Sumas algebraicas a elementos matriciales. Menores y complementos algebraicos

menores de matriz

Sea dado un cuadrado matriz A, enésimo orden. Menor algún elemento a ij, determinante de la matriz el enésimo orden se llama determinante(n - 1)ésimo orden, obtenido del original tachando la fila y la columna en cuya intersección se encuentra el elemento seleccionado a ij. Denotado por Mij.

Veamos un ejemplo determinante de la matriz 3 - su orden:

Entonces según la definición menor, menor M 12, correspondiente al elemento a 12, será determinante:

Al mismo tiempo, con la ayuda menores puede facilitar la tarea de cálculo determinante de la matriz. Necesitamos difundirlo determinante de la matriz a lo largo de alguna línea y luego determinante será igual a la suma de todos los elementos de esta línea por sus menores. Descomposición determinante de la matriz 3 - su orden se verá así:

El signo delante del producto es (-1) n, donde n = i + j.

Sumas algebraicas:

Complemento algebraico elemento a ij se llama su menor, tomado con un signo "+" si la suma (i + j) es un número par, y con un signo "-" si esta suma es un número impar. Denotado por A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Entonces podemos reformular la propiedad mencionada anteriormente. Determinante de matriz igual a la suma del producto de los elementos de una determinada fila (fila o columna) matrices a su correspondiente sumas algebraicas. Ejemplo:

4. Matriz inversa y su cálculo.

Sea A cuadrado matriz enésimo orden.

Cuadrado matriz A se llama no degenerado si determinante de la matriz(Δ = det A) no es cero (Δ = det A ≠ 0). En caso contrario (Δ = 0) matriz A se llama degenerado.

Matriz, aliado a matriz Ah se llama matriz

Donde A ij - complemento algebraico elemento a ij dado matrices(se define de la misma manera que complemento algebraico elemento determinante de la matriz).

Matriz Se llama -1 matriz inversa A, si se cumple la condición: A × A -1 = A -1 × A = E, donde E es la unidad matriz mismo orden que matriz A. Matriz A -1 tiene las mismas dimensiones que matriz A.

matriz inversa

si hay cuadrados matrices X y A, satisfaciendo la condición: X × A = A × X = E, donde E es la unidad matriz del mismo orden, entonces matriz x se llama matriz inversa a la matriz A y se denota por A -1. Cualquier no degenerado matriz tiene matriz inversa y, además, solo uno, es decir, para que sea cuadrado matriz un tenido matriz inversa, es necesario y suficiente para ello determinante era diferente de cero.

para recibir matriz inversa usa la fórmula:

Donde M ji es adicional menor elemento a ji matrices A.

5. Rango de matriz. Calcular el rango mediante transformaciones elementales.

Considere una matriz rectangular mхn. Seleccionemos algunas k filas y k columnas en esta matriz, 1 £ k £ min (m, n). A partir de los elementos ubicados en la intersección de las filas y columnas seleccionadas, componemos un determinante de k-ésimo orden. Todos estos determinantes se denominan matrices menores. Por ejemplo, para una matriz puedes componer menores de segundo orden. y menores de primer orden 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definición. El rango de una matriz es el orden más alto del menor distinto de cero de esta matriz. Denota el rango de la matriz r(A).

En el ejemplo dado, el rango de la matriz es dos, ya que, por ejemplo, menor

Es conveniente calcular el rango de una matriz mediante el método de transformaciones elementales. Las transformaciones elementales incluyen las siguientes:

1) reordenamiento de filas (columnas);

2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.

Estas transformaciones no cambian el rango de la matriz, ya que se sabe que 1) cuando se reordenan las filas, el determinante cambia de signo y, si no era igual a cero, entonces ya no lo será; 2) al multiplicar una cadena de un determinante por un número distinto de cero, el determinante se multiplica por este número; 3) la tercera transformación elemental no cambia el determinante en absoluto. Así, realizando transformaciones elementales sobre una matriz, se puede obtener una matriz para la cual es fácil calcular su rango y, en consecuencia, el de la matriz original.

Definición. Una matriz obtenida a partir de una matriz mediante transformaciones elementales se llama equivalente y se denota A EN.

Teorema. El rango de la matriz no cambia durante las transformaciones de matrices elementales.

Usando transformaciones elementales, es posible reducir la matriz a la llamada forma escalonada, cuando calcular su rango no es difícil.

Matriz se llama paso a paso si tiene la forma:

Obviamente, el rango de la matriz escalonada es igual al número de filas distintas de cero. , porque hay un menor de orden distinto de cero:

.

Complemento algebraico- concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante... ... Diccionario económico-matemático

complemento algebraico- El concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante matricial,... ... Guía del traductor técnico

Complemento algebraico- ver arte. Determinante... Gran enciclopedia soviética

COMPLEMENTO ALGEBRAICO- para M menor un número igual a donde M es un menor de orden k, ubicado en filas con números y columnas con números de alguna matriz cuadrada A de orden n; determinante de una matriz de orden n k obtenida de la matriz A eliminando las filas y columnas de la menor M;... ... Enciclopedia Matemática

Suma- Wikcionario tiene una entrada para "adición".

SUMA- una operación que pone un subconjunto de un conjunto X dado en correspondencia con otro subconjunto de modo que si se conocen Mi N, entonces el conjunto X puede restaurarse de una forma u otra dependiendo de la estructura que tenga el conjunto X. .. ... Enciclopedia Matemática

DETERMINANTE- o determinante, en matemáticas, el registro de números en forma de tabla cuadrada, en correspondencia con la cual se coloca otro número (el valor del determinante). Muy a menudo, el concepto de determinante significa tanto el significado del determinante como la forma de su registro.… … Enciclopedia de Collier

teorema de laplace- Para conocer un teorema de la teoría de la probabilidad, consulte el artículo Teorema local de Moivre-Laplace. El teorema de Laplace es uno de los teoremas del álgebra lineal. El nombre del matemático francés Pierre Simon Laplace (1749 1827), a quien se le atribuye la formulación ... ... Wikipedia

matriz de Kirchhoff- (Matriz laplaciana) una de las representaciones de un gráfico mediante una matriz. La matriz de Kirchhoff se utiliza para contar los árboles de expansión de un gráfico determinado (teorema del árbol de matrices) y también se utiliza en la teoría de gráficos espectrales. Contenido 1... ...Wikipedia

ECUACIONES- Una ecuación es una relación matemática que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Si una igualdad es verdadera para cualquier valor admisible de las incógnitas incluidas en ella, entonces se llama identidad; por ejemplo, una proporción de la forma... ... Enciclopedia de Collier

Libros

• Matemáticas discretas, A. V. Chashkin. 352 págs. El libro de texto consta de 17 capítulos sobre las secciones principales de las matemáticas discretas: análisis combinatorio, teoría de grafos, funciones booleanas, complejidad computacional y teoría de codificación. Contiene...

En este tema consideraremos los conceptos de complemento algebraico y menor. La presentación del material se basa en los términos explicados en el tema "Matrices. Tipos de matrices. Términos básicos". También necesitaremos algunas fórmulas para calcular los determinantes. Dado que este tema contiene muchos términos relacionados con menores y complementos algebraicos, agregaré un breve resumen para facilitar la navegación por el material.

Menor $M_(ij)$ del elemento $a_(ij)$

$M_(ij)$ elemento$a_(ij)$ matrices $A_(n\times n)$ nombran el determinante de la matriz obtenido de la matriz $A$ eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna (es decir, la fila y la columna en la intersección de la cual se encuentra el elemento $a_(ij)$).

Por ejemplo, considere una matriz cuadrada de cuarto orden: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 y 84 \\ 3 y 12 y -5 y 58 \end(array) \right)$. Encontremos el menor del elemento $a_(32)$, es decir encontremos $M_(32)$. Primero, escribamos el menor $M_(32)$ y luego calculemos su valor. Para componer $M_(32)$, eliminamos la tercera fila y la segunda columna de la matriz $A$ (es en la intersección de la tercera fila y la segunda columna donde se encuentra el elemento $a_(32)$ ). Obtendremos una nueva matriz, cuyo determinante es el menor requerido $M_(32)$:

Este menor es fácil de calcular utilizando la fórmula No. 2 del tema de cálculo:

$$ M_(32)=\izquierda| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Entonces, el menor del elemento $a_(32)$ es 579, es decir $M_(32)=579$.

A menudo, en lugar de la frase "elemento de matriz menor" en la literatura, se encuentra "elemento determinante menor". La esencia sigue siendo la misma: para obtener el menor del elemento $a_(ij)$, es necesario tachar la i-ésima fila y la j-ésima columna del determinante original. Los elementos restantes se escriben en un nuevo determinante, que es el menor del elemento $a_(ij)$. Por ejemplo, encontremos el menor del elemento $a_(12)$ del determinante $\left| \begin(array) (ccc) -1 y 3 y 2\\ 9 y 0 y -5 \\ 4 y -3 y 7 \end(array) \right|$. Para escribir el menor requerido $M_(12)$ necesitamos eliminar la primera fila y la segunda columna del determinante dado:

Para encontrar el valor de este menor, utilizamos la fórmula No. 1 del tema de cálculo de determinantes de segundo y tercer orden:

$$ M_(12)=\izquierda| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Entonces, el menor del elemento $a_(12)$ es 83, es decir $M_(12)=83$.

Complemento algebraico $A_(ij)$ del elemento $a_(ij)$

Sea una matriz cuadrada $A_(n\times n)$ (es decir, una matriz cuadrada de enésimo orden).

Complemento algebraico$A_(ij)$ elemento$a_(ij)$ de la matriz $A_(n\times n)$ se encuentra mediante la siguiente fórmula: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

donde $M_(ij)$ es el menor del elemento $a_(ij)$.

Encontremos el complemento algebraico del elemento $a_(32)$ de la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, es decir encontremos $A_(32)$. Anteriormente encontramos el menor $M_(32)=579$, por lo que utilizamos el resultado obtenido:

Por lo general, al encontrar complementos algebraicos, el menor no se calcula por separado, y solo entonces el complemento en sí. Se omite la nota menor. Por ejemplo, encontremos $A_(12)$ si $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matriz) \right)$. Según la fórmula $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Sin embargo, para obtener $M_(12)$ es suficiente tachar la primera fila y la segunda columna de la matriz $A$, entonces, ¿por qué introducir una notación adicional para la menor? Escribamos inmediatamente la expresión para el complemento algebraico $A_(12)$:

Menor de orden k de la matriz $A_(m\times n)$

Si en los dos párrafos anteriores hablamos solo de matrices cuadradas, aquí también hablaremos de matrices rectangulares, en las que el número de filas no necesariamente es igual al número de columnas. Entonces, dejemos que se dé la matriz $A_(m\times n)$, es decir, una matriz que contiene m filas yn columnas.

orden k-ésimo menor La matriz $A_(m\times n)$ es un determinante cuyos elementos están ubicados en la intersección de k filas y k columnas de la matriz $A$ (se supone que $k≤ m$ y $k≤ n$).

Por ejemplo, considere la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ y anota qué -o menor de tercer orden. Para escribir un menor de tercer orden, necesitamos seleccionar tres filas y tres columnas cualesquiera de esta matriz. Por ejemplo, tome las filas numeradas 2, 4, 6 y las columnas numeradas 1, 2, 4. En la intersección de estas filas y columnas se ubicarán los elementos del menor requerido. En la figura, los elementos menores se muestran en azul:

Los menores de primer orden se encuentran en la intersección de una fila y una columna, es decir Los menores de primer orden son iguales a los elementos de una matriz dada.

El k-ésimo orden menor de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se llama principal, si en la diagonal principal de un menor dado solo están los elementos de la diagonal principal de la matriz $A$.

Permítanme recordarles que los elementos de la diagonal principal son aquellos elementos de la matriz cuyos índices son iguales: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ y así sucesivamente. Por ejemplo, para la matriz $A$ considerada anteriormente, dichos elementos serán $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Están resaltados en rosa en la figura:

Por ejemplo, si en la matriz $A$ tachamos filas y columnas numeradas 1 y 3, entonces en su intersección habrá elementos de un menor de segundo orden, en cuya diagonal principal solo habrá elementos diagonales de la matriz $A$ (elementos $a_(11) =-1$ y $a_(33)=18$ de la matriz $A$). Por lo tanto, obtenemos un menor principal de segundo orden:

Naturalmente, podríamos tomar otras filas y columnas, por ejemplo, con los números 2 y 4, obteniendo así un menor principal diferente de segundo orden.

Deje que algún $M$ menor del orden k de la matriz $A_(m\times n)$ no sea igual a cero, es decir $M\neq 0$. En este caso, todos los menores cuyo orden sea superior a k son iguales a cero. Entonces el menor $M$ se llama básico, y las filas y columnas en las que se ubican los elementos del menor básico se denominan cuerdas base Y columnas base.

Por ejemplo, considere la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 y 0\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \end(array) \right)$. Escribamos el menor de esta matriz, cuyos elementos se encuentran en la intersección de las filas numeradas 1, 2, 3 y las columnas numeradas 1, 3, 4. Obtenemos un menor de tercer orden:

Encontremos el valor de este menor usando la fórmula No. 2 del tema de cálculo de determinantes de segundo y tercer orden:

$$ M=\izquierda| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Entonces, $M=11\neq 0$. Ahora intentemos componer cualquier menor cuyo orden sea superior a tres. Para hacer un menor de cuarto orden, tenemos que usar la cuarta fila, pero todos los elementos de esta fila son cero. Por lo tanto, cualquier menor de cuarto orden tendrá una fila cero, lo que significa que todos los menores de cuarto orden son iguales a cero. No podemos crear menores de quinto orden y superiores, ya que la matriz $A$ tiene solo 4 filas.

Hemos encontrado un menor de tercer orden que no es igual a cero. En este caso, todos los menores de órdenes superiores son iguales a cero, por tanto, el menor que consideramos es básico. Las filas de la matriz $A$ sobre las que se ubican los elementos de este menor (la primera, segunda y tercera) son las filas básicas, y las columnas primera, tercera y cuarta de la matriz $A$ son las columnas básicas.

Este ejemplo, por supuesto, es trivial, ya que su propósito es mostrar claramente la esencia del menor básico. En general, puede haber varios menores básicos, y normalmente el proceso de búsqueda de dicho menor es mucho más complejo y extenso.

Introduzcamos otro concepto: casi menor.

Sea un cierto k-ésimo orden menor $M$ de la matriz $A_(m\times n)$ ubicado en la intersección de k filas y k columnas. Agreguemos otra fila y columna al conjunto de estas filas y columnas. El menor resultante de (k+1)ésimo orden se llama borde menor por menor $M$.

Por ejemplo, veamos la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matriz) \right)$. Escribamos un menor de segundo orden, cuyos elementos están ubicados en la intersección de las filas No. 2 y No. 5, así como las columnas No. 2 y No. 4.

Agreguemos otra fila No. 1 al conjunto de filas en las que se encuentran los elementos del menor $M$, y la columna No. 5 al conjunto de columnas. Obtenemos un nuevo menor $M"$ (ya de tercer orden), cuyos elementos están ubicados en la intersección de las filas No. 1, No. 2, No. 5 y las columnas No. 2, No. 4, No. 5. Los elementos del $M$ menor en la figura están resaltados en rosa, y los elementos que agregamos al $M$ menor son verdes:

El menor $M"$ es el menor limítrofe del menor $M$. De manera similar, sumando la fila No. 4 al conjunto de filas en las que se encuentran los elementos del menor $M$, y la columna No. 3 al conjunto de columnas, obtenemos el menor $M""$ (menor de tercer orden):

El menor $M""$ también es un menor limítrofe para el menor $M$.

Menor de orden k de la matriz $A_(n\times n)$. Menor adicional. Complemento algebraico al menor de una matriz cuadrada.

Volvamos nuevamente a las matrices cuadradas. Introduzcamos el concepto de menor adicional.

Sea un cierto $M$ menor del orden k de la matriz $A_(n\times n)$. Un determinante de orden (n-k), cuyos elementos se obtienen de la matriz $A$ después de eliminar las filas y columnas que contienen el menor $M$, se llama menor, complementario al menor$M$.

Por ejemplo, considere una matriz cuadrada de quinto orden: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Seleccionemos las filas No. 1 y No. 3, así como las columnas No. 2 y No. 5. En la intersección de estas filas y columnas habrá elementos del menor $M$ de segundo orden:

Ahora eliminemos de la matriz $A$ las filas No. 1 y No. 3 y las columnas No. 2 y No. 5, en cuya intersección hay elementos del menor $M$ (las filas y columnas eliminadas se muestran en rojo en la figura siguiente). Los elementos restantes forman el menor $M"$:

El menor $M"$, cuyo orden es $5-2=3$, es el menor complementario del menor $M$.

Complemento algebraico a menor$M$ de una matriz cuadrada $A_(n\times n)$ se llama expresión $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, donde $\alpha$ es la suma de los números de fila y columna de la matriz $A$, sobre la cual se ubican los elementos del menor $M$, y $M"$ es el menor complementario del menor $M$.

La frase "complemento algebraico del menor $M$" a menudo se reemplaza por la frase "complemento algebraico del menor $M$".

Por ejemplo, considere la matriz $A$, para la cual encontramos el menor de segundo orden $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 y -14 \\ -6 y 41 \end(array) \right| $ y su menor adicional de tercer orden: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matriz) \right|$. Denotemos el complemento algebraico del menor $M$ como $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

El parámetro $\alpha$ es igual a la suma de los números de fila y columna en los que se encuentra el menor $M$. Este menor está ubicado en la intersección de las filas No. 1, No. 3 y las columnas No. 2, No. 5. Por lo tanto, $\alpha=1+3+2+5=11$. Entonces:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

En principio, utilizando la fórmula número 2 del tema Cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, se pueden completar los cálculos obteniendo el valor $M^*$:

$$ M^*=-\izquierda| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

determinante por elementos de una fila o columna

Otras propiedades están relacionadas con los conceptos de complemento menor y algebraico.

Definición. Menor elemento se llama determinante formado por los elementos que quedan después de tacharlosi-ésimo desagüe yjª columna en cuya intersección se encuentra este elemento. Menor del elemento del determinante. norte-ésimo orden tiene orden ( norte- 1). Lo denotaremos por .

Ejemplo 1. Dejar , Entonces .

Este menor se obtiene de A tachando la segunda fila y la tercera columna.

Definición. Complemento algebraico elemento se llama menor correspondiente, multiplicado por nat.e , Dóndei–número de línea yj-columnas en cuya intersección se ubica este elemento.

VІІІ. (Descomposición del determinante en elementos de una determinada cadena). El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una determinada fila y sus correspondientes complementos algebraicos.

.

Ejemplo 2. Déjalo ser entonces

.

Ejemplo 3. Encontremos el determinante de la matriz expandiéndolo a los elementos de la primera fila.

Formalmente, este teorema y otras propiedades de los determinantes son aplicables sólo para determinantes de matrices de no más de tercer orden, ya que no hemos considerado otros determinantes. La siguiente definición nos permitirá extender estas propiedades a determinantes de cualquier orden.

Definición. Determinante matrices A El enésimo orden es un número calculado mediante la aplicación secuencial del teorema de expansión y otras propiedades de los determinantes..

Puede comprobar que el resultado de los cálculos no depende del orden en que se aplican las propiedades anteriores y para qué filas y columnas. Usando esta definición, el determinante se encuentra de manera única.

Aunque esta definición no contiene una fórmula explícita para encontrar el determinante, permite encontrarlo reduciéndolo a los determinantes de matrices de orden inferior. Estas definiciones se denominan recurrente.

Ejemplo 4. Calcula el determinante: .

Aunque el teorema de factorización se puede aplicar a cualquier fila o columna de una matriz determinada, se obtienen menos cálculos factorizando a lo largo de la columna que contiene tantos ceros como sea posible.

Como la matriz no tiene elementos cero, los obtenemos usando la propiedad 7). Multiplica la primera línea secuencialmente por los números (–5), (–3) y (–2) y súmala a las líneas 2, 3 y 4 y obtienes:

Expandamos el determinante resultante a lo largo de la primera columna y obtengamos:

(tomamos (–4) de la 1ª línea, (–2) de la 2ª línea, (–1) de la 3ª línea según la propiedad 4)

(ya que el determinante contiene dos columnas proporcionales).

§ 1.3. Algunos tipos de matrices y sus determinantes

Definición. metros cuadrados una matriz con cero elementos debajo o encima de la diagonal principal(=0 en i j, o =0 en i j) llamadotriangular .

Definición. Si en el determinante de orden n elegimos arbitrariamente k filas y k columnas, entonces los elementos en la intersección de estas filas y columnas forman una matriz cuadrada de orden k. El determinante de dicha matriz cuadrada se llama menor de orden k .

Denotado por Mk. Si k=1, entonces el menor de primer orden es un elemento del determinante.

Los elementos en la intersección de las (n-k) filas y (n-k) columnas restantes forman una matriz cuadrada de orden (n-k). El determinante de dicha matriz se llama menor, adicional a menor M k . Denotado por Mn-k.

Complemento algebraico del menor M k Lo llamaremos menor adicional, tomado con un signo “+” o “-”, dependiendo de si la suma de los números de todas las filas y columnas en las que se encuentra el menor M k es par o impar.

Si k=1, entonces el complemento algebraico del elemento un ik calculado por la fórmula

A ik =(-1) i+k METRO Bueno, donde M yo- orden menor (n-1).

Teorema. El producto de un menor de k-ésimo orden y su complemento algebraico es igual a la suma de un cierto número de términos del determinante D n.

Prueba

1. Consideremos un caso especial. Deje que el menor M k ocupe la esquina superior izquierda del determinante, es decir, ubicado en las líneas numeradas 1, 2, ..., k, entonces el menor M n-k ocupará las líneas k+1, k+2, ... , n.

Calculemos el complemento algebraico del menor M k . Por definición,

A n-k =(-1) s METRO n-k, donde s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), entonces

(-1)s=1 y A nk = METRO n-k. obtenemos

METRO k A nk = METRO k METRO n-k. (*)

Tomamos un término arbitrario del menor M k

, (1)

donde s es el número de inversiones en la sustitución

y un término menor arbitrario M n-k

donde s * es el número de inversiones en la sustitución

(4)

Multiplicando (1) y (3), obtenemos

El producto consta de n elementos ubicados en diferentes filas y columnas del determinante D. En consecuencia, este producto es miembro del determinante D. El signo del producto (5) está determinado por la suma de las inversiones en las sustituciones (2) y (4), y se determina el signo de un producto similar en el determinante D número de inversiones s k en la sustitución

Es obvio que s k =s+s * .

Así, volviendo a la igualdad (*), obtenemos que el producto M k A n-k consta sólo de los términos del determinante.

2. Sea M menor k ubicado en filas con números yo 1 , yo 2 , ..., yo k y en columnas con números j 1, j 2, ..., j k, y yo 1< i 2 < ...< i k Y j 1< j 2 < ...< j k .

Usando las propiedades de los determinantes, usando transposiciones moveremos el menor a la esquina superior izquierda. Obtenemos el determinante D ¢, en el cual el menor M k ocupa la esquina superior izquierda, y el menor adicional M¢ n-k es la esquina inferior derecha, entonces, según lo comprobado en el punto 1, obtenemos que el producto M k M¢ n-k es la suma de un cierto número de elementos del determinante D ¢, tomados con su propio signo. Pero D¢ se obtiene de D usando ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transposiciones de cuerdas y ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transposiciones de columnas. Es decir, todo estaba hecho.

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Por lo tanto, los términos de los determinantes D y D ¢ difieren en signo (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, por lo tanto, el producto (-1) s M k M¢ n-k estará formado por un cierto número de términos del determinante D, tomados con los mismos signos que tienen en este determinante.

teorema de laplace. Si en el determinante de enésimo orden elegimos arbitrariamente k filas (o k columnas) 1£k£n-1, entonces la suma de los productos de todos los menores de k-ésimo orden contenidos en las filas seleccionadas y sus complementos algebraicos es igual al determinante D .

Prueba

Elijamos líneas aleatorias yo 1 , yo 2 , ..., yo k y lo demostraremos

Anteriormente se demostró que todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad están contenidos como términos en el determinante D. Demostremos que cada término en el determinante D cae en solo uno de los términos. De hecho, todo ts parece t s =. si en este producto anotamos los factores cuyos primeros índices yo 1 , yo 2 , ..., yo k y componer su producto, entonces puede notar que el producto resultante pertenece al k-ésimo orden menor. En consecuencia, los términos restantes, tomados de las n-k filas y n-k columnas restantes, forman un elemento perteneciente al menor complementario y, teniendo en cuenta el signo, al complemento algebraico, por tanto, cualquier ts cae en solo uno de los productos, lo que demuestra el teorema.

Consecuencia(teorema sobre la expansión del determinante en una fila) . La suma de los productos de los elementos de una determinada fila del determinante y los complementos algebraicos correspondientes es igual al determinante.

(Prueba como ejercicio.)

Teorema. La suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila del determinante por los complementos algebraicos correspondientes a los elementos de la j-ésima fila (i¹j) es igual a 0.