Cómo convertir del sistema numérico binario. ¿Cómo convertir al sistema numérico decimal? Sumar números binarios

EN vida cotidiana Estamos acostumbrados a utilizar el sistema numérico decimal, que nos resulta familiar desde la escuela. Sin embargo, además de éste, existen muchos otros sistemas. ¿Cómo escribir números no en decimal, sino, por ejemplo, en ?

Cómo convertir cualquier número del sistema decimal a binario

La necesidad de convertir un número decimal a binario parece desalentadora sólo a primera vista. De hecho, es bastante sencillo: ni siquiera es necesario buscar servicios en línea para completar la transacción.

• Como ejemplo, tomemos el número 156, escrito en la forma decimal que conocemos, e intentemos convertirlo a forma binaria.
• El algoritmo se verá así: el número inicial deberá dividirse entre dos, luego nuevamente entre 2 y nuevamente entre 2, hasta que la respuesta siga siendo uno.
• Al dividir para convertir a código binario Lo que importa no son los números enteros, sino los restos. Si al dividir la respuesta resulta ser número par, entonces el resto se escribe como el número 0, si es impar, como el número 1.
• En la práctica, puede verificar fácilmente que la serie binaria inicial de restos del número 156 se verá así: 00111001. Para convertirlo en un código binario completo, esta serie deberá escribirse en orden inverso: es decir es, 10011100.

El número binario 10011100, obtenido como resultado de una simple operación, será la expresión binaria del número 156.

Otro ejemplo, pero en la imagen.

Convertir un número binario al sistema decimal

Traducción inversa - de binario a sistema decimal- puede parecer un poco más complicado. Pero si utiliza un método de duplicación simple, podrá realizar esta tarea en un par de minutos. Por ejemplo, tomemos el mismo número, 156, pero en forma binaria: 10011100.

• El método de duplicación se basa en el hecho de que en cada paso del cálculo se toma el llamado total anterior y se le suma el siguiente dígito.
• Como el total anterior aún no existe en el primer paso, aquí siempre tomamos 0, lo duplicamos y le sumamos el primer dígito de la expresión. En nuestro ejemplo será 0 * 2 + 1 = 1.
• En el segundo paso, ya tenemos el total anterior: es igual a 1. Este número debe duplicarse y luego agregarse el siguiente en orden, es decir, 1 * 2 + 0 = 2.
• En el tercer, cuarto y siguientes pasos, los totales anteriores todavía se toman y se suman al número siguiente en la expresión.

Cuando solo queda el último dígito en la notación binaria y no hay nada más que agregar, la operación se completa. Con una simple verificación, puede asegurarse de que la respuesta contenga el número decimal deseado 156.

¡Hola, visitante del sitio! Seguimos estudiando el protocolo. capa de red IP, o para ser más precisos, su versión IPv4. A primera vista el tema números binarios Y sistema binario navegación a estima No tiene nada que ver con el protocolo IP, pero si recordamos que las computadoras funcionan con ceros y unos, entonces resulta que el sistema binario y su comprensión es la base de lo básico, necesitamos aprende a convertir números de binario a decimal y viceversa: decimal a binario. Esto nos ayudará a comprender mejor el protocolo IP, así como el principio de funcionamiento de las máscaras de red. longitud variable. ¡Empecemos!

Si le interesa el tema de las redes informáticas, puede leer otras grabaciones del curso.

4.4.1 Introducción

Antes de comenzar, vale la pena explicar por qué un ingeniero de redes necesita este tema. Aunque usted podría estar convencido de su necesidad cuando hablamos, puede decir que existen calculadoras de IP que facilitan enormemente la tarea de asignar direcciones IP, calcular las máscaras de red/subred necesarias y determinar el número de red y el número de host en la dirección IP. Así es, pero la calculadora de IP no siempre está a mano, esta es la razón número uno. La razón número dos es que en los exámenes de Cisco no te darán calculadora de IP y listo. Tendrás que hacer la conversión de direcciones IP de decimal a binario en una hoja de papel., y no hay tan pocas preguntas en las que esto se requiera en el examen/exámenes para obtener el certificado CCNA, sería una pena que el examen fuera reprobado por una nimiedad así. Y finalmente, comprender el sistema numérico binario conduce a una mejor comprensión del principio de funcionamiento.

En general, no es necesario que un ingeniero de redes pueda convertir mentalmente números de binario a decimal y viceversa. Además, rara vez alguien sabe cómo hacer esto mentalmente los profesores de varios cursos; redes informáticas, ya que se enfrentan a esto constantemente día tras día. Pero con una hoja de papel y un bolígrafo debes aprender a traducir.

4.4.2 Dígitos y números decimales, dígitos en números

Empecemos de forma sencilla y hablemos de dígitos y números binarios., sabes que los números y los números son dos cosas diferentes. el numero es personaje especial designar, y el número es una notación abstracta que significa cantidad. Por ejemplo, para escribir que tenemos cinco dedos en la mano podemos utilizar los números romanos y arábigos: V y 5. En en este caso cinco es a la vez un número y un dígito. Y, por ejemplo, para escribir el número 20 utilizamos dos dígitos: 2 y 0.

En total, en el sistema numérico decimal tenemos diez números o diez símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), al combinarlos podemos escribir diferentes numeros. ¿Por qué principio nos guiamos cuando utilizamos el sistema numérico decimal? Sí, todo es muy sencillo, elevamos diez en un grado u otro, por ejemplo, tomemos el número 321. Como se puede escribir de otra manera, así: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0. Así, resulta que el número 321 representa tres dígitos:

1. El número 3 significa el lugar más significativo o en este caso es el lugar de las centenas, en caso contrario su número.
2. El número 2 está en el lugar de las decenas, tenemos dos decenas.
3. El número uno se refiere al dígito menos significativo.

Es decir, en esta entrada un dos no es sólo un dos, sino dos decenas o dos por diez. Y tres no es sólo tres, sino tres veces cien. Se obtiene la siguiente dependencia: la unidad de cada dígito siguiente es diez veces mayor que la unidad del anterior, porque lo que es 300 es tres veces cien. Fue necesaria una digresión sobre el sistema numérico decimal para facilitar la comprensión del sistema binario.

4.4.3 Dígitos y números binarios, así como su registro

En el sistema numérico binario sólo hay dos dígitos: 0 y 1. Por lo tanto, escribir un número en el sistema binario suele ser mucho mayor que en el sistema decimal. Con la excepción de los números 0 y 1, el cero en el sistema numérico binario es igual a cero en el sistema numérico decimal, y lo mismo ocurre con el uno. A veces, para no confundir en qué sistema numérico está escrito el número, se utilizan subíndices: 267 10, 10100 12, 4712 8. El número en el subíndice indica el sistema numérico.

Los símbolos 0b y &(ampersand) se pueden utilizar para escribir números binarios: 0b10111, &111. Si en el sistema numérico decimal, para pronunciar el número 245 usamos esta construcción: doscientos cuarenta y cinco, entonces en el sistema numérico binario, para nombrar el número, necesitamos pronunciar un dígito de cada dígito, por ejemplo, el El número 1100 en el sistema numérico binario no debe pronunciarse como mil cien, sino como uno, uno, cero, cero. Veamos cómo escribir los números del 0 al 10 en el sistema numérico binario:

Creo que la lógica ya debería estar clara. Si en el sistema numérico decimal para cada dígito teníamos diez opciones disponibles (del 0 al 9 inclusive), entonces en el sistema numérico binario en cada uno de los dígitos de un número binario tenemos solo dos opciones: 0 o 1.

Para trabajar con direcciones IP y máscaras de subred, sólo necesitamos números naturales en el sistema numérico binario, aunque el sistema binario te permite escribir números fraccionarios y negativos, no lo necesitamos.

4.4.4 Conversión de números de decimal a binario

Echemos un vistazo mejor a esto. cómo convertir un número de decimal a binario. Y aquí todo es realmente muy, muy simple, aunque es difícil de explicar con palabras, así que lo contaré de inmediato. ejemplo de conversión de números de decimal a binario. Tomemos el número 61, para convertirlo a binario, necesitamos dividir este número entre dos y ver cuál es el resto de la división. Y el resultado de la división se vuelve a dividir por dos. En este caso 61 es el dividendo, siempre tendremos dos como divisor, y volvemos a dividir el cociente (resultado de la división) entre dos, continuamos dividiendo hasta que el cociente contenga 1, esta última unidad será el dígito más a la izquierda. La siguiente imagen demuestra esto.

Tenga en cuenta que el número 61 no es 101111, sino 111101, es decir, escribimos el resultado desde el final. No tiene sentido dividir la unidad entre dos en este último particular, ya que en este caso se utiliza división entera, y con este enfoque resulta como en la Figura 4.4.2.

esto no es lo mas manera rápida convertir un número de binario a decimal. Disponemos de varias aceleradoras. Por ejemplo, el número 7 en binario se escribe como 111, el número 3 como 11 y el número 255 como 11111111. Todos estos casos son increíblemente simples. El hecho es que los números 8, 4 y 256 son potencias de dos, y los números 7, 3 y 255 son uno menos que estos números. Entonces, para los números que son uno menos que un número igual a una potencia de dos, se aplica una regla simple: en el sistema binario, dicho número decimal se escribe como un número de unidades igual a una potencia de dos. Entonces, por ejemplo, el número 256 es dos a la octava potencia, por lo tanto, 255 se escribe como 11111111, y el número 8 es dos a la tercera potencia, y esto nos dice que 7 en el sistema numérico binario se escribirá como 111. Bueno, entiende, cómo escribir 256, 4 y 8 en el sistema numérico binario tampoco es difícil, solo suma uno: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Puede verificar cualquiera de sus resultados en una calculadora y es mejor hacerlo al principio.

Como puedes ver, todavía no nos hemos olvidado de cómo dividir. Y ahora podemos seguir adelante.

4.4.5 Conversión de números de binario a decimal

Convertir números de binario es mucho más fácil que convertir de decimal a binario. Como ejemplo de traducción, usaremos el número 11110. Preste atención a la siguiente tabla, muestra la potencia a la que necesita elevar dos para eventualmente obtener un número decimal.

Para obtener un número decimal de este número binario, debes multiplicar cada número del dígito por dos a la potencia y luego sumar los resultados de la multiplicación; es más fácil de mostrar:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Abramos la calculadora y asegurémonos de que 30 en el sistema numérico decimal sea 11110 en binario.

Vemos que todo se hizo correctamente. Del ejemplo queda claro que Convertir un número de binario a decimal es mucho más fácil que traducción inversa . Para trabajar con confianza sólo necesitas recordar las potencias de dos hasta 2 8. Para mayor claridad, proporcionaré una tabla.

No necesitamos más, ya que el máximo número posible que se puede escribir en un byte (8 bits u ocho valores binarios) es 255, es decir, en cada octeto de la dirección IP o máscara de subred del protocolo IPv4, hay un máximo posible significado— 255. Hay campos que tienen valores mayores a 255, pero no necesitamos calcularlos.

4.4.6 Suma, resta, multiplicación de números binarios y otras operaciones con números binarios

Miremos ahora Operaciones que se pueden realizar con números binarios.. Empecemos por los simples. operaciones aritméticas y luego pasar a las operaciones del álgebra booleana.

Sumar números binarios

Sumar números binarios no es tan difícil: 1+0 =1; 1+1=0 (daré una explicación más adelante); 0+0=0. Estos fueron ejemplos simples donde solo se usó un dígito, veamos ejemplos donde el número de dígitos es más de uno.
101+1101 en el sistema decimal es 5 + 13 = 18. Contemos en una columna.

El resultado se destaca naranja, la calculadora dice que calculamos correctamente, puedes comprobarlo. Ahora veamos por qué pasó esto, porque al principio escribí que 1+1=0, pero esto es para el caso cuando tenemos solo un dígito, para casos cuando hay más de un dígito, 1+1=10 (o dos en decimal), lo cual es lógico.

Entonces mira lo que pasa, realizamos sumas por dígitos de derecha a izquierda:

1. 1+1=10, escribe cero y uno pasa al siguiente dígito.

2. En el siguiente dígito obtenemos 0+0+1=1 (esta unidad nos llegó del resultado de la suma en el paso 1).

4. Aquí tenemos una unidad solo en el segundo número, pero también se ha transferido aquí, por lo que 0+1+1 = 10.

5. Pega todo junto: 10|0|1|0.

Si eres flojo en una columna, entonces contamos así: 101011+11011 o 43 + 27 = 70. ¿Qué podemos hacer aquí, pero miremos, porque nadie nos prohíbe hacer transformaciones y cambiar los lugares de la Los términos no cambian la suma, para el sistema numérico binario esta regla también es relevante.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Puedes comprobarlo con una calculadora, 1000110 en binario es 70 en decimal.

Restar números binarios

Inmediatamente un ejemplo para restar números de un solo dígito en el sistema numérico binario, no hablamos de números negativos, por lo que no tomamos en cuenta 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Si hay más de un dígito, entonces todo es simple, ni siquiera necesitas columnas ni trucos: 110111 – 1000, esto es lo mismo que 55 – 8. Como resultado, obtenemos 101111. Y el corazón dejó de latir, ¿de dónde viene la unidad del tercer dígito (numerando de izquierda a derecha y empezando desde cero)? ¡Es sencillo! En el segundo dígito del número 110111 hay 0, y en el primer dígito hay 1 (si suponemos que la numeración de dígitos comienza desde 0 y va de izquierda a derecha), pero la unidad del cuarto dígito se obtiene por sumando dos unidades del tercer dígito (se obtiene una especie de dos virtual) y de este para dos restamos uno, que está en el dígito cero del número 1000, y 2 - 1 = 1, y 1 es un dígito válido en el sistema numérico binario.

Multiplicar números binarios

Nos queda considerar la multiplicación de números binarios, que se implementa desplazando un bit hacia la izquierda.. Pero primero, veamos los resultados de la multiplicación de un solo dígito: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. En realidad todo es sencillo, ahora veamos algo más complejo. Tomemos los números 101001 (41) y 1100 (12). Multiplicaremos por columna.

Si en la tabla no queda claro cómo sucedió esto, intentaré explicarlo con palabras:

1. Es conveniente multiplicar números binarios en una columna, por lo que escribimos el segundo factor debajo del primero, si los números con cantidad diferente descargas, será más conveniente si numero mayor estará en la cima.
2. El siguiente paso es multiplicar todos los dígitos del primer número por el dígito más bajo del segundo número. Escribimos el resultado de la multiplicación a continuación; necesitamos escribirlo de manera que debajo de cada dígito correspondiente esté escrito el resultado de la multiplicación.
3. Ahora necesitamos multiplicar todos los dígitos del primer número por el siguiente dígito del segundo número y escribir el resultado una línea más debajo, pero este resultado debe desplazarse un dígito hacia la izquierda, si miras la tabla, esto; es la segunda secuencia de ceros desde arriba.
4. Debe hacer lo mismo con los dígitos siguientes, moviéndose cada vez un dígito hacia la izquierda, y si mira la tabla, puede decir esa celda hacia la izquierda.
5. Tenemos cuatro números binarios que ahora necesitamos sumar y obtener el resultado. Recientemente analizamos la suma, no debería haber ningún problema.

En general, la operación de multiplicación no es tan difícil, sólo necesitas un poco de práctica.

Operaciones de álgebra booleana

Hay dos conceptos muy importantes en el álgebra booleana: verdadero y falso, cuyo equivalente es cero y uno en el sistema numérico binario. Los operadores de álgebra booleana amplían la cantidad operadores disponibles por encima de estos valores, veámoslos.

Operación lógica AND o AND

La operación lógica AND o AND equivale a multiplicar números binarios de un solo dígito.

1 Y 1 = 1; 1 Y 0 = 1; 0 Y 0 = 0; 0 Y 1 = 0.

1 Y 1 = 1 ; 1 Y 0 = 1 ; 0 Y 0 = 0 ; 0 Y 1 = 0.

El resultado del “Y Lógico” será uno sólo si ambos valores son iguales a uno; en todos los demás casos será cero.

Operación "O Lógico" u O

La operación "OR lógico" u OR funciona según el siguiente principio: si al menos un valor es igual a uno, el resultado será uno.

1 O 1 = 1; 1 O 0 = 1; 0 O 1 = 1; 0 O 0 = 0.

1 O 1 = 1 ; 1 O 0 = 1; 0 O 1 = 1; 0 O 0 = 0.

Operación exclusiva OR o XOR

La operación "OR Exclusivo" o XOR nos dará resultado uno sólo si uno de los operandos igual a uno, y el segundo es igual a cero. Si ambos operandos son iguales a cero, el resultado será cero e incluso si ambos operandos son iguales a uno, el resultado será cero.

¡El resultado ya ha sido recibido!

Sistemas numéricos

Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El sistema numérico arábigo, que utilizamos en la vida cotidiana, es posicional, pero el sistema numérico romano no. En los sistemas numéricos posicionales, la posición de un número determina de forma única la magnitud del número. Consideremos esto usando el ejemplo del número 6372 en el sistema numérico decimal. Numeremos este número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

Entonces el número 6372 se puede representar de la siguiente manera:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

El número 10 determina el sistema numérico (en este caso es 10). Los valores de la posición de un número determinado se toman como potencias.

Considere el número decimal real 1287,923. Numerémoslo empezando desde cero, posición del número desde la coma decimal hacia izquierda y derecha:

Entonces el número 1287.923 se puede representar como:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

EN caso general la fórmula se puede representar de la siguiente manera:

c norte s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

donde C n es un número entero en posición norte, D-k- numero fraccionario en posición (-k), s- sistema numérico.

Algunas palabras sobre los sistemas numéricos Un número en el sistema numérico decimal consta de muchos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), en el sistema numérico octal consta de muchos dígitos. (0,1, 2,3,4,5,6,7), en el sistema numérico binario - de un conjunto de dígitos (0,1), en sistema hexadecimal notación - de un conjunto de números (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), donde A,B,C,D, E, F corresponden a los números 10,11,12,13,14,15. La Tabla 1 muestra los números en. diferentes sistemas Estimación.

Tabla 1
Notación
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	do
13	1101	15	D
14	1110	16	mi
15	1111	17	F

Convertir números de un sistema numérico a otro

Para convertir números de un sistema numérico a otro, la forma más sencilla es convertir primero el número al sistema numérico decimal y luego convertir del sistema numérico decimal al sistema numérico requerido.

Convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Usando la fórmula (1), puede convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal.

Ejemplo 1. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico binario (SS) al SS decimal. Solución:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2-1+ 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Ejemplo2. Convierte el número 1011101.001 de sistema octal notación (SS) a decimal SS. Solución:

Ejemplo 3 . Convierta el número AB572.CDF del sistema numérico hexadecimal al decimal SS. Solución:

Aquí A-reemplazado por 10, B- a las 11, do- a las 12, F- a las 15.

Convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, debe convertir por separado la parte entera del número y parte fraccionaria números.

La parte entera de un número se convierte de SS decimal a otro sistema numérico dividiendo secuencialmente la parte entera del número por la base del sistema numérico (para SS binario - por 2, para SS 8-ario - por 8, para 16 -ario SS - por 16, etc. ) hasta obtener un residuo entero, menor que la base CC.

Ejemplo 4 . Convirtamos el número 159 de SS decimal a SS binario:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Como se puede ver en la Fig. 1, el número 159 cuando se divide por 2 da el cociente 79 y el resto 1. Además, el número 79 cuando se divide por 2 da el cociente 39 y el resto 1, etc. Como resultado, construyendo un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en SS binario: 10011111 . Por tanto podemos escribir:

159 10 =10011111 2 .

Ejemplo 5 . Convirtamos el número 615 de SS decimal a SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Al convertir un número de SS decimal a SS octal, debe dividir secuencialmente el número entre 8 hasta obtener un resto entero menor que 8. Como resultado, al construir un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en octal SS: 1147 (Ver Figura 2). Por tanto podemos escribir:

615 10 =1147 8 .

Ejemplo 6 . Convirtamos el número 19673 del sistema numérico decimal al SS hexadecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Como se puede ver en la Figura 3, al dividir sucesivamente el número 19673 entre 16, los restos son 4, 12, 13, 9. En el sistema numérico hexadecimal, el número 12 corresponde a C, el número 13 - D. Por lo tanto, nuestro número hexadecimal- Este es el 4CD9.

Para convertir fracciones decimales adecuadas ( numero real con una parte entera cero) en el sistema numérico con base s, es necesario multiplicar secuencialmente este número por s hasta que en la parte fraccionaria resulte cero puro, o no obtendremos la cantidad requerida de dígitos. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera distinta de cero, entonces esta parte entera no se tiene en cuenta (se incluyen secuencialmente en el resultado).

Veamos lo anterior con ejemplos.

Ejemplo 7 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal al SS binario.

		0.214
	incógnita	2
0		0.428
	incógnita	2
0		0.856
	incógnita	2
1		0.712
	incógnita	2
1		0.424
	incógnita	2
0		0.848
	incógnita	2
1		0.696
	incógnita	2
1		0.392

Como puede verse en la Fig. 4, el número 0,214 se multiplica secuencialmente por 2. Si el resultado de la multiplicación es un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera se escribe por separado (a la izquierda del número), y el número se escribe con parte entera cero. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera cero, entonces se escribe un cero a la izquierda del mismo. El proceso de multiplicación continúa hasta que la parte fraccionaria llega a un cero puro u obtenemos el número requerido de dígitos. Al escribir números en negrita (Fig.4) de arriba a abajo obtenemos el número requerido en el sistema numérico binario: 0. 0011011 .

Por tanto podemos escribir:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ejemplo 8 . Convirtamos el número 0,125 del sistema numérico decimal al SS binario.

		0.125
	incógnita	2
0		0.25
	incógnita	2
0		0.5
	incógnita	2
1		0.0

Para convertir el número 0,125 de decimal SS a binario, este número se multiplica secuencialmente por 2. En la tercera etapa, el resultado es 0. En consecuencia, se obtiene el siguiente resultado:

0.125 10 =0.001 2 .

Ejemplo 9 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal.

		0.214
	incógnita	16
3		0.424
	incógnita	16
6		0.784
	incógnita	16
12		0.544
	incógnita	16
8		0.704
	incógnita	16
11		0.264
	incógnita	16
4		0.224

Siguiendo los ejemplos 4 y 5, obtenemos los números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Pero en SS hexadecimal, los números 12 y 11 corresponden a los números C y B. Por lo tanto, tenemos:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Ejemplo 10 . Convirtamos el número 0,512 del sistema numérico decimal a SS octal.

		0.512
	incógnita	8
4		0.096
	incógnita	8
0		0.768
	incógnita	8
6		0.144
	incógnita	8
1		0.152
	incógnita	8
1		0.216
	incógnita	8
1		0.728

Recibió:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ejemplo 11 . Convirtamos el número 159.125 del sistema numérico decimal al SS binario. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 4) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 8). Combinando aún más estos resultados obtenemos:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ejemplo 12 . Convirtamos el número 19673.214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 6) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 9). Además, combinando estos resultados obtenemos.

En uno de nuestros materiales analizamos la definición. Tiene el alfabeto más corto. Solo dos dígitos: 0 y 1. En la tabla se dan ejemplos de alfabetos de sistemas numéricos posicionales.

Sistemas de números posicionales

Nombre del sistema	Base	Alfabeto
Binario
Trinidad
Cuaternario
Cinco veces
octal
Decimal		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
duodecimal		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
hexadecimal		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
treinta y seis		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Para traducción pequeño número de decimal a binario y viceversa, es mejor utilizar la siguiente tabla.

Tabla para convertir números decimales del 0 al 20 al sistema numérico binario.

decimal número	número binario	decimal número	número binario

Sin embargo, la tabla resultará enorme si escribes todos los números allí. Encontrar el número correcto entre ellos será más difícil. Es mucho más fácil recordar varios algoritmos para convertir números de uno. sistema de posicionamiento contando a otro.

¿Cómo convertir de un sistema numérico a otro? En informática existen varios maneras simples convertir números decimales a números binarios. Veamos dos de ellos.

Método número 1.

Digamos que necesitas convertir un número. 637 sistema decimal al sistema binario.

Esto se hace de la siguiente manera: se encuentra la potencia máxima de dos de modo que dos en esta potencia sea menor o igual que el número original.

En nuestro caso es 9, porque 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , que es mayor que nuestro número inicial. Así, recibimos el número de dígitos del resultado. Es igual a 9+1=10. Esto significa que el resultado se verá como 1ххххххххх, donde x se puede reemplazar por 1 o 0.

Encontremos el segundo dígito del resultado. Elevemos dos a la potencia de 9 y restemos del número original: 637-2 9 =125. Luego compara con el número 2 8 =256 . Como 125 es menor que 256, el noveno dígito será 0, es decir el resultado ya tomará la forma 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , lo que significa que el octavo dígito también será cero.

2 6 =64 , entonces el séptimo dígito es igual a 1. 125-64=61 Por lo tanto, hemos recibido cuatro dígitos mayores y el número tomará la forma 10011ххххх.

2 5 =32 y vemos que 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - quinto dígito 1 => 1001111xxx. Resto 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, resto 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, resto 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Este será el resultado final.

Método número 2.

La regla para convertir números decimales enteros al sistema numérico binario establece:

1. vamos a dividir un n-1 un n-2 ... un 1 un 0 = un n-1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 por 2.
2. El cociente será igual a un-1⋅2n−2+...+a1, y el resto será igual
3. Dividamos nuevamente el cociente resultante entre 2, el resto de la división será igual a a1.
4. Si continuamos este proceso de división, entonces enésimo paso obtenemos un conjunto de números: un 0, un 1, un 2,..., un n-1, que están incluidos en representación binaria el número original y coincide con los restos cuando se divide sucesivamente entre 2.
5. Por lo tanto, para convertir un número decimal entero al sistema numérico binario, es necesario dividir secuencialmente el número dado y los cocientes enteros resultantes por 2 hasta obtener un cociente igual a cero.

El número original en el sistema numérico binario se compone grabación secuencial saldos recibidos. Empezamos a grabarlo con el último encontrado.

Convirtamos el número decimal. 11 en el sistema numérico binario. La secuencia de acciones discutidas anteriormente (algoritmo de traducción) se puede representar de la siguiente manera:

Recibió 11 10 =1011 2 .

Ejemplo:

Si el número decimal es lo suficientemente grande, entonces es más conveniente siguiente camino registros del algoritmo discutido anteriormente:

363 10 =101101011 2

El sistema numérico más corto es el binario. ella esta completamente basada en forma posicional números de grabación. La característica principal es el principio. duplicar dígitos al realizar una transición de una determinada posición a la siguiente. De un sistema numérico a otro, puedes convertir usando programa especial y manualmente.

Reconocimiento histórico

La aparición del SS binario en la historia está asociada con el científico. matemático v.g. Leibniz. Fue él quien habló por primera vez sobre las reglas para realizar operaciones con valores numéricos de este tipo. Pero inicialmente este principio permaneció no reclamado. El algoritmo recibió reconocimiento y aplicación mundial en los albores de las computadoras.

Comodidad y sencillez operaciones han llevado a la necesidad de más estudio detallado esta subsección de la aritmética, que se volvió indispensable en el desarrollo tecnología informática Con software. Por primera vez aparecieron mecanismos de este tipo en los mercados alemán y francés.

¡Atención! La superioridad del sistema binario sobre el sistema decimal, precisamente en este sector, fue señalada en 1946 y fundamentada en un artículo de A. Bex, H. Goldstein y J. Von Neumann.

Convertir un número del sistema numérico decimal a binario.

Características de la aritmética binaria.

Todo CC binario se basa en la aplicación de únicamente dos personajes, que se aproximan mucho a las características circuito digital. Cada uno de los símbolos es responsable de una acción específica, que muchas veces implica dos estados:

• la presencia o ausencia de un agujero, por ejemplo, en una tarjeta perforada o cinta de papel;
• en medios magnéticos es responsable del estado de magnetización o desmagnetización;
• por nivel de señal, alto o bajo.

En la ciencia en la que se utiliza SS se ha introducido una determinada terminología, su esencia es la siguiente:

• Poco - dígito binario, que consta de dos componentes que tienen un cierto significado. El colocado a la izquierda se define como el mayor y es prioritario, y a la derecha el menor, que es menos significativo.
• Un byte es una unidad que consta de ocho bits.

Muchos módulos perciben y procesan información. en porciones o palabras. cada palabra tiene peso diferente y puede consistir en 8, 16 o 32 bits.

Reglas para transferencias de un sistema a otro.

uno de los factores más importantes la aritmética de la máquina es transferir de una SS a otra. Por lo tanto, prestemos atención a los algoritmos básicos para realizar un proceso que mostrará cómo convertir un número al sistema binario.

Convertir el sistema decimal a binario

Primero, pasemos a la cuestión de cómo convertir el sistema de números decimales a binarios. Para esto hay regla de traducción de números decimales a código binario, lo que implica operaciones matemáticas.

Requiere un número escrito en forma decimal. dividir por 2. Continúa dividiendo hasta que no queden más en el cociente. unidad. Si se requiere un sistema numérico binario, la traducción se realiza de la siguiente manera:

186:2=93 (0 restante)

93:2=46 (descanso 1)

46:2=23 (0 restante)

23:2=11 (descanso 1)

11:2=5 (1 restante)

5:2=2 (rest.1)

Una vez completado el proceso de división, escribe uno en el cociente y escribe todos los restos secuencialmente en orden inverso de división. Es decir, 18610=1111010. Siempre se debe seguir la regla para convertir números decimales a SS.

Convertir un número del sistema decimal a binario.

Conversión de SS decimal a octal

Se sigue un proceso similar al convertir de SS decimal a octal. También se le llama " regla de sustitución" Si en el ejemplo anterior los datos se dividieron por 2, entonces aquí es necesario dividir por 8. El algoritmo para convertir el número X10 a octal consta de los siguientes pasos:

1. El número X10 comienza a dividirse entre 8. Tomamos el cociente resultante para la siguiente división y el resto se escribe como bit menos significativo.
2. Seguimos dividiendo hasta obtener el resultado del cociente igual cero o resto, que en su valor menos de ocho. En este caso, escribimos todos los restos como bits de orden bajo.

Por ejemplo, necesitas convertir el número 160110 a octal.

1601:8=200 (1 restante)

200:8=25 (0 restante)

25:8=3 (rest.1)

Entonces obtenemos: 161010=31018.

Conversión de decimal a octal.

Escribir un número decimal en hexadecimal

La conversión de SS decimal a hexadecimal se realiza de manera similar utilizando el sistema de sustitución. Pero además de los números, también utilizan letras del alfabeto latino A, B, C, D, E, F. Donde A representa el resto 10 y F representa el resto 15. numero decimal dividido por 16. Por ejemplo, convierta 10710 a hexadecimal:

107:16=6 (11 restantes – reemplazar B)

6 es menor que dieciséis. Dejamos de dividir y escribimos 10710 = 6B16.

Pasar de otro sistema a binario

La siguiente pregunta es cómo convertir de octal a notación binaria números. Convertir números de cualquier sistema a binario es bastante sencillo. Un asistente en este asunto es tabla para sistemas numéricos.