„prvky teorie množin“. Axiomatická teorie množin

Moderní teorie množin je postavena na systému axiomů – tvrzení přijímaných bez důkazu – z nichž jsou odvozeny všechny věty a tvrzení teorie množin. Systém axiomů je standardním systémem axiomů pro teorii množin. Axiom výběru se často přidává k tomuto systému axiomů a nazývá se Zermelo-Frenkelův systém s axiomem výběru.

Význam matematické logiky v tomto a minulém století velmi vzrostl. Hlavním důvodem bylo objevení paradoxů teorie množin a potřeba revidovat kontroverzní intuitivní teorii množin. Pro zdůvodnění teorie množin bylo navrženo mnoho různých axiomatických teorií, ale bez ohledu na to, jak se od sebe liší ve svých vnějších rysech, společným obsahem všech z nich jsou ty základní teorémy, o které se matematici opírají ve své každodenní práci. Volba té či oné z dostupných teorií je především věcí vkusu; Na systém, který budeme používat, neklademe žádné požadavky, kromě toho, že slouží jako dostatečný základ pro stavbu moderní matematiky.

Popišme teorii NBG prvního řádu, což je v podstatě systém stejného typu jako systém původně navržený von Neumannem (1925), (1928), a poté pečlivě revidovaný a zjednodušený R. Robinsonem (1937), Bernaysem ( 1937-1954) a Gödel (1940). (Většinou se budeme řídit Gödelovou monografií, i když s některými důležitými odchylkami.) Teorie NBG má jediné predikátové písmeno a žádná funkční písmena nebo předmětové konstanty. Abychom byli blíže notaci Bernayse (1937-1954) a Gödela (1940), použijeme jako proměnné místo x1, x2, ... velká latinská písmena X1, X2, ... (Jako obvykle používáme písmena X, Y, Z, ... pro označení libovolných proměnných.) Zavedeme také zkrácené označení XY pro (X, Y) a XY pro (X, Y). Obsahově je znak chápán jako symbol vztahu sounáležitosti.
Definujme rovnost takto:
Definice. X=Y slouží jako zkratka pro vzorec.
Dva objekty jsou si tedy rovny právě tehdy, když se skládají ze stejných prvků.
Definice. slouží jako zkratka pro vzorec (inkluze).
Definice. XY je zkratka pro X Y & X ≠ Y (správné zařazení).
Z těchto definic to snadno vyplývá
věta 1.
(a) X = Y (X Y & Y X);
(b) X = X;
(c) X = Y Y = X;
(d) X = Y (Y = Z X = Z);
(f) X = Y (ZX ZY).
Nyní začněme vyjmenovávat naše vlastní axiomy teorie NBG, přičemž formulace samotných axiomů proložíme různými důsledky z nich a některými dalšími definicemi. Nejprve si však všimneme, že v „interpretaci“, která je zde míněna, jsou hodnoty proměnných třídy. Třídy jsou kolekce odpovídající některým, ale zdaleka ne všem vlastnostem (ty vlastnosti, které skutečně definují třídy, budou částečně specifikovány v axiomech. Tyto axiomy nám poskytují existenci tříd nezbytných v matematice a jsou natolik skromné, že je nelze odvodit z jsou v rozporu). (Tento „výklad“ je stejně nepřesný jako pojmy „totalita“, „vlastnictví“ atd.)
Nazývejme třídu množinou, pokud je prvkem nějaké třídy. Třída, která není množinou, se bude nazývat vlastní třída.
Definice. M(X) je zkratka pro Y(XY) (X je množina).
Definice. Pr(X) je zkratka pro M(X) (X je jeho vlastní třída).
V budoucnu uvidíme, že obvyklé metody odvozování paradoxů již nevedou k rozporu, ale pouze k tomu, že některé třídy nejsou množinami. Množiny jsou zamýšleny jako spolehlivé a pohodlné třídy, které matematici používají ve své každodenní práci; zatímco vlastní třídy jsou pojímány jako monstrózně rozsáhlé sbírky, které, pokud je dovoleno být množinami (tj. být prvky jiných tříd), dávají vzniknout rozporům.
Systém NBG má být teorií, která se zabývá spíše třídami než objekty. To bylo motivováno skutečností, že matematika nepotřebuje objekty, které nejsou třídami, jako jsou krávy nebo molekuly. Všechny matematické objekty a vztahy lze vyjádřit pouze pomocí tříd. Pokud z důvodu aplikací v jiných vědách vyvstane potřeba zahrnout „netřídy“, pak drobná úprava systému NBG umožňuje, aby byl aplikován stejně na třídy i na „netřídy“ (Mostovský).
Zavedeme malá latinská písmena x1, x2, ... jako speciální proměnné s omezenou množinou. Jinými slovy, x1 A (x1) bude sloužit jako zkratka pro X (M(X)A (X)), což má smysluplně následující význam: „A platí pro všechny množiny a x1 A (x1) bude sloužit jako zkratka pro X (M (X)A (X)), což smysluplně znamená: „A platí pro nějakou množinu“. Všimněte si, že proměnná X použitá v této definici se musí lišit od proměnných zahrnutých v A (x1). (Jako obvykle budou písmena x, y, z, ... použita k označení libovolných proměnných pro množiny.)
PŘÍKLAD Výraz XxyZA (X, x, y, Z) slouží jako zkratka pro
XXj (M(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

X = Y (XZYZ).
Tvrzení 2. Systém NBG je teorie prvního řádu s rovností.

xyzu (u z u = xu = y), tj. pro libovolné množiny x a y existuje množina z taková, že x a y jsou jejími jedinými prvky.

x y (y x), tj. existuje množina, která neobsahuje žádné prvky.
Z axiomu N a axiomu objemu vyplývá, že existuje pouze jediná množina, která neobsahuje žádné prvky, tedy 1x y (y x). Proto můžeme zavést předmětovou konstantu 0 a podřídit ji následující podmínce.
Definice. y (y 0).
Protože podmínka jednoznačnosti je splněna pro neuspořádanou dvojici, můžeme zavést nové funkční písmeno g(x, y) pro označení neuspořádané dvojice x a y. Místo g(x, y) však budeme psát (x, y). Všimněte si, že dvojici (X, Y) můžeme jednoznačně definovat pro libovolné dvě třídy X a Y, nejen pro množiny x a y. Nastavme (X, Y) = 0, pokud jedna z tříd X, Y není množina. Dá se to dokázat
NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Zu = Xu = Y)) ((M(X) M(Y))&Z=0)).
To ospravedlňuje zavedení dvojice (X, Y):
Definice. (M(X) & M(Y) & u (a (X, Y) u = X u = Y))
((M(X) M(Y)) & (X, Y) = 0).
Lze prokázat, že NBG x y u (u (x, y) u = x u = y) a NBG x y (M((x, y))).
Definice. = ((X), (X, Y)). se nazývá uspořádaná dvojice tříd X a Y.
Tato definice nemá žádný vnitřní intuitivní význam. Je to jen nějaký pohodlný způsob (navrhl to Kuratovský) definovat uspořádané dvojice tak, aby bylo možné dokázat následující větu vyjadřující charakteristickou vlastnost uspořádaných dvojic.
Návrh 3.
NBG x y u v ().
Důkaz. Nechat = . To znamená, že ((x), (x, y)) = ((u), (u, v)). Protože (x) ((x), (x, y)), pak (x) ((u), (u, v)). Proto (x) = = (u) nebo (x) = (u, v). V obou případech x = u. Na druhou stranu (u, v) ((u), (u, v)) a tedy (u, v) ((x), (x, y)). Proto (u, v) = (x) nebo (u, v) = = (x, y). Podobně (x, y) = (u) nebo (x, y) = (u, v). Jestliže nebo (u, v) = = (x) a (x, y) = (u), pak x = u = y = v, jinak (u, v) = (x, y) a tedy (u , v) = (u, y). Pokud v ≠ u, pak y = v, a pokud v = u, pak také y = v. Takže v obou případech y = v.
Zobecněme pojem uspořádané dvojice na pojem uspořádaného n.
Definice
= X,
tak např.
V následujícím je u položky NBG vynechán index NBG.
Není těžké dokázat následující zobecnění tvrzení 3.

Tyto axiomy říkají, že pro určité vlastnosti vyjádřené vzorci existují odpovídající třídy všech množin, které tyto vlastnosti mají.
A k s i o m a B1. X u v (X u v) (- vztah).
A k s i o m a B2. X Y Z u (u Z u X & u Y)
(průsečík).
A k s i o m a B3. X Z u (u Z u X) (sčítání).
A k s i o m a B4. X Z u (u Z v (X)) (plocha
definice).
A k s i o m a B5. X Z u v (Z u X).
A k s i o m a B6. X Z u v w (Z X).
A k s i o m a B7. X Z u v w (Z X).
Pomocí axiomů B2-B4 lze dokázat
X Y 1Z u (u Z u X & u Y),
X 1 Zu (u Z u x),
X 1Zu (u Z v (X)).
Tyto výsledky ospravedlňují zavedení nových funkčních písmen,∩,−,D.
Definice
u (u X ∩ Y u X & u Y) (průnik tříd X a Y).
u (u u X) (doplňuje třídu X).
u (u D (X) v (X)) (doména třídy X).
(kombinace tříd X a Y).
V = (univerzální třída).
X − Y = X ∩
Obecná věta o existenci tříd.
Tvrzení 4. Nechť φ (X1,...,Xn, Y1,..., Ym) je vzorec, jehož proměnné jsou převzaty pouze z čísla X1,...,Xn, Y1,..., Ym. Nazvěme takovou formuli predikativní, jsou-li v ní spojeny pouze proměnné pro množiny (tj. lze-li ji do tohoto tvaru redukovat pomocí přijatých zkratek). Pro jakýkoli predikativní vzorec φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Zx1 …xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Důkaz. Můžeme se omezit na uvažování pouze těch vzorců φ, které neobsahují podformule tvaru Yi W, protože jakoukoli takovou podformuli lze nahradit x (x = Yi & x W), což je zase ekvivalentní formuli x (z (z x z Yi) & xW). Lze také předpokládat, že φ neobsahuje podformule tvaru XX, které lze nahradit u (u = X & u X), přičemž druhé je ekvivalentní u (z (z u z X) & u X). Nyní provedeme důkaz indukcí na počtu k logických spojek a kvantifikátorů obsažených ve formuli φ (zapsané s omezenými proměnnými pro množiny).
1. Nechť k = 0. Vzorec φ má tvar xi xj, nebo xj xi, nebo xi Yi, kde 1 ≤ i< j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что
xixj (W1 x xj).
Ve druhém případě podle stejného axiomu existuje třída W2 taková, že
xixj (W2 xj xi),
a pak na základě
XZ u v (Z X),
existuje třída W3 taková, že
xixj (W3 xj xi).
Takže v každém z prvních dvou případů existuje třída W3 taková, že
xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Poté výměna v
XZ v1…vkuw (Z X)
X na W, dostaneme, že existuje nějaká třída Z1 taková, že
x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Dále na základě
XZ v1…vmx1…xn (
ZX)
na stejném místě pro Z1 = X dojdeme k závěru, že existuje třída Z2 taková, že
x1 … xi xi+1 … xj (Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Nakonec žádost
XZ v1…vmx1…xn (Z X)
(1)
na stejném místě pro Z2 = X zjistíme, že existuje třída Z taková, že
x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Pro zbývající případ xi Yi věta vyplývá z (1) a
XZ x v1…vm (Z x X).
2. Předpokládejme, že věta je prokázána pro libovolné k< s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.
(a) φ je ψ. Podle indukční hypotézy existuje třída W taková, že
x1…xn (W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Teď už jen zbývá dosadit Z = .
(b) φ je ψ θ. Podle indukční hypotézy existují třídy Z1 a Z2 takové, že
x1…xn (Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) a
x1…xn (Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Požadovaná třída Z bude v tomto případě třída.
(c) φ je x ψ. Podle indukční hypotézy existuje třída W taková, že
x1…xnx (W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Nejprve to aplikujeme
XZ x1 … xn (Z y (X)).
pro X = a získáme třídu Z1 takovou, že
x1 … xn (Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Nyní konečně položme Z = a poznamenejme, že x ψ je ekvivalentní x ψ.
Příklady. 1. Nechť φ (X, Y1, Y2) je vzorec uv (X = & u Y1 & v Y2). Zde kvantifikátory spojují pouze proměnné pro množiny. Proto na základě věty o existenci tříd Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)) a na základě objemového axiomu 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Proto je možná následující definice, která zavádí nové funkční písmeno:
Definice. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Kartézský součin tříd Y1 a Y2).
Definice. X2 označuje X X (konkrétně V2 označuje třídu všech uspořádaných párů).
Xn označuje Xn-1 X (konkrétně Vn označuje třídu všech uspořádaných ns).
Rel(X) je zkratka pro X V2 (X je vztah).
2. Nechť φ (X, Y) značí X Y. Podle věty o existenci tříd a na základě axiomu objemu 1Zx (x Z x Y). Existuje tedy třída Z, jejíž prvky jsou všechny podmnožiny třídy Y.
Definice. x(xP(Y)xY). (P(Y): třída všech podmnožin třídy Y.)
3. Uvažujme jako φ (X, Y) vzorec v (X v & v Y).
Podle věty o existenci tříd a na základě axiomu objemu platí 1Zx (x Z v (x v & v Y)), tzn. Existuje jediná třída Z, jejíž prvky jsou všechny prvky prvků třídy Y a pouze oni.
Definice. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): spojení všech prvků třídy Y)
4. Nechť φ (X) je u (X =). Podle věty o existenci tříd a na základě axiomu objemu existuje jedinečná třída Z taková, že x (x Z u (x =)).
Definice. x (x I u (x =)). (Vztah identity.)
Následek. Pro jakýkoli predikativní vzorec φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W(W Vn & x1…xn (W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Důkaz. Podle tvrzení 4 existuje třída Z, pro kterou x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Je zřejmé, že požadovaná třída W je třída W = Z ∩ Vn; jeho jedinečnost vyplývá z axiomu objemu.
Definice. Pro jakoukoli predikativní formuli φ (X1,...,Xn, Y1,... ..., Ym), φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)) označuje třídu všech n-s splňující vzorec φ (x1,..., xn, Y1,…, Ym)), tj. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1) ,…,xn, Y1,… …, Ym))). Šetření tuto definici odůvodňuje. Konkrétně pro n = 1 dostáváme u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (někdy místo φ (x1,…, xn, Y1,…, Ym ) záznam (| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym))).
Příklady. 1. Nechť φ je Y. Zkrátíme (Y) a poté V2 & x1x2(Y Y). Říkejme tomu inverzní vztah třídy Y.
2. Nechť φ je v (Y). Označme R(Y) výraz (v (Y)). Pak u (u R(Y) v (Y)). Třída R(Y) se nazývá rozsah hodnot třídy Y. Je zřejmé, že R(Y) = D().
Všimněte si, že axiomy B1 - B7 jsou speciální případy věty o existenci tříd, tj. Tvrzení 4. Jinými slovy, místo toho, abychom předložili Tvrzení 4 jako schéma axiomů, můžeme se se stejným výsledkem omezit pouze na určitý konečný počet jeho speciálních případů . Zároveň, ačkoli nám Tvrzení 4 umožňuje prokázat existenci velkého množství velmi různorodých tříd, stále nevíme nic o existenci jiných množin než těch nejjednodušších množin, jako je 0, (0) , (0, (0 )), ((0)) atd. Pro zajištění existence množin složitější struktury zavádíme další axiomy.

xyu (u y v (u v & v x)).
Tento axiom říká, že sjednocení (x) všech prvků množiny x je také množinou, tj. x (M((x))). Množinu u(x) také označujeme u.
Prostředkem generování nových množin z existujících je vytvoření množiny všech podmnožin dané množiny.

xyu (u y u x).
Tento axiom říká, že třída všech podmnožin množiny x je také množinou; budeme ji nazývat množinou všech podmnožin množiny x. Na základě tohoto axiomu x (M(P (x))).
Příklady.
P(0) = (0).
P((0)) = (0, (0)).
P ((0, (0))) = (0, (0), (0, (0)), ((0))).
Mnohem obecnějším prostředkem pro konstrukci nových množin je následující axiom výběru.

xY zu (u z u x & u Y).
Pro libovolnou množinu x a pro libovolnou třídu Y tedy existuje množina sestávající z prvků společných x a Y. Proto xY (M (x ∩ Y)), tj. průnik množiny s třídou je množina .
Tvrzení 5. xY (Y x M (Y)) (tj. podtřída množiny je množina).
Důkaz. x (Y x Y ∩ x = Y) a x (M (Y ∩ x)).
Protože každá predikativní formule A(y) generuje odpovídající třídu (tvrzení 4), vyplývá z axiomu S, že pro jakoukoli množinu x je třída všech jejích prvků splňujících danou predikativní formuli A(y) množinou.
Pro úplný rozvoj teorie množin však bude zapotřebí silnější axiom než axiom S. Uveďme nejprve několik definic.
Definice Un(X) znamená xyz (X & X y = z).
(X je jedna číslice.)
Fnc(X) znamená X V2 & Un(X). (X je funkce.)
Y 1 X znamená X ∩ (Y V). (Omezení oblasti X na Y.)
Un1(X) znamená Un(X) & Un(). (X je jedna ku jedné.)
X'Y
Pokud existuje jedinečné z takové, že X, pak z = X‘y; jinak X'y = 0. Je-li X funkce a y množina z definičního oboru X, pak X'y je hodnota této funkce aplikovaná na y (V budoucnu zavedeme nová funkční písmena a předmětové konstanty podle potřeby, jakmile je zřejmé, že příslušnou definici lze odůvodnit větou o jednoznačnosti V daném případě se zavádí určité nové funkční písmeno h se zkráceným označením X'Y místo h (X, Y). )).
X''Y = R(Y1X). (Pokud je X funkce, pak X‘‘Y je rozsah hodnot třídy X omezený doménou Y.)

(\slider)(slider=- Axiom substituce.)

x (Un (X) yu (u y v (X & v X))).
Substituční axiom říká, že pokud je třída X jednohodnotová, pak třída druhých složek těch dvojic X, do kterých první složky patří, je množina (ekvivalentní tvrzení: M(R (x 1X))) Vyplývá z tento axiom, že pokud je X funkce, pak rozsah hodnot výsledku omezení X pomocí libovolné domény, která je množinou, je také množinou.
Následující axiom zajišťuje existenci nekonečných množin.

x (0 x & u (u x u (u) x)).
Axiom nekonečna říká, že existuje množina x taková, že 0 x, a pokud x patří také, pak u také patří x. Pro takovou množinu x je zřejmé, že (0) x, (0, (0)) x, (0, (0), (0, (0))) x atd. Pokud nyní nastavíme 1 = (0) , 2 = (0, 1), … , n = (0, 1, … , n – 1), pak pro libovolné celé číslo n ≥ 0 bude splněno n x a zároveň 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …
Seznam axiomů teorie NBG je kompletní. Je vidět, že NBG má pouze konečný počet axiomů, a to: axiom T (objem), axiom P (páry), axiom N (prázdná množina), axiom S (výběr), axiom U (sjednocení), axiom W ( množina všech podmnožin ), axiom R (substituce), axiom I (nekonečno) a sedm axiomů existence tříd B1-B7.
Nyní si ověřte, že Russellův paradox není v NBG odvoditelný. Nechť Y = (x x), tzn. e. x (x Y x x). (Taková třída Y existuje na základě věty o existenci tříd (Tvrzení 4), protože formule x x je predikativní.) V původní, tedy neredukované symbolice, je tato poslední formule zapsána takto: X (M(X) (XYXX)). Řekněme M(Y). Pak Y Y Y Y, což na základě tautologie (A A) A & & A implikuje Y Y Y Y. Odtud pomocí dedukce získáme M(Y)(Y Y Y Y), a poté na základě tautologie ( B (A & A)) B, získáme a M(Y). Úvaha, ze které je Russellův paradox obvykle odvozen, tedy v teorii NBG vede pouze k výsledku, že Y je vlastní třída, tedy nikoli množina. Zde máme co do činění s typickým způsobem teorie NBG, jak se zbavit běžných paradoxů (například paradoxy Cantor a Burali-Forti).
Definice X Irr Y znamená y (y Y X) & Rel (X).
(X je ireflexivní vztah na Y.)
X Tr Y znamená Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &
&X &X &X X).
(X je tranzitivní relace na Y.)
X Část Y znamená (X Irr Y) & (X Tr Y).
(X částečně objednává Y.)
X Con Y znamená Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v
X X).
X Tot Y znamená (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X objednávek Y.)
X We Y slouží jako zápis pro Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &
& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &
& X))).
(X zcela uspořádává Y, to znamená, že relace X je na Y ireflexivní a každá neprázdná podtřída třídy Y má nejmenší prvek ve smyslu vztahu X.)

Axiom volby je jedním z nejznámějších a nejspornějších výroků teorie množin.
Následující vzorce jsou ekvivalentní:
Axiom volby (AS): Pro libovolnou množinu x existuje funkce f taková, že pro každou neprázdnou podmnožinu množiny x f‘ y y (takové funkci se říká výběrová funkce pro x).
Multiplikativní axiom (Mult): Pro jakoukoli množinu x neprázdných a párově disjunktních množin existuje množina y (nazývaná výběrová množina pro x), která obsahuje přesně jeden prvek z každé množiny, která je prvkem x.
u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))
yu (u x 1w (w u ∩ y)).
Princip kompletního objednání (W.O.): Každou sadu lze kompletně objednat. x y (y We x).
Trichotomie (Trich): xy (x y y x).
Zornovo lemma: Jestliže v částečně uspořádané množině x má každý řetězec (tedy každá uspořádaná podmnožina) horní hranici, pak x má maximální prvek.
xy ((y část x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =
= v y))) v (v x & w (š x y))).
Důkaz.
1. (W.O.) Trich. Nechť jsou dány množiny x a y. Podle (W.O.) lze x a y kompletně seřadit. Proto existují řadová čísla α a β taková, že x α a y β. Ale protože α β nebo β α, pak buď x y nebo y x.
2. Trich (W.O.). Nechť je dána množina x. Podle Hartogsovy věty existuje pořadové číslo α, které se nerovná žádné podmnožině množiny x. Pak je podle Tricha x ekvivalentní nějaké podmnožině y pořadového čísla α a zcela uspořádané Ey množiny y generuje nějaké úplné uspořádání množiny x.
3. (W.O.) Mult. Nechť x je nějaká množina neprázdných, párově disjunktních množin. Podle (W.O.) existuje vztah R, který zcela uspořádává množinu (x). V důsledku toho existuje funkce f definovaná na x tak, že f'u pro libovolné u x je nejmenší prvek u vzhledem k R. (Všimněte si, že a (x).)
4. Více AC. Pro libovolnou množinu x existuje funkce g taková, že pokud existuje neprázdná podmnožina x, pak g'u = u (u). Nechť x1 je obor hodnot funkce g. Je snadné vidět, že x1 je množina neprázdných párových disjunktních množin. Na základě Mult existuje pro x1 výběrová sada y. Je-li tedy 0 ≠ u a u x, pak u (u) x1 a y obsahuje navíc jediný prvek z u (u). Funkce f‘ u = v je požadovaná výběrová funkce pro x.
5. AC Zorn. Nechť y částečně uspořádá neprázdnou množinu x tak, že každý y-řetězec v x má horní hranici v x. Na základě AC existuje pro x funkce výběru f. Uvažujme libovolný prvek b množiny x a transfinitní indukcí definujeme funkci F takovou, že F'0 = b a F'α = f'u pro libovolné α, kde u je množina všech takových horních hranic v množinu F'' α vzhledem k uspořádání y, že v x a v F'' α. Nechť β je nejmenší řadové číslo, kterému odpovídá prázdná množina suprem v množiny F‘‘ β vzhledem k uspořádání v, která patří do x a nepatří do F‘‘ β. (Pořadová čísla s touto vlastností existují; jinak by funkce F byla jedna ku jedné s definičním oborem Op a s nějakou podmnožinou množiny x jako definičním oborem, z čehož by substituční axiom R implikoval, že Op je množina.) Nechť g = β 1 F. Funkce g je jedna ku jedné a co když α

Na začátku 20. století Bertrand Russell při studiu naivní teorie množin dospěl k paradoxu (od té doby známému jako Russellův paradox). Prokázala se tak nekonzistence naivní teorie množin a s ní spojeného programu Cantor pro standardizaci matematiky. Byla totiž objevena řada množinově teoretických antinomií: ukázalo se, že při použití množinově teoretických reprezentací lze některá tvrzení dokázat spolu s jejich popřením (a pak podle pravidel klasické výrokové logiky lze prokázat naprosto jakékoli tvrzení „osvědčený“). Antinomie znamenaly úplné selhání Cantorova programu.

Po objevení Russellovy antinomie se někteří matematici (například L. E. Ya. Brouwer a jeho škola) rozhodli zcela opustit používání reprezentací teorie množin. Jiná část matematiků v čele s D. Hilbertem učinila řadu pokusů doložit tu část množinových pojmů, která se jim zdála nejméně zodpovědná za vznik antinomií, na základě zjevně spolehlivé konečné matematiky. Za tímto účelem byly vyvinuty různé axiomatizace teorie množin.

Rysem axiomatického přístupu je odmítnutí základní myšlenky Cantorova programu o skutečné existenci množin v nějakém ideálním světě. V rámci axiomatických teorií množiny „existují“ čistě formálním způsobem a jejich „vlastnosti“ mohou výrazně záviset na volbě axiomatiky. Tato skutečnost byla vždy terčem kritiky ze strany těch matematiků, kteří nesouhlasili (jak tvrdil Hilbert) s uznáním matematiky jako hry symbolů bez jakéhokoli obsahu. Zejména N. N. Luzin napsal, že „síla kontinua, pokud o něm uvažujeme jen jako o množině bodů, je jedinou realitou“, jejíž místo v řadě kardinálních čísel nemůže záviset na tom, zda je hypotéza kontinua uznáván jako axiom nebo jeho popření.

V současnosti je nejrozšířenější axiomatickou teorií množin ZFC – Zermelo-Frenkelova teorie s axiomem výběru. Otázka konzistence této teorie (a tím spíše existence jejího modelu) zůstává nevyřešena.

Axiomy teorie množin

Nyní máme všechny prostředky k tomu, abychom formulovali systém axiomů pro teorii množin ZFC, v jehož rámci můžeme prezentovat všechny obecně uznávané metody uvažování v moderní matematice a netrpíme žádným ze známých paradoxů teorie množin. Tento systém umožňuje konstruovat všechny matematické objekty počínaje prázdnou množinou. Představme si systém axiomů, Zermelo - Frenkel (ZF).

Axiom existence prázdné množiny: Existuje prázdná množina;

Axiom existence dvojice: Pokud existují množiny a a b, pak existuje množina a, b;

Sumový axiom: Pokud existuje množina X, pak existuje množina X=a a b pro nějaké b X;

Axiom nekonečna: Existuje množina = 0, 1,…,n,…, kde 0 =, n + 1 = n n;

Axiom množiny všech podmnožin: Pokud existuje množina A, pak existuje množina:

6. Axiom nahrazení: Jestliže P(x, y) je nějaká podmínka na množinách x, y, takže pro jakoukoli množinu x existuje nejvýše jedna množina na, splňující P(x, y), pak pro libovolnou množinu A existuje množina (b P(c,b) pro nějaké c a);

7. Axiom extenzionality:

Dvě množiny, které mají stejné prvky, jsou si rovny každá množina je definována svými prvky:

8. Axiom pravidelnosti:

Každá neprázdná množina x má prvek a x, pro který

Z axiomu pravidelnosti vyplývá, že každá množina je získána v některém kroku „pravidelného procesu“ tvorby množiny všech podmnožin, počínaje a podobně jako konstrukce přirozených čísel z prázdné množiny podle axiomu nekonečna. . To znamená, že jakýkoli prvek libovolné množiny je množinou vytvořenou z prázdné množiny.

Ukažme si, jak nám axiomatika ZF umožňuje definovat operace teorie množin.

1. Definujme množinu A B na základě množin A až B. Podle axiomu existence dvojice vzniká množina (A, B). Pomocí součtového axiomu získáme množinu (A, B), která se z definice shoduje s množinou A B.

2. Průsečík A B množin A a B je určen náhradním axiomem pomocí následující vlastnosti P(x, y): x = y a x A. Máme množinu (b P(c,b) a c B) = (b c = b as A as B) = (c s A as B).

3. Ukažme, že z axiomů 5 a 6 vyplývá existence množiny A 2 = ((a, b) a, b A) pro libovolnou množinu A. Protože (a, b) = , pak A 2 P( P(A)). Nechť vlastnost P(x, y) znamená, že existují a, b A taková, že x = a y = x. Pak je množina A 2 rovna (b P(c,b), c P(P(A))) a podle axiomu 6 existuje.

Systém axiomů ZFC je vytvořen ze ZF přidáním jednoho z následujících dvou ekvivalentních axiomů, které jsou na jedné straně nejméně „zřejmé“ a na straně druhé nejvíce smysluplné,

1. Axiom výběru.

Pro libovolnou neprázdnou množinu A existuje takové zobrazení: P(A) () A, takové, že (X) X pro všechna X A, X |

2. Princip úplného uspořádání. Pro jakoukoli neprázdnou množinu A existuje binární relace na A, pro kterou je A dobře uspořádaná množina.

V systému ZFC platí princip transfinitní indukce, což je zobecnění principu úplné indukce: je-li A zcela uspořádaná množina, P(x) je určitá vlastnost, pak platí platnost vlastnosti P(x). ) na všech prvcích x A vyplývá z toho, že pro libovolné z A splnitelnost vlastnosti P na prvcích y, kde y< z, влечет выполнимость P(z):

• a), (a, b
• a), (a, b

Teorie množin je postavena na predikátovém počtu, podobně jako formální aritmetika. Do predikátového počtu přidáme jeden nový dvoumístný predikát - vztah členství \in . V rámci teorie množin vyjádříme ještě několik predikátů.

Pro studium teorie množin zavedeme také nový spojek k predikátovému počtu - ekvivalenci. a \leftrightarrow b:= a \rightarrow b \& b \rightarrow a.

Základní axiom vylučuje množiny, které k sobě mohou patřit (možná prostřednictvím řetězce členství):

X \in Y \in Z \in X

Je jasné, že tento axiom se překrývá s axiomem výběru. Přítomnost substitučního axiomu odlišuje Zermelo-Fraenkelovu axiomatiku od Zermelových axiomů.

Na binárních relacích jsou přirozeně zavedeny vztahy reflexivity, symetrie a tranzitivity.

Můžete také zavést pojem maximum, minimum, horní hranice, supremum.

Podívejme se na pořadové číslo podrobněji. Nejprve se podívejme na finále pořadové číslo: 0:= \emptyset ; 1:= \(\prázdná sada\); 2:= 1 \šálek \(1\) atd. Existenci těchto pořadových čísel lze snadno dokázat.

Kromě konečných existují nekonečné ordinály. Například toto je množina N z axiomu nekonečna. Všimněte si, že N \cup \(N\) je nová řadová číslovka, která se nerovná původní.

Minimální limitu označíme ordinální \omega. Je jasné, že jakékoli přirozené číslo je menší než \omega .

Operaci x \cup \(x\) lze zvolit jako operaci sčítání 1. Pro pořadové číslo lze definovat aritmetické operace (+), (\cdot)\lt tex\gt . Výsledkem je určité zobecnění přirozených čísel s podivnými vlastnostmi. Řekněme, že to bude pravda \lt tex\gt 1 + \omega = \omega.

Ordinály se stávají důležitými například při dokazování výroků pomocí transfinitní indukce: nechť je na ordinálech definován nějaký výrok P(x). Ukažme, že z toho, že P(y) platí pro všechny ordinály y \lt z , vyplývá, že platí i P(z). Pak P(x) platí pro libovolnou řadovou číslovku. Transfinitní indukce je zobecněním obyčejné indukce. Například byl použit k prokázání konzistence formální aritmetiky.

Všechna přirozená čísla jsou kardinální. Také například \omega je kardinální číslo (označuje se také jako \aleph_0, když mluvíme o mocnině množin). 2^\omega — kardinální číslo \aleph_1, odpovídá síle kontinua.

Existuje nějaké kardinální číslo mezi \aleph_0 a \aleph_1 ? Hypotéza kontinua (že mezi nimi nejsou žádná jiná kardinální čísla) byla vyslovena již poměrně dávno a dlouhou dobu byla jedním z hlavních problémů teorie množin. Za prvé, Gödel ukázal, že hypotéza kontinua není v rozporu se ZF. Tvrzení, že negace hypotézy kontinua není v rozporu se ZF, dokázal o 30 let později Cohen.

Axiomatika teorie množin

Vysvětlení axiomů ZFC

Mezi axiomy ZFC patří:

0) skupina výroků o rovnosti množin (1 axiom),

1) skupina tvrzení o existenci množin (2 axiomy),

2) skupina tvrzení o tvorbě množin z existujících množin (3 axiomy a 2 schémata), ve kterých lze rozlišit tři podskupiny,

3) skupina výroků o uspořádanosti tvořených množin (2 axiomy).

0. Kritérium pro rovnost množin v ZFC

Následující tvrzení vyjadřuje nezbytnou podmínku identity dvou množin.

Axiom extenzionality (Axiom objemu)

Poznámka

„Axiom objemu“ lze formulovat následovně: „Pokud každý prvek první množiny patří do druhé množiny a každý prvek druhé množiny patří do první množiny, pak je první množina identická s druhou [množinou ]."

Postačující podmínka pro totožnost dvou množin má tvar a je odvozena z axiomů predikátu, a to:

, , kde je nějaký matematicky správný soud o , a je stejný soud, ale o .

Kombinace uvedené dostatečné podmínky [identity množin] s axiomem objemu dává následující kritérium pro rovnost množin:

1. ZFC axiomy o existenci množin

„Axiom objemu“ by byl zbytečným tvrzením, kdyby neexistovaly žádné množiny nebo pouze jedna množina.

Následující dvě tvrzení zaručují existenci alespoň dvou různých množin, a to: a) množiny, ve které nic není, a b) množiny obsahující nekonečné množství prvků.

Poznámka

„Axiom [existence] prázdné množiny“ lze formulovat takto: „Existuje [alespoň jedna] množina bez jediného prvku.

Je dokázáno, že „axiom prázdné množiny“ je ekvivalentní tvrzení . Proto lze pojmenovat jednu sadu. Používají se dva názvy: a. Pomocí těchto názvů je „axiom prázdné množiny“ zapsán následovně:

a kde

Poznámka

„Axiom nekonečna“ lze formulovat následovně: „Existuje [alespoň jedna] ‚nekonečná množina‘, která se skládá z .

Tvrzení o existenci nekonečné množiny se liší od (v této axiomatice nepravdivé) tvrzení o existenci „množiny všech množin“ ().

2. ZFC axiomy o tvoření množin

Následujících pět tvrzení lze nazvat axiomy pro tvorbu množin [z existujících množin, včetně alespoň jedné].

Každý z těchto pěti výroků je vytvořen na základě výroku, který je odvozen z axiomů predikátu.

Těchto pět tvrzení lze seskupit do následujících podskupin:

2.0) skupina postulátů o tvorbě množin uvedením jejich prvků,

2.1) soubor prohlášení o zřízení a zrušení rodin souprav,

2.2) skupina schémat pro tvorbu množin pomocí matematicky správných úsudků.

2,0. Postuluje tvorbu množin vyjmenováním jejich prvků

Nejjednodušší způsob, jak vytvořit novou sadu [z existujících sad], je „ukázat prstem“ na každou sadu, která by se měla stát prvkem [vytvářející se sady]. V ZFC je tento způsob tvorby množin reprezentován jediným axiomem, ve kterém je „ukazování prstem“ modelováno predikátem .

co tam je

Poznámka

„Axiom [neuspořádaných] párů“ lze formulovat následovně: „Z libovolných dvou množin je možné vytvořit ‚neuspořádanou dvojici‘, tedy množinu, jejíž každý prvek je totožný s danou množinou nebo danou množinou. "

Příklady

Je dokázáno, že „párový axiom“ je ekvivalentní tvrzení. Proto lze pojmenovat jednu sadu. Pomocí křestního jména je „párový axiom“ zapsán takto:

nebo

Další dva axiomy, nazývané „axiom podmnožiny“ a „axiom unie“, lze považovat za přirozený doplněk „párového axiomu“. Chcete-li to ověřit, poznamenejte si následující.

Je známo, že každá množina má podmnožiny, včetně [kopie prázdné množiny] a [kopie samotné množiny]. jinými slovy,

.

Podle „párového axiomu“ lze z těchto podmnožin vytvořit neuspořádaný pár. Říkejme této dvojici rodina.

Pokud je možné vytvořit rodinu ze dvou podmnožin množiny, pak lze deklarovat vytvoření rodiny ze všech podmnožin množiny.

Oznámit založení rodiny stačí vyžadovat, aby každý prvek jmenovaná rodina byla podmnožinou souboru , a každou podmnožinu jmenovaný soubor byl prvkem rodiny . jinými slovy, , což je ekvivalentní návrhu , , .

Je-li možné oznámit založení rodiny, pak je možné oznámit zrušení jmenované rodiny.

Lze si představit různé způsoby zrušení rodiny, včetně: 1) jejího úplného zrušení (zničení), to znamená, které je ekvivalentní , 2) jejího fiktivního zrušení (rezervace), to znamená, které je ekvivalentní , 3) ​​jejího reverzní zrušení (rozpuštění), to znamená, které je ekvivalentní . Od , pokud jde o nabídku rovnat se návrhu , což znamená větu , což je zvláštní případ výroku .

Z výše uvedeného vyplývá, že výroky a lze považovat za podmíněně nezávislé.

2.1.0 Axiom množiny podmnožin (booleovský axiom)

co je, kde

Poznámka

„Axiom množiny podmnožin“ lze formulovat následovně: „Z jakékoli množiny můžete vytvořit „superhromadu“, to znamená množinu, jejíž každý prvek je [vlastní nebo nesprávnou] podmnožinou dané množiny.

Příklady od

Je dokázáno, že „axiom množiny podmnožin“ je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné množině dát jméno, které se vyslovuje: „množina všech podmnožin [množiny]“ nebo „booleovský [množiny]“. Pomocí tohoto názvu je „množina axiomu podmnožiny“ zapsána následovně:

nebo co je

Poznámka

Axiom sjednocení [množin] lze formulovat následovně: „Z jakékoli rodiny množin je možné vytvořit „hromadu a spoustu“, tedy množinu, z níž každý prvek patří alespoň do jedné množiny této rodiny.

Příklady

Je dokázáno, že axiom sjednocení je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné množině dát jméno, které se vyslovuje: „spojení množin rodiny“. Pomocí křestního jména je sjednocovací axiom zapsán takto:

nebo .

Spojení množin rodiny () by nemělo být zaměňováno s průnikem množin rodiny (), které je známé:

, to je

2.2. Schémata pro tvorbu množin pomocí matematicky správných úsudků

Mezi matematickými tvrzeními existují axiomy spojení, včetně:

a) axiom souvislosti mezi algebraickou operací (sčítat) a algebraickou operací (násobit)

,

b) axiom souvislosti mezi relací řádu (menší nebo rovno) a algebraickou operací (sčítat)

Další dva výroky, nazývané „výběrové schéma“ a „transformační schéma“, jsou axiomy spojení mezi množinami (například množinou) a matematicky správnými výroky (například úsudek).

„Schéma výběru“ a „schéma transformace“ vyjadřují následující jednoduchou myšlenku: „Každý matematicky správný úsudek o prvcích jakékoli množiny vede k vytvoření [stejné nebo jiné] množiny.

Matematicky správné úsudky objevující se ve „výběrovém schématu“ umožňují „dovést [do prodejnosti]“ množiny, které jsou tvořeny například pomocí booleovského axiomu. Proto jsou tyto matematické úsudky podobné jako otřepy, jehlové pilníky, hodinové šroubováky a další dokončovací nástroje.

Matematicky správné výroky objevující se v „transformačním schématu“ umožňují vytvářet „[matematické] součiny“ z [“hrubých”] množin vytvořených např. pomocí booleovského axiomu. Proto jsou tyto matematické úsudky podobné jako u přesných obráběcích strojů.

, co je , kde je nějaký matematicky správný úsudek o , ale ne o množině nebo o množině .

Poznámka

[Podmnožina] schéma přidělování lze formulovat následovně: „Z každé množiny lze vybrat [alespoň jednu] podmnožinu tím, že uděláme úsudek o každém prvku dané množiny.

Příklady

Je dokázáno, že výběrové schéma je ekvivalentní tvrzení. Proto lze pojmenovat jednu podmnožinu. Pomocí zadaného názvu je schéma přidělování zapsáno takto:

nebo

Výběrové schéma je ekvivalentní spočítatelné množině axiomů.

co tam je

Poznámka

Konverzní schéma [sady] lze formulovat následovně: „Jakoukoli množinu lze přeměnit na [stejnou nebo jinou] množinu tím, že uděláme jakýkoli skutečný matematicky správný funkční úsudek o všech prvcích dané množiny.

Příklady

Je dokázáno, že v transformačním schématu existuje jedinečná množina. Zadané množině lze tedy dát jméno. Pomocí zadaného názvu je schéma převodu napsáno takto:

nebo

Transformační schéma je ekvivalentní spočetné množině axiomů.

3. ZFC axiomy o řazení množin

Následující dva výroky definují uspořádání množin, které jsou tvořeny, a každá pomocí axiomů tvorby množin. Obrazně řečeno, výroky o řazení množin tvoří „třídírnu“ teorie ZFC, zatímco výroky o utváření množin tvoří „výrobní dílnu“ této teorie.

Poznámka

"Axiom pravidelnosti" lze formulovat následovně: "V každé rodině množin existuje [alespoň jedna] množina, jejíž každý prvek nepatří do dané rodiny."

Příklady Porovnejte s tvrzeními a , stejně jako .

Poznámka

Porovnejte s prohlášeními a.

Porovnejte s prohlášeními a.

„Axiom volby“ lze formulovat následovně: „Z jakékoli rodiny neprázdných párově disjunktních množin lze zvolit „delegaci“, tedy množinu, ve které je jeden prvek z každé množiny dané rodiny. .“

Příklad Předpokládejme, že rodina je tvořena množinou nezáporných sudých čísel a množinou nezáporných lichých čísel. V tomto případě jsou splněny všechny podmínky „axiomu volby“, a to: , , .

Proto je možné vytvořit alespoň jednu „delegaci“ složenou z jednoho „delegáta“ (např. nula) z množiny a jednoho „delegáta“ (např. jednoho) z množiny. Opravdu: . .

Poznámky

1. Pokud je ZFC konzistentní, pak jeho konzistenci nelze dokázat pomocí ZFC, podle druhého Gödelova teorému. Zde představíme axiomy, na kterých bude založena celá naše další prezentace teorie množin. Tyto axiomy nám umožňují konstruovat nové množiny z existujících množin a v tomto smyslu se neliší od axiomů uvedených v kapitole I. Podstatný rozdíl je v tom, že zde budeme uvažovat množiny, jejichž prvky jsou samy množinami, to znamená, že budeme uvažovat rodina množin (A, B, X, Y, …).

Zopakujme si nejprve axiom objemu. já . Axiom objemu. Pokud sady A

A

B skládají se ze stejných prvků, shodují se.

Pomocí symbolů lze tento axiom zapsat jako:
II . Axiom existence prázdné množiny. Je jich tolik

.

B že žádný prvek

x nepatří mu: . Axiom objemu. „.Axiom páru. Pro svévolné nepatří mu: . Axiom objemu. „.Axiom páru. :

.

A b existuje množina, jejíž jedinými prvky jsou
III . Axiom součtu.
Pro každou rodinu sad
: .

Podle Axiomu I existuje nejvýše jedna taková množina S.

Opravdu, kdyby

za svévolné . Axiom existence prázdné množiny.

a podle axiomu I,
.

Protože Axiom III uvádí existenci alespoň jedné takové množiny S, pak z toho vyplývá, že pro každou
sady S jasně definované. Zavolejme mu součet sad patřící rodině
, a budeme označovat S(já) nebo
.

IV . Axiom stupně. Pro každou sadu já existuje rodina sad P , jehož prvky jsou všechny podmnožiny množiny já a jen oni:
.

Je snadné dokázat, že soubor já jednoznačně identifikuje rodinu P. To ( P) se nazývá jeho ( já) stupeň a označuje se
.

PROTI . Axiom nekonečna. Existuje taková rodina sad já , který patří Ó a jestli
, pak dovnitř já existuje prvek Y , skládající se ze všech prvků sady X a množství X :

.

Tedy rodina já patří do sady Ó, set N 1 , jehož jedinými prvky jsou Ó A N 1 a tak dále.

VI . Axiom volby. Pro každou rodinu já existuje mnoho prázdných disjunktních množin Pokud sady , které mají jeden prvek společný s každou ze sad
:

Aby se tento výraz lépe četl, poznamenejte si, že výroková funkce prohlašuje existenci takového prvku . Axiom existence prázdné množiny.že podmínky
A
jsou ekvivalentní. Proto prvek . Axiom existence prázdné množiny.- jediný prvek díla
a předmětná výroková funkce uvádí, že tento součin má pouze jeden prvek.

Pro libovolnou výrazovou funkci F(. Axiom existence prázdné množiny.) Přijměme následující axiom:
.

- tento axiom závisí na ostatních, proto mu nedáváme samostatné číslo.

. Výběrový axiom pro výrazovou funkci F. Pro libovolnou množinu já existuje soubor sestávající z těch a pouze těch prvků souboru já , který (nahrazuje proměnné . Axiom existence prázdné množiny. ) uspokojit F.

Symbolicky lze tento axiom zapsat v následujícím tvaru (za předpokladu, že proměnná Pokud sady nenalezen v F):

Pokud v F(. Axiom existence prázdné množiny.) existují (volné) jiné proměnné než . Axiom existence prázdné množiny., pak hrají roli parametrů, na kterých závisí Pokud sady.

Je zřejmé, že mnoho Pokud sady jednoznačně určeno výrazovou funkcí F(. Axiom existence prázdné množiny.) , mnoho já a variabilní výběr . Axiom existence prázdné množiny..

Označíme to
nebo
a čtěte: „Mnoho z nich . Axiom existence prázdné množiny. z já, které uspokojují F(. Axiom existence prázdné množiny.) ».

Pro každou výrokovou funkci, která neobsahuje proměnné . Axiom existence prázdné množiny. A Pokud sady, přijměme následující axiom.

. Náhradní axiom pro expresivní funkci F. Pokud pro každou . Axiom existence prázdné množiny. existuje pouze jeden prvek y , takže Φ( . Axiom existence prázdné množiny. ), pak pro každou sadu já je jich mnoho Pokud sady , skládající se z těch a pouze těch prvků y , což pro některé
provést F( . Axiom existence prázdné množiny. ).

Uveďme intuitivní význam tohoto axiomu. Předpokládejme, že podmínka axiomu platí, tedy pro každého . Axiom existence prázdné množiny. existuje pouze jeden prvek y, vystupování F(. Axiom existence prázdné množiny.) . Nazvěme tento prvek y následovník prvku . Axiom existence prázdné množiny.. Axiom
uvádí, že pak pro každou sadu já je jich mnoho Pokud sady, skládající se ze všech nástupců prvků sady já a pouze od nich.

Například ať
, pak následovník soupravy X bude jich mnoho 2 . Axiom existence prázdné množiny.. Náhradní axiom uvádí, že pro každou rodinu množin já existuje rodina sad Pokud sady, jehož prvky jsou množina 2 . Axiom existence prázdné množiny., Kde
.

Axiomy I–VI a všechny axiomy
(a od čísla je nekonečno), kde F– libovolná výrazová funkce z tř , tvoří (nekonečný) systém axiomů, který budeme označovat
. Vstávání
axiom volby (VI), získáme nový systém axiomů a označíme jej .

Roli, kterou jednotlivé axiomy hrají v teorii množin, lze plně docenit až po seznámení s jejich důsledky. Zde učiníme jen několik obecných závěrů.

Axiomy v matematických teoriích mohou hrát dvojí roli.

V některých případech axiomy zcela charakterizují teorii, to znamená, že v určitém smyslu definují primární koncepty této teorie.

Například v teorii grup definujeme grupu jako množinu s operacemi, které splňují axiomy této teorie.

V jiných případech axiomy formalizují pouze některé vlastnosti primárních pojmů teorie a jejich účelem pak není poskytnout úplný popis primárních pojmů, ale spíše poskytnout systematizaci intuitivního významu těchto pojmů.

Přesně tento účel budou mít axiomy v dalších částech teorie množin.

Axiomy III, IV, VI,
jsou tzv podmíněné axiomy existence : umožňují vyvozovat závěry o existenci určitých množin za předpokladu, že existují jiné množiny.

Konstrukce prováděné na základě axiomů III, IV, VI,
, jsou jednoznačné.

Axiom VI přitom nedefinuje jednoznačně množinu, jejíž existenci tvrdí: pro danou rodinu já Obecně řečeno existuje mnoho množin neprázdných disjunktních množin Pokud sady splňující axiom volby.

Axiomy II a V si zaslouží název absolutní axiomy existence: postulují existenci určitých množin a nejsou omezeny žádnými podmínkami.