Schematický diagram sven sps 610. Přepracování akustiky počítače sven. Demontáž reproduktorů USB počítače
Materiál z volné ruské encyklopedie „Tradice“
V kvantové mechanice Heisenbergův princip neurčitosti
(nebo Heisenberg
) stanoví, že existuje nenulový limit pro součin rozptylů konjugovaných párů fyzikální veličiny, charakterizující stav systému. Princip neurčitosti nacházíme i v klasické teorii měření fyzikálních veličin.
Princip neurčitosti je obvykle znázorněn následovně. Uvažujme soubor neinteragujících ekvivalentních částic připravených v určitém stavu, pro každou z nich se měří buď souřadnice q nebo impuls p . V tomto případě budou výsledky měření náhodné veličiny, jejichž směrodatné odchylky od průměrných hodnot budou splňovat vztah nejistoty, kde – . Protože jakékoli měření mění stav každé částice, jedno měření nemůže současně měřit hodnoty souřadnic i hybnosti. U souboru částic vede snížení disperze při měření fyzikální veličiny ke zvýšení disperze konjugované fyzikální veličiny. Předpokládá se, že princip neurčitosti je spojen nejen se schopnostmi experimentální technologie, ale také ukazuje základní vlastnost přírody.
Obsah
|
Stručný přehled
V kvantové mechanice vzniká vztah neurčitosti mezi jakýmikoli stavovými proměnnými definovanými pomocí nedojíždění operátory. Kromě toho se uznává, že dualita vlna-částice je alespoň částečně pravdivá pro částice. V tomto přiblížení je poloha částice určena místem koncentrace vlny odpovídající částici, hybnost částice je spojena s vlnovou délkou a vzniká jasná analogie mezi vztahy neurčitosti a vlastnostmi vln, resp. signály. Poloha je nejistá do té míry, do jaké je vlna distribuována v prostoru, a nejistota hybnosti je odvozena z nejistoty vlnové délky při měření v různé momentyčas. Pokud je vlna dovnitř bodový oblasti, je její poloha určena s dobrou přesností, ale taková vlna ve formě krátkého vlnového sledu nemá určitou vlnovou délku charakteristickou pro nekonečné monochromatické vlnění.
Vlnovou funkci lze brát jako vlnu odpovídající částici. V mnohosvětové interpretaci kvantové mechaniky se říká, že k dekoherenci dochází vždy, když se měří poloha částice. Naproti tomu kodaňská interpretace kvantové mechaniky říká, že s každým měřením polohy částice se zdá, že vlnová funkce kolabuje dolů do malé oblasti, kde se částice nachází, a za touto oblastí je vlnová funkce blízká nule ( tento popis je považován za možnou techniku pro sladění chování vlnové funkce jako charakteristiky částice, protože vlnová funkce souvisí se skutečnými fyzikálními veličinami pouze nepřímo). Tato interpretace vyplývá ze skutečnosti, že druhá mocnina vlnové funkce ukazuje pravděpodobnost nalezení částice v prostoru. Pro malou oblast nelze hybnost částice v každém rozměru přesně změřit kvůli samotné proceduře měření hybnosti. Při měření polohy bude částice častěji detekována tam, kde je maximum vlnové funkce a v sérii identických měření se objeví nejpravděpodobnější poloha a bude určena směrodatná odchylka od ní:
Stejným způsobem se v sérii identických měření provede rozdělení pravděpodobnosti, určí se statistický rozptyl a směrodatná odchylka od průměrné hybnosti částice:
Součin těchto veličin souvisí vztahem nejistoty:
kde je Diracova konstanta.
V některých případech je „nejistota“ proměnné definována jako nejmenší šířka rozsahu, který obsahuje 50 % hodnot, což v případě normálně rozdělené proměnné vede k větší spodní hranici pro součin nejistot, čímž se stává rovná se . Podle vztahu nejistoty může být stav takový, že x lze měřit s vysokou přesností, ale pak p bude známo jen přibližně, nebo naopak p lze přesně určit, přitom x - Ne. Ve všech ostatních státech a x A p lze měřit s "přiměřenou", ale ne libovolně vysokou přesností.
Vztahy nejistoty ukládají omezení teoretický limit přesnost jakýchkoliv měření. Jsou platné pro takzvaná ideální měření, někdy nazývaná měření Johna von Neumanna. Ještě více platí pro neideální měření nebo měření podle L.D. Landau. V běžném životě většinou nepozorujeme nejistotu, protože hodnota je extrémně malá.
Zpravidla jakákoli částice (in v obecném smyslu, například nesoucí diskrétní elektrický náboj) nelze označit současně jako „klasickou bodovou částici“ i jako vlnu. Princip neurčitosti původně navržený Heisenbergem je platný, když žádný z těchto dvou popisů není zcela a výhradně vhodný. Příkladem je částice s určitou energetickou hodnotou umístěná v krabici. Taková částice je systém, který není charakterizován ani určitá „poloha“ (určitá hodnota vzdálenosti od potenciální stěny), ani určitou hodnotu impulsu (včetně jeho směru).
Princip neurčitosti je naplněn nejen v experimentech pro mnoho částic ve stejných počátečních stavech, kdy se berou v úvahu střední kvadratické odchylky od průměrných hodnot pro dvojici konjugovaných fyzikálních veličin měřených odděleně od sebe, ale také v každém jednotlivém měření, kdy je možné odhadnout hodnoty a rozptyl obou fyzikálních veličin současně veličin I když princip neurčitosti je spojen s pozorovatelský efekt , neomezuje se na něj, protože je také spojen s vlastnostmi pozorovatelných kvantových objektů a jejich vzájemnými interakcemi a se zařízeními.
Příběh
Hlavní článek: Úvod do kvantové mechaniky
Werner Heisenberg formuloval princip neurčitosti v Institutu Nielse Bohra v Kodani při práci na matematické základy kvantová mechanika.
V roce 1925, po práci Hendrika Kramerse, Heisenberg vyvinul maticovou mechaniku, která nahradila dřívější verzi kvantové mechaniky založenou na Bohrových postulátech. Navrhl, že kvantový pohyb se liší od klasického pohybu, takže elektrony v atomu nemají přesně definované dráhy. V důsledku toho již u elektronu není možné přesně říci, kde se nachází daný čas a jak rychle se pohybuje. Vlastností Heisenbergových matic pro polohu a hybnost je, že spolu nekomutují:
V březnu 1926 to Heisenberg zjistil nekomutativnost vede k principu neurčitosti, který se stal základem toho, co bylo později nazýváno kodaňskou interpretací kvantové mechaniky. Heisenberg ukázal souvislost mezi komutátorem magnitudových operátorů a Bohrovým principem komplementarity. Jakékoli dvě proměnné, které nedojíždějí, nelze přesně měřit současně, protože jak se přesnost měření jedné proměnné zvyšuje, přesnost měření druhé proměnné klesá.
Jako příklad můžeme uvažovat difrakci částice procházející úzkou štěrbinou v sítu a vychylující se po průchodu určitým úhlem. Čím užší je mezera, tím větší je nejistota ve směru hybnosti přenášené částice. Podle zákona difrakce možná úhlová odchylka Δθ přibližně rovno λ / d , Kde d je šířka štěrbiny a λ je vlnová délka odpovídající částici. Pokud použijeme vzorec pro ve tvaru λ = h / p a určit dΔθ = Δ x , pak se získá Heisenbergův vztah:
Heisenberg ve svém článku z roku 1927 prezentoval tento vztah jako minimální nutnou poruchu velikosti hybnosti částice vyplývající z měření polohy částice, ale neuvedl přesná definice hodnoty Δx a Δp. Místo toho provedl jejich hodnocení při řadě příležitostí. Ve své přednášce v Chicagu objasnil svůj princip takto:
|
(1) |
|
|
V moderní forma vztah nejistoty sepsal E. H. Kennard v roce 1927: |
|
|
(2) |
|
kde a σ x , σ p jsou střední kvadratické (standardní) odchylky polohy a hybnosti. Heisenberg sám dokázal vztah (2) pouze pro zvláštní příležitost Gaussovy státy. .
Princip neurčitosti a efekt pozorovatele
Jedna verze principu nejistoty může být formulována takto:
Měřením souřadnice částice se nutně mění její hybnost a naopak .
To dělá z principu neurčitosti speciální, kvantovou verzi pozorovatelský efekt , a role pozorovatele může být také automatizovaný systém měření, využívající jak princip přímé detekce částic, tak vylučovací metodu (částice, které se nedostaly do detektoru, prošly jinou dostupnou cestou).
Toto vysvětlení lze přijmout a použili ho Heisenberg a Bohr, kteří stáli na filozofickém základu logického pozitivismu. Podle logiky pozitivismu je pro výzkumníka pravá povaha pozorovaného fyzický systém určeno výsledky nejpřesnějších experimentů, v zásadě dosažitelných a omezených pouze samotnou přírodou. Vznik nevyhnutelných nepřesností při měření se v tomto případě stává důsledkem nejen vlastností skutečně používaných přístrojů, ale i samotného fyzikálního systému jako celku, včetně objektu a měřicího systému.
V současné době není logický pozitivismus obecně přijímaným pojmem, takže vysvětlení principu neurčitosti založeného na efektu pozorovatele se pro ty, kteří zastávají jiný filozofický přístup, stává neúplným. Někteří věří, že významná změna jeho hybnosti, ke které dochází při měření souřadnic částice, je potřebný majetek nikoli částice, ale pouze proces měření. Ve skutečnosti částice, skrytá před pozorovatelem, má v každém okamžiku určité umístění a hybnost, ale jejich hodnoty nejsou přesně určeny kvůli použití příliš hrubých nástrojů (teorie skryté parametry). Pro ilustraci uvádíme příklad: pomocí jiné kulečníkové koule musíte najít polohu a hybnost pohybující se kulečníkové koule. V sérii experimentů, kdy jsou obě kuličky nasměrovány přibližně stejně a narážejí, je možné zjistit úhly rozptylu kuliček, jejich hybnosti a následně určit body jejich setkání. Vzhledem k počátečním nepřesnostem je každá srážka jedinečná, dochází k rozptylu v umístění a rychlosti kuliček, což u řady srážek vede k odpovídajícímu vztahu neurčitosti. Zároveň však s jistotou víme, že v každé jednotlivé dimenzi se koule pohybují a mají v každém okamžiku velmi specifický impuls. Tento poznatek zase vyplývá ze skutečnosti, že koule lze sledovat pomocí odraženého světla, které nemá na pohyb masivních koulí prakticky žádný vliv.
Popsaná situace ilustruje vznik principu nejistoty a závislost výsledků měření na postupu měření a vlastnostech měřicích přístrojů. Ale v reálných experimentech se zatím nepodařilo objevit metodu pro současné měření parametrů elementárních částic externí zařízení bez výrazného narušení jejich výchozího stavu. Proto myšlenka parametrů částic skrytých před pozorovatelem ve standardní kvantové mechanice není populární a obvykle jednoduše říká, že neexistují žádné stavy, ve kterých by bylo možné měřit souřadnice a hybnost částice současně.
Existují však situace, kdy lze skryté parametry částic pravděpodobně určit. Hovoříme o dvou (nebo více) spojených částicích v tzv. spojeném stavu. Pokud jsou tyto částice v dostatečně velké vzdálenosti od sebe a nemohou se navzájem ovlivňovat, měření parametrů jedné částice dává užitečné informace o stavu jiné částice.
Řekněme, že při rozpadu pozitronia jsou emitovány dva fotony v opačných směrech. Umístíme dva detektory tak, aby první mohl měřit polohu jednoho fotonu a druhý detektor mohl měřit hybnost druhého fotonu. Prováděním simultánních měření je možné pomocí zákona zachování hybnosti poměrně přesně určit jak hybnost, tak směr prvního fotonu a jeho polohu při dopadu na první detektor. Změna postupu měření v v tomto případě vyhýbá se potřebě povinné použití princip nejistoty jako omezujícího prostředku při výpočtu chyb měření. Popsaná situace neruší princip neurčitosti jako takový, protože souřadnice a hybnost jsou současně měřeny nikoli pro jednu částici lokálně, ale pro dvě částice ve vzdálenosti od sebe.
Heisenbergův mikroskop
Jako jeden z příkladů ilustrujících princip neurčitosti uvedl Heisenberg jako měřící zařízení imaginární mikroskop. Experimentátor s jeho pomocí změří polohu a hybnost elektronu, který na něj dopadající foton rozptýlí, čímž odhalí jeho přítomnost.
Pokud má foton krátkou vlnovou délku a tedy velkou hybnost, lze polohu elektronu v zásadě změřit poměrně přesně. Ale v tomto případě je foton rozptýlen náhodně a přenáší na elektron poměrně velký a neurčitý zlomek jeho hybnosti. Pokud má foton dlouhou vlnovou délku a malou hybnost, mění hybnost elektronu málo, ale rozptyl určí polohu elektronu velmi nepřesně. Výsledkem je, že součin nejistot v souřadnici a hybnosti nezůstává menší než Planckova konstanta, až do číselného faktoru řádu jednoty. Heisenberg neformuloval přesné matematické vyjádření pro princip neurčitosti, ale použil princip jako heuristický kvantitativní vztah.
Kritika
Kodaňská interpretace kvantové mechaniky a principu nejistota Heisenberg se ukázal být dvojím cílem pro ty, kteří věřili v realismus a determinismus. Kodaňská interpretace kvantové mechaniky neobsahuje základní realitu, která popisuje kvantový stav a předepisuje, jak by se měly vypočítat experimentální výsledky. Není předem známo, že systém je v tak základním stavu, aby měření poskytlo přesně specifikovaný výsledek. Fyzický vesmír v něm neexistuje deterministický formou, ale spíše jako soubor pravděpodobností nebo možností. Například vzor (rozdělení pravděpodobnosti) produkovaný miliony fotonů difraktujících skrz štěrbinu lze vypočítat pomocí kvantové mechaniky, ale přesnou dráhu každého fotonu nelze předpovědět žádnou známou metodou. Copenhagen Interpretation se domnívá, že to nelze vůbec předvídat žádný metoda.
Právě tuto interpretaci zpochybnil Einstein, když napsal Maxi Bornovi: „Jsem si jistý, že Bůh nehází kostkami“ ( Zemřít Teorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Niels Bohr, který byl jedním z autorů Kodaňské interpretace, odpověděl: "Einsteine, neříkej Bohu, co má dělat."
Albert Einstein věřil, že náhodnost se jeví jako odraz naší neznalosti základních vlastností reality, zatímco Bohr věřil, že rozdělení pravděpodobnosti je základní a jedinečné v závislosti na typu měření. Debata mezi Einsteinem a Bohrem o principu neurčitosti trvala mnoho let.
Mezera na obrazovce
Einsteinův první myšlenkový experiment k testování principu neurčitosti byl:
Uvažujme částici procházející štěrbinou v sítu o šířce d. Štěrbina má za následek nejistotu hybnosti částice v řádu h/d, když částice prochází sítem. Ale hybnost částice může být určena s dostatečnou přesností ze zpětného rázu obrazovky pomocí zákona zachování hybnosti.
Bohrova odpověď byla tato: protože obrazovka dodržuje zákony kvantové mechaniky, pak změřit zpětný ráz s přesností Δ P Hybnost clony musí být známa s takovou přesností až do průchodu částice. To vede k nejistotě v poloze stínítka a štěrbiny rovné h / Δ P a pokud je hybnost stínítka známa dostatečně přesně pro měření zpětného rázu, ukáže se, že poloha štěrbiny je určena s přesností, která neumožňuje přesné měření polohy částice.
Podobná analýza s částicemi procházejícími difrakcí v několika štěrbinách je dostupná od R. Feynmana.
Einsteinova krabice
Další z Einsteinových myšlenkových experimentů byl navržen tak, aby otestoval princip neurčitosti s ohledem na spojené proměnné, jako je čas a energie. Pokud se v experimentu se štěrbinou v obrazovce částice pohybovaly v daném prostoru, tak v druhém případě se pohybují po danou dobu.
Uvažujme krabici naplněnou světelným zářením z radioaktivního rozpadu. Krabička má clonu, která ji otevře na přesně známou krátkou dobu, během níž část záření krabici opustí. Chcete-li změřit energii odvedenou zářením, můžete krabici po záření zvážit, porovnat ji s počáteční hmotností a aplikovat princip. Pokud je krabice instalována na váze, pak by měření měla okamžitě ukázat nepřesnost principu nejistoty.
Po dni reflexe Bohr zjistil, že pokud je energie samotné krabice známa přesně v počátečním okamžiku, pak nelze přesně znát čas, kdy se závěrka otevře. Váhy a schránka navíc mohou vlivem změn hmotnosti při záření měnit svou polohu v gravitačním poli. To vede ke změně rychlosti času vlivem pohybu hodinek a vlivem gravitace na hodiny a k dodatečné nepřesnosti v časování závěrky.
Einsteinův-Podolský-Rosenův paradox
Potřetí byl Bohrův výklad principu neurčitosti zpochybněn v roce 1935, kdy Albert Einstein, Boris Podolsky a Nathan Rosen (viz Paradox Einstein-Podolsky-Rosen) publikovali svou analýzu stavů vzájemně propojených částic oddělených na velké vzdálenosti. Podle Einsteina by měření fyzikální veličiny jedné částice v kvantové mechanice mělo vést ke změně pravděpodobnosti distribuce jiné částice, a to rychlostí, která může přesáhnout i rychlost světla. Bohr o tom přemýšlel a dospěl k myšlence, že nejistota v principu nejistoty nevzniká z takového přímého měření.
Sám Einstein tomu věřil úplný popis realita musí zahrnovat předpovídání výsledků experimentů na základě „místně se měnících deterministických veličin“, což vede k nárůstu informací ve srovnání s těmi, které jsou omezeny principem neurčitosti.
V roce 1964 John Bell ukázal, že Einsteinův předpoklad skrytých parametrů lze testovat, protože vedl k určitým nerovnostem mezi pravděpodobnostmi v různých experimentech. Dosud nebylo získáno žádné spolehlivé potvrzení existence skrytých parametrů založených na Bellových nerovnostech.
Existuje také názor, že výsledky experimentů lze ovlivnit nelokální skryté parametry držel se jí zejména D. Bohm. Zde kvantová teorie může úzce souviset s jinými fyzikálními pojmy. Například nelokální skryté parametry lze považovat za náhodnou sadu dat, která se objeví v experimentech. Pokud předpokládáme, že velikost viditelného vesmíru omezuje tuto množinu a spojení mezi nimi, pak kvantový počítač podle G. Hoofta pravděpodobně udělá chyby při práci s čísly většími než 10 000 jednotek.
Kritika Poppera
K.R. Popper kritizoval Heisenbergův princip neurčitosti - že měření polohy částice vždy ovlivňuje výsledek měření hybnosti, což naznačuje, že když částice s určitou hybností prochází úzkou mezerou v odražené vlně, existuje určitá amplituda hybnosti. pravděpodobnost existence pulzu rovného hybnosti před rozptylem. To znamená, že v řadě případů částice projde mezerou, aniž by změnila svou hybnost. V tomto případě by vztah neurčitosti neměl být aplikován na jednotlivé události nebo experimenty, ale na experimenty s mnoha identickými částicemi se stejnými počátečními podmínkami, tedy pro kvantové soubory. Tento typ kritiky se vztahuje na všechny pravděpodobnostní teorie, nejen na kvantovou mechaniku, protože pravděpodobnostní tvrzení vyžadují ověření mnoha měření.
Z hlediska kodaňské interpretace kvantové mechaniky je přisouzení určité hybnosti částici před měřením ekvivalentní existenci skrytého parametru. Částice by neměla být popsána touto hybností, ale vlnovou funkcí, která se mění, když prochází štěrbinou. Odtud vzniká nejistota impulsu, odpovídající principu neurčitosti.
Princip neurčitosti informační entropie
Když Hugh Everett v roce 1957 formuloval mnohosvětovou interpretaci kvantové mechaniky, dospěl k přesnější formě principu neurčitosti. . Pokud mají kvantové stavy vlnovou funkci tvaru:
pak se jejich standardní odchylka v souřadnicích zvýší díky superpozici určitého počtu interakcí. Zvýší se také nejistota v hybnosti. Pro objasnění nerovnosti ve vztahu nejistoty se pro rozdělení veličin používá Shannonova informace, měřená počtem bitů potřebných k popisu náhodná veličina pro konkrétní rozdělení pravděpodobnosti:
Hodnota I je interpretována jako počet bitů informace přijatých pozorovatelem v okamžiku, kdy hodnota x dosáhne přesnosti ε rovné Ix + log 2 (ε) . Druhá část je počet bitů za desetinnou čárkou a první udává logaritmickou hodnotu rozdělení. Pro rovnoměrné rozložení šířky Δ x informační obsah je log 2 Δ x . Tato hodnota může být záporná, což znamená, že rozdělení je užší než jedna a malé bity za desetinnou čárkou neposkytují žádnou informaci kvůli nejistotě.
Pokud vezmeme logaritmus poměru nejistoty v takzvaných přirozených jednotkách:
pak v tomto tvaru je dolní mez rovna nule.
Everett a Hirschman navrhli, že pro všechny kvantové stavy:
To bylo prokázáno Becknerem v roce 1975.
Deriváty
Když lineární operátory A a B působí na funkci ψ( x) , ne vždy dojíždějí. Nechť například operátor B je násobení x a operátor A je derivace vzhledem k x. Pak platí rovnost:
což v jazyce operátora znamená:
Tento výraz je velmi blízký kanonickému komutátoru kvantové mechaniky, ve kterém je polohový operátor násobením vlnové funkce x a operátor hybnosti zahrnuje derivaci a násobení . To dává:
Tento nenulový komutátor vede k relaci neurčitosti.
Pro libovolná dvě tvrzení A a B:
což odpovídá Cauchyho-Bunyakovského nerovnost pro vnitřní součin dvou vektorů a . Očekávaná hodnota produktu AB přesahuje amplitudu imaginární části:
Pro hermitovské operátory to dává Vztah Robertson - Schrödinger :
a princip neurčitosti jako speciální případ.
Fyzikální interpretace
Při přechodu od operátorů množství k nejistotám můžeme napsat:
Kde
je průměr proměnné X ve stavu ψ,
je směrodatná odchylka proměnné X ve stavu ψ.
Po výměně za A a pro B v obecné operátorové nerovnosti má komutátor tvar:
Normy a jsou v kvantové mechanice směrodatné odchylky pro A a B. Pro souřadnici a hybnost je norma komutátoru rovna .
Maticová mechanika
V maticové mechanice se komutátor matic X a P nerovná nule, ale hodnotě vynásobené maticí identity.
Komutátor dvou matic se nemění, když se obě matice změní v důsledku posunu ke konstantním maticím x A p:
Pro každý kvantový stav ψ můžeme určit číslo x
jako očekávanou hodnotu souřadnice a
jako očekávanou hodnotu impulsu. Veličiny a budou nenulové do té míry, že poloha a hybnost jsou nejisté, takže X a P se liší od průměrných hodnot. Očekávaná hodnota přepínače
může být nenulová, pokud odchylka v X ve stavu vynásobeném odchylkou v P, docela velký.
Kvadratickou hodnotu typického prvku matice jako druhou mocninu odchylky lze odhadnout sečtením druhých mocnin energetických stavů:
Proto se vztah kanonické komutace získá vynásobením odchylek v každém stavu, čímž se získá hodnota řádu:
Toto heuristické hodnocení lze upřesnit pomocí Cauchy-Bunyakovského nerovnosti (viz výše). Vnitřní součin dvou vektorů v závorkách:
omezeno součinem délek vektorů:
Pro každý stát tedy bude:
reálná část matice M je , takže reálná část součinu dvou hermitovských matic je rovna:
Pro pomyslnou část máme:
Amplituda je větší než amplituda její imaginární části:
Součin nejistot je níže ohraničen očekávanou hodnotou anti-spínač s uvedením odpovídajícího členu vztahu neurčitosti. Tento člen není důležitý pro nejistotu polohy a hybnosti, protože má nulovou očekávanou hodnotu pro gaussovský vlnový paket, jako v základním stavu harmonického oscilátoru. Zároveň člen od anti-spínač užitečné pro omezení nejistot spinových operátorů.
Vlnová mechanika
V Schrödingerově rovnici kvantová mechanika vlnová funkce obsahuje informace jak o poloze, tak o hybnosti částice. Nejpravděpodobnější poloha částice je tam, kde je koncentrace vln největší, a hlavní vlnová délka určuje hybnost částice.
Vlnová délka lokalizované vlny není přesně určena. Pokud je vlna v objemu o velikosti L a vlnová délka je přibližně rovna λ, bude počet vlnových cyklů v této oblasti řádově L / λ . Skutečnost, že počet cyklů je znám přesně na jeden cyklus, lze zapsat takto:
Tomu odpovídá známý výsledek při zpracování signálu – čím kratší časový úsek, tím méně přesně je frekvence určena. Podobně ve Fourierově transformaci platí, že čím užší je vrchol funkce, tím širší je její Fourierův obraz.
Vynásobíme-li rovnost o h a vložte Δ P = hΔ (1/λ), Δ X = L , pak to bude:
Princip neurčitosti může být reprezentován jako teorém ve Fourierových transformacích: součin čtverce směrodatné odchylky absolutní hodnota funkce o směrodatnou odchylku druhé mocniny absolutní hodnoty jejího Fourierova obrazu není menší než 1/(16π 2).
Typickým příkladem je (nenormalizovaná) Gaussova vlnová funkce:
Očekávaná hodnota X je nulová kvůli symetrii, takže variace se zjistí průměrováním X 2 přes všechny pozice s váhou ψ( x) 2 a s přihlédnutím k normalizaci:
Pomocí Fourierovy transformace můžeme přejít z ψ( x) na vlnovou funkci v k prostor kde k je vlnové číslo a souvisí s hybností podle de Broglieho vztahu:
Poslední integrál nezávisí na p, protože zde se proměnné plynule mění 
, což takovou závislost vylučuje a cesta integrace v komplexní rovině neprochází singularitou. Proto až do normalizace je vlnová funkce opět Gaussova:
Šířka distribuce k zjištěné zprůměrováním pomocí integrace, jak je uvedeno výše:
Pak v tomto příkladu
Symplectic geometrie
Z matematického hlediska jsou konjugované proměnné součástí symplektický a princip neurčitosti tomu odpovídá symplektický formulář v symplektický plocha.
Vztah Robertson - Schrödinger
Vezměme si libovolné dva samoadjungované hermitovské operátory A A B a systém je ve stavu ψ. Při měření veličin A A B objeví se rozdělení pravděpodobnosti se směrodatnými odchylkami Δ ψ A a Δψ B . Pak bude nerovnost pravdivá:
kde [ A,B] = AB - B.A. je tam vypínač A A B, {A,B} = AB+B.A. existuje antikomutátor a existuje očekávaná hodnota. Tato nerovnost se nazývá Robertsonův-Schrodingerův vztah, který jako speciální případ zahrnuje princip neurčitosti. Nerovnost s jedním komutátorem odvodil v roce 1930 Howard Percy Robertson a o něco později Erwin Schrödinger přidal termín s anti-komutátor.
Je také možné, že jsou dva nedojíždění samoadjungované operátory A A B , které mají stejné vlastní vektorψ. V tomto případě ψ představuje čistý stav, který je současně měřitelný A A B .
Další principy nejistoty
Robertsonův-Schrodingerův vztah vede k vztahům neurčitosti pro jakékoli dvě proměnné, které spolu nekomutují:
- Vztah neurčitosti mezi souřadnicí a hybností částice:
- mezi energií a polohou částice v jednorozměrném potenciálu V(x):
- mezi úhlovou souřadnicí a momentem hybnosti částice s malou úhlovou nejistotou:
- mezi ortogonálními složkami celkového momentu hybnosti částice:
Kde i, j, k různé a J i znamená moment hybnosti podél osy x i .
- mezi počtem elektronů v supravodiči a fází jejich uspořádání v Ginzburg-Landauově teorii:
Existuje také vztah neurčitosti mezi intenzitou pole a počtem částic, což vede k fenoménu virtuálních částic.
Energie-čas v principu neurčitosti
Energie a čas jsou zahrnuty do vztahu neurčitosti, který nevyplývá přímo z Robertsonova-Schrodingerova vztahu.
Součin energie a času má stejný rozměr jako součin impulsu a souřadnice, momentu hybnosti a akční funkce. Proto Bohr již znal následující vztah:
Zde Δt je doba života kvantového stavu a čas, stejně jako prostorová souřadnice, určuje vývoj částice v systému časoprostorových souřadnic.
Ze vztahu vyplývá, že stav s krátkou dobou života nemůže mít určitou energetickou hodnotu - během této doby se energie musí změnit, a to tím výrazněji, čím kratší doba. Je-li energie stavu úměrná frekvenci kmitání, pak pro vysoká přesnost Měření energie vyžadují měření frekvence po dobu, která zahrnuje mnoho vlnových cyklů.
Například ve spektroskopii mají excitované stavy omezený časživot. Průměrná energie emitovaných fotonů leží poblíž teoretické hodnoty energie stavu, ale rozložení energie má určitou šířku, tzv. přirozená šířka čáry . Čím rychleji se stát rozpadá, tím širší je odpovídající šířka čáry, což ztěžuje přesné měření energie. . Podobně jsou potíže při určování klidové hmotnosti rychle se rozpadajících rezonancí ve fyzice částic. Čím rychleji se částice rozpadá, tím méně přesně známe její hmotnostní energii.
Jedna nepřesná formulace principu neurčitosti říká, že měřit energii kvantového systému s přesností Δ E chce to čas Δ t > h / Δ E . Jeho nepřesnost ukázali Yakir Aharonov a D. Bohm v roce 1961. Ve skutečnosti čas Δ t existuje čas, kdy systém existuje bez vnějších poruch, a nikoli čas měření nebo vlivu měřicích přístrojů.
V roce 1936 navrhl Paul Dirac přesnou definici a odvození vztahu neurčitosti energie-čas v relativistické kvantové teorii „událostí“. V této formulaci se částice pohybují v časoprostoru a na každé dráze mají svůj vlastní vnitřní čas. Vícenásobná formulace kvantové mechaniky je matematicky ekvivalentní standardní formulaci, ale je vhodnější pro relativistické zobecnění. Na jejím základě vytvořil Shinichiro Tomonaga kovariantní poruchovou teorii pro kvantovou elektrodynamiku.
Známější a používanější formulaci vztahu neurčitosti energie a času podal v roce 1945 L. I. Mandelstam a I. E. Tamm. Pro kvantový systém v nestacionárním stavu pozorovatelná veličina B je reprezentován samokonzistentním operátorem a vzorec je platný:
Kde Δ ψ E je směrodatná odchylka energetického operátora ve státě, Δ ψ B je standardní odchylka operátora a je očekávanou hodnotou v tomto stavu. Druhý faktor na levé straně má rozměr času a liší se od času zahrnutého do Schrödingerovy rovnice. Tímto faktorem je životnost stavu vzhledem k pozorovanému B , po kterém se očekávaná hodnota znatelně změní.
Věty o nejistotě v harmonické analýze
V harmonické analýze princip neurčitosti znamená, že nelze získat přesné hodnoty funkce a její Fourierovy mapy; v tomto případě platí následující nerovnost:
Mezi funkcí jsou další vztahy ƒ a jeho Fourierova mapa.
Benedickova věta
Tato věta říká, že množina bodů, kde ƒ není nula, a množina bodů, kde ƒ není nula, nemohou být obě příliš malé. Zejména, ƒ PROTI L 2 (R) a jeho Fourierova mapa nemůže být současně podporována (mají stejnou podporu funkcí) na krytech s ohraničenou Lebesgueovou mírou. Při zpracování signálu je tento výsledek dobře známý: funkci nelze současně omezit v časovém i frekvenčním rozsahu.
Hardyho princip nejistoty
Matematik G. H. Hardy formuloval v roce 1933 následující princip: je nemožné, aby funkce ƒ a obě „velmi rychle rostly“. Takže pokud ƒ definováno v L 2 (R), že:
kromě případu F = 0
. Tady je Fourierova mapa 
se rovná , a pokud v integrálu nahradíme za každý A < 2π
, pak bude odpovídající integrál omezený pro nenulovou funkci F 0
.
Nekonečné hnízdění hmoty
Teoreticky dostává princip neurčitosti zvláštní výklad. Podle této teorie lze celý soubor objektů existujících ve vesmíru uspořádat do úrovní, v nichž se velikosti a hmotnosti objektů, které k nim patří, neliší tolik jako mezi různé úrovně. V tomto případě vzniká. Vyjadřuje se například tím, že hmotnosti a velikosti těles při pohybu z úrovně do úrovně rostou exponenciálně a lze je zjistit pomocí odpovídajících koeficientů podobnosti. Existují základní a střední úrovně hmoty. Vezmeme-li takové základní úrovně hmoty, jako je úroveň elementárních částic a úroveň hvězd, pak v nich lze nalézt navzájem podobné objekty - nukleony a neutronové hvězdy. Elektron má také svůj protějšek na hvězdné úrovni – v podobě disků objevených poblíž rentgenových pulsarů, které jsou hlavními kandidáty na magnetary. . Na základě známých vlastností elementárních částic (hmotnost, poloměr, náboj, spin atd.) pomocí koeficientů podobnosti je možné určit odpovídající vlastnosti podobných objektů na hvězdné úrovni.
Navíc vlivem fyzikálních zákonů nemění svůj tvar na různé úrovně hmota. To znamená, že kromě podobnosti předmětů a jejich vlastností existuje i podobnost odpovídajících jevů. Díky tomu lze každou úroveň hmoty považovat za svůj vlastní princip neurčitosti. Charakteristickou hodnotou akčního kvanta a momentu hybnosti na úrovni elementárních částic je hodnota, tzn. Přímo vstupuje do principu neurčitosti. Pro neutronové hvězdy je charakteristická hodnota akčního kvanta ħ' s = ħ ∙ Ф' ∙ S' ∙ Р' = 5,5∙10 41 J∙s, kde Ф', S', Р' jsou koeficienty podobnosti v termínech hmotnosti a podle toho procesní rychlosti a velikosti. Pokud tedy změříte polohu, hybnost nebo jiné množství jednotlivých neutronových hvězd pomocí hvězdných nebo ještě hmotnějších objektů, pak během jejich interakce dojde k výměně hybnosti a momentu hybnosti s charakteristickou hodnotou hvězdného kvanta působení pořadí ħ' s. V tomto případě měření souřadnice ovlivní přesnost měření impulsu a naopak, což vede k principu nejistoty.
Z výše uvedeného vyplývá, že podstata principu nejistoty vyplývá ze samotného postupu měření. Elementární částice tedy nelze studovat jinak než pomocí samotných elementárních částic nebo jejich složených stavů (ve formě jader, atomů, molekul atd.), které nevyhnutelně ovlivňují výsledky měření. Interakce částic mezi sebou nebo se zařízeními v tomto případě vede k nutnosti zavedení statistické metody do kvantové mechaniky a pouze pravděpodobnostní předpovědi výsledků jakýchkoliv experimentů. Vzhledem k tomu, že postup měření vymaže část informací, které částice měly před měřením, přímé určení událostí z jakýchkoli skrytých parametrů, předpokládaných v teorii skrytých parametrů, nefunguje. Pokud například nasměrujete jednu částici na druhou v přesně specifikovaném směru, měli byste získat velmi jasný rozptyl částic na sobě. Zde ale nastává problém, že nejprve potřebujete nějaký jiný způsob, jak částici nasměrovat přesně tímto směrem. Jak je vidět, stanovení událostí je ztíženo nejen postupem měření, ale také postupem stanovení přesných počátečních stavů zkoumaných částic.
Vyjádření konečného dostupného množství Fisherovy informace
Princip neurčitosti je alternativně odvozen jako Cramer-Rao nerovnosti v klasické teorii měření. V případě, že se měří poloha částice, střední kvadratická hybnost částice vstupuje do nerovnosti jako Fisherovy informace . Viz také kompletní fyzické informace .
Vědecký humor
Neobvyklá povaha Heisenbergova principu neurčitosti a jeho chytlavý název z něj udělaly zdroj několika vtipů. Říká se, že populární nápis na zdech fyzikálních kateder na univerzitních kampusech zní: „Heisenberg May Have Been Here“.
Jednoho dne zastaví Werner Heisenberg na dálnici policista a ptá se: "Víte, jak rychle jste jel, pane?" Na to fyzik odpovídá: "Ne, ale vím přesně, kde jsem!"
Princip neurčitosti v populární kultuře
Princip neurčitosti je v populárním tisku často špatně pochopen nebo špatně charakterizován. Jednou z běžných chyb je, že pozorování události mění samotnou událost. Obecně řečeno, toto nemá nic společného s principem neurčitosti. Téměř kdokoli lineární operátor mění vektor, na který působí (tedy téměř každé pozorování mění stav), ale pro komutativní operátory neexistují žádná omezení možného šíření hodnot. Například projekce hybnosti na ose C A y lze společně měřit tak přesně, jak je požadováno, i když každé měření mění stav systému. Kromě toho se princip neurčitosti zabývá paralelním měřením veličin pro několik systémů ve stejném stavu, a nikoli sekvenčními interakcemi se stejným systémem.
K vysvětlení principu neurčitosti byly navrženy další (také zavádějící) analogie k makroskopickým efektům: jedna zahrnuje rozmáčknutí semene melounu prstem. Účinek je znám – nelze předvídat, jak rychle nebo kam semínko zmizí. Tento náhodný výsledek je zcela založen na náhodnosti, kterou lze vysvětlit jednoduchými klasickými termíny.
Heisenbergův princip nejistoty- to je název zákona, který stanoví limit přesnosti (téměř) současných stavových proměnných, jako je poloha a částice. Navíc přesně definuje míru nejistoty tím, že udává dolní (nenulovou) mez součinu rozptylů měření.
Uvažujme například následující sérii experimentů: přiložením se částice uvede do určitého čistého stavu, načež se provedou dvě po sobě jdoucí měření. První určuje polohu částice a druhý, bezprostředně poté, její hybnost. Předpokládejme také, že proces měření (aplikace operátora) je takový, že při každém pokusu první měření dává stejnou hodnotu, nebo alespoň soubor hodnot s velmi malým rozptylem d p kolem hodnoty p. Potom druhé měření poskytne rozdělení hodnot, jejichž rozptyl d q bude nepřímo úměrný d p.
Pokud jde o kvantovou mechaniku, postup aplikace operátoru uvedl částici do smíšeného stavu s určitou souřadnicí. Jakékoli měření hybnosti částice nutně povede k rozptylu hodnot při opakovaných měřeních. Pokud navíc po změření impulsu změříme souřadnici, získáme i rozptyl hodnot.
Obecněji, vztah nejistoty vzniká mezi jakýmikoli stavovými proměnnými definovanými operátory bez dojíždění. Toto je jeden z základní kameny, která byla otevřena v r
Stručný přehled
Princip neurčitosti je někdy vysvětlován tak, že měření souřadnice nutně ovlivňuje hybnost částice. Toto vysvětlení zřejmě navrhl sám Heisenberg, alespoň zpočátku. Že vliv měření na hybnost je nevýznamný, lze ukázat následovně: uvažujme soubor (neinteragujících) částic připravených ve stejném stavu; Pro každou částici v souboru měříme buď hybnost, nebo polohu, ale ne obojí. Výsledkem měření získáme, že hodnoty jsou distribuovány s určitou pravděpodobností a vztah nejistoty platí pro rozptyly d p a d q.
Heisenbergův koeficient nejistoty je teoretickým limitem přesnosti jakéhokoli měření. Jsou platné pro tzv. ideální měření, někdy nazývaná jako von Neumannova měření. Ještě více platí pro neideální měření nebo měření.
V souladu s tím nelze žádnou částici (v obecném smyslu, například nesoucí diskrétní částici) označit současně jako „klasickou bodovou částici“ a jako . (Samotný fakt, že kterýkoli z těchto popisů může být pravdivý, alespoň v některých případech, se nazývá dualita vlna-částice). Princip neurčitosti, jak původně navrhoval Heisenberg, platí, když žádný z těchto dvou popisů není zcela a výhradně vhodný, například částice v krabičce s určitou energetickou hodnotou; tedy pro systémy, které nejsou charakterizovány ani jakákoli určitá „poloha“ (jakákoli určitá hodnota vzdálenosti od potenciální stěny), ani jakákoli konkrétní hodnota impulsu (včetně jeho směru).
Existuje přesná, kvantitativní analogie mezi Heisenbergovými vztahy neurčitosti a vlastnostmi vln nebo signálů. Zvažte časově proměnný signál, jako je zvuková vlna. Je zbytečné o tom mluvit frekvenční spektrum signál v libovolném okamžiku. Pro přesné určení frekvence je nutné signál nějakou dobu pozorovat, čímž ztrácíme přesnost časování. Jinými slovy, zvuk nemůže mít přesnou časovou hodnotu, jako je krátký pulz, nebo přesnou hodnotu frekvence, jako je souvislý čistý tón. Časová poloha a frekvence vlny v čase jsou podobné poloze a hybnosti částice v prostoru.
Definice
Pokud je připraveno několik identických kopií systému tento stát, pak se naměřené hodnoty souřadnice a hybnosti budou řídit určitou - to je základní postulát kvantové mechaniky. Změřením hodnoty Δx souřadnice a směrodatné odchylky Δp pulzu zjistíme, že:
\Delta x \Delta p \ge \frac(\hbar)(2),
Další vlastnosti
Bylo vyvinuto mnoho doplňkové vlastnosti, včetně těch popsaných níže:
Vyjádření konečného dostupného množství Fisherovy informace
Princip neurčitosti je alternativně odvozen jako vyjádření Cramer-Rao nerovnosti v klasické teorii měření. V případě, kdy se měří poloha částice. Střední kvadratická hybnost částice vstupuje do nerovnosti jako Fisherova informace. Viz také úplné fyzické informace.
Princip zobecněné nejistoty
Princip neurčitosti neplatí pouze pro polohu a hybnost. Ve své obecné podobě platí pro každý pár konjugované proměnné. V obecný případ a na rozdíl od výše diskutovaného případu polohy a hybnosti závisí spodní hranice součinu nejistot dvou konjugovaných proměnných na stavu systému. Princip neurčitosti se pak stává teorémem v teorii operátorů, který zde uvádíme
Teorém. Pro všechny samoadjungované operátory: A:H → H A B:H → H a jakýkoli prvek x z H takové, že A B x A B A x oba jsou definovány (tj. A x A Bx jsou také definovány), máme:
\langle BAx|x \rangle \langle x|BAx \rangle = \langle ABx|x \rangle \langle x|ABx \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2\leq \|Ax \|^2\|Bx\|^2Platí tedy následující obecný tvar princip neurčitosti, poprvé vyšlechtěna v Howardu Percym Robertsonem a (nezávisle):
\frac(1)(4) |\langle(AB-BA)x|x\rangle|^2\leq\|Ax\|^2\|Bx\|^2.Tato nerovnost se nazývá Robertson-Schrödingerův vztah.
Operátor AB-B.A. nazývaný spínač A A B a označen jako [ A,B]. Pro ty je definováno x, pro které jsou oba definovány ABx A BAx.
Ze vztahu Robertson-Schrödinger to okamžitě vyplývá Heisenbergův vztah neurčitosti:
Předpokládat A A B- dva stavové proměnné, které jsou spojeny se samoadjungovanými (a co je důležité - symetrickými) operátory. Li ABψ a B.A.ψ jsou definovány, pak:
\Delta_(\psi)A\,\Delta_(\psi)B\ge\frac(1)(2)\left|\left\langle\left\right\rangle_\psi\right|, \left\langle X\right\rangle_\psi =\left\langle\psi|X\psi\right\rangleprůměrná hodnota proměnné operátor X ve stavu ψ systému a:
\Delta_(\psi)X=\sqrt(\langle(X)^2\rangle_\psi-\langle(X)\rangle_\psi^2)Je také možné, že existují dva nekomutující samoadjungované operátory A A B, které mají stejné ψ. V tomto případě ψ představuje čistý stav, který je současně měřitelný A A B.
Běžné pozorovatelné proměnné, které se řídí principem neurčitosti
Předchozí matematické výsledky ukazují, jak najít vztahy nejistot mezi fyzikálními proměnnými, konkrétně určit hodnoty dvojic proměnných A A B jehož komutátor má určité analytické vlastnosti.
- nejznámější vztah neurčitosti je mezi souřadnicí a hybností částice v prostoru:
- vztah neurčitosti mezi dvěma ortogonálními složkami částicového operátoru:
Kde i, j, k jsou vynikající a J i označuje moment hybnosti podél osy x i .
- Následující vztah neurčitosti mezi energií a časem je často prezentován v učebnicích fyziky, ačkoli jeho interpretace vyžaduje opatrnost, protože neexistuje žádný operátor reprezentující čas:
Výklady
Princip neurčitosti nebyl příliš populární a skvěle napadl Wernera Heisenberga (viz debata Bohr-Einstein podrobné informace): naplňte krabici radioaktivním materiálem, který náhodně vyzařuje záření. Krabice má otevřenou uzávěrku, která se ihned po naplnění v určitém okamžiku zavřou hodinami a umožní tak únik malého množství záření. Čas je tedy již přesně znám. Stále chceme přesně měřit konjugovanou energetickou proměnnou. Einstein navrhl udělat to tak, že zvážíte krabici před a po. Ekvivalence mezi hmotností a energií nám umožní přesně určit, kolik energie zbývá v krabici. Bohr namítal takto: pokud energie odejde, zapalovač se na stupnici trochu pohne. Tím se změní poloha hodin. Hodiny se tedy odchylují od našich stacionárních hodin a podle speciální teorie relativity se jejich měření času bude lišit od našeho, což vede k určitému nevyhnutelnému množství chyb. Podrobná analýza ukazuje, že nejistota je správně dána Heisenbergovým vztahem.
V rámci široce, ale ne všeobecně uznávané kvantové mechaniky je princip neurčitosti přijímán na elementární úrovni. Fyzický vesmír neexistuje ve formě, ale spíše jako soubor pravděpodobností nebo možností. Například vzor (rozdělení pravděpodobnosti) produkovaný miliony fotonů difraktujících skrz štěrbinu lze vypočítat pomocí kvantové mechaniky, ale přesnou dráhu každého fotonu nelze předpovědět žádnou známou metodou. domnívá se, že to nelze vůbec předvídat žádný metoda.
Právě tuto interpretaci zpochybnil Einstein, když řekl: „Nedokážu si představit, že Bůh hraje kostky s vesmírem. Bohr, který byl jedním z autorů Kodaňské interpretace, odpověděl: "Einsteine, neříkej Bohu, co má dělat."
Einstein byl přesvědčen, že tato interpretace je chybná. Jeho úvahy byly založeny na skutečnosti, že všechna již známá rozdělení pravděpodobnosti byla výsledkem deterministických událostí. Rozdělení hodu mincí nebo házené kostky lze popsat rozdělením pravděpodobnosti (50 % hlav, 50 % ocasů). To ale neznamená, že jejich fyzické pohyby jsou nepředvídatelné. Konvenční mechanika dokáže přesně spočítat, jak každá mince dopadne, pokud jsou známé síly na ni působící a hlavy/ocasy jsou stále rozděleny pravděpodobnostně (s náhodnými počátečními silami).
Einstein navrhl, že v kvantové mechanice existují skryté proměnné, které jsou základem pozorovaných pravděpodobností.
Ani Einstein, ani nikdo jiný od té doby nebyl schopen zkonstruovat uspokojivou teorii skrytých proměnných a Bellova nerovnost ilustruje některé velmi trnité cesty, jak se o to pokoušet. Přestože je chování jednotlivé částice náhodné, koreluje také s chováním ostatních částic. Pokud je tedy princip neurčitosti výsledkem nějakého deterministického procesu, pak se ukazuje, že částice ano dlouhé vzdálenosti musí si navzájem okamžitě předávat informace, aby byly zajištěny korelace v jejich chování.
Podle duální korpuskulárně-vlnové povahy částic hmoty se k popisu mikročástic používají buď vlnové nebo korpuskulární koncepty. Proto je nemožné jim přisuzovat všechny vlastnosti částic a všechny vlastnosti vlnění. Přirozeně je nutné zavést určitá omezení v aplikaci konceptů klasické mechaniky na objekty mikrosvěta.
V klasické mechanice se stav hmotného bodu (klasické částice) určuje zadáním hodnot souřadnic, hybnosti, energie atd. (uvedené veličiny se nazývají dynamické proměnné). Přesně řečeno, zadané dynamické proměnné nelze přiřadit k mikroobjektu. Informace o mikročásticích však získáváme pozorováním jejich interakce se zařízeními, která jsou makroskopickými tělesy. Proto jsou výsledky měření nevyhnutelně vyjádřeny termíny vyvinutými pro charakterizaci makrotěles, tzn. prostřednictvím hodnot dynamických charakteristik. V souladu s tím jsou naměřené hodnoty dynamických proměnných připisovány mikročásticím. Například se mluví o stavu elektronu, ve kterém má takovou a takovou energetickou hodnotu atd.
Vlnové vlastnosti částic a možnost nastavit pro částici pouze pravděpodobnost její pobyt v tomto bodu v prostoru vedou k tomu, že samotné pojmy souřadnice a rychlost částic (nebo impuls) lze v omezené míře použít v kvantové mechanice. Obecně lze říci, že na tom není nic překvapivého. V klasické fyzice je pojem souřadnice v některých případech také nevhodný pro určení polohy objektu v prostoru. Například nemá smysl říkat, že elektromagnetická vlna se nachází v daném bodě prostoru nebo že poloha čela vlny na vodě je charakterizována souřadnicemi x, y, z.
Vlno-tělesná dualita vlastností částic studovaných v kvantové mechanice vede k tomu, že v řadě případů se ukáže jako nemožné v klasickém slova smyslu současně charakterizovat částici její polohou v prostoru (souřadnice) a rychlost (nebo impuls). Takže například elektron (a jakákoli jiná mikročástice) nemůže mít současně přesné hodnoty souřadnic x a složky hybnosti. Hodnoty nejistoty x a uspokojit vztah:
| . | (4.2.1) |
Z (4.2.1) vyplývá, že čím menší je nejistota jedné veličiny ( x nebo ), tím větší je nejistota druhého. Možná existuje stav, kdy jedna z proměnných má přesnou hodnotu (), zatímco druhá proměnná se ukáže jako zcela nejistá ( - její nejistota je rovna nekonečnu) a naopak. Tedy, pro mikročástici nejsou žádné stavy,ve kterém by současně měly jeho souřadnice a hybnost přesné hodnoty . Z toho vyplývá faktická nemožnost současného měření souřadnic a hybnosti mikroobjektu s jakoukoliv předem stanovenou přesností.
Pro platí vztah podobný (4.2.1). y a , pro z a , stejně jako pro jiné dvojice veličin (v klasické mechanice se takové dvojice nazývají kanonicky konjugovat ). Označování kanonicky konjugovaných veličin písmeny A A B, můžeme napsat:
| . | (4.2.2) |
Zavolá se vztah (4.2.2). poměr nejistoty pro množství A A B. Tento vztah zavedl v roce 1927 Werner Heisenberg.
Prohlášení, že součin nejistot hodnot dvou konjugovaných proměnných nemůže být řádově menší než Planckova konstantah,volal Heisenbergův vztah neurčitosti .
Energie a čas jsou kanonicky konjugované množství. Vztah nejistoty tedy platí i pro ně:
| . | (4.2.3) |
Tento vztah znamená, že určení energie s přesností musí trvat časový interval rovný nejméně
Vztah nejistoty byl získán s současné použití klasické charakteristiky pohybu částic (souřadnice, hybnost) a přítomnost vlnových vlastností. Protože v klasické mechanice se připouští, že měření souřadnic a hybnosti lze provádět s jakoukoli přesností vztah nejistoty je tedy kvantové omezení použitelnosti klasické mechaniky na mikroobjekty.
Vztah neurčitosti udává, do jaké míry je možné ve vztahu k mikročásticím používat pojmy klasické mechaniky, zejména s jakou mírou přesnosti lze hovořit o trajektoriích mikročástic. Pohyb po trajektorii je zcela charakterizován určité hodnoty souřadnice a rychlost v každém okamžiku. Dosazením v (4.2.1) místo součinu získáme vztah:
| . | (4.2.4) |
Z tohoto vztahu vyplývá, že jak více hmotyčástice, tím menší nejistota jeho souřadnic a rychlosti,proto může být koncept trajektorie aplikován na tuto částici s větší přesností. Tedy např. již za smítko prachu o hmotnosti kg a lineární rozměry m, jehož souřadnice je určena s přesností na 0,01 jeho rozměrů ( m), nejistota rychlosti, podle (4.2.4),
těch. nebude mít účinek při všech rychlostech, kterými se může smítko prachu pohybovat.
Tedy, pro makroskopické těles, jejich vlnové vlastnosti nehrají žádnou roli; souřadnice a rychlosti lze měřit poměrně přesně. To znamená, že k popisu pohybu makrotěl lze s naprostou jistotou použít zákony klasické mechaniky.
Předpokládejme, že elektronový paprsek se pohybuje podél osy x s rychlostí m/s, stanovenou s přesností 0,01 % (m/s). Jaká je přesnost určení elektronové souřadnice?
Pomocí vzorce (4.2.4) získáme:
.
Polohu elektronu lze tedy určit s přesností na tisíciny milimetru. Taková přesnost je dostatečná k tomu, abychom mohli mluvit o pohybu elektronů po určité trajektorii, jinými slovy popsat jejich pohyby podle zákonů klasické mechaniky.
Aplikujme vztah neurčitosti na elektron pohybující se v atomu vodíku. Předpokládejme, že nejistota elektronové souřadnice je m (řádově podle velikosti samotného atomu), pak podle (4.2.4)
.
Pomocí zákonů klasické fyziky lze ukázat, že když se elektron pohybuje kolem jádra po kruhové dráze o poloměru přibližně m, jeho rychlost je m/s. Tedy, nejistota rychlosti je několikanásobně větší než rychlost samotná. Je zřejmé, že v tomto případě nemůžeme mluvit o pohybu elektronů v atomu po určité trajektorii. Jinými slovy, k popisu pohybu elektronů v atomu nelze použít zákony klasické fyziky.
V klasické mechanice se stav hmotného bodu (klasické částice) určuje zadáním hodnot souřadnic, hybnosti, energie atd. Uvedené veličiny se nazývají dynamické proměnné. Přesně řečeno, zadané dynamické proměnné nelze přiřadit k mikroobjektu. Informace o mikročásticích však získáváme pozorováním jejich interakce se zařízeními, která jsou makroskopickými tělesy. Proto jsou výsledky měření nevyhnutelně vyjádřeny v termínech vyvinutých pro charakterizaci makrotěl, tedy prostřednictvím hodnot dynamických proměnných. V souladu s tím jsou naměřené hodnoty dynamických proměnných připisovány mikročásticím. Například se mluví o stavu elektronu, ve kterém má takovou a takovou energetickou hodnotu atd.
Zvláštnost vlastností mikročástic se projevuje v tom, že ne všechny proměnné získávají určité hodnoty během měření. Takže například elektron (nebo jakákoli jiná mikročástice) nemůže mít současně přesné hodnoty souřadnice x a složky hybnosti. Nejistoty hodnot uspokojují vztah
( - Planckova konstanta). Z (20.1) vyplývá, že čím menší je nejistota jedné z proměnných nebo tím větší nejistota druhé. Je možný stav, kdy jedna z proměnných má přesnou hodnotu, zatímco druhá proměnná se ukáže jako zcela nejistá (její nejistota je rovna nekonečnu).
Vztah podobný (20.1) platí pro y a , pro z a , stejně jako pro řadu dalších dvojic veličin (v klasické mechanice se takové dvojice veličin nazývají kanonicky konjugované). Označením kanonicky konjugovaných veličin písmeny A a B můžeme psát
(20.2)
Relace (20.2) se nazývá relace neurčitosti pro veličiny A a B. Tento vztah objevil v roce 1927 W. Heisenberg.
Tvrzení, že součin nejistot hodnot dvou konjugovaných proměnných nemůže být o řád menší než Planckova konstanta, se nazývá Heisenbergův princip neurčitosti.
Energie a čas jsou kanonicky konjugované veličiny. Vztah nejistoty tedy platí i pro ně:
Tento vztah znamená, že určení energie s přesností by mělo trvat časový interval rovný, ale menší než .
Vztah nejistoty byl stanoven zejména zvážením následujícího příkladu. Zkusme určit hodnotu souřadnice x volně letící mikročástice tak, že na její dráhu umístíme štěrbinu o šířce , umístěnou kolmo ke směru pohybu částice (obr. 20.1). Než částice projde mezerou, její složka hybnosti má přesnou hodnotu rovnou nule (mezera je podle konvence kolmá na hybnost), takže na druhé straně je souřadnice x částice zcela nejistá. V okamžiku, kdy částice projde štěrbinou, se poloha změní. Namísto úplné nejistoty souřadnice x se objevuje nejistota, ale toho je dosaženo za cenu ztráty jistoty hodnoty V důsledku difrakce existuje určitá pravděpodobnost, že se částice bude pohybovat v úhlu , kde je úhel. odpovídající prvnímu difrakčnímu minimu (maxima vyšších řádů lze zanedbat, protože jejich intenzita je malá ve srovnání s intenzitou centrálního maxima). Vzniká tedy nejistota:
Hrana centrálního difrakčního maxima (první minimum), vyplývající ze šířky štěrbiny, odpovídá úhlu, pro který
(viz vzorec (129.5) 2. dílu). Proto,
Vezmeme-li v úvahu (18.1), dostaneme vztah
v souladu s (20.1).
Někdy je vztah neurčitosti interpretován takto: ve skutečnosti má mikročástice přesné hodnoty souřadnic a hybnosti, ale dopad, který je pro takovou částici patrný, je měřicí přístroj neumožňuje přesně určit tyto hodnoty. Tento výklad je zcela mylný. Je to v rozporu s experimentálně pozorovanými jevy difrakce mikročástic.
Vztah neurčitosti udává, do jaké míry lze ve vztahu k mikročásticím použít pojmy klasické mechaniky, zejména s jakou mírou přesnosti lze hovořit o trajektoriích mikročástic. Pohyb po trajektorii je charakterizován dobře definovanými hodnotami souřadnic a rychlosti v každém okamžiku. Dosazením součinu v (20.1) místo součinu získáme vztah
Vidíme, že čím větší je hmotnost částice, tím menší je nejistota v jejích souřadnicích a rychlosti, a proto je koncept trajektorie přesnější. Již u makročástice o velikosti pouze 1 mikron jsou nejistoty hodnot mimo přesnost měření těchto veličin, takže její pohyb bude prakticky nerozeznatelný od pohybu po trajektorii.
Za určitých podmínek lze dokonce i pohyb mikročástice přibližně považovat za pohyb podél trajektorie. Jako příklad uvažujme pohyb elektronu dovnitř katodovou trubici. Odhadujme nejistoty elektronové souřadnice a hybnosti pro tento případ. Nechť má stopa elektronového paprsku na stínítku poloměr řádu , délka trubice je řádově 10 cm (obr. 20.2). Potom je hybnost elektronu vztažena k urychlovacímu napětí U vztahem
Proto pod napětím. Energie elektronu B je rovna Odhadněme velikost hybnosti:
Proto konečně podle vztahu (20.1):
Získaný výsledek ukazuje, že pohyb elektronu v katodové trubici je prakticky nerozeznatelný od pohybu po trajektorii.
Vztah neurčitosti je jedním ze základních principů kvantové mechaniky. Tento vztah sám o sobě stačí k získání řady důležitých výsledků. Zejména umožňuje vysvětlit skutečnost, že elektron nedopadá na jádro atomu, a také odhadnout velikost nejjednoduššího atomu a minima. možná energie elektronu v takovém atomu.
Pokud by elektron dopadl na bodové jádro, jeho souřadnice a hybnost by nabyly určitých (nulových) hodnot, což je neslučitelné s principem neurčitosti. Tento princip vyžaduje, aby nejistota elektronové souřadnice a nejistota hybnosti byly vztaženy na podmínku (20.1). Formálně by tedy energie byla minimální na Proto při odhadu nejnižší možné energie je třeba dát . Dosazením těchto hodnot do (20.1) získáme vztah
