Podél homogenního pevného válce hmoty. Velká encyklopedie ropy a plynu. Trofimová. Kurz fyziky. Problémy a řešení

Strana 1

Homogenní pevný válec o poloměru r a hmotnosti m se může volně otáčet kolem pevné osy AB.  

Homogenní pevný válec o hmotnosti m1 se může otáčet bez tření kolem pevné osy O.  

Homogenní plný válec o poloměru r se může válet, aniž by sklouznul uvnitř dutého pevného válce o poloměru R.  

Homogenní pevný válec o poloměru r a hmotnosti m se může volně otáčet kolem pevné osy AB.  

Homogenní pevný válec o hmotnosti M se může otáčet bez tření kolem pevné osy O. Přes válec je vrženo lanko, jehož jeden konec nese zatížení A o hmotnosti m a druhý je připevněn k pružině o tuhosti c. Za předpokladu, že kabel neklouže po válci, určete periodu malých vertikálních oscilací systému.  

Homogenním plným válcem o poloměru R a hmotnosti m je prohozen lehký závit. V ose válce nedochází k prokluzování nebo tření závitu.  

Lano je navinuto kolem homogenního pevného válce, který se může otáčet kolem svislé osy AB, a přehozeno přes ideální blok C.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti 200 kg a poloměru r - 0 2 m - je posouván dopravníkem. Nosník dopravníku je vodorovný, jeho konstantní rychlost v - 06 m/s; Na kladkách 1 a 2 nedochází k prokluzování řemene. V určitém okamžiku se pohyb dopravníku náhle zastaví.  

Náklad, homogenní plný válec o hmotnosti 200 kg a poloměru r 0 2 m, je posouván dopravníkem. Dopravní pás je vodorovný, jeho konstantní rychlost je 0 6 m/s; Na kladkách 1 a 2 nedochází k prokluzování řemene. V určitém okamžiku se pohyb dopravníku náhle zastaví.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti 500 kg a poloměru / - 0 5 m leží na pohyblivé plošině a je bráněn proti možnému pohybu po plošině zarážkami - schůdky.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti 200 kg a poloměru r 0 2 m - je posouván dopravníkem. Dopravní pás je vodorovný, jeho konstantní rychlost je v 0 6 m/s; Na kladkách 1 a 2 nedochází k prokluzování řemene. V určitém okamžiku se pohyb dopravníku náhle zastaví.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti t - 500 kg a poloměru r 0 5 m - leží na pohyblivé plošině a proti případnému pohybu po plošině je bráněn zarážkami - schůdky.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti 500 kg a poloměru 0 5 m - leží na pohyblivé plošině a před možným pohybem po plošině je bráněn zarážkami - schůdky.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti m - 200 kg a poloměru r 0 2 m - je posouván dopravníkem. Dopravníkový pás je vodorovný, jeho konstantní rychlost je v 0 6 m/s; Na kladkách 1 a 2 nedochází k prokluzování řemene. V určitém okamžiku se pohyb dopravníku náhle zastaví.  

Náklad - homogenní plný válec o hmotnosti m 500 kg a poloměru r 0 5 m - leží na pohyblivé plošině a proti případnému pohybu po plošině je bráněn zarážkami - schůdky.  

Úkoly

Podle kinematiky tuhého tělesa

13.1 . Pevný se otáčí kolem pevné osy podle zákona φ = Аt –Вt 3, kde A = 6 rad/s, B = 2 rad/s 3. Najděte a) průměrné hodnoty úhlové rychlosti a úhlového zrychlení před zastavením tělesa, b) úhlové zrychlení v okamžiku zastavení tělesa.

(Odpověď: a)<Ω>=2A/3=4 rad/s,<ε>=-(3АВ) 1/2 =-6 rad/s 2, b) ε=-2(3АВ) 1/2 =-12 rad/s 2).

13.2. Tuhé těleso se otáčí kolem pevné osy a zpomaluje se s úhlovým zrychlením ε ~ Ω 1/2. Najděte průměrnou hodnotu úhlové rychlosti před zastavením tělesa, jestliže v počátečním okamžiku Ω=Ω o . (Odpovědět:<Ω>=Ω o /3).

13.3. Disk o poloměru R se valí konstantní rychlostí v c po vodorovné rovině, aniž by sklouzl. Nakreslete pole rychlosti na disk tento momentčas. Diskutujte o dosaženém výsledku.

13.4. Najděte zákon pohybu bodu B disku (obr.), za předpokladu, že v okamžiku t = 0 je na začátku souřadnicový systém. Jaká je trajektorie bodu? Jakou dráhu urazí bod mezi dvěma kontakty s povrchem?

(Odpověď: x =R(Ωt-sinΩt), y=R(1-cosΩt), kde Ω=vc /R. Trajektorie je cykloida, 8R)

Výpočtem momentů setrvačnosti těles.

13.5. Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a) jednotné tyče délky a hmotnosti, b) tenké homogenní desky velikosti a hmotnosti.

(Odpověď: a))

13.6. Vypočítejte momenty setrvačnosti kolem os symetrie a) tenkého drátěného prstence, b) homogenního kotouče, c) homogenního plného kužele.

Poloměry prstence, disku a základny kužele jsou rovné R, hmotnosti jsou rovné .

(Odpověď: a) b) c))

13.7. Homogenní kotouč o poloměru R má kruhový výřez (obr.). Najděte moment setrvačnosti takového disku vzhledem ke kolmé ose procházející: a) bodem O; b) středem setrvačnosti. Hmotnost kotouče s výřezem - .

(Odpovědět:).

13.8. Najděte hlavní moment setrvačnosti homogenní pevné koule o poloměru R a hmotnosti.

(Odpovědět:).

13.9. Najděte hlavní momenty setrvačnosti pevného válce délky, poloměru R a hmotnosti.

(Odpovědět:).

O dynamice tuhého těla

13.10. Kolem homogenního plného válce o hmotnosti M a poloměru R je navinuta lehká nit, na jejímž konci je připevněno hmotnostní zatížení. Válec se může volně otáčet kolem pevné vodorovné osy. Najděte časovou závislost úhlové rychlosti válce a kinetické energie soustavy.

(Odpovědět:).

13.11. Homogenní válec o poloměru R byl otočen kolem své osy na úhlovou rychlost Ω 0 a umístěn do rohu (obr.). Kolik otáček udělá válec, než se zastaví, je-li koeficient tření se stěnami μ? (Odpověď: n=(1+μ 2)Ω 0 2 R/8πμ(1+μ)g).

13.12. Homogenní podložka o poloměru R byla otočena kolem své osy na úhlovou rychlost Ω 0 a umístěna na vodorovnou plochu. Jak dlouho bude trvat, než se podložka zastaví, pokud je koeficient tření μ? (Odpověď: t = 3Ω 0 R/4μg).

13.13. Vertikálně umístěná stejnoměrná tyč o hmotnosti M a délce L se může otáčet kolem svého horního konce. Vodorovně letící střela o hmotnosti m zasáhla spodní konec tyče a zasekla se, což způsobilo vychýlení tyče pod úhlem α. Počítání m<

13.14. Pevný homogenní válec o hmotnosti m a poloměru R byl rotován kolem své osy úhlovou rychlostí Ω 0 a poté umístěn na vodorovnou rovinu. Najděte: a) dobu, po kterou bude pohyb klouzavý; b) práce kluzné třecí síly. Koeficient tření je μ.

(Odpověď: a) t=Ωo R/3μg; b) A=-mQo2R2/6).

13.15. Vyřešte předchozí úlohu s jinou počáteční podmínkou, kdy v počátečním okamžiku je válec dán translační pohyb rychlostí v 0c.

(Odpověď: a) t = v 0 /3μg; b) A=-mv 02/6).

13.16. Pevný homogenní válec o poloměru R se bez klouzání valí po vodorovné rovině, která přechází v nakloněnou rovinu svírající s horizontem úhel α (nakloněná). Najděte maximální rychlost válce, při které dojde k přechodu do nakloněné roviny bez skoku. (Odpověď: vm2=gR(7cosa-4)/3).

13.17. Cívka závitů o hmotnosti m a momentu setrvačnosti I=kmR 2 leží na vodorovné rovině, kde k je číselný koeficient (poloměr setrvačnosti), R je vnější poloměr cívky. Poloměr navinuté vrstvy nitě je roven r. Cívka začala být tažena nití bez prokluzování konstantní silou F směřující pod úhlem α k horizontále. Najděte zrychlení osy cívky a práci vykonanou silou F během prvních t sekund pohybu.

(Odpověď: a=F(cosa-r/R)/m(l+k); A= F2t2(cosa-r/R)2/2m(l+k)).

13.18. Homogenní koule o poloměru R a hmotnosti m je umístěna na nakloněné rovině s úhlem sklonu α. Při jakých hodnotách α se bude koule kutálet, aniž by sklouzla? Jaká je třecí síla spojky?

(Odpověď: tgα< μ(1+mR 2 /I с); F сц = mgsinα/(1+mR 2 /I с); где I с =2mR 2 /5)

13.19. Určete zrychlení, se kterým se válcový sud o hmotnosti M, zcela naplněný kapalinou o hmotnosti m, odvaluje, aniž by sklouzl z nakloněné roviny svírající s horizontem úhel α. Tření mezi kapalinou a stěnami sudu zanedbejte.

(Odpověď: a=(M+m)gsin a /(2M+m))

13.20. Dutý válec o hmotnosti M a poloměru R se valí po nakloněné rovině svírající s horizontem úhel α Pes o hmotnosti m běží po povrchu válce tak, že vždy zaujímá nejvyšší polohu na povrchu válce. válec. Určete zrychlení osy válce. (Odpověď: a=(M+m)gsinα /(2M+m(1+cosα)))

13.21. Kulička o hmotnosti m 1 = 60 umístěná na konci vlákna délkaL 1 = l , 2 m, otáčí se s frekvencín 1 = 2 C -1 , spočívající na vodorovné rovině. Závit se zkrátí, čímž se kulička přiblíží k ose na dálkuL 2 = 0,6 m Při jaké frekvencin 2 Bude se míč otáčet? Jakou práci dělá rsh ae t vnější síla, zkrácení závitu? Tření koule o rovinu se zanedbává.

13.22. Tečna k řemenici, setrvačník ve formě disku o průměru D = 7 cm a hmotnost m = 40 kg připojený s laF = 1 kN. Určete úhlové zrychlení a frekvenci otáčení setrvačníku v a po chvíli t =10 s po začátku síly, pokud je poloměr R kladka je dlouhá 12 cm.

13.23. Do průměru ráfku setrvačníkuD = Je navinuta 60 cm šňůra, na jejímž konci je připevněna hmotam = 2 kg. Def dělitelný moment setrvačnosti J setrvačník, pokud se otáčí rovnoměrně zrychleným vlivem gravitace zátěže, získal úhlovou rychlost za 3 sw= 9 rad/s.

13.24. Nit s hmotami připojenými k jeho koncůmm 1 = 50 g a m 2 60G hozený přes blok o průměru D 4 cm . Určete okamžik řezu J bloku, pokud pod vlivem gravitace břemen přijímá l úhlové zrychleníE = 1,5 rad/s 2. Tření a uklouznutí zanedbat závity podél bloku.

13.25. Tyč se otáčí kolem osy procházející jejím středem podle rovnice jA×t B × t 3 , kde 2 rad/s, V 0,2 rad/s 3. Určete moment působící na tyč po čase t = 2 s, po začátku rotace, je-li moment vč a tyče J 0,048 kg× 2 .

13.26. Podél hor

Strana 2 ze 3

140. Koule o poloměru R = 10 cm a hmotnosti m = 5 kg se otáčí kolem osy symetrie podle rovnice φ = A + B*t 2 + C*t 3 (B = 2 rad/s 2, C = – 0,5 rad/ od 3). Určete moment síly M pro t = 3 s.

141. Ventilátor se otáčí frekvencí n = 600 ot./min. Po vypnutí se začal stejně pomalu otáčet a po N = 50 otáčkách se zastavil. Práce A brzdných sil je rovna 31,4 J. Určete: 1) moment brzdných sil M; 2) moment setrvačnosti J ventilátoru.

142. Setrvačník v podobě pevného disku, jehož moment setrvačnosti J= 150 kg*m 2, otáčí se frekvencí n = 240 ot./min. Přes t = 1 minutu po začátku brzdných sil zastavil. Určete: 1) moment M brzdných sil; 2) počet otáček setrvačníku od začátku brzdění do úplného zastavení.

143. Pevný homogenní kotouč se odvaluje, aniž by sklouznul z nakloněné roviny svírající s horizontálou úhel α. Určete lineární zrychlení α středu disku.

144. Na ráfek homogenního plného kotouče o poloměru R = 0,5 m působí při rotaci třecí síla Mtr = 2 N*m konstantní tečná síla F = 100 N. Určete hmotnost m disku, je-li známo, že jeho úhlové zrychlení ε je konstantní a rovné 16 rad/s 2 .

145. Frekvence otáčení n 0 setrvačníku, jehož moment setrvačnosti J je roven 120 kg * m 2, je 240 ot./min. Po odeznění krouticího momentu na něm se setrvačník vlivem třecích sil v ložiskách zastavil v čase t = π min. Za předpokladu, že tření v ložiskách je konstantní, určete moment M třecích sil.

146. Setrvačník ve tvaru pevného disku, jehož moment setrvačnosti je J = 1,5 kg * m 2, se při brzdění otáčí stejně pomalu, za dobu t = 1 min snížil frekvenci otáčení z n 0 = 240 ot/min až n 1 = 120 ot/min/min. Určete: 1) úhlové zrychlení ε setrvačníku; 2) moment M brzdných sil; 3) brzdící práce A.

147. Kolo o poloměru R = 30 cm a hmotnosti m = 3 kg se bez tření odvaluje po nakloněné rovině délky l = 5 ma úhlu sklonu α = 25°. Určete moment setrvačnosti kola, jestliže jeho rychlost v na konci pohybu byla 4,6 m/s.

148. Koule se kutálí dolů z nakloněné roviny a svírá s horizontem úhel α = 30 stupňů, aniž by sklouzla. Při zanedbání tření určete dobu pohybu koule po nakloněné rovině, je-li známo, že její těžiště kleslo o 30 cm, když se kutálela dolů.

149. Po vodorovném úseku silnice se rychlostí v valí dutý tenkostěnný válec = 1,5 m/s. Určete cestu, kterou urazí horu pomocí kinetické energie, pokud je sklon hory 5 m na každých 100 m cesty.

150. Lehká nit je navinuta na homogenní plný válcový dřík o poloměru R = 50 cm, na jehož konci je připevněna hmota o hmotnosti m = 6,4 kg. Břemeno, odvíjející nit, klesá se zrychlením a = 2 m/s 2. Určete: 1) moment setrvačnosti J; 2) hmotnost m 1 hřídele.

151. Na homogenním plném válcovém hřídeli o poloměru R=5 cm a hmotnosti M = 10 kg je navinuta lehká nit, na jejímž konci je připevněna hmota o hmotnosti m = 1 kg. Definujte: 1) závislost Svatý), podle kterého se náklad pohybuje; 2) napětí nitě T; 3) závislost φ (t), podle kterého se hřídel otáčí; 4) úhlová rychlost φ hřídele t = 1 s po zahájení pohybu; 5) tangenciální ( a τ) a normální ( a n) zrychlení bodů umístěných na povrchu hřídele.

152. Na homogenní plnou válcovou tyč o poloměru R = 20 cm je navinuta lehká nit, jejíž moment setrvačnosti je J = 0,15 kg*m 2, na jehož konci je připevněno břemeno o hmotnosti m = 0,5 kg. . Než se buben začal otáčet, byla výška h břemene nad podlahou 2,3 ​​m Určete: 1) závislost s(t), podle které se břemeno pohybuje; 2) napětí nitě; 3) kinetická energie zátěže v okamžiku dopadu na podlahu.

153. Beztížná nit je prohozena stacionárním blokem ve tvaru homogenního válce o hmotnosti m = 0,2 kg, na jehož koncích jsou připevněna tělesa o hmotnosti m 1 = 0,35 kg a m 2 = 0,55 kg. Při zanedbání tření v ose bloku určete: 1) zrychlení; 2) poměr napínacích sil závitu T 2 / T 1.

154. Těleso o hmotnosti m 1 = 0,25 kg, spojené beztížným závitem přes blok (ve tvaru dutého tenkostěnného válce) s tělesem o hmotnosti m 2 = 0,2 kg, klouže po povrchu vodorovné roviny. stůl. Hmotnost bloku m = 0,15 kg. Součinitel tření f tělesa na povrchu je 0,2. Při zanedbání tření v ložiskách určete: 1) zrychlení a, se kterým se budou tato tělesa pohybovat; 2) tažné síly T 1 a T 2 závitu na obou stranách bloku.

155. K demonstraci zákonů zachování je použito Maxwellovo kyvadlo, což je masivní disk o poloměru R a hmotnosti m, pevně namontovaný na ose o poloměru r, který je zavěšen na dvou nitích, které jsou na něm předem navinuty. Když je kyvadlo uvolněno, vykonává vratný pohyb ve vertikální rovině, zatímco se disk pohybuje kolem své osy. Bez zohlednění odporové síly a momentu setrvačnosti osy určete: 1) zrychlení translačního pohybu kyvadla; 2) napětí nitě.

156. Homogenní kulička o poloměru r = 20 cm se kutálí dolů, aniž by sklouzla z vrcholu koule o poloměru R = 50 cm Určete úhlovou rychlost w kuličky po opuštění povrchu koule.

157. Setrvačník se začne otáčet z klidu s konstantním úhlovým zrychlením ε = 0,4 rad/s 2 . Určete kinetickou energii setrvačníku po čase t 2 = 25 s po zahájení pohybu, jestliže t = 10 s po zahájení pohybu byl moment hybnosti L 1 setrvačníku 50 kg * m 2 /s.

158. Vodorovná plošina o hmotnosti m = 25 kg a poloměru R = 0,8 m se otáčí s frekvencí n 1 = 18 min -1. Muž stojí uprostřed a v natažených rukou drží závaží. Vzhledem k tomu, že plošinu považujeme za kotouč, určete frekvenci otáčení plošiny, pokud člověk se sklopenýma rukama sníží svůj moment setrvačnosti z J 1 = 3,5 kg*m 2 na J 2 = 1 kg*m 2 .

159. Člověk stojící na Žukovského lavici drží v rukou tyč o délce l = 2,5 m a hmotnosti m = 8 kg, umístěnou svisle podél osy otáčení lavice. Tento systém (lavička a člověk) má moment setrvačnosti J= 10 kg * m 2 a otáčí se frekvencí n 1 = 12 min -1. Určete frekvenci n 2 otáčení soustavy, je-li tyč otočena do vodorovné polohy.

Moment síly kolem pevné osy

Mz = z.

Práce s rotací těla

dA = Mz dj

Hybnost hmotného bodu A vzhledem k pevnému bodu O

L = =

Modul vektoru momentu hybnosti

L = rp sin a = mvr sin a = pl

Hybnost tuhého tělesa vzhledem k ose rotace

Lz =å mi vi ri = Jz w

Základní rovnice (zákon) dynamiky rotačního pohybu tuhého tělesa vzhledem k pevné ose

Zákon zachování momentu hybnosti pro uzavřený systém

L = konst, Jz w = konst

Napětí při elastické deformaci

s = F S

Relativní podélné napětí (tlak) e = D l l

Relativní příčné napětí (komprese)

e¢ = D d d ,

Vztah mezi relativním příčným stlačením (protažením) e¢ a relativním podélným prodloužením (stlačením) e

Hookův zákon pro podélné napětí (komprese)

Potenciální energie pružně natažené (elasticky stlačené) tyče

Příklady řešení problémů

1.114. Určete moment setrvačnosti homogenního tuhého válce o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k jeho geometrické ose.

Dáno: m; R. Find:J.

Řešení. Rozdělme válec o výšce h na samostatné duté soustředné válce o nekonečně malé tloušťce dr s vnitřním poloměrem r a vnějším poloměrem r + dr (viz obrázek).

(dr = r, proto předpokládáme, že vzdálenost všech bodů válce od geometrické osy je rovna r), hmotnost elementárního válce

(2prh dr je objem elementárního válce; r je hustota materiálu válce). Po dosazení (2) do (1) najdeme

dJ = 2ph rr3 dr.

Pak požadovaný moment setrvačnosti pevného válce

(vezměte v úvahu, že pR2 h je objem válce a jeho hmotnost m = pR2 h).

Odpověď: J = 1 mR 2.

1,115. Určete moment setrvačnosti J pevné koule o poloměru R a hmotnosti m vzhledem k ose ve vzdálenosti

od středu míče ve vzdálenosti a = R a rovnoběžně s osou procházející středem míče.3

Dáno: R; m; a =R.

Najít: J.

Řešení. Moment setrvačnosti vzhledem k uvažované ose

kde JC je moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm (středem míče); m je hmotnost koule; a je vzdálenost mezi rovnoběžnými osami.

Vyberme pevný disk o tloušťce dh (viz obrázek), rovnoběžný s rovinou řezu. Moment setrvačnosti tohoto disku vzhledem k ose procházející těžištěm je

dJ = r 2 dm,

kde r je poloměr disku; dm = rpr2 dh (r je hustota materiálu disku). Pak

Rpr 4 = rp(R2 - h2) 2 dJ dh dh

[vezměte v úvahu, že r2 = R2 − h2 (viz obrázek)].

Moment setrvačnosti pevné koule kolem osy procházející těžištěm je

JC = 2 mR2. 5

Dosazením vzorce (3) do výrazu (1) a zohledněním toho, že moment setrvačnosti koule vzhledem k dané ose:

J = 2 mR2 + mR2 = 23 mR2.

Odpověď: J = 23 mR2. 45

a = R, najdeme mo

1,116. Určete moment setrvačnosti J homogenní obdélníkové desky o hmotnosti 500 g se stranami a = 20 cm ab = 30 cm kolem osy procházející geometrickým středem desky a rovnoběžné s její větší stranou.

Dáno: a = 20 cm (0,2 m); b = 30 cm (0,3 m); m = 500 g (0,5 kg).

Najít: J.

Řešení. Podle stavu úlohy probíhá osa y rovnoběžně se stranou b (viz obrázek). Mentálně vyberte tenký proužek šířky dy. Tento pás lze považovat za tenkou tyč

délka a. Pak jeho moment setrvačnosti

A 2 =r ha 3 dJ dm dy

(vezměte v úvahu, že hmotnost pásu dm = rah dy, kde r je hustota desky; h je tloušťka desky).

Požadovaný moment setrvačnosti desky

(s přihlédnutím k hmotnosti celé desky m = rabh).

Odpověď: J = 1,67 10-3 kg m2.

dy = rpa 3 b = ma 2 12 12

1,117. Válec o hmotnosti M = 1,2 kg a poloměru R = 0,25 m je přivařen k tyči o délce l = 0,5 m a hmotnosti m = 0,3 kg (viz obrázek). Určete moment setrvačnosti J systému vzhledem k ose OO¢ procházející volným koncem tyče rovnoběžně s tvořící přímkou ​​válce.

Dáno: l = 0,5 m; m = 0,3 kg; M = 1,2 kg; R = 0,25 min.

Najít: J.

Řešení. Celkový moment setrvačnosti J uvažovaného systému vzhledem k ose OO¢ se rovná součtu momentů setrvačnosti tyče J1 a válce J2:

kde JC je moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm; J je moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy vzdálené od první osy ve vzdálenosti a; m je tělesná hmotnost.

Momenty setrvačnosti tyče a válce podle vzorce (2),

Dosazením výrazů (3) a (4) do vzorce (1) najdeme požadovaný moment setrvačnosti

Ml2+MR2++

JM(Rl)2.

Odpověď: J = 0,738 kg m2.

1,118. Porovnejte kinetické energie dvou kuliček se stejnými hustotami, které se valí po rovině stejnou rychlostí, je-li poloměr druhé kuličky n = 3krát menší než poloměr první.

Dáno: r1 = r2 = r; v1 = v2 = v; R2 = R1.

kde m je hmotnost koule; v - rychlost koule, v = wR (w - úhlová rychlost koule relativní

vzhledem k ose procházející jeho těžištěm; R - poloměr koule);

moment setrvačnosti kolem stejné osy.

Dosazením těchto vzorců do výrazu (1) získáme

T = 7 mv2. 10

J = 2 mR2-5

Vzhledem k tomu, že hmotnost koule je m = 4 pR3 r, požadovaný poměr

Odpověď: T2 = 0,037.

1,119. Koule a pevný válec, vyrobené ze stejného materiálu, stejné hmotnosti a stejného poloměru, se valí bez skluzu stejnou rychlostí. Určete, kolikrát se liší jejich kinetické energie.

Dáno: m1 = m2 = m; R1 = R2 = R; v1 = v2 = v.

Najít: T 1.

Řešení. Kinetická energie tělesa valícího se po rovině bez klouzání je součtem energie translačního pohybu a energie rotace:

kde m je tělesná hmotnost; v je rychlost těžiště tělesa; J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející jeho těžištěm; w je úhlová rychlost tělesa.

Moment setrvačnosti koule J1 =2 mR2 ; moment setrvačnosti pevného válce

J2 = 1 mR2; lineární rychlost souvisí s úhlovým vztahem v = wR (s přihlédnutím k

že m1 = m2 = m; R1 = R2 = R).

Výraz (1) zohledňující zapsané vzorce

(R je poloměr disku), výraz (1) bude zapsán ve tvaru

1,120. Pevný disk se valí dolů z nakloněné roviny, která svírá s horizontem úhel a = 37°, aniž by sklouzl. Při zanedbání tření určete rychlost v disku t = 4 s po zahájení pohybu.

Dáno: a = 37°; t = 4 s.

Řešení. Podle zákona zachování mechanické energie se při odvalování disku jeho potenciální energie přeměňuje na kinetickou energii translačního a rotačního pohybu.

mgh = mv 2 + Jw 2, (1)

kde m je hmotnost disku; J je moment setrvačnosti disku vzhledem k ose procházející jeho těžištěm; v je rychlost těžiště disku; w je úhlová rychlost vzhledem k ose procházející těžištěm.

Vzhledem k tomu, že h = l sin a (viz obrázek); v = wR; moment setrvačnosti pevného disku J = mR 2

v = 2 gt sin. 3

Odpověď: v = 15,7 m/s.

1,121. Kolo o hmotnosti m = 2,8 kg se roztáčí konstantní tečnou silou F = 15 N. Při zanedbání tření určete časový okamžik t, kdy je kinetická energie rotujícího kola Tvr = 3 kJ.

Dáno: m = 2,8 kg; F = 15 H; Tvr = 3 kJ (3 103 J).

Najít: t.

Řešení. Kinetická energie rotujícího kola

S uvážením vzorce (2) vztahy e = w t a J = mR2, výraz (1) zapíšeme ve tvaru

odkud pochází požadovaný čas?

Odpověď: t = 8,64 s.

1,122. Beztížná nit je navinuta na homogenní celistvý válcový dřík o poloměru R = 20 cm, na jehož konci je zavěšeno břemeno o hmotnosti m = 2 kg. Břemeno, odvíjející nit, padá se zrychlením a = 1 m/s2. Určete: 1) moment setrvačnosti J hřídele; 2) hmotnost m1 hřídele.

Dáno: R = 20 cm (0,2 m); m = 2 kg; a = 1 m/s2.

Najděte: 1) J; 2) m1.

Řešení. Podle základní rovnice dynamiky rotačního pohybu kroutící moment působící na hřídel

Z rovnice (4) napínací síla nitě

Dosazením tohoto výrazu do vzorce (3) najdeme požadovaný moment setrvačnosti hřídele:

J = mR2 ag-1.

Uvážíme-li, že moment setrvačnosti plného válcového hřídele je J = m 1 R 2,

m1 = 2J. R2

Odpověď: J = 0,7 kg m2; m1 = 35 kg.

1,123. Kinetická energie setrvačníku rotujícího s frekvencí n1 = 3 s-1 je rovna 8,4 kJ. Kolikrát se zvýší rychlost otáčení setrvačníku za čas t = 5 s, pokud na setrvačník začne působit zrychlující moment síly M = 100 N m?

Dáno: Tvr = 8,4 kJ (8,4 · 103 J); ni = 3 s-1; M = 100 H m; t = 5 s.

Najít: n 2.

Řešení. Kinematická rovnice pro úhlovou rychlost rotačního pohybu má tvar

w2 = w1 + et,

kde M je moment síly kolem osy; J je moment setrvačnosti setrvačníku vzhledem ke stejné ose.

Kinetická energie rotujícího setrvačníku před začátkem akce se zrychluje

moment síly T = Jw 2 = p 2 n J (vezměte v úvahu, že w = pn), odkud je moment setrvačnosti

âð 2 1 12 1

Napišme vzorec (1) s ohledem na (4)

odkud pochází požadovaný frekvenční poměr?

Odpověď: n 2 = 1,56.

1,124. Stacionárním blokem namontovaným na hraně stolu je prohozena nit, ke které jsou připevněna tři závaží o hmotnosti m1 = 800 g, m2 = 700 g, m3 = 200 g. Hmotnost bloku je M = 500 g. poloměr R = 0,38 m Po započtení beztížného závitu a zanedbání tření určete zrychlení břemen a a také vzdálenost s, kterou urazí břemeno m3 od začátku pohybu do okamžiku, kdy dojde k překročení kinetické energie rotace. blok je Tvr = 1,1 J.

Dáno: m1 = 800 g (0,8 kg); m2 = 700 g (0,7 kg); m3 = 200 g (0,2 kg); M = 500 g

(0,5 kg); R = 0,38 m; Tvr = 1,1 J.

Najdi; s.

Řešení. Po zvolení směrů os x a y (viz obrázek) zapíšeme pohybové rovnice (2. Newtonův zákon) pro zatížení v průmětech na tyto osy: