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En mecánica cuántica Principio de incertidumbre de Heisenberg
(o Heisenberg
) establece que existe un límite distinto de cero para el producto de las varianzas de pares conjugados cantidades fisicas, caracterizando el estado del sistema. El principio de incertidumbre también se encuentra en la teoría clásica de las medidas de cantidades físicas.
Normalmente, el principio de incertidumbre se ilustra de la siguiente manera. Consideremos un conjunto de partículas equivalentes que no interactúan preparadas en un determinado estado, para cada una de las cuales se mide la coordenada q , o impulso pag . En este caso, los resultados de la medición serán variables aleatorias, cuyas desviaciones estándar de los valores promedio satisfarán la relación de incertidumbre , donde – . Dado que cualquier medición cambia el estado de cada partícula, una medición no puede medir simultáneamente los valores de las coordenadas y el impulso. Para un conjunto de partículas, una disminución en la dispersión al medir una cantidad física conduce a un aumento en la dispersión de la cantidad física conjugada. Se cree que el principio de incertidumbre está asociado no sólo con las capacidades de la tecnología experimental, sino que también muestra una propiedad fundamental de la naturaleza.
Contenido
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Breve descripción general
En mecánica cuántica, surge una relación de incertidumbre entre cualquier variable de estado definida por no desplazarse operadores. Además, se acepta que la dualidad onda-partícula es cierta, al menos en parte, para las partículas. En esta aproximación, la posición de la partícula está determinada por el lugar de concentración de la onda correspondiente a la partícula, el momento de la partícula está asociado con la longitud de onda y surge una clara analogía entre las relaciones de incertidumbre y las propiedades de las ondas o señales. La posición es incierta en la medida en que la onda se distribuye en el espacio, y la incertidumbre del momento se deriva de la incertidumbre de la longitud de onda cuando se mide en diferentes momentos tiempo. Si la ola está en como un punto región, su posición se determina con buena precisión, pero dicha onda en forma de tren de ondas cortas no tiene una determinada longitud de onda característica de una onda monocromática infinita.
La función de onda se puede tomar como la onda correspondiente a la partícula. En la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica, se dice que la decoherencia ocurre siempre que se mide la posición de una partícula. Por el contrario, la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica dice que con cada medición de la posición de una partícula, la función de onda parece colapsar hasta la pequeña región donde se encuentra la partícula, y más allá de esta región la función de onda es cercana a cero ( esta descripción se considera una posible técnica para conciliar el comportamiento de la función de onda con una característica de una partícula, ya que la función de onda sólo está indirectamente relacionada con cantidades físicas reales). Esta interpretación se deriva del hecho de que el cuadrado de la función de onda muestra la probabilidad de encontrar una partícula en el espacio. Para una región pequeña, el momento de la partícula en cada dimensión no se puede medir con precisión debido al propio procedimiento de medición del momento. Al medir la posición, la partícula se detectará con mayor frecuencia donde hay un máximo de la función de onda, y en una serie de mediciones idénticas aparecerá la posición más probable y se determinará la desviación estándar de ella:
De la misma forma, en una serie de mediciones idénticas, se realiza una distribución de probabilidad, se determina la dispersión estadística y la desviación estándar del momento promedio de las partículas:
El producto de estas cantidades está relacionado por la relación de incertidumbre:
¿Dónde está la constante de Dirac?
En algunos casos, la "incertidumbre" de una variable se define como el ancho más pequeño del rango que contiene el 50% de los valores, lo que en el caso de una variable distribuida normalmente resulta en un límite inferior mayor para el producto de las incertidumbres, convirtiéndose en igual a . Según la relación de incertidumbre, el estado puede ser tal que incógnita se puede medir con alta precisión, pero luego pag se conocerá sólo aproximadamente, o viceversa pag se puede determinar con precisión, mientras incógnita - No. En todos los demás estados, y incógnita Y pag se puede medir con una precisión "razonable" pero no arbitrariamente alta.
Las relaciones de incertidumbre imponen restricciones límite teórico exactitud de cualquier medida. Son válidos para las llamadas medidas ideales, a veces llamadas medidas de John von Neumann. Son aún más válidos para medidas no ideales o medidas según L.D. Landó. En la vida cotidiana normalmente no observamos incertidumbre porque el valor es extremadamente pequeño.
Como regla general, cualquier partícula (en en un sentido general, por ejemplo, que lleva una carga eléctrica discreta) no puede describirse como una “partícula puntual clásica” y una onda al mismo tiempo. El principio de incertidumbre propuesto originalmente por Heisenberg es válido cuando ninguno de estas dos descripciones no es total y exclusivamente apropiada. Un ejemplo es una partícula con un determinado valor energético ubicada en una caja. Tal partícula es un sistema que no está caracterizado. ni una cierta “posición” (un cierto valor de la distancia desde la pared potencial), ni un cierto valor del impulso (incluida su dirección).
El principio de incertidumbre se cumple no solo en experimentos con muchas partículas en los mismos estados iniciales, cuando se tienen en cuenta las desviaciones cuadráticas medias de los valores promedio para un par de cantidades físicas conjugadas medidas por separado entre sí, sino también en cada medición, cuando es posible estimar los valores y la dispersión de ambas cantidades físicas simultáneamente Aunque el principio de incertidumbre está asociado con efecto observador , no se limita a ello, ya que también está asociado a las propiedades de los objetos cuánticos observables y sus interacciones entre sí y con dispositivos.
Historia
Artículo principal: Introducción a la mecánica cuántica
Werner Heisenberg formuló el principio de incertidumbre en el Instituto Niels Bohr de Copenhague mientras trabajaba en fundamentos matemáticos mecánica cuántica.
En 1925, siguiendo el trabajo de Hendrik Kramers, Heisenberg desarrolló la mecánica matricial, reemplazando la versión anterior de la mecánica cuántica basada en los postulados de Bohr. Sugirió que el movimiento cuántico se diferencia del movimiento clásico en que los electrones de un átomo no tienen órbitas definidas con precisión. En consecuencia, para un electrón ya no es posible decir exactamente dónde se encuentra en tiempo dado y qué tan rápido se mueve. Una propiedad de las matrices de Heisenberg para posición y momento es que no conmutan entre sí:
En marzo de 1926, Heisenberg descubrió que no conmutatividad conduce al principio de incertidumbre, que se convirtió en la base de lo que más tarde se llamó la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Heisenberg mostró la conexión entre los operadores del conmutador de magnitud y el principio de complementariedad de Bohr. Dos variables cualesquiera que no conmuten no se pueden medir con precisión simultáneamente, ya que a medida que aumenta la precisión de la medición de una variable, la precisión de la medición de la otra variable disminuye.
Como ejemplo, podemos considerar la difracción de una partícula que pasa a través de una rendija estrecha en una pantalla y se desvía después de pasar por un cierto ángulo. Cuanto más estrecha es la brecha, mayor es la incertidumbre en la dirección del momento de la partícula transmitida. Según la ley de difracción, la posible desviación angular Δθ aproximadamente igual a λ / d , Dónde d es el ancho de la rendija y λ es la longitud de onda correspondiente a la partícula. Si usamos la fórmula para en la forma λ = h / pag y designar dΔθ = Δ incógnita , entonces se obtiene la relación de Heisenberg:
En su artículo de 1927, Heisenberg presentó esta relación como la perturbación mínima necesaria en la magnitud del momento de la partícula resultante de medir la posición de la partícula, pero no proporcionó definición precisa valores Δx y Δp. En cambio, hizo sus valoraciones en varias ocasiones. En su conferencia en Chicago, aclaró su principio de la siguiente manera:
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EN forma moderna La relación de incertidumbre fue escrita por E. H. Kennard en 1927: |
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donde, y σ x , σ p son las desviaciones cuadráticas medias (estándar) de la posición y el impulso. El propio Heisenberg demostró la relación (2) sólo para ocasión especial Estados gaussianos. .
El principio de incertidumbre y el efecto observador.
Una versión del principio de incertidumbre se puede formular de la siguiente manera:
Medir las coordenadas de una partícula necesariamente cambia su impulso y viceversa. .
Esto convierte el principio de incertidumbre en una versión cuántica especial. efecto observador , y el papel de observador también puede ser sistema automatizado mediciones, utilizando tanto el principio de detección directa de partículas como el método de exclusión (las partículas que no ingresaron al detector pasaron por otro camino accesible).
Esta explicación puede ser aceptada y utilizada por Heisenberg y Bohr, quienes se basaban en la base filosófica del positivismo lógico. Según la lógica del positivismo, para el investigador la verdadera naturaleza de lo observado sistema fisico determinado por los resultados de los experimentos más precisos, alcanzables en principio y limitados sólo por la propia naturaleza. En este caso, la aparición de imprecisiones inevitables durante las mediciones se convierte en consecuencia no solo de las propiedades de los instrumentos realmente utilizados, sino también del sistema físico en sí en su conjunto, incluidos el objeto y el sistema de medición.
Actualmente, el positivismo lógico no es un concepto generalmente aceptado, por lo que la explicación del principio de incertidumbre basada en el efecto del observador resulta incompleta para quienes se adhieren a un enfoque filosófico diferente. Algunos creen que el cambio significativo en su impulso que se produce al medir las coordenadas de una partícula es propiedad necesaria no partículas, sino sólo el proceso de medición. De hecho, la partícula, oculta al observador, tiene una determinada ubicación y momento en cada momento del tiempo, pero sus valores no se determinan con precisión debido al uso de instrumentos demasiado toscos (la teoría parámetros ocultos). Para ilustrarlo, he aquí un ejemplo: necesitas encontrar la ubicación y el impulso de una bola de billar en movimiento usando otra bola de billar. En una serie de experimentos en los que ambas bolas se dirigen aproximadamente de la misma manera y chocan, es posible encontrar los ángulos de dispersión de las bolas, sus momentos y luego determinar los puntos de encuentro. Debido a las imprecisiones iniciales, cada colisión es única, hay una dispersión en la ubicación y la velocidad de las bolas, lo que para una serie de colisiones conduce a una relación de incertidumbre correspondiente. Sin embargo, al mismo tiempo, sabemos con certeza que en cada dimensión individual las bolas se mueven, poseyendo un impulso muy específico en cada momento del tiempo. Este conocimiento, a su vez, surge porque las bolas se pueden controlar mediante luz reflejada, que prácticamente no tiene ningún efecto sobre el movimiento de las enormes bolas.
La situación descrita ilustra el surgimiento del principio de incertidumbre y la dependencia de los resultados de la medición del procedimiento de medición y las propiedades de los instrumentos de medición. Pero en experimentos reales aún no se ha descubierto un método para medir simultáneamente los parámetros de partículas elementales. dispositivos externos, sin alterar significativamente su estado inicial. Por lo tanto, la idea de los parámetros de las partículas ocultos al observador en la mecánica cuántica estándar no es popular y, por lo general, simplemente afirma que no existen estados en los que se puedan medir simultáneamente las coordenadas y el impulso de una partícula.
Sin embargo, hay situaciones en las que probablemente se puedan determinar parámetros ocultos de las partículas. Estamos hablando de dos (o más) partículas conectadas en el llamado estado vinculado. Si estas partículas están a una distancia suficientemente grande entre sí y no pueden influir entre sí, medir los parámetros de una partícula da información útil sobre el estado de otra partícula.
Digamos que cuando el positronio se desintegra, se emiten dos fotones en direcciones opuestas. Coloquemos dos detectores de tal manera que el primero pueda medir la posición de un fotón y el segundo detector pueda medir el impulso del otro fotón. Al realizar mediciones simultáneas, es posible, utilizando la ley de conservación del impulso, determinar con bastante precisión tanto el impulso como la dirección del primer fotón, así como su ubicación cuando golpea el primer detector. Cambiar el procedimiento de medición en en este caso evita la necesidad uso obligatorio El principio de incertidumbre como medio limitante en el cálculo de errores de medición. La situación descrita no anula el principio de incertidumbre como tal, ya que la coordenada y el momento se miden simultáneamente no para una partícula localmente, sino para dos partículas alejadas entre sí.
microscopio heisenberg
Como uno de los ejemplos que ilustran el principio de incertidumbre, Heisenberg citó un microscopio imaginario como dispositivo de medición. Con su ayuda, el experimentador mide la posición y el impulso del electrón, que dispersa el fotón que incide sobre él, revelando así su presencia.
Si el fotón tiene una longitud de onda corta y, por tanto, un gran momento, la posición del electrón puede, en principio, medirse con bastante precisión. Pero en este caso, el fotón se dispersa aleatoriamente, transfiriendo al electrón una fracción bastante grande e indefinida de su momento. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y un momento pequeño, cambia poco el momento del electrón, pero la dispersión determinará la posición del electrón de manera muy inexacta. Como resultado, el producto de las incertidumbres en las coordenadas y el momento permanece nada menos que la constante de Planck, hasta un factor numérico del orden de la unidad. Heisenberg no formuló una expresión matemática exacta para el principio de incertidumbre, sino que utilizó el principio como una relación cuantitativa heurística.
Crítica
Interpretación de Copenhague de la mecánica y el principio cuánticos incertidumbre Las ideas de Heisenberg resultaron ser un doble objetivo para quienes creían en el realismo y el determinismo. La interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica no contiene una realidad fundamental que describa el estado cuántico y prescriba cómo deben calcularse los resultados experimentales. No se sabe de antemano si el sistema se encuentra en un estado fundamental tal que las mediciones producirán un resultado especificado con precisión. El universo físico no existe en determinista forma, sino más bien como un conjunto de probabilidades o posibilidades. Por ejemplo, el patrón (distribución de probabilidad) producido por millones de fotones que se difractan a través de una rendija se puede calcular utilizando la mecánica cuántica, pero la trayectoria exacta de cada fotón no se puede predecir mediante ningún método conocido. La Interpretación de Copenhague cree que esto no se puede predecir en absoluto. No método.
Fue esta interpretación la que Einstein cuestionó cuando le escribió a Max Born: “Estoy seguro de que Dios no tira los dados” ( Morir Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Niels Bohr, uno de los autores de la Interpretación de Copenhague, respondió: "Einstein, no le digas a Dios qué hacer".
Albert Einstein creía que la aleatoriedad aparece como un reflejo de nuestro desconocimiento de las propiedades fundamentales de la realidad, mientras que Bohr creía que la distribución de probabilidad es fundamental y única, dependiendo del tipo de medición. El debate entre Einstein y Bohr sobre el principio de incertidumbre duró muchos años.
Brecha en la pantalla
El primer experimento mental de Einstein para probar el principio de incertidumbre fue:
Considere una partícula que pasa a través de una rendija en una pantalla de ancho d. La rendija da como resultado una incertidumbre del momento de la partícula del orden de h/d cuando la partícula pasa a través de la pantalla. Pero el momento de una partícula se puede determinar con suficiente precisión a partir del retroceso de la pantalla utilizando la ley de conservación del momento.
La respuesta de Bohr fue: dado que la pantalla obedece las leyes de la mecánica cuántica, entonces medir el retroceso con una precisión de Δ PAG Se debe conocer con tanta precisión el momento de la pantalla hasta el paso de la partícula. Esto lleva a una incertidumbre en la posición de la pantalla y la rendija igual a h / Δ PAG , y si el impulso de la pantalla se conoce con suficiente precisión para medir el retroceso, la posición de la rendija resulta determinarse con una precisión que no permite una medición precisa de la posición de la partícula.
R. Feynman ofrece un análisis similar con partículas sometidas a difracción en varias rendijas.
caja de einstein
Otro de los experimentos mentales de Einstein fue diseñado para probar el principio de incertidumbre con respecto a variables acopladas como el tiempo y la energía. Si en el experimento con una rendija en la pantalla las partículas se movían en un espacio determinado, en el segundo caso se mueven durante un tiempo determinado.
Considere una caja llena de radiación luminosa procedente de la desintegración radiactiva. La caja tiene un obturador que la abre durante un breve periodo de tiempo determinado con precisión, durante el cual parte de la radiación sale de la caja. Para medir la energía transportada por la radiación, se puede pesar la caja después de la radiación, compararla con el peso inicial y aplicar el principio. Si la caja está instalada en una balanza, las mediciones deberían mostrar inmediatamente la inexactitud del principio de incertidumbre.
Después de un día de reflexión, Bohr determinó que si se conoce exactamente la energía de la caja en el momento inicial, entonces no se puede saber con exactitud el momento en que se abre el obturador. Además, la balanza y la caja, debido a los cambios de peso durante la radiación, pueden cambiar su posición en el campo gravitacional. Esto provoca un cambio en la velocidad del tiempo debido al movimiento del reloj y a la influencia de la gravedad sobre el reloj, y a una imprecisión adicional en el tiempo del obturador.
Paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen
La tercera vez que se cuestionó la interpretación de Bohr del principio de incertidumbre fue en 1935, cuando Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen (ver Paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen) publicaron su análisis de los estados de partículas entrelazadas separadas a largas distancias. Según Einstein, medir la cantidad física de una partícula en mecánica cuántica debería conducir a un cambio en la probabilidad de distribución de otra partícula, y a una velocidad que puede incluso superar la velocidad de la luz. Al reflexionar sobre esto, Bohr llegó a la idea de que la incertidumbre en el principio de incertidumbre no surge de una medición tan directa.
El propio Einstein creía que descripción completa la realidad debe implicar predecir los resultados de los experimentos sobre la base de "cantidades deterministas que varían localmente", lo que lleva a un aumento de la información en comparación con la que está limitada por el principio de incertidumbre.
En 1964, John Bell demostró que el supuesto de parámetros ocultos de Einstein podía comprobarse porque conducía a ciertas desigualdades entre probabilidades en diferentes experimentos. Hasta la fecha, no se ha obtenido ninguna confirmación fiable de la existencia de parámetros ocultos basados en las desigualdades de Bell.
También existe el punto de vista de que los resultados de los experimentos pueden verse influenciados. parámetros ocultos no locales , en particular, D. Bohm se adhirió a él. Aquí teoría cuántica puede estar estrechamente relacionado con otros conceptos físicos. Por ejemplo, los parámetros ocultos no locales pueden considerarse como un conjunto aleatorio de datos que aparece en los experimentos. Si asumimos que el tamaño del universo visible limita este conjunto y las conexiones entre ellos, entonces computadora cuántica según G. Hooft probablemente cometerá errores al tratar con números superiores a 10.000 unidades.
Crítica de Popper
K.R. Popper criticó el principio de incertidumbre propuesto por Heisenberg: que medir la ubicación de una partícula siempre afecta el resultado de medir el momento, lo que indica que cuando una partícula con cierto momento pasa a través de un espacio estrecho en la onda reflejada, hay una cierta amplitud de la probabilidad de existencia de un pulso igual al impulso antes de la dispersión. Esto significa que en varios eventos la partícula atravesará el espacio sin cambiar su impulso. En este caso, la relación de incertidumbre no debería aplicarse a eventos o experimentos individuales, sino a experimentos con muchas partículas idénticas con las mismas condiciones iniciales, es decir, a conjuntos cuánticos. Este tipo de crítica se aplica a todas las teorías probabilísticas, no sólo a la mecánica cuántica, ya que los enunciados probabilísticos requieren muchas mediciones para ser verificados.
Desde el punto de vista de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, atribuir un cierto momento a una partícula antes de la medición equivale a la existencia de un parámetro oculto. La partícula no debería describirse por este momento, sino por una función de onda que cambia a medida que pasa a través de la rendija. De aquí surge la incertidumbre del impulso, correspondiente al principio de incertidumbre.
El principio de incertidumbre de la entropía de la información.
Al formular la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica en 1957, Hugh Everett llegó a una forma más rigurosa del principio de incertidumbre. . Si los estados cuánticos tienen una función de onda de la forma:
entonces su desviación estándar en coordenadas aumentará debido a la superposición de un cierto número de interacciones. La incertidumbre sobre el impulso también aumentará. Para aclarar la desigualdad en la relación de incertidumbre, se utiliza información de Shannon para la distribución de cantidades, medida por el número de bits necesarios para describir variable aleatoria para una distribución de probabilidad específica:
El valor I se interpreta como el número de bits de información recibidos por el observador en el momento en que el valor x alcanza una precisión ε igual a Ix + Iniciar sesión 2 (ε) . La segunda parte es el número de bits después del punto decimal y la primera da el valor logarítmico de la distribución. Para una distribución uniforme del ancho Δ incógnita El contenido de la información es log 2 Δ. incógnita . Este valor puede ser negativo, lo que significa que la distribución es más estrecha que uno y los bits pequeños después del punto decimal no proporcionan información debido a la incertidumbre.
Si tomamos el logaritmo del índice de incertidumbre en las llamadas unidades naturales:
entonces, en esta forma, el límite inferior es igual a cero.
Everett y Hirschman sugirió que para todos los estados cuánticos:
Beckner lo demostró en 1975.
Derivados
Cuando los operadores lineales A y B actúan sobre la función ψ( incógnita) , no siempre viajan. Sea, por ejemplo, el operador B una multiplicación por x y el operador A una derivada con respecto a x. Entonces se cumple la igualdad:
que en lenguaje de operador significa:
Esta expresión está muy cerca del conmutador canónico de la mecánica cuántica, en el que el operador de posición es la multiplicación de la función de onda por x, y el operador de momento incluye la derivada y la multiplicación por . Esto da:
Este conmutador distinto de cero conduce a la relación de incertidumbre.
Para dos declaraciones cualesquiera A y B:
que corresponde a Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky para el producto interno de dos vectores y . El valor esperado del producto AB excede la amplitud de la parte imaginaria:
Para los operadores hermitianos esto da Relación Robertson-Schrödinger :
y el principio de incertidumbre caso especial.
Interpretación física
Al pasar de operadores cuantitativos a incertidumbres, podemos escribir:
Dónde
es la media de la variable incógnita en estado ψ,
es la desviación estándar de la variable incógnita en estado ψ.
Después del reemplazo por A y para B en la desigualdad del operador general, el conmutador toma la forma:
Las normas y son en mecánica cuántica las desviaciones estándar para A y B. Para las coordenadas y el momento, la norma del conmutador es igual a.
Mecánica matricial
En mecánica matricial, el conmutador de las matrices X y P no es igual a cero, sino al valor multiplicado por la matriz identidad.
El conmutador de dos matrices no cambia cuando ambas matrices cambian debido a un cambio a matrices constantes incógnita Y pag:
Para cada estado cuántico ψ se puede determinar el número incógnita
como el valor de coordenadas esperado, y
como el valor esperado del impulso. Las cantidades y serán distintas de cero en la medida en que la posición y el momento sean inciertos, de modo que X y P difieran de los valores promedio. Valor de cambio esperado
puede ser distinto de cero si la desviación en incógnita en estado multiplicado por la desviación en PAG, bastante grande.
El valor al cuadrado de un elemento de matriz típico como desviación al cuadrado se puede estimar sumando los cuadrados de los estados de energía:
Por tanto, la relación de conmutación canónica se obtiene multiplicando las desviaciones en cada estado, dando un valor de orden:
Esta evaluación heurística se puede refinar utilizando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky (ver arriba). El producto interno de dos vectores entre paréntesis:
limitado por el producto de longitudes de vectores:
Por tanto, para cada estado habrá:
la parte real de la matriz M es , por lo que la parte real del producto de dos matrices hermitianas es igual a:
Para la parte imaginaria tenemos:
La amplitud es mayor que la amplitud de su parte imaginaria:
El producto de las incertidumbres está acotado por debajo del valor esperado. anti-interruptor, dando el término correspondiente a la relación de incertidumbre. Este término no es importante para la incertidumbre de posición y momento, ya que tiene un valor esperado cero para un paquete de ondas gaussianas, como en el estado fundamental de un oscilador armónico. Al mismo tiempo el miembro de anti-interruptorútil para limitar las incertidumbres de los operadores de giro.
Mecánica ondulatoria
En la ecuación de Schrödinger mecánica cuántica la función de onda contiene información sobre la posición y el momento de la partícula. La posición más probable de la partícula es donde la concentración de la onda es mayor y la longitud de onda principal determina el impulso de la partícula.
La longitud de onda de la onda localizada no se determina con precisión. Si la onda está en un volumen de tamaño L y la longitud de onda es aproximadamente igual a λ, el número de ciclos de onda en esta región será del orden l / λ . El hecho de que se conozca el número de ciclos con precisión de un ciclo se puede escribir de la siguiente manera:
Esto corresponde a un resultado bien conocido en el procesamiento de señales: cuanto más corto es el período de tiempo, con menor precisión se determina la frecuencia. De manera similar, en la transformada de Fourier, cuanto más estrecho es el pico de una función, más amplia es su imagen de Fourier.
Si multiplicamos la igualdad por h , y ponga Δ PAG = hΔ (1/λ), Δ incógnita = l , entonces será:
El principio de incertidumbre se puede representar como un teorema en la transformada de Fourier: el producto de la desviación estándar al cuadrado valor absoluto función por la desviación estándar del cuadrado del valor absoluto de su imagen de Fourier no es menor que 1/(16π 2).
Un ejemplo típico es la función de onda gaussiana (no normalizada):
El valor esperado de X es cero debido a la simetría, por lo que la variación se encuentra promediando incógnita 2 sobre todas las posiciones con peso ψ( incógnita) 2 y teniendo en cuenta la normalización:
Usando la transformada de Fourier podemos pasar de ψ( incógnita) a la función de onda en k espacio donde k es el número de onda y está relacionado con el impulso mediante la relación de De Broglie:
La última integral no depende de p, ya que aquí las variables cambian continuamente 
, lo que excluye tal dependencia, y el camino de integración en el plano complejo no pasa por la singularidad. Por tanto, hasta la normalización, la función de onda vuelve a ser gaussiana:
Ancho de distribución k se encuentra promediando mediante integración, como se muestra arriba:
Entonces en este ejemplo
simpléctico geometría
En términos matemáticos, las variables conjugadas son parte de simpléctico base, y el principio de incertidumbre corresponde simpléctico forma en simpléctico espacio.
Relación Robertson-Schrödinger
Tomemos dos operadores hermitianos autoadjuntos A Y B, y el sistema está en el estado ψ. Al medir cantidades A Y B Aparecerá una distribución de probabilidad con desviaciones estándar Δ ψ. A y Δψ B . Entonces la desigualdad será cierta:
Dónde [ A,B] = AB - LICENCIADO EN LETRAS. hay un interruptor A Y B, {A,B} = AB+LICENCIADO EN LETRAS. hay un anticonmutador y hay un valor esperado. Esta desigualdad se denomina relación de Robertson-Schrodinger, que incluye el principio de incertidumbre como caso especial. La desigualdad con un conmutador fue deducida en 1930 por Howard Percy Robertson, y un poco más tarde Erwin Schrödinger añadió el término con anticonmutador.
También es posible que haya dos no desplazarse operadores autoadjuntos A Y B , que tienen el mismo vector propioψ. En este caso, ψ representa un estado puro que es simultáneamente mensurable para A Y B .
Otros principios de incertidumbre
La relación de Robertson-Schrodinger conduce a relaciones de incertidumbre para dos variables cualesquiera que no conmutan entre sí:
- La relación de incertidumbre entre la coordenada y el momento de una partícula:
- entre la energía y la posición de la partícula en el potencial unidimensional V(x):
- entre la coordenada angular y el momento angular de una partícula con pequeña incertidumbre angular:
- entre las componentes ortogonales del momento angular total de la partícula:
Dónde i, j, k diferente y Ji significa momento angular a lo largo del eje xyo .
- entre el número de electrones en un superconductor y la fase de su ordenamiento en la teoría de Ginzburg-Landau:
También existe una relación de incertidumbre entre la intensidad del campo y el número de partículas, lo que conduce al fenómeno de las partículas virtuales.
Energía-tiempo en el principio de incertidumbre
La energía y el tiempo están incluidos en la relación de incertidumbre, que no se deriva directamente de la relación de Robertson-Schrodinger.
El producto de la energía y el tiempo tiene la misma dimensión que el producto del impulso y las coordenadas, el momento angular y la función de acción. Por tanto, Bohr ya conocía la siguiente relación:
Aquí Δt es la vida útil del estado cuántico y el tiempo, al igual que las coordenadas espaciales, determina la evolución de la partícula en el sistema de coordenadas espacio-temporales.
De la relación se deduce que un estado con una vida útil corta no puede tener un valor energético determinado; durante este tiempo, la energía debe cambiar, tanto más significativamente cuanto más corto sea el tiempo. Si la energía de un estado es proporcional a la frecuencia de oscilación, entonces para alta precisión Las mediciones de energía requieren medir la frecuencia durante un período de tiempo que incluye bastantes ciclos de onda.
Por ejemplo, en espectroscopia, los estados excitados tienen tiempo limitado vida. La energía promedio de los fotones emitidos se encuentra cerca del valor teórico de la energía del estado, pero la distribución de energía tiene un cierto ancho, llamado ancho de línea natural . Cuanto más rápido decaiga un estado, más amplio será el ancho de línea correspondiente, lo que dificulta medición precisa energía. . De manera similar, existen dificultades en la determinación de la masa en reposo de resonancias que decaen rápidamente en la física de partículas. Cuanto más rápido se desintegra una partícula, con menor precisión se conoce su masa-energía.
Una formulación imprecisa del principio de incertidumbre establece que para medir la energía de un sistema cuántico con una precisión de Δ mi lleva tiempo Δ t > h / Δ mi . Su inexactitud fue demostrada por Yakir Aharonov y D. Bohm en 1961. De hecho, el tiempo Δ t hay un momento en el que el sistema existe en ausencia de perturbaciones externas, y no el momento de la medición o la influencia de los instrumentos de medición.
En 1936, Paul Dirac propuso una definición precisa y una derivación de la relación de incertidumbre energía-tiempo en la teoría cuántica relativista de los "eventos". En esta formulación, las partículas se mueven en el espacio-tiempo y en cada trayectoria tienen su propio tiempo interno. La formulación multitemporal de la mecánica cuántica es matemáticamente equivalente a la formulación estándar, pero es más conveniente para la generalización relativista. Sobre esta base, Shinichiro Tomonaga creó una teoría de la perturbación covariante para la electrodinámica cuántica.
Una formulación más conocida y utilizada de la relación de incertidumbre energía-tiempo fue dada en 1945 por L. I. Mandelstam y I. E. Tamm. Para un sistema cuántico en estado no estacionario, la cantidad observable B está representado por un operador autoconsistente y la fórmula es válida:
Dónde Δ ψ mi es la desviación estándar del operador de energía en el estado, Δ ψ B es la desviación estándar del operador y es el valor esperado en este estado. El segundo factor del lado izquierdo tiene la dimensión de tiempo y difiere del tiempo incluido en la ecuación de Schrödinger. Este factor es la vida útil del estado en relación con el observado. B , después de lo cual el valor esperado cambia notablemente.
Teoremas de incertidumbre en el análisis armónico
En el análisis armónico, el principio de incertidumbre implica que no se pueden obtener los valores exactos de una función y su mapa de Fourier; en este caso se cumple la siguiente desigualdad:
Hay otras relaciones entre la función. ƒ y su mapa de Fourier.
teorema de benedick
Este teorema establece que el conjunto de puntos donde ƒ no es cero y el conjunto de puntos donde ƒ no es cero no pueden ser ambos demasiado pequeños. En particular, ƒ V l 2 (R) y su mapa de Fourier no pueden ser soportados simultáneamente (tener la misma función de soporte) en coberturas con medida de Lebesgue acotada. En el procesamiento de señales, este resultado es bien conocido: una función no puede limitarse simultáneamente en el tiempo y en el rango de frecuencia.
Principio de incertidumbre de Hardy
El matemático G. H. Hardy formuló el siguiente principio en 1933: es imposible que las funciones ƒ y ambas “aumenten muy rápidamente”. Entonces, si ƒ definido en l 2 (R), Eso:
excepto en el caso F = 0
. Aquí está el mapa de Fourier 
es igual a , y si en la integral reemplazamos por para cada a < 2π
, entonces la integral correspondiente estará acotada para una función distinta de cero F 0
.
Anidamiento infinito de la materia.
En teoría, el principio de incertidumbre recibe una interpretación especial. Según esta teoría, todo el conjunto de objetos que existen en el Universo se puede organizar en niveles, dentro de los cuales los tamaños y masas de los objetos que les pertenecen no difieren tanto como entre diferentes niveles. En este caso surge. Se expresa, por ejemplo, en el hecho de que las masas y tamaños de los cuerpos al pasar de un nivel a otro crecen exponencialmente y se pueden encontrar utilizando los coeficientes de similitud correspondientes. Hay niveles básicos e intermedios de materia. Si tomamos niveles básicos de materia como el nivel de las partículas elementales y el nivel de las estrellas, entonces en ellos se pueden encontrar objetos similares entre sí: nucleones y estrellas de neutrones. El electrón también tiene su equivalente a nivel estelar, en forma de discos descubiertos cerca de los púlsares de rayos X, que son los principales candidatos a magnetares. . A partir de las propiedades conocidas de las partículas elementales (masa, radio, carga, espín, etc.) utilizando coeficientes de similitud, es posible determinar las propiedades correspondientes de objetos similares a nivel estelar.
Además, debido a leyes físicas, no cambian su forma para diferentes niveles asunto. Esto significa que además de la similitud de los objetos y sus propiedades, existe la similitud de los fenómenos correspondientes. Gracias a esto, cada nivel de materia puede considerarse su propio principio de incertidumbre. El valor característico del cuanto de acción y del momento angular a nivel de partículas elementales es el valor, es decir. Entra directamente en el principio de incertidumbre. Para las estrellas de neutrones, el valor característico del cuanto de acción es ħ' s = ħ ∙ Ф' ∙ S' ∙ Р' = 5,5∙10 41 J∙s, donde Ф', S', Р' son coeficientes de similitud en términos de masa y tasas y tamaños de proceso en consecuencia. En consecuencia, si se mide la ubicación, el impulso u otras cantidades de estrellas de neutrones individuales utilizando objetos estelares o incluso más masivos, durante su interacción habrá un intercambio de impulso y momento angular, con un valor característico del cuanto de acción estelar de el orden de ħ's. En este caso, la medición de la coordenada afectará la precisión de la medición del impulso y viceversa, dando lugar al principio de incertidumbre.
De lo anterior se deduce que la esencia del principio de incertidumbre se deriva del propio procedimiento de medición. Por tanto, las partículas elementales no pueden estudiarse más que con la ayuda de las propias partículas elementales o de sus estados compuestos (en forma de núcleos, átomos, moléculas, etc.), que inevitablemente influyen en los resultados de las mediciones. La interacción de partículas entre sí o con dispositivos en este caso conduce a la necesidad de introducir métodos estadísticos en mecánica cuántica y solo predicciones probabilísticas de los resultados de cualquier experimento. Dado que el procedimiento de medición borra parte de la información que tenían las partículas antes de las mediciones, la determinación directa de eventos a partir de cualquier parámetro oculto, supuesto en la teoría de los parámetros ocultos, no funciona. Por ejemplo, si diriges una partícula hacia otra en una dirección especificada con precisión, entonces deberías obtener una dispersión muy definida de las partículas entre sí. Pero aquí surge el problema de que primero se necesita alguna otra forma de dirigir la partícula exactamente en esta dirección dada. Como puede verse, la determinación de eventos se ve obstaculizada no solo por el procedimiento de medición, sino también por el procedimiento para establecer los estados iniciales exactos de las partículas en estudio.
Expresión de la cantidad finita disponible de información de Fisher.
El principio de incertidumbre se deriva alternativamente como Desigualdades de Cramer-Rao en la teoría clásica de la medición. En el caso de que se mida la posición de una partícula, el momento cuadrático medio de la partícula entra en la desigualdad como Información del pescador . Ver también información física completa .
humor científico
La naturaleza inusual del principio de incertidumbre de Heisenberg y su pegadizo nombre lo han convertido en fuente de varias bromas. Se dice que una inscripción popular en las paredes de los departamentos de física de los campus universitarios es: "Heisenberg pudo haber estado aquí".
Un día, un policía detiene a Werner Heisenberg en la carretera y le pregunta: "¿Sabe a qué velocidad iba, señor?". A lo que el físico responde: “¡No, pero sé exactamente dónde estoy!”
El principio de incertidumbre en la cultura popular
El principio de incertidumbre a menudo se malinterpreta o se caracteriza erróneamente en la prensa popular. Un error común es pensar que observar un evento cambia el evento mismo. En términos generales, esto no tiene nada que ver con el principio de incertidumbre. Casi cualquiera operador lineal cambia el vector sobre el que actúa (es decir, casi cualquier observación cambia el estado), pero para los operadores conmutativos no hay restricciones sobre la posible dispersión de valores. Por ejemplo, proyecciones de impulso sobre el eje. do Y y se pueden medir juntos con la precisión que se desee, aunque cada medición cambia el estado del sistema. Además, el principio de incertidumbre se ocupa de la medición paralela de cantidades para varios sistemas en el mismo estado, y no de interacciones secuenciales con el mismo sistema.
Se han propuesto otras analogías (también engañosas) con los efectos macroscópicos para explicar el principio de incertidumbre: una implica aplastar una semilla de sandía con el dedo. El efecto es conocido: es imposible predecir qué tan rápido o dónde desaparecerá la semilla. Este resultado aleatorio se basa enteramente en la aleatoriedad, que puede explicarse en términos clásicos simples.
Principio de incertidumbre de Heisenberg- así se llama la ley que establece un límite a la precisión de variables de estado (casi) simultáneas, como la posición y las partículas. Además, define con precisión una medida de incertidumbre al dar un límite inferior (distinto de cero) al producto de las varianzas de las mediciones.
Consideremos, por ejemplo, la siguiente serie de experimentos: aplicando , la partícula se lleva a un cierto estado puro, después de lo cual se realizan dos mediciones sucesivas. El primero determina la posición de la partícula y el segundo, inmediatamente después, su impulso. Supongamos también que el proceso de medición (aplicación del operador) es tal que en cada prueba la primera medición da el mismo valor, o al menos un conjunto de valores con una varianza muy pequeña d p alrededor del valor p. Luego, la segunda medición dará una distribución de valores, cuya varianza d q será inversamente proporcional a d p.
En términos de mecánica cuántica, el procedimiento de aplicación del operador llevó la partícula a un estado mixto con una determinada coordenada. Cualquier medición del momento de una partícula conducirá necesariamente a una dispersión de valores durante mediciones repetidas. Además, si después de medir el impulso medimos la coordenada, también obtendremos la dispersión de los valores.
De manera más general, surge una relación de incertidumbre entre cualquier variable de estado definida por operadores que no viajan. Este es uno de piedras angulares, que fue inaugurado en
Breve descripción general
El principio de incertidumbre a veces se explica de tal manera que la medición de una coordenada afecta necesariamente el momento de una partícula. Al parecer, el propio Heisenberg propuso esta explicación, al menos inicialmente. Que la influencia de la medición sobre el momento es insignificante se puede demostrar de la siguiente manera: considere un conjunto de partículas (que no interactúan) preparadas en el mismo estado; Para cada partícula del conjunto, medimos el momento o la posición, pero no ambos. Como resultado de la medición obtenemos que los valores se distribuyen con cierta probabilidad y la relación de incertidumbre es cierta para las varianzas d p y d q.
El índice de incertidumbre de Heisenberg es el límite teórico de la precisión de cualquier medición. Son válidos para las llamadas medidas ideales, a veces llamadas medidas de von Neumann. Son aún más válidos para medidas o mediciones no ideales.
En consecuencia, cualquier partícula (en el sentido general, por ejemplo, que porta una partícula discreta) no puede describirse simultáneamente como una "partícula puntual clásica" y como . (El hecho mismo de que cualquiera de estas descripciones pueda ser cierta, al menos en algunos casos, se llama dualidad onda-partícula). El principio de incertidumbre, tal como lo propuso originalmente Heisenberg, es verdadero cuando ninguno de estas dos descripciones no es completa y exclusivamente adecuada, por ejemplo una partícula en una caja con un determinado valor energético; es decir, para sistemas que no están caracterizados ni cualquier “posición” determinada (cualquier valor determinado de la distancia desde la pared potencial), ni cualquier valor específico del impulso (incluida su dirección).
Existe una analogía cuantitativa precisa entre las relaciones de incertidumbre de Heisenberg y las propiedades de las ondas o señales. Considere una señal que varía en el tiempo, como una onda sonora. No tiene sentido hablar de espectro de frecuencia señal en cualquier momento. Para determinar con precisión la frecuencia, es necesario observar la señal durante algún tiempo, perdiendo así la precisión de la sincronización. En otras palabras, un sonido no puede tener un valor de tiempo preciso, como un pulso corto, o un valor de frecuencia preciso, como un tono puro continuo. La posición temporal y la frecuencia de una onda en el tiempo son similares a la posición y el impulso de una partícula en el espacio.
Definición
Si se preparan varias copias idénticas del sistema en este estado, entonces los valores medidos de la coordenada y el impulso obedecerán a uno determinado; este es un postulado fundamental de la mecánica cuántica. Midiendo el valor Δx de la coordenada y la desviación estándar Δp del pulso, encontramos que:
\Delta x \Delta p \ge \frac(\hbar)(2),
Otras características
Se han desarrollado muchos características adicionales, incluidos los que se describen a continuación:
Expresión de la cantidad finita disponible de información de Fisher.
El principio de incertidumbre se deriva alternativamente como una expresión de la desigualdad de Cramer-Rao en la teoría de la medición clásica. En el caso en el que se mide la posición de una partícula. El momento cuadrático medio de la partícula ingresa a la desigualdad como información de Fisher. Ver también información física completa.
Principio de incertidumbre generalizada
El principio de incertidumbre no se aplica sólo a la posición y al impulso. En su forma general, se aplica a cada par. variables conjugadas. EN caso general, y a diferencia del caso de posición y momento analizado anteriormente, el límite inferior del producto de las incertidumbres de las dos variables conjugadas depende del estado del sistema. El principio de incertidumbre se convierte entonces en un teorema de la teoría del operador, que presentamos aquí.
Teorema. Para cualquier operador autoadjunto: A:h → h Y B:h → h y cualquier elemento incógnita de h tal que A B x Y B A x ambos están definidos (es decir, en particular, una x Y Bx también están definidos), tenemos:
\langle BAx|x \rangle \langle x|BAx \rangle = \langle ABx|x \rangle \langle x|ABx \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2\leq \|Ax \|^2\|Bx\|^2Por lo tanto, lo siguiente es cierto forma general principio de incertidumbre, criado por primera vez en Howard por Percy Robertson y (de forma independiente):
\frac(1)(4) |\langle(AB-BA)x|x\rangle|^2\leq\|Ax\|^2\|Bx\|^2.Esta desigualdad se llama relación de Robertson-Schrödinger.
Operador AB-LICENCIADO EN LETRAS. llamado interruptor A Y B y denotado como [ A,B]. Está definido para aquellos incógnita, para lo cual ambos están definidos ABx Y BAx.
De la relación Robertson-Schrödinger se sigue inmediatamente Relación de incertidumbre de Heisenberg:
Suponer A Y B- dos variables de estado, que están asociados con operadores autoadjuntos (y lo que es importante, simétricos). Si ABψ y LICENCIADO EN LETRAS.ψ están definidos, entonces:
\Delta_(\psi)A\,\Delta_(\psi)B\ge\frac(1)(2)\left|\left\langle\left\right\rangle_\psi\right|, \left\langle X\right\rangle_\psi =\left\langle\psi|X\psi\right\ranglevalor promedio del operador variable incógnita en el estado ψ del sistema, y:
\Delta_(\psi)X=\sqrt(\langle(X)^2\rangle_\psi-\langle(X)\rangle_\psi^2)También es posible que haya dos operadores autoadjuntos que no conmutan A Y B, que tienen el mismo ψ. En este caso, ψ representa un estado puro que es simultáneamente mensurable para A Y B.
Variables observables comunes que obedecen al principio de incertidumbre.
Los resultados matemáticos anteriores muestran cómo encontrar relaciones de incertidumbre entre variables físicas, es decir, determinar los valores de pares de variables. A Y B cuyo conmutador tiene ciertas propiedades analíticas.
- La relación de incertidumbre más famosa es entre la coordenada y el momento de una partícula en el espacio:
- relación de incertidumbre entre dos componentes ortogonales del operador de partículas:
Dónde i, j, k son excelentes y j i denota momento angular a lo largo del eje incógnita i .
- La siguiente relación de incertidumbre entre energía y tiempo se presenta a menudo en los libros de texto de física, aunque su interpretación requiere cautela porque no hay ningún operador que represente el tiempo:
Interpretaciones
El principio de incertidumbre no era muy popular y desafió célebremente a Werner Heisenberg (véase el debate entre Bohr y Einstein para información detallada): llena una caja con material radiactivo que emite radiación de forma aleatoria. La caja tiene una contraventana abierta que, inmediatamente después del llenado, se cierra en un momento determinado mediante un reloj, dejando escapar una pequeña cantidad de radiación. Por tanto, la hora ya se conoce con exactitud. Todavía queremos medir con precisión la variable de energía conjugada. Einstein sugirió hacer esto pesando la caja antes y después. La equivalencia entre masa y energía nos permitirá determinar con precisión cuánta energía queda en la caja. Bohr objetó lo siguiente: si la energía desaparece, la caja del encendedor se moverá un poco en la balanza. Esto cambiará la posición del reloj. Por lo tanto, los relojes se desvían de nuestro reloj estacionario y, según la relatividad especial, su medición del tiempo diferirá de la nuestra, lo que conducirá a una cantidad inevitable de error. Análisis detallado muestra que la incertidumbre está dada correctamente por la relación de Heisenberg.
Dentro de la mecánica cuántica, ampliamente aceptada, aunque no universalmente, el principio de incertidumbre se acepta a un nivel elemental. El universo físico no existe en forma, sino como un conjunto de probabilidades o posibilidades. Por ejemplo, el patrón (distribución de probabilidad) producido por millones de fotones que se difractan a través de una rendija se puede calcular utilizando la mecánica cuántica, pero la trayectoria exacta de cada fotón no se puede predecir mediante ningún método conocido. cree que esto no se puede predecir en absoluto No método.
Fue esta interpretación la que Einstein cuestionó cuando dijo: "No puedo imaginar a Dios jugando a los dados con el universo". Bohr, uno de los autores de la Interpretación de Copenhague, respondió: "Einstein, no le digas a Dios qué hacer".
Einstein estaba convencido de que esta interpretación era errónea. Su razonamiento se basó en el hecho de que todas las distribuciones de probabilidad ya conocidas eran el resultado de eventos deterministas. La distribución de un lanzamiento de moneda o de un dado se puede describir mediante una distribución de probabilidad (50% cara, 50% cruz). Pero esto no significa que sus movimientos físicos sean impredecibles. La mecánica convencional puede calcular exactamente cómo caerá cada moneda si se conocen las fuerzas que actúan sobre ella y si cara/cruz todavía están distribuidas probabilísticamente (con fuerzas iniciales aleatorias).
Einstein propuso que había variables ocultas en la mecánica cuántica que subyacen a las probabilidades observadas.
Ni Einstein ni nadie más ha podido construir una teoría satisfactoria de las variables ocultas, y la desigualdad de Bell ilustra algunos caminos muy espinosos para intentar hacerlo. Aunque el comportamiento de una partícula individual es aleatorio, también está correlacionado con el comportamiento de otras partículas. Por lo tanto, si el principio de incertidumbre es el resultado de algún proceso determinista, entonces resulta que las partículas son largas distancias deben comunicarse inmediatamente información entre sí para asegurar correlaciones en su comportamiento.
De acuerdo con la naturaleza dual de onda corpuscular de las partículas de materia, se utilizan conceptos ondulatorios o corpusculares para describir las micropartículas. Por tanto, es imposible atribuirles todas las propiedades de las partículas y todas las propiedades de las ondas. Naturalmente, es necesario introducir algunas restricciones en la aplicación de los conceptos de la mecánica clásica a los objetos del micromundo.
En la mecánica clásica, el estado de un punto material (partícula clásica) se determina especificando los valores de coordenadas, momento, energía, etc. (las cantidades enumeradas se denominan variables dinámicas). En sentido estricto, las variables dinámicas especificadas no se pueden asignar a un microobjeto. Sin embargo, obtenemos información sobre las micropartículas observando su interacción con dispositivos que son cuerpos macroscópicos. Por lo tanto, los resultados de las mediciones se expresan inevitablemente en términos desarrollados para caracterizar macrocuerpos, es decir, a través de los valores de las características dinámicas. En consecuencia, los valores medidos de las variables dinámicas se atribuyen a micropartículas. Por ejemplo, hablan del estado de un electrón en el que tiene tal o cual valor energético, etc.
Propiedades ondulatorias de las partículas y la capacidad de establecer solo una probabilidad para una partícula. su estancia en este punto en el espacio conduce al hecho de que los conceptos mismos coordenadas y velocidad de partículas (o impulso) Se puede utilizar en mecánica cuántica de forma limitada.. En términos generales, esto no tiene nada de sorprendente. En la física clásica, el concepto de coordenadas en algunos casos tampoco es adecuado para determinar la posición de un objeto en el espacio. Por ejemplo, no tiene sentido decir que una onda electromagnética se encuentra en un punto dado del espacio o que la posición del frente de la superficie de la onda en el agua se caracteriza por las coordenadas incógnita, y, z.
La dualidad onda-corpúsculo de las propiedades de las partículas estudiadas en la mecánica cuántica lleva al hecho de que en varios casos resulta imposible , en el sentido clásico, simultáneamente caracterizar una partícula por su posición en el espacio (coordenadas) y velocidad (o impulso). Entonces, por ejemplo, un electrón (y cualquier otra micropartícula) no puede tener simultáneamente valores de coordenadas exactos. incógnita y componentes del impulso. Valores de incertidumbre incógnita y satisfacer la relación:
| . | (4.2.1) |
De (4.2.1) se deduce que cuanto menor es la incertidumbre de una cantidad ( incógnita o ), mayor será la incertidumbre del otro. Quizás exista un estado en el que una de las variables tiene un valor exacto (), mientras que la otra variable resulta completamente incierta ( - su incertidumbre es igual al infinito), y viceversa. De este modo, no hay estados para una micropartícula,en el que sus coordenadas y su impulso tendrían simultáneamente valores exactos . Esto implica la imposibilidad real de medir simultáneamente las coordenadas y el impulso de un microobjeto con una precisión predeterminada.
Una relación similar a (4.2.1) se cumple para y y , por z y , así como para otros pares de cantidades (en mecánica clásica, estos pares se llaman conjugar canónicamente ). Denotar canónicamente cantidades conjugadas con letras A Y B, podemos escribir:
| . | (4.2.2) |
La relación (4.2.2) se llama relación incertidumbres para cantidades A Y B. Esta relación fue introducida en 1927 por Werner Heisenberg.
La declaración que el producto de las incertidumbres de los valores de dos variables conjugadas no puede ser de orden menor que la constante de Planckh,llamado Relación de incertidumbre de Heisenberg .
energía y tiempo son cantidades canónicamente conjugadas. Por tanto, la relación de incertidumbre también es válida para ellos:
| . | (4.2.3) |
Esta relación significa que determinar la energía con precisión debe tomar un intervalo de tiempo igual a al menos
La relación de incertidumbre se obtuvo con uso simultáneo Características clásicas del movimiento de partículas (coordenadas, momento) y presencia de propiedades ondulatorias. Porque En mecánica clásica se acepta que la medición de coordenadas y momento se puede realizar con cualquier precisión, entonces relación de incertidumbre es, por tanto, Limitación cuántica de la aplicabilidad de la mecánica clásica a microobjetos.
La relación de incertidumbre indica hasta qué punto es posible utilizar los conceptos de la mecánica clásica en relación con las micropartículas, en particular, con qué grado de precisión podemos hablar de las trayectorias de las micropartículas. El movimiento a lo largo de la trayectoria está completamente caracterizado. ciertos valores coordenadas y velocidad en cada momento del tiempo. Sustituyendo en (4.2.1) en lugar del producto , obtenemos la relación:
| . | (4.2.4) |
De esta relación se deduce que cómo mas masa partículas, menor incertidumbre de sus coordenadas y velocidad,En consecuencia, el concepto de trayectoria se puede aplicar a esta partícula con mayor precisión. Así, por ejemplo, ya por una mota de polvo que pesa kg y dimensiones lineales m, cuya coordenada se determina con una precisión de 0,01 de sus dimensiones ( m), incertidumbre de la velocidad, según (4.2.4),
aquellos. no tendrá efecto en todas las velocidades a las que se puede mover una mota de polvo.
De este modo, para macroscópico cuerpos, sus propiedades ondulatorias no juegan ningún papel; Las coordenadas y velocidades se pueden medir con bastante precisión. Esto significa que las leyes de la mecánica clásica pueden utilizarse para describir el movimiento de macrocuerpos con absoluta certeza.
Supongamos que el haz de electrones se mueve a lo largo del eje incógnita con una velocidad de m/s, determinada con una precisión del 0,01% (m/s). ¿Cuál es la precisión para determinar la coordenada del electrón?
Usando la fórmula (4.2.4) obtenemos:
.
Por tanto, la posición del electrón se puede determinar con una precisión de milésimas de milímetro. Tal precisión es suficiente para permitirnos hablar sobre el movimiento de los electrones a lo largo de una determinada trayectoria, en otras palabras, describir sus movimientos según las leyes de la mecánica clásica.
Apliquemos la relación de incertidumbre a un electrón que se mueve en un átomo de hidrógeno. Supongamos que la incertidumbre de la coordenada del electrón es m (del orden del tamaño del átomo mismo), entonces, de acuerdo con (4.2.4),
.
Utilizando las leyes de la física clásica, se puede demostrar que cuando un electrón se mueve alrededor de un núcleo en una órbita circular de radio aproximadamente m, su velocidad es m/s. De este modo, la incertidumbre de la velocidad es varias veces mayor que la velocidad misma. Evidentemente, en este caso no podemos hablar del movimiento de los electrones en un átomo a lo largo de una determinada trayectoria. En otras palabras, las leyes de la física clásica no se pueden utilizar para describir el movimiento de los electrones en un átomo.
En mecánica clásica, el estado de un punto material (partícula clásica) se determina especificando los valores de coordenadas, momento, energía, etc. Las cantidades enumeradas se denominan variables dinámicas. En sentido estricto, las variables dinámicas especificadas no se pueden asignar a un microobjeto. Sin embargo, obtenemos información sobre las micropartículas observando su interacción con dispositivos que son cuerpos macroscópicos. Por tanto, los resultados de las mediciones se expresan inevitablemente en términos desarrollados para caracterizar macrocuerpos, es decir, a través de los valores de variables dinámicas. En consecuencia, los valores medidos de las variables dinámicas se atribuyen a micropartículas. Por ejemplo, hablan del estado de un electrón en el que tiene tal o cual valor energético, etc.
La peculiaridad de las propiedades de las micropartículas se manifiesta en el hecho de que no todas las variables obtienen ciertos valores durante las mediciones. Entonces, por ejemplo, un electrón (o cualquier otra micropartícula) no puede tener simultáneamente valores exactos de la coordenada x y el componente de momento. Las incertidumbres de los valores satisfacen la relación.
( - constante de Planck). De (20.1) se deduce que cuanto menor es la incertidumbre de una de las variables o mayor es la incertidumbre de la otra. Es posible un estado en el que una de las variables tiene un valor exacto, mientras que la otra variable resulta completamente incierta (su incertidumbre es igual al infinito).
Una relación similar a (20.1) se cumple para y y , para z y , así como para otros pares de cantidades (en mecánica clásica, estos pares de cantidades se denominan canónicamente conjugados). Denotando cantidades canónicamente conjugadas con las letras A y B, podemos escribir
(20.2)
La relación (20.2) se denomina relación de incertidumbre para las cantidades A y B. Esta relación fue descubierta por W. Heisenberg en 1927.
La afirmación de que el producto de las incertidumbres de los valores de dos variables conjugadas no puede ser de un orden de magnitud menor que la constante de Planck se denomina principio de incertidumbre de Heisenberg.
La energía y el tiempo son cantidades canónicamente conjugadas. Por tanto, la relación de incertidumbre también es válida para ellos:
Esta relación significa que determinar la energía con precisión debe tomar un intervalo de tiempo igual pero menor que .
La relación de incertidumbre se estableció considerando, en particular, el siguiente ejemplo. Intentemos determinar el valor de la coordenada x de una micropartícula que vuela libremente colocando en su trayectoria una rendija de ancho , ubicada perpendicular a la dirección del movimiento de la partícula (Fig. 20.1). Antes de que la partícula pase a través del espacio, su componente de momento tiene un valor exacto igual a cero (el espacio es por convención perpendicular al momento), de modo que, por otro lado, la coordenada x de la partícula es completamente incierta. En el momento en que la partícula atraviesa la rendija, la posición cambia. En lugar de una incertidumbre total de la coordenada x, aparece incertidumbre, pero esto se logra a costa de perder la certeza del valor. De hecho, debido a la difracción, existe cierta probabilidad de que la partícula se mueva dentro del ángulo, donde está el ángulo. correspondiente al primer mínimo de difracción (los máximos de órdenes superiores pueden despreciarse, ya que su intensidad es pequeña en comparación con la intensidad del máximo central). Así surge la incertidumbre:
El borde del máximo de difracción central (primer mínimo), resultante del ancho de la rendija, corresponde al ángulo para el cual
(ver fórmula (129.5) del segundo volumen). Por eso,
Por tanto, teniendo en cuenta (18.1), obtenemos la relación
consistente con (20.1).
A veces, la relación de incertidumbre recibe la siguiente interpretación: en realidad, una micropartícula tiene valores exactos de coordenadas y momentos, pero el impacto que se nota para dicha partícula es instrumento de medida no nos permite determinar con precisión estos valores. Esta interpretación es completamente errónea. Esto contradice los fenómenos de difracción de micropartículas observados experimentalmente.
La relación de incertidumbre indica hasta qué punto se pueden utilizar los conceptos de la mecánica clásica en relación con las micropartículas, en particular, con qué grado de precisión podemos hablar de las trayectorias de las micropartículas. El movimiento a lo largo de una trayectoria se caracteriza por valores bien definidos de coordenadas y velocidad en cada momento. Sustituyendo el producto en (20.1) en lugar del producto, obtenemos la relación
Vemos que cuanto mayor es la masa de la partícula, menor es la incertidumbre en sus coordenadas y velocidad y, por tanto, con mayor precisión es aplicable el concepto de trayectoria. Ya para una macropartícula con un tamaño de sólo 1 micrón, las incertidumbres en los valores están más allá de la precisión de medir estas cantidades, por lo que prácticamente su movimiento será indistinguible del movimiento a lo largo de una trayectoria.
En determinadas condiciones, incluso el movimiento de una micropartícula puede considerarse aproximadamente como si se produjera a lo largo de una trayectoria. Como ejemplo, consideremos el movimiento de un electrón en tubo de rayos catódicos. Estimemos las incertidumbres de la coordenada del electrón y del momento para este caso. Sea la traza del haz de electrones en la pantalla un radio del orden de , la longitud del tubo es del orden de 10 cm (figura 20.2). Entonces el momento del electrón está relacionado con el voltaje de aceleración U mediante la relación
Por tanto, bajo tensión. La energía del electrón B es igual a Estimemos la magnitud del impulso:
Por tanto, finalmente, según la relación (20.1):
El resultado obtenido indica que el movimiento de un electrón en un tubo de rayos catódicos es prácticamente indistinguible del movimiento a lo largo de una trayectoria.
La relación de incertidumbre es uno de los principios fundamentales de la mecánica cuántica. Esta relación por sí sola es suficiente para obtener una serie de resultados importantes, en particular, permite explicar el hecho de que un electrón no cae sobre el núcleo de un átomo, así como estimar el tamaño del átomo más simple y el mínimo. posible energía de un electrón en dicho átomo.
Si un electrón cayera sobre un núcleo puntual, sus coordenadas y su impulso tomarían ciertos valores (cero), lo cual es incompatible con el principio de incertidumbre. Este principio requiere que la incertidumbre de la coordenada del electrón y la incertidumbre del momento estén relacionadas por la condición (20.1). Formalmente, la energía sería mínima en Por lo tanto, al estimar la energía más baja posible, se debe poner . Sustituyendo estos valores en (20.1), obtenemos la relación
