Seno 0 8 cuantos grados. Seno (sen x) y coseno (cos x): propiedades, gráficas, fórmulas

Información de referencia sobre las funciones trigonométricas seno (sen x) y coseno (cos x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de senos y cosenos, derivadas, integrales, expansiones de series, secante, cosecante. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.

Definición geométrica de seno y coseno.

|BD|- longitud del arco de una circunferencia con centro en un punto A.
α - ángulo expresado en radianes.

Definición
Seno (sen α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Notaciones aceptadas

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Gráfica de la función seno, y = sen x

Gráfica de la función coseno, y = cos x

Propiedades del seno y el coseno

Periodicidad

Funciones y = pecado x y y = porque x periódico con período 2π.

Paridad

La función seno es impar. La función coseno es par.

Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución.

Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - número entero).

	y = pecado x	y = porque x
Alcance y continuidad	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rango de valores	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Creciente
Descendente
Máxima, y ​​= 1
Mínimos, y = - 1
Ceros, y = 0
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0	y = 0	y = 1

Fórmulas básicas

Suma de cuadrados de seno y coseno

Fórmulas para seno y coseno a partir de suma y diferencia.

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Fórmulas para el producto de senos y cosenos.

Fórmulas de suma y diferencia.

Expresando seno a través del coseno

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Expresando coseno a través del seno

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Expresión por tangente

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Cuando tenemos:
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En :
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Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes.

Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para ciertos valores del argumento.

Expresiones a través de variables complejas.

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la fórmula de euler

{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funciones inversas

Las funciones inversas del seno y el coseno son arcoseno y arcocoseno, respectivamente.

Arcoseno, arcosen

Arccoseno, arccos

Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

En primer lugar, permítanme recordarles una conclusión sencilla pero muy útil de la lección "¿Qué son el seno y el coseno? ¿Qué son la tangente y la cotangente?"

Esta es la salida:

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente están estrechamente conectados entre sí por sus ángulos. Sabemos una cosa, lo que significa que sabemos otra.

En otras palabras, cada ángulo tiene su propio seno y coseno constantes. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente. Por qué ¿casi? Más sobre esto a continuación.

¡Este conocimiento ayuda mucho en tus estudios! Hay muchas tareas en las que es necesario pasar de senos a ángulos y viceversa. Para esto hay tabla de senos. De manera similar, para tareas con coseno - tabla de cosenos. Y, como habrás adivinado, hay tabla tangente Y tabla de cotangentes.)

Las tablas son diferentes. Los largos, donde se puede ver a qué es igual, digamos, sen37°6’. Abrimos las tablas de Bradis, buscamos un ángulo de treinta y siete grados seis minutos y vemos el valor de 0,6032. Está claro que no hay absolutamente ninguna necesidad de recordar este número (y miles de otros valores de la tabla).

De hecho, en nuestro tiempo, las tablas largas de cosenos, senos, tangentes y cotangentes no son realmente necesarias. Una buena calculadora los reemplaza por completo. Pero no está de más saber sobre la existencia de este tipo de tablas. Por erudición general.)

¿Y por qué entonces esta lección? - preguntas.

Pero por qué. Entre la infinidad de ángulos hay especial, que debes saber sobre Todo. Toda la geometría y trigonometría de la escuela se basan en estos ángulos. Esta es una especie de "tabla de multiplicar" de trigonometría. Si no sabes a qué es igual sin50°, por ejemplo, nadie te juzgará.) Pero si no sabes a qué es igual sin30°, prepárate para obtener un bien merecido dos...

Semejante especial Los ángulos también son bastante buenos. Los libros de texto escolares suelen ofrecer amablemente la memorización. tabla de senos y tabla de cosenos para diecisiete ángulos. Y, por supuesto, tabla tangente y tabla cotangente para los mismos diecisiete ángulos... Es decir. Se propone recordar 68 valores. Que, por cierto, son muy parecidos entre sí, se repiten de vez en cuando y cambian de signo. Para una persona sin memoria visual perfecta, esto es toda una tarea...)

Tomaremos una ruta diferente. Reemplacemos la memorización de memoria con lógica e ingenio. Luego tendremos que memorizar 3 (¡tres!) valores para la tabla de senos y la tabla de cosenos. Y 3 (¡tres!) valores para la tabla de tangentes y la tabla de cotangentes. Eso es todo. Seis valores son más fáciles de recordar que 68, me parece...)

Todos los demás valores necesarios los obtendremos de estos seis utilizando una poderosa hoja de referencia legal. - círculo trigonométrico. Si no has estudiado este tema sigue el enlace, no seas holgazán. Este círculo no sólo es necesario para esta lección. el es irremplazable para toda la trigonometría a la vez. ¡No utilizar una herramienta así es simplemente un pecado! ¿No quieres? Eso es asunto tuyo. Memorizar tabla de senos. Tabla de cosenos. Tabla de tangentes. Tabla de cotangentes. Los 68 valores para una variedad de ángulos).

Entonces comencemos. Primero, dividamos todos estos ángulos especiales en tres grupos.

Primer grupo de ángulos.

Consideremos el primer grupo. diecisiete ángulos especial. Estos son 5 ángulos: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Así es como se ve la tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes para estos ángulos:

Ángulo x (en grados)	0	90	180	270	360
Ángulo x (en radianes)	0
pecado x	0	1	0	-1	0
porque x	1	0	-1	0	1
tgx	0	sustantivo	0	sustantivo	0
ctgx	sustantivo	0	sustantivo	0	sustantivo

Quien quiera recordar, recuerde. Pero diré de inmediato que todos estos unos y ceros se confunden mucho en la cabeza. Mucho más fuerte de lo que quieres.) Por lo tanto, activamos la lógica y el círculo trigonométrico.

Dibujamos un círculo y marcamos en él estos mismos ángulos: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Marqué estas esquinas con puntos rojos:

Es inmediatamente obvio lo que tienen de especial estos ángulos. ¡Sí! Estos son los ángulos que caen exactamente en el eje de coordenadas! En realidad, es por eso que la gente se confunde... Pero no nos confundiremos nosotros. Averigüemos cómo encontrar funciones trigonométricas de estos ángulos sin mucha memorización.

Por cierto, la posición del ángulo es 0 grados. coincide completamente con una posición de ángulo de 360 ​​grados. Esto significa que los senos, cosenos y tangentes de estos ángulos son exactamente iguales. Marqué un ángulo de 360 ​​grados para completar el círculo.

Supongamos que, en el ambiente difícil y estresante del Examen Estatal Unificado, de alguna manera dudaste... ¿Cuál es el seno de 0 grados? Parece cero... ¡¿Y si es uno?! La memorización mecánica es tal cosa. En condiciones duras, las dudas comienzan a roer...)

¡Calma, solo calma!) Te contaré una técnica práctica que te dará una respuesta 100% correcta y eliminará por completo todas las dudas.

Como ejemplo, descubramos cómo determinar de forma clara y confiable, digamos, el seno de 0 grados. Y al mismo tiempo, coseno 0. Es en estos valores, por extraño que parezca, donde la gente suele confundirse.

Para hacer esto, dibuja en un círculo. arbitrario esquina incógnita. En el primer trimestre la temperatura estuvo cerca de los 0 grados. Marquemos el seno y el coseno de este ángulo en los ejes. INCÓGNITA, todo está bien. Como esto:

Y ahora, ¡atención! Reduzcamos el ángulo. incógnita, acerque el lado móvil al eje OH. Pase el cursor sobre la imagen (o toque la imagen en su tableta) y verá todo.

¡Ahora activemos la lógica elemental! Miremos y pensemos: ¿Cómo se comporta senx cuando el ángulo x disminuye? ¿A medida que el ángulo se acerca a cero?¡Se está encogiendo! ¡Y cosx aumenta! Queda por descubrir qué pasará con el seno cuando el ángulo colapse por completo. ¿Cuándo se asienta el lado móvil del ángulo (punto A) sobre el eje OX y el ángulo se vuelve igual a cero? Obviamente, el seno del ángulo irá a cero. Y el coseno aumentará a... a... ¿Cuál es la longitud del lado móvil del ángulo (el radio del círculo trigonométrico)? ¡Uno!

Aquí está la respuesta. El seno de 0 grados es igual a 0. El coseno de 0 grados es igual a 1. ¡Absolutamente blindado y sin ninguna duda!) Simplemente porque es diferente. no puede ser.

Exactamente de la misma manera, puedes averiguar (o aclarar) el seno de 270 grados, por ejemplo. O coseno 180. Dibuja un círculo, arbitrario un ángulo en un cuarto al lado del eje de coordenadas que nos interesa, mueva mentalmente el lado del ángulo y capte en qué se convertirá el seno y el coseno cuando el lado del ángulo caiga sobre el eje. Eso es todo.

Como puedes ver, no es necesario memorizar nada para este grupo de ángulos. No es necesario aquí tabla de senos... si y tabla de coseno- también.) Por cierto, después de varios usos del círculo trigonométrico, todos estos valores serán recordados por sí mismos. Y si se olvidan, tracé un círculo en 5 segundos y lo aclaré. Mucho más fácil que llamar a un amigo desde el baño y arriesgar tu certificado, ¿verdad?)

En cuanto a tangente y cotangente, todo es igual. Dibujamos una línea tangente (cotangente) en el círculo y todo es visible de inmediato. Donde son iguales a cero y donde no existen. ¿Qué, no sabes acerca de las rectas tangentes y cotangentes? Esto es triste, pero tiene solución). Visitamos la Sección 555 Tangente y cotangente en el círculo trigonométrico, ¡y no hay problemas!

Si has descubierto cómo definir claramente el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de estos cinco ángulos, ¡felicidades! Por las dudas les informo que ya pueden definir funciones cualquier ángulo que caiga sobre los ejes. Y esto es 450°, 540°, 1800° y un número infinito de otros...) Conté (¡correctamente!) el ángulo en el círculo - y no hay problemas con las funciones.

Pero es precisamente con la medición de ángulos que surgen problemas y errores... Cómo evitarlos está escrito en la lección: Cómo dibujar (contar) cualquier ángulo en un círculo trigonométrico en grados. Elemental, pero muy útil en la lucha contra los errores.)

Aquí tienes una lección: Cómo dibujar (medir) cualquier ángulo en un círculo trigonométrico en radianes: será más fresco. En términos de posibilidades. Digamos, determine en cuál de los cuatro semiejes cae el ángulo.

puedes hacerlo en un par de segundos. ¡No estoy bromeando! Sólo en un par de segundos. Bueno, por supuesto, no sólo 345 pi...) Y 121, y 16, y -1345. Cualquier coeficiente entero es adecuado para una respuesta instantánea.

Y si la esquina

¡Solo piensa! La respuesta correcta se obtiene en 10 segundos. Para cualquier valor fraccionario de radianes con dos en el denominador.

En realidad, esto es lo bueno del círculo trigonométrico. Porque la capacidad de trabajar con alguno esquinas a las que se expande automáticamente conjunto infinito esquinas

Entonces, hemos resuelto cinco esquinas de diecisiete.

Segundo grupo de ángulos.

El siguiente grupo de ángulos son los ángulos de 30°, 45° y 60°. ¿Por qué exactamente estos y no, por ejemplo, 20, 50 y 80? Sí, de alguna manera resultó así... Históricamente.) Más adelante se verá por qué estos ángulos son buenos.

La tabla de senos cosenos tangentes cotangentes para estos ángulos se ve así:

Ángulo x (en grados)	0	30	45	60	90
Ángulo x (en radianes)	0
pecado x	0				1
porque x	1				0
tgx	0		1		sustantivo
ctgx	sustantivo		1		0

Dejé los valores de 0° y 90° de la tabla anterior para completar el cuadro). Para que puedas ver que estos ángulos se encuentran en el primer cuarto y aumentan. De 0 a 90. Esto nos será útil más adelante.

Se deben tener en cuenta los valores de la tabla para ángulos de 30°, 45° y 60°. Memorízalo si quieres. Pero aquí también existe la oportunidad de hacerle la vida más fácil). Preste atención a valores de la tabla de senos estos ángulos. Y comparar con valores de la tabla de cosenos...

¡Sí! Ellos los mismos! Simplemente organizado en orden inverso. Los ángulos aumentan (0, 30, 45, 60, 90) - y los valores del seno aumentar de 0 a 1. Puedes comprobarlo con una calculadora. Y los valores del coseno son están disminuyendo de 1 a cero. Además, los valores mismos. los mismos. Para ángulos de 20, 50, 80 esto no funcionaría...

Ésta es una conclusión útil. suficiente para aprender tres valores para ángulos de 30, 45, 60 grados. Y recuerda que para el seno aumentan y para el coseno disminuyen. Hacia el seno.) Se encuentran a mitad de camino (45°), es decir, el seno de 45 grados es igual al coseno de 45 grados. Y luego vuelven a divergir... Se pueden aprender tres significados, ¿verdad?

Con tangentes - cotangentes el panorama es exactamente el mismo. Cara a cara. Sólo los significados son diferentes. Estos valores (¡tres más!) también hay que aprenderlos.

Bueno, casi toda la memorización ha terminado. (Con suerte) has entendido cómo determinar los valores de los cinco ángulos que caen sobre el eje y has aprendido los valores de los ángulos de 30, 45, 60 grados. Total 8.

Queda por afrontar el último grupo de 9 córners.

Estos son los ángulos:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Para estos ángulos es necesario conocer la tabla de senos, la tabla de cosenos, etc.

Pesadilla, ¿verdad?)

¿Y si a esto le sumamos ángulos como: 405°, 600° o 3000° y muchos, muchos igualmente hermosos?)

¿O ángulos en radianes? Por ejemplo, sobre los ángulos:

y muchos otros que debes saber Todo.

Lo más divertido es saber esto. Todo - imposible en principio. Si usas memoria mecánica.

Y es muy fácil, de hecho elemental, si usas un círculo trigonométrico. Una vez que aprendas a trabajar con el círculo trigonométrico, todos esos temidos ángulos en grados se reducirán fácil y elegantemente a los antiguos:

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas.

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para representar la raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo “/”.

Ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.

Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de la medida en grados del ángulo. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..

Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes (vía pi)	pecado (seno)	porque (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)	segundo (secante)	cosec (cosecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay un guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado el valor requerido. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18