Calcula el determinante por expansión de fila o columna. Teorema (expansión del determinante en una fila o columna). Expandiendo el determinante por fila o columna

ÁLGEBRA

1. MATRICES Y DETERMINANTES. Definiciones del determinante y sus propiedades básicas. Teorema sobre la descomposición del determinante en los elementos de una fila (columna). Criterio de invertibilidad de la matriz.

Determinante o determinante de enésimo orden es un número escrito en la forma

y calculado a partir de números dados (reales o complejos) -elementos del determinante- según la siguiente ley:

,

extendido a todas las posibles permutaciones diferentes a partir de números. El número es igual al número de transposiciones que es necesario hacer para pasar de la permutación principal a la permutación. norte-ésimo orden . Trabajar llamado miembro del determinante.

El determinante es igual a la suma de los productos de todos los elementos de su fila (o columna) arbitraria por su sumas algebraicas. En otras palabras, d se expande en elementos i-ésima línea

d = una yo 1 Una yo 1 + una yo 2 Una yo 2 +... + una yo n Una yo n (i = )

o j-ésima columna

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

En particular, si todos los elementos de una fila (o columna) menos uno son cero, entonces el determinante es igual a ese elemento multiplicado por su complemento algebraico.

Prueba.

Verifiquemos la validez del teorema usando el ejemplo de expansión del determinante de tercer orden, por ejemplo, en la primera fila. Según el teorema, esta expansión tendrá la forma: D= = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = (teniendo en cuenta la definición de A ij obtenemos) = =a 11 (-1) 2 M 11 + a 12 (- 1) 3 M 12 + a 13 (-1) 4 M 13 = a 11 - a 12 + a 13 = a 11 (a 22 ×a 33 - a 23 ×a 32) - a 12 (a 21 ×a 33 - a 23 ×a 31) + a 13 (a 21 ×a 32 - a 22 ×a 31) = a 11 ×a 22 ×a 33 + a 12 ×a 23 ×a 31 + a 13 ×a 21 ×a 32 - a 13 ×a 22 ×a 31 - a 12 ×a 21 ×a 33 - a 11 ×a 23 ×a 32 = (según la regla de los triángulos) = = D. Un resultado similar se obtiene al expandir el determinante a lo largo de cualquier fila (columna). Aleta.

Consecuencia. Si en la i-ésima fila (j-ésima columna) del determinante D solo hay un elemento distinto de cero a ij ¹ 0, entonces el resultado de descomponer el determinante a lo largo de esta fila (columna) será la expresión D = a ij×A ij.

Los determinantes de enésimo orden satisfacen las siguientes propiedades:

1) Al transponer un determinante, su valor no cambia (es decir, el valor del determinante no cambia al reemplazar sus filas con columnas con los mismos números).

Prueba:

D = = = un 11 × un 22 - un 12 × un 21

NÓTESE BIEN. En consecuencia, las filas y columnas del determinante son iguales, por lo que sus propiedades pueden formularse y probarse ya sea para filas o para columnas.

2) Cuando se reorganizan dos filas (columnas) cualesquiera del determinante, su signo cambia al opuesto.

Prueba:

D = = a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21 = - (a 12 ×a 21 - a 11 ×a 22) = -

3) Un determinante con dos filas (columnas) idénticas es igual a cero.

Prueba. Sea el determinante D tener dos líneas idénticas. Si los intercambiamos, entonces, por un lado, el valor del determinante no cambiará, ya que las filas son iguales, y por otro lado, el determinante debe cambia su signo al opuesto por la propiedad 2. Así, tenemos: D = -D Þ D = 0.

4) El factor común de los elementos de cualquier fila (columna) se puede llevar más allá del signo del determinante.

Prueba:

D= = la 11 ×a 22 - la 12 ×a 21 = l(a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21) = l.

Corolario: D = = l×m.

NÓTESE BIEN. La regla para multiplicar un determinante por un número. Para multiplicar un determinante por un número, necesitas todos los elementos de algún tipo. uno sus filas (columnas) multiplicadas por este número.

5) Un determinante con una fila (columna) cero es igual a cero.

Prueba. Por la propiedad 4 sacamos multiplicador común l = 0 elementos de la fila (columna) cero por signo del determinante. Obtenemos 0×D = 0.

6) Un determinante con dos o más filas (columnas) proporcionales es igual a cero.

Prueba. Si tomamos el coeficiente de proporcionalidad de dos filas (columnas) l≠0 del signo del determinante, obtenemos un determinante con dos filas (columnas) idénticas, igual a cero según la propiedad 3.

7) Si cada elemento de cualquier fila (columna) del determinante está representado en

forma de la suma de k términos, entonces dicho determinante es igual a la suma de k determinantes en la que los elementos de esta fila (columna) se reemplazan por los términos correspondientes, y todos los demás elementos son los mismos que los del determinante original .

Prueba:

D= = (a 11 + b 11)a 22 - (a 12 + b 12)a 21 = (a 11 a 22 - a 12 a 21) + (b 11 a 22 - b 12 a 21) = = + .

Def. La enésima fila de un determinante se llama combinación lineal de sus filas restantes (n-1) si puede representarse como la suma de los productos de estas filas por los números correspondientes l 1, l 2,…, l n - 1. Por ejemplo, en el determinante

La tercera línea es una combinación lineal de las dos primeras líneas.

NÓTESE BIEN. Una combinación lineal se llama trivial si tiene "l i = 0. De lo contrario, una combinación lineal se llama no trivial (si $l i ¹ 0).

8 a) Si una fila (columna) de un determinante es una combinación lineal de sus otras filas (columnas), entonces dicho determinante es igual a cero.

Prueba: D =

8 b) El valor del determinante no cambiará si los elementos correspondientes de cualquier otra fila (columna) del determinante, multiplicados por el mismo número, se suman a los elementos de cualquiera de sus filas (columnas).

Prueba:

Sea D= Þ (a la 1.ª línea sume la 2.ª línea multiplicada por el número l) Þ

9) La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) del determinante por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de cualquier otra fila (columna) del determinante es igual a cero, es decir, = 0 (si i ≠ j). Por ejemplo, sea

Entonces a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = 0, ya que los elementos de la 1ª fila del determinante se multiplican por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la 2ª fila.

Prueba:

a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = a 11 ×(-1) 2+1 + a 12 ×(-1) 2+2 + a 13 ×(-1) 2+3 =

=(esta es la expansión a lo largo de la 1.ª fila del determinante (-1)× = 0)= 0.

Si el determinante es D¹0, entonces según la propiedad 8 b) siempre es posible “poner a cero” la i-ésima fila ( j-ésima columna) al único elemento distinto de cero y expandir el determinante a lo largo de esta fila (columna). Aplicando esta operación el número requerido de veces, siempre es posible obtener un determinante de segundo orden a partir del determinante de enésimo orden.

ÁLGEBRA

MATRICES Y DETERMINANTES. Definiciones del determinante y sus propiedades básicas. Teorema sobre la descomposición del determinante en los elementos de una fila (columna). Criterio de invertibilidad de la matriz.

Determinante o determinantenorte-ésimo orden es un número escrito en la forma

y calculado a partir de estos números (real o complejo) – elementos del determinante – según la siguiente ley:

,

extendido a todas las posibles permutaciones diferentes
de números
. Número
igual al número de transposiciones que deben realizarse para pasar de la permutación principal
reordenar norte-ésimo orden
. Trabajar
llamado miembro del determinante.

Teorema (descomposición del determinante en una fila o columna).

El determinante es igual a la suma de los productos de todos los elementos de su fila (o columna) arbitraria por sus complementos algebraicos. En otras palabras, hay una expansión de d en elementos del i-ésimo pauta

d = una yo 1 Una yo 1 + una yo 2 Una yo 2 +... + una yo n Una yo n (i =
)

o j-ésima columna

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =
).

En particular, si todos los elementos de una fila (o columna) menos uno son cero, entonces el determinante es igual a ese elemento multiplicado por su complemento algebraico.

Prueba.

Verifiquemos la validez del teorema usando el ejemplo de expansión del determinante de tercer orden, por ejemplo, en la primera fila. Según el teorema, esta expansión tendrá la forma: =
= a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = (teniendo en cuenta la definición de A ij obtenemos) = =a 11 (1) 2 M 11 + a 12 (1) 3 M 12 + un 13 ( 1) 4 M 13 = un 11
- un 12
+ un 13
= a 11 (a 22 a 33  a 23 a 32)  a 12 (a 21 a 33  a 23 a 31) + a 13 (a 21 a 32  a 22 a 31) = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32  a 13 a 22 a 31  a 12 a 21 a 33  a 11 23 a 32 = (según la regla de los triángulos) =
=. Se obtiene un resultado similar al expandir el determinante sobre cualquier fila (columna). Aleta.

Consecuencia. Si en la i-ésima fila (j-ésima columna) del determinante  solo hay un elemento distinto de cero a ij  0, entonces el resultado de descomponer el determinante a lo largo de esta fila (columna) será la expresión  = a ij A ij.

Determinantesnorte-ésimo orden satisface las siguientes propiedades:

1) Al transponer un determinante, su valor no cambia (es decir, el valor del determinante no cambia al reemplazar sus filas con columnas con los mismos números).

Prueba:

 =
=
= a 11 a 22  a 12 a 21

NÓTESE BIEN. En consecuencia, las filas y columnas del determinante son iguales, por lo que sus propiedades pueden formularse y probarse ya sea para filas o para columnas.

2) Cuando se reorganizan dos filas (columnas) cualesquiera del determinante, su signo cambia al opuesto.

Prueba:

 =
= a 11 a 22  a 12 a 21 =  (a 12 a 21  a 11 a 22) = 

3) Un determinante con dos filas (columnas) idénticas es igual a cero.

Prueba. Sea el determinante  dos rectas idénticas. Si los intercambiamos, entonces, por un lado, el valor del determinante no cambiará, ya que las filas son iguales, y por otro lado, el determinante debe cambia su signo al opuesto según la propiedad 2. Así, tenemos:  =    = 0.

4) El factor común de los elementos de cualquier fila (columna) se puede llevar más allá del signo del determinante.

Prueba:

=
=a 11 a 22  a 12 a 21 = (a 11 a 22  a 12 a 21) = 
.

Corolario:  =
=
.

NÓTESE BIEN. La regla para multiplicar un determinante por un número. Para multiplicar un determinante por un número, necesitas todos los elementos de algún tipo. uno sus filas (columnas) multiplicadas por este número.

5) Un determinante con una fila (columna) cero es igual a cero.

Prueba. Por la propiedad 4, llevamos el factor común  = 0 de los elementos de la fila (columna) cero más allá del signo del determinante. Obtenemos 0 = 0.

6) Un determinante con dos o más filas (columnas) proporcionales es igual a cero.

Prueba. Si quitamos el coeficiente de proporcionalidad de dos filas (columnas) ≠0 del signo del determinante, obtenemos un determinante con dos filas (columnas) idénticas, igual a cero según la propiedad 3.

7) Si cada elemento de cualquier fila (columna) del determinante está representado en

forma de la suma de k términos, entonces dicho determinante es igual a la suma de k determinantes en la que los elementos de esta fila (columna) se reemplazan por los términos correspondientes, y todos los demás elementos son los mismos que los del determinante original .

Prueba:

=
= (a 11 + b 11)a 22  (a 12 + b 12)a 21 = (a 11 a 22  a 12 a 21) + (b 11 a 22  b 12 a 21) = =
+
.

Def. La enésima fila de un determinante se llama combinación lineal de sus filas restantes (n1) si puede representarse como la suma de los productos de estas filas por los números correspondientes  1 ,  2 , …,  n  1 . Por ejemplo, en el determinante

La tercera línea es una combinación lineal de las dos primeras líneas.

NÓTESE BIEN. Una combinación lineal se llama trivial si tiene  i = 0. En caso contrario, una combinación lineal se llama no trivial (si  i  0).

8 a) Si una fila (columna) de un determinante es una combinación lineal de sus otras filas (columnas), entonces dicho determinante es igual a cero.

Prueba:  =

8 b) El valor del determinante no cambiará si los elementos correspondientes de cualquier otra fila (columna) del determinante, multiplicados por el mismo número, se suman a los elementos de cualquiera de sus filas (columnas).

Prueba:

Sea =
 (a la 1ª línea suma la 2ª línea multiplicada por el número ) 

=
.

9) La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) del determinante por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de cualquier otra fila (columna) del determinante es igual a cero, es decir
= 0 (si i ≠ j Por ejemplo, sea).

 =
 0

Entonces a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = 0, ya que los elementos de la 1ª fila del determinante se multiplican por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la 2ª fila.

Prueba:

a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = a 11 (1) 2+1
+ a 12 (1) 2+2
+ a 13 (1) 2+3
=

=(esta es la expansión a lo largo de la 1.ª fila del determinante (1)
= 0}= 0.

Si el determinante es 0, entonces según la propiedad 8 b) siempre es posible “poner a cero” la i-ésima fila (j-ésima columna) a un solo elemento distinto de cero y expandir el determinante a lo largo de esta fila (columna) . Aplicando esta operación el número requerido de veces, siempre es posible obtener un determinante de segundo orden a partir del determinante de enésimo orden.

matriz inversa

Def. Matriz se llama adjunta (adjunta) a una matriz cuadrada A si consta de complementos algebraicos de elementos de la matriz transpuesta A m. , debes transponer la matriz A y luego reemplazar todos sus elementos con sus complementos algebraicos, es decir

=
(3.1)

Def. Una matriz cuadrada A se llama singular (singular) si su determinante |A|=0, y no singular si su determinante |A|0.

Def. Una matriz cuadrada A  1 se llama inversa (inversa) a una matriz cuadrada A si se cumple la condición

A  1 A = AA  1 = E (3.2)

NÓTESE BIEN. La matriz inversa A  1 sólo es posible para una matriz A no singular.

Teorema.

Para cualquier matriz cuadrada no singular A existe una matriz inversa única A  1, que se encuentra mediante la fórmula

Una - 1 = (3.3)

Prueba.

1) De la definición de A  1 A = AA  1 se deduce que A y A - 1  son matrices cuadradas mismo orden.

Sea la matriz A no degenerada, es decir, |A|0. Luego, según la regla de la multiplicación de matrices, según el teorema de Laplace y según la propiedad de los 9 determinantes, obtenemos

A =

=
=

= |A| = |A|E

Por lo tanto, A = |A|E. De la misma manera, se demuestra que A = |A|E.

De A = |A|E  A  1 A = A - 1 ×|A|E  E = A  1 |A|  = A  1 |A|  A  1 = .

2) Demostremos la unicidad de la matriz inversa. Supongamos que para la matriz A existe otra matriz B inversa. Entonces, según la definición, el producto AB=E. Multipliquemos ambos lados de la última igualdad desde la izquierda por matriz inversa A  1 y obtenemos: A  1 AB = A  1 E  EB = A  1 E  B = A  1 . Aleta.

Propiedades de una matriz inversa:

ÁLGEBRA DE POLINOMIOS. El máximo común divisor de dos polinomios (algoritmo euclidiano).

Polinomio norte el grado th se llama función de la forma

Dónde son coeficientes constantes (reales o complejos), y – una variable compleja que puede tomar cualquier valor complejo
o, para decirlo geométricamente, puede ser cualquier punto del plano complejo.

Si
en
, entonces el número llamado raíz o cero polinomio
.

Las siguientes operaciones aritméticas están definidas para polinomios:

Como resultado de las operaciones 1) y 2) obtenemos nuevamente un polinomio. El cociente de dos polinomios puede no ser un polinomio.

División de polinomios con resto.

,

Dónde
- privado, y
- resto.

Teorema de Bezout.

Para que un polinomio
tenía una raíz (compleja) , es necesario y suficiente que sea divisible por
, es decir. para que pueda ser representado como un producto, donde
– algún polinomio de grado norte-1 .

Si durante la descomposición
, luego basado en el teorema de Bezout aplicable a
, polinomio
no divisible por
, A
aunque se divide en
, pero no divisible por
. En este caso dicen que –raíz simple (cero) polinomio .

Déjalo ahora
. Entonces, por el teorema de Bezout, aplicable a
, polinomio
dividido por
, y obtendremos
, Dónde
– algún polinomio de grado norte-2 . Si
, Eso
dividido por
, pero no divisible por
, y luego el número llamado raíz (cero) de multiplicidad 2.

EN caso general por algo natural
tiene lugar

Dónde
– polinomio de grado norte- s y luego dicen que –raíz (cero) de un polinomio multiplicidads.

Teorema de Gauss (teorema fundamental del álgebra).

Cualquier polinomio norte-ésimo grado (distinto de cero, es decir
) tiene al menos una raíz compleja (cero).

Corolario del teorema de Gauss.

Polinomio norte grado con el coeficiente más alto distinto de cero
tiene norte raíces complejas teniendo en cuenta la multiplicidad, en otras palabras
se presenta como un producto

Dónde
– varias raíces multiplicidades, respectivamente
.

Si un polinomio con coeficientes reales tiene raíces complejas, entonces aparecen en pares conjugados, es decir Si
– raíz de un polinomio , entonces la raíz
será la raíz del polinomio .

Ampliando la factorización cuadrática del polinomio raíces complejas
conjugar unos, es decir
obtenemos la expansión del polinomio a factores lineales.

Como resultado, obtenemos una descomposición de la forma

Dónde
corresponde a la raíz real b multiplicidad yo, A
– raíces complejas Y multiplicidad metro.

Máximo común divisor de polinomios

Sean dados polinomios arbitrarios.
Y
. El polinomio se llamará divisor común Para
Y
, si sirve como divisor de cada uno de estos polinomios. La propiedad 5 muestra que el número de divisores comunes de polinomios
Y
todos los polinomios de grado cero pertenecen. Si estos dos polinomios no tienen otros divisores comunes, entonces se llaman mutuamente primos.

En el caso general, polinomios.
Y
puede tener divisores dependiendo de e introducir el concepto de el mas grande el divisor común de estos polinomios.

máximo común divisor polinomios distintos de cero
Y
tal polinomio se llama
, que es su divisor común y, al mismo tiempo, es divisible por cualquier otro divisor común de estos polinomios. Denota el máximo común divisor de polinomios
Y
símbolo
.

Esta definición deja abierta la cuestión de si existe un máximo común divisor para cualquier polinomio.
Y
. La respuesta a esta pregunta es sí. Existe un método para encontrar prácticamente el máximo común divisor de polinomios dados llamado algoritmo de división secuencial o El algoritmo de Euclides.

algoritmo de euclides – un método para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros, así como dos polinomios de la misma variable. Fue declarado originalmente en los Elementos de Euclides. forma geométrica como una forma de encontrar la medida común de dos segmentos. El algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor, tanto en el anillo de números enteros como en el anillo de polinomios en una variable, es un caso especial de cierto algoritmo general en anillos euclidianos.

Algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos polinomios
Y
consiste en una división secuencial con un resto
en
, entonces
para el primer saldo
, entonces
para el segundo saldo
etcétera. Dado que los grados de residuos van disminuyendo todo el tiempo, en esta cadena de divisiones sucesivas llegaremos a un punto en el que la división se completa y el proceso se detiene. Último resto distinto de cero
, por el cual se divide completamente el resto anterior
, y es el máximo común divisor de los polinomios
Y
.

Para demostrarlo escribimos lo anterior en forma de la siguiente cadena de igualdades:

La última igualdad muestra que
sirve como divisor para
. De ello se deduce que ambos términos en el lado derecho de la penúltima igualdad son divisibles por
, y por lo tanto
será un divisor de
. Además, de la misma manera, subiendo, obtenemos que
es un divisor de
, …,
,
. De aquí, en vista de la segunda igualdad, se seguirá que
sirve como divisor para
, y por lo tanto, basado en la primera igualdad, - y para
.

Tomemos ahora un divisor común arbitrario.
polinomios
Y
. Porque lado izquierdo y el primer término del lado derecho de la primera de las igualdades se divide por
, Eso
también será divisible por
. Pasando a la segunda y siguiente igualdad, de la misma manera obtenemos que en
los polinomios son divisibles
,
, ... Finalmente, si ya se ha demostrado que
Y
se dividen en
, entonces de la penúltima igualdad obtenemos que
dividido por
. De este modo,
en realidad será el máximo común divisor de
Y
.

Hemos demostrado que dos polinomios cualesquiera tienen un máximo común divisor y hemos encontrado una manera de calcularlo. Este método muestra que si polinomios
Y
tienen coeficientes tanto racionales como reales, entonces los coeficientes de su máximo común divisor también serán racionales o, en consecuencia, reales, aunque estos polinomios también pueden tener divisores, no todos cuyos coeficientes son racionales (reales).

Para encontrar determinantes de segundo y tercer orden, puede utilizar fórmulas estándar(2 - diferencia del producto de elementos diagonales, 3 - regla del triángulo). Sin embargo, para calcular el determinante de cuarto, quinto orden y superiores, es mucho más rápido descomponerlos en los elementos de la fila o columna que contiene más ceros y reducirlos a calcular varios determinantes por unidad de orden inferior.

A continuación se detallan los esquemas de signos para menores para determinantes de tercer a quinto orden.

No son difíciles de recordar si conoces las siguientes reglas:
La adición a los elementos de la diagonal principal se realiza con un signo “+”, y en diagonales paralelas “-”, “+”, “-”, ... alternas.
La adición a los elementos de columnas y filas impares comienza con el signo "+", y luego "-", "+" se alternan, para las pareadas comienzan con el signo "-" y luego "+", "-" alternar alternativamente...
La segunda regla es utilizada por la mayoría de los estudiantes, ya que está vinculada a la columna o fila mediante la cual se realiza el gráfico determinante.

Pasemos a considerar ejemplos de descomposición del determinante y estudiemos las características de este método.

Expande el determinante de tercer orden a los elementos de la primera fila y la segunda columna.

Descomponemos el determinante en los elementos de la primera fila.

De manera similar, realizamos cálculos de la descomposición sobre los elementos de la segunda columna.

Ambos valores son iguales, lo que significa que los cálculos se realizaron correctamente. Si resulta que los determinantes obtenidos por el gráfico para la fila y la columna no coinciden, significa que en algún lugar hubo un error en los cálculos y es necesario enumerarlo o encontrarlo.

Encuentra el determinante de cuarto orden usando el método de expansión.

Descomponemos por elementos de la tercera fila (resaltada en rojo), ya que contiene la mayor cantidad de elementos cero.

Los determinantes incluidos en la tabla se encuentran usando la regla de los triángulos.

Sustituimos los valores encontrados y calculamos.

En este ejemplo, el método de descomposición mostró su eficacia y sencillez. Reglas estándar Sería demasiado engorroso calcularlo.

Encuentre el determinante de quinto orden usando el método de expansión.

Al resolver problemas de matemáticas superiores, muy a menudo surge la necesidad calcular el determinante de una matriz. El determinante matricial aparece en álgebra lineal, geometría analítica, análisis matemático y otras ramas de las matemáticas superiores. Por tanto, es simplemente imposible prescindir de la habilidad de resolver determinantes. Además, para realizar una autoevaluación, puedes descargar una calculadora de determinantes de forma gratuita; no te enseñará cómo resolver determinantes por sí sola, pero es muy conveniente, ya que siempre es beneficioso saber la respuesta correcta de antemano.

No daré una definición matemática estricta del determinante y, en general, intentaré minimizar la terminología matemática, lo que no facilitará las cosas a la mayoría de los lectores; El propósito de este artículo es enseñarte cómo resolver determinantes de segundo, tercer y cuarto orden. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, e incluso una tetera llena (vacía) en matemáticas superiores, después de estudiar detenidamente el material, podrá resolver correctamente los determinantes.

En la práctica, lo más frecuente es encontrar un determinante de segundo orden, por ejemplo: y un determinante de tercer orden, por ejemplo: .

Determinante de cuarto orden Tampoco es una antigüedad y hablaremos de ello al final de la lección.

Espero que todos entiendan lo siguiente: Los números dentro del determinante viven solos y ¡no se trata de restas! ¡Los números no se pueden intercambiar!

(En particular, es posible realizar reordenamientos por pares de filas o columnas de un determinante con un cambio en su signo, pero a menudo esto no es necesario; consulte la siguiente lección Propiedades del determinante y reducción de su orden)

Por tanto, si se da algún determinante, entonces ¡No tocamos nada dentro de él!

Designaciones: Si se le da una matriz , entonces se denota su determinante . También muy a menudo se denota el determinante. letra latina o griego.

1)¿Qué significa resolver (encontrar, revelar) un determinante? Calcular el determinante significa ENCONTRAR EL NÚMERO. Los signos de interrogación en los ejemplos anteriores son números completamente comunes.

2) Ahora queda por descubrir ¿CÓMO encontrar este número? Para hacer esto, es necesario aplicar ciertas reglas, fórmulas y algoritmos, que se discutirán a continuación.

Empecemos por el determinante "dos" por "dos":

ESTO ES NECESARIO RECORDAR, al menos mientras se estudian matemáticas superiores en una universidad.

Veamos un ejemplo de inmediato:

Listo. Lo más importante es NO CONFUNDIRSE EN LOS SIGNOS.

Determinante de una matriz de tres por tres Se puede abrir de 8 maneras, 2 de ellas son simples y 6 son normales.

Empecemos con dos maneras simples

De manera similar al determinante de dos por dos, el determinante de tres por tres se puede expandir usando la fórmula:

La fórmula es larga y es fácil equivocarse por descuido. ¿Cómo evitar errores molestos? Para ello se inventó un segundo método de cálculo del determinante, que en realidad coincide con el primero. Se llama método Sarrus o método de “tiras paralelas”.
La conclusión es que a la derecha del determinante, asigne la primera y segunda columnas y dibuje líneas cuidadosamente con un lápiz:

Los multiplicadores ubicados en las diagonales "rojas" se incluyen en la fórmula con un signo "más".
Los multiplicadores ubicados en las diagonales "azules" se incluyen en la fórmula con un signo menos:

Ejemplo:

Compara las dos soluciones. Es fácil ver que esto es lo MISMO, solo que en el segundo caso los factores de la fórmula se reorganizan ligeramente y, lo más importante, la probabilidad de cometer un error es mucho menor.

Ahora veamos las seis formas normales de calcular el determinante.

¿Por qué normales? Porque en la gran mayoría de los casos, los calificadores deben divulgarse de esta manera.

Como habrás notado, el determinante de tres por tres tiene tres columnas y tres filas.
Puedes resolver el determinante abriéndolo. por cualquier fila o por cualquier columna.
Así, existen 6 métodos, utilizando en todos los casos mismo tipo algoritmo.

El determinante de la matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila (columna) por los complementos algebraicos correspondientes. ¿Aterrador? Todo es mucho más sencillo; utilizaremos un enfoque no científico pero comprensible, accesible incluso para una persona alejada de las matemáticas.

En el siguiente ejemplo ampliaremos el determinante en la primera linea.
Para ello necesitamos una matriz de signos: . Es fácil notar que los carteles están dispuestos en forma de tablero de ajedrez.

¡Atención! La matriz de signos es mi propia invención. este concepto no es científico, no es necesario utilizarlo en el diseño final de las tareas, solo ayuda a comprender el algoritmo para calcular el determinante.

Primero traeré solución completa. Tomamos nuevamente nuestro determinante experimental y realizamos los cálculos:

Y pregunta principal: CÓMO obtener esto del determinante “tres por tres”:
?

Entonces el determinante de "tres por tres" se reduce a decisión de tres pequeños determinantes, o como también se les llama, MENOROV. Recomiendo recordar el término, sobre todo porque es memorable: menor – pequeño.

Una vez elegido el método de descomposición del determinante en la primera linea, es obvio que todo gira en torno a ella:

Los elementos generalmente se ven de izquierda a derecha (o de arriba a abajo si se seleccionó una columna)

Vamos, primero nos ocupamos del primer elemento de la línea, es decir, de uno:

1) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente:

2) Luego escribimos el elemento en sí:

3) Tache MENTALMENTE la fila y columna en la que aparece el primer elemento:

Los cuatro números restantes forman el determinante “dos por dos”, que se llama MENOR de este elemento(unidades).

Pasemos al segundo elemento de la línea.

4) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente:

5) Luego escribe el segundo elemento:

6) Tache MENTALMENTE la fila y columna en la que aparece el segundo elemento:

Bueno, el tercer elemento de la primera línea. Sin originalidad:

7) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente:

8) Escribe el tercer elemento:

9) Tache MENTALMENTE la fila y columna que contiene el tercer elemento:

Escribimos los cuatro números restantes en un determinante pequeño.

El resto de acciones no presentan ninguna dificultad, puesto que ya sabemos contar los determinantes dos por dos. ¡NO TE CONFUNDAS EN LAS SIGNOS!

De manera similar, el determinante se puede expandir a cualquier fila o columna. Naturalmente, en los seis casos la respuesta es la misma.

El determinante de cuatro por cuatro se puede calcular utilizando el mismo algoritmo.
En este caso, nuestra matriz de signos aumentará:

En el siguiente ejemplo he ampliado el determinante según la cuarta columna:

Cómo sucedió, intenta descubrirlo tú mismo. Información adicional vendrá más tarde. Si alguien quiere resolver el determinante hasta el final, la respuesta correcta es: 18. Para practicar, es mejor resolver el determinante por alguna otra columna u otra fila.

Practicar, destapar, hacer cálculos es muy bueno y útil. ¿Pero cuánto tiempo dedicarás a gran determinante? ¿No existe una manera más rápida y confiable? Le sugiero que se familiarice con métodos efectivos cálculos de determinantes en la segunda lección - Propiedades del determinante. Reducir el orden del determinante.

¡TEN CUIDADO!