¿Cómo se define la operación de multiplicación de matrices? Multiplicar una matriz cuadrada por una matriz de columnas

Entonces, en la lección anterior vimos las reglas para sumar y restar matrices. Estas son operaciones tan simples que la mayoría de los estudiantes las entienden literalmente desde el principio.

Sin embargo, te alegras temprano. Se acabó el obsequio: pasemos a la multiplicación. Te lo advierto de inmediato: multiplicar dos matrices no es en absoluto multiplicar números en celdas con las mismas coordenadas, como podrías pensar. Aquí todo es mucho más divertido. Y tendremos que empezar con definiciones preliminares.

Matrices emparejadas

Una de las características más importantes de una matriz es su tamaño. Ya hemos hablado de esto cientos de veces: la notación $A=\left[ m\times n \right]$ significa que la matriz tiene exactamente $m$ filas y $n$ columnas. Ya hemos comentado cómo no confundir filas con columnas. Algo más es importante ahora.

Definición. Matrices de la forma $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, en las que el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas en el segundo, se llaman consistentes.

Una vez más: ¡el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda! De aquí sacamos dos conclusiones a la vez:

1. El orden de las matrices es importante para nosotros. Por ejemplo, las matrices $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 5 \right]$ son consistentes (2 columnas en la primera matriz y 2 filas en la segunda) , pero viceversa: las matrices $B=\left[ 2\times 5 \right]$ y $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ya no son consistentes (5 columnas en la primera matriz no son 3 filas en el segundo).
2. La coherencia se puede comprobar fácilmente anotando todas las dimensiones una tras otra. Usando el ejemplo del párrafo anterior: “3 2 2 5” - los números en el medio son iguales, por lo que las matrices son consistentes. Pero “2 5 3 2” no son consistentes, ya que hay diferentes números en el medio.

Además, Captain Obviousness parece insinuar que las matrices cuadradas del mismo tamaño $\left[ n\times n \right]$ son siempre consistentes.

En matemáticas, cuando el orden de enumeración de los objetos es importante (por ejemplo, en la definición analizada anteriormente, el orden de las matrices es importante), a menudo hablamos de pares ordenados. Los conocimos en la escuela: creo que es una obviedad que las coordenadas $\left(1;0 \right)$ y $\left(0;1 \right)$ definen diferentes puntos en el plano.

Entonces: las coordenadas también son pares ordenados que están formados por números. Pero nada le impide hacer ese par a partir de matrices. Entonces podemos decir: "Un par ordenado de matrices $\left(A;B \right)$ es consistente si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda".

¿Así que lo que?

Definición de multiplicación

Considere dos matrices consistentes: $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$. Y definimos la operación de multiplicación para ellos.

Definición. El producto de dos matrices coincidentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$ es la nueva matriz $C=\left[ m\times k \ derecha] $, cuyos elementos se calculan mediante la fórmula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Dicho producto se denota de la forma estándar: $C=A\cdot B$.

Quien ve esta definición por primera vez tiene inmediatamente dos preguntas:

1. ¿Qué clase de juego feroz es este?
2. ¿Por qué es tan difícil?

Bueno, lo primero es lo primero. Comencemos con la primera pregunta. ¿Qué significan todos estos índices? ¿Y cómo no cometer errores al trabajar con matrices reales?

En primer lugar, notamos que la larga línea para calcular $((c)_(i;j))$ (especialmente pongo un punto y coma entre los índices para no confundirme, pero no es necesario ponerlos en general (yo mismo me cansé de escribir la fórmula en la definición) en realidad se reduce a una regla simple:

1. Tome la $i$ésima fila de la primera matriz;
2. Tome la columna $j$ésima en la segunda matriz;
3. Obtenemos dos secuencias de números. Multiplicamos los elementos de estas secuencias por los mismos números y luego sumamos los productos resultantes.

Este proceso es fácil de entender en la imagen:

Esquema para multiplicar dos matrices.

Una vez más: fijamos la fila $i$ en la primera matriz, la columna $j$ en la segunda matriz, multiplicamos los elementos con los mismos números y luego sumamos los productos resultantes: obtenemos $((c)_(ij))$ . Y así sucesivamente para todos $1\le i\le m$ y $1\le j\le k$. Aquellos. Habrá m\veces k$ de tales “perversiones” en total.

De hecho, ya nos hemos encontrado con la multiplicación de matrices en el currículo escolar, sólo que en una forma muy reducida. Sean dados los vectores:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(alinear)\]

Entonces su producto escalar será exactamente la suma de productos por pares:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Básicamente, cuando los árboles eran más verdes y los cielos más brillantes, simplemente multiplicamos el vector de fila $\overrightarrow(a)$ por el vector de columna $\overrightarrow(b)$.

Nada ha cambiado hoy. Es solo que ahora hay más de estos vectores de filas y columnas.

¡Pero basta de teoría! Veamos ejemplos reales. Y comencemos con el caso más simple: las matrices cuadradas.

Multiplicación de matrices cuadradas

Tarea 1. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Entonces, tenemos dos matrices: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Está claro que son consistentes (las matrices cuadradas del mismo tamaño siempre son consistentes). Por tanto, realizamos la multiplicación:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ comenzar(matriz)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(matriz) \right]=\left[ \begin(matriz)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 y 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 y -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 y 6 \\ 18 y -8 \\\ fin(matriz)\derecha]. \end(alinear)\]

¡Eso es todo!

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tarea 2. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 2 y 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]\]

Solución. De nuevo, matrices consistentes, por lo que realizamos las siguientes acciones:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una matriz llena de ceros.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

De los ejemplos anteriores se desprende claramente que la multiplicación de matrices no es una operación tan complicada. Al menos para matrices cuadradas de 2 por 2.

En el proceso de cálculo, compilamos una matriz intermedia, donde describimos directamente qué números están incluidos en una celda en particular. Esto es exactamente lo que debes hacer al resolver problemas reales.

Propiedades básicas del producto matricial.

En una palabra. Multiplicación de matrices:

1. No conmutativo: $A\cdot B\ne B\cdot A$ en el caso general. Por supuesto, existen matrices especiales para las cuales la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ (por ejemplo, si $B=E$ es la matriz identidad), pero en la gran mayoría de los casos esto no funciona. ;
2. Asociativamente: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Aquí no hay opciones: las matrices adyacentes se pueden multiplicar sin preocuparse por lo que hay a la izquierda y a la derecha de estas dos matrices.
3. Distributivamente: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ y $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (debido a la no conmutatividad del producto, es necesario especificar por separado la distributividad derecha e izquierda.

Y ahora todo sigue igual, pero con más detalle.

La multiplicación de matrices es en muchos aspectos similar a la multiplicación de números clásica. Pero hay diferencias, la más importante de las cuales es que La multiplicación de matrices es, en términos generales, no conmutativa..

Miremos nuevamente las matrices del Problema 1. Ya conocemos su producto directo:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 y 6 \\ 18 & -8 \\\end(matriz) \right]\]

Pero si intercambiamos las matrices, obtenemos un resultado completamente diferente:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 y 4 \\ 0 y 10 \\\end(matriz )\bien]\]

Resulta que $A\cdot B\ne B\cdot A$. Además, la operación de multiplicación solo está definida para las matrices consistentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, pero nadie ha garantizado que permanecerán consistentes si se intercambian. Por ejemplo, las matrices $\left[ 2\times 3 \right]$ y $\left[ 3\times 5 \right]$ son bastante consistentes en el orden especificado, pero las mismas matrices $\left[ 3\times 5 \right] $ y $\left[ 2\times 3 \right]$ escritos en orden inverso ya no son consistentes. Triste.:(

Entre las matrices cuadradas de un tamaño dado $n$ siempre habrá aquellas que den el mismo resultado tanto cuando se multiplican en orden directo como inverso. Cómo describir todas estas matrices (y cuántas hay en general) es un tema para una lección aparte. No hablaremos de eso hoy :)

Sin embargo, la multiplicación de matrices es asociativa:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Por lo tanto, cuando es necesario multiplicar varias matrices seguidas a la vez, no es necesario hacerlo de inmediato: es muy posible que algunas matrices adyacentes, cuando se multiplican, den un resultado interesante. Por ejemplo, una matriz cero, como en el problema 2 analizado anteriormente.

En problemas reales, lo más frecuente es multiplicar matrices cuadradas de tamaño $\left[ n\times n \right]$. El conjunto de todas estas matrices se denota por $((M)^(n))$ (es decir, las entradas $A=\left[ n\times n \right]$ y \ significan lo mismo), y necesariamente contiene la matriz $E$, que se llama matriz identidad.

Definición. Una matriz identidad de tamaño $n$ es una matriz $E$ tal que para cualquier matriz cuadrada $A=\left[ n\times n \right]$ la igualdad se cumple:

Una matriz así siempre tiene el mismo aspecto: hay unos en su diagonal principal y ceros en todas las demás celdas.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

En otras palabras, si necesitas multiplicar una matriz por la suma de otras dos, puedes multiplicarla por cada una de estas “otras dos” y luego sumar los resultados. En la práctica, normalmente tenemos que realizar la operación contraria: notamos la misma matriz, la sacamos de paréntesis, realizamos la suma y así simplificamos nuestra vida :)

Nota: para describir la distributividad, tuvimos que escribir dos fórmulas: donde la suma está en el segundo factor y donde la suma está en el primero. Esto sucede precisamente porque la multiplicación de matrices no es conmutativa (y en general, en álgebra no conmutativa hay muchas cosas divertidas que ni siquiera vienen a la mente cuando se trabaja con números ordinarios). Y si, por ejemplo, necesitas escribir esta propiedad en un examen, asegúrate de escribir ambas fórmulas, de lo contrario el profesor puede enfadarse un poco.

Bien, todos estos eran cuentos de hadas sobre matrices cuadradas. ¿Qué pasa con los rectangulares?

El caso de las matrices rectangulares.

Pero nada, todo es igual que con los cuadrados.

Tarea 3. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]\]

Solución. Tenemos dos matrices: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Anotemos los números que indican las tallas en una fila:

Como puedes ver, los dos números centrales coinciden. Esto significa que las matrices son consistentes y se pueden multiplicar. Además, en la salida obtenemos la matriz $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 y 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 y 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 y 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 y 41 \\ 11 y 30 \\ -3 y 19 \ \\end(array)\right]. \end(alinear)\]

Todo está claro: la matriz final tiene 3 filas y 2 columnas. Bastante $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matriz) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matriz) \\\end(array) \right]$.

Ahora veamos una de las mejores tareas de formación para quienes recién comienzan a trabajar con matrices. En él no es necesario simplemente multiplicar unas dos tabletas, sino primero determinar: ¿está permitida tal multiplicación?

Problema 4. Encuentre todos los posibles productos de matrices por pares:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matriz) \\\end(matriz) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Solución. Primero, anotemos los tamaños de las matrices:

\;\ B=\izquierda[ 4\veces 2 \derecha];\ C=\izquierda[ 2\veces 2 \derecha]\]

Encontramos que la matriz $A$ solo se puede conciliar con la matriz $B$, ya que el número de columnas de $A$ es 4, y solo $B$ tiene este número de filas. Por tanto, podemos encontrar el producto:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 y 1 \\ 2 y 0 \\ 0 y 3 \\ 4 y 0 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugiero que el lector complete los pasos intermedios de forma independiente. Solo señalaré que es mejor determinar el tamaño de la matriz resultante de antemano, incluso antes de realizar cualquier cálculo:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

En otras palabras, simplemente eliminamos los coeficientes de “tránsito” que aseguraban la consistencia de las matrices.

¿Qué otras opciones son posibles? Por supuesto, se puede encontrar $B\cdot A$, ya que $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, entonces el par ordenado $\ left(B ;A \right)$ es consistente y la dimensión del producto será:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

En resumen, el resultado será una matriz $\left[ 4\times 4 \right]$, cuyos coeficientes se pueden calcular fácilmente:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 y -8 \\\end(array) \right]\]

Obviamente, también pueden ponerse de acuerdo en $C\cdot A$ y $B\cdot C$, y eso es todo. Por tanto, simplemente anotamos los productos resultantes:

Fue fácil :)

Respuesta: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 1 y 2 y 2 \\ 2 y -2 y 4 y -4 \\ 3 y 3 y 6 y 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

En general, recomiendo encarecidamente que realice esta tarea usted mismo. Y una tarea más similar que está en la tarea. Estos pensamientos aparentemente simples te ayudarán a practicar todas las etapas clave de la multiplicación de matrices.

Pero la historia no termina ahí. Pasemos a casos especiales de multiplicación :)

Vectores de fila y vectores de columna

Una de las operaciones matriciales más comunes es la multiplicación por una matriz que tiene una fila o una columna.

Definición. Un vector columna es una matriz de tamaño $\left[ m\times 1 \right]$, es decir que consta de varias filas y una sola columna.

Un vector fila es una matriz de tamaño $\left[ 1\times n \right]$, es decir que consta de una fila y varias columnas.

De hecho, ya nos hemos encontrado con estos objetos. Por ejemplo, un vector tridimensional ordinario de estereometría $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ no es más que un vector fila. Desde un punto de vista teórico, casi no hay diferencia entre filas y columnas. Sólo debes tener cuidado al coordinar con las matrices multiplicadoras circundantes.

Tarea 5. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Aquí tenemos el producto de matrices coincidentes: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Encontremos esta pieza:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tarea 6. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]\]

Solución. Nuevamente todo es consistente: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Contamos el producto:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, cuando multiplicamos un vector fila y un vector columna por una matriz cuadrada, el resultado siempre resulta en una fila o columna del mismo tamaño. Este hecho tiene muchas aplicaciones, desde la resolución de ecuaciones lineales hasta todo tipo de transformaciones de coordenadas (que en última instancia también se reducen a sistemas de ecuaciones, pero no hablemos de cosas tristes).

Creo que aquí todo era obvio. Pasemos a la parte final de la lección de hoy.

Exponenciación matricial

Entre todas las operaciones de multiplicación, la exponenciación merece especial atención: esto es cuando multiplicamos el mismo objeto por sí mismo varias veces. Las matrices no son una excepción; también pueden elevarse a varias potencias.

Dichos trabajos siempre se pactan:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Y se designan exactamente de la misma forma que los títulos ordinarios:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(alinear)\]

A primera vista, todo es sencillo. Veamos cómo se ve esto en la práctica:

Tarea 7. Eleve la matriz a la potencia indicada:

$((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Solución. Bueno, está bien, construyamos. Primero vamos a cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix) ) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end( matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo :)

Respuesta: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Solución. Simplemente no llores ahora por el hecho de que "el título es demasiado grande", "el mundo no es justo" y "los profesores han perdido completamente sus fronteras". En realidad es fácil:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Observe que en la segunda línea usamos asociatividad de multiplicación. En realidad, lo usamos en la tarea anterior, pero estaba implícito allí.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Como puedes ver, no hay nada complicado en elevar una matriz a una potencia. El último ejemplo se puede resumir:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Este hecho es fácil de demostrar mediante inducción matemática o multiplicación directa. Sin embargo, no siempre es posible detectar estos patrones cuando se eleva a una potencia. Por tanto, tenga cuidado: muchas veces multiplicar varias matrices “al azar” resulta más fácil y rápido que buscar algún tipo de patrones.

En general, no busques un significado superior donde no lo hay. En conclusión, consideremos la exponenciación de una matriz más grande: tanto como $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Solución. No busquemos patrones. Trabajamos por delante:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matriz)0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]\]

Primero, elevamos al cuadrado esta matriz:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) ) 0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 y 1 y 1 \\ 1 y 2 y 1 \\ 1 y 1 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Ahora vamos a cubos:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matriz)(*(35)(r)) 2 y 3 y 3 \\ 3 y 2 y 3 \\ 3 y 3 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo. El problema está resuelto.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, el volumen de cálculos ha aumentado, pero el significado no ha cambiado en absoluto :)

Esto concluye la lección. La próxima vez consideraremos la operación inversa: utilizando el producto existente buscaremos los factores originales.

Como probablemente ya habrás adivinado, hablaremos sobre la matriz inversa y los métodos para encontrarla.

Secuencialmente “excluiremos” las incógnitas. Para ello dejaremos la primera ecuación del sistema sin cambios y transformaremos la segunda y la tercera:

1) a la segunda ecuación le sumamos la primera, la multiplicamos por –2 y la llevamos a la forma –3 incógnita 2 –2incógnita 3 = –2;

2) a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por – 4, y la llevamos a la forma –3 incógnita 2 – 4incógnita 3 = 2.

Como resultado, la incógnita quedará excluida de la segunda y tercera ecuaciones. incógnita 1 y el sistema tomará la forma

Multiplicamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema por –1, obtenemos

Coeficiente 1 en la primera ecuación para la primera incógnita incógnita 1 se llama elemento principal el primer paso de la eliminación.

En el segundo paso, la primera y segunda ecuaciones permanecen sin cambios y el mismo método de eliminar la variable se aplica a la tercera ecuación. incógnita 2 . elemento protagonista del segundo paso es el coeficiente 3. A la tercera ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por –1, luego el sistema se transforma a la forma

(1.2)

El proceso de reducir el sistema (1.1) a (1.2) se llama directo progreso del método Gauss.

El procedimiento para resolver el sistema (1.2) se llama marcha atrás. De la última ecuación obtenemos incógnita 3 = –2. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, obtenemos incógnita 2 = 2. Después de esto, la primera ecuación da incógnita 1 = 1. Por tanto, es una solución al sistema (1.1).

Concepto de matriz

Consideremos las cantidades incluidas en el sistema (1.1). Un conjunto de nueve coeficientes numéricos que aparecen antes de las incógnitas en las ecuaciones forma una tabla de números llamada matriz:

A= .

(1.3)

Los números de la tabla se llaman elementos matrices. Forma de elementos filas y columnas matrices. El número de filas y el número de columnas forman dimensión matrices. Matriz A tiene una dimensión de 3´3 (“tres por tres”), indicando el primer número el número de filas y el segundo el número de columnas. A menudo, una matriz se denota indicando su dimensión A (3 ´ 3). Dado que el número de filas y columnas de la matriz A lo mismo, la matriz se llama cuadrado. El número de filas (y columnas) de una matriz cuadrada se llama en orden, Es por eso A– matriz tercer orden.

Los lados derechos de las ecuaciones también forman una tabla de números, es decir matriz:

Cada fila de esta matriz está formada por un solo elemento, por lo que B(3 ´ 1) se llama columna-matriz, su dimensión es 3´1. El conjunto de incógnitas también se puede representar como una matriz de columnas:

Multiplicar una matriz cuadrada por una matriz de columnas

Puede realizar varias operaciones con matrices, que se analizarán en detalle más adelante. Aquí solo analizaremos la regla para multiplicar una matriz cuadrada por una matriz de columnas. Por definición, el resultado de la multiplicación de matrices A(3 ´ 3) por columna EN(3 ´ 1) es la columna D(3 ´ 1) , cuyos elementos son iguales a las sumas de los productos de los elementos de las filas de la matriz A a elementos de columna EN:

2)segundo elemento de columna D igual a la suma de los productos de los elementos segundo filas de matriz A a elementos de columna EN:

De las fórmulas anteriores queda claro que multiplicar una matriz por una columna EN sólo es posible si el número de columnas de la matriz A igual al número de elementos de la columna EN.

Veamos dos ejemplos numéricos más de multiplicación de matrices. (3 ´3) por columna (3 ´1) :

Ejemplo 1.1

AB =
.

Ejemplo 1.2

AB= .

Las principales aplicaciones de las matrices están relacionadas con la operación multiplicación.

Se dan dos matrices:

A – talla mn

B – tamaño norte k

Porque la longitud de una fila en la matriz A coincide con la altura de una columna en la matriz B, se puede definir una matriz C=AB, que tendrá dimensiones m k. Elemento La matriz C, ubicada en una i-ésima fila arbitraria (i=1,…,m) y una j-ésima columna arbitraria (j=1,…,k), por definición, es igual al producto escalar de dos vectores de
:i-ésima fila de la matriz A y j-ésima columna de la matriz B:

Propiedades:

¿Cómo se define la operación de multiplicar una matriz A por un número λ?

El producto de A y el número λ es una matriz en la que cada elemento es igual al producto del elemento correspondiente de A y λ. Corolario: El factor común de todos los elementos de la matriz se puede sacar del signo de la matriz.

13. Definición de la matriz inversa y sus propiedades.

Definición. Si existen matrices cuadradas X y A del mismo orden que satisfacen la condición:

donde E es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A, entonces la matriz X se llama contrarrestar a la matriz A y se denota por A -1.

Propiedades de matrices inversas

Indiquemos las siguientes propiedades de las matrices inversas:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Si la matriz inversa existe, entonces es única.

2. No todas las matrices cuadradas distintas de cero tienen inversa.

14. Dé las principales propiedades de los determinantes. Comprobar la validez de la propiedad |AB|=|A|*|B| para matrices

A= y B=

Propiedades de los determinantes:

1. Si alguna fila del determinante consta de ceros, entonces el determinante en sí es igual a cero.

2. Al reordenar dos filas, el determinante se multiplica por -1.

3. El determinante con dos filas idénticas es igual a cero.

4. Del signo determinante se puede sacar el factor común de los elementos de cualquier fila.

5. Si los elementos de una determinada fila del determinante A se presentan como la suma de dos términos, entonces el determinante en sí es igual a la suma de dos determinantes B y D. En el determinante B, la línea especificada consta de los primeros términos, en D - de los segundos términos. Las líneas restantes de determinantes B y D son las mismas que en A.

6. El valor del determinante no cambiará si se suma otra línea a una de las líneas, multiplicada por cualquier número.

7. La suma de los productos de elementos de cualquier fila por complementos algebraicos a los elementos correspondientes de otra fila es igual a 0.

8. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz transpuesta A m, es decir el determinante no cambia cuando se transpone.

15. Defina el módulo y el argumento de un número complejo. Escribe los números √3+ en forma trigonométrica.i, -1+ i.

A cada número complejo z=a+ib se le puede asociar un vector (a,b)€R 2. La longitud de este vector igual a √a 2 + b 2 se llama módulo de un número complejo z y se denota por |z|. El ángulo φ entre un vector dado y la dirección positiva del eje Ox se llama argumento de número complejo z y se denota por arg z.

Cualquier número complejo z≠0 se puede representar como z=|z|(cosφ +isinφ).

Esta forma de escribir un número complejo se llama trigonométrica.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

A cada número complejo Z = a + ib se le puede asignar un vector (a; b) perteneciente a R^2. La longitud de este vector, igual a KB de a^2 + b^2, se llama módulo de un número complejo y se denota por el módulo Z. El ángulo entre este vector y la dirección positiva del eje Ox se llama argumento del número complejo (denotado por arg Z).

Este tema cubrirá operaciones como sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un número, multiplicar una matriz por una matriz y transponer una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.

Suma y resta de matrices.

La suma de $A+B$ de las matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llama matriz $C_(m \times n) =(c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline( 1,n)$.

Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:

La diferencia entre las matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times n)=( c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1, norte)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la entrada $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones que son claras intuitivamente, porque esencialmente significan solo la suma o resta de los elementos correspondientes.

Ejemplo No. 1

Se dan tres matrices:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 y 0 \\ -5 y 4 \end(array) \right). $$

¿Es posible encontrar la matriz $A+F$? Encuentre las matrices $C$ y $D$ si $C=A+B$ y $D=A-B$.

La matriz $A$ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $A$ es $2\times 3$), y la matriz $F$ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de las matrices $A$ y $F$ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $A+F$ no está definida para estas matrices.

Los tamaños de las matrices $A$ y $B$ son iguales, es decir Los datos de la matriz contienen el mismo número de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellas.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \end(array) \right) $$

Encontremos la matriz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 y -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 y 9 y 6 \end(array) \right) $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \end(array) \right)$.

Multiplicar una matriz por un número.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por el número $\alpha$ es la matriz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, donde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

En pocas palabras, multiplicar una matriz por un número determinado significa multiplicar cada elemento de una matriz determinada por ese número.

Ejemplo No. 2

La matriz está dada: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Encuentre las matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ y $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matriz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matriz) \right) =\left(\begin(matriz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 y 10 y -35 \\ -20 y -45 y 0 \end(array) \right). $$

La notación $-A$ es una notación abreviada de $-1\cdot A$. Es decir, para encontrar $-A$ necesitas multiplicar todos los elementos de la matriz $A$ por (-1). Básicamente, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $A$ cambiará al opuesto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ izquierda(\begin(array) (ccc) 1 y 2 y -7 \\ -4 y -9 y 0 \end(array) \right) $$

Respuesta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Producto de dos matrices.

La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, poco clara. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por la matriz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times k )=(c_( ij))$, para lo cual cada elemento $c_(ij)$ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $A$ por los elementos de la j -ésima columna de la matriz $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debes tener en cuenta de inmediato que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $A$ por la matriz $B$, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $A$ sea igual al número de filas de la matriz $B$ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $A_(5\times 4)$ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $F_(9\times 8)$ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $A $ no es igual al número de filas de la matriz $F$, es decir $4\neq 9$. Pero puedes multiplicar la matriz $A_(5\times 4)$ por la matriz $B_(4\times 9)$, ya que el número de columnas de la matriz $A$ es igual al número de filas de la matriz $ B$. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $A_(5\times 4)$ y $B_(4\times 9)$ será la matriz $C_(5\times 9)$, que contiene 5 filas y 9 columnas:

Ejemplo No. 3

Matrices dadas: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matriz) \right)$ y $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Encuentra la matriz $C=A\cdot B$.

Primero, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $C$. Dado que la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 4$, y la matriz $B$ tiene un tamaño $4\times 2$, entonces el tamaño de la matriz $C$ es: $3\times 2$:

Entonces, como resultado del producto de las matrices $A$ y $B$, debemos obtener una matriz $C$, que consta de tres filas y dos columnas: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la designación de elementos plantea dudas, entonces se puede consultar el tema anterior: “Tipos de matrices”, al principio del cual se explica la designación de elementos matriciales. Nuestro objetivo: encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $C$.

Comencemos con el elemento $c_(11)$. Para obtener el elemento $c_(11)$, necesitas encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

Para encontrar el elemento $c_(11)$, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $B$, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuamos con la solución y encontramos $c_(12)$. Para hacer esto, tendrás que multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la segunda columna de la matriz $B$:

Similar al anterior, tenemos:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se han encontrado todos los elementos de la primera fila de la matriz $C$. Pasemos a la segunda línea, que comienza con el elemento $c_(21)$. Para encontrarlo, tendrás que multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Encontramos el siguiente elemento $c_(22)$ multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Para encontrar $c_(31)$, multiplica los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos de la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Y finalmente, para encontrar el elemento $c_(32)$, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Se han encontrado todos los elementos de la matriz $C$, solo queda escribir que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matriz) \derecha)$ . O, para escribir completo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 y 3 \\ 6 y 20 \\ 7 y 0 \\ 12 y -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right). $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right)$.

Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle la ubicación de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puedes hacer esto:

También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que en el caso general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Sólo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutable(o desplazamientos), la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ es verdadera. Precisamente en base a la no conmutatividad de la multiplicación debemos indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por una matriz particular: a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, la frase “multiplica ambos lados de la igualdad $3E-F=Y$ por la matriz $A$ de la derecha” significa que quieres obtener la siguiente igualdad: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpuesta con respecto a la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ está la matriz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para elementos que $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En pocas palabras, para obtener una matriz transpuesta $A^T$, es necesario reemplazar las columnas de la matriz original $A$ con las filas correspondientes de acuerdo con este principio: había una primera fila, habrá una primera columna. ; había una segunda fila; habrá una segunda columna; había una tercera fila; habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, encontremos la matriz transpuesta a la matriz $A_(3\times 5)$:

En consecuencia, si la matriz original tenía un tamaño de $3\times 5$, entonces la matriz transpuesta tiene un tamaño de $5\times 3$.

Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.

Aquí se supone que $\alpha$, $\beta$ son algunos números y $A$, $B$, $C$ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades indiqué nombres; el resto puede nombrarse por analogía con las cuatro primeras.

1. $A+B=B+A$ (conmutatividad de la suma)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociatividad de la suma)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributividad de la multiplicación por una matriz con respecto a la suma de números)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributividad de la multiplicación por un número relativa a la suma de matrices)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, donde $E$ es la matriz identidad del orden correspondiente.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, donde $O$ es una matriz cero del tamaño apropiado.
10. $\izquierda(A^T \derecha)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

En la siguiente parte, consideraremos la operación de elevar una matriz a una potencia entera no negativa y también resolveremos ejemplos en los que es necesario realizar varias operaciones con matrices.