontramos cualquier menor actual de la matriz que sea diferente de cero.

Calculamos todos los menores que lo bordean.

Si todos son iguales a cero, entonces el menor actual es de base uno y el rango de la matriz es igual al orden del menor actual.

Si entre los menores limítrofes hay al menos uno distinto de cero, entonces se considera vigente y el procedimiento continúa.

Usando el método de menores limítrofes, encontramos el rango de la matriz.

.

Es fácil especificar el menor de segundo orden actual distinto de cero, p.

.

Calculamos los menores que lo bordean:

En consecuencia, dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, entonces el menor
es básico, es decir

Comentario. Del ejemplo considerado se desprende claramente que el método requiere bastante mano de obra. Por lo tanto, en la práctica, se utiliza con mucha más frecuencia el método de transformaciones elementales, que se analizará a continuación.

4.9.9. Encontrar el rango de una matriz mediante el método de transformaciones elementales.

Con base en el Teorema 4.9.5, se puede argumentar que el rango de la matriz no cambia bajo transformaciones elementales (es decir, los rangos de matrices equivalentes son iguales). Por tanto, el rango de la matriz es igual al rango de la matriz escalonada obtenida a partir de la original mediante transformaciones elementales. El rango de una matriz escalonada es obviamente igual al número de sus filas distintas de cero.

Determinemos el rango de la matriz.

por el método de transformaciones elementales.

Presentemos la matriz. para ver pasos:

El número de filas distintas de cero de la matriz escalonada resultante es tres, por lo tanto,

4.9.10. Rango de un sistema de vectores espaciales lineales.

Considere el sistema de vectores.
algo de espacio lineal . Si es linealmente dependiente, entonces se puede distinguir en él un subsistema linealmente independiente.

4.9.10.1. Definición. Rango del sistema vectorial
espacio lineal Se llama al número máximo de vectores linealmente independientes de este sistema. Rango del sistema vectorial
denotado como
.

Comentario. Si un sistema de vectores es linealmente independiente, entonces su rango es igual al número de vectores en el sistema.

Formulemos un teorema que muestre la conexión entre los conceptos de rango de un sistema de vectores en un espacio lineal y el rango de una matriz.

4.9.10.2. Teorema. (Sobre el rango de un sistema de vectores en el espacio lineal)

El rango de un sistema de vectores en un espacio lineal es igual al rango de una matriz cuyas columnas o filas son las coordenadas de vectores en alguna base del espacio lineal.

Ninguna prueba.

Consecuencia.

Para que un sistema de vectores en un espacio lineal sea linealmente independiente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz, cuyas columnas o filas son las coordenadas de los vectores en una determinada base, sea igual al número de vectores en el sistema.

La prueba es obvia.

4.9.10.3. Teorema (Sobre la dimensión de una capa lineal).

Dimensión de vectores de casco lineal.
espacio lineal igual al rango de este sistema vectorial:

Ninguna prueba.