Funciones de muchas variables ejemplos de soluciones doc. El dominio de definición de funciones trigonométricas de dos variables. El dominio de definición de una fracción en función de dos variables.

) ya nos hemos encontrado repetidamente con derivadas parciales de funciones complejas como ejemplos más difíciles. Entonces, ¿de qué más puedes hablar? ...Y todo es como en la vida: no hay complejidad que no pueda ser complicada =) Pero las matemáticas son para eso, para encajar la diversidad de nuestro mundo en un marco estricto. Y a veces esto se puede hacer con una sola frase:

EN caso general la función compleja se parece , Dónde, al menos uno de letras representa función, que puede depender de arbitrario número de variables.

La opción mínima y más simple es la conocida función compleja de una variable, cuyo derivado Aprendimos a encontrar el semestre pasado. También tienes las habilidades para diferenciar funciones. (eche un vistazo a las mismas funciones ) .

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivadas son muy engorrosas y difíciles de digerir. En este sentido me limitaré ejemplos concretos, de lo cual puedes entender principio general encontrando estas derivadas:

Ejemplo 1

Dada una función compleja donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y escriba el diferencial total de primer orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Solución: Primero, veamos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiendo de y , que a su vez son funciones una variable:

En segundo lugar, prestemos mucha atención a la tarea en sí: debemos encontrar derivado, es decir, ¡no estamos hablando en absoluto de derivadas parciales, como estamos acostumbrados a encontrar! Desde la función En realidad depende de una sola variable, entonces la palabra "derivada" significa derivada total. ¿Cómo encontrarla?

Lo primero que me viene a la mente es la sustitución directa y una mayor diferenciación. sustituyamos para funcionar:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula como está formulado, nadie espera tal barbarie de usted =) Pero en serio, aquí realmente se pueden encontrar fallas. Imagine que una función describe el vuelo de un abejorro y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realizar una sustitución directa , solo obtenemos información privada , que caracteriza el vuelo, digamos, sólo en climas cálidos. Además, si se presenta a una persona que no sabe nada de abejorros resultado final e incluso para decir cuál es esta función, ¡nunca aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Entonces, de manera completamente inesperada, nuestro animado hermano nos ayudó a comprender el significado y la importancia de la fórmula universal:

Acostúmbrese a la notación de "dos pisos" para las derivadas: en la tarea que estamos considerando, son las que se utilizan. En este caso, uno debería ser muy limpio en la entrada: los derivados con símbolo directo “de” son derivadas completas, y los derivados con iconos redondeados son derivadas parciales. Empecemos por los últimos:

Bueno, con las “colas” todo es generalmente elemental:

Sustituyamos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Cuando una función se propone inicialmente de forma intrincada, será lógico (¡y esto se explica arriba!) Deja los resultados como están:

Al mismo tiempo, en las respuestas "sofisticadas" es mejor abstenerse de simplificaciones mínimas. (aquí, por ejemplo, pide que le eliminen 3 desventajas)- y tienes menos trabajo, y tu amigo peludo estará feliz de revisar la tarea más fácilmente.

Sin embargo, una verificación aproximada no será superflua. sustituyamos en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:


(en último paso usado fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto. Primero conviene conocer los valores de “tránsito” (valores de función ) :

Ahora hacemos los cálculos finales, que en en este caso se puede hacer de diferentes maneras. Utilizo una técnica interesante en la que los "pisos" tercero y cuarto no se simplifican según las reglas habituales, sino que se transforman como el cociente de dos números:

Y, por supuesto, es pecado no comprobar utilizando una notación más compacta. :

Respuesta:

Sucede que el problema se plantea en forma “semigeneral”:

"Encuentra la derivada de la función donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "inserciones" son bastante específicas. La respuesta debe darse en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encuentra la derivada de la función. »

En este caso necesitas por cuenta propia designar funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, mediante y usa la misma fórmula:

Por cierto, oh designaciones de letras. En repetidas ocasiones he instado a no “aferrarse a las letras” como salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente relevante! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "se volvieron locos" y comenzaron a arrojar sin piedad a los estudiantes al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdóname :))

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función. , Si

¡Otras designaciones no deberían causar confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función “zet” depende de dos funciones (“y” y “ve”).

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambas “inserciones” dependen únicamente de la “X”.

¡Así que no deberías tener ninguna dificultad para adaptar la fórmula a esta tarea!

Solución rápida y la respuesta al final de la lección.

Ejemplos adicionales el primer tipo se puede encontrar en El libro de problemas de Ryabushko (IDZ 10.1) Bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables:

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en el punto

La fórmula para la derivada de una función compleja, como muchos suponen, tiene una forma relacionada:

Decide una vez que lo hayas adivinado =)

Por si acaso te daré fórmula general para función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Además, a veces es necesario diferenciar una versión "truncada", como regla general, una función de la forma o. Dejo esta pregunta para que la estudies por tu cuenta: crea algunos ejemplos simples, piensa, experimenta y deriva fórmulas abreviadas para derivadas.

Si algo aún no está claro, vuelva a leer lentamente y comprenda la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más complicada:

Ejemplo 4

Encuentra las derivadas parciales de una función compleja, donde

Solución: esta función tiene la forma , y después de sustitución directa obtenemos la función habitual de dos variables:

Pero ese miedo no sólo no se acepta, sino que ya no se quiere diferenciar =) Por lo tanto, utilizaremos fórmulas ya preparadas. Para ayudarte a comprender rápidamente el patrón, tomaré algunas notas:

Mire atentamente la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha….

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas “X” de los “liners”:

y escribe la derivada final “X”:

Lo mismo ocurre con el “juego”:

Y

Puedes ceñirte a otro estilo: encuentra todas las "colas" a la vez y luego escribe ambas derivadas.

Respuesta:

Acerca de la sustitución De alguna manera no pienso en eso en absoluto =) =), pero puedes modificar un poco los resultados. Aunque, de nuevo, ¿por qué? – sólo hará que al profesor le resulte más difícil comprobarlo.

Si es necesario, entonces diferencial completo aquí está escrito según la fórmula habitual y, por cierto, justo en este paso Los cosméticos ligeros se vuelven apropiados:


Esto es... ...un ataúd sobre ruedas.

Debido a la popularidad del tipo de función compleja que se está considerando, se requieren un par de tareas para decisión independiente. Un ejemplo más sencillo en forma “semigeneral” sirve para entender la fórmula misma ;-):

Ejemplo 5

Encuentra las derivadas parciales de la función, donde

Y más complicado, con la inclusión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Encuentra el diferencial completo de una función. , Dónde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto; todos los ejemplos están tomados de trabajo real, y “en alta mar” puedes encontrar cualquier letra. En cualquier caso, será necesario analizar la función. (respondiendo 2 preguntas – ver arriba), presentarlo en vista general y modificar cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora estés un poco confundido, ¡pero comprenderás el principio mismo de su construcción! Porque los verdaderos desafíos apenas comienzan :)))

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y construye el diferencial completo de una función compleja.
, Dónde

Solución: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el ejemplo 4, se agregó otra función anidada y, por lo tanto, las fórmulas de derivada parcial también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visión del patrón, resaltaré las derivadas parciales “principales” diferentes colores:

Y nuevamente, estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en forma “semigeneral”, todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones integradas:

Un niño de primer grado puede manejar:

E incluso el diferencial completo resultó bastante bueno:

Deliberadamente no les ofrecí ninguna función específica, para que un desorden innecesario no interfiera con una buena comprensión de diagrama esquemático tareas.

Respuesta:

Muy a menudo se pueden encontrar inversiones de “tamaño mixto”, por ejemplo:

Aquí la función "principal", aunque tiene la forma, todavía depende tanto de "x" como de "y". Por lo tanto, funcionan las mismas fórmulas: solo que algunas derivadas parciales serán iguales a cero. Además, esto también es cierto para funciones como , en el que cada “revestimiento” depende de una variable.

Una situación similar ocurre en los dos últimos ejemplos de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra el diferencial total de una función compleja en un punto.

Solución: la condición se formula de forma "presupuestaria" y debemos etiquetar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que esta es una buena opción:

Los “insertos” contienen ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son las antiguas “X-Y-Z”, lo que significa que la función “principal” en realidad depende de tres variables. Puede reescribirse formalmente como , y las derivadas parciales en este caso se definen las siguientes fórmulas:

Escaneamos, profundizamos, capturamos….

En nuestra tarea:

Funciones de muchas variables.

§1. El concepto de función de muchas variables.

que haya norte cantidades variables. cada conjunto
denota un punto norte- conjunto dimensional
(norte-vector dimensional).

Sean conjuntos dados
Y
.

AOD. Si cada punto
coincide con el número singular
, entonces decimos que se da una función numérica norte variables:

.

se llama dominio de definición,
- un conjunto de valores de una función determinada.

En caso norte=2 en lugar
normalmente escribo incógnita, y, z. Entonces la función de dos variables tiene la forma:

z= F(incógnita, y).

Por ejemplo,
- función de dos variables;

- función de tres variables;

función lineal norte variables.

AOD. Gráfico de funciones norte las variables se llaman norte- hipersuperficie dimensional en el espacio
, cada punto del cual está especificado por coordenadas

Por ejemplo, una gráfica de una función de dos variables. z= F(incógnita, y) es una superficie en el espacio tridimensional, cada punto del cual está especificado por coordenadas ( incógnita, y, z) , Dónde
, Y
.

Dado que no es posible representar una gráfica de una función de tres o más variables, consideraremos principalmente (para mayor claridad) funciones de dos variables.

Trazar funciones de dos variables es una tarea bastante difícil. La construcción de las llamadas líneas de nivel puede ser de gran ayuda para resolver este problema.

AOD. Línea de nivel de una función de dos variables. z= F(incógnita, y) se llama conjunto de puntos en el plano hou, que son la proyección de la sección de la gráfica de la función por un plano paralelo HO. En cada punto de la línea de nivel la función tiene el mismo valor. Las líneas de nivel se describen mediante la ecuación. F(incógnita, y)=c, Dónde Con– un cierto número. Hay infinitas líneas de nivel y una de ellas puede pasar por cada punto del dominio de definición.

AOD. Función de nivel de superficie norte variables y= F (
) se llama hipersuperficie en el espacio
, en cada punto del cual el valor de la función es constante e igual a un cierto valor Con. Ecuación de superficie de nivel: F (
)= s.

Ejemplo. Graficar una función de dos variables

.

.

Cuando c=1:
;
.

Con c=4:
;
.

En c=9:
;
.

Las líneas de nivel son círculos concéntricos, cuyo radio disminuye al aumentar z.

§2. Límite y continuidad de una función de varias variables.

Para funciones de muchas variables se definen los mismos conceptos que para funciones de una variable. Por ejemplo, puedes dar definiciones de límite y continuidad de una función.

AOD. z= F(incógnita, y) El número A se llama límite de una función de dos variables.
,
en
y es designado , si para cualquier número positivo hay un numero positivo
, de modo que si el punto
lejos del punto menos distancia F(incógnita, y) , entonces las cantidades .

AOD y A difieren en menos de z= F(incógnita, y) . Si la función
definido en el punto
y tiene un límite en este punto igual al valor de la función

.

, entonces se llama continua en un punto dado.

§3. Derivadas parciales de funciones de varias variables.
.

Considere una función de dos variables. Fijemos el valor de uno de sus argumentos, por ejemplo.
, poniendo
. Entonces la función hay una función de una variable :

.

. Sea que tenga una derivada en el punto
Esta derivada se llama derivada parcial (o derivada parcial de primer orden) de la función Por
en el punto
;
;
;
.

y se designa: en
:

La diferencia se llama incremento parcial.

.

Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, podemos escribir

.

Definido de manera similar derivada parcial

funciones de varias variables en una de estas variables se llama límite de la relación entre el incremento parcial de una función y el incremento de la variable independiente correspondiente, cuando este incremento tiende a cero.

Al encontrar la derivada parcial con respecto a cualquier argumento, los demás argumentos se consideran constantes. Todas las reglas y fórmulas para derivar funciones de una variable son válidas para derivadas parciales de funciones de muchas variables. Tenga en cuenta que las derivadas parciales de una función son funciones de las mismas variables. Estas funciones, a su vez, pueden tener derivadas parciales, que se denominan segundas derivadas parciales

(o derivadas parciales de segundo orden) de la función original.
Por ejemplo, la función

;
;

;
.

tiene cuatro derivadas parciales de segundo orden, que se denotan de la siguiente manera:
Y

- derivadas parciales mixtas. Ejemplo.

.

Encuentra derivadas parciales de segundo orden para una función
,
.

,
.

,
.

Solución..

Ejercicio

,
;

1. Encuentra derivadas parciales de segundo orden para funciones.
2. Para la función
.

demostrar que diferencial completo

funciones de muchas variables. Con cambios simultáneos de valores. incógnita Y en
función z cambiará en una cantidad llamada incremento total de la función
en el punto
. Al igual que en el caso de una función de una variable, surge el problema de la sustitución aproximada del incremento.
Y
a una función lineal de . El papel de la aproximación lineal lo realiza diferencial completo

Características:

=
.

=
.

Diferencial total de segundo orden: norte En general, un diferencial total

Derivada direccional. Gradiente.

Deja que la función z= F(incógnita, y) se define en alguna vecindad del punto M( incógnita, y) Y - alguna dirección especificada por el vector unitario
. Las coordenadas de un vector unitario se expresan mediante los cosenos de los ángulos formados por el vector y los ejes coordenados y se denominan cosenos directores:

,

.

Al mover el punto M( incógnita, y) V. en esta dirección yo al grano
función z recibirá un incremento

llamado incremento de la función en una dirección dada yo.

mi si MM 1 =∆ yo, Eso

t

cuando

ACERCA DE

pr. Derivado funciones z= F(incógnita, y) en la dirección se llama el límite de la relación entre el incremento de la función en esta dirección y la magnitud del desplazamiento ∆ yo como este último tiende a cero:

La derivada direccional caracteriza la tasa de cambio de una función en una dirección determinada. Obviamente, las derivadas parciales Y representar derivadas en direcciones paralelas a los ejes Buey incógnita Oye.

Ejemplo Es fácil demostrar que
. Calcular la derivada de una función.
.

AOD. en el punto (1;1) en la dirección funciones z= F(incógnita, y) Gradiente

.

es un vector con coordenadas iguales a derivadas parciales:
Y
:

Considere el producto escalar de vectores.
Es fácil ver eso .

, es decir. la derivada direccional es igual al producto escalar del gradiente y el vector dirección unitario
Desde , Eso producto escalar

máximo cuando los vectores están igualmente dirigidos. Por tanto, el gradiente de una función en un punto especifica la dirección del aumento más rápido de la función en ese punto, y el módulo del gradiente es igual a la tasa de crecimiento máxima de la función.

Conociendo el gradiente de una función, se pueden construir localmente líneas de nivel de función. Teorema z= F(incógnita, y) . Sea una función diferenciable
y en el punto
el gradiente de la función no es cero:

. Entonces el gradiente es perpendicular a la línea de nivel que pasa por el punto dado.

Por lo tanto, si, a partir de un punto determinado, construimos el gradiente de la función y una pequeña parte de la línea de nivel perpendicular a ella en puntos cercanos, entonces podemos (con cierto error) construir líneas de nivel.

Deja que la función
Extremo local de una función de dos variables.
.

AOD definido y continuo en alguna vecindad del punto
. Punto
se llama punto máximo local de la función , si existe tal vecindad del punto
, en el que para cualquier punto

.

la desigualdad se cumple:

De manera similar se introduce el concepto de mínimo local..

Teorema (condición necesaria para el extremo local)
Para que una función diferenciable
tenía un extremo local en el punto

, es necesario que todas sus derivadas parciales de primer orden en este punto sean iguales a cero:
. Como en el caso de una función de una variable, estos puntos se denominan estacionarios.

Al estudiar muchos patrones en ciencias naturales y economía, uno encuentra funciones de dos (o más) variables independientes.

Definición (para una función de dos variables).Dejar incógnita , Y Y z - multitudes. Si cada pareja (incógnita, y) elementos de conjuntos respectivamente incógnita Y Y en virtud de alguna ley F coincide con uno y sólo un elemento z de muchos z , entonces dicen que se da una función de dos variables z = F(incógnita, y) .

En general dominio de una función de dos variables geométricamente se puede representar mediante un determinado conjunto de puntos ( incógnita; y) avión xoy .

Las definiciones básicas relacionadas con funciones de varias variables son una generalización de las correspondientes. definiciones para una función de una variable .

Muchos D llamado dominio de la función z, y el conjunto mi – sus muchos significados. variables incógnita Y y en relación con la función z se llaman sus argumentos. Variable z llamada variable dependiente.

Valores privados de los argumentos.

Corresponde al valor privado de la función.

Dominio de una función de varias variables.

Si función de varias variables (por ejemplo, dos variables) dado por la fórmula z = F(incógnita, y) Desde área de su definición es el conjunto de todos esos puntos del plano x0y, para lo cual la expresión F(incógnita, y) tiene sentido y acepta valores reales. Las reglas generales para el dominio de una función de varias variables se derivan de reglas generales Para dominio de definición de una función de una variable. La diferencia es que para una función de dos variables, el dominio de definición es un determinado conjunto de puntos en el plano, y no una línea recta, como para una función de una variable. Para funciones de tres variables, el dominio de definición es el conjunto correspondiente de puntos en el espacio tridimensional, y para una función norte variables: el conjunto correspondiente de puntos del resumen norte-espacio dimensional.

Dominio de una función de dos variables con raíz. norte grado

En el caso en que una función de dos variables esté dada por la fórmula y norte - número natural :

Si norte - número par, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de puntos del plano correspondientes a todos los valores de la expresión radical que son mayores o iguales a cero, es decir

Si norte es un número impar, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de valores cualesquiera, es decir, todo el plano x0y .

Dominio de una función potencia de dos variables con exponente entero

:

Si a- positivo, entonces el dominio de definición de la función es todo el plano x0y ;

Si a- negativo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de valores distintos de cero: .

Dominio de una función potencia de dos variables con exponente fraccionario

En el caso de que la función esté dada por la fórmula :

si es positivo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores o iguales a cero: ;

si - es negativo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores que cero: .

Dominio de definición de una función logarítmica de dos variables.

Función logarítmica de dos variables. se define siempre que su argumento sea positivo, es decir, el dominio de su definición es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores que cero: .

Dominio de definición de funciones trigonométricas de dos variables.

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

El dominio de definición de la función es todo el plano. x0y

Dominio de funciones - todo el avión x0y, excepto pares de números para los cuales toma valores.

Dominio de definición de funciones trigonométricas inversas de dos variables.

Dominio de funciones .

Dominio de funciones - el conjunto de puntos del plano para los cuales .

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

El dominio de definición de una fracción en función de dos variables.

Si una función está dada por la fórmula, entonces el dominio de definición de la función son todos los puntos del plano en el que .

Dominio de una función lineal de dos variables.

Si la función está dada por una fórmula de la forma z = hacha + por + do , entonces el dominio de definición de la función es todo el plano x0y .

Ejemplo 1.

Solución. Según las reglas del dominio de definición, componemos una doble desigualdad.

Multiplicamos toda la desigualdad por y obtenemos

La expresión resultante especifica el dominio de definición de esta función de dos variables.

Ejemplo 2. Encuentra el dominio de una función de dos variables.

Límite de una función de dos variables.
Concepto y ejemplos de soluciones.

Bienvenidos a la tercera lección sobre el tema. FNP, donde todos tus miedos finalmente comenzaron a hacerse realidad =) Como muchos sospechaban, el concepto de límite también se aplica a una función de un número arbitrario de argumentos, que es lo que tenemos que descubrir hoy. Sin embargo, hay algunas noticias optimistas. Consiste en que el límite es hasta cierto punto abstracto y las tareas correspondientes son extremadamente raras en la práctica. En este sentido, nuestra atención se centrará en los límites de una función de dos variables o, como lo escribimos más a menudo: .

Muchas ideas, principios y métodos son similares a la teoría y práctica de los límites "ordinarios", lo que significa que en este momento debería ser capaz de encontrar límites y lo más importante ENTENDER lo que es límite de una función de una variable. Y, dado que el destino te trajo a esta página, lo más probable es que ya entiendas y sepas mucho. Y si no, no pasa nada, todos los huecos se pueden llenar en cuestión de horas e incluso minutos.

Los acontecimientos de esta lección tienen lugar en nuestro mundo tridimensional y, por lo tanto, sería simplemente una gran omisión no participar activamente en ellos. Primero, construyamos un conocido Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.. Levantémonos y caminemos un poco por la habitación... ...el piso que pisas es un avión. Pongamos el eje en algún lugar... bueno, por ejemplo, en cualquier rincón, para que no estorbe. Excelente. Ahora, por favor, mira hacia arriba e imagina que la manta está colgada allí, extendida. Este superficie, especificado por la función. Nuestro movimiento en el suelo, como es fácil de entender, imita el cambio de variables independientes, y podemos movernos exclusivamente debajo de la manta, es decir. V dominio de definición de una función de dos variables. Pero la diversión apenas comienza. Una pequeña cucaracha se arrastra sobre la manta justo encima de la punta de tu nariz, y dondequiera que vayas, ella también. Llamémosle Freddy. Su movimiento simula un cambio en los valores de la función correspondiente. (excepto aquellos casos en los que la superficie o sus fragmentos son paralelos al plano y la altura no cambia). Querido lector llamado Freddie, no te ofendas, esto es necesario para la ciencia.

Tomemos un punzón en nuestras manos y perforemos la manta en un punto arbitrario, cuya altura denotaremos por , después de lo cual clavaremos la herramienta en el piso estrictamente debajo del agujero; este será el punto. Ahora comencemos infinitamente cerca acercarse a un punto dado , y tenemos derecho a acercarnos a lo largo de CUALQUIER trayectoria (cada punto del cual, por supuesto, está incluido en el dominio de la definición). Si en TODOS los casos Freddy será infinitamente cerca arrastrarse hasta el pinchazo a una altura y EXACTAMENTE ESTA ALTURA, entonces la función tiene un límite en el punto en :

Si, en las condiciones especificadas, el punto perforado se encuentra en el borde de la manta, entonces el límite seguirá existiendo; es importante que en barrio arbitrariamente pequeño las puntas del punzón eran al menos algunos puntos del dominio de definición de la función. Es más, como ocurre con límite de una función de una variable, no importa, ya sea que la función esté definida en un punto o no. Es decir, nuestro pinchazo se puede sellar con chicle. (supongamos que la funcion de dos variables es continua) y esto no afectará la situación - recordamos que la esencia misma del límite implica aproximación infinitamente cercana, y no un “acercamiento preciso” a un punto.

Sin embargo, una vida sin nubes se ve ensombrecida por el hecho de que, a diferencia de su hermano menor, el límite muchas veces no existe. Esto se debe a que suele haber muchos caminos hacia un punto concreto del avión, y cada uno de ellos debe llevar a Freddy estrictamente al pinchazo. (opcional “sellado con chicle”) y estrictamente a la altura. Y hay más que suficientes superficies extrañas con discontinuidades igualmente extrañas, lo que conduce a una violación de este condiciones estrictas en algunos puntos.

organicemos ejemplo más simple– toma un cuchillo en tus manos y corta la manta de modo que la punta perforada quede en la línea de corte. Tenga en cuenta que el límite todavía existe, lo único es que hemos perdido el derecho a pisar puntos debajo de la línea de corte, ya que esta área “se cayó” de dominio de función. Ahora levantemos con cuidado lado izquierdo manta por el eje, y por su parte derecha, por el contrario la moveremos hacia abajo o incluso la dejaremos en su sitio. ¿Qué ha cambiado? Y lo siguiente ha cambiado fundamentalmente: si ahora nos acercamos a un punto a la izquierda, Freddy estará a mayor altitud que si nos acercáramos a un punto determinado a la derecha. Entonces no hay límite.

y por supuesto límites maravillosos¿Dónde estaríamos sin ellos? Veamos un ejemplo que resulta instructivo en todos los sentidos:

Ejemplo 11

Usamos la fórmula trigonométrica dolorosamente familiar, donde nos organizamos usando una técnica artificial estándar. primeros límites destacables :

Pasemos a las coordenadas polares:
Si entonces

Parecería que la solución va hacia un resultado natural y nada presagia problemas, pero al final existe un gran riesgo de cometer un defecto grave, cuya naturaleza ya insinué un poco en el Ejemplo 3 y describí en detalle. después del Ejemplo 6. Primero el final, luego el comentario:

Averigüemos por qué sería malo escribir simplemente "infinito" o "más infinito". Miremos el denominador: desde , el radio polar tiende a infinitesimal valor positivo: . Además, . Por tanto, el signo del denominador y del límite total depende únicamente del coseno:
, si el ángulo polar (2º y 3º cuartos de coordenadas: );
, si el ángulo polar (Cuartos de coordenadas 1.º y 4.º: ).

Geométricamente, esto significa que si te acercas al origen desde la izquierda, entonces la superficie definida por la función , se extiende hasta el infinito:

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. CONCEPTOS BÁSICOS

Sea: z - un valor de variable con un rango de cambios R; R - recta numérica; D - área en el plano coordenado R2.

Cualquier mapeo D->R se denomina función de dos variables con dominio D y se escribe z = f(x;y).

En otras palabras:

Si cada par (x; y) de dos variables independientes del dominio D, según alguna regla, está asociado con una valor específico z de R, entonces valor variable z se llama función de dos variables independientes x e y con dominio D y se escribe

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Ejemplo 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

El dominio de definición es una parte del plano que se encuentra dentro de un círculo de radio r = 3, con el centro en el origen, ver figura.

Ejemplo 3. Encuentra y dibuja el dominio de una función.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN DE DOS

VARIABLES

2.1.Gráfica de una función de dos variables

Consideremos en el espacio sistema rectangular coordenadas y área D en el plano xOy. En cada punto M(x;y) de esta área restablecemos una perpendicular al plano xOy y trazamos el valor z = f(x;y) en él. Ubicación geométrica de los puntos obtenidos.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Estos son círculos centrados en el origen, radio R = C1/2 y la ecuación

x2 + y2 = R2, ver figura.

Las líneas de nivel permiten representar la superficie considerada, lo que da círculos concéntricos cuando se secciona por planos z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> y busque .

Solución. Usemos el método de la sección.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– en el plano – una parábola.

– en el plano – parábola.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – círculo.

La superficie requerida es un paraboloide de revolución.

Distancia entre dos puntos arbitrarios y el espacio (euclidiano) se llama número

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> se llama circulo abierto radio centrado en el punto r.

Un círculo abierto de radio ε con centro en el punto A se llama - ε - alrededores punto a.

3tarea

Encuentre y represente gráficamente el dominio de definición de la función:

Dibujar líneas de nivel de función:

3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Conceptos básicos análisis matemático, introducido para una función de una variable, se extiende a funciones de varias variables.

Definición:

Un número constante A se llama límite de una función de dos variables z = f(x;y) para x -> x0, y -> y0, si es para alguna

ε >0 existe δ >0 tal que |f(x; y) - A|< ε , как только

|x-x0|< δ и |у – у0| < δ.

Este hecho se indica de la siguiente manera:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Para una función de dos variables, la tendencia hacia un punto límite en el plano puede ocurrir según numero infinito direcciones (y no necesariamente en línea recta), y por lo tanto el requisito de la existencia de un límite para una función de dos (o varias) variables es “más estricto” en comparación con una función de una variable.

Ejemplo 1. Encontrar .

Encuentra derivadas parciales de segundo orden para una función Deja que el deseo llegue al punto límite http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Entonces

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> depende de.

Ejemplo 2. Encontrar .

Encuentra derivadas parciales de segundo orden para una función Para cualquier recta el límite es el mismo:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Luego

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (el resto es por analogía).

Definición. el numero se llama límite funciona para y , si para tal que las desigualdades y implican la desigualdad . Este hecho se escribe brevemente de la siguiente manera:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

¿Dónde está el punto límite http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> con el dominio de definición y let – punto límite del conjunto, es decir, el punto al que tienden los argumentos Con cambios simultáneos de valores. Y Y.

Definición 1. Dicen la funcion es continua en un punto si:

1) ;

2) , es decir. .

Formulemos la definición de continuidad en una forma equivalente..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> es continua en un punto si se cumple la igualdad

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" ancho="16" alto="20 src=">.gif" ancho="15 alto=16" alto="16"> demos un incremento arbitrario. La función recibirá un incremento parcial de Con cambios simultáneos de valores.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> es una función de una variable. De manera similar,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> se llama continua en un punto sobre una variable (sobre una variable) si

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Teorema.Si la funciónse define en una determinada vecindad de un punto y es continua en este punto, entonces es continua en este punto en cada una de las variables.

La afirmación inversa no es cierta.

EJEMPLO Demostremos que la función

continuo en el punto http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > en el punto correspondiente al incremento http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, lo que significa que es continua en un punto de la variable.

De manera similar, se puede demostrar la continuidad en un punto con respecto a una variable.

Demostremos que no hay límite. Supongamos que un punto se acerca a otro a lo largo de una línea recta que pasa por el punto. Entonces obtenemos

.

Así, acercándonos al punto http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, obtenemos diferentes valores límite. De ello se deduce que el límite de este La función no existe en el punto, lo que significa que la función http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Otras designaciones

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Otras designaciones

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Solución. Tenemos:

,

Ejemplo 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Ejemplo 3. Encuentra derivadas parciales de una función.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Ejemplo 4. Encuentra derivadas parciales de una función.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Diferenciales de primer orden de una función de dos variables

Las diferenciales parciales de la función z = f(x, y) con respecto a las variables x e y están determinadas, respectivamente, por las fórmulas x(x;y) y f"y(x;y) existen en el punto ( x0;y0) y en alguna de sus vecindades y son continuas en este punto, entonces, por analogía con una función de una variable, se establece una fórmula para el incremento completo de una función de dos variables

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

donde http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

En otras palabras, la función z = f(x, y) es diferenciable en el punto (x, y) si su incremento Δz es equivalente a la función:

Expresión

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Teniendo en cuenta que Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> es diferenciable en el punto, entonces es continuo en este punto.

La afirmación inversa es falsa, es decir, la continuidad es sólo una condición necesaria, pero no suficiente, para la diferenciabilidad de una función. Mostrémoslo.

EJEMPLO Encontremos las derivadas parciales de la función http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Las fórmulas resultantes pierden su significado en el punto http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> no tiene derivadas parciales en ese punto. De hecho, . Esta función de una variable, como se sabe, no tiene derivada en el punto http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> sí no existe en el punto. De manera similar, no hay derivada parcial. , es obviamente continua en el punto .

Entonces, hemos demostrado que una función continua puede no tener derivadas parciales. Queda por establecer la conexión entre la diferenciabilidad y la existencia de derivadas parciales.

5.4. Relación entre diferenciabilidad y existencia de derivadas parciales.

Teorema 1. Una condición necesaria para la diferenciabilidad.

Si la función z = f(x, y) es diferenciable en el punto M(x, y), entonces tiene derivadas parciales con respecto a cada variable y en el punto M.

Teorema inverso no es cierto, es decir, la existencia de derivadas parciales es condición necesaria, pero no suficiente, para la diferenciabilidad de una función.

Teorema 2. condición suficiente diferenciabilidad. Si la función z = f(x, y) tiene derivadas parciales continuas en el punto , entonces es diferenciable en el punto (y su diferencial total en este punto se expresa mediante la fórmula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" ancho="101 alto=29" alto="29">

Ejemplo 2. Calcular 3.021,97

3tarea

Calcule aproximadamente usando diferencial:

5.6. Reglas para diferenciar funciones complejas e implícitas. Derivada completa.

Caso 1.

z=f(u,v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Las funciones u y v son funciones continuas de los argumentos x, y.

Por tanto, la función z es una función compleja de los argumentos x e y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Supongamos que las funciones f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) tienen derivadas parciales continuas con respecto a todos sus argumentos.

Establezcamos la tarea de calcular http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Démosle al argumento x un incremento Δx, fijando el valor del argumento y. Entonces funciones de dos variables u= φ(x, y) y

v= φ(x, y) recibirá incrementos parciales Δxu y Δxv. En consecuencia, z=f(u, v) recibirá el incremento completo definido en el párrafo 5.2 (diferenciales de primer orden de una función de dos variables):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Si xu→ 0, entonces Δxu → 0 y Δxv → 0 (debido a la continuidad de las funciones u y v). Pasando al límite en Δx→ 0, obtenemos:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EJEMPLO

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Luego usando la fórmula (*) obtenemos:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Para obtener el resultado final, en las dos últimas fórmulas, en lugar de u y v, es necesario sustituir еx+y² y x2+y, respectivamente.

Caso 2.

Las funciones xey son funciones continuas.

Así, la función z=f(x, y) depende a través de x e y de una variable independiente t, es decir, supongamos que x e y no son variables independientes, sino funciones de la variable independiente t, y definamos la derivada http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Dividamos ambos lados de esta igualdad por Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Caso 3.

Supongamos ahora que el papel de la variable independiente t lo desempeña la variable x, es decir, que la función z = f(x, y) depende de la variable independiente x tanto directamente como a través de la variable y, que es función continua de x.

Teniendo en cuenta que http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivada x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Encontrar derivadas parciales

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" ancho="72" alto="48 src=">.gif" ancho="383" alto="48 src=">

La regla probada para diferenciar funciones complejas se aplica para encontrar la derivada de una función implícita.

Derivada de una función especificada implícitamente.

Supongamos que la ecuación

define y como una función implícita de x que tiene derivada

y' = φ'(x)_

Sustituyendo y = φ(x) en la ecuación F(x, y) = 0, tendríamos que obtener la identidad 0 = 0, ya que y = φ(x) es una solución de esta ecuación. Vemos, por tanto, que el cero constante puede considerarse como función compleja sobre x, que depende de x tanto directamente como a través de y =φ(x).

La derivada respecto de x de esta constante debe ser cero; aplicando la regla (***), obtenemos

F'x(x, y) + F'y(x, y) y' = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Por eso,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> es cierto tanto para una como para la otra función.

5.7. Diferencial total de primer orden. Invariancia de la forma de un diferencial de primer orden.

Sustituyamos las expresiones por http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definido por igualdades (*) (ver caso 1 en la cláusula 5.6 “Reglas para la diferenciación de funciones complejas e implícitas. Derivada total”) en la fórmula diferencial total.

Gif" ancho="33" alto="19 src=">.gif" ancho="33" alto="19 src=">.gif" ancho="140" alto="44 src=">

Entonces la fórmula para el diferencial total de primer orden de una función de dos variables tiene la forma

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Comparando la última igualdad con la fórmula para el primer diferencial de una función de dos variables independientes, podemos decir que la expresión para el diferencial completo de primer orden de una función de varias variables tiene la misma forma que tendría si u y v fueron variables independientes.

En otras palabras, la forma del primer diferencial es invariante, es decir, no depende de si las variables u y v son variables independientes o dependen de otras variables.

EJEMPLO

Encuentre el diferencial total de primer orden de una función compleja

z=u2v3, u=x2 pecado y, v=x3·ey.

Solución Usando la fórmula para el diferencial total de primer orden, tenemos.

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x pecado y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Esta expresión se puede reescribir así.

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 acogedor+3u2v2x3 ey) dy=

La propiedad de invariancia de un diferencial nos permite extender la regla para encontrar el diferencial de una suma, producto y cociente al caso de una función de varias variables:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Este

la función será homogénea de tercer grado para todos los reales x, y y t. La misma función será cualquier polinomio homogéneo en x e y de tercer grado, es decir, tal polinomio en cada término cuya suma de los exponentes xn sea igual a tres:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

son funciones homogéneas de grados 1, 0 y (- 1) respectivamente..jpg" width="36" height="15">. De hecho,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Suponiendo t=1, encontramos

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Derivadas parciales http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), en general

En otras palabras, son funciones de las variables x e y. Por lo tanto, a partir de ellos se pueden encontrar nuevamente derivadas parciales. En consecuencia, hay cuatro derivadas parciales de segundo orden de una función de dos variables, ya que cada una de las funciones y se puede derivar con respecto tanto a x como a y.

Las segundas derivadas parciales se denotan de la siguiente manera:

es la derivada de enésimo orden; aquí la función z fue primero diferenciada p veces con respecto a x, y luego n - p veces con respecto a y.

Para una función de cualquier número de variables, las derivadas parciales de órdenes superiores se determinan de manera similar.

PAG r tiene cuatro derivadas parciales de segundo orden, que se denotan de la siguiente manera: metro mi r 1. Calcular derivadas parciales de segundo orden de una función.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Ejemplo 2. Calcular y http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Ejemplo 3. Calcular si

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy y f"yx están definidas y son continuas en el punto M(x, y) y en alguna de sus vecindades, entonces en este punto

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" ancho="50 altura=28" altura="28">.jpg" ancho="523" altura="128 src=">

Por eso,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Encuentra derivadas parciales de segundo orden para una función

Las derivadas mixtas son iguales.

5.10. Diferenciales de orden superior de una funciónnortevariables.

Diferencial total d tu funciones de varias variables son a su vez función de las mismas variables, y podemos determinar el diferencial total de esta última función. Así, obtendremos un diferencial de segundo orden d2u de la función original y, que también será función de las mismas variables, y su diferencial completo nos llevará a un diferencial de tercer orden d3u de la función original, etc.

Consideremos con más detalle el caso de la función u=f(x, y) de dos variables xey y supongamos que las variables xey son variables independientes. Por definición

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Calculando d3u exactamente de la misma manera, obtenemos

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Además, esta fórmula debe entenderse de la siguiente manera: la suma entre paréntesis debe elevarse a la potencia n, utilizando la fórmula binomial de Newton, después de lo cual los exponentes y y http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> con guías cosenos cosα, cos β (α + β = 90°). En el vector, considere el punto M1(x + Δx; y + Δy). Al pasar del punto M al punto M1, la función z = f(x; y) recibirá un incremento completo

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tendiendo a cero (ver figura).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

donde http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, y por lo tanto obtenemos:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> en Δs->0 se llama producto

función del agua z = f(x; y) en el punto (x; y) en la dirección del vector y se denota

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Así, conociendo las derivadas parciales de la función

z = f(x; y) puedes encontrar la derivada de esta función en cualquier dirección, y cada derivada parcial es un caso especial de la derivada en dirección.

EJEMPLO Encuentra la derivada de una función.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" ancho="253 altura=62" altura="62">

En consecuencia, la función z = f(x;y) aumenta en una dirección determinada.

5. 12 . Gradiente

El gradiente de una función z = f(x; y) es un vector cuyas coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de esta función

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

es decir, jpg" width="89" height="33 src=">

en el punto M(3;4).

Solución.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">