Jak převést z binární číselné soustavy. Jak převést na desítkovou číselnou soustavu? Sčítání binárních čísel

V každodenní život Jsme zvyklí používat desítkovou číselnou soustavu, známou nám již ze školy. Kromě toho však existuje mnoho dalších systémů. Jak psát čísla ne v desítkové soustavě, ale například v ?

Jak převést libovolné číslo z desítkové soustavy do dvojkové soustavy

Nutnost převodu desítkového čísla na binární vypadá hrozivě jen na první pohled. Ve skutečnosti je to docela jednoduché – k dokončení transakce ani nemusíte hledat online služby.

• Jako příklad si vezměme číslo 156 zapsané v nám známém desítkovém tvaru a pokusme se ho převést do binárního tvaru.
• Algoritmus bude vypadat takto - počáteční číslo bude potřeba vydělit dvěma, pak znovu 2 a znovu 2, dokud odpověď nezůstane jedna.
• Při dělení převést na binární kód Nezáleží na celých číslech, ale na zbytcích. Pokud se při dělení odpověď ukáže jako sudé číslo, pak se zbytek zapíše jako číslo 0, pokud je liché, pak jako číslo 1.
• V praxi si snadno ověříte, že počáteční binární řada zbytků pro číslo 156 bude vypadat takto - 00111001. Aby se z ní stal plnohodnotný binární kód, bude potřeba tuto řadu zapsat v obráceném pořadí - že je, 10011100.

Binární číslo 10011100, získané jako výsledek jednoduché operace, bude binárním vyjádřením čísla 156.

Další příklad, ale na obrázku

Převod binárního čísla na desítkovou soustavu

Zpětný překlad - z binárního do desítková soustava- může se zdát trochu složitější. Pokud však použijete jednoduchou metodu zdvojení, můžete tento úkol zvládnout za pár minut. Vezměme například stejné číslo, 156, ale v binárním tvaru - 10011100.

• Metoda zdvojení je založena na tom, že v každém kroku výpočtu se vezme tzv. předchozí součet a k němu se přičte další číslice.
• Protože v prvním kroku předchozí součet ještě neexistuje, zde vždy vezmeme 0, zdvojnásobíme ji a přidáme k ní první číslici výrazu. V našem příkladu to bude 0 * 2 + 1 = 1.
• Ve druhém kroku již máme předchozí součet - rovná se 1. Toto číslo je potřeba zdvojnásobit a pak k němu přidat další v pořadí, tedy - 1 * 2 + 0 = 2.
• Ve třetím, čtvrtém a následujících krocích se stále berou předchozí součty a přičítají se k následujícímu číslu ve výrazu.

Když v binárním zápisu zůstane pouze poslední číslice a není již co dodat, operace je dokončena. Jednoduchou kontrolou se můžete ujistit, že odpověď obsahuje požadované desetinné číslo 156.

Dobrý den, návštěvníku stránek! Pokračujeme ve studiu protokolu síťová vrstva IP, přesněji řečeno jeho verze IPv4. Na první pohled téma binární čísla A binární soustava mrtvé zúčtování nemá nic společného s IP protokolem, ale pokud si pamatujeme, že počítače pracují s nulami a jedničkami, tak se ukazuje, že binární systém a jeho pochopení je základem základů, potřebujeme Naučte se převádět čísla z binárních na desítkové a naopak: desítkové až binární. To nám pomůže lépe porozumět protokolu IP a také principu fungování síťových masek variabilní délka. Začněme!

Pokud vás téma počítačových sítí zajímá, můžete si přečíst další nahrávky kurzů.

4.4.1 Úvod

Než začneme, stojí za to vysvětlit, proč síťový inženýr potřebuje toto téma. Ačkoli jste se mohli přesvědčit o jeho nezbytnosti, když jsme hovořili, můžete říci, že existují IP kalkulačky, které značně usnadňují úkol přidělování IP adres, výpočet potřebných masek podsítě/sítě a určení čísla sítě a čísla hostitele v IP adrese. To je pravda, ale kalkulačka IP není vždy po ruce, to je důvod číslo jedna. Důvodem číslo dvě je, že na zkouškách Cisco vám nedají IP kalkulačku a je to. budete muset provést převod IP adres z desítkové na binární na kus papíru, a otázek, kde se to u zkoušky/zkoušek pro získání certifikátu CCNA vyžaduje, není zas tak málo, byla by škoda, kdyby zkouška propadla kvůli takové maličkosti. A konečně pochopení binárního číselného systému vede k lepšímu pochopení principu fungování.

Obecně se od síťového inženýra nevyžaduje, aby uměl v hlavě převádět čísla z binárních do desítkových a naopak. Navíc jen málokdy někdo ví, jak to udělat mentálně učitelé různých kurzů; počítačové sítě, protože se s tím potýkají neustále den za dnem. Ale s kusem papíru a perem byste se měli naučit překládat.

4.4.2 Desetinné číslice a čísla, číslice v číslech

Začněme jednoduše a promluvme si o binárních číslicích a číslech, víte, že čísla a čísla jsou dvě různé věci. Číslo je zvláštní charakter označovat a číslo je abstraktní zápis znamenající množství. Například, abychom si zapsali, že máme na ruce pět prstů, můžeme použít římské a arabské číslice: V a 5. v tomto případě pět je číslo i číslice. A například k zápisu čísla 20 používáme dvě číslice: 2 a 0.

Celkem máme v desítkové číselné soustavě deset čísel nebo deset symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), jejichž kombinací můžeme zapsat různá čísla. Jakým principem se řídíme při používání desítkové číselné soustavy? Ano, vše je velmi jednoduché, deset zvýšíme na ten či onen stupeň, například vezměme číslo 321. Jak se to dá napsat jinak, třeba takto: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Ukazuje se tedy, že číslo 321 představuje tři číslice:

1. Číslo 3 znamená nejvýznamnější místo nebo v tomto případě místo stovky, jinak jejich počet.
2. Číslo 2 je na místě desítek, my máme dvě desítky.
3. Číslo jedna odkazuje na nejméně významnou číslici.

To znamená, že v tomto záznamu není dvojka jen dvojka, ale dvě desítky nebo dvě krát deset. A tři nejsou jen tři, ale třikrát sto. Získáme následující závislost: jednotka každé další číslice je desetkrát větší než jednotka předchozí, protože to, co je 300, je třikrát sto. Odbočka ohledně desítkové číselné soustavy byla nutná, aby bylo snazší porozumět dvojkové soustavě.

4.4.3 Binární číslice a čísla, jakož i jejich záznam

V binární číselné soustavě jsou pouze dvě číslice: 0 a 1. Proto je zápis čísla ve dvojkové soustavě často mnohem větší než v desítkové soustavě. S výjimkou čísel 0 a 1 je nula v binární číselné soustavě rovna nule v desítkové číselné soustavě a totéž platí pro jedničku. Někdy, aby nedošlo k záměně, ve které číselné soustavě je číslo zapsáno, se používají dílčí indexy: 267 10, 10100 12, 4712 8. Číslo v dílčím indexu označuje číselný systém.

Symboly 0b a & (ampersand) lze použít k zápisu binárních čísel: 0b10111, &111. Pokud v desítkové číselné soustavě pro vyslovení čísla 245 použijeme tuto konstrukci: dvě stě čtyřicet pět, pak v binární číselné soustavě, abychom pojmenovali číslo, musíme z každé číslice vyslovit číslici, např. číslo 1100 v binární číselné soustavě by se nemělo vyslovovat jako tisíc sto, ale jako jedna, jedna, nula, nula. Podívejme se na zápis čísel od 0 do 10 v binární číselné soustavě:

Myslím, že logika by už měla být jasná. Jestliže jsme v desítkové číselné soustavě pro každou číslici měli k dispozici deset možností (od 0 do 9 včetně), pak v dvojkové číselné soustavě v každé z číslic dvojkového čísla máme pouze dvě možnosti: 0 nebo 1.

K práci s IP adresami a maskami podsítě potřebujeme pouze přirozená čísla v binárním číselném systému, i když binární systém umožňuje psát zlomková a záporná čísla, ale nepotřebujeme to.

4.4.4 Převod čísel z desítkové na binární

Pojďme se na to podívat lépe jak převést číslo z desítkové na binární. A tady je všechno vlastně velmi, velmi jednoduché, i když je těžké to vysvětlit slovy, takže to dám hned příklad převodu čísel z desítkové na binární. Vezměme si číslo 61, abychom převedli do dvojkové soustavy, musíme toto číslo vydělit dvěma a uvidíme, jaký je zbytek dělení. A výsledek dělení se opět dělí dvěma. V tomto případě je dělenec 61, vždy budeme mít dvojku jako dělitel a podíl (výsledek dělení) opět vydělíme dvěma, pokračujeme v dělení, dokud podíl nebude obsahovat 1, tato poslední jednotka bude číslice zcela vlevo . Níže uvedený obrázek to ukazuje.

Upozorňujeme, že číslo 61 není 101111, ale 111101, to znamená, že výsledek píšeme od konce. V druhém případě nemá smysl dělit jednotku dvěma, protože v tomto případě se používá celočíselné dělení a s tímto přístupem to dopadá jako na obrázku 4.4.2.

To není nejvíc rychlý způsob převod čísla z binárního na desítkové. Máme několik akcelerátorů. Například číslo 7 se binárně zapisuje jako 111, číslo 3 jako 11 a číslo 255 jako 11111111. Všechny tyto případy jsou neuvěřitelně jednoduché. Faktem je, že čísla 8, 4 a 256 jsou mocniny dvojky a čísla 7, 3 a 255 jsou o jednu menší než tato čísla. Pro čísla, která jsou o jedničku menší než číslo rovné mocnině dvou, tedy platí jednoduché pravidlo: ve dvojkové soustavě se takové desetinné číslo zapisuje jako počet jednotek rovný mocnině dvou. Takže například číslo 256 je dvě na osmou mocninu, proto je 255 zapsáno jako 11111111 a číslo 8 je dvě na třetí mocninu, a to nám říká, že 7 v binární číselné soustavě bude zapsáno jako 111 . No, pochopte, jak napsat 256, 4 a 8 v binární číselné soustavě také není těžké, stačí přidat jednu: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Jakýkoli ze svých výsledků můžete zkontrolovat na kalkulačce a je lepší to udělat nejprve.

Jak je vidět, ještě jsme nezapomněli, jak se rozděluje. A teď můžeme jít dál.

4.4.5 Převod čísel z binárních na desítkové

Převod čísel z dvojkové soustavy je mnohem jednodušší než převod z desítkové soustavy do dvojkové soustavy. Jako příklad překladu použijeme číslo 11110. Věnujte pozornost tabulce níže, ukazuje mocninu, na kterou musíte zvýšit dvojku, abyste nakonec dostali desetinné číslo.

Chcete-li z tohoto binárního čísla získat desetinné číslo, musíte každé číslo v číslici vynásobit dvěma a poté sečíst výsledky násobení, což je jednodušší:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Otevřeme kalkulačku a ujistíme se, že 30 v desítkové soustavě je 11110 v binární podobě.

Vidíme, že vše bylo provedeno správně. Z příkladu je zřejmé, že Převod čísla z binárního na desítkové je mnohem jednodušší než zpětný překlad . Abyste mohli pracovat s jistotou, stačí si zapamatovat mocniny dvou až 28. Pro přehlednost dodám tabulku.

Víc nepotřebujeme, protože maximální možný počet, který lze zapsat do jednoho bajtu (8 bitů nebo osm binárních hodnot), je 255, to znamená, že v každém oktetu IP adresy nebo masky podsítě protokolu IPv4 je maximum možný význam— 255. Existují pole, která mají hodnoty vyšší než 255, ale nemusíme je počítat.

4.4.6 Sčítání, odčítání, násobení binárních čísel a další operace s binárními čísly

Pojďme se nyní podívat na operace, které lze provádět s binárními čísly. Začněme těmi jednoduchými aritmetické operace a poté přejděte k operacím Booleovy algebry.

Sčítání binárních čísel

Sčítání binárních čísel není tak obtížné: 1+0 =1; 1+1=0 (vysvětlení podám později); 0+0=0. Tyto byly jednoduché příklady kde byla použita pouze jedna číslice, podívejme se na příklady, kde je počet číslic více než jedna.
101+1101 v desítkové soustavě je 5 + 13 = 18. Počítejme ve sloupci.

Výsledek je zvýrazněn pomerančový, kalkulačka říká, že jsme počítali správně, můžete si to zkontrolovat. Nyní se podívejme, proč se to stalo, protože nejprve jsem psal, že 1+1=0, ale to je pro případ, kdy máme pouze jednu číslici, pro případy, kdy je více číslic, 1+1=10 (nebo dvě v desítkové soustavě), což je logické.

Pak se podívejte, co se stane, provádíme sčítání po číslicích zprava doleva:

1. 1+1=10, napište nulu a jedna přejde na další číslici.

2. V další číslici dostaneme 0+0+1=1 (tato jednotka nám vyšla z výsledku sčítání v kroku 1).

4. Zde máme jednotku pouze ve druhém čísle, ale i sem byla přenesena, takže 0+1+1 = 10.

5. Vše slepte dohromady: 10|0|1|0.

Pokud jste líní ve sloupci, pak počítejme takto: 101011+11011 nebo 43 + 27 = 70. Co tady můžeme dělat, ale podívejme se, protože nám nikdo nezakazuje provádět transformace a měnit místa členy nemění součet, pro binární číselnou soustavu je toto pravidlo rovněž relevantní.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Můžete to zkontrolovat pomocí kalkulačky, 1000110 v binárním systému je 70 v desítkové soustavě.

Odečítání binárních čísel

Okamžitě příklad na odčítání jednociferných čísel v binární číselné soustavě, nemluvili jsme o záporných číslech, takže nebereme v úvahu 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Pokud je více než jedna číslic, pak je vše také jednoduché, nepotřebujete ani žádné sloupce nebo triky: 110111 – 1000, to je totéž jako 55 – 8. Výsledkem je 101111. A srdce přestalo bít, odkud pochází jednotka ve třetí číslici (číslování zleva doprava a začínající od nuly)? Je to jednoduché! Ve druhé číslici čísla 110111 je 0 a v první číslici je 1 (pokud předpokládáme, že číslování číslic začíná od 0 a jde zleva doprava), ale jednotku čtvrté číslice získáme sečtením dvou jednotek třetí číslice (dostane se jakási virtuální dvojka) a od toho Pro dvojky odečteme jedničku, která je v nulté číslici čísla 1000 a 2 - 1 = 1 a 1 je platná číslice v binární číselné soustavě.

Násobení binárních čísel

Zbývá nám zvážit násobení binárních čísel, které je realizováno posunutím o jeden bit doleva. Nejprve se však podívejme na výsledky jednociferného násobení: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Ve skutečnosti je vše jednoduché, nyní se podíváme na něco složitějšího. Vezměme si čísla 101001 (41) a 1100 (12). Budeme násobit sloupcem.

Pokud z tabulky není jasné, jak se to stalo, pokusím se to vysvětlit slovy:

1. Je vhodné násobit binární čísla ve sloupci, takže druhý faktor zapíšeme pod první, pokud čísla s různé množství výboje, bude pohodlnější, když větší číslo bude na vrcholu.
2. Dalším krokem je vynásobení všech číslic prvního čísla nejnižší číslicí druhého čísla. Výsledek násobení zapíšeme níže musíme jej napsat tak, aby pod každou odpovídající číslici byl zapsán výsledek násobení;
3. Nyní musíme vynásobit všechny číslice prvního čísla další číslicí druhého čísla a výsledek zapsat o řádek níže, ale tento výsledek je třeba posunout o jednu číslici doleva, pokud se podíváte na tabulku, toto je druhá sekvence nul odshora.
4. Totéž musíte udělat pro následující číslice, pokaždé se posunete o jednu číslici doleva, a když se podíváte na tabulku, můžete říci, že o jednu buňku doleva.
5. Máme čtyři binární čísla, která nyní musíme sečíst a získat výsledek. Nedávno jsme se podívali na sčítání, neměly by být žádné problémy.

Obecně platí, že operace násobení není tak náročná, jen je potřeba trochu cviku.

Operace booleovské algebry

V Booleově algebře existují dva velmi důležité pojmy: pravda a nepravda, jejichž ekvivalentem je nula a jedna v binární číselné soustavě. Operátory booleovské algebry rozšiřují kvantitu dostupných operátorů nad těmito hodnotami se na ně podívejme.

Logická operace AND nebo AND

Operace logického AND nebo AND je ekvivalentní násobení jednociferných binárních čísel.

1 AND 1 = 1; 1 A 0 = 1; 0 A 0 = 0; 0 A 1 = 0.

1 AND 1 = 1; 1 A 0 = 1; 0 A 0 = 0; 0 A 1 = 0.

Výsledek „Logical AND“ bude jedna pouze v případě, že se obě hodnoty rovnají jedné, ve všech ostatních případech bude nula.

Operace "Logické OR" nebo OR

Operace „Logický OR“ nebo OR funguje na následujícím principu: pokud je alespoň jedna hodnota rovna jedné, bude výsledek jedna.

1 NEBO 1 = 1; 1 NEBO = 1; 0 NEBO 1 = 1; 0 NEBO 0 = 0.

1 NEBO 1 = 1; 1 NEBO = 1; 0 NEBO 1 = 1; 0 NEBO 0 = 0.

Exkluzivní operace OR nebo XOR

Operace "Exclusive OR" nebo XOR nám dá výsledek jedna pouze v případě, že jeden z operandů rovný jedné a druhá se rovná nule. Pokud se oba operandy rovnají nule, výsledek bude nula, a i když se oba operandy rovnají jedné, výsledek bude nula.

Výsledek se již dostavil!

Číselné soustavy

Existují poziční a nepoziční číselné soustavy. Arabská číselná soustava, kterou používáme v každodenním životě, je poziční, ale římská nikoli. V pozičních číselných systémech poloha čísla jednoznačně určuje velikost čísla. Uvažujme to na příkladu čísla 6372 v desítkové číselné soustavě. Očíslujme toto číslo zprava doleva počínaje nulou:

Pak může být číslo 6372 reprezentováno takto:

6372=6000+300+70+2 =6·103 +3·102 +7·101 +2·100.

Číslo 10 určuje číselnou soustavu (v tomto případě je to 10). Hodnoty pozice daného čísla jsou brány jako mocniny.

Uvažujme skutečné desetinné číslo 1287,923. Očíslujme jej od nuly a umístíme číslo od desetinné čárky doleva a doprava:

Pak číslo 1287.923 může být reprezentováno jako:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

V obecný případ vzorec může být reprezentován takto:

C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

kde C n je celé číslo na pozici n, D -k - zlomkové číslo v poloze (-k), s- číselný systém.

Pár slov o číselných soustavách Číslo v desítkové číselné soustavě se skládá z mnoha číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkové soustavě se skládá z mnoha číslic. (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binární číselné soustavě - ze sady číslic (0,1), v hexadecimální soustava zápis - z množiny čísel (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D, E, F odpovídají číslům 10,11,12,13,14,15 Tabulka 1 ukazuje čísla v různé systémy Zúčtování.

Tabulka 1
Notový zápis
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Chcete-li převést čísla z jedné číselné soustavy do druhé, nejjednodušším způsobem je nejprve převést číslo do desítkové číselné soustavy a poté převést z desítkové číselné soustavy do požadované číselné soustavy.

Převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy

Pomocí vzorce (1) můžete převést čísla z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy.

Příklad 1. Převeďte číslo 1011101.001 z binární číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·20 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Příklad2. Převeďte číslo 1011101.001 z osmičkový systém zápis (SS) na desetinný SS. Řešení:

Příklad 3 . Převeďte číslo AB572.CDF z hexadecimální číselné soustavy na desítkovou SS. Řešení:

Zde A- nahrazeno 10, B- v 11, C- ve 12, F- do 15.

Převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy

Chcete-li převést čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy, musíte samostatně převést celou část čísla a zlomková částčísla.

Celočíselná část čísla se převede z desítkové SS do jiné číselné soustavy postupným dělením celé části čísla základem číselné soustavy (pro binární SS - 2, pro 8-ární SS - 8, pro 16 -ary SS - o 16, atd.), dokud se nezíská celý zbytek, menší než báze CC.

Příklad 4 . Převedeme číslo 159 z desítkové SS na binární SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Jak je vidět z Obr. 1, číslo 159, když je děleno 2, dává podíl 79 a zbytek 1. Dále, číslo 79, když je děleno 2, dává podíl 39 a zbytek 1 atd. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) získáme číslo v binárním SS: 10011111 . Proto můžeme napsat:

159 10 =10011111 2 .

Příklad 5 . Převeďme číslo 615 z desítkové SS na osmičkovou SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Při převodu čísla z desítkové SS na osmičkovou SS musíte číslo postupně dělit 8, dokud nezískáte zbytek celého čísla menší než 8. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) dostaneme číslo v osmičkovém SS: 1147 (viz obr. 2). Proto můžeme napsat:

615 10 =1147 8 .

Příklad 6 . Převeďme číslo 19673 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Jak je vidět z obrázku 3, postupným dělením čísla 19673 16 jsou zbytky 4, 12, 13, 9. V hexadecimální soustavě čísel odpovídá číslu 12 C, číslu 13 - D. Proto naše hexadecimální číslo- toto je 4CD9.

Chcete-li převést správné desetinné zlomky ( skutečné číslo s nulovou celočíselnou částí) do číselné soustavy se základem s je nutné toto číslo postupně násobit s, dokud ve zlomkové části nevyjde čistá nula, nebo nezískáme požadovaný počet číslic. Pokud výsledkem násobení je číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se tato celočíselná část nebere v úvahu (jsou postupně zahrnuty do výsledku).

Podívejme se na výše uvedené s příklady.

Příklad 7 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na binární SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Jak je patrné z obr. 4, číslo 0,214 se postupně násobí 2. Pokud je výsledkem násobení číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se celá část zapisuje samostatně (vlevo od čísla), a číslo se zapisuje s nulovou celočíselnou částí. Pokud násobením vznikne číslo s nulovou celočíselnou částí, pak se nalevo od něj zapíše nula. Proces násobení pokračuje, dokud zlomková část nedosáhne čisté nuly nebo nezískáme požadovaný počet číslic. Zápisem tučných čísel (obr. 4) shora dolů dostaneme požadované číslo v binární číselné soustavě: 0. 0011011 .

Proto můžeme napsat:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Příklad 8 . Převeďme číslo 0,125 z desítkové číselné soustavy na binární SS.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Aby bylo možné převést číslo 0,125 z desítkové SS na binární, toto číslo se postupně vynásobí 2. Ve třetí fázi je výsledek 0. Následně se získá následující výsledek:

0.125 10 =0.001 2 .

Příklad 9 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Podle příkladů 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnáctkové soustavě SS čísla 12 a 11 odpovídají číslům C a B. Máme tedy:

0,21410 = 0,36C8B416.

Příklad 10 . Převeďme číslo 0,512 z desítkové číselné soustavy na osmičkovou SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Přijato:

0.512 10 =0.406111 8 .

Příklad 11 . Převeďme číslo 159.125 z desítkové číselné soustavy na binární SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 4) a zlomkovou část čísla (příklad 8). Další kombinací těchto výsledků dostaneme:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Příklad 12 . Převeďme číslo 19673.214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 6) a zlomkovou část čísla (příklad 9). Dále, spojením těchto výsledků získáme.

V jednom z našich materiálů jsme se podívali na definici. Má nejkratší abecedu. Pouze dvě číslice: 0 a 1. Příklady abeced pozičních číselných soustav jsou uvedeny v tabulce.

Poziční číselné soustavy

Název systému	Báze	Abeceda
Binární
Trojice
Kvartérní
Pětinásobný
Osmičková
Desetinný		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
duodecimální		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Hexadecimální		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Třicet šest		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Pro překlad malý počet z desítkové soustavy na binární a naopak, je lepší použít následující tabulku.

Tabulka pro převod desítkových čísel od 0 do 20 do binární číselné soustavy.

desetinný číslo	binární číslo	desetinný číslo	binární číslo

Tabulka se však ukáže být obrovská, pokud tam napíšete všechna čísla. Najít mezi nimi správné číslo bude složitější. Je mnohem jednodušší zapamatovat si několik algoritmů pro převod čísel z jednoho polohovací systém počítání s druhým.

Jak převést z jednoho číselného systému do druhého? V informatice je jich několik jednoduchými způsoby převod desítkových čísel na binární čísla. Podívejme se na dva z nich.

Metoda číslo 1.

Řekněme, že potřebujete převést číslo 637 z desítkové soustavy na dvojkovou soustavu.

To se provádí následovně: zjistí se maximální mocnina dvou tak, aby dvě v této mocnině byly menší nebo rovné původnímu číslu.

V našem případě je to 9, protože 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , což je větší než naše počáteční číslo. Tak jsme dostali počet číslic výsledku. Je to rovno 9+1=10. To znamená, že výsledek bude vypadat jako 1ххххххххх, kde x může být nahrazeno 1 nebo 0.

Najdeme druhou číslici výsledku. Umocněme dvojku na 9 a odečteme od původního čísla: 637-2 9 =125. Poté porovnejte s číslem 2 8 =256 . Protože 125 je menší než 256, bude devátá číslice 0, tj. výsledek již bude mít tvar 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , což znamená, že osmá číslice bude také nula.

2 6 =64 , pak se sedmá číslice rovná 1. 125-64 = 61 Máme tedy čtyři vyšší číslice a číslo bude mít tvar 10011ххххх.

2 5 =32 a vidíme, že 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - pátá číslice 1 => 1001111xxx. Zbytek 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, zbytek 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, zbytek 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Toto bude konečný výsledek.

Metoda číslo 2.

Pravidlo pro převod celých desítkových čísel na binární číselnou soustavu říká:

1. Pojďme se rozdělit a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 na 2.
2. Kvocient bude roven an-1⋅2n−2+...+a1 a zbytek bude stejný
3. Vydělme opět výsledný podíl 2, zbytek dělení bude roven a1.
4. Pokud budeme pokračovat v tomto procesu dělení, pak n-tý krok dostaneme sadu čísel: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1, které jsou součástí binární reprezentace původní číslo a shoduje se se zbytky, když je postupně děleno 2.
5. Chcete-li tedy převést celé desítkové číslo na binární číselnou soustavu, musíte dané číslo a výsledné celočíselné podíly postupně dělit 2, dokud nedostaneme podíl rovný nule.

Původní číslo v binární číselné soustavě je složeno sekvenční nahrávání přijaté zůstatky. Začneme jej nahrávat s posledním nalezeným.

Převedeme desetinné číslo 11 do dvojkové číselné soustavy. Sekvenci akcí diskutovanou výše (algoritmus překladu) lze znázornit následovně:

Přijato 11 10 =1011 2 .

Příklad:

Pokud je desetinné číslo dostatečně velké, pak je to pohodlnější další způsob záznamy výše popsaného algoritmu:

363 10 =101101011 2

Nejkratší číselná soustava je binární. Je úplně založená na pozičním formuláři evidenční čísla. Hlavní charakteristikou je princip zdvojení číslic při provádění přechodu z určité polohy do další. Z jednoho číselného systému do druhého můžete převádět pomocí speciální program a ručně.

Historické uznání

Vzhled binárních SS v historii je spojen s vědcem matematik V.G. Leibniz. Byl to on, kdo poprvé hovořil o pravidlech pro provádění operací s číselnými hodnotami tohoto druhu. Ale zpočátku tento princip zůstal nevyzvednuté. Algoritmus získal celosvětové uznání a uplatnění na úsvitu počítačů.

Pohodlí a jednoduchost operace vedly k potřebě dalších podrobná studie tato podsekce aritmetiky, která se stala ve vývoji nepostradatelnou výpočetní technika S software. Poprvé se takové mechanismy objevily na německém a francouzském trhu.

Pozor! Konkrétní bod o nadřazenosti dvojkové soustavy ve vztahu k desítkové soustavě právě v tomto odvětví byl stanoven v roce 1946 a zdůvodněn v článku A. Bexe, H. Goldsteina a J. Von Neumanna.

Převod čísla z desítkové číselné soustavy do dvojkové soustavy.

Vlastnosti binární aritmetiky

Všechny binární CC jsou založeny pouze na aplikaci dvě postavy, které velmi úzce odpovídají vlastnostem digitální obvod. Každý ze symbolů je zodpovědný za konkrétní akci, která často znamená dva stavy:

• přítomnost nebo nepřítomnost otvoru, například děrný štítek nebo papírová páska;
• na magnetických médiích odpovídá za stav magnetizace nebo demagnetizace;
• podle úrovně signálu, vysoké nebo nízké.

Ve vědě, ve které se používá SS, byla zavedena určitá terminologie, její podstata je následující:

• bit – binární číslice, který se skládá ze dvou složek, které nesou určitý význam. Umístění vlevo je definováno jako starší a je prioritní a vpravo je umístěno juniorské, což je méně významné.
• Bajt je jednotka, která se skládá z osm bitů.

Mnoho modulů vnímá a zpracovává informace po částech nebo slovech. Každé slovo má jiná hmotnost a může se skládat z 8, 16 nebo 32 bitů.

Pravidla pro převody z jednoho systému do druhého

Jeden z nejdůležitější faktory strojová aritmetika je převod z jedné RZ do druhé. Věnujme proto pozornost základním algoritmům pro provedení procesu, který ukáže, jak převést číslo do dvojkové soustavy.

Převod desítkové soustavy na dvojkovou

Nejprve se podívejme na otázku, jak převést soustavu z desítkové na binární číselnou soustavu. Pro toto existuje překladové pravidlo od desítkových čísel k binárnímu kódu, což znamená matematické operace.

Vyžaduje číslo zapsané v desítkovém tvaru dělit 2. Pokračujte v dělení, dokud v kvocientu nebudou žádné další. jednotka. Pokud je vyžadována binární číselná soustava, překlad se provede následovně:

186:2=93 (zbývá 0)

93:2=46 (zbytek 1)

46:2=23 (zbytek 0)

23:2=11 (zbytek 1)

11:2=5 (zbývá 1)

5:2=2 (zbytek.1)

Po dokončení procesu dělení zapíšeme do podílu jedničku a postupně všechny zbytky v opačném pořadí dělení. To znamená, 18610=1111010. Vždy je třeba dodržet pravidlo pro převod desetinných čísel na SS.

Převod čísla z desítkové soustavy do dvojkové soustavy.

Převod z desítkové SS na osmičkovou

Podobný postup se provádí při převodu z desítkové SS na osmičkovou. Říká se tomu také " substituční pravidlo" Pokud v předchozím příkladu byla data dělena 2, tak zde je to nutné dělit 8. Algoritmus pro převod čísla X10 na osmičkové se skládá z následujících kroků:

1. Číslo X10 se začne dělit 8. Výsledný podíl vezmeme pro další dělení a zbytek zapíšeme jako nejméně významný kousek.
2. Pokračujeme v dělení, dokud nedostaneme výsledek stejného podílu nula nebo zbytek, který ve své hodnotě méně než osm. V tomto případě zapíšeme všechny zbytky jako bity nízkého řádu.

Například musíte převést číslo 160110 na osmičkovou.

1601:8=200 (zbývá 1)

200:8=25 (zbývající 0)

25:8=3 (zbytek.1)

Takže dostaneme: 161010=31018.

Převod z desítkové soustavy na osmičkovou.

Napište desetinné číslo v šestnáctkové soustavě

Převod z desítkové do šestnáctkové SS se provádí obdobně pomocí substitučního systému. Kromě čísel ale také používají písmena latinské abecedy A, B, C, D, E, F. Kde A označuje zbytek 10 a F představuje zbytek 15. Desetinné číslo děleno 16. Například převeďte 10710 na šestnáctkové:

107:16=6 (zbývajících 11 – nahradit B)

6 je méně než šestnáct. Přestaneme dělit a zapíšeme 10710 = 6B16.

Přechod z jiného systému na binární

Další otázkou je, jak převést z osmičkového na binární zápisčísla. Převod čísel z libovolného systému na binární je poměrně jednoduchý. Asistent v této věci je tabulka pro číselné soustavy.