Teoretická limita. Limity v matematice pro figuríny: vysvětlení, teorie, příklady řešení. Limity s neurčitostí typu a způsob jejich řešení

Vznik a vznik teorie reálných čísel

3 Vznik teorie limit

Přísný matematická konstrukce koncepty reálné číslo se stal možným díky teorii limity.

Člověk, který dostal moderní matematické vzdělání má potíže představit si diferenciální a integrální počet bez aparátu teorie limit. Historicky se však derivát objevil před limitem. Důvody tohoto jevu jsou vysvětleny naléhavou potřebou přírodních věd v 17. století po metodách diferenciálního a integrálního počtu.

V 17. století se začaly rychle rozvíjet myšlenky související s infinitezimálními metodami. Zde stojí za zmínku takoví matematici jako Descartes, Fermat, Pascal, Torricelli, Cavalieri, Roberval, Barrow. Kvadraturní metoda, vyvinutá ve starověku, našel široké uplatnění a vývoj. Byla studována otázka tečen - byla dána definice, která byla obecnější než ta starověká, a byly zkonstruovány metody pro hledání tečen. Byly učiněny pokusy zavést derivát. Bylo dokonce zjištěno, že problém hledání tečny je opakem problému kvadratury.

Navzdory nedostatku přísnosti „...matematici byli stále zručnější v zacházení s koncepty, které jsou základem infinitezimálního počtu.“

Infinitezimální metody získávají mezi matematiky na oblibě a jsou stále více využívány a zdokonalovány. Integrální a diferenciální počet postupně formalizují a zobecňují práce takových vědců jako Newton (1643-1727) a Leibniz (1646-1716). Newton tak vytvořil spojení mezi derivací a integrálem a navrhl nová metodařešení rovnic pomocí derivací. Vyvinul metodu fluxionu, která spojovala derivaci s okamžitou rychlostí a zrychlením. Pomocí této metody vyvinul integrální a diferenciální počet. Newton také navrhl algoritmus pro nalezení derivace funkce, založený na rané formě limitní teorie. Základ a mocný nástroj Metoda fluxionu byla expanze funkcí do řad, i když bez řádného zdůvodnění jejich konvergence.

Dlužíme to Leibnizovi velké množství pohodlný a krásný zápis v integrálním a diferenciálním počtu. Leibniz dospěl ke svým výsledkům nezávisle na Newtonovi. S využitím poznatků z kombinatoriky vyvinul formální metodu pro výpočet integrálů. Leibniz představil koncept diferenciálu, definoval jej pomocí tečen a našel některá pravidla pro nalezení diferenciálu komplexní funkce, a také zavedl diferenciály vyšších řádů. Leibniz také vyvinul metody pro hledání extrémních bodů a inflexních bodů. Síla Leibnizova teorie, od pohledu praktické výpočty, existoval algoritmus a formalita.

Newton i Leibniz vyřešili mnoho prakticky důležitých problémů pomocí pojmů infinitezimálních veličin, jejich pohledy na derivaci a integrál se navzájem lišily. Takže Newton za řešení diferenciální problémy používá metodu fluxions a Leibniz používá diferenciály. Newton považuje integraci za inverzní problém derivace (v našich podmínkách hledání primitivní funkce) a Leibniz považuje integrál za součet ploch nekonečně malých obdélníků. Je zcela přirozené, že tyto dva koncepty spolu soupeřily.

Newton a Leibniz pomocí infinitezimálů ve svých výpočtech nedokázali vysvětlit jejich podstatu, protože si nepředstavovali malou veličinu, která by byla zároveň konečná a odlišná od 0. Oba vědci se přiblížili pojmu limita, ale „...úzká Koncepce čísla, která neumožňovala identifikovat určité vztahy s čísly, byla částečně důvodem, že koncept limity nemohl „propuknout“ ani v Newtonově, ani v Leibnizově teorii. Matematici používali intuitivní a geometrické úvahy. Funkce byly chápány jako křivky získané nějakým pohybem (stejně jako je považovali staří Řekové). "První tvůrci analýzy a jejich následovníci považovali za samozřejmost platnost dvou základních myšlenek o prostoru a mechanickém pohybu." To je pravděpodobně důvod, proč spojení mezi kontinuitou a diferencovatelností na dlouhou dobu byly považovány téměř za synonyma.

Infinitezimální metoda však prokázala svou plodnost a nezbytnost v matematice, čímž se problém základů integrálního a diferenciálního počtu ještě více vyostřil. Debata nebyla jen mezi matematiky; Veškerá matematika byla vystavena tvrdým útokům, například ze strany teologa D. Berkeleyho. Tento stav matematiky XVII-XVII byl nazýván druhou krizí matematiky.

Po Newtonovi a Leibnizovi se pokusili definovat pojem infinitesimal Euler, d'Alembert a Lagrange. Tyto pokusy nelze nazvat zbytečnými, tyto práce posílily koncept funkcí v matematice, což sehrálo roli v dalším hledání teorie limity. Nebylo však možné sestavit koherentní a logicky podloženou teorii.

V 19. století se tak v matematice vyvinula paradoxní situace. Byly tam nepochybný úspěch matematické vědy v přírodních vědách, byla vyvinuta metodika pro zacházení s řadami, diferenciace a integrace, bylo vyřešeno mnoho problémů důležité úkoly, ale nebylo jasné, na čem byla matematická analýza založena. Potřeba porozumět základům nové matematiky se stala univerzální a naléhavou.

Za vybudování harmonické a rigorózní teorie infinitesimál vděčíme Augustinu Louisi Cauchymu (1789-1857). Je třeba přiznat, že Cauchy nebyl prvním matematikem, který přišel s touto myšlenkou, ale historicky jeho práce hrála roli ve vývoji matematická analýza klíčová role. Cauchy dal obecná definice limit v popisné podobě: „Pokud se hodnoty postupně přiřazené stejné proměnné neomezeně blíží pevné hodnotě, takže se od ní nakonec liší co nejméně, pak se tato nazývá limitem všech ostatních“ Citát převzat z. Z hlediska této definice se ukázalo, co je nekonečno malá hodnota-- toto je jen veličina, která má limitu rovnou 0, poté Cauchy definoval pojem derivace a ukázal souvislost této definice s Leibnizovými diferenciály. Vybudoval také první rigorózní teorii integrace a dokázal souvislost mezi integrací a diferenciací.

Je těžké přeceňovat Cauchyho přínos matematice. Jeho díla se otevřela nová éra v matematice "...začíná takzvaná "aritmetizace" veškeré matematiky." Díky Cauchyho práci obsadila matematická analýza pevně a zaslouženě jedno z hlavních míst v matematice. Cauchyho metody se rozšířily a byly používány a zdokonalovány po celé 19. století. Cauchyho myšlenky a metody jsou dnes plodně využívány a zobecňovány moderními matematiky.

Axiomatická metoda

Historický proces vývoje názorů na podstatu matematiky jako vědy vedl k vytvoření základního konceptu axiomatické metody a konceptu. axiomatická teorie. Jejich podstata je následující...

Diferenciální vlastnosti hyperbolické funkce

Věta 1. Pokud existuje a pro všechny z nějakého proraženého okolí bodu je splněna podmínka, pak v bodě existuje limita komplexní funkce a platí, že podle definice limity jsou funkce a definované v a...

Život a vědecká činnost Andrej Nikolajevič Kolmogorov

Když v roce 1920 Andrej Kolmogorov začal uvažovat o vstupu na vysokou školu, čelil a věčná otázka: čemu se mám věnovat, jakému podnikání? Bylo to období hladu a úzkosti. Mladý muž chtěl získat nejen znalosti, ale i povolání, řemeslo...

Lineární programování

Každý den, aniž by si to vždy uvědomoval, každý člověk řeší problém dosažení co největšího efektu při vynaložení omezených finančních prostředků. Bohužel naše finanční prostředky a zdroje jsou vždy omezené, musíme jednat velmi promyšleně a zodpovědně...

Matematika v moderní svět

Vytvoření deduktivní nebo axiomatické metody pro konstrukci vědy je jedním z největších úspěchů matematického myšlení. Vyžadovalo to práci mnoha generací vědců...

Matematické metody a modely při řešení problémů v ekonomii

Najděte řešení hry podle matice: Nižší cena hry: Vyšší cena hry: Matice hry má sedlový bod V = 4. Ze soustav rovnic: Tedy...

Pojem limity je základním pojmem v matematické analýze. Geometrický význam pojmu limita: je známo, že nerovnost< е задает часть числовой оси, лежащую между точками a - е и a + е...

Limit konzistence. Stolzova věta a její aplikace

Věta 1. Konvergentní posloupnost má jedinečnou limitu. Důkaz. Nechme posloupnost xn konvergovat. Předpokládejme, že její limita není jednoznačná, tedy že současně platí následující rovnosti: xn = b a xn = c, kde bc...

Limit konzistence. Stolzova věta a její aplikace

Limit konzistence. Stolzova věta a její aplikace

limit numerické posloupnosti Stolz Příklad 1. Dokažte, že = . Řešení. Uvažujme posloupnost an = -. Máme = =. Protože a = je nekonečně malá posloupnost. To znamená, že = . Odpověď: =. Příklad 2: Vypočítejte limitu. Řešení...

Limit konzistence. Stolzova věta a její aplikace

Jsme obeznámeni s aplikacemi teorie limit v geometrii. Například byla určena plocha kruhu, objem válce, kužele a koule a poté vypočteny jako odpovídající limity. Naznačme další způsob využití pojmu limita při řešení problémů...

Aplikace metod diskrétní matematika v ekonomii

Různé definice Riemannova integrálu a jejich srovnání

Oddíl množiny M se obvykle nazývá kolekce jejích podmnožin s následujícími vlastnostmi: 1) ; 2). V následujícím bude roli množiny Mu hrát interval a budeme uvažovat oddíly pouze určitého speciální typ. A to...

Teorie pravděpodobnosti

Součtem dvou událostí A a B je událost AB (A+B), která spočívá v tom, že nastane alespoň jedna z událostí A nebo B (buď událost A, nebo událost B, nebo A a B na stejný čas)...

Teorie číslování

Zdá se žádoucí, aby veškerý výzkum v oblasti teorie algoritmů a jejích aplikací byl prováděn na základě "společného jmenovatele" - třídy všech částečně rekurzivních funkcí...

Odeslat svou dobrou práci do znalostní báze je jednoduché. Použijte níže uvedený formulář

Dobrá práce na web">

Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu ve svém studiu a práci, vám budou velmi vděční.

Podobné dokumenty

Definice a fáze důkazu Stolzovy věty, její teoretické a praktický význam v aplikované matematice, aplikace. Pojem limity posloupnosti, typické příklady výpočtu limit posloupnosti s podrobná analýzařešení.

práce v kurzu, přidáno 28.02.2010


Členy posloupnosti a jejich znázornění na číselné ose. Typy posloupností (omezené, rostoucí, klesající, konvergentní, divergentní), jejich praktické příklady. Definice a geometrický význam limity číselné řady.

prezentace, přidáno 21.09.2013


Spočítejte matematické posloupnosti a určete číslo zvané limita posloupnosti. Metody výpočtu limity funkce. Součin infinitezimální funkce a omezená funkce. Stanovení meze sekvence.

test, přidáno 17.12.2010


Určení limity funkce v bodě. Koncept jednostranných limitů. Geometrický význam limity funkce, protože x má tendenci k nekonečnu. Základní věty o limitách. Výpočet limitů a odhalování nejistot. První pozoruhodný limit.

prezentace, přidáno 14.11.2014


Pojem a historie vzniku kategorie „sekvence“, její význam v moderní matematice. Vlastnosti a analytická úloha posloupnosti, role v rozvoji dalších oblastí poznání. Řešení úloh na výpočet limit posloupnosti.

prezentace, přidáno 17.03.2017


Obecná koncepcečíselná posloupnost. Limita funkce v bodě. Nekonečně velká a malá funkce. Souvislost mezi funkcí, její limitou a nekonečnem malá funkce. Známky existence limitů. Základní věty o limitách: stručný popis.

prezentace, přidáno 25.01.2013


Limit číselné řady. Porovnání infinitezimálních veličin. Druhý pozoruhodný limit. Cauchyho věta o konvergenci číselné posloupnosti. Použití Newtonova binomu. Nahrazení faktorů ekvivalentními jednoduššími veličinami.

test, přidáno 8.11.2009


Koncept rostoucí číselné řady. Newtonův binomický vzorec. Počet kladných výrazů. Určení omezenosti posloupnosti čísel. Limita monotónních a ohraničených posloupností. Výrazné zvýšení nebo snížení.

Tato kapitola studuje operaci přechodu k limitě - hlavní operaci matematické analýzy. Nejprve se podívejme na limitu funkce přirozeného argumentu, protože všechny hlavní výsledky teorie limit jsou v této jednoduché situaci jasně viditelné. Dále uvažujme limitu v bodě funkce reálné proměnné.

2.1 Limit sekvence

2.1.1 Definice a příklady

Definice 2.1. Funkce f: N → X, jejíž definičním oborem je množina přirozených čísel, se nazývá posloupnost.

Hodnoty f(n), n N se nazývají členy posloupnosti. Obvykle se označují symbolem prvku množiny, do kterého dochází k mapování, poskytující symbolu odpovídající index (argument funkce f): xn = f(n). Prvek xn je volán n-tý termín sekvence. V tomto ohledu se posloupnost často označuje symbolem (xn) nebo (xn)+ n=1 ∞ a také se zapisuje ve tvaru x1, x2,. . . , xn , . . . .

Dále v této kapitole budeme uvažovat pouze posloupnost f: N → R reálných čísel.

Definice 2.2. Interval obsahující bod R se nazývá okolí tohoto bodu. Interval (a − δ, a + δ), δ > 0, se nazývá δ -okolí bodu a a označuje se U a (δ) nebo V a (δ) (často psáno zkráceně: U a nebo V a).

Definice 2.3. Číslo R se nazývá limita posloupnosti čísel (x n), jestliže pro libovolné okolí bodu existuje číslo N N takové, že všechny prvky x n posloupnosti, jejichž čísla jsou větší než N, jsou obsaženy v U a. Přitom píšou

n lim→∞ xn = anebo lim xn = anebo xn → aas n → ∞.

V logické symbolice vypadá definice 2.3 takto:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .

Protože Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = (x R: |x − a|< ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3

Definice 2.4. Čísloa se nazývá limita posloupnosti čísel (x n), jestliže pro libovolné kladné číslo ε existuje čísloN = N(ε) takové, že všechny členy posloupnosti s čísly n > N splňují nerovnost|x n − a|< ε .

V logické symbolice má tedy tato definice tvar: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a|< ε

Komentář. První členy posloupnosti neovlivňují existenci a velikost limity, pokud existuje.

Někdy se hodí následující geometrický výklad Definice 2.3 limitu sekvence:

Číslo a se nazývá limita posloupnosti (x n), pokud mimo jakékoli okolí bodu a není více než konečný počet členů posloupnosti (x n).

Je jasné, že pokud mimo nějaké okolí bodu a existuje nekonečné čísločleny (xn), pak a není limita (xn).

Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 2.1. Jestliže (xn) : xn = c, pak lim xn = c, protože všechny členy posloupnosti, počínaje prvním, patří do libovolného okolí

Příklad 2.2. Ukažme, že posloupnost (xn) : xn =

má limit a lim xn = 0.

Opravme ε > 0. Od

≤ n

< ε для n >

Pak, za předpokladu N = max(1, ), dostaneme:

|xn | ≤

Proto ε > 0 N = max(1, ) N: n > N |xn |< ε.

Komentář. Zároveň jsme dokázali, že lim

Příklad 2.3. Pojďme si ukázat, že lim

0, pokud q > 1.

Protože q > 1, pak q = 1 + α, kde α > 0. Proto n > 1 podle Newtonova binomického vzorce

qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.

Z toho vyplývá, že							N > 1. Opravme ε > 0 a nastavme
N = max(1, ) a dostaneme to

Tedy, ε > 0 N = max(1, ) N: n > N |1/qn |< ε.

Příklad 2.4. Ukažme, že posloupnost (xn) : xn = (−1)n nemá limitu.

Pro libovolné číslo a označujeme okolí, mimo nějž existuje nekonečná množina členů dané posloupnosti. Za tímto účelem fixujeme bod a R a uvažujeme jeho jednotkové okolí Ua (1) = (a − 1, a + 1). Protože x2k = 1, x2k+1 = −1, k N a alespoň jedno z čísel +1 nebo −1 nepatří do Ua (1), pak mimo Ua (1) existuje nekonečná množina členů sekvence (xn). Proto číslo a není jeho limitou. Vzhledem k libovolnosti čísla a docházíme k závěru, že @ lim xn.

Definice 2.5. Číselná posloupnost, jejíž limita je číslo, se nazývá konvergentní. Všechny ostatní sekvence se nazývají divergentní.

V logické symbolice má definice 2.5 tvar: (xn) konverguje a R: lim xn = a.

divergentní a posloupnost ((−1)n ) je divergentní.

2.1.2 Vlastnosti konvergentních posloupností

Věta 2.1. Sekvence nemůže mít dva různé limity.

Nechť má číselná řada (xn) dvě různé limity a a b. Pro jistotu budeme předpokládat, že a< b. Положим

ε = b − 2 a . Definicí 2.4 limity posloupnosti najdeme N1 a



n−

takové, že

n > N, tzn

| n -

Pak n > N = max (N1 , N2 )

< xn <

Což se nemůže stát.

Definice 2.6. Posloupnost čísel(xn) se nazývá ohraničený nad (respektive pod nebo ohraničený), pokud je množina X = (x n | n N) je ohraničený shora (zdola nebo ohraničený). Je-li X neomezená množina, pak(xn) nazývaná neomezená posloupnost.

S ohledem na definice 2.1 a 2.2 máme:

(xn ) ohraničený nad M R: n N xn ≤ M, (xn ) ohraničený pod M R: n N xn ≥ M, (xn ) ohraničený M > 0: n N |xn | ≤ M,

(xn ) není omezeno M > 0 n N: |xn | > M.

Věta 2.2. Konvergentní posloupnost je omezená.

Nechť posloupnost (xn) konverguje a lim xn = d. Za předpokladu ε = 1 v definici 2.4 najdeme číslo N takové, že |xn − d|< 1, n >N, tedy d − 1< xn < d + 1, n >N. Uveďme následující zápis:

a = min(x1, x2,..., xN, d-1), b = max(x1, x2,..., xN, d + 1).

Potom a ≤ xn ≤ b, n N.

Komentář. Ohraničenost posloupnosti je nutnou, ale ne postačující podmínkou pro konvergenci (viz příklad 4) .

Věta 2.3. Pokud je číselná řada(x n) konverguje a lim x n = a , pak sekvence(|x n |) konverguje a lim |x n | = |a|.

Protože a = lim xn , pak ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a|< ε.

Z toho vyplývá, že n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a|< ε.

Poznámka 1. Z věty 2.3 a příkladu 3 vyplývá, že pro |q| > 1

lim q n = 0.

Poznámka 2. Opak věty 2.3 neplatí.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Intuitivní koncept překročení limitu byl používán vědci starověkého Řecka při výpočtu ploch a objemů různých geometrické tvary. Metody pro řešení takových problémů vyvinul hlavně Archimedes.

  Při vytváření diferenciálního a integrálního počtu také matematici 17. století (a především Newton) explicitně či implicitně používali koncept přechodu k limitě. Definice pojmu limita byla poprvé představena v práci Wallise "Aritmetika nekonečných množství"(XVII. století), nicméně historicky tento koncept netvořil základ diferenciálního a integrálního počtu.

  S pomocí teorie limit se zejména v druhé polovině 19. století odůvodnilo použití nekonečných řad v analýze, které byly vhodným aparátem pro konstrukci nových funkcí.

  Limit sekvence

  Hlavní článek: Limit sekvence

  Číslo a (\displaystyle a) se nazývá limita posloupnosti a n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (\displaystyle a_(n)=\(x_(1),x_(2),...,x_(n)\))) , Li ϵ > 0 (\displaystyle \epsilon >0) , ∃ (\displaystyle \exists ) N (ϵ) (\displaystyle N(\epsilon)) , ∀ (\displaystyle \forall ) n > N (ϵ) (\displaystyle n>N(\epsilon)): | a n − a |< ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Limit sekvence je označen lim n → + ∞ a n (\displaystyle \lim _(n\to +\infty )a_(n)). Kam přesně míří? n (\displaystyle n), nemusí být specifikováno, protože n (\displaystyle n) ∈ N (\displaystyle \in \mathbb (N) ), může mít jen tendenci + ∞ (\displaystyle +\infty ).

  Vlastnosti:

  • Pokud existuje limit sekvence, pak je jedinečný.
  • lim c = c (\displaystyle \lim c=c) , c − c o n s t (\displaystyle ,c-const)
  • lim (x n + y n) = lim x n + lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)+y_(n))=\lim x_(n)+\lim y_(n))
  • lim (q x n) = q lim x n (\displaystyle \lim(qx_(n))=q\lim x_(n)) , q − c o n s t (\displaystyle ,q-const)
  • lim (x n y n) = lim x n lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)y_(n))=\lim x_(n)\lim y_(n))(pokud existují oba limity)
  • lim (x n / y n) = lim x n / lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)/y_(n))=\lim x_(n)/\lim y_(n))(pokud existují obě limity a jmenovatel pravé strany není nula)
  • Li a n > x n > b n ∀ n (\displaystyle a_(n)>x_(n)>b_(n)\forall n) A lim a n = lim b n (\displaystyle \lim a_(n)=\lim b_(n)), Že lim x n = lim a n = lim b n (\displaystyle \lim x_(n)=\lim a_(n)=\lim b_(n))("teorém sendvičové sekvence", také známý jako "teorém dvou policistů")

  Funkční limit

  Hlavní článek: Limita funkce

  Číslo b se nazývá limita funkce f(x) v bodě a if ∀ ϵ > 0 (\displaystyle \forall \epsilon >0) existuje δ > 0 (\displaystyle \delta >0), takové, že ∀ x, 0< | x − a | < δ {\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } provedeno | f (x) − b |< ϵ {\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon } .

  Pro limity funkcí platí podobné vlastnosti jako pro limity posloupností, např. lim x → x 0 (f (x) + g (x)) = lim x → x 0 f (x) + lim x → x 0 g (x) (\displaystyle \lim _(x\to x_(0)) )(f(x)+g(x))=\lim _(x\to x_(0))f(x)+\lim _(x\to x_(0))g(x)), pokud existují všichni členové.

  Zobecněné pojetí limity posloupnosti

  Nechat X (\displaystyle X)- soubor, ve kterém je definován pojem sousedství U (\displaystyle U)(například metrický prostor). Nechat x i ∈ X (\displaystyle x_(i)\in X)- posloupnost bodů (prvků) tohoto prostoru. Říká se, že x ∈ X (\displaystyle x\in X) existuje limita této posloupnosti, pokud je v libovolném okolí bodu x (\displaystyle x) téměř všechny členy posloupnosti leží ∀ U (x) ∃ n ∀ i > n x i ∈ U (x) (\displaystyle \forall U(x)\existuje n\forall i>nx_(i)\in U(x))

  Věnuje se jednomu ze základních pojmů matematické analýzy - limitě. Jak v případě číselné posloupnosti, tak v případě reálné funkce reálné proměnné je studován neomezený přístup k určité konstantní hodnotě proměnné, která je pro určitou změnu závislá na jiné proměnné. V této kapitole se pokusíme zobecnit koncept limity pro zobrazení libovolných metrických prostorů a zobecnění také ovlivní způsob, jakým nezávislá proměnná tíhne k dané hodnotě. 8.1. Pojem limity zobrazení Nechť X a Y jsou metrické prostory s metrikami p a d uvedenými na nich je X nějaká podmnožina v X se stejnou metrikou />, která má 6 X jako svůj limitní bod. Zdůrazněme, že na základě Definice 5.9 tento limitní bod pro A může nebo nemusí patřit do podmnožiny A. Budeme uvažovat TEORII LIMIT. Pojem limity zobrazení proraženého okolí U(a) = U(a) \ (a) daného bodu. Nechť definiční obor zobrazení /: A Y zahrnuje množinu A. Všimněte si, že pro bod a toto zobrazení nemusí být definováno. Definice 8.1. Bod 6 € Y se nazývá limita zobrazení /: A - f Y v bodě a nad množinou A a píšeme b = lim f(x) nebo f(x) -> b pro x - ^a, jestliže ať už je okolí V(6) bodu 6 jakékoli, existuje proražené okolí U(a) bodu a v X takové, že jeho obraz pro libovolný bod bodu a patří do V(6), tzn. Když je splněno (8.1), říkáme také, že funkce f(x) inklinuje k b, jako x směřuje přes množinu A k bodu a. Definice 8.1 je poměrně obecná. V závislosti na tom, jaké jsou množiny X, Y, ACX a jaký je bod € X, můžeme získat různé specifikace této definice. Připomeňme si (viz 5.2), že každé okolí bodu zahrnuje e-okolí tohoto bodu a každé ^-okolí je sousedství. Nahrazením v (8.1) libovolného okolí V (6) bodu b b Y jeho ^-okolím a punktovaného okolí bodu a € X - jeho punktovaným -okolím dospějeme k následujícímu symbolickému označení pro definici limity zobrazení, ekvivalentní k definici 8.1: Pro Y With R z (8.1) následuje symbolický zápis pro definici limity zobrazení /: (limita reálné funkce): . Je-li v (8.5) 6 = 0, pak se funkce f(x) nazývá infinitesimální, protože x směřuje přes množinu A k bodu a € X a zapisuje se Když Y C R můžeme mluvit o nekonečných limitách zobrazení, pokud bod 6 je jeden z nekonečných bodů (+oo nebo -oo) rozšířené číselné osy R nebo jejich sjednocení (oo). V tomto případě bude mít okolí každého z uvedených bodů při volbě libovolného M > O tvar Pak z (8.1) plynou tři dosti podobné zápisy v symbolické podobě pro definice nekonečných limit funkce: . Příklad 8.1. Ukažme, že lim f(x) = c, jestliže zobrazení / v bodech množiny A nabývá stejné hodnoty c. Ve skutečnosti, bez ohledu na okolí, TEORIE LIMITŮ. Pojem limity zobrazení V(c) bodu c) Vx na U (a) Π A /(x) = c, protože xe A. Proto /(U (a) Π A) = c € V c), což odpovídá definici 8. 1. Ujistěte se, že lim /(x) = a, je-li zobrazení / shodné, tzn. /(i) = x Vx 6 A. V tomto případě pro libovolné okolí V(a) při výběru U(a) = = V(a) \ (a) pro mapu identity získáme, že odpovídá (8.1 ). Konkrétně, když A = R a a odpovídá nekonečnému bodu +oo rozšířené číselné osy, máme: /(x) -f oo pro x +oo. Ve skutečnosti pro libovolné M > 0 stačí zvolit množinu U (+oo) = (s € R: x > M) jako proražené okolí nekonečného bodu +oo, abychom získali /(x) > M a splnit podmínku (8.7). # Jestliže v definici 8.1 X = Y = R a podmnožina A = = (a: € R: x > a), pak dospějeme ke konceptu pravé limity reálné funkce reálné proměnné v bodě a, označeno 7,2 lim fix). Jestliže X = Y = R Všimněte si, že množina A se může shodovat s celou množinou X. Pro X = Y = R tento případ v definici 8.1 odpovídá konceptu oboustranné limity reálné funkce reálné proměnné, a (pokud nehrozí záměna) místo lim /( x) píšou jednoduše lim /(x). Samozřejmě, když mluvíme o lim /(x), lze uvažovat o všech možných myslitelných podmnožinách A, ale ne vždy to vede ke smysluplným netriviálním výsledkům. Uvažujeme-li tedy Dirichletovu funkci na podmnožině Q C R racionálních čísel, pak jednoduše dostaneme konstantní funkce, jehož hranice je stanovena v příkladu 8.1. Definice 8.1 povede ke konceptu limity posloupnosti bodů libovolného metrického prostoru Y. V souvislosti s tím uvádíme následující definici. Definice 8.2. Bod 6 € Y se nazývá limita posloupnosti (yn) bodů yn metrického prostoru Y, jestliže bez ohledu na okolí V(6) C Y bodu 6 existuje přirozené číslo N , takže počínaje číslem N +1 všechny body této posloupnosti spadají do tohoto okolí, tzn. TEORIE LIMIT. Koncept limity zobrazení Když je splněno (8.10), říkáme také, že (yn) směřuje k bodu 6. Použitím v (8.10) místo libovolného okolí bodu 6 jeho libovolného ^-okolí, máme Porovnání ( 8.11) s (6.28) a definicí 6.5 docházíme k závěru, že posloupnost (yn) bodů yn metrického prostoru směřuje k bodu 6, pokud číselná posloupnost (d(yn> 6)) vzdáleností d(yni b) € R je nekonečně malý, tzn. Jinými slovy, studium chování posloupností bodů v libovolném metrickém prostoru je založeno na studiu konvergence číselné řady . Navíc limita zobrazení libovolných metrických prostorů úzce souvisí s limitou sekvencí. Toto spojení je založeno na následující větě. Věta 8.1. Zobrazení /:Y má jako limit bod 6 € Y, protože x směřuje přes množinu A k bodu a tehdy a jen tehdy, když pod zobrazením / je obraz libovolné posloupnosti bodů od A směřující k a posloupností body od Y směrem k 6, tj. Předpokládejme, že bod 6 b Y splňuje definici 8.1 limity zobrazení a (x„) je libovolná posloupnost bodů xn z A směřující k bodu a € X. Potom podle (8.1), bez ohledu na okolí V (b) C Y bod 6, existuje děrované okolí U(a) C X bodu a takové, že /(u(a)PA) C V(6). Podle definice 8.2 musí U(a)nA obsahovat, počínaje nějakým číslem W + 1, všechny body posloupnosti (xn) směřující k a, tzn. o (8.10) Potom od stejného čísla leží všechny body f(xn) E Y posloupnosti (f(xn)) ve V(6), což podle definice 8.2 znamená, že tato posloupnost směřuje k 6. Abychom dokázali dostatečnost podmínek věty, předpokládáme, že pro libovolnou posloupnost (xn) bodů xn z A inklinující k a, má posloupnost (f(xn)) bodů f(xn) z Y tendenci k 6. Jestliže lim f(x) φ 6, pak by to znamenalo existenci čísla e > 0 takové, že pro jakoukoli volbu 8 > 0 existuje bod x € A splňující podmínky p(x, a) a d(f( x)y 6) > e Pro libovolně malé S > O můžete zadat přirozené číslo N) takové, že 1 /N . Pak pro každé číslo n > N existuje alespoň jeden bod z A, který označíme xn, takže p(xn, ^ Posloupnost (xn) složená z takových bodů xn 6 Ay na základě (8.11) má tendenci k a , zatímco (/(xn)) nevede k 6, což je v rozporu s původním předpokladem. Tento rozpor dokazuje dostatečnost podmínek věty € Y se nazývá limita zobrazení /: A. -> Y v bodě a množinou A, jestliže pod zobrazením / je obraz libovolné posloupnosti bodů z A směřující k a posloupností bodů z Y inklinující k b. Symbolické tvary této definice a věty 8.1 se shodují Příklad 8.2 R, A = R, a = +oo a v mapě /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Ukažme, že lim. f(x) = lim cos a (2ptr), což má tendenci k +oo, pak cosin = cos2ptr = 1, a na základě (6. 9) lim (cos xn) = 1. Vezmeme-li posloupnost (xn) = ((2n + 1)n/2), rovněž tíhnoucí k +oo, pak její obraz konverguje k nule. To odporuje definici 8.3 limitu mapování, tzn. výše uvedený limit neexistuje. Zvážení sekvencí směřujících k oo (2n(-1)n7r) a ((2n+ 1)(-1)nr/2) vede ke stejnému závěru. Všimněte si, že pokud označujeme, pak je legální psát lim cosx = 1 a limcoex = 0. # Porovnáním definic 8.1 a 5.13 lze dokázat následující větu. Věta 8.2. Zobrazení /: X -+Y bude spojité v bodě a € X právě tehdy, když limit zobrazení jako x směřuje přes množinu X k bodu a se shoduje s hodnotou /(a), tzn. když A Nechť je zobrazení / spojité v bodě a v X. Potom podle Definice 5.13 spojitého zobrazení, ať už je okolí V(6) bodu 6 = /(a) € Y, existuje takové okolí U (a) bodu a € A ), že /(U(a)) C V(6), a TEORIE LIMIT. Pojem limita zobrazení znamená, že existuje také proražené okolí U(a) bodu a takové, že /(U(a)) C V(b). Podle definice 8.1 to znamená, že (8.12) je pravdivé. Opačně budiž splněno (8.12). Potom podle definice 8.1 pro libovolné okolí V(b) bodu b = /(a) existuje proražené okolí U(a) bodu a takové, že /(U(a)) C V(6). Uvažujme okolí U(a) = U(a) U (a). Protože /(a) G V(6), podle vlastností množinových zobrazení (viz 2.1), máme 4 tzn. mapování /, podle definice 5.13, je spojité v bodě aeX. Vezmeme-li v úvahu větu 8.2, můžeme formulovat definici ekvivalentní definici 5.13. Definice 8.4. O zobrazení /: se říká, že je spojité v bodě a 6 Xy, pokud (8.12) platí. Vezmeme-li v úvahu věty 8.1 a 8.2, získáme následující tvrzení. Vyjádření 8.1. Pro návaznost zobrazení /: X -Y Y v limitním bodě abX je nutné a postačující, aby obraz pod zobrazením / libovolné posloupnosti bodů z X směřující k a byl posloupností bodů z Y sbíhajících se k bodu. /(A). 8.2. Některé vlastnosti limity zobrazení Nechť X a Y, jako v 8.1, jsou metrické prostory, AC X a € X jsou limitní bod množiny A. Věta 8.3. Jestliže, jak x směřuje podél množiny A k bodu a, má zobrazení /: X Y limitu, pak je jedinečné. Předpokládejme, že pro x -> a má zobrazení / dvě limity 6i a 62 a 61 φ 62. Pak při výběru disjunktních sousedství těchto bodů (V(61)flV(62) = 0) podle definice 8.1 bod a má proražené okolí U(a) takové, že a, ale to je nemožné kvůli definici 2. 1 displej. Věta 8.4 (o hranici složení). Pokud existují limity map f: AC X a g: Y Z, s ((x)φL jako r - ^a, kde Xy Y a Z jsou metrické prostory limitních bodů pro A C X a f(A) C Y, pak existuje pro x -> a a limitu složení (komplexní funkce) Zvolme libovolné okolí W(c) bodu c Potom podle Definice 8.1 limity zobrazení můžeme vždy najděte proražené okolí V(6) bodu 6 tak, že d(V(6) P f)