Domov › Sazby › Hledání uf. Jak najít doménu funkce? Shromažďování a používání osobních údajů

Hledání uf. Jak najít doménu funkce? Shromažďování a používání osobních údajů

Jak ?
Příklady řešení

Pokud někde něco chybí, znamená to, že někde něco je

Pokračujeme ve studiu části „Funkce a grafy“ a další stanice na naší cestě je. Aktivní diskuse tento koncept začalo v článku o sadách a pokračovalo v první lekci o funkční grafy, kde jsem se podíval na elementární funkce, a zejména na jejich definiční domény. Proto doporučuji figurínům začít se základy tématu, protože se nebudu znovu zdržovat některými základními body.

Předpokládá se, že čtenář zná doménu definice následující funkce: lineární, kvadratický, kubická funkce, polynomy, exponenciála, sinus, kosinus. Jsou definovány na (množina všech reálných čísel). U tečen, arcsinus, budiž, odpouštím =) - vzácnější grafy se hned nepamatují.

Rozsah definice se zdá být jednoduchý a nabízí se logická otázka: o čem článek bude? Na tuto lekci Budu zvažovat běžné problémy hledání definičního oboru funkce. Navíc budeme opakovat nerovnosti s jednou proměnnou, jehož řešitelské dovednosti budou vyžadovány i v jiných úlohách vyšší matematiky. Materiál je mimochodem veškerý školní materiál, takže bude užitečný nejen pro studenty, ale i pro studenty. Informace se samozřejmě netváří encyklopedicky, ale zde nejsou přitažené „mrtvé“ příklady, ale pečené kaštany, které jsou převzaty ze skutečných praktických prací.

Začněme rychlým ponorem do tématu. Stručně k tomu hlavnímu: mluvíme o funkci jedné proměnné. Jeho doménou definice je mnoho významů "x", pro který existovat významy „hráčů“. Uvažujme podmíněný příklad:

Oblastí definice této funkce je sjednocení intervalů:
(pro ty, kteří zapomněli: - ikona sjednocení). Jinými slovy, pokud vezmete jakoukoli hodnotu „x“ z intervalu , nebo z , nebo z , pak pro každé takové „x“ bude hodnota „y“.

Zhruba řečeno, tam, kde je definiční obor, existuje graf funkce. Ale půlinterval a bod „tse“ nejsou zahrnuty v oblasti definice a není tam žádný graf.

Jak najít doménu funkce? Mnoho lidí si pamatuje dětskou říkanku: „kámen, nůžky, papír“ a in v tomto případě lze bezpečně parafrázovat: „kořen, zlomek a logaritmus“. Pokud tedy vy cesta života narazí na zlomek, kořen nebo logaritmus, měli byste být okamžitě velmi, velmi opatrní! Tangenta, kotangens, arcsinus, arkkosinus jsou mnohem méně časté a také si o nich povíme. Nejprve ale náčrtky ze života mravenců:

Doména funkce, která obsahuje zlomek

Předpokládejme, že je nám dána funkce obsahující nějaký zlomek. Jak víte, nemůžete dělit nulou: , takže ty Hodnoty „X“, které mění jmenovatele na nulu, nejsou zahrnuty do rozsahu této funkce.

Nebudu se věnovat nejvíce jednoduché funkce jako atd., protože každý dokonale vidí body, které nejsou zahrnuty v jeho definiční oblasti. Podívejme se na smysluplnější zlomky:

Příklad 1

Najděte definiční obor funkce

Řešení: V čitateli není nic zvláštního, ale jmenovatel musí být nenulový. Nastavíme ji na nulu a pokusíme se najít „špatné“ body:

Výsledná rovnice má dva kořeny: . Hodnoty dat nejsou v rozsahu funkce. Opravdu, dosaďte nebo do funkce a uvidíte, že jmenovatel jde na nulu.

Odpovědět: doména:

Záznam zní takto: „definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou množiny sestávající z hodnot " Dovolte mi připomenout, že symbol zpětného lomítka v matematice označuje logické odčítání a složené závorky označují množinu. Odpověď lze ekvivalentně zapsat jako spojení tří intervalů:

Komu se to líbí.

V bodech funkce toleruje nekonečné přestávky, a přímky dané rovnicemi jsou vertikální asymptoty pro graf této funkce. To je však trochu jiné téma a dále se tomu nebudu moc věnovat.

Příklad 2

Najděte definiční obor funkce

Úkol je v podstatě ústní a mnozí z vás téměř okamžitě najdou oblast definice. Odpověď je na konci lekce.

Bude zlomek vždy „špatný“? Ne. Například funkce je definována na celé číselné ose. Bez ohledu na to, jakou hodnotu „x“ vezmeme, jmenovatel nepůjde na nulu, navíc bude vždy kladný: . Rozsah této funkce je tedy: .

Všechny funkce jako definované a kontinuální na .

Situace je trochu složitější, když je jmenovatel obsazen kvadratickým trinomem:

Příklad 3

Najděte definiční obor funkce

Řešení: Zkusme najít body, ve kterých jde jmenovatel k nule. Pro toto se rozhodneme kvadratická rovnice:

Diskriminant se ukázal jako záporný, což znamená, že neexistují žádné skutečné kořeny a naše funkce je definována na celé číselné ose.

Odpovědět: doména:

Příklad 4

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Řešení a odpověď jsou na konci lekce. Radím vám, abyste nebyli líní s jednoduchými problémy, protože nedorozumění se budou hromadit s dalšími příklady.

Doména funkce s kořenem

Funkce s odmocnina definováno pouze pro hodnoty „x“, když radikální vyjádření není negativní: . Pokud se kořen nachází ve jmenovateli , pak je podmínka zjevně zpřísněna: . Podobné výpočty jsou platné pro jakoukoli odmocninu kladného sudého stupně: , kořen je však již 4. stupně v funkční studie nevzpomínám si.

Příklad 5

Najděte definiční obor funkce

Řešení: radikální výraz musí být nezáporný:

Než budeme pokračovat v řešení, připomenu základní pravidla pro práci s nerovnostmi, známá ze školy.

Vezměte prosím na vědomí Speciální pozornost! Nyní uvažujeme o nerovnostech s jednou proměnnou- to znamená, že pro nás existuje pouze jeden rozměr podél osy. Prosím, nezaměňujte s nerovnosti dvou proměnných, kde je celá souřadnicová rovina geometricky zapojena. Existují však i příjemné náhody! Takže pro nerovnost jsou ekvivalentní následující transformace:

1) Podmínky lze převádět z části na část změnou jejich (podmínek) znamení.

2) Obě strany nerovnosti lze vynásobit kladným číslem.

3) Jsou-li obě strany nerovnosti vynásobeny negativníčíslo, pak je třeba změnit samotný znak nerovnosti. Pokud například bylo „více“, stane se „méně“; pokud bylo „menší nebo rovno“, pak se stane „větším nebo rovno“.

V nerovnosti přesuneme „trojku“. pravá strana se změnou znaku (pravidlo č. 1):

Vynásobme obě strany nerovnosti –1 (pravidlo č. 3):

Vynásobme obě strany nerovnosti (pravidlo č. 2):

Odpovědět: doména:

Odpověď lze také napsat ekvivalentní frází: „funkce je definována na .
Geometricky je oblast definice znázorněna stínováním odpovídajících intervalů na ose x. V tomto případě:

Ještě jednou připomínám geometrický význam definičního oboru - grafu funkce existuje pouze ve stínované oblasti a chybí v .

Ve většině případů je vhodné čistě analytické určení definičního oboru, ale když je funkce velmi komplikovaná, měli byste nakreslit osu a udělat si poznámky.

Příklad 6

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

Když je pod odmocninou čtvercový binom nebo trinom, situace se trochu zkomplikuje a nyní podrobně rozebereme techniku řešení:

Příklad 7

Najděte definiční obor funkce

Řešení: radikální výraz musí být přísně pozitivní, to znamená, že musíme vyřešit nerovnost. V prvním kroku se pokusíme zohlednit kvadratický trinom:

Diskriminant je pozitivní, hledáme kořeny:

Takže parabola protíná osu úsečky ve dvou bodech, což znamená, že část paraboly je umístěna pod osou (nerovnost) a část paraboly je umístěna nad osou (nerovnost, kterou potřebujeme).

Protože koeficient je , větve paraboly směřují nahoru. Z výše uvedeného vyplývá, že nerovnost je splněna na intervalech (větve paraboly jdou nahoru do nekonečna) a vrchol paraboly se nachází na intervalu pod osou x, což odpovídá nerovnosti:

! Poznámka: Pokud úplně nerozumíte vysvětlivkám, nakreslete prosím druhou osu a celou parabolu! Je vhodné se vrátit k článku a manuálu Žhavé vzorce pro kurz školní matematiky.

Upozorňujeme, že samotné body jsou odstraněny (nejsou součástí řešení), protože naše nerovnost je přísná.

Odpovědět: doména:

Obecně platí, že mnoho nerovností (včetně té uvažované) řeší univerzál intervalová metoda, známý opět z školní osnovy. Ale v případě čtvercových binomů a trinomů je podle mého názoru mnohem pohodlnější a rychlejší analyzovat umístění paraboly vzhledem k ose. A hlavní metodu - intervalovou - podrobně rozebereme v článku. Funkce nuly. Konstantní intervaly.

Příklad 8

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Ukázka podrobně komentuje logiku uvažování + druhý způsob řešení a další důležitou transformaci nerovnosti, bez znalosti které bude student kulhat na jednu nohu..., ...hmm... snad jsem se nadchnul o noze, spíše na jednom prstu. Palec.

Lze na celé číselné ose definovat funkci odmocniny? Rozhodně. Všechny známé tváře: . Nebo podobný součet s exponentem: . Ve skutečnosti pro jakékoli hodnoty „x“ a „ka“: , tedy také a .

Zde je méně zřejmý příklad: . Zde je diskriminant záporný (parabola neprotíná osu x), zatímco větve paraboly směřují nahoru, odtud doména definice: .

Opačná otázka: může být definičním oborem funkce prázdný? Ano, a primitivní příklad se okamžitě nabízí , kde radikální výraz je záporný pro jakoukoli hodnotu „x“, a doména definice: (prázdná ikona sady). Taková funkce není vůbec definována (graf je samozřejmě také iluzorní).

S podivnými kořeny atd. všechno je mnohem lepší - tady radikální výraz může být negativní. Například funkce je definována na celé číselné ose. Funkce má však jeden bod, který stále není zahrnut v definiční oblasti, protože jmenovatel je nastaven na nulu. Ze stejného důvodu funkce body jsou vyloučeny.

Doména funkce s logaritmem

Třetí společnou funkcí je logaritmus. Jako příklad nakreslím přirozený logaritmus, který se vyskytuje přibližně v 99 příkladech ze 100. Pokud určitá funkce obsahuje logaritmus, pak by její definiční doména měla zahrnovat pouze ty hodnoty „x“, které splňují nerovnost. Pokud je logaritmus ve jmenovateli: , pak dodatečně je uložena podmínka (od ).

Příklad 9

Najděte definiční obor funkce

Řešení: v souladu s výše uvedeným sestavíme a vyřešíme systém:

Grafické řešení pro figuríny:

Odpovědět: doména:

Ještě u jednoho se zastavím technický bod– Nemám uvedeno měřítko a dělení podél osy nejsou označeny. Vyvstává otázka: jak udělat takové kresby v poznámkovém bloku na kostkovaném papíře? Měla by být vzdálenost mezi body měřena buňkami přesně podle měřítka? Je to kanonické a přísnější, samozřejmě v měřítku, ale schematický nákres, který zásadně odráží situaci, je také docela přijatelný.

Příklad 10

Najděte definiční obor funkce

K vyřešení problému můžete použít metodu z předchozího odstavce - analyzujte, jak je parabola umístěna vzhledem k ose x. Odpověď je na konci lekce.

Jak vidíte, v oblasti logaritmů je vše velmi podobné situaci s odmocninami: funkce (čtvercový trinom z příkladu č. 7) je definován na intervalech a funkce (čtvercový binom z příkladu č. 6) na intervalu . Je dokonce trapné říkat, že typové funkce jsou definovány na celé číselné řadě.

Užitečné informace : zajímavé typická funkce, je definován na celé číselné ose kromě bodu. Podle vlastnosti logaritmu lze „dvojku“ násobit mimo logaritmus, ale aby se funkce nezměnila, musí být „x“ uzavřeno pod znaménkem modulu: . Tady je další pro vás" praktické využití» modul =). To je to, co musíte udělat ve většině případů, když bouráte dokonce stupně, například: . Pokud je základ stupně evidentně např. kladný, pak není třeba znaménko modulu a stačí použít závorky: .

Abychom se vyhnuli opakování, zkomplikujme úkol:

Příklad 11

Najděte definiční obor funkce

Řešení: v této funkci máme jak kořen, tak logaritmus.

Radikální výraz musí být nezáporný: a výraz pod logaritmickým znaménkem musí být přísně kladný: . Je tedy nutné vyřešit systém:

Mnozí z vás velmi dobře vědí nebo intuitivně tuší, že systémové řešení musí vyhovovat ke každému stav.

Zkoumáním umístění paraboly vzhledem k ose dojdeme k závěru, že nerovnost je splněna intervalem (modré stínování):

Nerovnost zjevně odpovídá „červenému“ půlintervalu.

Protože musí být splněny obě podmínky zároveň, pak řešením soustavy je průsečík těchto intervalů. "Společné zájmy" jsou splněny v poločase.

Odpovědět: doména:

Typická nerovnost, jak je demonstrována v příkladu č. 8, není obtížné analyticky vyřešit.

Nalezená doména se nezmění pro „podobné funkce“, např. nebo . Můžete také přidat některé spojité funkce, například: , nebo takto: , nebo dokonce takto: . Jak se říká, kořen a logaritmus jsou tvrdohlavé věci. Jediná věc je, že pokud je jedna z funkcí „resetována“ na jmenovatele, změní se doména definice (ačkoli v obecný případ není to vždy pravda). No, v matanské teorii o tomto slovním... oh... existují věty.

Příklad 12

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Použití výkresu je docela vhodné, protože funkce není nejjednodušší.

Několik dalších příkladů pro posílení materiálu:

Příklad 13

Najděte definiční obor funkce

Řešení: pojďme složit a vyřešit systém:

Všechny akce již byly diskutovány v celém článku. Znázorněme interval odpovídající nerovnosti na číselné ose a podle druhé podmínky vyřaďme dva body:

Význam se ukázal jako zcela irelevantní.

Odpovědět: doména

Malá matematická hříčka na variaci 13. příkladu:

Příklad 14

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Kdo to nestihl, má smůlu ;-)

Závěrečná část lekce je věnována vzácnějším, ale také „pracovním“ funkcím:

Oblasti definice funkcí
s tečnami, kotangens, arkussiny, arkosiny

Pokud nějaká funkce obsahuje , pak z její definiční domény vyloučeno body , Kde Z– množina celých čísel. Zejména, jak je uvedeno v článku Grafy a vlastnosti elementárních funkcí, funkce má následující hodnoty:

To je doména definice tečny: .

Nezabíjíme příliš:

Příklad 15

Najděte definiční obor funkce

Řešení: v tomto případě nebudou zahrnuty do rozsahu definice další body:

Hodíme „dvojku“ levé strany do jmenovatele pravé strany:

Jako výsledek :

Odpovědět: doména: .

V zásadě lze odpověď napsat jako sjednocení nekonečného počtu intervalů, ale konstrukce bude velmi těžkopádná:

Analytické řešení plně souhlasí s geometrická transformace grafu: pokud je argument funkce vynásoben 2, pak se její graf zmenší na osu dvakrát. Všimněte si, jak byla perioda funkce zkrácena na polovinu a body zlomu zdvojnásobil frekvenci. Tachykardie.

Podobný příběh s kotangentou. Pokud některá funkce obsahuje , pak jsou body vyloučeny z její definiční domény. Zejména pro funkci automatického sériového snímání nasnímáme následující hodnoty:

Jinými slovy:

Definice
Funkce y = f (X) se nazývá zákon (pravidlo, zobrazení), podle kterého je každý prvek x množiny X spojen s jedním a pouze jedním prvkem y množiny Y.

Množina X se nazývá doména funkce.
Sada prvků y ∈ Y, které mají předobrazy v množině X, se nazývá sada funkčních hodnot(nebo rozsah hodnot).

Doména funkce se někdy nazývají definiční sada nebo mnoho úkolů funkcí.

Prvek x ∈ X volal argument funkce nebo nezávislé proměnné.
Element y ∈ Y volal funkční hodnotu nebo závislá proměnná.

Samotné zobrazení f se nazývá charakteristika funkce.

Charakteristika f má vlastnost, kterou mají dva prvky a z definiční množiny stejné hodnoty: , Že .

Symbol označující charakteristiku může být stejný jako symbol prvku funkční hodnoty. To znamená, že to můžete napsat takto: . Stojí za to připomenout, že y je prvek z množiny funkčních hodnot a je pravidlem, podle kterého je prvek x spojen s prvkem y.

Samotný proces výpočtu funkce se skládá ze tří kroků. V prvním kroku vybereme prvek x z množiny X. Dále pomocí pravidla je prvek x přidružen k prvku množiny Y. Ve třetím kroku je tento prvek přiřazen k proměnné y.

Soukromá hodnota funkce volat hodnotu funkce s vybranou (konkrétní) hodnotou jejího argumentu.

Graf funkce f nazvaný soubor párů.

Komplexní funkce

Definice
Nechte funkce a být dány. Navíc definiční obor funkce f obsahuje množinu hodnot funkce g. Potom každému prvku t z definičního oboru funkce g odpovídá prvek x a toto x odpovídá y. Tato korespondence se nazývá komplexní funkce: .

Také se nazývá komplexní funkce složení nebo superpozice funkcí a někdy se označuje takto: .

V matematické analýze se obecně uznává, že je-li charakteristika funkce označena jedním písmenem nebo symbolem, pak udává stejnou shodu. V jiných oborech však existuje jiný způsob zápisu, podle kterého jsou zobrazení se stejnou charakteristikou, ale různými argumenty, považována za odlišná. To znamená, že mapování jsou považována za různá. Uveďme příklad z fyziky. Řekněme, že uvažujeme závislost hybnosti na souřadnicích. A mějme závislost souřadnic na čase. Pak je závislost impulsu na čase komplexní funkcí. Ale pro stručnost je označen takto: . S tímto přístupem a - tímto různé funkce. Na identické hodnoty argumenty, které mohou uvést různé významy. Tento zápis není v matematice akceptován. Pokud je požadováno snížení, měli byste zadat nová charakteristika. Například . Pak je jasně vidět, že a je různé funkce.

Platné funkce

Doména funkce a množina jejích hodnot může být jakákoliv množina.
Například číselné posloupnosti jsou funkce, jejichž doménou definice je množina přirozená čísla a souborem hodnot - skutečných nebo komplexní čísla.
Křížový součin je také funkcí, protože pro dva vektory existuje pouze jedna hodnota vektoru. Zde je doménou definice množina všech možných párů vektorů. Množina hodnot je množina všech vektorů.
Booleovský výraz je funkce. Jeho doménou definice je množina reálná čísla(nebo jakákoliv sada, ve které je definována operace porovnání s prvkem „0“). Sada hodnot se skládá ze dvou prvků - „pravda“ a „nepravda“.

Číselné funkce hrají důležitou roli v matematické analýze.

Číselná funkce je funkce, jejíž hodnoty jsou reálná nebo komplexní čísla.

Skutečná nebo skutečná funkce je funkce, jejíž hodnoty jsou reálná čísla.

Maximum a minimum

Reálná čísla mají porovnávací operaci. Proto může být množina hodnot reálné funkce omezena a mít největší a nejmenší hodnotu.

Zavolá se skutečná funkce omezeno shora (zdola), pokud existuje číslo M takové, že nerovnost platí pro všechny:
.

Je volána funkce čísla omezený, pokud existuje číslo M takové, že pro všechny:
.

Maximum M (minimum m) funkce f, na nějaké množině X je hodnota funkce volána pro určitou hodnotu jejího argumentu, pro kterou pro všechny,
.

Horní okraj nebo přesná horní hranice Reálná funkce ohraničená výše je nejmenší číslo, které ohraničuje její rozsah hodnot shora. To znamená, že toto je číslo s, pro které pro každého a pro libovolné existuje argument, jehož funkční hodnota přesahuje s′: .
Horní mez funkce lze označit takto:
.

Horní hranice funkce s horní hranicí

Spodní okraj nebo přesná spodní hranice Reálná funkce ohraničená zdola je největší číslo, které ohraničuje její rozsah hodnot zdola. To znamená, že toto je číslo i, pro které pro každého a pro libovolné existuje argument, jehož funkční hodnota je menší než i′: .
Infimum funkce lze označit takto:
.

Infimum funkce s dolní hranicí je bod v nekonečnu.

Každá reálná funkce na neprázdné množině X má tedy horní a dolní mez. Ale ne každá funkce má maximum a minimum.

Jako příklad uvažujme funkci definovanou na otevřeném intervalu.
Na tomto intervalu je shora omezena hodnotou 1 a níže - hodnota 0 :
pro všechny .
Tato funkce má horní a dolní mez:
.
Nemá ale žádné maximum a minimum.

Pokud uvažujeme stejnou funkci na segmentu, pak na této množině je ohraničená nahoře a dole, má horní a dolní mez a má maximum a minimum:
pro všechny ;
;
.

Monotónní funkce

Definice rostoucí a klesající funkce
Nechť je funkce definována na nějaké množině reálných čísel X. Funkce je volána přísně rostoucí (přísně klesající)
.
Funkce je volána neklesající (nerostoucí), pokud pro všechny platí následující nerovnost:
.

Definice monotónní funkce
Funkce je volána monotónní, pokud je neklesající nebo nerostoucí.

Vícehodnotové funkce

Příklad vícehodnotové funkce. Různé barvy jsou naznačeny jeho větve. Každá větev je funkcí.

Jak vyplývá z definice funkce, každý prvek x z definičního oboru je spojen pouze s jedním prvkem z množiny hodnot. Existují ale zobrazení, ve kterých má prvek x několik nebo nekonečné číslo snímky

Jako příklad zvažte funkci arcsinus: . Je to inverzní funkce sinus a určí se z rovnice:
(1) .
Pro danou hodnotu nezávisle proměnné x, patřící do intervalu, je tato rovnice splněna nekonečně mnoha hodnotami y (viz obrázek).

Zaveďme omezení na řešení rovnice (1). Nechat
(2) .
Za této podmínky nastavená hodnota, existuje pouze jedno řešení rovnice (1). To znamená, že korespondence definovaná rovnicí (1) za podmínky (2) je funkcí.

Místo podmínky (2) můžete zadat jakoukoli jinou podmínku formuláře:
(2.n) ,
kde n je celé číslo. Výsledkem je, že pro každou hodnotu n dostaneme vlastní funkci, odlišnou od ostatních. hromada podobné funkce je vícehodnotová funkce. A funkce určená z (1) za podmínky (2.n) je větev vícehodnotové funkce.

Jedná se o množinu funkcí definovaných na určité množině.

Vícehodnotová funkční větev je jednou z funkcí zahrnutých do vícehodnotové funkce.

Jednohodnotová funkce je funkce.

Reference:
O.I. Bešov. Přednášky o matematické analýze. Část 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Studna matematická analýza. Svazek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematické analýzy. Svazek 1. Moskva, 1983.

Jak najít doménu funkce? S tímto úkolem se často musí vypořádat studenti středních škol.

Rodiče by měli svým dětem pomoci pochopit tuto problematiku.

Zadání funkce.

Připomeňme si základní pojmy algebry. V matematice je funkce závislost jedné proměnné na druhé. Můžeme říci, že se jedná o přísný matematický zákon, který určitým způsobem spojuje dvě čísla.

V matematice se při analýze vzorců nahrazují číselné proměnné abecedními symboly. Nejčastěji používané jsou x („x“) a y („y“). Proměnná x se nazývá argument a proměnná y se nazývá závislá proměnná nebo funkce x.

Existovat různé cesty nastavení proměnných závislostí.

Pojďme si je vyjmenovat:

Analytický typ.
Tabulkový pohled.
Grafický displej.

Analytická metoda je reprezentována vzorcem. Podívejme se na příklady: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Vzorec y=2x+3 je typický pro lineární funkce. Dosazením číselné hodnoty argumentu do daného vzorce získáme hodnotu y.

Tabulková metoda je tabulka sestávající ze dvou sloupců. První sloupec je přidělen hodnotám X a v dalším sloupci jsou zaznamenána data hráče.

Grafická metoda je považována za nejvizuálnější. Graf je zobrazení množiny všech bodů v rovině.

Ke konstrukci grafu použijte Kartézský systém souřadnice Systém se skládá ze dvou na sebe kolmých čar. Na osách jsou položeny identické jednotkové segmenty. Počítání se provádí z centrálního bodu průsečíku přímek.

Nezávislá proměnná označuje vodorovná čára. Říká se jí osa úseček. Svislá čára (osa y) zobrazuje číselnou hodnotu závislé proměnné. Body jsou vyznačeny na průsečíku kolmiček k těmto osám. Spojením bodů dohromady dostaneme Nepřerušovaná čára. Je to základ rozvrhu.

Typy proměnných závislostí

Definice.

Obecně je závislost prezentována jako rovnice: y=f(x). Ze vzorce vyplývá, že pro každou hodnotu čísla x existuje určitý počet u Hodnota hry, která odpovídá číslu x, se nazývá hodnota funkce.

Všechny možné hodnoty, které nezávislá proměnná nabývá, tvoří doménu definice funkce. Celá množina čísel závislé proměnné tedy určuje rozsah hodnot funkce. Definiční doménou jsou všechny hodnoty argumentu, pro které má f(x) smysl.

Počátečním úkolem při studiu matematických zákonů je najít doménu definice. Tento pojem musí být správně definován. Jinak budou všechny další výpočty zbytečné. Koneckonců, objem hodnot je tvořen na základě prvků první sady.

Rozsah funkce je přímo závislý na omezeních. Omezení jsou způsobena nemožností provádět určité operace. Existují také limity pro použití číselných hodnot.

Při absenci omezení je doménou definice celý číselný prostor. Znak nekonečna má vodorovný symbol osmičky. Celá množina čísel je zapsána takto: (-∞; ∞).

V určité případy datové pole se skládá z několika podmnožin. Rozsah číselných intervalů nebo mezer závisí na typu zákona změny parametru.

Zde je seznam faktorů, které ovlivňují omezení:

nepřímá úměrnost;
aritmetický kořen;
umocňování;
logaritmická závislost;
trigonometrické formy.

Pokud existuje několik takových prvků, pak je hledání omezení rozděleno pro každý z nich. Největší problém představuje identifikaci kritických bodů a mezer. Řešením problému bude sjednocení všech číselných podmnožin.

Množina a podmnožina čísel

O sadách.

Definiční obor je vyjádřen jako D(f) a sjednocovací znak je reprezentován symbolem ∪. Všechny číselné intervaly jsou uzavřeny v závorkách. Pokud hranice lokality není zahrnuta v sadě, umístí se půlkruhová závorka. Jinak, když je číslo zahrnuto do podmnožiny, jsou použity hranaté závorky.

Inverzní úměrnost vyjadřuje vzorec y=k/x. Funkční graf je zakřivená čára sestávající ze dvou větví. Běžně se tomu říká hyperbola.

Vzhledem k tomu, že funkce je vyjádřena jako zlomek, nalezení definičního oboru spadá do analýzy jmenovatele. Je dobře známo, že v matematice je dělení nulou zakázáno. Řešením problému je vyrovnání jmenovatele na nulu a nalezení kořenů.

Zde je příklad:

Dáno: y=1/(x+4). Najděte doménu definice.

Jmenovatel rovnáme nule.
x+4=0
Hledání kořene rovnice.
x=-4
Definujte množinu všech možné hodnoty argument.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Odpověď: Definičním oborem funkce jsou všechna reálná čísla kromě -4.

Hodnota čísla pod znaménkem druhé odmocniny nemůže být záporná. V tomto případě se definice funkce s odmocninou redukuje na řešení nerovnice. Radikální výraz musí být větší než nula.

Oblast určení kořene souvisí s paritou kořenového indikátoru. Pokud je indikátor dělitelný 2, pak výraz dává smysl pouze tehdy, je-li kladný. Liché číslo indikátoru označuje přípustnost jakékoli hodnoty radikálního výrazu: pozitivní i negativní.

Nerovnice se řeší stejným způsobem jako rovnice. Rozdíl je jen v jednom. Po vynásobení obou stran nerovnosti záporné číslo znaménko by mělo být obráceno.

Pokud je ve jmenovateli druhá odmocnina, měli byste uložit dodatečná podmínka. Číselná hodnota nesmí být nula. Nerovnost se posouvá do kategorie přísných nerovností.

Logaritmické a goniometrické funkce

Logaritmický tvar má smysl pro kladná čísla. Definiční obor logaritmické funkce je tedy podobný funkci druhé odmocniny, s výjimkou nuly.

Uvažujme příklad logaritmické závislosti: y=log(2x-6). Najděte doménu definice.

2x-6>0
2x>6
x>6/2

Odpověď: (3; +∞).

Definiční obor y=sin x a y=cos x je množina všech reálných čísel. Pro tečnu a kotangens existují omezení. Jsou spojeny s dělením kosinum nebo sinem úhlu.

Tangenta úhlu je určena poměrem sinusu ke kosinu. Uveďme hodnoty úhlu, při kterých tečna neexistuje. Funkce y=tg x má smysl pro všechny hodnoty argumentu kromě x=π/2+πn, n∈Z.

Definiční obor funkce y=ctg x je celá množina reálných čísel s výjimkou x=πn, n∈Z. Pokud je argument roven číslu π nebo násobku π, je sinus úhlu nula. V těchto bodech (asymptoty) kotangens nemůže existovat.

První úkoly k identifikaci domény definice začínají ve výuce v 7. ročníku. Při prvním seznámení s touto částí algebry by měl student jasně porozumět tématu.

Je třeba poznamenat, že tento výraz bude studenta a následně studenta provázet po celou dobu studia.

Funkce druhé odmocniny je definována pouze pro hodnoty „x“, kdy radikální vyjádření není negativní: . Pokud se kořen nachází ve jmenovateli , pak je podmínka zjevně zpřísněna: . Podobné výpočty jsou platné pro jakoukoli odmocninu kladného sudého stupně: , kořen je však již 4. stupně v funkční studie nevzpomínám si.

Příklad 5

Řešení: radikální výraz musí být nezáporný:

Než budeme pokračovat v řešení, připomenu základní pravidla pro práci s nerovnostmi, známá ze školy.

Věnuji zvláštní pozornost! Nyní uvažujeme o nerovnostech s jednou proměnnou- to znamená, že pro nás existuje pouze jeden rozměr podél osy. Prosím, nezaměňujte s nerovnosti dvou proměnných, kde je celá souřadnicová rovina geometricky zapojena. Existují však i příjemné náhody! Takže pro nerovnost jsou ekvivalentní následující transformace:

1) Termíny lze převádět z části na část se změnou znaménka.

2) Obě strany nerovnosti lze vynásobit kladným číslem.

V nerovnosti posuneme „trojku“ na pravou stranu se změnou znaménka (pravidlo č. 1):

Vynásobme obě strany nerovnosti –1 (pravidlo č. 3):

Vynásobme obě strany nerovnosti (pravidlo č. 2):

Odpovědět: doména:

Ve většině případů je vhodné čistě analytické určení definičního oboru, ale když je funkce velmi komplikovaná, měli byste nakreslit osu a udělat si poznámky.

Příklad 6

Najděte definiční obor funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

Když je pod odmocninou čtvercový binom nebo trinom, situace se trochu zkomplikuje a nyní podrobně rozebereme techniku řešení:

Příklad 7

Najděte definiční obor funkce

Protože koeficient je , větve paraboly směřují nahoru. Z výše uvedeného vyplývá, že nerovnost je splněna na intervalech (větve paraboly jdou nahoru do nekonečna) a vrchol paraboly se nachází na intervalu pod osou x, což odpovídá nerovnosti:

! Poznámka: Pokud úplně nerozumíte vysvětlivkám, nakreslete prosím druhou osu a celou parabolu! Je vhodné se k článku vrátit Grafy a vlastnosti elementárních funkcí a tréninkový manuál Žhavé vzorce pro kurz školní matematiky.

Upozorňujeme, že samotné body jsou odstraněny (nejsou součástí řešení), protože naše nerovnost je přísná.

Odpovědět: doména:

Obecně platí, že mnoho nerovností (včetně té uvažované) řeší univerzál intervalová metoda, známé opět ze školních osnov. Ale v případě čtvercových binomů a trinomů je podle mého názoru mnohem pohodlnější a rychlejší analyzovat umístění paraboly vzhledem k ose. A hlavní metodu - intervalovou - podrobně rozebereme v článku. Funkce nuly. Konstantní intervaly.

Příklad 8

Najděte definiční obor funkce

Lze na celé číselné ose definovat funkci odmocniny? Rozhodně. Všechny známé tváře: . Nebo podobný součet s exponentem: . Pro všechny hodnoty „x“ a „ka“ platí: , tedy stejně a .. Například funkce je definována na celé číselné ose. Funkce má však jeden bod, který stále není zahrnut v definiční oblasti, protože jmenovatel je nastaven na nulu. Ze stejného důvodu funkce body jsou vyloučeny.

Některým návštěvníkům webu se uvedené příklady budou zdát elementární a primitivní, ale není to náhoda - za prvé se snažím „vybrousit“ materiál pro nooby a za druhé vybírám realistické věci pro budoucí úkoly: plně funkční studium, nález obor definice funkce dvou proměnných a některé další. Všechno v matematice na sobě lpí. I když ti, kteří mají rádi potíže, také nezůstanou ochuzeni, závažnější úkoly se najdou jak zde, tak v lekci.
o intervalové metodě.

Nejprve se naučíme, jak najít doména definice součtu funkcí. Je jasné, že taková funkce má smysl pro všechny takové hodnoty proměnné, pro které mají smysl všechny funkce tvořící součet. Proto není pochyb o platnosti následujícího prohlášení:

Je-li funkce f součtem n funkcí f 1, f 2, …, f n, to znamená, že funkce f je dána vzorcem y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), pak definičním oborem funkce f je průsečík definičních oborů funkcí f 1, f 2, ..., f n. Zapišme to jako .

Dohodněme se, že budeme nadále používat zápisy podobné tomu poslednímu, čímž máme na mysli napsané uvnitř složené závorky, nebo současné splnění jakýchkoli podmínek. To je pohodlné a zcela přirozeně to rezonuje s významem systémů.

Příklad.

Je dána funkce y=x 7 +x+5+tgx a my potřebujeme najít její definiční obor.

Řešení.

Funkce f je reprezentována součtem čtyř funkcí: f 1 - mocninná funkce s exponentem 7, f 2 - mocninná funkce s exponentem 1, f 3 - konstantní funkce a f 4 - tečné funkce.

Při pohledu na tabulku definičních oborů základních elementárních funkcí zjistíme, že D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞) a definičním oborem tečny je množina všech reálných čísel kromě čísel .

Definiční obor funkce f je průsečíkem definičních oborů funkcí f 1, f 2, f 3 a f 4. Je zcela zřejmé, že se jedná o množinu všech reálných čísel, s výjimkou čísel .

Odpovědět:

množina všech reálných čísel kromě .

Pojďme k hledání doména definice součinu funkcí. Pro tento případ platí podobné pravidlo:

Je-li funkce f součinem n funkcí f 1, f 2, ..., f n, to znamená, že funkce f je dána vzorcem y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), pak definičním oborem funkce f je průsečík definičních oborů funkcí f 1, f 2, ..., f n. Tak, .

To je pochopitelné, v uvedené oblasti jsou definovány všechny funkce produktu, a tedy i samotná funkce f.

Příklad.

Y=3·arctgx·lnx.

Řešení.

Strukturu pravé strany vzorce definujícího funkci lze považovat za f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), kde f 1 je konstantní funkce, f 2 je funkce arkustangens a f 3 je logaritmická funkce se základnou e.

Víme, že D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) a D(f 3)=(0, +∞) . Pak .

Odpovědět:

Definiční obor funkce y=3·arctgx·lnx je množina všech reálných kladných čísel.

Samostatně se zaměřme na nalezení definičního oboru funkce dané vzorcem y=C·f(x), kde C je nějaké reálné číslo. Je snadné ukázat, že definiční obor této funkce a definiční obor funkce f se shodují. Funkce y=C·f(x) je skutečně součinem konstantní funkce a funkce f. Definičním oborem konstantní funkce je množina všech reálných čísel a definičním oborem funkce f je D(f) . Potom definiční obor funkce y=C f(x) je , což je to, co bylo potřeba ukázat.

Definiční obory funkcí y=f(x) a y=C·f(x), kde C je nějaké reálné číslo, se tedy shodují. Například definičním oborem kořene je , je zřejmé, že D(f) je množina všech x z definičního oboru funkce f 2, pro kterou je f 2 (x) zahrnuto v definičním oboru funkce f 1 .

Tím pádem, doména definice komplexní funkce y=f 1 (f 2 (x)) je průnik dvou množin: množiny všech takových x, že x∈D(f 2) a množiny všech takových x, pro která f 2 (x)∈D(f 1). Tedy v notaci, kterou jsme přijali (toto je v podstatě systém nerovností).

Podívejme se na několik příkladů řešení. Proces nebudeme podrobně popisovat, protože to přesahuje rámec tohoto článku.

Příklad.

Najděte definiční obor funkce y=lnx 2 .

Řešení.

Původní funkce může být reprezentována jako y=f 1 (f 2 (x)), kde f 1 je logaritmus se základem e a f 2 je výkonová funkce s ukazatelem 2.

Přejdeme-li ke známým oborům definice hlavních elementárních funkcí, máme D(f 1)=(0, +∞) a D(f 2)=(−∞, +∞) .

Pak

Našli jsme tedy definiční obor funkce, kterou jsme potřebovali, je to množina všech reálných čísel kromě nuly.

Odpovědět:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Příklad.

Co je definičním oborem funkce ?

Řešení.

Tato funkce komplexní, lze ji považovat za y=f 1 (f 2 (x)), kde f 1 je mocninná funkce s exponentem a f 2 je arcsinusová funkce a musíme najít její definiční obor.

Podívejme se, co víme: D(f 1)=(0, +∞) a D(f 2)=[−1, 1] . Zbývá najít průsečík množin hodnot x tak, aby x∈D(f 2) a f 2 (x)∈D(f 1) :

Chcete-li arcsinx>0, zapamatujte si vlastnosti funkce arcsine. Arkussinus se zvětšuje v celém oboru definice [−1, 1] a jde k nule při x=0, proto arcsinx>0 pro libovolné x z intervalu (0, 1] .

Vraťme se k systému: