Hogar › Teléfono › Cómo sacar un factor común negativo de paréntesis. Factorización de polinomios. Sacando el factor común de paréntesis. Reglas de bracketing

Cómo sacar un factor común negativo de paréntesis. Factorización de polinomios. Sacando el factor común de paréntesis. Reglas de bracketing

En esta lección aprenderemos sobre las reglas para poner entre paréntesis. multiplicador común, aprendamos a encontrarlo en varios ejemplos y expresiones. Hablemos de cómo operación sencilla, colocar el factor común entre paréntesis permite simplificar los cálculos. Consolidaremos los conocimientos y habilidades adquiridos observando ejemplos de diversas complejidades.

¿Qué es un factor común, por qué buscarlo y con qué finalidad se saca de paréntesis? Respondamos estas preguntas mirando un ejemplo sencillo.

Resolvamos la ecuación. Lado izquierdo La ecuación es un polinomio que consta de términos similares. La parte de la letra es común a estos términos, lo que significa que será el factor común. Dejémoslo entre paréntesis:

EN en este caso poner entre corchetes el factor común nos ayudó a convertir el polinomio en un monomio. Así, pudimos simplificar el polinomio y su transformación nos ayudó a resolver la ecuación.

En el ejemplo considerado, el factor común era obvio, pero ¿sería tan fácil encontrarlo en un polinomio arbitrario?

Encontremos el significado de la expresión: .

EN en este ejemplo colocar el factor común entre paréntesis simplificó enormemente el cálculo.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos la divisibilidad en expresiones.

La expresión resultante es divisible por , como es necesario demostrar. Una vez más, tomar el factor común nos permitió resolver el problema.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos que la expresión es divisible por cualquier número natural: .

La expresión es el producto de dos números naturales adyacentes. Definitivamente uno de los dos números será par, lo que significa que la expresión será divisible por .

Lo hemos solucionado diferentes ejemplos, pero utilizaron el mismo método de solución: quitaron el factor común de entre paréntesis. Vemos que esta sencilla operación simplifica enormemente los cálculos. Fue fácil encontrar un factor común para estos casos especiales, pero ¿qué hacer en caso general, para un polinomio arbitrario?

Recuerde que un polinomio es una suma de monomios.

Considere el polinomio . Este polinomio es la suma de dos monomios. Un monomio es el producto de un número, un coeficiente y una parte de una letra. Así, en nuestro polinomio, cada monomio está representado por el producto de un número y potencias, el producto de factores. Los factores pueden ser los mismos para todos los monomios. Son estos factores los que deben determinarse y eliminarse del grupo. Primero, encontramos el factor común de los coeficientes, que son números enteros.

Fue fácil encontrar el factor común, pero definamos el mcd de los coeficientes: .

Veamos otro ejemplo: .

Encontremos , lo que nos permitirá determinar el factor común de esta expresión: .

Hemos derivado una regla para coeficientes enteros. Necesitas encontrar su mcd y sacarlo del soporte. Consolidemos esta regla resolviendo un ejemplo más.

Hemos visto la regla para asignar un factor común para coeficientes enteros, pasemos a la parte de las letras. Primero buscamos aquellas letras que están incluidas en todos los monomios, y luego determinamos el grado más alto de la letra que está incluida en todos los monomios: .

En este ejemplo solo había una variable de letra común, pero puede haber varias, como en el siguiente ejemplo:

Compliquemos el ejemplo aumentando el número de monomios:

Después de quitar el factor común, convertimos la suma algebraica en producto.

Analizamos las reglas de resta para coeficientes enteros y variables alfabéticas por separado, pero la mayoría de las veces es necesario aplicarlas juntas para resolver el ejemplo. Veamos un ejemplo:

A veces puede resultar difícil determinar qué expresión permanece entre paréntesis, considere fácil recepción, lo que te permitirá solucionar rápidamente este problema.

El factor común también puede ser el valor deseado:

El factor común puede ser no sólo un número o un monomio, sino también cualquier expresión, como la de la siguiente ecuación.

Lección de álgebra en séptimo grado.

Tema: “Sacar el factor común de paréntesis”.

Libro de texto Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. etc.

Objetivos de la lección:

Educativo –

identificar el nivel de dominio de los estudiantes de un complejo de conocimientos y habilidades en el uso de habilidades de multiplicación y división;

desarrollar la capacidad de aplicar la factorización de un polinomio colocando el factor común entre paréntesis;

aplicar la eliminación del factor común entre paréntesis al resolver ecuaciones.

De desarrollo –

promover el desarrollo de la observación, la capacidad de analizar, comparar y sacar conclusiones;

Desarrollar habilidades de autocontrol al completar tareas.

Educativo -

Fomentar la responsabilidad, la actividad, la independencia, la autoestima objetiva.

Tipo de lección: conjunto.

Resultados clave del aprendizaje:

poder sacar el factor común de paréntesis;

Ser capaz de aplicar este método a la hora de resolver ejercicios.

Moverlección.

1 módulo (30 min).

1. Momento organizacional.

saludos;

preparar a los estudiantes para el trabajo.

2. Examen tarea.

Verificar disponibilidad (de turno), discutir problemas que hayan surgido.

3 . Actualización de conocimientos básicos.

norte Encuentre MCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

¿Qué es el GCD?

¿Cómo se realiza la división de poderes con las mismas bases?

¿Cómo se realiza la multiplicación de potencias con las mismas bases?

Para estos grados (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Nombra el grado con el exponente más bajo, las mismas bases, los mismos exponentes

Repitamos la ley distributiva de la multiplicación. Escríbalo en forma de carta.

a (b + c) = ab + ac

* - signo de multiplicación

Realizar tareas orales sobre la aplicación de la propiedad distributiva. (Prepárese en la pizarra).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)

Las tareas se escriben en una pizarra cerrada, los chicos resuelven y escriben el resultado en la pizarra. Problemas de multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para empezar, te ofrezco un ejemplo de multiplicación de un monomio por un polinomio:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x ¡No laves!

Escribe la regla para multiplicar un monomio por un polinomio en forma de diagrama.

Aparece una nota en la pizarra:

Puedo escribir esta propiedad como:

De esta forma ya hemos utilizado la grabación para manera sencilla cálculos de expresión.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

El resto son orales, comprueba las respuestas:

mi) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

¿Qué ley te ayudó a encontrar una forma sencilla de calcular? (Distribución)

De hecho, la ley distributiva ayuda a simplificar expresiones.

4 . Establecer el objetivo y el tema de la lección. Conteo oral. Adivina el tema de la lección.

Trabajar en parejas.

Tarjetas para parejas.

Resulta que factorizar una expresión es la operación inversa de la multiplicación término por término de un monomio por un polinomio.

Veamos el mismo ejemplo que resolvió el alumno, pero en orden inverso. Factorizar significa sacar el factor común de entre paréntesis.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Hoy en la lección veremos los conceptos de factorizar un polinomio y sacar el factor común entre paréntesis, y aprenderemos a aplicar estos conceptos al hacer ejercicios.

Algoritmo para sacar el factor común entre paréntesis

El máximo común divisor de los coeficientes.

Variables con las mismas letras.

Agregue el grado más pequeño a las variables eliminadas.

Luego, los monomios restantes del polinomio se escriben entre paréntesis.

El máximo común divisor se encontró en los grados inferiores, la variable común en menor grado se puede ver inmediatamente. Y para encontrar rápidamente el polinomio que queda entre paréntesis, debes practicar usando el número 657.

5. Aprendizaje primario con hablar en voz alta.

No. 657 (1 columna)

Módulo 2 (30 min).

1. El resultado de los primeros 30 minutos.

A) ¿Qué transformación se llama factorización de un polinomio?

B) ¿En qué propiedad se basa al sacar el factor común de paréntesis?

P) ¿Cómo se saca el factor común entre paréntesis?

2. Consolidación primaria.

Las expresiones están escritas en la pizarra. Encuentre errores en estas igualdades, si los hay, y corríjalos.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8x + 12y = 4 (2x - 3y).

4) un 6 – un 2 = un 2 (un 2 – 1).

5) 4-2a = – 2 (2 – a).

3. Comprobación inicial de comprensión.

Trabajando con autotest. 2 personas por parte trasera

Saque el factor común de paréntesis:

Verificar verbalmente mediante multiplicación.

4. Preparar a los estudiantes para actividades generales.

Saquemos el factor polinómico de paréntesis (explicación del profesor).

Factoriza el polinomio.

EN esta expresión Vemos que está presente el mismo factor, que se puede sacar entre paréntesis. Entonces, obtenemos:

Las expresiones y son opuestas, por lo que en algunos casos puedes usar esta igualdad . ¡Cambiamos el cartel dos veces! Factorizar el polinomio

Aquí hay expresiones opuestas y, usando la identidad anterior, obtenemos próxima entrada: .

Y ahora vemos que de paréntesis se puede sacar el factor común.

>>Matemáticas: sacando el factor común de paréntesis

Antes de comenzar a estudiar este apartado, volvamos al § 15. Allí ya hemos visto un ejemplo en el que era necesario presentar polinomio como producto de un polinomio y un monomio. Hemos establecido que este problema no siempre es correcto. Sin embargo, si fue posible componer dicho producto, generalmente dicen que el polinomio se factoriza usando juicio general factor común fuera de paréntesis. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Factoriza el polinomio:

A) 2x + 6y, c) 4a 3 + 6a 2; mi) 5a 4 - 10a 3 + 15a 8.
b) un 3 + un 2; d) 12ab 4 - 18a 2 b 3 c;

Solución.
a) 2x + 6y = 2 (x + 3). Se ha eliminado de paréntesis el divisor común de los coeficientes de los términos polinomiales.

b) a 3 + a 2 = a 2 (a + 1). Si la misma variable está incluida en todos los términos del polinomio, entonces se puede quitar de paréntesis en un grado igual al más pequeño de los disponibles (es decir, elegir el más pequeño de los exponentes disponibles).

c) Aquí usamos la misma técnica que al resolver los ejemplos a) yb): para los coeficientes encontramos el divisor común (en este caso el número 2), para las variables, el más pequeño grado de los disponibles (en este caso un 2). Obtenemos:

4a 3 + 6a 2 = 2a 2 2a + 2a 2 3 = 2a 2 (2a + 3).

d) Por lo general, para los coeficientes enteros intentan encontrar no solo un divisor común, sino también un máximo común divisor. Para los coeficientes 12 y 18 será el número 6. Observamos que la variable a está incluida en ambos términos del polinomio, siendo el exponente más pequeño 1. La variable b también está incluida en ambos términos del polinomio, siendo el el exponente más pequeño es 3. Finalmente, la variable c está incluida solo en el segundo término del polinomio y no está incluida en el primer término, lo que significa que esta variable no se puede sacar de paréntesis en ningún grado. Como resultado tenemos:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c = 6ab 3 2b - 6ab 3 Zas = 6ab 3 (2b - Zas).

e) 5a 4 -10a 3 +15a 8 = 5a 3 (a-2 + Para 2).

De hecho, en este ejemplo desarrollamos el siguiente algoritmo.

Comentario . En algunos casos, resulta útil eliminar el coeficiente fraccionario como factor general.

Por ejemplo:

Ejemplo 2. Factorizar:

X 4 y 3 -2x 3 y 2 + 5x 2.

Solución. Usemos el algoritmo formulado.

1) El máximo común divisor de los coeficientes -1, -2 y 5 es 1.
2) La variable x está incluida en todos los términos del polinomio con exponentes 4, 3, 2, respectivamente; por lo tanto, x 2 se puede quitar de los paréntesis.
3) La variable y no está incluida en todos los términos del polinomio; Esto significa que no se puede sacar de los corchetes.

Conclusión: x 2 se pueden sacar de entre paréntesis. Es cierto que en este caso tiene más sentido poner -x 2 entre paréntesis.

Obtenemos:
-x 4 y 3 -2x 3 y 2 + 5x 2 = - x 2 (x 2 y 3 + 2xy 2 - 5).

Ejemplo 3. ¿Es posible dividir el polinomio 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 por el monomio 5a 3? Si es así, entonces ejecute división.

Solución. En el ejemplo 1d) tenemos eso

5a 4 - 10a 3 + 15a 8 - 5a 3 (a - 2 + Para 2).

Esto significa que el polinomio dado se puede dividir entre 5a 3 y el cociente será a - 2 + For 2.

Examinamos ejemplos similares en el § 18; Véalos nuevamente, pero esta vez desde el punto de vista de quitar el factor común de los corchetes.

Factorizar un polinomio quitando el factor común de entre paréntesis está estrechamente relacionado con dos operaciones que estudiamos en los § 15 y 18: multiplicar un polinomio por un monomio y dividir un polinomio por monomio.

Ahora ampliemos un poco nuestras ideas sobre cómo sacar el factor común de los paréntesis. El caso es que a veces expresión algebraica se da de tal manera que el factor común no puede ser un monomio, sino la suma de varios monomios.

Ejemplo 4. Factorizar:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Solución. Introduzcamos una nueva variable y = x - 2. Luego obtenemos:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2xy + 5y 2.

Observamos que la variable y se puede sacar entre paréntesis:

2xy + 5y 2 - y (2x + 5y). Ahora volvamos a la notación antigua:

y(2x + 5y) = (x- 2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

EN casos similares Después de adquirir algo de experiencia, no puede introducir una nueva variable, pero use la siguiente

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x~ 10) = (x - 2)( 7x - 10).

Planificación temática del calendario para matemáticas, video de matemáticas en línea, Matemáticas en la escuela descargar

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

Contenido de la lección notas de la lección marco de apoyo presentación de lecciones métodos de aceleración tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios talleres de autoevaluación, capacitaciones, casos, misiones preguntas de discusión de tareas preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, videoclips y multimedia fotografías, cuadros, gráficos, tablas, diagramas, humor, anécdotas, chistes, historietas, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos trucos para los curiosos cunas libros de texto diccionario de términos básico y adicional otros Mejorar los libros de texto y las lecciones.corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento de un libro de texto, elementos de innovación en la lección, reemplazar conocimientos obsoletos por otros nuevos Sólo para profesores lecciones perfectas plan de calendario por un año recomendaciones metodológicas programas de discusión Lecciones integradas

Definición 1

primero recordemos Reglas para multiplicar un monomio por un monomio:

Para multiplicar un monomio por un monomio, primero debes multiplicar los coeficientes de los monomios, luego, usando la regla de multiplicar potencias con la misma base, multiplicar las variables incluidas en los monomios.

Ejemplo 1

Encuentra el producto de los monomios $(2x)^3y^2z$ y $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Solución:

Primero, calculemos el producto de los coeficientes.

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ en esta tarea usamos la regla para multiplicar un número por una fracción; para multiplicar un número entero por una fracción, necesitas multiplicar el número por el numerador de la fracción y poner el denominador sin cambios

Ahora usemos la propiedad principal de una fracción: el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por el mismo número, diferente de $0$. Dividamos el numerador y denominador de esta fracción por $2$, es decir, reduzcamos esta fracción por $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ fracción(3 )(2)$

El resultado resultante resultó ser una fracción impropia, es decir, aquella en la que el numerador es mayor que el denominador.

Transformemos esta fracción aislando la parte entera. Recordemos que para aislar una parte entera es necesario anotar el resto de la división en el numerador de la parte fraccionaria, el divisor en el denominador.

Encontramos el coeficiente del producto futuro.

Ahora multiplicaremos secuencialmente las variables $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aquí usamos la regla para multiplicar potencias con la misma base: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Entonces el resultado de multiplicar monomios será:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Entonces basado en de esta regla puedes realizar la siguiente tarea:

Ejemplo 2

Representar un polinomio dado como el producto de un polinomio y un monomio $(4x)^3y+8x^2$

Representemos cada uno de los monomios incluidos en el polinomio como el producto de dos monomios para aislar un monomio común, que será factor tanto en el primer como en el segundo monomio.

Primero, comencemos con el primer monomio $(4x)^3y$. Factoricemos su coeficiente en factores simples: $4=2\cdot 2$. Lo mismo haremos con el coeficiente del segundo monomio $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Tenga en cuenta que dos factores $2\cdot 2$ están incluidos tanto en el primer como en el segundo coeficiente, lo que significa $2\cdot 2=4$; este número se incluirá en el monomio general como coeficiente

Ahora observemos que en el primer monomio hay $x^3$, y en el segundo hay la misma variable elevada a $2:x^2$. Esto significa que es conveniente representar la variable $x^3$ así:

La variable $y$ está incluida en un solo término del polinomio, lo que significa que no puede incluirse en el monomio general.

Imaginemos el primer y segundo monomio incluidos en el polinomio como producto:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Tenga en cuenta que el monomio común, que será un factor tanto en el primer como en el segundo monomio, es $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Ahora aplicamos la ley distributiva de la multiplicación, entonces la expresión resultante se puede representar como un producto de dos factores. Uno de los multiplicadores será el multiplicador total: $4x^2$ y el otro será la suma de los multiplicadores restantes: $xy + 2$. Medio:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Este método se llama factorización utilizando un factor común.

El factor común en este caso fue el monomio $4x^2$.

Algoritmo

Nota 1

Encuentre el máximo común divisor de los coeficientes de todos los monomios incluidos en el polinomio; será el coeficiente del monomio factor común, que pondremos entre paréntesis.

Un monomio formado por el coeficiente encontrado en el párrafo 2 y las variables encontradas en el párrafo 3 será un factor común. que se puede sacar de paréntesis como factor común.

Ejemplo 3

Saca el factor común $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Solución:

Encontremos el mcd de los coeficientes; para ello descompondremos los coeficientes en factores simples;

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Y encontramos el producto de los que están incluidos en la expansión de cada uno:

Identifica las variables que componen cada monomio y selecciona la variable con el exponente más pequeño

$a^3=a^2\cdot a$

La variable $b$ está incluida sólo en el segundo y tercer monomio, lo que significa que no estará incluida en el factor común.

Compongamos un monomio que consta del coeficiente encontrado en el paso 2, las variables encontradas en el paso 3, obtenemos: $3a$: este será el factor común. Entonces:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Chichaeva Darina 8vo grado

En el trabajo, un estudiante de octavo grado describió la regla para factorizar un polinomio poniendo el factor común entre paréntesis con un procedimiento detallado para resolver muchos ejemplos sobre este tema. Para cada ejemplo discutido, se ofrecen 2 ejemplos para decisión independiente, para lo cual hay respuestas. El trabajo te ayudará a estudiar. este tema a aquellos estudiantes que, por alguna razón, no lo dominaron al aprobar material del programa 7º grado y (o) al repetir el curso de álgebra en 8º grado después de las vacaciones de verano.

Descargar:

Avance:

Institución educativa presupuestaria municipal

escuela secundaria nº 32

"Escuela Asociada a la UNESCO "Desarrollo Eureka"

Volzhsky, región de Volgogrado

Trabajo completado:

estudiante de clase 8B

Chichaeva Darina

Volzhski

2014

Sacando el factor común de paréntesis

- Una forma de factorizar un polinomio esponer el factor común entre paréntesis;
- Al sacar el multiplicador general de paréntesis, se aplicapropiedad distributiva;
- Si todos los términos de un polinomio contienen factor común entonces este factor se puede sacar de paréntesis.

Al resolver ecuaciones, en cálculos y en una serie de otros problemas, puede resultar útil reemplazar un polinomio con el producto de varios polinomios (que pueden incluir monomios). Representar un polinomio como producto de dos o más polinomios se llama factorizar el polinomio.

Considere el polinomio 6a 2 b+15b 2 . Cada uno de sus términos puede ser reemplazado por el producto de dos factores, uno de los cuales es igual a 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →de esto obtenemos: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

La expresión resultante basada en la propiedad de distribución de la multiplicación se puede representar como un producto de dos factores. Uno de ellos es el multiplicador común. 3b , y el otro es la suma 2a 2 y 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Así, expandimos el polinomio: 6a 2 b+15b 2 en factores, representándolo como un producto de un monomio 3b y el polinomio 2a 2 +5b. este método Factorizar un polinomio se llama sacar el factor común entre paréntesis.

Ejemplos:

Factorízalo:

A) kx-px.

Multiplicador x x lo sacamos de paréntesis.

kx:x=k; px:x=p.

Obtenemos: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplicador 4 existe tanto en el primer término como en el segundo término. Es por eso 4 lo sacamos de paréntesis.

4a:4=a; 4b:4=b.

Obtenemos: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m y -27n son divisibles por -9 . Por lo tanto, sacamos el factor numérico de paréntesis.-9.

9m: (-9)=metro; -27n: (-9)=3n.

Tenemos: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5 años 2 -15 años.

5 y 15 son divisibles por 5; y 2 e y se dividen por y.

Por lo tanto, sacamos el factor común de paréntesis. 5u.

5y2 : 5y=y; -15 años: 5 años=-3.

Entonces: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Comentario: De dos grados con la misma base sacamos el grado con menor exponente.

e) 16ú 3 +12ú 2.

16 y 12 son divisibles por 4; y 3 y y 2 se dividen por y 2.

Entonces el factor común 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Como resultado obtenemos: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

f) Factorizar el polinomio 8b(7y+a)+n(7y+a).

En esta expresión vemos que está presente el mismo factor.(7 años+a) , que se puede quitar entre paréntesis. Entonces, obtenemos:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Expresiones b-c y c-b son opuestos. Por lo tanto, para hacerlos iguales, antes d cambiar el signo “+” a “-”:

a(bc)+d(cb)=a(bc)-d(bc).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Ejemplos de soluciones independientes: