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Ejemplos de cómo sacar el factor común de paréntesis. "quitando el factor común de paréntesis." Sacar el factor común de paréntesis en expresión literal

Lección de álgebra de séptimo grado "Relacionar" multiplicador común fuera de paréntesis"

Komarova Galina Alexandrovna

Objetivo: mejorar las habilidades prácticas de los estudiantes para factorizar un polinomio quitando el factor común de los paréntesis y usándolo para resolver ecuaciones. Realizar diagnósticos de la asimilación del sistema de conocimientos y habilidades y su aplicación al desempeño. tareas practicas nivel estándar con la transición a más alto nivel. Desarrollar habilidades: aplicar reglas, analizar, comparar, generalizar, resaltar lo principal.

Tareas:

crear una situación de éxito en la lección, condiciones para la actividad independiente de los estudiantes en la lección;

promover la comprensión del material de la lección;

cultivar la comunicación y la tolerancia en las relaciones estudiantiles.

tipo de lección: combinado.

Métodos: trabajo estimulante, de búsqueda, visual, práctico, verbal, lúdico, diferenciado.

Formas de realización: individual, colectivo, grupal.

Los conocimientos se evalúan mediante un sistema de 5 puntos.

Tipo de lección: Generalización y sistematización de conocimientos con juegos didácticos.

Resultados del aprendizaje: Saber sacar el factor común entre paréntesis, saber aplicar este método al factorizar, poder utilizar el paréntesis del factor común al resolver ecuaciones.

Progreso de la lección

1. Momento organizativo.

Saludo a los estudiantes.

Cuando los discípulos de Pitágoras despertaron, tuvieron que recitar los siguientes versos:

“Antes de que te levantes de los dulces sueños evocados en la noche,

Piensa en lo que te depara el día”.

2. Calentamiento - prueba gráfica del material teórico.

¿Es verdadera la afirmación, definición y propiedad?

1. Un monomio se llama cantidad factores numéricos y alfabéticos. (No -)

2. Numérico El factor de un monomio escrito en forma estándar se llama coeficiente del monomio. (si Λ)

3. Los términos idénticos o que se diferencian entre sí sólo en coeficientes se denominan términos similares. (si Λ)

4. La suma algebraica de varios monomios se llama monomio. (No -)

5. Cuando cualquier número o expresión se multiplica por cero, el resultado es cero. (si Λ)

6. Multiplicar un monomio por un polinomio da como resultado un polinomio. (si Λ)

7. Cuando abrimos corchetes precedidos del signo “-”, omitimos los corchetes y los signos de los miembros que estaban encerrados entre corchetes, no cambies al contrario. (No-)

8.El factor numérico común es el máximo común divisor de los coeficientes de monomios. (si Λ)

9. De los factores de letras idénticas de monomios, lo sacamos entre paréntesis.el mas pequeño grado . (si Λ)

Examen: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ

Date calificaciones:

“5” - sin errores “4” - dos errores “3” - cuatro errores “2” - más de cuatro errores

3. Actualización de conocimientos básicos.

trabajo individual en las tarjetas No. 1, No. 2, No. 3 (3 estudiantes).

Trabajo frontal con la clase:

Tarea 1 . Continúa la frase:

Una forma de factorizar un polinomio es... (sacando el factor común de paréntesis );

Al sacar el factor común de paréntesis,... (propiedad distributiva );

Si todos los términos de un polinomio contienen un factor común, entonces...(este factor se puede sacar de paréntesis )

Tarea 2 .

¿Qué factor numérico será común en las siguientes expresiones: 12 y 3 -8 y 2 ; 15x 2 - 75x. (4u 2 ; 15x)

¿Qué grado de multiplicadores A Y incógnita se puede sacar de paréntesis

un 2 x - un 5 x 3 + 3 un 3 x 2 ( A 2 incógnita )

Formule un algoritmo para eliminar el factor común.

Algoritmo:

Encuentra el mcd para todos los coeficientes de los monomios y sácalo de paréntesis:

2) el mas pequeño grado:

dividir :

4. Estudiar material nuevo.

Determina el factor común en estas expresiones y sácalo de paréntesis:

2a+6=

3 xy-3y=

18m-9nm=

x 2 -x 3 +x 6 =

3y+3xy=

(Trabajo en parejas, revisión por pares. )

Usando la clave de cifrado, descifre la palabra.

GRAMO

Ud.

3y(x-1) o

-3у(-х+1)

9metro(2-norte)

2(a+3)

X 2 (1-x +x 4)

3(7c 2 -5a 3)

Respuesta: Galois.

Evariste Galois (1811-1832)

Galois es el orgullo de la ciencia francesa. Siendo todavía un niño, leyó la geometría de Legendre como un libro fascinante. A la edad de 16 años, el talento de Galois se había manifestado hasta tal punto que lo colocaron entre los más grandes matemáticos de esa época. . Los trabajos científicos de Galois sobre teoría. ecuaciones algebraicas grados superiores sentó las bases para el desarrollo del álgebra moderna.

El brillante matemático, orgullo de la ciencia mundial, vivió sólo 20 años, cinco de los cuales dedicó a las matemáticas. 2011 marca el 200 aniversario de su nacimiento.

Te sugiero que resuelvas una ecuación en cuyo lado izquierdo hay un polinomio de segundo grado.
12incógnita 2 +6 incógnita =0. Saquemos 3x de paréntesis. Lo conseguiremos.

6x(2x+1)=0 El producto es cero cuando al menos 6x=0 o 2x+1=0. uno de los factores es cero.

x=0:6 2x=-1

x=0 x = -1:2

x=-0,5

y encontramos x=0 o x= -0,5

Respuesta: x 1 = 0, x 2 = -0,5

5. Minuto de educación física.

Las declaraciones se leen a los estudiantes. Si la afirmación es verdadera, los estudiantes deben levantar la mano y, si es falsa, sentarse y aplaudir.

7 2 = 49 (Sí).

30 = 3 (No).

El máximo común divisor del polinomio 5a-15b es 5 (Da).

5 2 = 10 (No).

Hay 10 dedos en las manos. Hay 100 dedos en 10 manos (No).

5 0 =1 ( Sí)

0 es divisible por todos los números sin resto ( Sí).

pregunta para llenar 5:0=0

6. Tarea.

Grupo I, II

Regla en cuaderno, No. 709(e,f), 718(g,)719(g),

III grupo:

Regla en cuaderno, No. 710 (a, b), 715 (c, d)

Tarea adicional (opcional)

Se sabe que para algunos valores un yb valor de expresión A- b es igual a 3. ¿Cuál es el valor de la expresión para los mismos a y b?

a) 5a-5 b ; b) 12b - 12a; V) (A -b ) 2 ; GRAMO) (b -a) 2 ;

7. Consolidación.

,Grupo II decide número 710(a,c)

El grupo III decide el número 709(a,c)

Crea tú mismo una ecuación de segundo grado.

Los estudiantes trabajan en la tarea de la tarjeta No. 5-6 en la pizarra y en cuadernos. (diferencia)

Encuentra el error

5. Trabajo independiente.

Se pide a los estudiantes que completen trabajo independiente de carácter educativo en forma de prueba, seguida de una autoevaluación; las respuestas correctas se pueden colocar en la parte posterior de la pizarra.

6. Resumiendo la lección.

Reflexión:¿Quién hizo el mejor trabajo en nuestra lección de hoy?

¿Qué calificación les daremos?

I funcionó bien

Entendió cómo resolver ecuaciones sacando

Multiplicador común entre paréntesis

Feliz con la lección

Necesito ayuda de un profesor o consultor

NOSOTROS A ¿Cómo trabajamos juntos hoy?

Ejemplos de tarjetas.

Tarjeta número 1.

2x-2y

5ab+10a

2a 3 -a 5

a(x-2)+b(x-2)

-7xy+y

Tarjeta número 2.

Saque el factor común de paréntesis:

5ab-10ac

4xy-16x2

un 2 -4a+3a 5

0.3a 2 b+0.6ab 2

x 2 (y-6)-x(y-6)

Tarjeta número 3.

Sacar el factor total

fuera de los paréntesis:

-3x 2 años-12y 2

5a 2 -10a 3 +15a 5

6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c

7a 2b 3 -1.4a 3b 4 +2.1a 2b 5

3a(x-5)+7(5-x)

Tarjeta No. 5- 1

Saque el factor común de paréntesis:

3x + 3y;

5a – 15b;

8x+12y;

Resuelve la ecuación

1) 2x ² + 5x = 0

Tarjeta No. 5-2

1) 10a – 10v

2) 3 x y – x 2 y 2

3) 5 por 2 + 15 por 3

2.Resuelve la ecuación

2x² - 9x = 0

Tarjeta No. 6

1. Saca el factor común de paréntesis:

1) 8a + 8c.

2) 4 x y + x 3 y 3

3) 3 en y – 6 pulg.

2. Resuelve la ecuación

2x² +7x = 0

Tareas adicionales

1.Encuentra el error:

3x (x-3)=3x 2 -6x; 2x+3xy=x(2+y);

2.Inserte la expresión que falta:

5x(2x 2 -x)=10x 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+...);

3. Saca el factor común de paréntesis:

5a-5b;

3x + 6 años; 15a – 25b;

2,4x + 7,2y.

7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a.

8x – 8y; 7a+14b; 24x – 32a; 0,01a + 0,03y.) = 4 4.Reemplaza “M” con un monomio para que la igualdad resultante sea verdadera: – 4 antes de Cristo;

b) M × (3a – 1) = 12a 3 – 4a 2;

c) M × (2a – 7a+14b; 24x – 32a; 0,01a + 0,03y.) = 10a 2 – 5a 7a+14b; 24x – 32a; 0,01a + 0,03y..

VIII. Trabajo frontal (de atención, de aprendizaje de nuevas reglas).

Las expresiones están escritas en la pizarra. Encuentre errores en estas igualdades, si los hay, y corríjalos.

2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2 x + 6 = 2 (x + 3).

8x + 12y = 4 (2x - 3y).

un 6 – un 2 = un 2 (un 2 – 1).

4-2a = – 2 (2 – a).

Algoritmo:

Encuentre el mcd para todos los coeficientes de monomios y sáquelo de paréntesis

2) De los factores de letras idénticas de monomios, elimínelos de paréntesisel mas pequeño grado

3) Cada monomio de un polinomiodividir por el factor común y el resultado de la división se escribe entre paréntesis

Hoja de control de conocimientos del estudiante de la clase 7A __________________________________________

dictado

2. cifrado

3.Individual trabajando con tarjetas

4.prueba

5.Puntos totales

6.Marca del profesor

respuesta

Prueba

1. ¿Qué potencia del factor a se puede sacar entre paréntesis del polinomio?

a²x - ax³

a) a b) a² c) a³

2x³ -8x²

a) 4 b) 8 c) 2

a²+ab – ac +a

A ) a(a+b-c+1) b) a (a+b-c)

V) a 2 (a+b-c+1)

7m³ + 49m²

a) 7 m² (m+7m2) b) 7m² (m+7)

c) 7 m² (7m+7)

5.Factorizar:

x(x – y) + a(x – y)

A ) (x-y)(x+a) b) (y-x)(x+a)

V ) (x+a)(x+y)

6. Resuelve la ecuación

6y-(y-1)=2(2y-4)

a) -9 b) 8 c) 9

d) otra respuesta

7.Suma el factor común

x(x – y) + a(y- x)

A ) (x-y)(x- a) b) (y-x)(x+a)

V ) (x+a)(x+y)

Respuestas

Prueba

1. ¿Qué potencia del factor b se puede sacar entre paréntesis del polinomio?

b² - a³b³

A) b b) b ² c) b ³

2. ¿Qué factor numérico se puede sacar entre paréntesis de un polinomio?

15a³ - 25a

A) 15 b) 5 c) 25

3. Saca el factor común de todos los términos del polinomio.

x² - xy + xp – x

A) x (x -y +p -1) b) x (x -y +p )

V) x 2 (x-y+p-1)

4. Presenta el polinomio como producto.

9b² - 81b

A) 9b(b-81) b) 9b 2 (b-9)

V) 9b(b-9)

5.Factorizar:

un(un + 3) – 2(un +3)

A ) (a+3)(a+2) b) (a+3)(a-2)

V ) (a-2)(a-3)

6. Resuelve la ecuación

3x-(12xx-x)=4(5-x)

a) -4 b) 4 c) 2

d) otra respuesta

7.Suma el factor común

a (a - 3) – 2(3-a)

A ) (a-3)(a+2) b) (a+3)(a-2)

V ) (a-2)(a-3)

Respuestas

Opción I

Realizar acción:

(3x+10y) – (6x+3y)

a) 9x+7y; b) 7u-3x; c) 3x-7y; d) 9x-7y

6x 2-3x

A ) 3x(2x-1); b) 3x(2xx-x); c) 3x 2 (2-x); d)3x(2x+1)

3. conducir a vista estándar polinomio:

X+5x 2 +4xx-x 2

a) 6x 2 +3x; b) 4x 2 +3x; c)4x 2 +5x; GRAMO) 6x 2-3x

4. Realizar acción:

3x 2 (2x-0,5 años)

a) 6x 2 -1,5x 2 años; b) 6x2-1,5xy; V) 6x 3 -1,5x 2 en; d) 6x 3 -0,5x 2 años;

5. Resuelve la ecuación:

8x+5(2-x)=13

a)x=3; b)x=-7; c)x=-1; GRAMO) x=1;

6. Saque el factor común de paréntesis:

x(xy)-6y(xy)

A) (x-y)(x-6y)) ; b) (x-y)(x+6y);

c) (x+y)(x-6y); d) (x-y)(6y-x);

7. Resuelve la ecuación:

X 2 +8x=0

a) 0 y -8 b) 0 y 8; c) 8 y -8

Opción II

Realizar acción:

(2a-1)+(3+6a)

a) 8a+3; b) 8a+4; V) 8a+2; d) 6a+2

Saque el factor común de paréntesis:

7a-7b

A) 7(a-c); b) 7(a+c); c)7(c-a); d) a(7-c);

Reducir el polinomio a la forma estándar:

4x 2 +3x-5x 2

A) -INCÓGNITA 2 +3x; b) 9x 2 +3x; c) 2x2; d) –x 2 -3x;

Realizar multiplicación:

4a 2 (ac)

a) 4a 3 -c; b) 4a 3-4av; V) 4a 3 -4a 2 V; d) 4a2-4a2c;

Factorizar:

a(v-1)-3(v-1)

A) (c-1)(a-3); b) (c-1)(a+3); c) (c+1)(a-3); d) (c-3)(a-1);

Resuelve la ecuación:

4(a-5)+a=5

a)a=1; b)a=-5; c)a=3; GRAMO) a=5;

7. Resuelve la ecuación:

6x2 -30x=0

a) 0 y 5 b) 0 y -5 c) 5 y -5

Galois

Entró un niño con una levita pobre,

Comprar tabaco y Madeira en la tienda.

Ella me invitó amablemente, como hermano menor,

Amante rota y sigue viniendo.

Ella me acompañó hasta la puerta, suspirando con cansancio.

Después de él, ella levantó las manos: “¡Excéntrico!

Volví a hacer trampa por cuatro céntimos,

¡Y cuatro céntimos ya no es poca cosa!

Alguien me dijo, como un científico destacado,

Un matemático, el señor Galois.

¿Cómo pueden revelarse las leyes del mundo?

¡¿Esto, si se me permite decirlo, es la cabeza?!”

Pero él subió al desván, engañado por ella,

Tomé el preciado boceto en el polvo del ático.

Y volvió a demostrar con toda crueldad,

Que los dueños del estómago lleno son ceros. (A. Markov

Opción 1

1 . 4-2x

A. 2(2 + x).B. 4(1-x).

B. 2(2-x).G. 4(1+x).

2. A 3 V 2 - A 4 V

A. a 4 c(c - a).B. un 3 en (en - a).

B. un 3 en 2 (1 - a). un 3 en (1 - a).

3. 15x y 2 + 5x y - 20x 2 y

R. 5x y (3y + 1 - 4x).B. 5xy (3y - 4x).

B.5x(3 y 2 + y - 2x).G. 5x(3y 2 + y - 4x).

4. A( b +3) +( b + 3).

A. ( b + 3) (a + 1).B. (b + 3)a.

B. (3 + b ) (a - 1).G. (3 + b)(1-a).

5. INCÓGNITA(y - z ) - (z - y ).

R. (x - 1) ( y - z).B. (x - 1) (z - y).

B.(x + 1)(y- z).T.(x + 1)(z -y).

6. Resuelve la ecuación

3y - 12 y 2 =0

Factorizar polinomios

Opción 2

1. 6a-3.

A. 3(2a-1).B. 6(a-1).

B. 3(2a+1).G. 3(a-1).

2. A 2 b 3 – a 3 b 4

A. un 2 b 3 (1 - ab).B. a 3 (b 3 – b 4).

B. un b 3 (1 - a 2 b).G. segundo 3 (x 2 - x 3).

3. 12x 2 y - 6xy - 24xy 2 .

A. 6xy(2x - 1 - 4y).B. 6xy (2x - 4y).

B. 6xy (6x - 1 - 4y). 6xy(2x + 4y + 1).

4. INCÓGNITA( y + 5) + ( y +5).

A. (x - 1) (y + 5).B. (x+1) (y+5).

B.(y + 5)x.G. (x - 1) (5 - y).

5. C.A-b )- (b -Con).

R. (un - 1) ( b+c).B. (a - 1) (b - c).

B. (a + 1) (c - b).G. (a+1) (b-c).

6. Resuelve la ecuación

En esta lección nos familiarizaremos con las reglas para sacar un factor común entre paréntesis y aprenderemos cómo encontrarlo en varios ejemplos y expresiones. Hablemos de cómo operación sencilla, colocar el factor común entre paréntesis permite simplificar los cálculos. Consolidaremos los conocimientos y habilidades adquiridos observando ejemplos de diversas complejidades.

¿Qué es un factor común, por qué buscarlo y con qué finalidad se saca de paréntesis? Respondamos estas preguntas mirando un ejemplo simple.

Resolvamos la ecuación. Lado izquierdo La ecuación es un polinomio que consta de términos similares. La parte de la letra es común a estos términos, lo que significa que será el factor común. Dejémoslo entre paréntesis:

EN en este caso Poner entre paréntesis el factor común nos ayudó a convertir el polinomio en monomio. Así, pudimos simplificar el polinomio y su transformación nos ayudó a resolver la ecuación.

En el ejemplo considerado, el factor común era obvio, pero ¿sería tan fácil encontrarlo en un polinomio arbitrario?

Encontremos el significado de la expresión: .

EN en este ejemplo colocar el factor común entre paréntesis simplificó enormemente el cálculo.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos la divisibilidad en expresiones.

La expresión resultante es divisible por , como es necesario demostrar. Una vez más, tomar el factor común nos permitió resolver el problema.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos que la expresión es divisible por cualquier número natural: .

La expresión es el producto de dos números naturales adyacentes. Definitivamente uno de los dos números será par, lo que significa que la expresión será divisible por .

Lo hemos solucionado diferentes ejemplos, pero utilizaron el mismo método de solución: quitaron el factor común de entre paréntesis. Vemos que esta sencilla operación simplifica enormemente los cálculos. Fue fácil encontrar un factor común para estos casos especiales, pero ¿qué hacer en caso general, para un polinomio arbitrario?

Recuerde que un polinomio es una suma de monomios.

Considere el polinomio . Este polinomio es la suma de dos monomios. Un monomio es el producto de un número, un coeficiente y una parte de una letra. Así, en nuestro polinomio, cada monomio está representado por el producto de un número y potencias, el producto de factores. Los factores pueden ser los mismos para todos los monomios. Son estos factores los que deben determinarse y eliminarse del grupo. Primero, encontramos el factor común de los coeficientes, que son números enteros.

Fue fácil encontrar el factor común, pero definamos el mcd de los coeficientes: .

Veamos otro ejemplo: .

Encontremos qué nos permitirá determinar el factor común de expresión dada: .

Hemos derivado una regla para coeficientes enteros. Necesitas encontrar su mcd y sacarlo del soporte. Consolidemos esta regla resolviendo un ejemplo más.

Hemos visto la regla para asignar un factor común para coeficientes enteros, pasemos a la parte de las letras. Primero buscamos aquellas letras que están incluidas en todos los monomios, y luego determinamos el grado más alto de la letra que está incluida en todos los monomios: .

En este ejemplo solo había una variable de letra común, pero puede haber varias, como en el siguiente ejemplo:

Compliquemos el ejemplo aumentando el número de monomios:

Después de quitar el factor común, convertimos la suma algebraica en producto.

Analizamos las reglas de resta para coeficientes enteros y variables alfabéticas por separado, pero la mayoría de las veces es necesario aplicarlas juntas para resolver el ejemplo. Veamos un ejemplo:

A veces puede resultar difícil determinar qué expresión permanece entre paréntesis, considere fácil recepción, lo que te permitirá solucionar rápidamente este problema.

El factor común también puede ser el valor deseado:

El factor común puede ser no sólo un número o un monomio, sino también cualquier expresión, como la de la siguiente ecuación.

§ 10. Factorizar polinomios mediante el método sacando el factor común de paréntesis

En sexto grado factorizamos números compuestos en factores primos, es decir, dimos números naturales en forma de obra. Por ejemplo, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

Algunos polinomios también se pueden representar como producto. Esto significa que estos polinomios se pueden factorizar. Por ejemplo, 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 y 3a 2 = a 2 (a + 3) y similares.

Consideremos una de las formas de factorizar polinomios: quitar el factor común entre paréntesis. Uno de los ejemplos de tal expansión que conocemos es la propiedad distributiva de la multiplicación a(b + c) = ab + ac, si se escribe en orden inverso: ab + ac - a(b + c). Esto significa que el polinomio ab + ac se descompuso en dos factores a y b + c.

Al factorizar polinomios con coeficientes enteros, el factor que se saca entre paréntesis se elige de modo que los términos del polinomio que queda entre paréntesis no tengan una letra común como factor, y los módulos de sus coeficientes no tengan divisores comunes.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Factoriza la expresión:

3) 15a 3b - 10a 2b 2.

R a s i z a n i .

1) El factor común es el número 4, entonces

8m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) El factor común es la variable a, por lo tanto

en + 7ap = a(t + 7p).

3) En este caso, el factor numérico común es el máximo común divisor de los números 10 y 15: el número 5, y la letra común factor es el monomio a 2 b. Entonces,

15a 3 segundo - 10a 2 segundo 2 = 5a 2 segundo ∙ 3a - 5a 2 segundo ∙ segundo = 5a 2 segundo(3a - 2b).

Ejemplo 2. Factorizar en:

1) 2metro(b - s) + 3р(b - s);

2) x(y - t) + c(t - c).

R az v ’ i z a n n i.

1) En este caso, el factor común es el binomio b = c.

Por lo tanto, 2m( b - Con) + 3р( b - do) = (b - ñ)(2m + 3р).

2) Los términos tienen factores en - t y t - en, que son expresiones opuestas. Por lo tanto, en el segundo término sacamos el factor -1 de paréntesis, obtenemos: c(t - в) = -с(у - t).

Por lo tanto, x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

Para comprobar la exactitud de la factorización, debes multiplicar los factores resultantes. El resultado debe ser igual al polinomio dado.

Factorizar polinomios a menudo simplifica el proceso de resolución de una ecuación.

Ejemplo 3. Encuentra las raíces de la ecuación 5x 2 - 7x = 0.

R az v ’ i z a n n i. Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación quitando el factor común de entre paréntesis: x(5x - 7) = 0. Considerando que el producto es igual a cero si y sólo si al menos uno de los factores es igual a cero, tendrá: x = 0 o 5x - 7 = 0, de donde x = 0 o x = 1,4.

Respuesta: 0; 1.4.

¿Qué transformación se llama factorización de un polinomio? Usando el ejemplo del polinomio ab + ac, explica cómo se realiza la factorización colocando el factor común fuera de paréntesis.

(Oral) Encuentra el factor común en la expresión:

(Oral) Tenga en cuenta:

Saque el factor común de paréntesis:

(Oralmente) realizó correctamente las factorizaciones:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2a - 2 = 2(a - 1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

Escribe la cantidad como producto:

Factorízalo:

Factorízalo:

4) 7a + 21а;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v2;

10) a 2 b - ab 2 ;

11) salón - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

Saque el factor común de paréntesis:

4) 15xy + 5x;

6) 15 m - 30 m 2 ;

7) 9xy + 6x 2 ;

9) -p 2 q - pq 2.

Factorízalo:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

Factorízalo:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b3 + 7b4;

6) -25m 3 - 20m.

Escribe la suma 6x 2 in + 15x como producto y encuentra su valor si x = -0.5, y = 5.
Escribe la expresión 12a 2 b - 8a como producto y encuentra su valor si a = 2, 6 = .
Saque el factor común de paréntesis:

1) un 4 + un 3 - un 2;

2) metro 9 - metro 2 + metro 7;

3) segundo 6 + segundo 5 - segundo 9 ;

4) - a las 7 - a las 12 - a las 3.

Presentarlo como producto:

1) pág. 7 + pág. 3 - pág. 4;

2) un 10 - un 5 + un 8;

3) segundo 7 - segundo 5 - segundo 2;

4) -metro 8 - metro 2 - metro 4.

Calcula de forma cómoda:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

Resuelve la ecuación:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x2 + 4x = 0.

Encuentra las raíces de la ecuación:

1)x 2 + 3x = 0;

2)x2-7x = 0.

1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;

3) 16 m 2 - 24 m 6 - 22 m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

Saque el factor común de paréntesis:

1) 5p 8 - 5p 7 + 10p 4;

2) 9 m 4 + 27 m 3 - 81 m;

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

Saque el factor común de paréntesis:

1) 7 m 4 - 21 m 2 n 2 + 14 m 3 ;

2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 y 2 - 4x 3 en 5 + 12x 4 en 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

Factoriza el polinomio:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 pulg. - 18b 3 - 30b 4 pulg.;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60 m 4 n 3 - 45 m 2 n 4 + 30 m 3 n 5.

Calcula de forma cómoda:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

Encuentra el significado de la expresión:

1) 4,23 a - a 2, si a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, si x = 2,51, b = -2,51;

3) soy 5 - m 6, si = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, si x = 2,7, b = 7,3.

Encuentra el significado de la expresión:

1) 9,11 a + a 2, si a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, si a = ; x = .

Factoriza el polinomio:

1) 2p(x - y) + q(x - y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a - 7) - b(a - 7);

4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2 - x(x + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

Expresa la expresión como producto:

1) a(x - y) + b(y - x);

2) g(b - 5) - n(5 - b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);

4) (x - y) 2 - a(y - x);

5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);

6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).

Factorízalo:

1) 3x(b - 2) + y(b - 2);

2) (metro 2 - 3) - x(metro 2 - 3);

3) a(b - 9) + c(9 - b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s - m) 2 - 5(m - s);

6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.

Encuentra las raíces de la ecuación:

1) 4x 2 - x = 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4)x 2 - x = 0.

Resuelve la ecuación:

1) 12x 2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

Resuelve la ecuación:

1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

Resuelve la ecuación:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 es múltiplo de 18;

2) 9 14 - 81 6 es múltiplo de 80.

Demuestre que el significado de la expresión es:

1) 39 9 - 39 8 se divide entre 38;

2) 49 5 - 7 8 se divide entre 48.

Saque el factor común de paréntesis:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18a + 27b) 2 .

Encuentra las raíces de la ecuación:

1) x(x - 3) = 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

Resuelve la ecuación:

1) x(x - 2) = 4x - 8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

Demuestre que el número:

1) 10 4 + 5 3 es divisible por 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 se divide por 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 se divide por 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 se divide por 34.

Ejercicios para repetir

Simplifica la expresión y encuentra su significado:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, si x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, si m = 7, n = -1.

Escribe los siguientes coeficientes monomios en lugar de asteriscos para que la igualdad se convierta en una identidad:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

El largo de un rectángulo es tres veces su ancho. Si la longitud de un rectángulo se reduce en 5 cm, entonces su área disminuirá en 40 cm 2. Encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Tareas interesantes para estudiantes perezosos.

Se sabe que un< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| y |b|< |с|?

En esta lección, nos familiarizaremos con las reglas para poner entre corchetes el factor común y aprenderemos cómo encontrarlo en varios ejemplos y expresiones. Hablemos de cómo una operación simple, quitando el factor común entre paréntesis, permite simplificar los cálculos. Consolidaremos los conocimientos y habilidades adquiridos observando ejemplos de diversas complejidades.

¿Qué es un factor común, por qué buscarlo y con qué finalidad se saca de paréntesis? Respondamos estas preguntas mirando un ejemplo simple.

Resolvamos la ecuación. El lado izquierdo de la ecuación es un polinomio que consta de términos similares. La parte de la letra es común a estos términos, lo que significa que será el factor común. Dejémoslo entre paréntesis:

En este caso, quitar el factor común entre paréntesis nos ayudó a convertir el polinomio en monomio. Así, pudimos simplificar el polinomio y su transformación nos ayudó a resolver la ecuación.

En el ejemplo considerado, el factor común era obvio, pero ¿sería tan fácil encontrarlo en un polinomio arbitrario?

Encontremos el significado de la expresión: .

En este ejemplo, poner el factor común entre paréntesis simplificó enormemente el cálculo.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos la divisibilidad en expresiones.

La expresión resultante es divisible por , como es necesario demostrar. Una vez más, tomar el factor común nos permitió resolver el problema.

Resolvamos un ejemplo más. Demostremos que la expresión es divisible por cualquier número natural: .

La expresión es el producto de dos números naturales adyacentes. Definitivamente uno de los dos números será par, lo que significa que la expresión será divisible por .

Miramos diferentes ejemplos, pero usamos el mismo método de solución: quitamos el factor común de los paréntesis. Vemos que esta sencilla operación simplifica enormemente los cálculos. Fue fácil encontrar un factor común para estos casos especiales, pero ¿qué hacer en el caso general, para un polinomio arbitrario?

Recuerde que un polinomio es una suma de monomios.

Fue fácil encontrar el factor común, pero definamos el mcd de los coeficientes: .

Veamos otro ejemplo: .

Encontremos , lo que nos permitirá determinar el factor común de esta expresión: .

Hemos derivado una regla para coeficientes enteros. Necesitas encontrar su mcd y sacarlo del soporte. Consolidemos esta regla resolviendo un ejemplo más.

En este ejemplo solo había una variable de letra común, pero puede haber varias, como en el siguiente ejemplo:

Compliquemos el ejemplo aumentando el número de monomios:

Después de quitar el factor común, convertimos la suma algebraica en producto.

A veces puede resultar complicado determinar qué expresión queda entre paréntesis, veamos un truco fácil que te permitirá solucionar rápidamente este problema.

El factor común también puede ser el valor deseado:

El factor común puede ser no sólo un número o un monomio, sino también cualquier expresión, como la de la siguiente ecuación.

En este artículo nos centraremos en sacando el factor común de paréntesis. Primero, averigüemos en qué consiste esta transformación de expresión. A continuación, presentaremos la regla para sacar el factor común entre paréntesis y consideraremos en detalle ejemplos de su aplicación.

Navegación de páginas.

Por ejemplo, los términos de la expresión 6 x + 4 y tienen un factor común 2, que no está escrito explícitamente. Se puede ver sólo después de representar el número 6 como producto de 2·3 y 4 como producto de 2·2. Entonces, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Otro ejemplo: en la expresión x 3 +x 2 +3 x los términos tienen un factor común x, que se vuelve claramente visible después de reemplazar x 3 con x x 2 (en este caso usamos) y x 2 con x x. Después de quitarlo de paréntesis, obtenemos x·(x 2 +x+3) .

Digamos por separado acerca de sacar el signo menos entre paréntesis. De hecho, poner menos entre paréntesis significa poner menos uno entre paréntesis. Por ejemplo, eliminemos el menos en la expresión −5−12·x+4·x·y. La expresión original se puede reescribir como (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, desde donde se ve claramente el factor común −1, que sacamos de entre paréntesis. Como resultado, llegamos a la expresión (−1)·(5+12·x−4·x·y) en la que el coeficiente −1 se reemplaza simplemente por un menos delante de los corchetes, como resultado tenemos −(5+12·x−4·x· y) . Desde aquí se ve claramente que cuando se quita el menos de los paréntesis, queda entre paréntesis la suma original, en la que los signos de todos sus términos se han cambiado al contrario.

En conclusión de este artículo, observamos que poner entre paréntesis el factor común se utiliza mucho. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular de manera más eficiente los valores de expresiones numéricas. Además, poner un factor común entre paréntesis le permite representar expresiones en forma de producto en particular, uno de los métodos para factorizar un polinomio se basa en poner entre paréntesis;

Referencias.

Matemáticas. 6to grado: educativo. para educación general instituciones / [N. Ya. Vilenkin y otros]. - 22ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-00897-2.

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