Jordanova transformace. Gauss-Jordanova metoda. Jak najít inverzní matici pomocí elementárních transformací? Jak najít inverzní hodnotu matice pomocí Gaussovy metody

Gauss-Jordanova metoda je jednou z nejznámějších a nejrozšířenějších metod řešení soustav lineárních rovnic. Maticová metoda a Cramerova metoda mají ta nevýhoda, že nedají odpověď v případě, kdy detA = 0, ale určují pouze jednoznačné řešení, když se detA nerovná 0. Další nevýhodou je, že objem matematické výpočty v rámci těchto metod prudce narůstá s rostoucím počtem rovnic. Gaussova metoda je prakticky bez těchto nedostatků.

Algoritmus Gaussovy metody

1. Na základě soustavy lineárních rovnic sestavíme rozšířenou matici soustavy;
2. Matici zredukujeme na „trojúhelníkový“ tvar;
3. Určíme pořadí hlavní a rozšířené matice a na základě toho vyvodíme závěr o kompatibilitě systému a počtu přípustná řešení;
4. Pokud má systém jediné řešení, provedeme reverzní substituci a najdeme ji, pokud má systém mnoho řešení: základní proměnné vyjádříme pomocí proměnných, které mohou nabývat libovolných hodnot;

Komentář ke kroku 2 Gaussovy metody. Trojúhelníková matice je matice, ve které jsou všechny prvky umístěné pod hlavní diagonálou rovny nule.

Chcete-li zmenšit původní rozšířenou matici na trojúhelníkový pohled Používáme následující dvě vlastnosti determinantů:

Vlastnost 1. Determinant nezmění svou hodnotu, pokud se ke všem prvkům libovolného řádku (sloupce) matice přidají odpovídající prvky paralelního řádku (sloupce) vynásobené libovolným stejným číslem.

Vlastnost 2. Když jsou libovolné dva sloupce nebo řádky matice přeskupeny, její determinant změní znaménko na opačné a absolutní hodnota determinantu zůstane nezměněna.

Na základě těchto vlastností determinantů vytvoříme algoritmus pro převod matice do trojúhelníkového tvaru:

1. Uvažujme řádek i (začínající od prvního). Pokud je prvek a i i roven nule, změňte v místech i-té a i+1. řádky matice. Znaménko determinantu se změní na opačné. Pokud je a 1 1 odlišné od nuly, přejděte k dalšímu kroku;
2. Pro každý řádek j pod i-tou najdeme hodnotu koeficientu K j =a j i /a i i ;
3. Přepočítáme prvky všech řádků j umístěných níže aktuální linka i za použití odpovídajících koeficientů podle vzorce: a j k new=a j k -K j *a i k ; Poté se vrátíme k prvnímu kroku algoritmu a uvažujeme další řádek, dokud se nedostaneme na řádek i=n-1, kde n je rozměr matice A
4. Ve výsledné trojúhelníkové matici vypočítáme součin všech prvků hlavní úhlopříčky Pa i i, která bude determinantem;

Jinými slovy, podstatu metody lze formulovat následovně. Potřebujeme vytvořit všechny prvky matice pod hlavní diagonální nulou. Nejprve dostaneme nuly v prvním sloupci. Abychom to udělali, postupně odečítáme první řádek, vynásobený číslem, které potřebujeme (tak, že při odečítání dostaneme nulu v prvním prvku řádku) od všech pod ním ležících řádků. Potom totéž uděláme pro druhý řádek, abychom dostali nuly ve druhém sloupci pod hlavní úhlopříčkou matice. A tak dále, dokud se nedostaneme na předposlední řadu.

V obecný případ lineární rovnice je:

Rovnice má řešení: pokud je alespoň jeden z koeficientů neznámých odlišný od nuly. V tomto případě se jakýkoli -rozměrný vektor nazývá řešením rovnice, pokud se při dosazení jeho souřadnic rovnice stane identitou.

Obecná charakteristika řešené soustavy rovnic

Příklad 20.1

Popište soustavu rovnic.

Řešení:

1. Je v tom nějaká protichůdná rovnice?(Pokud koeficienty, v tomto případě má rovnice tvar: a nazývá se kontroverzní.)

• Pokud systém obsahuje něco protichůdného, ​​pak je takový systém nekonzistentní a nemá řešení.

2. Najděte všechny povolené proměnné. (Neznámý se nazývápovoleno pro soustavu rovnic, pokud je zahrnuta v jedné z rovnic soustavy s koeficientem +1, ale není zahrnuta ve zbývajících rovnicích (tj. je zahrnuta s koeficientem rovným nule).

3. Je soustava rovnic vyřešena? (Soustava rovnic se nazývá vyřešená, pokud každá rovnice soustavy obsahuje vyřešenou neznámou, mezi kterými nejsou žádné shodné)

Vytvoří se vyřešené neznámé, z každé rovnice systému jedna plný set vyřešené neznámé systémy. (v našem příkladu je to toto)

Povolené neznámé zahrnuté v kompletní sadě jsou také nazývány základní() a není součástí sady - volný, uvolnit ().

V obecném případě má vyřešená soustava rovnic tvar:

Na v tomto stádiu hlavní věcí je pochopit, co to je vyřešeno neznámo(zahrnuto v základu a zdarma).

Obecné Konkrétní Základní řešení

Obecné řešení vyřešená soustava rovnic je množina vyjádření vyřešených neznámých prostřednictvím volných členů a volných neznámých:

Soukromé rozhodnutí se nazývá řešení, které se získá z obecného řešení pro konkrétní hodnoty volných proměnných a neznámých.

Základní řešení se nazývá konkrétní řešení získané z obecného s nulové hodnoty volné proměnné.

• Základní řešení (vektor) se nazývá degenerovat, pokud je počet jeho nenulových souřadnic menší než počet povolených neznámých.
• Základní řešení je tzv nedegenerované, pokud je počet jeho nenulových souřadnic roven počtu povolených neznámé systémy součástí kompletní sady.

Věta (1)

Vyřešený systém rovnic je vždy konzistentní(protože má alespoň jedno řešení); Navíc, pokud systém nemá volné neznámé,(to znamená, že v systému rovnic jsou v základu zahrnuty všechny povolené) pak je to definováno(má unikátní řešení); pokud existuje alespoň jedna volná proměnná, pak systém není definován(má nekonečně mnoho řešení).

Příklad 1. Najděte obecné, základní a libovolné konkrétní řešení soustavy rovnic:

Řešení:

1. Kontrolujeme, zda je systém autorizován?

• Systém je vyřešen (protože každá z rovnic obsahuje vyřešenou neznámou)

2. Do množiny zařazujeme povolené neznámé – z každé rovnice jednu.

3. Obecné řešení zapisujeme podle toho, jaké povolené neznámé jsme do množiny zařadili.

4. Hledání soukromého řešení. Abychom to udělali, zrovnoprávníme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s libovolnými čísly.

Odpovědět: soukromé řešení(jedna z možností)

5. Shledáváme základní řešení . Za tímto účelem srovnáme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s nulou.

Elementární transformace lineárních rovnic

Systémy lineárních rovnic jsou redukovány na ekvivalentní řešené systémy pomocí elementární transformace.

Věta (2)

Jestli nějaký vynásobte rovnici soustavy nějakým nenulovým číslem, a zbytek rovnic ponechte beze změny, pak . (to znamená, že pokud vynásobíte levou a pravou stranu rovnice stejným číslem, dostanete rovnici ekvivalentní této)

Věta (3)

Li přidat další do libovolné rovnice soustavy a všechny ostatní rovnice ponechte beze změny dostaneme systém ekvivalentní tomuto. (to znamená, že pokud přidáte dvě rovnice (přičtením jejich levé a pravé strany), dostanete rovnici ekvivalentní datům)

Důsledek vět (2 a 3)

Li přidat další rovnici k rovnici vynásobené určitým číslem a všechny ostatní rovnice ponechte beze změny, pak dostaneme systém ekvivalentní tomuto.

Vzorce pro přepočet systémových koeficientů

Pokud máme soustavu rovnic a chceme ji převést na vyřešenou soustavu rovnic, pomůže nám s tím Jordan-Gaussova metoda.

Jordanova transformace s rozlišovacím prvkem umožňuje získat vyřešenou neznámou pro soustavu rovnic v rovnici s číslem . (příklad 2).

Jordanova transformace se skládá z elementárních transformací dvou typů:

Řekněme, že chceme z neznámé v nižší rovnici udělat vyřešenou neznámou. Abychom to udělali, musíme vydělit , takže součet je .

Příklad 2 Přepočítejme systémové koeficienty

Při dělení rovnice číslem číslem se její koeficienty přepočítají pomocí vzorců:

Chcete-li vyloučit z rovnice s číslem , musíte rovnici s číslem vynásobit a přidat k této rovnici.

Věta (4) O snížení počtu rovnic soustavy.

Pokud soustava rovnic obsahuje triviální rovnici, lze ji ze soustavy vyloučit a získáme soustavu ekvivalentní té původní.

Věta (5) O nekompatibilitě soustavy rovnic.

Pokud soustava rovnic obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.

Algoritmus Jordan-Gaussovy metody

Algoritmus pro řešení soustav rovnic pomocí Jordan-Gaussovy metody se skládá z řady podobných kroků, z nichž každý se provádí v následujícím pořadí:

1. Zkontroluje, zda systém není konzistentní. Pokud systém obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.
2. Kontroluje se možnost snížení počtu rovnic. Pokud soustava obsahuje triviální rovnici, je přeškrtnuta.
3. Je-li soustava rovnic vyřešena, zapište obecné řešení soustavy a případně řešení partikulární.
4. Pokud systém není vyřešen, pak v rovnici, která neobsahuje vyřešenou neznámou, se vybere rozlišovací prvek a s tímto prvkem se provede Jordanova transformace.
5. Poté se vraťte k bodu 1

Příklad 3 Řešte soustavu rovnic Jordan-Gaussovou metodou.

Nalézt: dvě obecná a dvě odpovídající základní řešení

Řešení:

Výpočty jsou uvedeny v tabulce níže:

Napravo od tabulky jsou akce s rovnicemi. Šipky ukazují, ke které rovnici je rovnice s rozlišovacím prvkem přidána, vynásobená vhodným faktorem.

První tři řádky tabulky obsahují koeficienty neznámých a pravé strany původního systému. Výsledky první Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným jedné jsou uvedeny na řádcích 4, 5, 6. Výsledky druhé Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným (-1) jsou uvedeny na řádcích 7, 8, 9 Vzhledem k tomu, že třetí rovnice je triviální, lze ji vynechat.

Jak je známo, Jordan-Gaussova metoda, známá také jako metoda sekvenční eliminace neznámých, je modifikací Gaussovy metody pro řešení soustav lineárních algebraické rovnice(SLAU).

Metoda je založena na elementárních transformacích (přeměně systému na ekvivalentní), které zahrnují:

• přidání k oběma stranám rovnice soustavy další rovnice téže soustavy, vynásobené číslem jiným než nula;
• přeskupování rovnic v systému;
• odstranění ze soustavy rovnic ve tvaru 0 = 0.

Na rozdíl od Gaussovy metody je v každém kroku eliminována jedna proměnná ze všech rovnic kromě jedné.

Krok metody je následující:

• vyberte v další rovnici neznámou s koeficientem odlišným od nuly (rozlišovací prvek);
• rozdělte vybranou rovnici rozlišovacím prvkem;
• pomocí vybrané rovnice vyloučit neznámou na rozlišovacím prvku ze všech ostatních rovnic;
• v dalším kroku je další neznámá podobně vyloučena ze všech rovnic kromě jedné;
• proces pokračuje, dokud nejsou použity všechny rovnice.

Můžete to algoritmizovat takto:

Pro SLAE v maticovém tvaru A*x=b (matice A rozměru m*n, nemusí nutně čtverec) je sestavena následující tabulka:

V tabulce je vybrán rozlišovací prvek a r,s ≠0, pak r je rozlišovací řádek, s je rozlišovací sloupec.

Přechod na další tabulku se provádí podle pravidel:

1. vypočítají se prvky rozlišovacího řádku: a" r,j =a r,j /a r,s - to znamená, že r-řádek tabulky je rozdělen rozlišovacím prvkem;

2. všechny prvky sloupce rozlišení, kromě a r,s, rovný jedné, rovnat se nule;

3. Prvky mimo povolený řádek a sloupec se vypočítají pomocí vzorce uvedeného níže:

Je snadné vyhnout se zmatku, když uvidíte, že čitatel tohoto vzorce je podobný výpočtu determinantu matice 2x2.

4. Při ručním výpočtu se porovnává hodnota v posledním kontrolním sloupci se součtem předchozích prvků řádku. Pokud se hodnoty neshodují, je třeba hledat chyby v tomto řádku. Pro automatizované výpočty lze kontrolní sloupec vynechat.

Jsou možné následující případy:

1. V procesu eliminací levá strana rovnice soustavy se změní na 0 a pravá ruka b≠0, pak soustava nemá řešení.

2. Získá se identita 0 = 0 - rovnice je lineární kombinací zbytku a řádek nul lze ze systému vymazat.

3. Po použití všech rovnic k odstranění neznámých obsahuje tabulka buď požadované řešení, nebo ukazuje nekonzistenci systému omezení.

Naprogramujme metodu v Excelu pomocí jednoho vzorce, který by neměl být příliš náročný na změnu. Například vyřešit SLAE

Vyplníme buňky listu od A1 do D4 včetně koeficienty systému, vybereme rozlišovací prvek a 1,1 =1 a první krok metody uděláme v buňce A6, kde zadáme „univerzální“ vzorec pro Jordan-Gaussova transformace:

IF(ROW($A$1)=ROW(A1);A1/$A$1;
KDYŽ(SLOUPEK($A$1)=SLOUPEK(A1);0,(A1*$A$1-
NEPŘÍMÉ(ADRESA(ŘÁDEK(A1);SLOUPEK($A$1)))*
NEPŘÍMÉ(ADRESA(ŘÁDEK($A$1);SLOUPCE(A1)))/$A$1))

V dalším kroku by rozlišovacím prvkem mohl být například a 2,2 =1 (buňka B7). Vše, co musíme udělat, je zkopírovat vzorec z A6 do A11 (podle prázdný řádek nechte vizuálně oddělit kroky metody), přejděte do režimu úpravy vzorce ( dvojklik buňkou nebo ji vyberte a stiskněte klávesu F2) a opravte (opatrně táhněte myší za okraj) všechny připnuté odkazy z buňky A1 do B7.

Připnutý odkaz $A$1 všude ve vzorci můžete samozřejmě nahradit konstrukcí ve tvaru NEPŘÍMÝ(CELL) , tvořící dynamická adresa Odkazy. Řekněme, NEPŘÍMÉ(F8) a v buňce F8 bude adresa buňky prvku rozlišení automaticky generována zadané uživatelemčíslo řádku a sloupce. Pak pro tato čísla řádků a sloupců budete muset zadat jednotlivé buňky, například takto:

To vše bohužel nic nedá - místo $A$1 budeme muset ve vzorci jednoduše opravit INDIRECT($F$8) a při kopírování vzorce přetahovat stejný počet odkazů. Navíc „ručně“ zadaná čísla řádků a sloupců bude muset také zkontrolovat platnost (alespoň jako na obrázku), nebudeme tedy entity násobit.

Metodu v akci můžete vidět na prvních dvou listech přílohy Excel soubor(2 různé příklady).

Následující je také založen na Jordan-Gaussově transformaci univerzální metodařešení lineární problémy optimalizace, jak simplexní metoda. Jeho popisy jsou obvykle děsivé, dlouhé a přeplněné teorémy. Zkusme udělat jednoduchý popis a vyvinout algoritmus vhodný pro výpočty v Excelu. Ve skutečnosti je metoda simplex již zabudována do standardního doplňku Analysis Package a není třeba ji programovat „ručně“, takže náš kód má spíše vzdělávací hodnotu.

Nejprve minimum teorie.

Pokud jsou sloupcové vektory SLAE lineárně nezávislé, odpovídající proměnné jsou základní, a zbytek - volný, uvolnit. Například v SLAU

proměnné x 2 a x 4 jsou základní a x 1 a x 3 jsou volné. Základní proměnné jsou na sobě nezávislé a z volných lze udělat např. nuly a dostat ( x 2 =2, x 4 =1) – základní řešení systémy.

Volbou různých rozlišovacích prvků je možné získat řešení SLAE s různými bázemi. Volá se jakékoli nezáporné základní řešení SLAE vedlejší.

Simplexová metoda poskytuje přechod z jedné referenční roztok k jinému, dokud není dosaženo optimálnířešení, které dává minimální účelovou funkci.

Algoritmus simplexové metody je následující:

1. Problém LP je transformován do kanonické formy:

To lze vždy provést následovně: k problému napsanému ve standardní formulaci

jsou přidány další rozvahové proměnné, jejichž počet odpovídá počtu omezení nerovnosti m (omezení nezápornosti hodnot neznámých se nebere v úvahu). Poté se nerovnosti se znaménkem „≤“ promění v rovnosti, například systém omezení tvaru

2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1, x 2 ≥0

bude mít formu

2*x 1 +3*x 2 +x 3 = 20
3*x 1 +x 2 +x 4 = 15
4*x 1 +x 5 = 16
3*x 2 +x 6 = 12
x 1, x 2,..., x 6 ≥0

To znamená, že „ekonomický“ význam bilančních proměnných je velmi jednoduchý – jedná se o „zbytky“ nevyužitých zdrojů každého typu.

Pokud v původní problém Nehledal jsem minimum, ale maximum, Objektivní funkce Z bude nahrazeno Z 1 = -Z. Řešení problémů se shodují, přičemž min Z = - max Z 1 . Například cíl

Z(x 1 ,x 2)=2*x 1 +5*x 2 (max.)

přepsáno jako

Z 1 (x 1 ,x 2)=-2*x 1-5*x 2 (min)

Pokud měl původní problém rovnice nerovnosti se znaménkem "≥" místo "≤", obě strany každé takové nerovnosti se vynásobí -1 a znaménko nerovnosti se obrátí, např.

3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15

promění v

3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15

Získá se kanonický tvar modelu a pro něj zapíšeme simplexní stůl:

Základní proměnné (BP) se zapisují do levého sloupce, pokud ještě nejsou vybrány, je prázdný.

2. Pomocí Jordan–Gaussových kroků se hledá výchozí referenční plán, tzn. SLAE je redukován do základní formy s nezápornými volnými členy b i >0. V tomto případě by účelová funkce Z měla být vyjádřena pouze pomocí volných neznámých ( nulový kurz v linii Z se objevují pouze pod proměnnými x i, které jsou v základu). Při výběru rozlišovacího prvku a r,s zapíšeme proměnnou x s ​​do řádku r sloupce BP, pokud tam proměnná již byla, proškrtneme ji (odstraníme ze základu).

3. Referenční plán X * zapíšeme pod sloupce x i: pod volné proměnné - nuly, pod základní proměnné - koeficienty ze sloupce b odpovídající základní proměnné.

Níže vypíšeme vektor R podle pravidla: pod základními proměnnými jsou nuly, pod volnými R i =Z i .

Pokud jsou všechna R i ≥0 nalezena optimální řešení X * a cílová hodnota Z min = -q, jinak potřebujeme nový plán, máš to, soudruhu Žjukove? (bod 4).

4. Chcete-li vybrat rozlišovací sloupec s, vyberte maximální absolutní zápornou složku vektoru R, je vybrán rozlišovací sloupec s. Poté analyzujeme koeficienty stého sloupce matice systému omezení. Pokud všechna a i,s ≤0, neexistuje žádné řešení a Z min má tendenci k mínus nekonečnu, jinak přejděte ke kroku 5.

5. Pro výběr rozlišovacího řetězce r sestavíme nezáporné vztahy b i /A i,s ≥0, i=1,2,...,m a vybereme z nich nejmenší. Pokud je dosaženo minima pro několik řádků, lze kterýkoli z nich považovat za rozlišovací a v novém referenčním plánu se hodnoty některých základních proměnných stanou 0, tedy získáme degenerovaný referenční plán.

6. Provedeme Jordan-Gaussovu transformaci s rozlišovacím prvkem a r,s a přejdeme ke kroku 3

Geometricky simplexová metoda odpovídá nejkratšímu průchodu vrcholy n-rozměrného konvexního mnohostěnu, který tvoří oblast proveditelných řešení problému:

Odtud se přesuneme referenční plán C, což je jeden z vrcholů vícerozměrného mnohoúhelníku, do optimální plán E=X*.

Naprogramovat to vše v Excelu není jednoduché, ale je to možné. V přiloženém dokumentu jsou uvedeny 3 příklady, které realizují řešení úloh simplexovou metodou. Pravda, při provádění kroku již budete muset změnit 3 vzorce na listu prvního příkladu pro simplexní metodu, které jsou zvýrazněny žlutá: výpočet vztahů pro výběr rozlišovacího řádku v buňce I2, vyplnění sloupce BP v buňce A12, krok Jordan-Gaussovy transformace v buňce B12. Stejně jako v příkladu Jordan-Gaussovy transformace je změna vzorců spojena pouze s nutností odkazovat nový řádek, obsahující adresu buňky s povolovacím prvkem (pro první krok - buňka C9).

Spojme každý systém lineárních rovnic s rozšířená matice, získaný přidáním do matrice A sloupec volných členů:

Jordan-Gaussova metoda slouží k řešení systému m lineární rovnice s n neznámé typy:

Tato metoda spočívá v tom, že pomocí elementárních transformací je soustava rovnic redukována na ekvivalentní soustavu rovnic s maticí určitého typu.

Na řádcích rozšířené matice provedeme následující elementární transformace:

1. přeskupení dvou strun;

2. násobení řetězce libovolným číslem jiným než nula;

3. přidání dalšího řetězce vynásobeného určitým číslem k jednomu řetězci;

4. zahození nulového řádku (sloupce).

Příklad 2.11.Řešení soustav lineárních rovnic Jordan-Gaussovou metodou:

A) Xi + X2 + 2X3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

Řešení: Vytvořme rozšířenou matici:

Iterace 1

Vyberte prvek jako vodicí prvek. Převedeme první sloupec na jeden sloupec. Chcete-li to provést, přidejte první řádek k druhému a třetímu řádku, vynásobený (-2) a (-4). Dostaneme matici:

Tím je první iterace dokončena.

Iterace 2

Vyberte vodicí prvek. Od , dělíme druhý řádek -3. Poté vynásobíme druhý řádek (-1) respektive 3 a přičteme jej k prvnímu a třetímu řádku. Vezmeme matrici

Iterace 3

Vyberte vodicí prvek. Protože , dělíme třetí řádek (-2). Převedeme třetí sloupec na jednotku. Chcete-li to provést, vynásobte třetí řádek (-4/3) a (-2/3) a přidejte jej k prvnímu a druhému řádku. Vezmeme matrici

kde X 1 = 1, X 2 = 2, X 3 = -2.

Po dokončení řešení je ve fázi trénování nutné provést kontrolu dosazením nalezených hodnot do původního systému, který by se měl proměnit ve správné rovnosti.

b) X 1 – X 2 + X 3 – X 4 = 4

Xi + X2 + 2X3 + 3X4 = 8

2X 1 +4X 2 + 5X 3 +10X 4 = 20

2 Х 1 – 4 Х 2 + Х 3 – 6 Х 4 = 4

Řešení: Rozšířená matice má tvar:

Aplikováním elementárních transformací dostaneme:

Zdrojový systém je ekvivalentní následujícímu systému rovnic:

X 1 – 3 X 2 – 5 X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

Poslední dva řádky matice A(2) jsou lineárně závislé.

Definice.Řádky matice E 1 , E 2 ,…, e m jsou nazývány lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

Kde 0 =(0, 0…0). Řádky matice jsou lineárně nezávislé, kdy je kombinace těchto řádků rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovny nule.

V lineární algebra velmi důležitý koncept maticová hodnost, protože hraje to velmi dobře velká důležitost při řešení soustav lineárních rovnic.

Věta 2.3 (o hodnosti matice). Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, přes které jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

Hodnost matice A(2) se rovná 2, protože v něm je maximální počet lineárně nezávislých řádků 2 (jedná se o první dva řádky matice).

Věta 2.4 (Kronecker–Kapeli). Systém lineárních rovnic je konzistentní pouze tehdy, je-li hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířená matice tohoto systému.

1. Je-li hodnost matice sdruženého systému rovna počtu proměnných, tzn. r = n, pak má systém jedinečné řešení.

2. Pokud je hodnost systémové matice menší než počet proměnných, tzn. r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

V v tomto případě systém má 4 proměnné a jeho hodnost je 2, proto má nekonečný počet řešení.

Definice. Nechat r< n, r proměnné X 1 , X 2 ,…, xr jsou nazývány základní, pokud determinant matice z jejich koeficientů ( základní moll) se liší od nuly. Odpočinek n–r se nazývají proměnné volný, uvolnit.

Definice.Řešení systém, ve kterém všechno n–r Volné proměnné jsou rovny nule se nazývá základní.

Kloubní systém m lineární rovnice s n proměnné ( m< n ) má nekonečný počet řešení, mezi nimiž je konečný počet základních řešení nepřesahujících , kde .

V našem případě, tj. systém nemá více než 6 základních řešení.

Společné rozhodnutí má tvar:

Xi = 3X2 + 5X4

X 3 = 4 – 2 X 2 – 4 X 4

Pojďme najít základní řešení. K tomu předpokládáme X 2 = 0, X 4 = 0, pak X 1 = 0, X 3 = 4. Základní řešení má tvar: (0, 0, 4, 0).

Podívejme se na další základní řešení. K tomu bereme X 3 a X 4 jako volné neznámé. Vyjádřeme neznámé X 1 a X 2 prostřednictvím neznámých X 3 a X 4:

X 1 = 6 – 3/2 X 2 – X 4

X 2 = 2 – 1/2X 3 – 2X 4.

Pak má základní řešení tvar: (6, 2, 0, 0).

Příklad 2.12. Vyřešte systém:

X 1 + 2 X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Řešení: Transformujte rozšířenou matici systému

Rovnice odpovídající třetímu řádku poslední matice je tedy nekonzistentní – výsledkem je nesprávná rovnost 0 = –1, tedy, tento systém nekompatibilní. Tento závěr lze také získat, když si všimneme, že hodnost systémové matice je 2, zatímco hodnost rozšířené systémové matice je 3.

4. Jordan - Gaussova metoda.

Schéma s výběrem hlavního prvku spočívá v tom, že požadavek, aby diagonální prvky akk, na které dochází v procesu eliminace k rozdělení, nebyly rovné nule, bude nahrazen přísnějším: ze všech prvků prvku K-tý sloupec, vyberte největší modul a přeuspořádejte rovnice tak, aby tento prvek skončil na místě prvku acc. Volba hlavního prvku a s tím spojené přeuspořádání řádků jsou nutné v případech, kdy v kterémkoli i-tém kroku acc = 0 nebo je velmi málo acc pro zbývající prvky i-tého sloupce: při dělení takto „malým ” výsledkem bude acc velká čísla s velkými absolutními chybami, v jejichž důsledku může být řešení značně zkreslené.

Níže je uveden algoritmus pro úplnou eliminaci neznámých nebo Jordan-Gaussova metoda. Podstata metody spočívá v tom, že po zvážení první rovnice obsahuje neznámou s koeficientem odlišným od nuly (dále jen rozlišovací prvek) a dělením první rovnice tímto koeficientem pomocí první rovnice je tato neznámá je vyloučen ze všech rovnic kromě první. Po zvolení neznámé ve druhé rovnici s koeficientem odlišným od nuly a vydělením druhé rovnice jím druhé vyloučí další neznámé ze všech rovnic kromě druhé atd., tzn. pomocí jedné rovnice zcela eliminují jednu neznámou. Proces pokračuje, dokud nejsou použity všechny rovnice.

Jak je známo, systémy lineárních algebraických rovnic mohou mít jedno řešení, mnoho řešení nebo mohou být systémy nekonzistentní. S elementárními transformacemi prvků systémové matice jsou tyto případy odhaleny následovně:

1. V procesu eliminace levá strana první rovnice soustavy zmizí a pravá část rovné nějakému číslu odlišnému od nuly. těch. 02+ = bc0.

To znamená, že systém nemá řešení, protože I-tá rovnice nemůže být splněna žádnými hodnotami neznámých;

2. Levá a pravá strana první rovnice zmizí. To znamená, že první rovnice je lineární kombinací ostatních, vyhovuje jí jakékoli nalezené řešení, takže ji lze zahodit. Počet neznámých v systému více množství rovnic, a proto má takový systém mnoho řešení;

3. Po použití všech rovnic k odstranění neznámých je získáno řešení soustavy.

Konečným cílem Jordan-Gaussovy transformace je tedy získat z daného lineárního systému

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Zde x1, x2, …, xn jsou neznámé, které je třeba určit. Předpokládá se, že a11, a12, …, amn - koeficienty systému - a b1, b2, ... bm - volné členy - jsou známé. Indexy koeficientů (aij) soustavy udávají čísla rovnice (i) a neznámé (j), na kterých tento koeficient stojí.

Soustava (1) se nazývá homogenní, pokud jsou všechny její volné členy rovny nule (b1 = b2 = … = bm = 0), jinak se nazývá nehomogenní.

Soustava (1) se nazývá kvadratická, jestliže počet m rovnic je roven počtu n neznámých.

Řešením systému (1) je množina n čísel c1, c2, …, cn, takže dosazením každého ci místo xi do systému (1) se všechny jeho rovnice promění v identity.

Systém (1) se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení, a nekonzistentní, pokud žádné řešení nemá.

Kloubový systém typu (1) může mít jedno nebo více řešení.

Řešení c1(1), c2(1), …, cn(1) a c1(2), c2(2), …, cn(2) kloubového systému typu (1) se nazývají různá, pokud alespoň jeden rovnost je porušena:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Simultánní systém tvaru (1) se nazývá určitý, má-li jednoznačné řešení; pokud má alespoň dva různá řešení, pak se nazývá neurčitý. Pokud existuje více rovnic než neznámých, nazývá se přeurčená.

Pojďme se rozhodnout následující systém rovnice:

Zapišme to jako matici 3x4, kde poslední sloupec je volný člen:

Pojďme provést následující akce:

· K řádku 2 přidejte: -4 * řádek 1.

· K řádku 3 přidejte: -9 * Řádek 1.

· K řádku 3 přidejte: -3 * Řádek 2.

· Rozdělte řádek 2 na -2

· K řádku 1 přidejte: -1 * Řádek 3.

· K řádku 2 přidejte: -3/2 * Řádek 3.

· K řádku 1 přidejte: -1 * řádek 2.

V pravém sloupci dostaneme řešení:

.

V Newtonově metodě je pozorováno zrychlení konvergence aproximačního procesu. 5. Metoda tečny (Newtonova metoda) Metoda tangens, spojená se jménem I. Newtona, je jednou z nejúčinnějších numerické metodyřešení rovnic. Myšlenka metody je velmi jednoduchá. Vezmeme derivační bod x0 a zapíšeme do něj rovnici tečny ke grafu funkce f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Grafy...

Řešení z numerických výpočtových metod. K určení kořenů rovnice není nutná znalost teorií Abelových, Galoisových, Lieových aj. grup a používání speciální matematické terminologie: okruhy, pole, ideály, izomorfismy atd. K vyřešení algebraické rovnice n-tého stupně potřebujete pouze schopnost řešit kvadratické rovnice a vzít kořeny komplexního čísla. Kořeny lze určit podle...

Matematika trigonometrické substituce a testování účinnosti vypracované metodiky výuky. Etapy práce: 1. Vypracování volitelného předmětu na téma: „Aplikace goniometrické substituce při řešení algebraických úloh“ se studenty v hodinách pokročilé matematiky. 2. Vedení vypracovaného volitelného předmětu. 3. Provedení diagnostického testu...

... se „projevuje“ pouze v procesu transformace. Zjevnost a „zahalenost“ nové proměnné zvážíme na konkrétní příklady ve druhé kapitole této práce. 2. Možnosti využití metody náhrady neznámé při řešení algebraických rovnic V této kapitole identifikujeme možnosti využití metody náhrady neznámé při řešení algebraických rovnic ve standardních i nestandardních...