Conversión al sistema de 5 números. Pequeña Facultad de Matemáticas. sistemas numéricos posicionales

Veamos uno de ellos. los temas más importantes en informática - . EN plan de estudios escolar se revela bastante “modestamente”, probablemente debido a la falta de horas dedicadas a ello. Conocimiento sobre este tema, especialmente sobre traducción de sistemas numéricos, son requisito previo para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado y la admisión a universidades en las facultades pertinentes. Abajo en detalle conceptos tales como sistemas numéricos posicionales y no posicionales, se dan ejemplos de estos sistemas numéricos, se presentan reglas para convertir números decimales enteros, fracciones decimales propias y números decimales mixtos a cualquier otro sistema numérico, convertir números de cualquier sistema numérico a decimal, convertir de sistemas numéricos octales y hexadecimales al binario sistema numérico. en los exámenes en grandes cantidades Hay problemas sobre este tema. La capacidad para resolverlos es uno de los requisitos para los aspirantes. Próximamente: Para cada tema de la sección, además del material teórico detallado, casi todos opciones posibles tareas Para autoestudio. Además, tendrá la oportunidad de descargar los ya preparados desde un servicio de alojamiento de archivos de forma totalmente gratuita. soluciones detalladas a estas tareas, ilustrando varias maneras obteniendo la respuesta correcta.

Sistemas numéricos posicionales.

Sistemas numéricos no posicionales- sistemas numéricos en los que el valor cuantitativo de un dígito no depende de su ubicación en el número.

Los sistemas numéricos no posicionales incluyen, por ejemplo, el romano, donde en lugar de números hay letras latinas.

I	1 (uno)
V	5 (cinco)
incógnita	10 (diez)
l	50 (cincuenta)
do	100 (cien)
D	500 (quinientos)
METRO	1000 (mil)

Aquí la letra V significa 5 independientemente de su ubicación. Sin embargo, vale la pena mencionar que, aunque el sistema numérico romano es un ejemplo clásico de sistema numérico no posicional, no es completamente no posicional, porque Se resta el número menor delante del mayor:

Illinois	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

Sistemas numéricos posicionales.

Sistemas de números posicionales- sistemas numéricos en los que el valor cuantitativo de un dígito depende de su ubicación en el número.

Por ejemplo, si hablamos de decimal sistema numérico, luego en el número 700 el número 7 significa "setecientos", pero el mismo número en el número 71 significa "siete decenas", y en el número 7020 - "siete mil".

Cada sistema de numeración posicional tiene el suyo base. Se elige la base número natural, mayor o igual a dos. Es igual al número de dígitos utilizados en un sistema numérico determinado.

Por ejemplo:
• Binario- sistema numérico posicional con base 2.
• Cuaternario- sistema numérico posicional con base 4.
• Cinco veces- sistema numérico posicional con base 5.
• octal- sistema numérico posicional con base 8.
• hexadecimal- sistema numérico posicional con base 16.

Para resolver con éxito problemas sobre el tema “Sistemas numéricos”, el alumno debe saber de memoria la correspondencia de números binarios, decimales, octales y hexadecimales hasta 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 unidades/segundos	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	do
13	1101	15	D
14	1110	16	mi
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Es útil saber cómo se obtienen los números en estos sistemas numéricos. Puedes adivinar que en octal, hexadecimal, ternario y otros. sistemas posicionales navegación a estima Todo sucede de la misma forma que el sistema decimal al que estamos acostumbrados:

Se suma uno al número y se obtiene un nuevo número. Si el lugar de las unidades se vuelve igual a la base del sistema numérico, aumentamos el número de decenas en 1, etc.

Esta “transición de uno” es lo que asusta a la mayoría de los estudiantes. De hecho, todo es bastante sencillo. La transición ocurre si el dígito de las unidades se vuelve igual a base numérica, aumentamos el número de decenas en 1. Muchos, al recordar el viejo sistema decimal, se confunden instantáneamente acerca de los dígitos en esta transición, porque las decenas decimales y, por ejemplo, las decenas binarias son cosas diferentes.

A partir de aquí, los estudiantes ingeniosos desarrollan "sus propios métodos" (sorprendentemente... funcionan) al completar, por ejemplo, tablas de verdad, cuyas primeras columnas (valores de variables) de las cuales, de hecho, están llenas de números binarios en orden ascendente.

Por ejemplo, veamos cómo obtener números en sistema octal : Sumamos 1 al primer número (0), obtenemos 1. Luego sumamos 1 a 1, obtenemos 2, etc. a 7. Si sumamos uno a 7, obtenemos un número igual a la base del sistema numérico, es decir 8. Luego necesitas aumentar las decenas en uno (obtenemos la decena octal - 10). A continuación, obviamente, están los números 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Reglas para convertir de un sistema numérico a otro.

1 Conversión de números decimales enteros a cualquier otro sistema numérico.

El número debe dividirse por nueva base del sistema numérico. El primer resto de la división es el primer dígito menor del nuevo número. Si el cociente de la división es menor o igual que la nueva base, entonces (el cociente) se debe dividir nuevamente por la nueva base. La división debe continuar hasta obtener un cociente menor que la nueva base. Este es el dígito más alto del nuevo número (debe recordar que, por ejemplo, en el sistema hexadecimal, después del 9 hay letras, es decir, si el resto es 11, debe escribirlo como B).

Ejemplo ("división por esquina"): Convirtamos el número 173 10 al sistema numérico octal.

Por lo tanto, 173 10 = 255 8

2 Conversión de fracciones decimales regulares a cualquier otro sistema numérico.

El número debe multiplicarse por la nueva base del sistema numérico. El dígito que se ha convertido en la parte entera es el dígito más alto de la parte fraccionaria del nuevo número. para obtener el siguiente dígito, la parte fraccionaria del producto resultante debe multiplicarse nuevamente por una nueva base del sistema numérico hasta que se produzca la transición a la parte entera. Seguimos multiplicando hasta parte fraccionaria no llega a ser igual a cero, o hasta que alcancemos la precisión especificada en el problema (“... calcular con una precisión de, por ejemplo, dos decimales”).

Ejemplo: conviertamos el número 0,65625 10 al sistema numérico octal.

¡El resultado ya ha sido recibido!

Sistemas numéricos

Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El sistema numérico arábigo que utilizamos en la vida cotidiana, es posicional, pero Roman no lo es. En los sistemas numéricos posicionales, la posición de un número determina de forma única la magnitud del número. Consideremos esto usando el ejemplo del número 6372 en el sistema numérico decimal. Numeremos este número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

Entonces el número 6372 se puede representar de la siguiente manera:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

El número 10 define el sistema numérico (en en este caso este es 10). Los valores de la posición de un número determinado se toman como potencias.

considera lo real numero decimal 1287.923. Numerémoslo empezando desde cero, posicionando el número desde la coma decimal hacia la izquierda y hacia la derecha:

Entonces el número 1287.923 se puede representar como:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

EN caso general la fórmula se puede representar de la siguiente manera:

c norte s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

donde C n es un número entero en posición norte, D -k - número fraccionario en la posición (-k), s- sistema numérico.

Algunas palabras sobre los sistemas numéricos Un número en el sistema numérico decimal consta de muchos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), en el sistema numérico octal consta de muchos dígitos. (0,1, 2,3,4,5,6,7), en el sistema numérico binario - de un conjunto de dígitos (0,1), en sistema hexadecimal notación - de un conjunto de números (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), donde A,B,C,D, E, F corresponden a los números 10,11,12,13,14,15. La Tabla 1 muestra los números en. diferentes sistemas Estimación.

Tabla 1
Notación
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	do
13	1101	15	D
14	1110	16	mi
15	1111	17	F

Convertir números de un sistema numérico a otro

Para convertir números de un sistema numérico a otro, la forma más sencilla es convertir primero el número al sistema numérico decimal y luego, de sistema decimal convertir números al sistema numérico requerido.

Convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Usando la fórmula (1), puede convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal.

Ejemplo 1. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico binario (SS) al SS decimal. Solución:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2-1+ 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Ejemplo2. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico octal (SS) al SS decimal. Solución:

Ejemplo 3 . Convierta el número AB572.CDF del sistema numérico hexadecimal al decimal SS. Solución:

Aquí A-reemplazado por 10, B- a las 11, do- a las 12, F- a las 15.

Convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, debe convertir la parte entera del número y la parte fraccionaria del número por separado.

La parte entera de un número se convierte de SS decimal a otro sistema numérico dividiendo secuencialmente la parte entera del número por la base del sistema numérico (para SS binario - por 2, para SS 8-ario - por 8, para 16 -ario SS - por 16, etc. ) hasta obtener un residuo entero, menor que la base CC.

Ejemplo 4 . Convirtamos el número 159 de SS decimal a SS binario:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Como se puede ver en la Fig. 1, el número 159 cuando se divide por 2 da el cociente 79 y el resto 1. Además, el número 79 cuando se divide por 2 da el cociente 39 y el resto 1, etc. Como resultado, construyendo un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en SS binario: 10011111 . Por tanto podemos escribir:

159 10 =10011111 2 .

Ejemplo 5 . Convirtamos el número 615 de SS decimal a SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Al convertir un número de SS decimal a SS octal, debe dividir secuencialmente el número entre 8 hasta obtener un resto entero menor que 8. Como resultado, al construir un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en octal SS: 1147 (Ver Figura 2). Por tanto podemos escribir:

615 10 =1147 8 .

Ejemplo 6 . Convirtamos el número 19673 del sistema numérico decimal al SS hexadecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Como se puede ver en la Figura 3, al dividir sucesivamente el número 19673 entre 16, los restos son 4, 12, 13, 9. En el sistema numérico hexadecimal, el número 12 corresponde a C, el número 13 - D. Por lo tanto, nuestro número hexadecimal- Este es el 4CD9.

Para convertir fracciones decimales adecuadas ( numero real con una parte entera cero) en el sistema numérico con base s, es necesario multiplicar secuencialmente este número por s hasta que en la parte fraccionaria resulte cero puro, o no obtendremos la cantidad requerida de dígitos. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera distinta de cero, entonces esta parte entera no se tiene en cuenta (se incluyen secuencialmente en el resultado).

Veamos lo anterior con ejemplos.

Ejemplo 7 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal al SS binario.

		0.214
	incógnita	2
0		0.428
	incógnita	2
0		0.856
	incógnita	2
1		0.712
	incógnita	2
1		0.424
	incógnita	2
0		0.848
	incógnita	2
1		0.696
	incógnita	2
1		0.392

Como puede verse en la Fig. 4, el número 0,214 se multiplica secuencialmente por 2. Si el resultado de la multiplicación es un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera se escribe por separado (a la izquierda del número), y el número se escribe con parte entera cero. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera cero, entonces se escribe un cero a la izquierda del mismo. El proceso de multiplicación continúa hasta que la parte fraccionaria llega a un cero puro u obtenemos el número requerido de dígitos. Al escribir números en negrita (Fig.4) de arriba a abajo obtenemos el número requerido en el sistema numérico binario: 0. 0011011 .

Por tanto podemos escribir:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ejemplo 8 . Convirtamos el número 0,125 del sistema numérico decimal al SS binario.

		0.125
	incógnita	2
0		0.25
	incógnita	2
0		0.5
	incógnita	2
1		0.0

Para convertir el número 0,125 de decimal SS a binario, este número se multiplica secuencialmente por 2. En la tercera etapa, el resultado es 0. En consecuencia, se obtiene el siguiente resultado:

0.125 10 =0.001 2 .

Ejemplo 9 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal.

		0.214
	incógnita	16
3		0.424
	incógnita	16
6		0.784
	incógnita	16
12		0.544
	incógnita	16
8		0.704
	incógnita	16
11		0.264
	incógnita	16
4		0.224

Siguiendo los ejemplos 4 y 5, obtenemos los números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Pero en SS hexadecimal, los números 12 y 11 corresponden a los números C y B. Por lo tanto, tenemos:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Ejemplo 10 . Convirtamos el número 0,512 del sistema numérico decimal a SS octal.

		0.512
	incógnita	8
4		0.096
	incógnita	8
0		0.768
	incógnita	8
6		0.144
	incógnita	8
1		0.152
	incógnita	8
1		0.216
	incógnita	8
1		0.728

Recibió:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ejemplo 11 . Convirtamos el número 159.125 del sistema numérico decimal al SS binario. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 4) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 8). Combinando aún más estos resultados obtenemos:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ejemplo 12 . Convirtamos el número 19673.214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 6) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 9). Además, combinando estos resultados obtenemos.

La calculadora le permite convertir números enteros y fraccionarios de un sistema numérico a otro. La base del sistema numérico no puede ser menor que 2 y mayor que 36 (10 dígitos y 26 letras latinas después de todo). La longitud de los números no debe exceder los 30 caracteres. para entrar números fraccionarios utilizar símbolo. o, . Para convertir un número de un sistema a otro, ingrese el número original en el primer campo, base sistema original número en el segundo y la base del sistema numérico al que desea convertir el número en el tercer campo, luego haga clic en el botón "Obtener registro".

número original escrito en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

Quiero obtener un número escrito en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

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Sistemas numéricos

Los sistemas numéricos se dividen en dos tipos: posicional Y no posicional. Usamos el sistema árabe, es posicional, pero también existe el sistema romano, no es posicional. En los sistemas posicionales, la posición de un dígito en un número determina de forma única el valor de ese número. Esto es fácil de entender si miramos algún número como ejemplo.

Ejemplo 1. Tomemos el número 5921 en el sistema numérico decimal. Numeremos el número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

El número 5921 se puede escribir de la siguiente forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0. El número 10 es una característica que define el sistema numérico. Los valores de la posición de un número determinado se toman como potencias.

Ejemplo 2. Considere el número decimal real 1234,567. Numerémoslo comenzando desde la posición cero del número desde el punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha:

El número 1234.567 se puede escribir de la siguiente forma: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Convertir números de un sistema numérico a otro

Mayoría de una manera sencilla convertir un número de un sistema numérico a otro es convertir primero el número a un sistema numérico decimal y luego el resultado resultante al sistema numérico requerido.

Convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Para convertir un número de cualquier sistema numérico a decimal, basta con numerar sus dígitos, comenzando con cero (el dígito a la izquierda del punto decimal) de manera similar a los ejemplos 1 o 2. Hallemos la suma de los productos de los dígitos. del número por la base del sistema numérico elevado a la posición de este dígito:

1. Convierte el número 1001101.1101 2 al sistema numérico decimal.
Solución: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Respuesta: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convierte el número E8F.2D 16 al sistema numérico decimal.
Solución: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Respuesta: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, las partes enteras y fraccionarias del número deben convertirse por separado.

Convertir una parte entera de un número de un sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Una parte entera se convierte de un sistema numérico decimal a otro sistema numérico dividiendo secuencialmente la parte entera de un número por la base del sistema numérico hasta obtener un resto entero que es menor que la base del sistema numérico. Del resultado de la traducción quedará constancia del resto, empezando por el último.

3. Convierte el número 273 10 al sistema numérico octal.
Solución: 273/8 = 34 y resto 1. 34/8 = 4 y resto 2. 4 es menor que 8, por lo que el cálculo está completo. El registro del resto tendrá siguiente vista: 421
Examen: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, el resultado es el mismo. Esto significa que la traducción se realizó correctamente.
Respuesta: 273 10 = 421 8

Consideremos la traducción de fracciones decimales regulares a varios sistemas numéricos.

Convertir la parte fraccionaria de un número del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Recuerde que una fracción decimal propia se llama número real con parte entera cero. Para convertir dicho número a un sistema numérico con base N, debe multiplicar secuencialmente el número por N hasta que la parte fraccionaria se ponga a cero o se obtenga el número requerido de dígitos. Si durante la multiplicación se obtiene un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera no se tiene en cuenta más, ya que se ingresa secuencialmente en el resultado.

4. Convierte el número 0,125 10 al sistema numérico binario.
Solución: 0,125·2 = 0,25 (0 es la parte entera, que se convertirá en el primer dígito del resultado), 0,25·2 = 0,5 (0 es el segundo dígito del resultado), 0,5·2 = 1,0 (1 es el tercer dígito del resultado, y como la parte fraccionaria es cero, entonces se completa la traducción).
Respuesta: 0.125 10 = 0.001 2

sistema numérico es un conjunto de técnicas para nombrar y escribir números. En cualquier sistema numérico, se eligen ciertos símbolos para representar números (se llaman en números), y los números restantes se obtienen como resultado de cualquier operación con los dígitos de un sistema numérico determinado.

El sistema se llama posicional, si el valor de cada dígito (su peso) cambia dependiendo de su posición (posición) en la secuencia de dígitos que representan el número.

El número de unidades de cualquier rango combinadas en una unidad de rango superior se llama base del sistema numérico posicional. Si el número de dichos dígitos es igual PAG, entonces el sistema numérico se llama PAG-ichny. La base de un sistema numérico es la misma que la cantidad de dígitos utilizados para escribir números en ese sistema numérico.

Escribir un número arbitrario incógnita V PAG El sistema numérico posicional ario se basa en la representación de este número como un polinomio.

x = un norte P norte + un norte -1 p norte -1 + ... + un 1 PAG 1 + un 0 PAG 0 + un -1 PAG -1 + ... + a -m P -m

Las operaciones aritméticas con números en cualquier sistema numérico posicional se realizan de acuerdo con las mismas reglas que el sistema decimal, ya que todas se basan en las reglas para realizar operaciones con los polinomios correspondientes. En este caso, sólo necesitarás utilizar aquellas tablas de suma y multiplicación que correspondan. esta base PAG sistemas numéricos.

Al convertir números del sistema numérico decimal al sistema base PAG> 1 se suele utilizar el siguiente algoritmo:

1) si se traduce una parte entera de un número, entonces se divide por PAG, tras lo cual se recuerda el resto de la división. El cociente resultante se vuelve a dividir por PAG, el resto se recuerda. El procedimiento continúa hasta que el cociente sea cero. Restos de la división por PAG se emiten en el orden inverso al de recepción;

2) si se traduce la parte fraccionaria de un número, entonces se multiplica por PAG, después de lo cual se recuerda y descarta toda la parte. La parte fraccionaria recién obtenida se multiplica por PAG etc. El procedimiento continúa hasta que la parte fraccionaria sea cero. Las partes enteras se escriben después del punto decimal en el orden en que se recibieron. El resultado puede ser una fracción finita o periódica en el sistema numérico de base. PAG. Por lo tanto, cuando la fracción es periódica, hay que detener la multiplicación en algún paso y contentarse con una representación aproximada del número original en el sistema con la base. PAG .

Codificación de números

Para usar números, necesitas nombrarlos y escribirlos de alguna manera, necesitas un sistema de numeración. Varios sistemas de contar y registrar números coexistieron y compitieron entre sí durante miles de años, pero al final de la "era anterior a la computadora", el número "diez" comenzó a desempeñar un papel especial en el conteo, y sistema popular la codificación resultó ser sistema decimal posicional. En este sistema, el significado de un dígito en un número depende de su lugar (posición) dentro del número. El sistema numérico decimal vino de la India (a más tardar en el siglo VI d.C.). El alfabeto de este sistema: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9): un total de 10 dígitos, por lo que la base del sistema numérico es 10. El número se escribe como combinación de unidades, decenas, centenas, miles, etc. Ejemplo: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3.

Este sistema tiene 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pero la información se transmite no solo por el número, sino también por el lugar donde se encuentra el número (es decir, su posición). lo mas dígito derecho número muestra el número de unidades, el segundo desde la derecha, el número de decenas, el siguiente, el número de centenas, etc.

333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Tenga en cuenta que la elección del número 10 como base del sistema numérico se explica por la tradición y no por ninguna propiedad notable del número 10. En general, representación del número N en el sistema numérico p-ario, Este:

N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , Dónde A ¹ 0, A i Î {0, 1, 2, ..., A i }.

En Babilonia, por ejemplo, se utilizaba el sistema numérico de 60 dígitos, el alfabeto contenía números del 1 al 59, no existía el número 0, las tablas de multiplicar eran muy engorrosas, por lo que muy pronto se olvidó, pero hay ecos de su antiguo predominio. Se puede observar incluso ahora: la división de la hora en 60 minutos, dividiendo el círculo en 360 grados.

sistema de números binarios

El sistema numérico binario fue inventado por matemáticos y filósofos incluso antes de la llegada de las computadoras (siglos XVII - XIX). El destacado matemático Leibniz dijo: “El cálculo utilizando dos... es fundamental para la ciencia y da lugar a nuevos descubrimientos... Cuando los números se reducen a los principios más simples, que son 0 y 1, aparece en todas partes un orden maravilloso”. Más tarde, el sistema binario cayó en el olvido, y sólo entre 1936 y 1938 el ingeniero y matemático estadounidense Claude Shannon descubrió aplicaciones notables del sistema binario en el diseño. circuitos electronicos. Veamos un ejemplo de representación de un número en el sistema numérico binario:

Ejemplo 2.1.1. Convirtamos el número 2000 a binario.

1. Divide 2000 por la base. nuevo sistema notación - 2:

2000:2=1000(0 - resto),

2. Recogemos el último cociente de la división (siempre igual a 1) y los restos de la división y los escribimos en orden, empezando desde abajo:

2000 10 ==11111010000 2

Para comprobarlo, convertimos el número resultante al sistema numérico decimal, para esto:

1. Seleccionemos los dígitos binarios del número, es decir, las potencias de 2, comenzando desde 0:

2. Escribe la suma de los productos de 0 y 1 a la potencia correspondiente del número 2 (ver la representación de un número en el sistema numérico p-ario):

0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 + l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Existen sistemas numéricos relacionados con el binario. Cuando trabajas con computadoras, a veces tienes que lidiar con números binarios porque números binarios integrado en el diseño de la computadora. El sistema binario es conveniente para una computadora, pero inconveniente para una persona: los números que son demasiado largos son incómodos de escribir y recordar. Los sistemas numéricos relacionados con el binario vienen al rescate: octal y hexadecimal.

Por ejemplo, en el sistema hexadecimal, se utilizan 10 números arábigos y letras del alfabeto latino (A, B, C, D, E, F) para escribir números. Para escribir un número en este sistema numérico, es conveniente utilizar representación binaria números. Tomemos, por ejemplo, el mismo número: 2000 o 11111010000 en el sistema binario. Lo dividimos en cuatro caracteres, moviéndonos de derecha a izquierda, en los últimos cuatro de la izquierda asignaremos un 0 insignificante, de modo que el número de caracteres en tríadas será cuatro: 0111 1101 0000. Comencemos la traducción - el número 0111 en el sistema binario corresponde al número 7 en el sistema decimal (7 10 =1* 2 0 +1*2 1 +1*2 2), en el sistema numérico hexadecimal hay un número 7; el número 1101 en el sistema binario corresponde al número 13 en el sistema decimal (13 = 1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), en el sistema hexadecimal este número corresponde al número D y, finalmente, el número 0000, en cualquier sistema numérico 0. Ahora escribe el resultado:

11111010000 2 = 7D0 16 .

SISTEMAS DE NUMERACION DOBLE Y OCTAL

Aunque el sistema numérico decimal es el más utilizado, esto no quiere decir que sea el mejor. Su amplia distribución se debe en gran medida al hecho anatómico de que tenemos diez dedos en manos y pies. En cuanto al principio posicional y las notaciones digitales, se pueden adaptar igualmente a un sistema numérico de cualquier base, independientemente de si es igual a 2, 10 o algún otro número entero positivo distinto de uno. Por ejemplo, sustituyendo 7 en la representación polinómica incógnita 2 + 6incógnita 1 + 5incógnita 0 + 4incógnita –1 + 3incógnita–2 en su lugar incógnita Con el valor 10, obtenemos el número 765,43 en nuestro sistema decimal habitual. Pero sin el menor perjuicio al principio posicional de denotar números enteros y fracciones en su lugar incógnita Puedes sustituir cualquier otro número entero positivo. En lugar del número 10, la mayoría de las veces se propuso utilizar los números 8 y 12 como base del sistema numérico. Los sistemas resultantes de tales sustituciones se conocen como octal y duodecimal. En el sistema octal, en lugar de una variable incógnita en la representación polinómica, debes sustituir 8, y luego el número igual a 765,43 en el sistema decimal será igual a (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 –1) + 3 (8-2), es decir número. En el sistema duodecimal, la misma representación polinómica para incógnita= 12 da (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 –1) + 3(12 –2), o en nuestra notación habitual. En cuanto a los cálculos, se realizan en los tres sistemas numéricos, decimal, octal y duodecimal, de forma casi idéntica y con la misma facilidad. La diferencia radica principalmente en las tablas de suma y multiplicación, ya que varían de un sistema numérico a otro. Por ejemplo, la suma de siete más siete es igual a la suma de ocho más seis en octal, diez más cuatro en decimal y doce más dos en duodecimal. Simbólicamente, estas sumas y productos se pueden escribir de la siguiente manera:

Vemos que la transición del sistema decimal al sistema octal o duodecimal sí requiere una revisión completa de las tablas de suma y multiplicación; esto explica por qué las propuestas para una transición a estos sistemas numéricos no han recibido una aceptación generalizada. Los beneficios que promete esta transición se ven compensados ​​por las dificultades que implica. Las principales ventajas de los sistemas numéricos octal y duodecimal están relacionadas con la divisibilidad de sus bases. Considerando sólo números enteros menores que la mitad de la base (ya que ningún número puede ser divisor de la base si el número es mayor que la mitad de la base pero menor que ella), no es difícil entender que el número 10 tiene dos divisores: el números 3 y 4, mientras que en el sistema octal, el único divisor menor que la mitad de la base es el número 3, y en el sistema duodecimal, el único divisor de la base es el número 5. En otras palabras, la ventaja del número 12 como base del sistema numérico es que tiene divisores de los números 2, 3, 4 y 6, mientras que el número 10 tiene como divisores los números 2 y 5. El número 8 tiene solo como divisores los números 2 y 4, pero su principal ventaja sobre las demás es que la división continua por la mitad da como resultado invariablemente una representación fraccionaria de "un solo lugar" en forma polinómica. Por ejemplo, si se divide 8 entre 2 10, el resultado es exactamente (0.004) 8, mientras que si se divide 12 entre 2 10, el resultado es (aproximadamente) (0.0183) 12, y al dividir entre 2 10 el resultado es 10 (también aproximado) será igual a (0,0097656) 10.

Comentario metodológico de la lección.

Objetivos del profesor: mostrar a los estudiantes métodos para integrar conocimientos de diversas fuentes, crear condiciones para el trabajo productivo en grupos.

Objetivos del estudiante: familiarizarse con la historia del surgimiento de los sistemas numéricos, aprender los principios de construcción. varios sistemas cálculo y áreas de su uso, adquirir las habilidades necesarias trabajo en equipo con diversas fuentes de información.

En una lección de matemáticas en quinto grado, mientras realizaban una tarea relacionada con la expansión de números de varios dígitos a dígitos, los estudiantes tenían preguntas: “¿Por qué contamos de decenas? ¿Por qué no podemos contar de manera diferente? ¿Hay otras formas de contar? Se pidió al profesor que encontrara respuestas a estas preguntas buscando, analizando y resumiendo información sobre este tema durante la semana, trabajando en pequeños grupos formados por los estudiantes de la clase según lo deseara. Los resultados de este trabajo deben formalizarse y presentarse en una lección de matemáticas en una semana. Al final de la lección, la clase se dividió en los siguientes grupos creativos:

• Sistemas numéricos ( conceptos generales) – 5 personas
• Sistema binario – 7 personas (esta pregunta despertó el mayor interés)
• Sistema sexagesimal – 5 personas
• Sistema decimal – 5 personas
• Otros sistemas numéricos – 3 personas
• Transferirlos de un sistema a otro: 5 personas.

Como resultado de las actividades de búsqueda de los estudiantes se obtuvo la siguiente lección:

"Los números no gobiernan el mundo, pero muestran cómo se gestiona el mundo".

(I-En Goethe)

Grupos de estudiantes presentaron los resultados del trabajo de búsqueda y análisis.

I – Conceptos generales

Un sistema numérico es un conjunto de métodos para anotar números: un lenguaje cuyo alfabeto son símbolos (números) y la sintaxis es una regla que le permite formular la notación de un número sin ambigüedades.

Un número es una entidad abstracta para describir la cantidad.

Un número es un signo que se utiliza para escribir números. Existen diferentes números, los más comunes son los números arábigos; Los números romanos son menos comunes (se pueden ver en la esfera de un reloj o en la designación del siglo)

La base es el número de dígitos utilizados en un sistema numérico.

Ejemplos de números en diferentes sistemas numéricos:

11001 2 – número en sistema numérico binario

221 3 – número en el sistema numérico ternario

31 8 – número en el sistema numérico octal

25 10 – un número en el sistema decimal

En libros antiguos sobre aritmética, además de 4 operaciones aritméticas, también se menciona una quinta: la numeración. La numeración (numeración) fue uno de los primeros problemas encontrados en la construcción de la aritmética.

Hay muchas formas de escribir números usando numerales. Estos métodos se pueden dividir en tres grupos:

• sistemas numéricos posicionales
• sistemas de números mixtos
• sistemas numéricos no posicionales

Los billetes son un ejemplo de un sistema de números mixtos. Actualmente en Rusia se utilizan monedas y billetes de las siguientes denominaciones: 1 kopek, 5 kopek, 10 kopek, 50 kopek, 1 rublo, 2 rublo, 5 rublo, 10 rublo, 50 rublo, 100 rublo, 500 rublo, 1000 rublo, 5000 rublos. Para obtener una determinada cantidad en rublos, es necesario utilizar una determinada cantidad de billetes de varias denominaciones. Supongamos que compramos una aspiradora que cuesta 6379 rublos. Para pagar la compra necesitarás 6 billetes de 1000 rublos, 3 billetes de 100 rublos, 1 billete de cincuenta rublos, dos billetes de diez, uno de cinco rublos y dos monedas de 2 rublos. Si anotamos el número de billetes y monedas, comenzando con 100 rublos y terminando con un kopeck, reemplazando las denominaciones que faltan con ceros, obtendremos un número representado en un sistema numérico mixto: en nuestro caso, 603121200000.

En los sistemas numéricos no posicionales, el tamaño de un número no depende de la posición de los dígitos en el número. Si confundiéramos los números del número 603121200000, no podríamos calcular cuánto cuesta una aspiradora; En un sistema no posicional, los números se pueden reordenar sin cambiar la suma. Un ejemplo de sistema no posicional es el sistema romano. Estos sistemas se construyen según el principio de aditividad (inglés add. – sum). El equivalente cuantitativo de un número se define como la suma de sus dígitos. Por ejemplo:

En los sistemas numéricos posicionales, el orden de los dígitos de un número siempre es importante. (25 y 52 son números diferentes)

Cualquier sistema numérico destinado a un uso práctico debe proporcionar:

• la capacidad de representar un número en un rango dado de números
• falta de ambigüedad en la presentación
• Brevedad y simplicidad de grabación.
• facilidad para dominar el sistema, así como simplicidad y conveniencia de operarlo

II – Sistema de numeración binario

El sistema numérico binario es un sistema numérico posicional con base 2. En este sistema numérico, los números naturales se escriben usando dos símbolos: 1 y 0. El dígito del sistema binario es un bit. Ocho dígitos son un byte.

El sistema numérico binario fue inventado por matemáticos y filósofos en los siglos XVII y XIX. El destacado matemático Leibniz dijo: “El cálculo utilizando dos... es fundamental para la ciencia y da lugar a nuevos descubrimientos... Cuando los números se reducen a los principios más simples, como 0 y 1, aparece en todas partes un orden maravilloso”. Más tarde, el sistema binario cayó en el olvido, y no fue hasta 1936-1938 que el ingeniero y matemático estadounidense Claude Shannon encontró un uso notable del sistema binario en el diseño de circuitos electrónicos.

El sistema binario se utiliza en dispositivos digitales porque es el más sencillo.

Ventajas del sistema binario:

• Cómo menos valores existe en el sistema, más fácil será producir elementos individuales, operando con estos valores. Dos números se representan fácilmente mediante fenómenos físicos: hay corriente, no hay corriente; inducción campo magnético mayor que el valor umbral o no, etc.
• Cuantos menos estados tenga un elemento, mayor será su inmunidad al ruido y más rápido podrá funcionar
• aritmética binaria es bastante simple.
• Es posible utilizar aparatos lógicos para realizar operaciones bit a bit.

Para convertir de binario a decimal, use la tabla de potencias de 2.

III – Sistema numérico hexadecimal

EN tiempos modernos El sistema numérico sexagesimal se utiliza para medir el tiempo y los ángulos.

En la representación del tiempo se utilizan tres posiciones: horas, minutos, segundos, ya que para cada posición hay que utilizar 60 dígitos, y solo tenemos 10, luego para cada posición sexagesimal se utilizan dos dígitos decimales (00, 01,... ), las posiciones están separadas por dos puntos. h:m:s.

Consideremos acciones en el sistema numérico sexagesimal en dos tareas:

1. El pastel debe hornearse en el horno durante 45 minutos. ¿Cuantos segundos tomará?
2. Necesitas hornear 10 pasteles. ¿Cuánto tiempo tardará?

Para realizar cálculos en el sistema de números sexagesimales, es necesario conocer las tablas de suma y multiplicación de números sexagesimales. Cada tabla es muy grande, tiene un tamaño de 60*60, apenas nos acordamos de la tabla de multiplicar habitual, y nos resultará aún más difícil aprender la tabla sexagesimal. ¿Cómo puede ser esto? Puedes resolver estos problemas en el sistema numérico decimal y luego convertir el resultado a sexagesimal.

45 minutos=0*3600+45*60+0= 2700 segundos

Se necesitarán 2700*10=27000 segundos para hornear 10 pasteles.

27000/60=450 (resto 0)

450/60=7 (resto 30)

7/60=0 (resto 7) Resultaron 07:30:00

IV – Sistema numérico decimal

Representar números utilizando números arábigos es el sistema numérico posicional más común y se denomina "sistema numérico decimal". Se llama decimal porque utiliza diez dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. El sistema numérico decimal es el más logro famoso Matemáticas indias (595). El sistema base 10 viajó a lo largo de rutas de caravanas desde la India a muchas zonas de Oriente Medio. Poco a poco, este sistema empezó a utilizarse cada vez más en el mundo árabe, aunque al mismo tiempo se siguieron utilizando otros sistemas. El "Libro del Ábaco" de Leonardo de Pisa (1202) fue una de las fuentes de la penetración del sistema de numeración árabe-indio en Europa occidental. Este libro fue un trabajo grandioso en ese momento, formulario impreso totalizó 460 páginas. Su autor también es conocido con el nombre de Fibonacci. Su libro era una enciclopedia matemática de su época. El sistema decimal se generalizó y reconoció en Europa sólo durante el Renacimiento.

V – Otros sistemas numéricos

Sistema numérico hexadecimal: los siguientes caracteres se utilizan para escribir números: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

Sistema numérico decimal binario. En tal sistema, cada dígito decimal está codificado una cierta combinación dígitos del sistema binario. La designación de cada dígito decimal se llama tétrada. Ejemplo:

125 10 =000100100101 2-10 (3 tétradas)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

Sistema numérico quíntuple - Los primeros matemáticos solo podían contar con los dedos de una mano, y si había más objetos decían esto: “cinco + uno”, etc. A veces se tomaba como base el número 20: el número de dedos de manos y pies. De los 307 sistemas numéricos de los pueblos primitivos americanos, 146 eran decimales, 106 pentadecimales y decimales. En una forma más típica, el sistema de base 20 existía entre los mayas en México y los celtas en Europa.

VI – Transferencia de un sistema a otro

¿Están relacionados los sistemas numéricos entre sí? ¿Es posible convertir un número de un sistema a otro? Hay dos reglas básicas para transferir de un sistema a otro:

La conversión de cualquier otro sistema al sistema decimal se realiza mediante las fórmulas:

11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10

221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10

31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10

25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10

La conversión de un número del sistema decimal a un sistema con cualquier base se realiza según el algoritmo:

Convertir 25 10 a un número en sistema binario

25/2=12 (resto 1)

12/2=6 (resto 0)

6/2=3 (resto 0)

3/2=1 (resto 1)

1/2=0 (resto 1) Obtenemos el número 11001 2

Convertir 25 10 a un número del sistema ternario

25/3=8 (resto 1)

8/3=2 (resto 2)

2/3=0 (resto 2) Recibido 221 3

Convertir 25 10 a un número en sistema octal

25/8=3 (resto 1)

3/8=0 (resto 3) Recibido 31 8

Después de presentar los resultados del trabajo de los grupos creativos, todos los sistemas numéricos fueron evaluados de acuerdo con los criterios especificados al principio y todos llegaron a la conclusión de que como resultado del desarrollo histórico de las matemáticas, el sistema más conveniente (decimal) se convirtió en el más extendido. Al mismo tiempo, hubo fervientes partidarios del sistema binario, que creían que era muy importante para la electrónica.

La lección terminó con vino sincronizado.

El sistema numérico es conveniente, rápido, ayuda, cuenta, registra.

“Contar y calcular son la base del orden en la cabeza” (I. Pestalozzi)

Fuentes de información

1. D.Ya. Stroik “Un breve resumen de la historia de las matemáticas” (“Ciencia”, Moscú, 1990).
2. N.Ya. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov “Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas” (“Ilustración”, Moscú, 2008).
3. AV. Dorofeev “Páginas de historia en lecciones de matemáticas” (“Ilustración”, Moscú, 2007).
4. Internet: recursos de Wikipedia.