Najděte vlastní čísla lineárního operátoru. Lineární operátory

S maticí A, pokud existuje číslo l takové, že AX = lX.

V tomto případě se volá číslo l vlastní hodnota operátor (matice A) odpovídající vektoru X.

Jinými slovy, vlastní vektor je vektor, který se působením lineárního operátoru transformuje na vektor kolineární, tzn. stačí vynásobit nějakým číslem. Naproti tomu nevhodné vektory jsou složitější na transformaci.

Zapišme si definici vlastního vektoru ve formě soustavy rovnic:

Přesuňme všechny termíny na levou stranu:

Druhý systém lze zapsat v maticové formě takto:

(A - lE)X = O

Výsledná soustava má vždy nulové řešení X = O. Nazývají se takové soustavy, ve kterých jsou všechny volné členy rovny nule homogenní. Pokud je matice takového systému čtvercová a její determinant není roven nule, pak pomocí Cramerových vzorců vždy dostaneme jedinečné řešení - nulu. Lze dokázat, že systém má nenulová řešení právě tehdy, když je determinant této matice roven nule, tzn.

|A - lE| = = 0

Tato rovnice s neznámým l se nazývá charakteristická rovnice (charakteristický polynom) matice A (lineární operátor).

Lze prokázat, že charakteristický polynom lineárního operátoru nezávisí na volbě báze.

Najdeme například vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru definovaného maticí A = .

K tomu vytvoříme charakteristickou rovnici |A - lE| = = (1 - 1) 2 - 36 = 1 - 2 1 + 1 2 - 36 = 1 2 - 21 - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; vlastní čísla l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l2 = (2 + 12)/2 = 7.

Abychom našli vlastní vektory, řešíme dvě soustavy rovnic

(A + 5E) X = O

(A-7E)X = O

Pro první z nich má formu expandovaná matice

,

odkud x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X(1) = (-(2/3)s; s).

Pro druhý z nich má formu expandovaná matice

,

kde x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tzn. X(2) = ((2/3)si; s1).

Vlastními vektory tohoto lineárního operátoru jsou tedy všechny vektory tvaru (-(2/3)с; с) s vlastní hodnotou (-5) a všechny vektory tvaru ((2/3)с 1 ; с 1) s vlastní hodnota 7.

Lze dokázat, že matice operátoru A v bázi skládající se z jeho vlastních vektorů je diagonální a má tvar:

,

kde l i jsou vlastní čísla této matice.

Platí to i obráceně: je-li matice A v nějaké bázi diagonální, pak všechny vektory této báze budou vlastními vektory této matice.

Lze také dokázat, že pokud má lineární operátor n párově odlišných vlastních čísel, pak jsou příslušné vlastní vektory lineárně nezávislé a matice tohoto operátoru v odpovídající bázi má diagonální tvar.

Ilustrujme si to na předchozím příkladu. Vezměme libovolné nenulové hodnoty c a c 1, ale takové, že vektory X (1) a X (2) jsou lineárně nezávislé, tzn. by tvořil základ. Nechť například c = c 1 = 3, pak X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Ověřme lineární nezávislost těchto vektorů:

12 ≠ 0. V tomto novém základu bude mít matice A tvar A * = .

Abychom to ověřili, použijeme vzorec A * = C -1 AC. Nejprve najdeme C -1.

C-1 = ;

Kvadratické tvary

Kvadratický tvar f(x 1, x 2, x n) z n proměnných se nazývá součet, jehož každý člen je buď druhou mocninou jedné z proměnných, nebo součinem dvou různých proměnných s určitým koeficientem: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Zavolá se matice A složená z těchto koeficientů matice kvadratická forma. To je vždy symetrický matice (tj. matice symetrická podle hlavní diagonály, a ij = a ji).

V maticovém zápisu je kvadratická forma f(X) = X T AX, kde

Vskutku

Zapišme například kvadratickou formu v maticovém tvaru.

K tomu najdeme matici kvadratického tvaru. Jeho diagonální prvky se rovnají koeficientům druhých mocnin proměnných a zbývající prvky se rovnají polovinám odpovídajících koeficientů kvadratické formy. Proto

Maticový sloupec proměnných X nechť získáme nedegenerovanou lineární transformací maticového sloupce Y, tzn. X = CY, kde C je nesingulární matice n-tého řádu. Pak kvadratická forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

Při nedegenerované lineární transformaci C tedy matice kvadratického tvaru nabývá tvaru: A * = CT AC.

Nalezněme například kvadratickou formu f(y 1, y 2), získanou z kvadratické formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineární transformací.

Kvadratická forma se nazývá kanonický(Má to kanonický pohled), jestliže všechny jeho koeficienty a ij = 0 pro i ≠ j, tzn.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Jeho matrice je diagonální.

Teorém(zde není uveden důkaz). Libovolná kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu pomocí nedegenerované lineární transformace.

Například zredukujme kvadratickou formu na kanonickou formu
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Chcete-li to provést, nejprve vyberte celý čtverec s proměnnou x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nyní vybereme úplný čtverec s proměnnou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineární transformace y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 a y 3 = x 3 přivede tuto kvadratickou formu do kanonické formy f(y 1, y 2 , y3) = 2y12 - 5y22 + (1/20)y32.

Všimněte si, že kanonická forma kvadratické formy je určena nejednoznačně (stejná kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu různými způsoby). Kanonické formy získané různými metodami však mají řadu společných vlastností. Zejména počet členů s kladnými (zápornými) koeficienty kvadratické formy nezávisí na způsobu redukce tvaru na tento tvar (např. v uvažovaném příkladu budou vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Tato vlastnost se nazývá zákon setrvačnosti kvadratických forem.

Ověřte si to tím, že převedeme stejnou kvadratickou formu do kanonické formy jiným způsobem. Začněme transformaci s proměnnou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y3 = x 1. Zde je záporný koeficient -3 pro y 1 a dva kladné koeficienty 3 a 2 pro y 2 a y 3 (a jinou metodou jsme dostali záporný koeficient (-5) pro y 2 a dva kladné: 2 pro y 1 a 1/20 v y 3).

Je třeba také poznamenat, že hodnost matice kvadratické formy, tzv hodnost kvadratické formy, je roven počtu nenulových koeficientů kanonické formy a při lineárních transformacích se nemění.

Nazývá se kvadratická forma f(X). pozitivně (negativní) určitý, je-li pro všechny hodnoty proměnných, které se současně nerovnají nule, kladné, tzn. f(X) > 0 (negativní, tj.
f(X)< 0).

Například kvadratická forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je kladně definitní, protože je součet čtverců a kvadratická forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporně definitní, protože představuje to může být reprezentováno jako f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Ve většině praktických situací je poněkud obtížnější stanovit určité znaménko kvadratické formy, proto k tomu použijeme jednu z následujících vět (formulujeme je bez důkazu).

Teorém. Kvadratická forma je kladně (záporná) definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechna vlastní čísla její matice kladná (záporná).

Teorém(Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je pozitivně definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechny vedoucí minority matice této formy kladné.

Hlavní (rohová) vedlejší Matice k-tého řádu A n-tého řádu se nazývá determinant matice, složený z prvních k řádků a sloupců matice A ().

Všimněte si, že u záporných určitých kvadratických forem se střídají znaménka hlavních minoritních skupin a minoritní skupina prvního řádu musí být záporná.

Prozkoumejme například kvadratickou formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pro určení znaménka.

= (2 - l)*
* (3 - 1) - 4 = (6 - 2 1 - 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 - 5 1 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Proto je kvadratická forma pozitivně definitní.

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavní moll 2. řádu D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Podle Sylvesterova kritéria je tedy kvadratická forma pozitivní definitivní.

Zkoumáme další kvadratickou formu na definitivnost znaménka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Sestrojme matici kvadratického tvaru A = . Charakteristická rovnice bude mít tvar = (-2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (6 + 21 + 31 + 1 2) - 4 = 12 + 51 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Proto je kvadratická forma negativně definitní.

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. V důsledku toho je podle Sylvesterova kritéria kvadratická forma negativně definitní (znaky hlavních vedlejších se střídají, počínaje mínusem).

A jako další příklad zkoumáme znaménkový kvadratický tvar f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Sestrojme matici kvadratického tvaru A = . Charakteristická rovnice bude mít tvar = (2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (-6 - 21 + 31 + 1 2) - 4 = 12 + 1 - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedno z těchto čísel je záporné a druhé kladné. Znaky vlastních hodnot jsou různé. V důsledku toho nemůže být kvadratická forma ani záporně, ani pozitivně definitní, tzn. tato kvadratická forma není znaménková (může nabývat hodnot jakéhokoli znaménka).

Metoda 2. Hlavní moll 1. řádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavní moll 2. řádu D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Definice 5.3. Nenulový vektor x v lineárním prostoru L se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru A: L → L, pokud pro nějaké reálné číslo A platí vztah Ax = λx. V tomto případě se volá číslo λ eigenvalue (vlastní hodnota) lineárního operátoru A.

Příklad 5.3. Lineární prostor K n [x] polynomů stupně ne vyššího než n obsahuje polynomy stupně nula, tzn. trvalé funkce. Protože dc/dx = 0 = 0 c, polynomy nultého stupně p(x) = c ≠ 0 jsou vlastní vektory operátoru lineární derivace a číslo λ = 0 je vlastní hodnotou tohoto operátoru. #

Zavolá se množina všech vlastních čísel lineárního operátoru spektrum lineárního operátoru . Každý vlastní vektor je spojen se svým vlastním číslem. Pokud totiž vektor x současně splňuje dvě rovnosti Ax = λx a Ax = μx, pak λx = μx, odkud (λ - μ)x = 0. Pokud λ - μ ≠ 0, vynásobte rovnost číslem (λ - μ ) -1 a ve výsledku dostaneme, že x = 0. To je ale v rozporu s definicí vlastního vektoru, protože vlastní vektor je vždy nenulový.

Každá vlastní hodnota má své vlastní vlastní vektory a je jich nekonečně mnoho. Pokud totiž x je vlastní vektor lineárního operátoru A s vlastní hodnotou λ, tzn. Ах = λx, pak pro libovolné nenulové reálné číslo α máme αx ≠ 0 a А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). To znamená, že vektor αx je také vlastním vektorem pro lineární operátor.

Poznámka 5.1.Často mluví o vlastní čísla (čísla), spektrum a vlastní vektory čtvercové matice . To znamená následující. Matice A řádu n je matice nějaký lineární operátor v pevném základ, působící v n-rozměrný lineární prostor. Když se například zastavíme u standardní základ v lineárním aritmetickém prostoru R n , pak matice A definuje lineární operátor A, mapující vektor x ∈ R n se sloupcem souřadnic x na vektor se sloupcem souřadnic Ax. Matice A je přesně matice A. Je přirozené identifikovat operátora s jeho maticí stejným způsobem, jako je aritmetický vektor identifikován se sloupcem jeho souřadnic. Tato často používaná a ne vždy specifikovaná identifikace umožňuje přenést „operátorské“ termíny do matic.

Spektrum lineárního operátoru úzce souvisí s jeho charakteristická rovnice.

Věta 5.3. Aby reálné číslo λ bylo vlastní hodnotou lineárního operátoru, je nutné a postačující, aby bylo kořenem charakteristické rovnice tohoto operátoru.

◄ Nezbytnost. Nechť číslo λ je vlastní hodnotou lineárního operátoru A: L → L. To znamená, že existuje vektor x ≠ 0, pro který

Ax = λx. (5.2)

Všimněte si, že v L je operátor identity I: Ix = x pro libovolný vektor x. Pomocí tohoto operátoru transformujeme rovnost (5.2): Ах = λIx, nebo

(A - λI)x = 0. (5,3)

Zapišme vektorovou rovnost (5.3) do nějaké báze b. Matice lineárního operátoru A - λI bude matice A - λE, kde A je matice lineárního operátoru A na bázi b a E je matice identity a nechť x je sloupec souřadnic vlastního vektoru x . Pak x ≠ 0 a vektorová rovnost (5.3) je ekvivalentní matici

(A - λE)x = 0, (5,4)

což je maticová forma zápisu homogenního systému lineárních algebraických rovnic (SLAE) se čtvercovou maticí A - λE řádu n. Tento systém má nenulové řešení, což je x-souřadnicový sloupec vlastního vektoru x. Proto má matice A - λE soustavy (5.4) nulový determinant, tzn. det(A - λE) = 0. To znamená, že λ je kořenem charakteristické rovnice lineárního operátoru A.

Přiměřenost. Je snadné vidět, že výše uvedené úvahy lze provést v opačném pořadí. Je-li λ kořenem charakteristické rovnice, pak v dané bázi b platí rovnost det (A - λE) = 0 V důsledku toho je matice homogenního SLAE (5.4), zapsaná v maticovém tvaru, degenerovaná a matice. systém má nenulové řešení x. Toto nenulové řešení je množinou souřadnic v bázi b nějakého nenulového vektoru x, pro který platí vektorová rovnost (5.3) nebo její ekvivalentní rovnost (5.2). Dojdeme k závěru, že číslo λ je vlastní hodnotou lineárního operátoru A.

Každé vlastní číslo λ matice (lineární operátor) je spojeno s jeho mnohost, čímž se rovná násobku kořene λ charakteristické rovnice této matice (tohoto lineárního operátoru).

Množina všech vlastních vektorů odpovídajících dané vlastní hodnotě lineárního operátoru není lineární podprostor, protože tato sada neobsahuje nulový vektor, což z definice nemůže být vlastní. Tato formální a snadno odstranitelná překážka je ale jediná. Označme £(A, λ) množinu všech vlastních vektorů lineárního operátoru A v lineárním prostoru L odpovídajícím vlastnímu číslu λ, přičemž k této množině se přidá nulový vektor.

Věta 5.4. Množina £(A,λ) je lineární podprostor v L.

◄ Zvolme dva libovolné vektory x,y ∈ £(A, λ) a dokažme, že pro každé reálné α a β vektor αх + βу patří také do £(A, λ). K tomu vypočítáme obraz tohoto vektoru působením lineárního operátoru A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Pro vektor z = αх + βу tedy platí vztah Az = λz. Jestliže z je nulový vektor, pak patří do £(A,λ). Pokud je nenulová, pak je podle dokázaného vztahu vlastní hodnotou s vlastním číslem λ a patří opět do množiny £(A, λ).

Někdy se nazývá lineární podprostor £(A,λ). vlastní podprostor lineárního operátoru *. Je to zvláštní případ invariantní podprostor lineární operátor A - lineární podprostor takový, že pro libovolný vektor x ∈ H vektor Ax patří také do H.

Invariantní podprostor lineárního operátoru je také lineárním rozsahem libovolného systému jeho vlastních vektorů. Invariantní podprostor lineárního operátoru nesouvisející s jeho vlastními vektory je obrázek operátora.

Nechť je lineární transformace n-rozměrného lineárního prostoru V. Nenulový vektor \boldsymbol(s) lineárního prostoru V splňující podmínku

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

volal vlastní vektor lineární transformace\mathcal(A) . Zavolá se číslo \lambda v rovnosti (9.5). transformace vlastní číslo\mathcal(A) . Říká se, že vlastní vektor odpovídá (patří k) vlastní hodnotě \lambda . Pokud je prostor V reálné (komplexní), pak vlastní hodnota \lambda je reálné (komplexní) číslo.

Množina všech vlastních čísel lineární transformace se nazývá její spektrum.

Vysvětleme geometrický význam vlastních vektorů. Nenulový vektor s je vlastním vektorem transformace \mathcal(A), pokud je jeho obrazem \mathcal(A) (\boldsymbol(s)) je kolineární k inverznímu obrazu \boldsymbol(s) . Jinými slovy, jestliže \boldsymbol(s) je eigenvector, pak transformace \mathcal(A) má jednorozměrný invariantní podprostor. Platí i opačné tvrzení.

Opravdu, nechť vlastní vektor \boldsymbol(s) odpovídá nějaké vlastní hodnotě \lambda . Libovolný vektor \boldsymbol(v) z \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) vypadá jako \boldsymbol(v)=\alpha \boldsymbol(s), kde \alpha je libovolné číslo z daného pole. Pojďme najít obrázek tohoto vektoru

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

Proto, \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) pro jakýkoli vektor \boldsymbol(v)\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)), tj. podprostor \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) invariantní pod transformací \mathcal(A) . Dimenze podprostoru \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)) se rovná jedné, protože \boldsymbol(y)\ne \boldsymbol(o) a-priorita.

Opačné tvrzení lze dokázat úvahou v opačném pořadí.

Vztah mezi vlastními vektory lineární transformace (operátor) a její maticí

Dříve byly uvažovány vlastní vektory a vlastní hodnoty matice. Připomeňme, že vlastním vektorem čtvercové matice A n-tého řádu je nenulový číselný sloupec s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T, vyhovující podmínka (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Číslo \lambda v (9.6) se nazývá vlastní hodnota matice A. Věřilo se, že vlastní hodnota \lambda a čísla s_i~(i=1,\ldots,n) patří do oboru komplexních čísel.

Tyto pojmy souvisejí s vlastními vektory a vlastními hodnotami lineární transformace.

Věta 9.3 o vlastních vektorech lineární transformace a její matici. Nechat \mathcal(A)\dvojtečka V\to V je lineární transformace n-rozměrného lineárního prostoru V se základem. Potom vlastní hodnota \lambda a souřadnicový sloupec (s) vlastního vektoru \boldsymbol(s) transformace \mathcal(A) jsou vlastní hodnotou a vlastním vektorem matice A této transformace definované vzhledem k základu. \boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n, tj.

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, Kde \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

Opačné tvrzení je pravdivé za dalších podmínek: pokud sloupec s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T a číslo \lambda jsou vlastní vektor a vlastní hodnota matice A a čísla s_1,\ldots,s_n,\lambda patří do stejného číselného pole, nad kterým je definován lineární prostor V, pak vektor \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_n a číslo \lambda jsou vlastní vektor a vlastní hodnota lineární transformace \mathcal(A)\dvojtečka V\to V s maticí A v základu \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n.

Ve skutečnosti má podmínka (9.5) v souřadnicovém tvaru tvar (9.6), který se shoduje s definicí (7.13) vlastního vektoru matice. Naopak rovnost (9.6) implikuje rovnost (9.5) za předpokladu, že vektory a \lambda\cdot \boldsymbol(s) definované, tzn. čísla s_1,\ldots,s_n,\lambda patří do stejného číselného pole, nad kterým je definován lineární prostor.

Připomeňme, že nalezení vlastních hodnot matice se redukuje na řešení její charakteristické rovnice \Delta_A(\lambda)=0, Kde \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) je charakteristický polynom matice A. Pro lineární transformaci zavádíme podobné koncepty.

Charakteristický polynom lineární transformace \mathcal(A)\dvojtečka V\to V N-rozměrný lineární prostor je charakteristickým polynomem matice A této transformace, nalezený s ohledem na jakoukoli bázi prostoru V.

Rovnice se nazývá charakteristická rovnice lineární transformace.

Konverze \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E) nazývaná charakteristika lineární transformace \mathcal(A)\dvojtečka V\to V.

Poznámky 9.4

1. Charakteristický polynom lineární transformace nezávisí na bázi, ve které se nachází transformační matice.

Ve skutečnosti matrice \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e))) A \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f))) lineární transformace \mathcal(A) v bázích (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n) A (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n) jsou podle (9.4) podobné: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, kde S je matice přechodu od základu (\boldsymbol(e)) k základu (\boldsymbol(f)). Jak bylo ukázáno dříve, charakteristické polynomy takových matic se shodují (viz vlastnost 3). Proto pro charakteristický polynom transformace \mathcal(A) můžeme použít zápis \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), bez uvedení matice této transformace.

2. Z věty 9.3 vyplývá, že libovolný komplexní (reálný, racionální) kořen charakteristické rovnice je vlastní hodnotou lineární transformace. \mathcal(A)\dvojtečka V\to V lineární prostor V definovaný nad oborem komplexních (reálných, racionálních) čísel.

3. Z věty 9.3 vyplývá, že každá lineární transformace komplexního lineárního prostoru má jednorozměrný invariantní podprostor, protože tato transformace má vlastní hodnotu (viz bod 2), a tedy vlastní vektory. Takovým podprostorem je například lineární rozpětí libovolného vlastního vektoru. Transformace reálného lineárního prostoru nemusí mít jednorozměrné invariantní podprostory, pokud jsou všechny kořeny charakteristické rovnice komplexní (ale ne reálné).

Věta 9.4 o invariantních podprostorech lineárního operátoru v reálném prostoru. Každá lineární transformace reálného lineárního prostoru má jednorozměrný nebo dvourozměrný invariantní podprostor.

Sestavme skutečně lineární transformační matici A \mathcal(A)\dvojtečka V\to V n-rozměrný reálný lineární prostor V na libovolné bázi \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n. Prvky této matice jsou reálná čísla. Proto charakteristický polynom \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E) je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Podle důsledků 3 a 4 základní věty algebry může mít takový polynom skutečné kořeny a dvojice komplexně sdružených kořenů.

Jestliže \lambda=\lambda_1 je skutečný kořen charakteristické rovnice, pak odpovídající vlastní vektor s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T matice A je také reálná. Proto definuje vlastní vektor \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n lineární transformace (viz věta 9.3). V tomto případě existuje jednorozměrný podprostorový invariant pod \mathcal(A) \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s))(viz geometrický význam vlastních vektorů).

Li \lambda=\alpha\pm\beta i je dvojice komplexně konjugovaných kořenů (\beta\ne0), pak vlastní vektor s\ne o matice A má také komplexní prvky: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. Může být reprezentován jako s=x+yi , kde x,\,y jsou skutečné sloupce. Rovnost (9.6) pak bude mít tvar

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Izolováním skutečné a imaginární části získáme systém

\begin(cases)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(cases)

Ukažme, že sloupce (x) a (y) jsou lineárně nezávislé. Uvažujme dva případy. Pokud x=o, pak z první rovnice (9.7) vyplývá, že y=o, protože \beta\ne0. Potom s=o, což odporuje podmínce s\ne o. Předpokládejme, že x\ne o a sloupce x a y jsou proporcionální, tzn. existuje reálné číslo \gamma takové, že y=\gamma x . Pak ze systému (9.7) získáme \begin(cases)Axe=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end(cases) Přidáním první rovnice vynásobené (-\gamma) ke druhé rovnici dospějeme k rovnosti [(\beta+\alfa\gama)-\gama(\alfa-\beta\gamma)]x=o. Protože x\ne o je výraz v hranatých závorkách roven nule, tzn. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. Protože \beta\ne0 , pak \gamma^2=-1 . To se nemůže stát, protože \gamma je reálné číslo. Máme rozpor. Sloupce x a y jsou tedy lineárně nezávislé.

Zvažte podprostor kde \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. Tento podprostor je dvourozměrný, protože vektory \boldsymbol(x),\boldsymbol(y) jsou lineárně nezávislé (jak je uvedeno výše, jejich sloupce souřadnic x,y jsou lineárně nezávislé). Z (9.7) vyplývá, že \begin(cases)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ beta \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(cases) těch. obrázek libovolného vektoru, ke kterému patří \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), také patří \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). Proto, \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)) je dvourozměrný podprostorový invariant pod transformací \mathcal(A) , což je to, co jsme potřebovali dokázat.

Hledání vlastních vektorů a hodnot lineárního operátoru (transformace)

Najít vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace \mathcal(A)\dvojtečka V\to V reálném lineárním prostoru V, je třeba provést následující kroky.

1. Vyberte si libovolný základ \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n lineární prostor V a na tomto základě najděte transformační matici A \mathcal(A).

2. Sestavte charakteristický polynom transformace \mathcal(A)\dvojtečka\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. Najděte všechny různé skutečné kořeny \lambda_1,\ldots,\lambda_k charakteristická rovnice \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. Komplexní (ale ne skutečné) kořeny charakteristické rovnice by měly být vyřazeny (viz odstavec 2 poznámek 9.4).

4. Pro kořen \lambda=\lambda_1 najděte základní systém \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)řešení homogenní soustavy rovnic (A-\lambda_1E)x=o , kde r=\název operátora(rg)(A-\lambda_1E). K tomu můžete použít buď algoritmus pro řešení homogenního systému, nebo některou z metod pro nalezení fundamentální matice.

5. Napište lineárně nezávislé vlastní vektory transformace \mathcal(A) odpovídající vlastní hodnotě \lambda_1:

\begin(matice) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \end(matice)

Chcete-li najít množinu všech vlastních vektorů odpovídajících vlastní hodnotě \lambda_1, vytvořte nenulové lineární kombinace

\boldsymbol(s)= C_1 \boldsymbol(s)_1+C_2 \boldsymbol(s)_2+\ldots+ C_(n-r)\boldsymbol(s)_(n-r),

Kde C_1,C_2,\ldots,C_(n-r)- libovolné konstanty, které se zároveň nerovnají nule.

Opakujte kroky 4, 5 pro zbývající vlastní čísla \lambda_2,\ldots,\lambda_k lineární transformace \mathcal(A) .

Chcete-li najít vlastní vektory lineární transformace komplexního lineárního prostoru, musíte v kroku 3 určit všechny kořeny charakteristické rovnice a bez vyřazení komplexních kořenů pro ně provést kroky 4 a 5.

Příklady vlastních vektorů lineárních operátorů (transformací)

1. Pro nulovou konverzi \mathcal(O)\dvojtečka V\to V jakýkoli nenulový vektor je vlastní vektor odpovídající nulové vlastní hodnotě \lambda=0 , protože \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

2. Pro transformaci identity \mathcal(E)\dvojtečka V\to V libovolný nenulový vektor \boldsymbol(y)\v V je vlastní hodnota odpovídající vlastní hodnotě identity \lambda=1 , protože \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

3. Pro středovou symetrii \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\dvojtečka V\to V libovolný nenulový vektor \boldsymbol(y)\v V \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. Pro stejnost \mathcal(H)_(\lambda)\dvojtečka V\to V libovolný nenulový vektor \boldsymbol(y)\v V je vlastní hodnota odpovídající vlastní hodnotě \lambda (koeficient stejnoměrnosti), protože \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s)))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. Otočit \mathcal(R)_(\varphi)\dvojtečka V_2\to V_2 rovina (v ) nejsou tam žádné vlastní vektory, protože když se otočí o úhel, který není násobkem \pi, obraz každého nenulového vektoru je nekolineární k inverznímu obrazu. Zde uvažujeme rotaci skutečné roviny, tzn. dvourozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel.

6. Pro operátora diferenciace \mathcal(D)\dvojtečka P_n(\mathbb(R))\to P_n(\mathbb(R)) jakýkoli nenulový polynom stupně nula (ne identicky nula) je vlastním vektorem odpovídajícím nulové vlastní hodnotě \lambda=0 , protože \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). Žádný polynom nenulového stupně není vlastním vektorem, protože polynom není úměrný své derivaci: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x), protože mají různé stupně.

7. Zvažte operátora \Pi_(L_1)\dvojtečka V\to V projekce do podprostoru L_1 rovnoběžně s podprostorem L_2. Zde V=L_1\oplus L_2, \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1 Pro \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1 a jakýkoli nenulový vektor je vlastním vektorem odpovídajícím vlastní hodnotě \lambda=0 , protože \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2) je to možné buď na nebo na .

8. Zvažte operátora \mathcal(Z)_(L_1)\dvojtečka V\to V odrazy do podprostoru L_1 rovnoběžné s podprostorem L_2. Zde V=L_1\oplus L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, Pro \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\in L_1,~ \boldsymbol(v)_2\in L_2. Pro tento operátor libovolný nenulový vektor \boldsymbol(v)_1\v L_1 je vlastní hodnota odpovídající vlastní hodnotě \lambda=1 protože \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1 a libovolný nenulový vektor \boldsymbol(v)_2\v L_2 je vlastní hodnota odpovídající vlastní hodnotě \lambda=-1 protože \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. Ostatní vektory nejsou vlastními vektory, protože je rovnost \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v )_2) možné buď s \boldsymbol(v)_1=\boldsymbol(o), nebo na \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. V prostoru V_3 poloměrových vektorů prostoru, vynesených z pevného bodu O, uvažujte otočení o úhel \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), kolem osy \ell definované vektorem poloměru \vec(\ell) . Jakýkoli nenulový vektor kolineární k vektoru \vec(\ell) je vlastní hodnotou odpovídající vlastní hodnotě \lambda=1 . Tato transformace nemá žádné další vlastní vektory.

Příklad 9.1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory derivačního operátoru \mathcal(D)\dvojtečka T_1\to T_1, transformující prostor trigonometrických polynomů (frekvence \omega=1):

a) s reálnými koeficienty T_1=T_1(\mathbb(R))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t));

b) s komplexními koeficienty T_1=T_1(\mathbb(C))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

Řešení. 1. Zvolme standardní základ e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t) a na tomto základě skládáme matici D operátoru \mathcal(D):

D=\začátek(pmatice)0&-1\\ 1&0 \konec(pmatice)\!.

2. Sestavme charakteristický polynom transformace \mathcal(D)\colon\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ 1..

3. Charakteristická rovnice \lambda^2+1=0 má komplexně sdružené kořeny \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. Neexistují žádné skutečné kořeny, proto transformace \mathcal(D) reálného prostoru T_1(\mathbb(R)) (případ (a)) nemá žádné vlastní hodnoty, a proto žádné vlastní vektory. Transformace \mathcal(D) komplexního prostoru T_1(\mathbb(C)) (případ (b)) má komplexní vlastní čísla \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). Pro kořen \lambda_1=i najdeme základní systém \varphi_1 řešení homogenního systému rovnic (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

Zredukujeme matici systému na postupný tvar vynásobením první rovnice (i) a jejím odečtením od druhé rovnice:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\end(pmatrix)\!.

Základní proměnnou x_1 vyjádříme pomocí volné proměnné: x_1=ix_2. Za předpokladu x_2=1 dostaneme x_1=i, tzn. \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5(1). Zapíšeme vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Množina všech vlastních vektorů odpovídajících vlastní hodnotě \lambda_1=i tvoří nenulové funkce úměrné s_1(t) .

4(2). Pro kořen \lambda_2=-i podobně najdeme základní systém (skládající se z jednoho vektoru) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^Třešení homogenní soustavy rovnic (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5(2). Zapíšeme vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Množina všech vlastních vektorů odpovídajících vlastní hodnotě \lambda_2=-i tvoří nenulové funkce úměrné s_2(t) .

Viz také Vlastnosti vlastních vektorů lineárních operátorů (transformací) Javascript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Chcete-li provádět výpočty, musíte povolit ovládací prvky ActiveX!

Diagonální matice mají nejjednodušší strukturu. Nabízí se otázka, zda je možné najít základ, ve kterém by matice lineárního operátoru měla diagonální tvar. Takový základ existuje.
Nechť je nám dán lineární prostor R n a v něm působící lineární operátor A; v tomto případě operátor A vezme R n do sebe, tedy A:R n → R n .

Definice. Nenulový vektor se nazývá vlastní vektor operátoru A, pokud se operátor A převede na kolineární vektor, tzn. Číslo λ se nazývá vlastní hodnota nebo vlastní hodnota operátoru A, odpovídající vlastnímu vektoru.
Všimněme si některých vlastností vlastních čísel a vlastních vektorů.
1. Libovolná lineární kombinace vlastních vektorů operátor A odpovídající stejnému vlastnímu číslu λ je vlastní vektor se stejným vlastním číslem.
2. Vlastní vektory operátor A s párově odlišnými vlastními hodnotami λ 1 , λ 2 , …, λ m jsou lineárně nezávislé.
3. Jestliže vlastní čísla λ 1 =λ 2 = λ m = λ, pak vlastní číslo λ odpovídá nejvýše m lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Pokud tedy existuje n lineárně nezávislých vlastních vektorů , odpovídající různým vlastním číslům λ 1, λ 2, ..., λ n, pak jsou lineárně nezávislé, proto je lze brát jako základ prostoru R n. Nalezněme tvar matice lineárního operátoru A na základě jeho vlastních vektorů, pro které budeme s operátorem A jednat na vektorech báze: Pak .
Matice lineárního operátoru A má tedy na základě svých vlastních vektorů diagonální tvar a vlastní hodnoty operátoru A jsou podél úhlopříčky.
Existuje jiný základ, ve kterém má matice diagonální tvar? Odpověď na tuto otázku dává následující věta.

Teorém. Matice lineárního operátoru A v bázi (i = 1..n) má diagonální tvar právě tehdy, když všechny vektory báze jsou vlastními vektory operátoru A.

Pravidlo pro hledání vlastních čísel a vlastních vektorů

Nechť je dán vektor , kde x 1, x 2, …, x n jsou souřadnice vektoru vzhledem k bázi a je vlastním vektorem lineárního operátoru A odpovídajícím vlastnímu číslu λ, tzn. Tento vztah lze zapsat v maticové formě

. (*)

Rovnici (*) lze považovat za rovnici pro hledání , a , to znamená, že nás zajímají netriviální řešení, protože vlastní vektor nemůže být nula. Je známo, že netriviální řešení homogenní soustavy lineárních rovnic existují právě tehdy, když det(A - λE) = 0. Aby tedy λ bylo vlastní hodnotou operátoru A, je nutné a postačující, aby det(A - λE ) = 0.
Pokud je rovnice (*) napsána podrobně v souřadnicovém tvaru, získáme soustavu lineárních homogenních rovnic:

(1)
Kde - lineární operátorová matice.

Soustava (1) má nenulové řešení, pokud je její determinant D roven nule

Dostali jsme rovnici pro hledání vlastních čísel.
Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice a její levá strana se nazývá charakteristický polynom matice (operátor) A. Nemá-li charakteristický polynom žádné reálné kořeny, pak matice A nemá žádné vlastní vektory a nelze ji redukovat na diagonální tvar.
Nechť λ 1, λ 2, …, λ n jsou skutečné kořeny charakteristické rovnice a mezi nimi mohou být násobky. Dosazením těchto hodnot do systému (1) najdeme vlastní vektory.

Příklad 12. Lineární operátor A působí v R 3 podle zákona, kde x 1, x 2, .., x n jsou souřadnice vektoru v zákl. , , . Najděte vlastní čísla a vlastní vektory tohoto operátoru.
Řešení. Sestavíme matici tohoto operátoru:
.
Vytváříme systém pro určování souřadnic vlastních vektorů:

Sestavíme charakteristickou rovnici a vyřešíme ji:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Dosazením λ = -1 do systému máme:
nebo
Protože , pak jsou dvě závislé proměnné a jedna volná proměnná.
Nechť x 1 je tedy volná neznámá Tuto soustavu vyřešíme libovolným způsobem a najdeme obecné řešení této soustavy: Základní soustava řešení se skládá z jednoho řešení, protože n - r = 3 - 2 = 1.
Množina vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu λ = -1 má tvar: , kde x 1 je libovolné číslo jiné než nula. Vyberme jeden vektor z této množiny, například dosadíme x 1 = 1: .
Podobně zjistíme, že vlastní vektor odpovídá vlastnímu číslu λ = 3: .
V prostoru R 3 se báze skládá ze tří lineárně nezávislých vektorů, ale dostali jsme pouze dva lineárně nezávislé vlastní vektory, ze kterých nelze bázi v R 3 poskládat. V důsledku toho nemůžeme matici A lineárního operátoru redukovat na diagonální tvar.

Příklad 13. Daná matrice .
1. Dokažte, že vektor je vlastním vektorem matice A. Najděte vlastní hodnotu odpovídající tomuto vlastnímu vektoru.
2. Najděte základ, ve kterém má matice A diagonální tvar.
Řešení.
1. Jestliže , pak je vlastní vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je vlastní vektor. Vlastní číslo λ = -1.
Matice má diagonální tvar na bázi skládající se z vlastních vektorů. Jeden z nich je slavný. Pojďme najít zbytek.
Hledáme vlastní vektory ze systému:

Charakteristická rovnice: ;
(3 + A)[-2(2-A)(2+A)+3] = 0; (3+A)(A2-1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Pojďme najít vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ = -3:

Hodnost matice této soustavy je dvě a rovná se počtu neznámých, takže tato soustava má pouze nulové řešení x 1 = x 3 = 0. x 2 zde může být cokoliv jiného než nula, například x 2 = 1. Vektor (0 ,1,0) je tedy vlastní vektor odpovídající λ = -3. Pojďme zkontrolovat:
.
Je-li λ = 1, získáme soustavu
Hodnost matice je dvě. Poslední rovnici škrtneme.
Nechť x 3 je volná neznámá. Potom x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Za předpokladu x 3 = 1 máme (-3,-9,1) - vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ = 1. Zkontrolujte:

.
Protože jsou vlastní čísla skutečná a odlišná, vektory jim odpovídající jsou lineárně nezávislé, takže je lze vzít jako základ v R 3 . Tedy v zákl , , matice A má tvar:
.
Ne každou matici lineárního operátoru A:R n → R n lze redukovat na diagonální formu, protože pro některé lineární operátory může být méně než n lineárních nezávislých vlastních vektorů. Pokud je však matice symetrická, pak kořen charakteristické rovnice násobnosti m odpovídá přesně m lineárně nezávislým vektorům.

Definice. Symetrická matice je čtvercová matice, ve které jsou prvky symetrické kolem hlavní diagonály stejné, tj.
Poznámky. 1. Všechny vlastní hodnoty symetrické matice jsou reálné.
2. Vlastní vektory symetrické matice odpovídající párově různým vlastním číslům jsou ortogonální.
Jako jednu z mnoha aplikací studovaného aparátu považujeme problém určení typu křivky druhého řádu.

Nejjednodušší lineární operátor je násobení vektoru číslem \(\lambda\). Tento operátor jednoduše roztáhne všechny vektory o \(\lambda \) krát. Jeho maticový tvar v libovolné bázi je \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Pro jednoznačnost fixujeme základ \(\(e\)\) ve vektorovém prostoru \(\mathit(L)\) a uvažujeme lineární operátor s diagonální maticovou formou v tomto základu, \(\alpha = diag( \lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Tento operátor se podle definice maticového tvaru protahuje \(e_k\) o \(\lambda _k\) krát, tzn. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) pro všechny \(k=1,2,...,n\). Je vhodné pracovat s diagonálními maticemi, je pro ně jednoduché sestrojit funkcionální počet: pro libovolnou funkci \(f(x)\) můžeme vložit \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,..., \lambda _n))= diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Nabízí se tedy přirozená otázka: budiž lineární operátor \(A\), je možné ve vektorovém prostoru zvolit takovou bázi, aby maticový tvar operátoru \(A\) byl v této bázi diagonální? Tato otázka vede k definici vlastních hodnot a vlastních vektorů.

Definice. Nechť pro lineární operátor \(A\) existuje nenulový vektor \(u\) a číslo \(\lambda \) takové, že \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Potom se zavolá vektor \(u\). vlastní vektor operátor \(A\) a číslo \(\lambda \) - odpovídající vlastní hodnota operátor \(A\). Množina všech vlastních čísel se nazývá spektrum lineárního operátoru \(A\).

Vzniká přirozený problém: najděte pro daný lineární operátor jeho vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory. Tento problém se nazývá spektrální problém lineárního operátoru.

Rovnice vlastních čísel

Pro definitivnost fixujeme bázi ve vektorovém prostoru, tzn. Budeme předpokládat, že je dáno jednou provždy. Potom, jak bylo diskutováno výše, lze úvahy o lineárních operátorech zredukovat na úvahy o maticích – maticových formách lineárních operátorů. Rovnici (59) přepíšeme ve tvaru \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Zde \(E\) je matice identity a \(\alpha\) je maticová forma našeho lineárního operátoru \(A\). Tento vztah lze interpretovat jako systém \(n\) lineárních rovnic pro \(n\) neznámých - souřadnice vektoru \(u\). Navíc se jedná o homogenní soustavu rovnic a měli bychom ji najít netriviálnířešení. Dříve byla pro existenci takového řešení dána podmínka - k tomu je nutné a postačující, aby hodnost systému byla menší než počet neznámých. To implikuje rovnici pro vlastní čísla: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Definice. Zavolá se rovnice (60). charakteristická rovnice pro lineární operátor \(A\).

Popišme vlastnosti této rovnice a její řešení. Pokud to napíšeme explicitně, dostaneme rovnici ve tvaru \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] Na levé straně je polynom v proměnné \(\lambda \). Takové rovnice se nazývají algebraické stupně \(n\). Dovolte nám poskytnout potřebné informace o těchto rovnicích.

Nápověda k algebraickým rovnicím.

Teorém. Nechť všechna vlastní čísla lineárního operátoru \(A\) jsou prvočísla. Potom sada vlastních vektorů odpovídajících těmto vlastním číslům tvoří základ vektorového prostoru.

Z podmínek věty vyplývá, že všechna vlastní čísla operátoru \(A\) jsou různá. Předpokládejme, že množina vlastních vektorů je lineárně závislá, takže existují konstanty \(c_1,c_2,...,c_n\), z nichž všechny nejsou nulové, splňující podmínku: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Mezi těmito vzorci uvažujme jeden, který obsahuje minimální počet členů, a pracujme na něm s operátorem \(A\). Díky jeho linearitě získáme: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Nechť, pro jistotu, \(c_1 \neq 0\). Vynásobením (62) \(\lambda _1\) a odečtením od (63) získáme vztah ve tvaru (62), který však obsahuje o jeden člen méně. Rozpor potvrzuje teorém.

Takže za podmínek věty se objeví báze spojená s daným lineárním operátorem - báze jeho vlastních vektorů. Uvažujme v takovém základu maticový tvar operátoru. Jak bylo uvedeno výše, \(k\)-tý sloupec této matice je rozkladem vektoru \(Au_k\) vzhledem k bázi. Nicméně z definice je \(Au_k=\lambda _ku_k\), takže toto rozšíření (to, co je napsáno na pravé straně) obsahuje pouze jeden člen a sestrojená matice se ukáže jako diagonální. V důsledku toho zjistíme, že za podmínek věty je maticový tvar operátoru na základě jeho vlastních vektorů roven \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\ ). Pokud je tedy nutné vyvinout funkční počet pro lineární operátor, je rozumné pracovat na základě jeho vlastních vektorů.

Pokud jsou mezi vlastními hodnotami lineárního operátoru násobky, popis situace se komplikuje a může zahrnovat takzvané Jordanovy buňky. Odkazujeme čtenáře na pokročilejší návody pro relevantní situace.