Od systému 10 k binárnímu. Jak převést z binárního na desítkové. Převod celých desetinných čísel do jakékoli jiné číselné soustavy

Náhodná proměnná je proměnná, která může nabývat určitých hodnot v závislosti na různých okolnostech a náhodná veličina se nazývá spojitá , pokud může nabývat jakékoli hodnoty z libovolného omezeného nebo neomezeného intervalu. Pro spojitou náhodnou veličinu není možné uvést všechny možné hodnoty, proto označujeme intervaly těchto hodnot, které jsou spojeny s určitou pravděpodobností.

Příklady spojitých náhodných proměnných zahrnují: průměr součásti, na kterou se brousí daná velikost, lidská výška, dostřel střely atd.

Protože pro spojité náhodné veličiny funkce F(X), Na rozdíl od diskrétní náhodné proměnné, nemá nikde žádné skoky, pak je pravděpodobnost jakékoli jednotlivé hodnoty spojité náhodné veličiny nulová.

To znamená, že u spojité náhodné veličiny nemá smysl mluvit o rozdělení pravděpodobnosti mezi jejími hodnotami: každá z nich má nulovou pravděpodobnost. V jistém smyslu jsou však mezi hodnotami spojité náhodné proměnné „více a méně pravděpodobné“. Málokdo by například pochyboval o tom, že hodnota náhodné veličiny – výška náhodně nalezené osoby – 170 cm – je pravděpodobnější než 220 cm, i když v praxi se mohou vyskytovat obě hodnoty.

Distribuční funkce spojité náhodné veličiny a hustota pravděpodobnosti

Jako distribuční zákon, který má smysl pouze pro spojité náhodné veličiny, je zaveden pojem hustota rozdělení nebo hustota pravděpodobnosti. Přistupme k tomu porovnáním významu distribuční funkce pro spojitou náhodnou veličinu a pro diskrétní náhodnou veličinu.

Takže distribuční funkce náhodné veličiny (diskrétní i spojité) resp integrální funkce se nazývá funkce, která určuje pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny X menší nebo rovno mezní hodnotě X.

Pro diskrétní náhodnou veličinu v bodech jejích hodnot X1 , X 2 , ..., X já,... koncentrují se masy pravděpodobností p1 , p 2 , ..., p já,..., a součet všech hmotností je roven 1. Přenesme tento výklad na případ spojité náhodné veličiny. Představme si, že hmota rovna 1 není koncentrována v jednotlivých bodech, ale je průběžně „rozmazávána“ podél osy úsečky Ach s nějakou nerovnoměrnou hustotou. Pravděpodobnost náhodné veličiny spadající do libovolné oblasti Δ X bude interpretováno jako hmotnost příslušející této oblasti a průměrná hustota v této sekci - jako poměr hmotnosti k délce. Právě jsme představili důležitý koncept v teorii pravděpodobnosti: hustotu distribuce.

Hustota pravděpodobnosti F(X) spojité náhodné veličiny je derivace její distribuční funkce:

.

Když znáte funkci hustoty, můžete najít pravděpodobnost, že hodnota spojité náhodné veličiny patří do uzavřeného intervalu [ A; b]:

pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X bude mít libovolnou hodnotu z intervalu [ A; b], se rovná určitému integrálu jeho hustoty pravděpodobnosti v rozmezí od A před b:

.

V čem obecný vzorec funkcí F(X) rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny, které lze použít, pokud je známa funkce hustoty F(X) :

.

Graf hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se nazývá její distribuční křivka (obrázek níže).

Plocha obrázku (na obrázku stínovaná) ohraničená křivkou, rovné čáry nakreslené z bodů A A b kolmo k ose x a ose Ach, graficky zobrazuje pravděpodobnost, že hodnota spojité náhodné veličiny X je v dosahu A před b.

Vlastnosti funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

1. Pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabude libovolnou hodnotu z intervalu (a oblasti obrazce, která je omezena grafem funkce F(X) a osa Ach) se rovná jedné:

2. Funkce hustoty pravděpodobnosti nemůže nabývat záporných hodnot:

a mimo existenci distribuce je jeho hodnota nulová

Hustota distribuce F(X), stejně jako distribuční funkce F(X), je jednou z forem distribučního zákona, ale na rozdíl od distribuční funkce není univerzální: hustota rozdělení existuje pouze pro spojité náhodné veličiny.

Uveďme dva nejdůležitější typy rozdělení spojité náhodné veličiny v praxi.

Pokud funkce hustoty distribuce F(X) spojitá náhodná veličina v nějakém konečném intervalu [ A; b] nabývá konstantní hodnoty C a mimo interval nabývá hodnotu rovnou nule, pak toto rozdělení se nazývá rovnoměrné .

Pokud je graf funkce hustoty distribuce symetrický kolem středu, průměrné hodnoty se soustředí poblíž středu a při pohybu od středu se shromažďují ty, které se od průměru více liší (graf funkce připomíná řez zvonu), pak toto rozdělení se nazývá normální .

Příklad 1 Funkce rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny je známá:

Funkce Najít F(X) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Sestrojte grafy obou funkcí. Najděte pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude libovolné hodnoty v intervalu od 4 do 8: .

Řešení. Funkci hustoty pravděpodobnosti získáme nalezením derivace funkce rozdělení pravděpodobnosti:

Graf funkce F(X) - parabola:

Graf funkce F(X) - rovný:

Najděte pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina bude mít jakoukoli hodnotu v rozsahu od 4 do 8:

Příklad 2 Funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny je dána jako:

Vypočítejte koeficient C. Funkce Najít F(X) rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Sestrojte grafy obou funkcí. Najděte pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina bude mít jakoukoli hodnotu v rozsahu od 0 do 5: .

Řešení. Součinitel C zjistíme pomocí vlastnosti 1 funkce hustoty pravděpodobnosti:

Funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné je tedy:

Integrací najdeme funkci F(X) rozdělení pravděpodobnosti. Li X < 0 , то F(X) = 0. Pokud 0< X < 10 , то

.

X> 10, tedy F(X) = 1 .

Tím pádem, úplný záznam funkce rozdělení pravděpodobnosti:

Graf funkce F(X) :

Graf funkce F(X) :

Najděte pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina bude mít jakoukoli hodnotu v rozsahu od 0 do 5:

Příklad 3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je dáno rovností a . Najděte koeficient A, pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X bude mít libovolnou hodnotu z intervalu ]0, 5[, distribuční funkce spojité náhodné veličiny X.

Řešení. Podmínkou se dostáváme k rovnosti

Proto, , odkud . Tak,

.

Nyní najdeme pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X bude mít libovolnou hodnotu z intervalu ]0, 5[:

Nyní dostaneme distribuční funkci této náhodné veličiny:

Příklad 4. Najděte hustotu pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, který pouze přijímá nezáporné hodnoty a jeho distribuční funkce .

jak je známo, náhodná proměnná volal proměnlivé množství, která může mít jednu nebo druhou hodnotu v závislosti na případu. Náhodné proměnné označují velkými písmeny Latinská abeceda (X, Y, Z) a jejich význam - odpovídajícími malými písmeny (x, y, z). Náhodné veličiny se dělí na nespojité (diskrétní) a spojité.

Diskrétní náhodná veličina je náhodná proměnná, která přijímá pouze konečnou nebo nekonečnou (spočetnou) množinu hodnot s určitou nenulovou pravděpodobností.

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny je funkce, která spojuje hodnoty náhodné veličiny s jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi. Distribuční zákon může být specifikován jedním z následujících způsobů.

1 . Distribuční zákon může být dán tabulkou:

kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….

PROTI) používáním distribuční funkce F(x) , který určuje pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší než x, tzn. F(x) = P(X< x).

Vlastnosti funkce F(x)

3 . Distribuční zákon lze specifikovat graficky – distribuční polygon (polygon) (viz úloha 3).

Všimněte si, že k řešení některých problémů není nutné znát distribuční zákon. V některých případech stačí znát jedno nebo několik čísel, která odrážejí nejdůležitější rysy distribučního zákona. Může to být číslo, které má význam „průměrné hodnoty“ náhodné veličiny, nebo číslo ukazující průměrnou velikost odchylky náhodné veličiny od její střední hodnoty. Čísla tohoto druhu se nazývají číselné charakteristiky náhodné veličiny.

Základní numerické charakteristiky diskrétní náhodné veličiny :

• Matematické očekávání (průměrná hodnota) diskrétní náhodné veličiny M(X)=Σ x i p i.
  Pro binomické rozdělení M(X)=np, pro Poissonovo rozdělení M(X)=λ
• Disperze diskrétní náhodná veličina D(X)=M2 nebo D(X) = M(X2)−2. Rozdíl X–M(X) se nazývá odchylka náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.
  Pro binomické rozdělení D(X)=npq, pro Poissonovo rozdělení D(X)=λ
• Standardní odchylka (standardní odchylka) σ(X)=√D(X).

Příklady řešení úloh na téma „Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny“

Úkol 1.

Bylo vydáno 1000 losů: 5 z nich vyhraje 500 rublů, 10 vyhraje 100 rublů, 20 vyhraje 50 rublů, 50 vyhraje 10 rublů. Určete zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X - výhry na tiket.

Řešení. Podle podmínek problému jsou možné následující hodnoty náhodné veličiny X: 0, 10, 50, 100 a 500.

Počet tipů bez výhry je 1000 – (5+10+20+50) = 915, pak P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobně najdeme všechny ostatní pravděpodobnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X = 500) = 5/1000 = 0,005. Uveďme výsledný zákon ve formě tabulky:

Najdeme matematické očekávání hodnoty X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Úkol 3.

Zařízení se skládá ze tří nezávisle ovládacích prvků. Pravděpodobnost selhání každého prvku v jednom experimentu je 0,1. Nakreslete distribuční zákon pro počet neúspěšných prvků v jednom experimentu, sestrojte distribuční polygon. Najděte distribuční funkci F(x) a vykreslete ji. Najděte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku diskrétní náhodné veličiny.

Řešení. 1. Diskrétní náhodná proměnná X = (počet neúspěšných prvků v jednom experimentu) má následující možné hodnoty: x 1 = 0 (žádný z prvků zařízení selhal), x 2 = 1 (jeden prvek selhal), x 3 = 2 ( dva prvky se nezdařily) a x 4 =3 (tři prvky se nezdařily).

Poruchy prvků jsou na sobě nezávislé, pravděpodobnosti selhání každého prvku jsou stejné, proto platí Bernoulliho vzorec . Vzhledem k tomu, že podle podmínky n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 určíme pravděpodobnosti hodnot:
P3(0) = C3op0q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P3(1) = C3ip1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P3(2) = C32p2q3-2 = 3*0,12*0,9 = 0,027;
P3(3) = C33p3q3-3 = p3 = 0,13 = 0,001;
Kontrola: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Požadovaný zákon binomického rozdělení X má tedy tvar:

Vyneseme možné hodnoty x i podél osy x a odpovídající pravděpodobnosti p i podél osy pořadnice. Sestrojme body M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spojením těchto bodů úsečkami přímých linií získáme požadovaný distribuční polygon.

3. Pojďme najít distribuční funkci F(x) = Р(Х

Pro x ≤ 0 máme F(x) = Р(Х<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pro x > 3 bude F(x) = 1, protože akce je spolehlivá.

Graf funkce F(x)

4. Pro binomické rozdělení X:
- matematické očekávání M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- rozptyl D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- směrodatná odchylka σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

4. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Kontinuální náhodná proměnná lze nastavit pomocí funkce distribuce F(X) . Tento způsob zadání není jediný. Spojitá náhodná proměnná může být také specifikována pomocí jiné funkce nazývané hustota distribuce nebo hustota pravděpodobnosti (někdy nazývaná diferenciální funkce).

Definice 4.1: Hustota rozdělení spojité náhodné veličiny X zavolejte funkci F (X) - první derivace distribuční funkce F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Z této definice vyplývá, že distribuční funkce je primitivní funkcí hustoty distribuce. Všimněte si, že hustota rozdělení není použitelná pro popis rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny.

Pravděpodobnost spojité náhodné veličiny spadající do daného intervalu

Znáte-li hustotu distribuce, můžete vypočítat pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty patřící do daného intervalu.

Teorém: Pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná X bude nabývat hodnot patřících do intervalu (A, b), se rovná určitému integrálu hustoty distribuce v rozsahu odApředb :

Důkaz: Používáme poměr

P(A ≤ Xb) = F(b) – F(A).

Podle Newtonova-Leibnizova vzorce

Tím pádem,

.

Protože P(A ≤ X b)= P(A X b) , pak se konečně dostaneme

.

Geometricky lze získaný výsledek interpretovat následovně: pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná nabude hodnotu patřící do intervalu (A, b), která se rovná ploše křivočarého lichoběžníku ohraničeného osouVůl, distribuční křivkaF(X) a rovnouX = AAX = b.

Komentář: Zejména pokud F(X) – funkce je sudá a konce intervalu jsou symetrické vzhledem k počátku

.

Příklad. Je dána hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X

Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude nabývat hodnot patřících do intervalu (0,5, 1).

Řešení: Požadovaná pravděpodobnost

.

Nalezení distribuční funkce ze známé hustoty rozdělení

Znát hustotu distribuce F(X) , můžeme najít distribuční funkci F(X) podle vzorce

.

Opravdu, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Proto,

.

Tím pádem, Když znáte hustotu distribuce, můžete najít distribuční funkci. Samozřejmě ze známé distribuční funkce lze zjistit hustotu distribuce, jmenovitě:

F(X) = F"(X).

Příklad. Najděte distribuční funkci pro danou hustotu rozdělení:

Řešení: Použijme vzorec

Li X ≤ A, Že F(X) = 0 , tedy, F(X) = 0 . Li a , pak f(x) = 1/(b-a),

proto,

.

Li X > b, Že

.

Takže požadovaná distribuční funkce

Komentář: Získali jsme distribuční funkci rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny (viz rovnoměrné rozdělení).

Vlastnosti distribuční hustoty

Vlastnost 1: Hustota distribuce je nezáporná funkce:

F ( X ) ≥ 0 .

Vlastnost 2: Nevlastní integrál hustoty distribuce v rozsahu od -∞ do ∞ se rovná jednotce:

.

Komentář: Nazývá se graf hustoty distribuce distribuční křivka.

Komentář: Distribuční hustota spojité náhodné veličiny se také nazývá distribuční zákon.

Příklad. Hustota distribuce náhodné veličiny má následující tvar:

Najděte konstantní parametr A.

Řešení: Hustota rozdělení musí splňovat podmínku , takže budeme požadovat, aby byla splněna rovnost

.

Odtud
. Pojďme najít neurčitý integrál:

.

Pojďme vypočítat nevlastní integrál:

Tedy požadovaný parametr

.

Pravděpodobný význam hustoty distribuce

Nechat F(X) – distribuční funkce spojité náhodné veličiny X. Podle definice hustoty distribuce F(X) = F"(X) nebo

Rozdíl F(X+∆x) -F(X) určuje pravděpodobnost, že X bude mít hodnotu patřící intervalu (X, X+∆х). Tedy limit poměru pravděpodobnosti, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty patřící do intervalu (X, X+∆х), na délku tohoto intervalu (at ∆х→0) se rovná hodnotě hustoty rozložení v bodě X.

Takže funkce F(X) určuje rozdělení hustoty pravděpodobnosti pro každý bod X. Z diferenciálního počtu je známo, že přírůstek funkce je přibližně roven diferenciálu funkce, tzn.

Protože F"(X) = F(X) A dx = ∆ X, Že F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

Pravděpodobnostní význam této rovnosti je: pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabude hodnotu patřící do intervalu (X, X+∆ X) se přibližně rovná součinu hustoty pravděpodobnosti v bodě x a délky intervalu ∆x.

Geometricky lze tento výsledek interpretovat následovně: pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabude hodnotu patřící do intervalu (X, X+∆ X) se přibližně rovná ploše obdélníku se základnou ∆х a výškouF(X).

5. Typická rozdělení diskrétních náhodných veličin

5.1. Bernoulliho distribuce

Definice5.1: Náhodná hodnota X, přičemž dvě hodnoty 1 A 0 s pravděpodobnostmi („úspěch“) p a („selhání“) q, volal Bernoullievskaya:

, Kde k=0,1.

5.2. Binomické rozdělení

Ať se vyrábí n nezávislé zkoušky, v každém z nich event A se může nebo nemusí objevit. Pravděpodobnost, že k události dojde ve všech pokusech, je konstantní a stejná p(tedy pravděpodobnost, že se nevyskytne q = 1 - p).

Zvažte náhodnou veličinu X– počet výskytů události A v těchto testech. Náhodná hodnota X nabývá hodnot 0,1,2,… n s pravděpodobnostmi vypočítanými pomocí Bernoulliho vzorce: , Kde k = 0,1,2,… n.

Definice5.2: Binomický se nazývá rozdělení pravděpodobnosti určené Bernoulliho vzorcem.

Příklad. Na cíl jsou vypáleny tři rány a pravděpodobnost zásahu každého výstřelu je 0,8. Vezmeme-li v úvahu náhodnou veličinu X– počet zásahů do cíle. Najděte jeho distribuční sérii.

Řešení: Náhodná hodnota X nabývá hodnot 0,1,2,3 s pravděpodobnostmi vypočtenými pomocí Bernoulliho vzorce, kde n = 3, p = 0,8 (pravděpodobnost zásahu), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (pravděpodobnost chybí).

Distribuční řada má tedy následující podobu:

Použijte Bernoulliho vzorec, když velké hodnoty n poměrně obtížné, proto vypočítat odpovídající pravděpodobnosti, použijte místní Laplaceovu větu, která vám umožní přibližně přesně najít pravděpodobnost výskytu události k jednou za každý n testy, pokud je počet testů dostatečně velký.

Místní Laplaceova věta: Pokud pravděpodobnost p výskyt události A
že událost A se objeví v n testuje přesně kčasy, přibližně stejné (čím přesnější, tím více n) funkční hodnotu
, Kde
, .

Poznámka 1: Tabulky obsahující hodnoty funkcí
, jsou uvedeny v příloze 1 a
. Funkce je hustota standardního normálního rozdělení (viz normální rozdělení).

Příklad: Najděte pravděpodobnost, že událost A přijde přesně 80 jednou za každý 400 pokusy, pokud je pravděpodobnost výskytu této události v každém pokusu rovna 0,2.

Řešení: Podle stavu n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Vypočítejme hodnotu určenou daty úlohy X:
. Z tabulky v příloze 1 najdeme
. Potom bude požadovaná pravděpodobnost:

Potřebujete-li vypočítat pravděpodobnost, že dojde k události A se objeví v n testy neméně k 1 jednou a už ne k 2 krát, pak musíte použít Laplaceovu integrální větu:

Laplaceova integrální věta: Pokud pravděpodobnost p výskyt události A v každém pokusu je konstantní a liší se od nuly a jedničky, pak pravděpodobnost že událost A se objeví v n testy z k 1 před k 2 krát, přibližně rovný určitému integrálu

, Kde
A
.

Jinými slovy, pravděpodobnost, že událost A se objeví v n testy z k 1 před k 2 krát, přibližně stejně

Kde
, A .

Poznámka2: Funkce
nazývaná Laplaceova funkce (viz normální rozdělení). Tabulky obsahující hodnoty funkcí , jsou uvedeny v příloze 2 a
.

Příklad: Najděte pravděpodobnost, že mezi 400 náhodně vybrané díly se ukáží jako netestované ze 70 až 100 dílů, pokud je pravděpodobnost, že díl neprošel kontrolou kvality, rovna 0,2.

Řešení: Podle stavu n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Vypočítejme spodní a horní hranici integrace:

;
.

Máme tedy:

Z tabulky v příloze 2 to zjistíme
A
. Potom požadovaná pravděpodobnost je:

Poznámka 3: V sérii nezávislých pokusů (když n je velké, p je malé) se Poissonův vzorec používá k výpočtu pravděpodobnosti události nastávající přesně kkrát (viz Poissonovo rozdělení).

5.3. Poissonovo rozdělení

Definice5.3: Nazývá se diskrétní náhodná veličina Jed, má-li jeho distribuční zákon tuto formu:

, Kde
A
(konstantní hodnota).

Příklady Poissonových náhodných proměnných:

Počet hovorů za automatická stanice po určitou dobu T.

Počet rozpadových částic nějaké radioaktivní látky za určité časové období T.

Počet televizorů, které dorazí do dílny za určitou dobu T ve velkém městě .

Počet aut, která přijedou na zastávkovou čáru křižovatky ve velkém městě .

Poznámka 1: Speciální tabulky pro výpočet těchto pravděpodobností jsou uvedeny v příloze 3.

Poznámka2: V sérii nezávislých testů (když n skvělý, p nestačí) k přesnému výpočtu pravděpodobnosti události k krát pomocí Poissonova vzorce:
, Kde
, to znamená, že průměrný počet výskytů událostí zůstává konstantní.

Poznámka 3: Pokud existuje náhodná veličina, která je rozdělena podle Poissonova zákona, pak nutně existuje náhodná veličina, která je rozdělena podle exponenciálního zákona a naopak (viz Exponenciální rozdělení).

Příklad. Rostlina odeslána na základnu 5000 kvalitní produkty. Pravděpodobnost, že se produkt při přepravě poškodí, se rovná 0,0002 . Najděte pravděpodobnost, že na základnu dorazí právě tři nepoužitelné produkty.

Řešení: Podle stavu n = 5000, p = 0,0002, k = 3. najdeme λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Podle Poissonova vzorce je požadovaná pravděpodobnost rovna:

, kde je náhodná veličina X– počet nepoužitelných produktů.

5.4. Geometrické rozložení

Nechte být provedeny nezávislé testy, v každém z nich je pravděpodobnost výskytu události A rovná p(0 str

q = 1 - p. Výzvy končí, jakmile se událost objeví A. Pokud tedy událost A objevil se v k-tý test, pak v předchozím k – 1 v testech se to neobjevilo.

Označme podle X diskrétní náhodná proměnná - počet pokusů, které je třeba provést před prvním výskytem události A. Očividně, možné hodnoty X jsou celá čísla x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Nechte první k-1 testovací akce A nepřišel, ale dovnitř k- objevil se test. Pravděpodobnost této „komplexní události“ podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí, P (X = k) = q k -1 p.

Definice5.4: Diskrétní náhodná veličina má geometrické rozložení, má-li jeho distribuční zákon tuto podobu:

P ( X = k ) = q k -1 p , Kde
.

Poznámka 1: Věřící k = 1,2,… , dostaneme geometrickou posloupnost s prvním členem p a jmenovatel q (0q. Z tohoto důvodu se rozdělení nazývá geometrické.

Poznámka2:Řádek
konverguje a její součet je roven jedné. Ve skutečnosti se součet řady rovná
.

Příklad. Z pistole se střílí na cíl, dokud nedojde k prvnímu zásahu. Pravděpodobnost zasažení cíle p = 0,6 . Najděte pravděpodobnost, že dojde k zásahu při třetím výstřelu.

Řešení: Podle stavu p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Požadovaná pravděpodobnost je:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hypergeometrické rozložení

Zvažme následující problém. Pusťte párty ven N dostupné produkty M Standard (MN). Náhodně odebráno z dávky n produkty (každý produkt lze extrahovat se stejnou pravděpodobností) a vybraný produkt není vrácen do šarže před výběrem další (proto zde nelze použít Bernoulliho vzorec).

Označme podle X náhodná veličina - číslo m mezi standardní produkty n vybraný. Potom možné hodnoty X bude 0, 1, 2,…, min; Označme je a... Podle hodnoty nezávislé proměnné (Fonds) použijte tlačítko ( kapitola ...

Vzdělávací a metodický komplex pro obor „Obecně psychologický workshop“

Tréninkový a metodologický komplex

... metodologické instrukce Podle implementace praktická práce 5.1 Metodický doporučení Podle realizace vzdělávacích projektů 5.2 Metodický doporučení Podle... citlivost), jednorozměrný a multidimenzionální... náhodný komponenta v velikost... S sekce"Výkon...

Vzdělávací a metodický komplex pro obor fyzika (název)

Tréninkový a metodologický komplex

... sekce v učebnicích. Řešení problému Podle každé téma. Zpracování metodologické instrukce pro laboratorní práce Podle ... náhodný a chyba přístrojového měření 1.8 Témata testy A metodologické instrukce Podle... Částice v jednorozměrný potenciální díra. ...

Směrnice pro laboratorní práci v oboru informatika

Směrnice

... Metodický instrukce Na LABORATORNÍ PRÁCE Podle ... velikost a největší částku množství... pole náhodnýčísla... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) jednorozměrný pole b) dvourozměrné pole Rýže. 2– Soubory... jsou popsány v sekce realizace po...